複体とホモロジー | 圏論 I

1 鎖複体とホモロジー

定義 1.1. 加法圏 $\mathcal A$ の対象 $C_n$ （ $n\in\Z$ ）と射 $d_n:C_n\to C_{n-1}$ の族で $d_{n-1}d_n=0$ を満たすものを鎖複体 (chain complex) といい、 $d_n$ を微分 (differential) という。加法圏 $\mathcal A$ の対象 $A^n$ （ $n\in\Z$ ）と射 $\delta^n:A^n\to A^{n+1}$ の族で $\delta^{n+1}\delta^n=0$ を満たすものを余鎖複体 (cochain complex) といい、 $\delta^n$ を微分という。

命題 1.2. アーベル圏の鎖複体 $C$ について、像 $B_n=\operatorname{im}d_{n+1}$ の包含は核 $Z_n=\ker d_n$ を一意に通る。核、像、その間の包含の余核を全次数にわたって取ることができる。二つの取り方は、それぞれの構造射と両立する唯一の同型によって対応する。核と余核の選択が与えられていれば、すべての次数の核、像、余核とその構造射はこの選択から定まる。余鎖複体についても、 $\operatorname{im}\delta^{n-1}$ の包含の $\ker\delta^n$ への分解とその余核について同じ結論が成り立つ。

証明. $d_nd_{n+1}=0$ と像の最小性§E9.19 系 3.4 (4)により、像の包含は $\ker d_n$ を通る。この因子もモノ射である。包含の余核が存在するので、各次数の核、像、余核とその構造射が存在する。 $\Z$ は $V$ -小なので§E1.21 命題 4.1により全次数の族を取ることができる。核、像、余核の普遍性の一意性から比較同型を順に得る。余鎖複体では微分の添字を逆向きに取り、同じ普遍性を適用する。▨

定義 1.3. アーベル圏の鎖複体 $C$ に対し、 $Z_n(C)=\ker d_n$ をサイクル対象 (cycle object)、 $B_n(C)=\operatorname{im}d_{n+1}$ を境界対象 (boundary object) といい、

H_n(C)=Z_n(C)/B_n(C)

を第 $n$ ホモロジー対象 (homology object) という。余鎖複体では $Z^n(A)=\ker\delta^n$ 、 $B^n(A)=\operatorname{im}\delta^{n-1}$ とし、 $H^n(A)=Z^n(A)/B^n(A)$ を第 $n$ コホモロジー対象 (cohomology object) という。

命題 1.4. 加法圏 $\mathcal A$ の射 $u:M\to N$ に対し、次数1に $M$ 、次数0に $N$ 、微分 $d_1=u$ を置き、他の次数を零とした複体を $C(u)$ と書く。さらに $\mathcal A$ がアーベル圏のとき、

H_1(C(u))\cong\ker u,\qquad H_0(C(u))\cong\operatorname{coker}u

であり、他のホモロジーは零である。

証明. 次数1ではサイクルは $\ker u$ 、境界は零である。次数0ではサイクルは $N$ 、境界は $\operatorname{im}u$ である。像の分解と§E9.19 補題 3.2により $N/\operatorname{im}u\cong\operatorname{coker}u$ となる。▨

2 複体の圏

定義 2.1. 鎖複体 $C,D$ の間の射の族 $f_n:C_n\to D_n$ で $d_n^Df_n=f_{n-1}d_n^C$ を満たすものを鎖写像 (chain map) という。鎖複体と鎖写像の圏を $\mathbf{Ch}(\mathcal A)$ と書き、恒等射と合成を次数ごとに定める。余鎖複体では $\delta_B^nf^n=f^{n+1}\delta_A^n$ を満たす族を余鎖写像 (cochain map) という。余鎖複体と余鎖写像の圏の恒等射と合成も次数ごとに定める。

命題 2.2. $\mathcal P$ を、整数を対象とし $n\geq m$ のとき唯一の射 $n\to m$ をもつ圏とする。このとき、鎖複体を

C(n\to n)=\id,\qquad C(n\to n-1)=d_n,\qquad C(n\to m)=0\quad(n-m\geq2)

に送る対応は、 $\mathbf{Ch}(\mathcal A)$ と、 $n-m\geq2$ の射 $n\to m$ を零に送る関手のなす $[\mathcal P,\mathcal A]$ の充満部分圏との圏同型を与える。

証明. 二つの長さ一の射の合成は $d_{n-1}d_n=0$ となる。他の非恒等射の合成で長さが二以上の場合も零射との合成となるので、対応は関手である。自然性の非自明な条件は長さ一の射についてだけであり、鎖写像の条件に一致する。逆対応は $F$ に $C_n=F(n)$ 、 $d_n=F(n\to n-1)$ を割り当てる。両対応は対象と射で互いに逆である。 $\mathcal P$ は $V$ -小なので関手圏を構成することができる。▨

定理 2.3.

