自然変換と関手圏 | 圏論 I

1 自然変換と垂直合成

定義 1.1. 関手 $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$ に対し、 $\mathcal C$ の各対象 $A$ に射 $\eta_A:F(A)\to G(A)$ を対応させる族が、 $\mathcal C$ の任意の射 $f:A\to B$ について

G(f)\circ\eta_A=\eta_B\circ F(f)

を満たすとき、両端の関手 $F,G$ とこの族のグラフの組を $F$ から $G$ への自然変換 (natural transformation) といい、 $\eta:F\Rightarrow G$ と書く。 $\eta_A$ を $A$ における成分 (component) といい、表示した等式を自然性の等式 (naturality equation) という。すべての成分が同型射である自然変換を自然同型 (natural isomorphism) という。

自然変換は、両端の関手と成分族のグラフの組 $(F,G,\{(A,\eta_A)\}_A)$ として表す。同じ両端をもつ自然変換の等式は、すべての成分の等式である。

命題 1.2. 関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ に対し、成分が $\mathrm{id}_{F(A)}$ である族は自然同型 $\mathrm{id}_F:F\Rightarrow F$ である。これを恒等自然変換 (identity natural transformation) という。

証明. 射 $f:A\to B$ に対し、 $F(f)\circ\mathrm{id}_{F(A)}=F(f)=\mathrm{id}_{F(B)}\circ F(f)$ である。各成分は自身を逆射にもつので、自然同型である。▨

命題 1.3. 関手 $F,G,H:\mathcal C\to\mathcal D$ と自然変換 $\eta:F\Rightarrow G$ 、 $\theta:G\Rightarrow H$ に対し、

(\theta\eta)_A=\theta_A\circ\eta_A

は自然変換 $\theta\eta:F\Rightarrow H$ を定める。この自然変換を $\eta$ と $\theta$ の垂直合成 (vertical composition) という。

証明. 射 $f:A\to B$ に対し、 $\theta$ と $\eta$ の自然性を順に用いると、

H(f)\circ\theta_A\circ\eta_A =\theta_B\circ G(f)\circ\eta_A =\theta_B\circ\eta_B\circ F(f)

となる。この等式は $\theta\eta$ の自然性の等式である。▨

命題 1.4. 関手 $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$ の間の自然同型 $\eta:F\Rightarrow G$ に対し、各成分の逆射で定める族 $(\eta_A^{-1})_A$ は自然同型 $\eta^{-1}:G\Rightarrow F$ であり、

\eta^{-1}\eta=\mathrm{id}_F,\qquad \eta\eta^{-1}=\mathrm{id}_G

を満たす。

証明. 射 $f:A\to B$ に対する等式 $G(f)\circ\eta_A=\eta_B\circ F(f)$ の左に $\eta_B^{-1}$ 、右に $\eta_A^{-1}$ を合成すると、

F(f)\circ\eta_A^{-1}=\eta_B^{-1}\circ G(f)

を得る。したがって逆射の族は自然である。垂直合成の各成分は $\eta_A^{-1}\circ\eta_A=\mathrm{id}_{F(A)}$ および $\eta_A\circ\eta_A^{-1}=\mathrm{id}_{G(A)}$ である。逆射は一意なので、成分を定めるために選択を用いる必要はない。▨

2 水平合成

命題 2.1. 関手 $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$ 、 $F',G':\mathcal D\to\mathcal E$ と自然変換 $\eta:F\Rightarrow G$ 、 $\theta:F'\Rightarrow G'$ に対し、各対象 $A$ について

\theta_{G(A)}\circ F'(\eta_A)=G'(\eta_A)\circ\theta_{F(A)}

が成り立つ。この共通の射を成分 $(\theta*\eta)_A$ とする族は自然変換 $\theta*\eta:F'F\Rightarrow G'G$ を定める。これを水平合成 (horizontal composition) という。

