前層の圏の普遍性 | 圏論 I

1 普遍随伴

定理 1.1. $\mathcal C$ を $V$ -小圏、 $\mathcal E$ を余完備な局所 $V$ -小圏、 $F:\mathcal C\to\mathcal E$ を関手とする。関手 $N_F:\mathcal E\to\widehat{\mathcal C}$ を

N_F(e)(c)=\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(F(c),e),\qquad N_F(e)(u)(f)=fF(u),\qquad N_F(g)_c(f)=gf

で定める。このとき、次が成り立つ。

前層 $P$ のテンソル積とその構造射 $\omega_{c,x}:F(c)\to P\otimes_{\mathcal C}F$ に対し、 $(\eta_P)_c(x)=\omega_{c,x}$ で定まる自然変換 $\eta_P:P\Rightarrow N_F(P\otimes_{\mathcal C}F)$ は $P$ から $N_F$ への普遍射である。すなわち $\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(P\otimes_{\mathcal C}F,e) \longrightarrow\operatorname{Nat}(P,N_F(e)),\qquad t\longmapsto N_F(t)\eta_P$ は全単射である。
各 $P$ にテンソル積を指定する規則が与えられると、 $P\mapsto P\otimes_{\mathcal C}F$ は $\eta$ が自然になるように関手 $L=-\otimes_{\mathcal C}F$ に一意に延び、 $L\dashv N_F$ となる。この随伴を普遍随伴 (universal adjunction) という。二つの規則による左随伴は自然同型である。
$P\otimes_{\mathcal C}F$ と族 $(\omega_{c,x})$ は $\operatorname{colim}_{\int P}F\pi_P$ である。上の規則のもとで、 $L$ と $\eta'_c=\omega^{h_c}_{c,\id_c}:F(c)\to L(h_c)$ は $F$ の米田埋め込み $y$ に沿った各点左 Kan 拡張である。任意の各点左 Kan 拡張 $\operatorname{Lan}_yF$ は $L$ と自然同型であり、 $\operatorname{Lan}_yF\dashv N_F$ である。
各 $\eta'_c$ は同型である。随伴の counit $\varepsilon_e:L(N_F(e))\to e$ は、すべての $f:F(c)\to e$ に対して $\varepsilon_e\omega_{c,f}=f$ を満たす唯一の射である。

証明. 前合成の結合律から $N_F(e)$ は反変関手であり、前合成と後合成の交換から $N_F(g)$ は自然変換である。 $\mathcal E$ の局所 $V$ -小性により各値は $\mathbf{Set}$ に属する。

主張 (1)を示す。§E9.16 命題 3.2 (2)の射の対応における族 $\phi_{c,x}:F(c)\to e$ を、写像 $\phi_c:P(c)\to N_F(e)(c)$ と読む。その両立条件

\phi_{c,P(u)(x')}=\phi_{c',x'}F(u)

は $\phi:P\Rightarrow N_F(e)$ の自然性である。したがってテンソル積の普遍性が、表示した全単射を与える。 $t=\id$ に対応する自然変換が $\eta_P$ であり、全単射は後合成と両立する。

主張 (2)を示す。規則が与えられた場合は、§E9.10 命題 3.2の普遍射からの随伴構成により $L$ を得る。その射への作用は

L(\alpha)\omega^P_{c,x}=\omega^Q_{c,\alpha_c(x)} \qquad(\alpha:P\Rightarrow Q)

である。二つの規則の比較同型は構造射を保ち、この式から $P$ について自然である。

主張 (3)を示す。§E9.16 命題 3.4により余極限表示を得る。§E9.15 命題 5.2 (1)の対応 $(y\downarrow P)\cong\int P$ のもとで、 $\alpha:h_c\Rightarrow P$ に対応する元は $\alpha_c(\id_c)$ である。上の射への作用から

