平滑化と滑らかな関数による近似 | 測度と積分

1 平滑化核と平均

補題 1.1. 従属選択公理を仮定し、 $d\geq1$ を整数とする。任意の $r>0$ に対して、次の条件を満たす $\eta_r\in C_c^\infty(\mathbb R^d;\mathbb R)$ が存在する。

\eta_r\geq0,\qquad \operatorname{supp}\eta_r=\overline{B(0,r)},\qquad \eta_r(-x)=\eta_r(x),\qquad \int_{\mathbb R^d}\eta_r\,d\lambda_d=1.

証明. 一変数関数 $\theta:\mathbb R\to\mathbb R$ を

\theta(t)= \begin{cases} e^{-1/t},&t>0,\\ 0,&t\leq0 \end{cases}

と定める。 $t>0$ では、帰納法により、各 $m$ に対してある多項式 $P_m$ が存在して

\theta^{(m)}(t)=P_m(1/t)e^{-1/t}

\text{(1.1.1)}

と書くことができる。実際、式 (1.1.1)の右辺を微分すると、再び $1/t$ の多項式と $e^{-1/t}$ の積になる。また、任意の非負整数 $N$ に対して、指数関数の冪級数から

e^s\geq\frac{s^{N+1}}{(N+1)!}\qquad(s>0)

であるため、

0\leq s^Ne^{-s}\leq\frac{(N+1)!}{s}\longrightarrow0 \qquad(s\to\infty)

\text{(1.1.2)}

である。式 (1.1.1)の多項式の各項へ式 (1.1.2)を適用すると、 $\lim_{t\downarrow0}\theta^{(m)}(t)=0$ を得る。 $t<0$ では $\theta$ とすべての導関数が $0$ である。ここで、 $\theta^{(m-1)}(0)=0$ まで構成済みであるとする。 $t>0$ に対する

\frac{\theta^{(m-1)}(t)-\theta^{(m-1)}(0)}{t} =t^{-1}P_{m-1}(1/t)e^{-1/t}

は式 (1.1.2)により $t\downarrow0$ で $0$ へ収束し、 $t<0$ に対する差商は $0$ である。したがって、 $\theta^{(m)}(0)$ は存在して $0$ に等しい。この議論を $m=1$ から帰納的に繰り返すと、 $\theta$ は $\mathbb R$ 上で $C^\infty$ 級であり、すべての階数の導関数が $0$ で連結する。

固定した $r>0$ に対して

q_r(x)=\theta(r^2-|x|^2)

とおく。 $\theta$ の滑らかさと多項式写像 $x\mapsto r^2-|x|^2$ の滑らかさから $q_r\in C^\infty(\mathbb R^d)$ である。 $q_r$ は $B(0,r)$ 上で正であり、その外で $0$ であるから、

\operatorname{supp}q_r=\overline{B(0,r)}.

さらに、 $0\leq q_r\leq1$ であり、台は $[-r,r]^d$ に含まれるため、

\int_{\mathbb R^d}q_r\,d\lambda_d<\infty.

半開立方体

Q=\left(-\frac{r}{2\sqrt d},\frac{r}{2\sqrt d}\right]^d

では $|x|\leq r/2$ であるから、

q_r(x)\geq\theta(3r^2/4)>0.

§E9.16 定義 1.1による $Q$ の測度は $(r/\sqrt d)^d>0$ である。したがって、

0< \theta(3r^2/4)\lambda_d(Q) \leq\int_{\mathbb R^d}q_r\,d\lambda_d<\infty.

正の定数

c_r=\left(\int_{\mathbb R^d}q_r\,d\lambda_d\right)^{-1}

を定め、 $\eta_r=c_rq_r$ とおく。 $\eta_r$ は非負で滑らかであり、台は $\overline{B(0,r)}$ である。 $q_r$ が $|x|$ だけに依存することから $\eta_r$ は偶関数であり、定数 $c_r$ の定義から積分は $1$ である。▨

補題 1.2. 従属選択公理を仮定し、 $d\geq1$ を整数、 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ とする。 $\varphi\in C_c(\mathbb R^d;\mathbb K)$ とし、 $r>0$ とする。補題 1.1の $\eta_r$ を用いて

(M_r\varphi)(x) =\int_{\mathbb R^d}\varphi(z)\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z)

\text{(1.2.1)}

と定める。このとき $M_r\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^d;\mathbb K)$ である。さらに、

\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_\infty\longrightarrow0 \qquad(r\downarrow0)

\text{(1.2.2)}

であり、任意の $1\leq p<\infty$ に対して

\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_p\longrightarrow0 \qquad(r\downarrow0)