証明. $\mathcal D$ の射 $\eta_A:F(A)\to G(A)$ に $\theta$ の自然性を適用すると、二つの表示の一致を得る。射 $f:A\to B$ に対しては、 $G(f)$ における $\theta$ の自然性と $\eta$ の自然性から

\begin{aligned} G'G(f)\circ(\theta*\eta)_A &=G'G(f)\circ\theta_{G(A)}\circ F'(\eta_A)\\ &=\theta_{G(B)}\circ F'(G(f)\circ\eta_A)\\ &=\theta_{G(B)}\circ F'(\eta_B\circ F(f))\\ &=(\theta*\eta)_B\circ F'F(f) \end{aligned}

となる。▨

系 2.2.

関手 $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$ 、 $K:\mathcal D\to\mathcal E$ と自然変換 $\eta:F\Rightarrow G$ に対し、 $\mathrm{id}_K*\eta:KF\Rightarrow KG$ の成分は $K(\eta_A)$ である。
関手 $F',G':\mathcal D\to\mathcal E$ 、 $L:\mathcal C\to\mathcal D$ と自然変換 $\theta:F'\Rightarrow G'$ に対し、 $\theta*\mathrm{id}_L:F'L\Rightarrow G'L$ の成分は $\theta_{L(A)}$ である。

証明.主張 (1)を示す。命題 2.1の表示に $\theta=\mathrm{id}_K$ を代入すると、 $\mathrm{id}_{K(G(A))}\circ K(\eta_A)=K(\eta_A)$ を得る。

主張 (2)を示す。 $\eta=\mathrm{id}_L$ を代入すると、 $\theta_{L(A)}\circ F'(\mathrm{id}_{L(A)})=\theta_{L(A)}$ を得る。二通りの表示のそれぞれからの計算は演習とする（問題 7.3 (1)）。▨

命題 2.3. 関手 $F_0,F_1,F_2:\mathcal C\to\mathcal D$ 、 $K_0,K_1,K_2:\mathcal D\to\mathcal E$ と自然変換 $\eta:F_0\Rightarrow F_1$ 、 $\eta':F_1\Rightarrow F_2$ 、 $\theta:K_0\Rightarrow K_1$ 、 $\theta':K_1\Rightarrow K_2$ を取る。このとき、水平合成と垂直合成は交換則 (interchange law)

(\theta'\theta)*(\eta'\eta)=(\theta'*\eta')(\theta*\eta)

を満たす。

証明. 演習とする（問題 7.2 (1)）。▨

3 自然変換の例

例 3.1. $k\in V$ を体とする。このとき、次が成り立つ。

線形空間 $A$ を $A^{**}$ に、線形写像 $f:A\to B$ を $(f^*)^*:A^{**}\to B^{**}$ に送る対応は共変関手 $(-)^{**}:\mathbf{Vect}_k\to\mathbf{Vect}_k$ である。評価写像 $\eta_A(a)(\varphi)=\varphi(a)$ は自然変換 $\eta:\mathrm{id}_{\mathbf{Vect}_k}\Rightarrow(-)^{**}$ を定める。
有限次元線形空間の充満部分圏の包含関手を $J:\mathbf{Vect}_k^{\mathrm{fd}}\to\mathbf{Vect}_k$ とすると、同じ評価写像は自然同型 $J\Rightarrow(-)^{**}|_{\mathbf{Vect}_k^{\mathrm{fd}}}$ を定める。

双対関手に§E9.2 命題 2.4を適用すると二重双対の関手性を得る。双対空間と双対写像は $V$ の元であり、この構成を二度適用したものも $V$ の元である。評価写像の線形性と自然性