$\mathcal A$ が加法圏ならば $\mathbf{Ch}(\mathcal A)$ は加法圏であり、有限双積は次数ごとの双積である。
$\mathcal A$ がアーベル圏ならば鎖複体の圏もアーベル圏であり、核、余核、像は次数ごとに計算される。モノ性、エピ性、完全性は各次数で判定される。とくに、鎖複体の列が短完全であることは、各次数の列が短完全であることと同値である。 $\mathcal A$ に核と余核の選択が与えられていれば、 $\mathbf{Ch}(\mathcal A)$ の核と余核の選択を次数ごとに定めることができる。

証明.主張 (1)を示す。§E9.18 命題 5.1により $[\mathcal P,\mathcal A]$ は加法圏である。 $n-m\geq2$ の射 $n\to m$ を零に送る性質は、零関手と各点の有限双積で保たれるので、その充満部分圏も加法圏である。

主張 (2)を示す。値の圏がアーベル圏ならば§E9.19 命題 7.3により関手圏のアーベル性と各点計算を得る。関手の核 $k:K\to C$ について、 $n-m\geq2$ ならば $k_mK(n\to m)=C(n\to m)k_n=0$ である。 $k_m$ はモノ射なので $K(n\to m)=0$ となる。余核も双対にこの性質を満たす。§E9.19 命題 7.1を適用し、命題 2.2の同型で複体の圏に移すと結論を得る。▨

3 誘導射

命題 3.1. アーベル圏の鎖複体について次が成り立つ。

鎖写像 $f:C\to D$ は、与えたサイクル、境界、ホモロジーの間に、包含と商への射と可換な誘導射を一意に定める。誘導射は恒等射、合成、和を保つ。
$\mathcal A$ に核と余核の選択が与えられているとき、 $H_n$ は加法関手 $\mathbf{Ch}(\mathcal A)\to\mathcal A$ を定める。二つの選択から定まる二つの関手 $H_n$ の間には、構造射と両立する比較同型を成分とする自然同型がある。

証明.主張 (1)を示す。鎖写像の四角形に§E9.20 補題 1.2を適用するとサイクルへの射を得る。像を核と余核によって構成すれば、境界への射も同じ普遍性から定まる。これらの射は境界のサイクルへの包含と可換なので、その余核に射 $H_n(f)$ を誘導する。恒等射と合成は各普遍性の一意性から保たれる。 $f+g$ の誘導射と、 $f,g$ の誘導射の和は同じ構造射との合成を与えるので一致する。

主張 (2)を示す。選択があればこの構成を全複体に指定することができ、比較同型の自然性も一意性による。加群では部分加群と商加群がこの選択を具体的に与える。▨

命題 3.2. アーベル圏の鎖複体 $C$ に対し、 $Q_n(C)=\operatorname{coker}d_{n+1}$ と置くと、微分は射 $\bar d_n:Q_n(C)\to Z_{n-1}(C)$ を誘導する。その核は $H_n(C)$ 、余核は $H_{n-1}(C)$ と標準的に同型であり、この同型は鎖写像の誘導する射と可換である。

証明. $d_{n-1}d_n=0$ により $d_n$ は $Z_{n-1}$ を通り、 $d_nd_{n+1}=0$ によりその因子は $q:C_n\to Q_n$ を通る。サイクルの包含がモノ射なので、 $q^{-1}(\ker\bar d_n)=Z_n$ である。 $q$ のエピ性と§E9.19 定理 6.5から $\ker\bar d_n=q(Z_n)$ となり、§E9.19 命題 6.6 (1)により $q(Z_n)\cong Z_n/B_n=H_n$ である。一方、§E9.19 補題 3.2により $\operatorname{im}\bar d_n=\operatorname{im}(\bar d_nq)=B_{n-1}$ なので余核は $H_{n-1}$ である。すべての比較射は構造射との合成で特徴づけられ、鎖写像の誘導する射との可換性はその一意性から従う。▨