\text{(1.2.3)}

が成り立つ。

証明. $\varphi=0$ ならば、すべての $r>0$ に対して $M_r\varphi=0$ であり、滑らかさ、台、および二つの収束はいずれも直ちに成り立つ。以下では $\varphi\neq0$ とする。

$K=\operatorname{supp}\varphi$ とおく。このとき $K$ は空でないコンパクト集合であるから、 $\varphi$ は有界であり、 $K$ は有限 Lebesgue 測度をもつ。式 (1.2.1)の被積分関数は $z\notin K$ で $0$ となり、 $K$ 上で有界である。したがって、各 $x$ に対して式 (1.2.1)の積分は絶対収束する。

$e_j$ を第 $j$ 座標方向の単位ベクトルとする。固定した $x$ と $j$ に対して、

\frac{(M_r\varphi)(x+he_j)-(M_r\varphi)(x)}{h} = \int_K\varphi(z) \frac{\eta_r(x+he_j-z)-\eta_r(x-z)}{h}\,d\lambda_d(z).

\text{(1.2.4)}

$|h|\leq1$ のとき、差商に現れる点はコンパクト集合

\{x+te_j-z\mid |t|\leq1,\ z\in K\}

に属する。 $\partial_j\eta_r$ はこの集合上で一様連続である。したがって、一変数の平均値の定理を $t\mapsto\eta_r(x+te_j-z)$ へ適用すると、式 (1.2.4)の差商は $\partial_j\eta_r(x-z)$ へ $z\in K$ について一様に収束する。ゆえに

\left| \int_K\varphi(z) \left( \frac{\eta_r(x+he_j-z)-\eta_r(x-z)}{h} -\partial_j\eta_r(x-z) \right)d\lambda_d(z) \right| \leq \lVert\varphi\rVert_\infty\lambda_d(K) \sup_{z\in K}\left| \frac{\eta_r(x+he_j-z)-\eta_r(x-z)}{h} -\partial_j\eta_r(x-z) \right| \longrightarrow0.

したがって、

\partial_j(M_r\varphi)(x) =\int_K\varphi(z)\partial_j\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z).

\text{(1.2.5)}

任意の多重指数 $\alpha$ に対して $\partial^\alpha\eta_r$ は連続である。同じ議論を式 (1.2.5)へ繰り返すと、

\partial^\alpha(M_r\varphi)(x) =\int_K\varphi(z)\partial^\alpha\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z)

\text{(1.2.6)}

を得る。式 (1.2.6)の右辺の連続性も、 $\partial^\alpha\eta_r$ のコンパクト集合上一様連続性と同じ積分評価から従う。よって $M_r\varphi$ は $C^\infty$ 級である。

$x\notin K+\overline{B(0,r)}$ ならば、すべての $z\in K$ に対して $x-z\notin\overline{B(0,r)}$ であり、 $\eta_r(x-z)=0$ である。したがって、

\operatorname{supp}(M_r\varphi) \subseteq K+\overline{B(0,r)}.

\text{(1.2.7)}

右辺はコンパクト集合 $K\times\overline{B(0,r)}$ の連続像であるからコンパクトである。式 (1.2.6)と式 (1.2.7)により $M_r\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^d;\mathbb K)$ である。

Lebesgue 測度の平行移動不変性§E9.16 定理 6.1により、非負可測関数 $h$ に対して

\int_{\mathbb R^d}h(z-x)\,d\lambda_d(z) =\int_{\mathbb R^d}h(z)\,d\lambda_d(z)

\text{(1.2.8)}

が成り立つ。実際、平行移動による像測度は Lebesgue 測度と一致するので、§E9.12 定理 1.3 (1)を適用することができる。 $\eta_r$ は偶関数であるから、式 (1.2.8)により

\int_{\mathbb R^d}\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z) =\int_{\mathbb R^d}\eta_r(z-x)\,d\lambda_d(z) =1.

\text{(1.2.9)}

式 (1.2.1)と式 (1.2.9)から

|(M_r\varphi)(x)-\varphi(x)| \leq \int_{\mathbb R^d} |\varphi(z)-\varphi(x)|\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z).

\text{(1.2.10)}

台がコンパクトな連続関数は $\mathbb R^d$ 上で一様連続である。実際、台を含む閉球を一つ固定し、その半径を $1$ だけ増やした閉球上では Heine–Cantor の定理を用いることができる。この閉球の外にある点を含む十分近い二点については、両方の関数値が $0$ である。この二つの場合を合わせると全空間での一様連続性を得る。したがって、

\omega_\varphi(r) =\sup\{|\varphi(z)-\varphi(x)|\mid x,z\in\mathbb R^d,\ |x-z|\leq r\} \longrightarrow0 \qquad(r\downarrow0).

