§E9.34Radon 積測度

証明.$K=\pr_X(\supp f)$と$M=\pr_Y(\supp f)$はコンパクトである。いずれかが空ならば$f=0$であり、主張が成り立つ。各切片は$M$または$K$に台をもち、その集合の測度は有限であるから、切片積分は有限である。

$x_0\in X$と$\ep>0$を取る。各$y_0\in M$に対して、$x_0$の開近傍$U_{y_0}$と$y_0$の開近傍$W_{y_0}$を、$x\in U_{y_0}$、$y\in W_{y_0}$ならば

となるように取る。$M$のコンパクト性によって有限個の$W_{y_0}$で$M$を覆い、対応する$U_{y_0}$の交わりを$U$とする。$x\in U$ならば

したがって$F_f$は連続である。$K$の外で$F_f=0$であり、$K$は閉集合であるから$\supp F_f\subseteq K$である。座標を交換すれば$H_f\in C_c(Y,\R)$も従う。

$K$を含むコンパクトな閉包をもつ開集合$O\subseteq X$を取る。上の一様な評価により、各$x_j\in K$の開近傍$U_j\subseteq O$を

となるように取ることができる。有限個の$U_j$で$K$を覆い、§E9.30 補題 1.3により非負の$\phi_j\in C_c(X,\R)$を取る。その台は$U_j$に含まれ、$\sum_j\phi_j=1$が$K$上で成り立ち、全空間で$\sum_j\phi_j\leq1$である。

は$C_c(X\times Y,\R)$に属する。実際、各因子はコンパクトな台をもち、その台の積は§E2.19 系 5.4によりコンパクトである。$f$が$K\times M$の外で零であることから

であり、$|f-t|\leq\ep$である。両関数の台は$\tpcl{O}\times M$に含まれる。有限和$t$の二つの積分順序は、各項について積分の線形性から一致する。それぞれの順序で$f$と$t$の積分の差は$\ep\mu(\tpcl{O})\nu(M)$以下である。したがって二つの順序で得た$f$の積分の差は$2\ep\mu(\tpcl{O})\nu(M)$以下であり、$\ep\downarrow0$とすれば等式を得る。▨

証明. 積空間$X\times Y$は Hausdorff である。各点の二つの座標にコンパクトな閉包をもつ開近傍を取ると、その積は開近傍であり、閉包は二つのコンパクト集合の積に含まれる。§E2.19 系 5.4により、この閉包はコンパクトである。したがって積空間は局所コンパクトである。

補題 1.1により

は有限な値をもつ正実線形汎関数$C_c(X\times Y,\R)\to\R$である。§E9.31 定理 2.1により、これを表現する Radon 測度$\rho$が一意に存在する。積分順序の等式は前の補題による。複素関数については実部と虚部に適用して等式を得る。▨

証明. 任意の実数$a$に対して$\{h>a\}=\bigcup_{g\in\mathcal H}\{g>a\}$は開集合であるから、$h$は下半連続である。$s=\sum_{j=1}^r a_j\mathbf1_{A_j}\leq h$を非負 Borel 単関数とする。零係数の項を除いて$a_j>0$とし、$A_j$は互いに交わらないとする。コンパクト集合$K_j\subseteq A_j$と$0<\eta<1$を取る。

各$K_j$は開集合$\{g>(1-\eta)a_j\}$、$g\in\mathcal H$で覆われる。有限部分被覆と有向性により、ある$g\in\mathcal H$がすべての$K_j$上で$g>(1-\eta)a_j$を満たす。したがって

内正則性によって各$K_j$の上限を取ると、右辺の上限は$(1-\eta)\int_Zs\,dm$である。$\eta\downarrow0$とし、さらに$s\leq h$の上限を取れば、左辺は$\int_Zh\,dm$以上である。逆向きは積分の単調性による。▨

証明. 零関数は$\mathcal H_f$に属し、二つの関数の最大値も$\mathcal H_f$に属する。$z\in Z$と$0<a<f(z)$を取る。$a<b<f(z)$を満たす有限実数$b$を取り、開集合$\{f>b\}$の内部で、$z$上で1となる非負の切断関数$\chi\in C_c(Z,\R)$を取る。$h=b\chi$は$f$以下であり、$h(z)>a$である。$f(z)=0$の場合にはすべての小関数がその点で零であるから、点ごとの上限は常に$f$である。積分公式は補題 2.1による。▨