例 3.3. アーベル圏の零でない射 $u:M\to N$ に対して、次数0だけに $N$ を置く複体を $A$ 、次数1だけに $M$ を置く複体を $E$ とする。このとき、 $i_0=\id_N$ 、 $p_1=\id_M$ 、他の成分を零とすると

0\to A\xrightarrow iC(u)\xrightarrow pE\to0

は複体の短完全列である。しかし $H_0(i):N\to\operatorname{coker}u$ はモノ射でなく、 $H_1(p):\ker u\to M$ はエピ射でない。証明は演習とする（問題 8.2）。

4 鎖ホモトピー

定義 4.1. 加法圏の鎖写像 $f,g:C\to D$ に対し、射 $h_n:C_n\to D_{n+1}$ の族で

f_n-g_n=d_{n+1}^Dh_n+h_{n-1}d_n^C

を満たすものを鎖ホモトピー (chain homotopy) という。存在するとき、 $f$ と $g$ は鎖ホモトピック (chain homotopic) であるといい、 $f\simeq g$ と書く。余鎖写像 $f,g:A\to B$ に対し、射 $h^n:A^n\to B^{n-1}$ の族で

f^n-g^n=\delta_B^{n-1}h^n+h^{n+1}\delta_A^n

を満たすものを余鎖ホモトピー (cochain homotopy) という。存在するとき、 $f$ と $g$ は余鎖ホモトピック (cochain homotopic) であるといい、 $f\simeq g$ と書く。

命題 4.2. 加法圏の二つの鎖複体の間で、鎖ホモトピックであるという関係は鎖写像の集合上の同値関係である。 $f\simeq g$ は $f-g\simeq0$ の必要十分条件である。前後に鎖写像を合成しても関係は保たれる。零にホモトピックな射は射の群の部分群をなす。

証明. 演習とする（問題 8.1）。▨

命題 4.3. アーベル圏の鎖写像 $f,g:C\to D$ が鎖ホモトピックならば、すべての $n$ で $H_n(f)=H_n(g)$ である。

証明. サイクルの包含 $z:Z_n(C)\to C_n$ とホモトピーの等式を合成すると、 $d_n^Cz=0$ により $(f_n-g_n)z=d_{n+1}^Dh_nz$ となる。右辺は境界を通るので、ホモロジーへの商との合成は零である。商の普遍性と命題 3.1の加法性から $H_n(f)-H_n(g)=0$ を得る。▨

定義 4.4. 鎖写像 $f:C\to D$ に対し、 $gf\simeq\id_C$ 、 $fg\simeq\id_D$ を満たす鎖写像 $g$ が存在するとき、 $f$ を鎖ホモトピー同値 (chain homotopy equivalence)、 $g$ をホモトピー逆 (homotopy inverse) という。余鎖写像 $f$ についても同じ条件を満たすとき、 $f$ を余鎖ホモトピー同値 (cochain homotopy equivalence)、 $g$ をホモトピー逆という。恒等射が零にホモトピックな複体を可縮 (contractible) という。

系 4.5. アーベル圏の鎖ホモトピー同値 $f$ は全ホモロジーに同型を誘導し、ホモトピー逆 $g$ の誘導射がその逆射である。

証明. 関手性と命題 4.3により $H_n(g)H_n(f)=H_n(gf)=\id$ 、 $H_n(f)H_n(g)=\id$ である。▨

命題 4.6. 加法圏の間の加法関手 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ は、次数ごとの適用によって加法関手 $\mathbf{Ch}(\mathcal A)\to\mathbf{Ch}(\mathcal B)$ を与える。鎖ホモトピー $h$ は $F(h)$ に移り、鎖ホモトピー同値は鎖ホモトピー同値に移る。

証明. $F(d_{n-1})F(d_n)=F(0)=0$ なので複体に移る。鎖写像の可換性、恒等射、合成は関手性で保たれ、和は加法性で保たれる。ホモトピーの等式に $F$ を適用すると

F(f_n)-F(g_n)=F(d_{n+1})F(h_n)+F(h_{n-1})F(d_n)

となる。ホモトピー逆の二つの関係にも同じ議論を適用する。▨

例 4.7. 加法圏の対象 $M$ に対して $C(\id_M)$ は可縮である。次数0のホモトピーを $h_0=\id_M$ 、他を零とすると、次数0と1で $dh+hd=\id$ であり、他の次数では両辺が零である。したがって零複体と鎖ホモトピー同値であり、アーベル圏の場合には全ホモロジーが零となる。