$\eta_r(x-z)\neq0$ ならば $|x-z|<r$ であるため、式 (1.2.10)と式 (1.2.9)から

\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_\infty \leq\omega_\varphi(r)\longrightarrow0

を得る。これが式 (1.2.2)である。

$0<r\leq1$ とする。式 (1.2.7)により、 $\varphi$ と $M_r\varphi$ の台はともに固定したコンパクト集合

L=K+\overline{B(0,1)}

に含まれる。 $\lambda_d(L)<\infty$ であるから、

\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_p^p \leq \lambda_d(L)\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_\infty^p \longrightarrow0.

したがって、式 (1.2.3)が成り立つ。▨

定理 1.3. 従属選択公理を仮定する。 $d\geq1$ 、 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 、および $1\leq p<\infty$ とする。 $C_c^\infty(\mathbb R^d;\mathbb K)$ は $L^p(\mathbb R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\mathbb K)$ で稠密である。

証明. $[f]\in L^p(\mathbb R^d;\mathbb K)$ と $\varepsilon>0$ を任意にとる。§E9.22 定理 3.3により、 $\varphi\in C_c(\mathbb R^d;\mathbb K)$ で

\lVert f-\varphi\rVert_p<\frac{\varepsilon}{2}

を満たすものが存在する。補題 1.2により、十分小さい $r>0$ に対して

\lVert\varphi-M_r\varphi\rVert_p<\frac{\varepsilon}{2}

であり、 $M_r\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^d;\mathbb K)$ である。三角不等式から

\lVert f-M_r\varphi\rVert_p \leq\lVert f-\varphi\rVert_p +\lVert\varphi-M_r\varphi\rVert_p <\varepsilon

を得る。▨

2 平行移動と Fourier 変換

命題 2.1. 従属選択公理を仮定する。 $d\geq1$ を整数、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $1\leq p<\infty$ とする。 $f\in L^p(\R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\mathbb K)$ と $h\in\R^d$ に対して $(\tau_hf)(x)=f(x+h)$ と定めると、 $\tau_h$ は $L^p$ 上の線形等長写像であり、

\lim_{h\to0}\|\tau_hf-f\|_p=0

が成り立つ。

証明. 演習とする（問題 5.1）。▨

定理 2.2. 従属選択公理を仮定する。 $f\in L^1(\R,\mathcal L_1,\lambda_1;\C)$ とする。任意の $t\in\R$ に対して

\widehat f(t)=\int_{\R}f(x)e^{-itx}\,d\lambda_1(x)

は定義され、 $|t|\to\infty$ のとき $\widehat f(t)\to0$ である。

証明. 演習とする（問題 5.2）。▨

3 円周上の連続関数の稠密性

定理 3.1. 従属選択公理を仮定する。 $\mathbb T=\R/(2\pi\Z)$ を円周とし、商写像を $q:\R\to\mathbb T$ とする。円周上の正規化 Lebesgue 確率測度 $m$ は、 $I=[-\pi,\pi)$ 上の測度 $(2\pi)^{-1}\lambda_1|_I$ の $q|_I$ による像測度とする。可測集合族は $\{A\subseteq\mathbb T\mid q^{-1}(A)\cap I\in\mathcal L_1\}$ とする。 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ および $1\leq p<\infty$ に対して、 $C(\mathbb T;\mathbb K)$ は $L^p(\mathbb T,m;\mathbb K)$ で稠密である。

証明. $f\in L^p(\mathbb T,m;\mathbb K)$ の有限値可測な代表元を一つとり、 $F:\R\to\mathbb K$ を $I$ 上で $f\circ q$ 、 $I$ の外で $0$ と定める。§E9.12 定理 1.3 (1)により

\int_{\R}|F|^p\,d\lambda_1=2\pi\int_{\mathbb T}|f|^p\,dm<\infty.