証明.補題 2.2の族$\mathcal H_f$を取る。各$x\in X$に対して、$h(x,\cdot)$、$h\in\mathcal H_f$は非負の$C_c(Y,\R)$関数の有向族であり、その点ごとの上限は$f(x,\cdot)$である。補題 2.1により

各$F_h$は非負連続関数であるから、$J$は下半連続である。この有向族に同じ補題を$X$上で適用し、連続関数の表現公式を用いると

最後の等式は積空間上の補題 2.2による。座標を交換すれば、もう一つの反復積分にも同じ結論を得る。▨

証明. コンパクト集合$K\subseteq Z$を、コンパクトな閉包をもつ開集合$V$に含める。§E9.30 命題 3.2により、各測度の$K$における値は、$K\subseteq U\subseteq V$を満たす開集合$U$の値の下限である。したがって二つの測度はコンパクト集合上で一致する。全 Borel 集合のコンパクト内正則性から、Borel 集合上でも一致する。▨

証明. 開集合$U\subseteq X$と$W\subseteq Y$に対して、$\mathbf1_{U\times W}$は下半連続である。定理 2.3により$\rho(U\times W)=\mu(U)\nu(W)$である。

$W$を有限測度の開集合とし、$\zeta_W(A)=\rho(A\times W)$と定める。これは$\mathcal B(X)$上の測度である。任意のコンパクト集合$K\subseteq X$は有限測度の開集合$V$に含まれ、$\zeta_W(K)\leq\rho(V\times W)<\infty$である。コンパクト集合$C\subseteq A\times W$の射影$K=\pr_X(C)$は$A$に含まれるコンパクト集合であり、$\rho(C)\leq\zeta_W(K)$である。$\rho$の内正則性から$\zeta_W$はコンパクト内正則である。したがって$\zeta_W$は Radon 測度であり、開集合上で$\nu(W)\mu$に一致する。補題 3.1により

である。

$A$を有限測度の Borel 集合とし、$\theta_A(B)=\rho(A\times B)$と定める。コンパクトな射影による同じ議論がコンパクト内正則性を与える。コンパクト集合$L\subseteq Y$を有限測度の開集合$W$に含めると、$\theta_A(L)\leq\mu(A)\nu(W)<\infty$である。ゆえに$\theta_A$は Radon 測度である。

任意の開集合$W\subseteq Y$に対し、$W$に含まれるコンパクトな閉包をもつ開集合の族は、有限和について閉じており、$W$を覆う。§E9.33 補題 3.1を$\rho$、可測集合$A\times Y$、開集合族$X\times W'$に適用すると

最後の等式は$\nu$に同じ開集合の連続性を適用したものである。したがって補題 3.1により、有限な$\mu(A)$の場合の長方形公式が成り立つ。

一般の$A,B$に対して、コンパクト集合$C\subseteq A\times B$の射影$K=\pr_X(C)$は$\mu(K)<\infty$を満たす。したがって

$C$の上限を取れば一方の不等式が従う。逆に、コンパクト集合$K\subseteq A$に対して$\rho(A\times B)\geq\mu(K)\nu(B)$である。$\mu$の内正則性から$K$の上限を取ると、逆向きの不等式を得る。$\nu(B)=0$の場合にはすべての項が零であり、$\nu(B)=\infty$の場合には$\mu(A)>0$ならば正測度のコンパクト集合$K$を取ることができるため、同じ結論となる。▨

証明. Radon 測度はコンパクト内正則でありコンパクト集合上で有限であるから、両因子は半有限である。したがって$\lambda$は定義される。

有限測度 Borel 長方形$R=E\times F$上の$\rho$の制限は有限であり、各 Borel 長方形に有限積測度と同じ値を与える。§E9.15 定理 5.1の一意性により、積シグマ加法族上で一致する。有限積測度の可測な零集合は$\rho$に関しても零集合であるから、その部分集合を追加した完備化は$\overline\rho$の制限に含まれ、値も一致する。

$A\in\mathcal D$とする。有限測度の開長方形$R=V\times W$に対して、$A\cap R\in\mathcal C_R$であるから、前の一致により$A\cap R$は$\overline\rho$可測である。