L(\alpha)\eta'_c=\omega^P_{c,\alpha_c(\id_c)}

となるので、 $(L,\eta')$ は各点左 Kan 拡張の条件を満たす。したがって $L$ は他の各点左 Kan 拡張 $\operatorname{Lan}_yF$ と§E9.15 命題 3.4により自然同型であり、 $\operatorname{Lan}_yF\dashv N_F$ である。

主張 (4)を示す。§E9.15 命題 5.2 (2)により $\eta'_c$ は同型である。最後に全単射を $P=N_F(e)$ と恒等自然変換に適用すると、counit の式を得る。▨

注意 1.2. $\mathcal E$ に余極限の選択が与えられていれば、余積と余等化子による coend の構成がテンソル積の規則を与える。 $\mathcal C$ が非空ならば前層全体は $V$ -小でない（§E9.9 命題 1.2）。したがって各前層についてのテンソル積の存在から、前層全体にわたる選択は得られない。集合や加群の商、後述するエタール空間の具体的な構成は、この規則を直接与える。

注意 1.3. $L\dashv N_F$ に対する「普遍随伴」という呼び名は、alg-d の講演資料や動画の題名で用いられている。alg-d は『Kan 拡張』で、この呼び名が一部で使われていることと、一般に広く使われる名称はないようだという留保を記している。nLab はこの随伴を nerve and realization の項で扱い、Riehl は『Category Theory in Context』の初版で固有名を付けずに扱っている。この随伴の原型は Kan の1958年の論文『Functors involving c.s.s. complexes』にある。

2 自由余完備化

系 2.1. $\mathcal C$ を $V$ -小圏、 $\mathcal E$ を局所 $V$ -小圏とする。このとき、次が成り立つ。

$\mathcal E$ に余極限の選択が与えられていれば、関手 $F:\mathcal C\to\mathcal E$ に対して $\operatorname{Lan}_yF=-\otimes_{\mathcal C}F$ は $V$ -小な図式の余極限を保ち、 $\operatorname{Lan}_yF\circ y\cong F$ である。
同じ仮定のもとで、関手 $H':\widehat{\mathcal C}\to\mathcal E$ に対し、 $\sigma\mapsto(\sigma y)\eta'$ は自然変換 $\operatorname{Lan}_yF\Rightarrow H'$ と $F\Rightarrow H'y$ を一対一に対応させる。
関手 $H:\widehat{\mathcal C}\to\mathcal E$ が $V$ -小な図式の余極限を保つならば、 $(H,\id_{Hy})$ は $Hy$ の $y$ に沿った各点左 Kan 拡張である。とくに余極限を保つ $H,H'$ に対して、 $\theta\mapsto\theta y$ は自然変換 $H\Rightarrow H'$ と $Hy\Rightarrow H'y$ を一対一に対応させる。余極限の選択がある場合は $H\cong\operatorname{Lan}_y(Hy)$ である。

これらの対応は、構成して与えた関手と自然変換ごとに成り立つ。これらの性質を、前層の圏が $\mathcal C$ の自由余完備化 (free cocompletion) であるという。

証明.主張 (1)を示す。定理 1.1と§E9.11 定理 4.1の左随伴の余極限保存を適用する。

主張 (2)を示す。§E9.15 定理 3.3の各点 Kan 拡張の普遍性を適用する。

主張 (3)を示す。§E9.9 定理 4.1による前層 $P$ の余極限錐 $\Psi(x):h_c\to P$ に $H$ を適用する。 $H$ はこの $V$ -小な余極限を保つので、 $H(P)$ と $H(\Psi(x))$ は図式 $Hy\pi_P:\int P\to\mathcal E$ の余極限である。§E9.15 命題 2.2により $\int P$ を $(y\downarrow P)$ と同一視すると、 $(H,\id_{Hy})$ は各点左 Kan 拡張の条件を満たす。自然変換の対応は§E9.15 定理 3.3による。具体的には、 $\alpha:Hy\Rightarrow H'y$ に対応する $\theta_P$ は

\theta_PH(\Psi(x))=H'(\Psi(x))\alpha_c

によって一意に定まる。最後の同型は§E9.15 命題 3.4による。この段では $H$ 自身が余極限錐の族を与えるので、 $\mathcal E$ の余完備性を必要としない。▨

例 2.2.