連続関数 $\chi:\R\to[0,1]$ を、 $|x|\leq\pi$ で $1$ 、 $\pi<|x|<2\pi$ で $2-|x|/\pi$ 、 $|x|\geq2\pi$ で $0$ と定める。 $\varepsilon>0$ に対して、§E9.22 定理 3.3により

\|F-g\|_{L^p(\R)}<\varepsilon(2\pi)^{1/p}3^{1/p-1}

を満たす $g\in C_c(\R;\mathbb K)$ をとり、 $u=\chi g$ とおく。 $\chi F=F$ であるから $\|u-F\|_p\leq\|g-F\|_p$ であり、 $u$ の台は $[-2\pi,2\pi]$ に含まれる。

G(q(x))=\sum_{k\in\Z}u(x+2\pi k)

と定める。この和は局所有限であり、添字をずらすと $2\pi$ 周期性が従う。したがって、 $G$ は円周上の連続関数である。一方、各 $x\in I$ に対して $\sum_{k\in\Z}F(x+2\pi k)=f(q(x))$ である。 $u-F$ の台が $[-2\pi,2\pi]$ に含まれるので、固定した $x\in I$ に対する差の和には高々三つの非零項しかない。三項の Hölder の不等式（ $p=1$ では三角不等式）と、区間 $I+2\pi k$ が $\R$ を分割することから、

\begin{aligned} \|G-f\|_{L^p(m)}^p &\leq\frac{3^{p-1}}{2\pi}\int_I\sum_{k\in\Z}|u(x+2\pi k)-F(x+2\pi k)|^p\,d\lambda_1(x)\\ &=\frac{3^{p-1}}{2\pi}\|u-F\|_{L^p(\R)}^p<\varepsilon^p. \end{aligned}

積分の等式には§E9.11 系 1.2と式 (1.2.8)を用いた。よって主張が成り立つ。▨

4 無限大の指数における反例

例 4.1. 従属選択公理を仮定し、 $d\geq1$ を整数とする。 $\mathbb R^d$ 上の実数値定数関数 $1$ は $L^\infty(\mathbb R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\mathbb R)$ に属する。一方、任意の $g\in C_c(\mathbb R^d;\mathbb R)$ はコンパクトな台の外で $0$ であるため、 $\lVert1-g\rVert_\infty\geq1$ である。よって、 $C_c(\mathbb R^d;\mathbb R)$ は $L^\infty(\mathbb R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\mathbb R)$ で稠密でない。この例により、有限な $p$ の証明で用いた有限測度の台による評価を $p=\infty$ へ移すことはできない。

5 演習

問題 5.1. 従属選択公理を仮定し、 $d\geq1$ を整数、 $1\leq p<\infty$ とする。 $[f]\in L^p(\R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\mathbb K)$ と $h\in\R^d$ に対して $(\tau_hf)(x)=f(x+h)$ とおく。 $[\tau_hf]\in L^p$ かつ $\lVert\tau_hf\rVert_p=\lVert f\rVert_p$ であること、および $h\to0$ のとき $\lVert\tau_hf-f\rVert_p\to0$ であることを示し、命題 2.1の証明を完成させよ。また、 $d=1$ 、 $p=\infty$ 、 $f=\mathbf 1_{(0,\infty)}$ について、すべての $h\neq0$ で $\lVert\tau_hf-f\rVert_\infty=1$ であることを示せ。

解答.

$T(x)=x+h$ とおく。§E9.16 定理 6.1により、任意の $E\in\mathcal L_d$ について $T^{-1}(E)=E-h\in\mathcal L_d$ であるから、 $T$ は $(\mathcal L_d,\mathcal L_d)$ 可測であり、§E9.7 命題 1.2により $\tau_hf=f\circ T$ は可測である。 $f\sim g$ の例外集合を $Z$ とすると、 $\tau_hf$ と $\tau_hg$ は零集合 $Z-h$ の外で一致するので、 $[\tau_hf]$ は代表元に依存しない。式 (1.2.8)を非負可測関数 $|f|^p$ と $x=-h$ に適用すると

\int_{\R^d}|f(z+h)|^p\,d\lambda_d(z)=\int_{\R^d}|f(z)|^p\,d\lambda_d(z)

であるから、 $[\tau_hf]\in L^p$ かつ $\lVert\tau_hf\rVert_p=\lVert f\rVert_p$ である。

$\varepsilon>0$ をとる。§E9.22 定理 3.3により、 $\varphi\in C_c(\R^d;\mathbb K)$ で $\lVert f-\varphi\rVert_p<\varepsilon$ を満たすものが存在する。 $\operatorname{supp}\varphi\subseteq\overline{B(0,R)}$ を満たす $R$ をとり、 $L=\overline{B(0,R+1)}$ とおく。 $\varphi$ は $\R^d$ 上で一様連続であるので（ $L$ 上では§E2.9 定理 5.1により一様連続であり、距離 $1$ 未満の二点の一方が $L$ の外にあれば両方の値が $0$ である）、 $\omega(r)=\sup\{\,|\varphi(x)-\varphi(y)|\mid|x-y|\leq r\,\}$ は $r\downarrow0$ のとき $0$ に収束する。 $|h|<1$ ならば $\tau_h\varphi-\varphi$ は $L$ の外で $0$ であり、絶対値は $\omega(|h|)$ 以下であるから