(f^*)^*\circ\eta_A=\eta_B\circ f

および有限次元での同型性は§E3.5 命題 4.1による。したがって同じ成分を有限次元の部分圏へ制限すると自然同型になる。

注意 3.2. 評価写像 $A\to A^{**}$ は任意の次元で単射であるが、二重双対への評価写像についての自然同型は、有限次元の部分圏上の主張である。双対関手 $(-)^*:\mathbf{Vect}_k^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Vect}_k$ は恒等関手と定義域が異なるので、両者の間の自然変換はこの定義の対象ではない。有限次元では、基底を選び、その基底を双対基底へ送ることで $A\cong A^*$ を得る（§E3.5 定理 1.2）。一方、評価写像 $A\to A^{**}$ の式には基底の選択が現れない。

例 3.3. $n$ を正整数とし、 $\mathbf{CRing}$ を $\mathbf{Ring}$ の可換環からなる充満部分圏とする。このとき、次が成り立つ。

可換環 $R$ を $n$ 次正方行列の集合 $M_n(R)$ に、環準同型 $u:R\to S$ を成分ごとの写像 $M_n(u):(a_{ij})\mapsto(u(a_{ij}))$ に送る対応は関手 $M_n:\mathbf{CRing}\to\mathbf{Set}$ である。
忘却関手 $\mathbf{Ring}\to\mathbf{Set}$ の制限を $U_{\mathbf{CRing}}$ と書く。各 $R$ に対し、 $\det_R:M_n(R)\to R,\qquad \det_R(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i\sigma(i)}$ と定める。ただし符号 $1,-1$ は $1_R,-1_R$ として読む。
これらの写像は自然変換 $\det:M_n\Rightarrow U_{\mathbf{CRing}}$ を定める。すなわち、任意の環準同型 $u:R\to S$ に対し $u\circ\det_R=\det_S\circ M_n(u)$ である。

成分に恒等写像を施すと行列は変わらず、二つの準同型を続けて施すとその合成を施した行列になるので、 $M_n$ は関手である。 $M_n(R)$ は有限直積 $R^{n^2}$ であるから $V$ の元である。対称群 $S_n$ は有限集合の置換群であり、§E7.5 定理 2.1により符号は $1,-1$ のいずれかである。環準同型は有限和・有限積・単位元と加法逆元を保つので、

u(\det_R(A)) =\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n u(a_{i\sigma(i)}) =\det_S(M_n(u)(A))

が成り立つ。

注意 3.4. 体上では、§E3.15 命題 2.2により行列式は可逆行列の乗法群から体の乗法群への準同型を与える。行列式の自然変換の例では一般の可換環を扱うため、体上の乗法性を根拠とする群値の形を用いず、表示した多項式による集合値の自然変換を構成した。

例 3.5. 写像 $q:\Z/9\Z\to\Z/3\Z$ を $q([a]_9)=[a]_3$ で定める。 $9\mid a-b$ ならば $3\mid a-b$ であり、商環の和と積は代表元で計算するので（§E6.2 命題 9.1）、 $q$ は環準同型である。 $\Z/9\Z$ 上の行列

A=\begin{pmatrix}2&3\\1&5\end{pmatrix}

について、 $\det(A)=[10-3]_9=[7]_9$ なので $q(\det(A))=[1]_3$ である。他方、 $M_2(q)(A)=\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}$ の行列式は $[4]_3=[1]_3$ であり、 $q(\det(A))=\det(M_2(q)(A))$ である。

4 関手圏と大きさ

定義 4.1. $\mathcal C$ を $V$ -小圏、 $\mathcal D$ を圏とする。次のデータを備える圏を関手圏 (functor category) といい、 $[\mathcal C,\mathcal D]$ と書く。

対象は関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ である。
$F$ から $G$ への射は、自然変換 $\eta:F\Rightarrow G$ である。
射の合成は垂直合成である。
対象 $F$ の恒等射は恒等自然変換 $\mathrm{id}_F$ である。

命題 4.2. $\mathcal C$ が $V$ -小圏ならば、任意の圏 $\mathcal D$ に対して、関手 $\mathcal C\to\mathcal D$ と自然変換はそれぞれ $V$ の元であり、関手圏の定義で指定したデータは圏の公理を満たす。