例 4.8. すべての次数で $P_n=\Z/4\Z$ 、 $d_n=2$ とする複体は全ホモロジーが零であるが可縮でない。したがってホモロジーに同じ射を誘導する鎖写像が鎖ホモトピックとは限らない。証明は演習とする（問題 8.3）。

例 4.9. $C(2:\Z\to\Z)$ から次数0だけの $\Z/2\Z$ への商写像は全ホモロジーに同型を誘導するが、鎖ホモトピー同値でない。ホモロジーの計算は命題 1.4による。逆向きの鎖写像の次数0の成分 $\Z/2\Z\to\Z$ は零なので、その $H_0$ への誘導射も零である。系 4.5によりホモトピー逆にはならない。

5 長完全列

定理 5.1. アーベル圏の鎖複体の短完全列 $0\to A\xrightarrow iB\xrightarrow pC\to0$ に対して、射 $\partial_n:H_n(C)\to H_{n-1}(A)$ が定まり、

\cdots\to H_n(A)\xrightarrow{H_n(i)}H_n(B)\xrightarrow{H_n(p)}H_n(C) \xrightarrow{\partial_n}H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to\cdots

は完全である。 $\partial_n$ は、 $\bar d_n^A,\bar d_n^B,\bar d_n^C$ を縦射とする可換図式の連結射を命題 3.2の同型で移した射であり、ホモロジーの連結射 (connecting morphism) という。

証明. 次数 $n+1$ から $n$ への微分を縦射とする二つの短完全列に§E9.20 補題 1.3を適用すると、 $Q_n(A)\to Q_n(B)\to Q_n(C)\to0$ は完全である。同じ補題を次数 $n-1$ から $n-2$ に適用すると、 $0\to Z_{n-1}(A)\to Z_{n-1}(B)\to Z_{n-1}(C)$ は完全である。したがって

\begin{array}{ccccccccc} &&Q_n(A)&\longrightarrow&Q_n(B)&\longrightarrow&Q_n(C)&\longrightarrow&0\\ &&\downarrow\bar d_n^A&&\downarrow\bar d_n^B&&\downarrow\bar d_n^C\\ 0&\longrightarrow&Z_{n-1}(A)&\longrightarrow&Z_{n-1}(B)&\longrightarrow&Z_{n-1}(C) \end{array}

は蛇の補題の仮定を満たす。§E9.20 定理 2.5と命題 3.2により、 $H_n(A)$ から $H_{n-1}(C)$ までの六項完全列を得る。誘導射の一意性により横射は $H_n(i),H_n(p)$ および次数 $n-1$ の対応する射である。各 $n$ の六項列はこの横射を共有するので、一つの長完全列となる。▨

命題 5.2. アーベル圏の鎖複体の短完全列 $0\to A\to B\to C\to0$ から $0\to A'\to B'\to C'\to0$ への射 $(\alpha,\beta,\gamma)$ は、ホモロジー長完全列の射を誘導する。後者の連結射を $\partial'_n$ と書くと、

H_{n-1}(\alpha)\partial_n=\partial'_nH_n(\gamma)

である。

証明. $Q_n$ と $Z_{n-1}$ への誘導射は、長完全列の構成に用いた二つの蛇の図式の間の射を与える。§E9.20 命題 3.1により連結射と可換であり、命題 3.2の比較同型も鎖写像と可換である。したがって表示した等式を得る。他の四角形はホモロジーの関手性による。▨

系 5.3. 鎖複体の短完全列 $0\to A\to B\to C\to0$ において $H_n(B)=H_{n-1}(B)=0$ ならば、 $\partial_n$ は同型である。

証明. 長完全列から $0\to H_n(C)\xrightarrow{\partial_n}H_{n-1}(A)\to0$ が完全となる。§E9.19 命題 4.3 (2)を適用する。▨

例 5.4. アーベル圏の任意の射 $u:M\to N$ に対し、次数0だけの $N$ を $A$ 、次数1だけの $M$ を $E$ とする。このとき、 $i_0=\id_N$ 、 $p_1=\id_M$ による列 $0\to A\to C(u)\to E\to0$ は各次数で双積の列なので短完全であり、各次数で分裂する。そのホモロジーの連結射は