\lVert\tau_h\varphi-\varphi\rVert_p\leq\omega(|h|)\lambda_d(L)^{1/p}

である。 $\tau_h$ は線形であり、前段により $\lVert\tau_h(f-\varphi)\rVert_p=\lVert f-\varphi\rVert_p$ であるから、§E9.21 定理 6.1により

\lVert\tau_hf-f\rVert_p \leq\lVert\tau_h(f-\varphi)\rVert_p+\lVert\tau_h\varphi-\varphi\rVert_p+\lVert\varphi-f\rVert_p <2\varepsilon+\omega(|h|)\lambda_d(L)^{1/p}

である。 $\lambda_d(L)<\infty$ であるから、 $|h|$ が十分小さいとき右辺は $3\varepsilon$ 未満である。 $\varepsilon$ は任意であるから、 $\lVert\tau_hf-f\rVert_p\to0$ である。

$d=1$ 、 $f=\mathbf 1_{(0,\infty)}$ とする。 $h>0$ ならば $\tau_hf-f=\mathbf 1_{(-h,0]}$ であり、 $h<0$ ならば $\tau_hf-f=-\mathbf 1_{(0,-h]}$ である。いずれも絶対値は正の測度 $|h|$ の集合上で $1$ 、その外で $0$ であるから、 $\lVert\tau_hf-f\rVert_\infty=1$ である。▨

問題 5.2. 従属選択公理を仮定する。 $[f]\in L^1(\R,\mathcal L_1,\lambda_1;\C)$ と $t\in\R$ に対して

\widehat f(t)=\int_{\R}f(x)e^{-itx}\,d\lambda_1(x)

とおく。この積分が定義されることを示し、定理 2.2の証明を完成させよ。

解答.

$x\mapsto e^{-itx}$ は連続であるから可測であり、 $f(x)e^{-itx}$ は可測で $|f(x)e^{-itx}|=|f(x)|$ である。したがってこの関数は可積分であり、 $\widehat f(t)$ は定義される。また、§E9.10 補題 2.5により $|\widehat f(t)|\leq\lVert f\rVert_1$ であり、 $\widehat f$ は $f$ について線形であるから、 $[f],[g]\in L^1$ について $|\widehat f(t)-\widehat g(t)|\leq\lVert f-g\rVert_1$ である。

$\varphi\in C_c^\infty(\R;\C)$ とし、 $\operatorname{supp}\varphi\subseteq[-R+1,R-1]$ を満たす $R>1$ をとる。 $\varphi$ と $\varphi'$ の実部と虚部は $[-R,R]$ 上で連続であるから、§D1.17 定理 2.5と§E9.17 系 5.2により、 $\varphi(x)e^{-itx}$ と $\varphi'(x)e^{-itx}$ の $\lambda_1$ に関する積分は $[-R,R]$ 上の Riemann 積分に等しい。 $t\neq0$ とすると、積の微分法により

\frac{d}{dx}\Bigl(\varphi(x)\frac{e^{-itx}}{-it}\Bigr)=\varphi'(x)\frac{e^{-itx}}{-it}+\varphi(x)e^{-itx}

であり、実部と虚部に§D1.19 定理 2.1を適用して $\varphi(\pm R)=0$ を用いると

\int_{-R}^{R}\varphi(x)e^{-itx}\,dx=\frac{1}{it}\int_{-R}^{R}\varphi'(x)e^{-itx}\,dx

を得る。したがって $|\widehat\varphi(t)|\leq\frac{1}{|t|}\int_{-R}^{R}|\varphi'(x)|\,dx\leq\frac{2R\sup|\varphi'|}{|t|}$ であり、 $|t|\to\infty$ のとき $\widehat\varphi(t)\to0$ である。

一般の $[f]\in L^1$ について、 $\varepsilon>0$ をとる。定理 1.3により $\lVert f-\varphi\rVert_1<\varepsilon$ を満たす $\varphi\in C_c^\infty(\R;\C)$ が存在する。前二段により

|\widehat f(t)|\leq|\widehat f(t)-\widehat\varphi(t)|+|\widehat\varphi(t)|<\varepsilon+|\widehat\varphi(t)|

であるから、 $\limsup_{|t|\to\infty}|\widehat f(t)|\leq\varepsilon$ である。 $\varepsilon$ は任意であるから $\widehat f(t)\to0$ である。▨

§E9.44平滑化と滑らかな関数による近似

1 平滑化核と平均

2 平行移動と Fourier 変換

3 円周上の連続関数の稠密性

4 無限大の指数における反例

5 演習

参考文献

前提記事