任意の有限測度の$\overline\rho$可測集合$H$を取る。完備化の内正則性§E9.33 命題 1.1により、コンパクト集合$K_n\subseteq H$を$\overline\rho(H\setminus K_n)<2^{-n}$となるように取る。$K_n$の二つのコンパクトな射影を、コンパクトな閉包をもつ開集合$V_n,W_n$に含める。$R_n=V_n\times W_n$は有限測度の開長方形であり、$H\setminus\bigcup_nR_n$は$\overline\rho$可測な零集合である。したがって$A\cap H$は、可測集合$A\cap H\cap R_n$の可算和と、その零集合の部分集合の和であり、$\overline\rho$可測である。局所化の定義により$A\in\Sigma_{\rho,\mathrm{loc}}$である。

上の被覆を有限和$S_n=\bigcup_{j\leq n}R_j$に替えると、$S_n$は有限測度の開長方形$T_n=(\bigcup_{j\leq n}V_j)\times(\bigcup_{j\leq n}W_j)$に含まれる。測度の下からの連続性により

$H$の上限を取れば、$\rho_{\mathrm{loc}}(A)$はこの上限以下である。逆向きは各$R$自身が有限測度の$\overline\rho$可測集合であることから従う。

任意の有限測度 Borel 長方形$E\times F$と$\ep>0$を取る。両因子の内正則性からコンパクト集合$K\subseteq E$、$L\subseteq F$を

となるように取ることができる。有限積測度に関して$(E\times F)\setminus(K\times L)$の測度は$\ep$未満である。$K,L$を含む有限測度の開集合$V,W$を取ると、局所積の整合性§E9.29 補題 2.1により

したがって全有限測度 Borel 長方形の上限と、有限測度の開長方形の上限は一致する。$\lambda$の定義から$\rho_{\mathrm{loc}}(A)=\lambda(A)$となる。積シグマ加法族の集合は$\mathcal D$と$\mathcal B(X\times Y)$の両方に属し、局所化は$\rho$の値を変えないから、最後の結論も従う。▨

証明.定理 3.3 (2)により、積シグマ加法族に関する非負可測関数の$\rho$積分と$\lambda$積分は、単関数の積分の定義から一致する。したがって非負の場合には§E9.29 定理 3.1 (1)を適用する。実数値または複素数値の場合には、$|f|$の積分も二つの測度で一致するから、§E9.29 定理 3.1 (2)を適用する。両因子の測度空間は Borel 集合族を定義域としているため、内側の積分の可測性と例外零集合の可測性は Borel 可測性である。▨

証明. Lebesgue 測度の内正則性§E9.16 定理 8.1と$\mu(X)=1$により、$\mu$は Radon 測度である。離散空間のコンパクト集合は有限集合であり、任意の集合の濃度は有限部分集合の濃度の上限であるから、$\nu$も Radon 測度である。

$D$の補集合は、各$y\in Y$に対する開集合$(X\setminus\{y\})\times\{y\}$の和である。したがって$D$は閉集合である。$[0,1]$を長さ$2^{-n}$以下の有限個の Borel 区間$I_{n,k}$に分割すると

であるから、$D$は積シグマ加法族にも属する。

コンパクト集合$C\subseteq D$の$Y$への射影は有限集合である。対角集合では$Y$座標が各点を一意に定めるため、$C$も有限集合である。各一点集合には長方形公式から$\mu(\{x\})\nu(\{x\})=0$が与えられる。ゆえに$\rho(C)=0$であり、コンパクト内正則性から$\rho(D)=0$である。

各$x\in X$に対して$\mathbf1_D(x,\cdot)$の数え上げ積分は1であり、各$y\in Y$に対して$\mathbf1_D(\cdot,y)$の Lebesgue 積分は0である。したがって二つの反復積分はそれぞれ1と0である。$\mathbf1_D$は閉集合の指示関数として上半連続であるが、下半連続ではない。また、有限な$\nu(F_n)$をもつ$F_n$は有限集合であるから、可算個の有限測度長方形の$Y$への射影は高々可算である。$D$の射影は非可算な$Y$全体なので、点ごとの非零集合に対する可算有限長方形の支持条件も成り立たない。▨