\partial_1:H_1(E)=M\longrightarrow H_0(A)=N,\qquad \partial_1=u

である。実際、構成に用いる蛇の図式は上段 $0\to M\xrightarrow{\id}M\to0$ 、下段 $0\to N\xrightarrow{\id}N\to0$ 、中央の縦射 $u$ であり、§E9.20 補題 2.3の合成は $u$ になる。この図式は§E9.20 補題 2.3の場合にすでに当たるので、§E9.20 補題 2.2の比較は零射の核と余核の恒等同型であり、連結射は同じ合成になる。長完全列の零とは限らない部分は

0\to\ker u\to M\xrightarrow uN\to\operatorname{coker}u\to0

である。各次数の分裂は連結射の消滅を意味しない。

6 余鎖複体

命題 6.1. 加法圏の余鎖複体 $A$ に $C_n=A^{-n}$ 、 $d_n=\delta^{-n}$ を対応させると、余鎖複体の圏と鎖複体の圏の同型を得る。アーベル圏では $H^n(A)\cong H_{-n}(C)$ である。同じ核、像、余核を用いれば等号となる。

証明. $\delta^{-n+1}\delta^{-n}=0$ は $d_{n-1}d_n=0$ であり、射の条件も添字 $n\mapsto-n$ で一致する。同じ反転が逆対応を与える。核と像の次数もこの置換で一致するので、商も一致する。微分に符号は付かない。▨

命題 6.2. アーベル圏 $\mathcal B$ の鎖複体 $C$ に対し、 $C_n$ を次数 $n$ に置き、 $d_{n+1}^{\mathrm{op}}:C_n\to C_{n+1}$ を微分とする列は、 $\mathcal B^{\mathrm{op}}$ の余鎖複体 $C^{\mathrm{op}}$ となる。 $H^n(C^{\mathrm{op}})$ は $H_n(C)$ と標準的に同型である。鎖写像 $C\to D$ は $D^{\mathrm{op}}\to C^{\mathrm{op}}$ を誘導し、この向きで同型は自然である。

証明. 微分の二回の合成は反対圏でも零である。反対圏の核と余核を元の圏で読むと、 $H^n(C^{\mathrm{op}})$ は $Q_n(C)\to C_n/Z_n(C)$ の核になる。像の分解により $C_n/Z_n(C)\to C_{n-1}$ はモノ射なので、この核は命題 3.2の $\bar d_n$ の核に一致する。したがって $H_n(C)$ と同型である。自然性は同命題の誘導射との可換性から従う。▨

命題 6.3. アーベル圏の余鎖複体について、余鎖ホモトピックである関係は合成と両立する同値関係である。余鎖ホモトピックな射はコホモロジーに同じ射を誘導し、余鎖ホモトピー同値はコホモロジーの同型を誘導する。加法関手は余鎖ホモトピーを保つ。

証明.命題 6.1において $h_n=h^{-n}$ と置くと、余鎖ホモトピーの等式は鎖ホモトピーの等式になる。命題 4.2、命題 4.3、系 4.5、命題 4.6を移せばよい。▨

定理 6.4. アーベル圏の余鎖複体の短完全列 $0\to A\to B\to C\to0$ に対して、連結射 $\partial^n:H^n(C)\to H^{n+1}(A)$ が定まり、

\cdots\to H^n(A)\to H^n(B)\to H^n(C)\xrightarrow{\partial^n}H^{n+1}(A)\to\cdots

は完全である。短完全列の射 $(\alpha,\beta,\gamma)$ は長完全列の射を誘導し、 $H^{n+1}(\alpha)\partial^n=\partial'^nH^n(\gamma)$ である。

証明.命題 6.1により鎖複体の短完全列へ移す。定理 5.1の $\partial_{-n}$ は $H_{-n}(C)\to H_{-n-1}(A)$ であり、余鎖の記号では表示した $\partial^n$ である。完全性と自然性は命題 5.2とともにこの同型で移される。▨

7 加群

命題 7.1. $\mathcal A=R\text{-}\mathbf{Mod}$ のとき、複体、写像、サイクル、境界、ホモロジー、ホモトピーとその余鎖版は加群の定義に一致する。部分加群と商加群を用いるホモロジー関手と、その長完全列の連結射も加群の場合のものに一致する。具体的には $c\in Z_n(C)$ に対して $p_n(b)=c$ 、 $i_{n-1}(a)=d_n^B(b)$ ならば

