一様可積分性と Vitali の収束定理 | 測度と積分

1 一様可積分性

定義 1.1. $(X,\mathcal F,\mu)$ を $\mu(X)<\infty$ である測度空間とし、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とする。可積分関数の族 $\mathcal H\subseteq L^1(\mu;\mathbb K)$ が

\lim_{K\to\infty}\sup_{h\in\mathcal H}\int_{\{|h|>K\}}|h|\,d\mu=0

を満たすとき、 $\mathcal H$ は一様可積分 (uniform integrability) であるという。積分は各同値類の有限値可測な代表元で計算する。代表元を変更しても値は変わらない。空の族に対する上限は $0$ とする。

定義 1.2. 測度空間 $(X,\mathcal F,\mu)$ 上の可積分関数の族 $\mathcal H$ について、任意の $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ が存在し、 $\mu(A)<\delta$ を満たすすべての $A\in\mathcal F$ とすべての $h\in\mathcal H$ について $\int_A|h|\,d\mu<\varepsilon$ が成り立つとき、 $\mathcal H$ の積分は一様絶対連続 (uniform absolute continuity of integrals) であるという。

定理 1.3. $(X,\mathcal F,\mu)$ を有限測度空間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $\mathcal H\subseteq L^1(\mu;\mathbb K)$ とする。次の二条件は同値である。

$\mathcal H$ は一様可積分である。
$\sup_{h\in\mathcal H}\|h\|_1<\infty$ であり、任意の $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ が存在して、 $A\in\mathcal F$ と $\mu(A)<\delta$ を満たすすべての集合 $A$ およびすべての $h\in\mathcal H$ に対して $\int_A|h|\,d\mu<\varepsilon$ が成り立つ。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $K>0$ を、すべての $h\in\mathcal H$ について $\int_{\{|h|>K\}}|h|\,d\mu<1$ となるようにとる。

\|h\|_1\leq K\mu(X)+1

であるから、ノルムは一様有界である。 $\varepsilon>0$ に対し、今度は裾の積分が $\varepsilon/2$ 未満となる $K>0$ をとり、 $\delta=\varepsilon/(2(K+1))$ とおく。 $\mu(A)<\delta$ ならば、すべての $h\in\mathcal H$ について

\int_A|h|\,d\mu\leq K\mu(A)+\int_{\{|h|>K\}}|h|\,d\mu<\varepsilon.

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $M=\sup_{h\in\mathcal H}\|h\|_1<\infty$ とする。 $\varepsilon>0$ に対して一様絶対連続性の $\delta>0$ をとり、 $K>M/\delta$ とする。積分の単調性から

\mu(\{|h|>K\})\leq\frac{\|h\|_1}{K}\leq\frac M K<\delta

である。したがって、すべての $h\in\mathcal H$ について $\int_{\{|h|>K\}}|h|\,d\mu<\varepsilon$ であり、一様可積分性が従う。▨

補題 1.4. $(X,\mathcal F,\mu)$ を有限測度空間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とする。 $g\in L^1(\mu;\R)$ が非負であり、関数族 $\mathcal H\subseteq L^1(\mu;\mathbb K)$ のすべての元が $|h|\leq g$ をほとんど至る所で満たすならば、 $\mathcal H$ は一様可積分である。特に、有限個の可積分関数からなる族は一様可積分である。

証明. 任意の $h\in\mathcal H$ と $K>0$ について

\int_{\{|h|>K\}}|h|\,d\mu\leq\int_{\{g>K\}}g\,d\mu

である。§E9.11 定理 3.1を $g\mathbf1_{\{g>n\}}$ へ適用すると右辺は $K\to\infty$ のとき $0$ に収束する。有限族 $h_1,\dots,h_N$ には $g=\sum_{j=1}^N|h_j|$ を用いることができる。▨

例 1.5. 従属選択公理を仮定し、 $[0,1]$ に Lebesgue 測度を入れる。 $f_n=n\mathbf1_{(0,1/n)}$ とすると、 $\|f_n\|_1=1$ である。任意の $K>0$ に対して整数 $n>K$ をとれば、

\int_{\{|f_n|>K\}}|f_n|\,d\lambda_1=1

であるから、 $(f_n)$ は一様可積分でない。偏差集合は $(0,1/n)$ に含まれるので $f_n\to0$ は測度収束であるが、 $L^1$ 収束ではない。

2 Vitali の収束定理

定理 2.1. $(X,\mathcal F,\mu)$ を有限測度空間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とする。 $f_n:X\to\mathbb K$ （ $n\geq1$ ）を可積分関数とし、 $f:X\to\mathbb K$ を有限値可測関数とする。次の二条件は同値である。

$f_n$ は $f$ に測度収束し、族 $\{f_n\mid n\geq1\}$ は一様可積分である。
$f$ は可積分であり、 $\|f_n-f\|_1\to0$ である。

これらの条件が成り立つとき、 $\int_X f_n\,d\mu\to\int_X f\,d\mu$ である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。§E9.20 定理 4.2により、ある部分列 $f_{n_k}$ が $f$ にほとんど至る所で収束する。定理 1.3によって $M=\sup_n\|f_n\|_1<\infty$ であるから、§E9.11 補題 2.1と零集合上の積分の不変性により

\int_X|f|\,d\mu\leq\liminf_k\int_X|f_{n_k}|\,d\mu\leq M.