$\mathcal C=\mathbf1$ 、 $\mathcal E=\mathbf{FinSet}$ とし、 $F$ の値を一点集合とする。評価による同一視 $\widehat{\mathbf1}\cong\mathbf{Set}$ のもとで $N_F$ は有限集合の包含である。 $\NN$ から $N_F$ への普遍射は存在しない。実際、有限集合 $L$ にその普遍射があれば、 $\operatorname{Map}(L,2)\cong\operatorname{Map}(\NN,2)$ となるが、左辺は有限であり、右辺は各自然数の一元集合の特性関数を含むので無限である。
$\mathcal C=\mathbf1$ 、 $\mathcal E=\mathbf{Set}$ とし、 $H:\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$ を $H(X)=X\times X$ で定める。 $Hy$ と $\id\circ y$ の値はともに一点集合であるが、 $H(2)$ は四点集合なので $H\not\cong\id$ である。 $H$ は余積 $1\sqcup1$ を保たない。

3 群作用とエタール空間

例 3.1. 群 $G$ 、左 $G$ 集合 $A$ 、集合 $e$ に対して、 $\operatorname{Map}(A,e)$ に右作用

(\phi\cdot g)(a)=\phi(ga)

を入れる。このとき、§E9.16 命題 4.6 (1)と定理 1.1により

\operatorname{Map}(X\times_GA,e)\cong \operatorname{Hom}_G(X,\operatorname{Map}(A,e))

が右 $G$ 集合 $X$ と集合 $e$ について自然に成り立つ。対応は $t\mapsto(x\mapsto(a\mapsto t([x,a])))$ であり、逆は $\phi\mapsto([x,a]\mapsto\phi(x)(a))$ である。等式 $\phi(xg)(a)=\phi(x)(ga)$ が平衡性を与える。

$A=\ast$ のときは軌道集合を取る関手は、自明な作用を入れる関手の左随伴である。 $A=G$ のときは $X\times_GG\cong X$ であり、右随伴の $e$ での値は、 $\operatorname{Map}(G,e)$ に上の右作用を入れた右 $G$ 集合である。右からの積への前合成 $\phi(a)\mapsto\phi(ag)$ は一般に右作用にならない。非可換な $g,h$ に対し $gh$ と $hg$ を区別する二値写像を取ると、作用の結合律が破れる。

4 演習

問題 4.1.

例 3.1で $A=\ast$ とし、 $\operatorname{Map}(X/G,e)\cong\operatorname{Hom}_G(X,e)$ を書き下せ。ただし $e$ の作用は自明とする。

解答.

(1)。 $\operatorname{Map}(\ast,e)\cong e$ の作用は自明である。写像 $t:X/G\to e$ に $x\mapsto t(xG)$ を対応させる。逆に同変写像 $f:X\to e$ は各軌道で一定なので $xG\mapsto f(x)$ を定める。両対応は互いに逆であり、前合成と後合成に両立する。▨

問題 4.2.

例 2.2 (1)の $N_F$ が有限集合の包含であることと、左随伴を持たないことを示せ。

解答.

(1)。一点圏の前層は唯一の対象での値によって決まり、自然変換もその値の写像によって決まる。 $N_F(e)=\operatorname{Map}(1,e)\cong e$ だから有限集合の包含と同一視される。左随伴があれば $\NN$ からの普遍射が存在するが、二点集合への射の個数について例 2.2 (1)の矛盾が生じる。▨

§E9.17前層の圏の普遍性

1 普遍随伴

2 自由余完備化

3 群作用とエタール空間

4 演習

参考文献

前提記事