\partial_n[c]=[a]

である。余鎖複体でも同じ形の式が成り立つ。

証明. 核、像、余核が部分加群と商加群であることは§E9.19 命題 2.3による。写像とホモトピーの条件は同じ射の等式であり、誘導射は同じ普遍性で定まる。長完全列の蛇の図式で $c$ の類を $b+B_n(B)$ に持ち上げると、下段の関係は $d_n^B(b)=i_{n-1}(a)$ である。§E9.20 命題 3.2により連結射は $[a]$ を与え、§E6.34 定理 2.2の式と一致する。余鎖版は両者とも同じ次数反転によるので§E6.34 定理 4.3と一致する。したがって整数の三項複体、整数の鎖写像、整数倍のホモトピーの計算（§E6.33 例 1.5、§E6.33 例 2.6、§E6.34 命題 1.9）も同じ計算として適用される。▨

例 7.2. $A=B=C(3:\Z\to\Z)$ とし、 $C$ は次数1と0に $\Z/3\Z$ を置いて微分を零とする。このとき、 $i:A\to B$ を両次数で三倍写像、 $p:B\to C$ を商写像とすると短完全列となり、長完全列の非零部分は

0\to\Z/3\Z\xrightarrow{\id}\Z/3\Z\xrightarrow0\Z/3\Z \xrightarrow{\id}\Z/3\Z\to0

である。最初の恒等射は $\partial_1$ である。次数を反転した余鎖複体の連結射 $\partial^{-1}$ も恒等射である。証明は演習とする（問題 8.4）。

8 演習

問題 8.1.命題 4.2を証明せよ。

解答.

反射性は零ホモトピー、対称性は $h\mapsto-h$ 、推移性は二つのホモトピーの和による。 $f-g=dh+hd$ は $f-g$ と零とのホモトピーの式でもある。鎖写像 $u:C'\to C$ 、 $v:D\to D'$ を前後に合成すると、 $v_{n+1}h_nu_n$ が $vfu$ と $vgu$ のホモトピーとなる。これは $v,u$ と微分の可換性を元の等式に代入して得られる。零にホモトピックな射の和と負号もホモトピーの和と負号で与えられるので部分群である。▨

問題 8.2.例 3.3を証明せよ。

解答.

次数0の列は $0\to N\xrightarrow{\id}N\to0\to0$ 、次数1の列は $0\to0\to M\xrightarrow{\id}M\to0$ であり、他は零列である。鎖写像の条件も成り立つので定理 2.3により短完全である。命題 1.4により $H_0(i)$ は商射、 $H_1(p)$ は核の包含である。それぞれの核と余核は $\operatorname{im}u$ と $\operatorname{coim}u\cong\operatorname{im}u$ であり、 $u\ne0$ により零でない。▨

問題 8.3.例 4.8を証明せよ。

解答.

$d_{n-1}d_n=4=0$ なので複体であり、核と像はともに $2\Z/4\Z$ なのでホモロジーは零である。各準同型 $h_n$ はある整数 $t_n$ 倍である。ホモトピーの右辺 $dh+hd$ は $2(t_n+t_{n-1})$ 倍なので、1を1へ送ることはない。したがって恒等射は零にホモトピックでない。恒等射と零射は全ホモロジーに同じ射を誘導するので、ホモトピー不変性の逆も成り立たない。▨

問題 8.4.例 7.2の連結射と残りの誘導射を計算せよ。

解答.

$A,B$ の次数1のホモロジーは零、次数0のホモロジーは $\Z/3\Z$ である。 $C$ は両次数のホモロジーが $\Z/3\Z$ である。 $x+3\Z\in H_1(C)$ を $x\in B_1$ に持ち上げると $d_1^B(x)=3x=i_0(x)$ なので、命題 7.1により $\partial_1(x+3\Z)=x+3\Z$ となる。 $H_0(i)$ は三倍写像の誘導する零射、 $H_0(p)$ は恒等射である。次数反転は微分と持ち上げに符号を付けないので $\partial^{-1}$ も恒等射となる。他の連結射は始域または終域が零である。▨

§E9.21複体とホモロジー

1 鎖複体とホモロジー

2 複体の圏

3 誘導射

4 鎖ホモトピー

5 長完全列

6 余鎖複体

7 加群

8 演習

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