よって $f$ は可積分である。同じ部分列へ Fatou の補題を可測集合 $A$ 上で適用すると

\int_A|f|\,d\mu\leq\liminf_k\int_A|f_{n_k}|\,d\mu

を得る。

$\varepsilon>0$ をとる。一様絶対連続性により、 $\mu(A)<\delta$ ならばすべての $n$ について $\int_A|f_n|\,d\mu<\varepsilon/4$ となる $\delta>0$ をとる。前段の不等式により同じ集合上で $\int_A|f|\,d\mu\leq\varepsilon/4$ である。 $a=\varepsilon/(2(1+\mu(X)))$ とし、 $E_n=\{|f_n-f|>a\}$ とおく。測度収束により十分大きい $n$ では $\mu(E_n)<\delta$ であり、

\begin{aligned} \|f_n-f\|_1 &\leq a\mu(X)+\int_{E_n}|f_n|\,d\mu+\int_{E_n}|f|\,d\mu\\ &<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon4+\frac\varepsilon4=\varepsilon. \end{aligned}

したがって $L^1$ 収束が成り立つ。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。任意の $a>0$ に対し、積分の単調性により

\mu(\{|f_n-f|\geq a\})\leq a^{-1}\|f_n-f\|_1\longrightarrow0

である。三角不等式により $(\|f_n\|_1)$ も有界である。 $\varepsilon>0$ に対して $n\geq N$ ならば $\|f_n-f\|_1<\varepsilon/2$ となる $N$ をとる。補題 1.4と定理 1.3を有限族 $\{f,f_1,\dots,f_{N-1}\}$ に適用して、 $\mu(A)<\delta$ のとき各関数の絶対値の $A$ 上の積分が $\varepsilon/2$ 未満となる $\delta>0$ をとる。 $n\geq N$ に対しては

\int_A|f_n|\,d\mu\leq\|f_n-f\|_1+\int_A|f|\,d\mu<\varepsilon

であり、 $n<N$ に対しても同じ上界が成り立つ。積分は一様絶対連続であり、定理 1.3により一様可積分性を得る。

最後に§E9.10 補題 2.5から $|\int_X f_n\,d\mu-\int_X f\,d\mu|\leq\|f_n-f\|_1\to0$ である。▨

3 無限測度空間における支持の制御

例 3.1. 従属選択公理を仮定し、 $\R$ に Lebesgue 測度を入れる。 $f_n=n^{-1}\mathbf1_{[0,n]}$ とする。 $0\leq f_n\leq1$ なので、 $K\geq1$ ならば $\int_{\{|f_n|>K\}}|f_n|\,d\lambda_1=0$ である。また $\|f_n\|_1=1$ であり、任意の可測集合 $A$ 上で $\int_A|f_n|\,d\lambda_1\leq\lambda_1(A)$ である。したがって、裾の条件、ノルムの一様有界性、および積分の一様絶対連続性がすべて成り立つ。任意の $a>0$ に対して $n>1/a$ ならば $\{|f_n|\geq a\}=\varnothing$ であるから、 $f_n\to0$ は測度収束である。しかし、 $\|f_n\|_1=1$ は $0$ に収束しない。

有限測度の可測集合 $E$ を一つ固定すると、

\int_{\R\setminus E}|f_n|\,d\lambda_1 =1-\frac{\lambda_1(E\cap[0,n])}{n} \geq1-\frac{\lambda_1(E)}n\longrightarrow1.

この族の積分を一様に小さい誤差で有限測度集合へ制限することはできない。無限測度空間では、値の大きさに対する裾の条件に加えて、関数がどの集合上に分布するかの制御が必要になる。

4 演習

問題 4.1. 有限測度空間 $(X,\mathcal F,\mu)$ 上で $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $1<q<\infty$ とし、 $\mathbb K$ 値可積分関数の族 $\mathcal H$ が $\sup_{h\in\mathcal H}\|h\|_q\leq C<\infty$ を満たすとする。 $\sup_{h\in\mathcal H}\int_{\{|h|>K\}}|h|\,d\mu\leq C^qK^{1-q}$ を示せ。さらに、 $f_n,f:X\to\mathbb K$ を有限値可測関数とし、 $\sup_n\|f_n\|_q<\infty$ かつ $f_n\to f$ が測度収束ならば、 $f\in L^q$ であり $f_n\to f$ が $L^1$ 収束であることを証明せよ。

解答.

$|h|>K$ 上で $|h|\leq K^{1-q}|h|^q$ であるから、積分すると主張した評価を得る。 $q>1$ により $K^{1-q}\to0$ であるので、族は一様可積分である。後半では§E9.20 定理 4.2により $f_{n_k}\to f$ がほとんど至る所で成り立つ部分列をとる。§E9.11 補題 2.1を $|f_{n_k}|^q$ に適用すると、 $\int|f|^q\,d\mu\leq C^q$ であり、 $f\in L^q$ である。定理 2.1により $\|f_n-f\|_1\to0$ を得る。▨

解答.

$u_n=f(g_n-g)$ とおく。 $|u_n|\leq2C|f|$ であるから、補題 1.4により $(u_n)$ は一様可積分である。任意の $a>0$ と $R>0$ に対して

\{|u_n|>a\}\subseteq\{|f|>R\}\cup\{|g_n-g|>a/R\}

である。右辺第一項の測度は $R^{-1}\|f\|_1$ 以下であり、第二項の測度は $n\to\infty$ で $0$ に収束する。 $R\to\infty$ とすると、 $u_n\to0$ は測度収束である。定理 2.1により $\|u_n\|_1\to0$ である。したがって、

\|f_ng_n-fg\|_1\leq C\|f_n-f\|_1+\|f(g_n-g)\|_1\longrightarrow0.

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§E9.23一様可積分性と Vitali の収束定理

1 一様可積分性

2 Vitali の収束定理

3 無限測度空間における支持の制御

4 演習

参考文献

前提記事