証明. 関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ をとる。対象の対応のグラフは

\bigcup_{A\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)}\{(A,F(A))\}

である。 $A,F(A)\in V$ であり、添字集合 $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ は $V$ の元なので、対と添字付きの和の閉包性からこのグラフは $V$ に属する。射の対応のグラフも、 $\operatorname{Mor}(\mathcal C)\in V$ を添字として同じ閉包性を適用すると $V$ の元である。したがって、二つのグラフの組 $F$ は $V$ に属する。

自然変換 $\eta:F\Rightarrow G$ の成分族のグラフも $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ で添字づけられるので $V$ の元であり、 $F,G$ を添えた組も $V$ の元である。垂直合成と恒等自然変換は命題 1.3と命題 1.2で構成済みである。垂直合成の結合律と単位律は、各成分における $\mathcal D$ の結合律と単位律から従う。自然変換は両端の関手を成分にもつので、各射の定義域と終域も一意に定まる。▨

命題 4.3. $\mathcal C$ を $V$ -小圏、 $\mathcal D$ を圏、 $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$ を関手とする。このとき、自然変換 $\eta:F\Rightarrow G$ が関手圏 $[\mathcal C,\mathcal D]$ の同型射であるための必要十分条件は、 $\eta$ が自然同型であることである。

証明. $\eta$ が関手圏で逆射 $\rho$ をもつならば、逆射の等式の各成分は $\rho_A\circ\eta_A=\mathrm{id}_{F(A)}$ 、 $\eta_A\circ\rho_A=\mathrm{id}_{G(A)}$ である。したがって、各 $\eta_A$ は同型射である。逆に、 $\eta$ が自然同型ならば、命題 1.4による自然変換 $\eta^{-1}$ が関手圏での両側逆である。▨

注意 4.4. $[\mathcal C,\mathcal D]$ を圏として扱うのは $\mathcal C$ が $V$ -小のときに限る。たとえば、 $\mathbf{Set}$ の恒等関手の対象の対応のグラフは $\{(A,A)\mid A\in V\}$ であり、その定義域は $V$ である。 $V$ が宇宙ならば、このグラフが $V$ の元であると仮定すると、閉包性によりその定義域も $V$ の元となり、§E9.1 例 3.4に反する。 $V$ が集合全体の類ならば、このグラフは集合でない。したがって、 $\mathbf{Set}$ からの関手をすべて対象とする構成は、対象が $V$ の元であるという規約を満たさない。

$\mathcal C$ が $V$ -小でないときは、関手と自然変換を一つずつ構成し、構成ごとの主張として扱う。関手圏の対象や射の全体、その極限、その関手圏を定義域または終域とする関手は用いず、自然変換全体 $\operatorname{Nat}(F,G)$ を集合として扱わない。垂直合成と自然同型の逆の構成は、この場合にも適用することができる。

命題 4.5. $\mathcal C$ が $V$ -小圏、 $\mathcal D$ が局所 $V$ -小圏ならば、 $[\mathcal C,\mathcal D]$ は局所 $V$ -小圏である。とくに $\mathcal C$ が $V$ -小ならば $[\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$ は局所 $V$ -小圏である。

証明. 関手 $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$ を固定する。局所小性から、各 $A$ について $\Hom_{\mathcal D}(F(A),G(A))\in V$ である。添字付き直積の閉包性により

P=\prod_{A\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)}\Hom_{\mathcal D}(F(A),G(A))\in V

となる。自然性を満たす成分族の集合 $N$ は $P$ の部分集合なので $V$ に属する。 $F,G\in V$ であるから、 $\Hom_{[\mathcal C,\mathcal D]}(F,G)=\{(F,G,t)\mid t\in N\}$ も $V$ の元である。 $\mathcal C$ が空圏の場合にも、空積を用いて同じ議論が成り立つ。反対圏は対象と射の全体を変えず、 $\mathbf{Set}$ は局所 $V$ -小であるから、最後の主張も従う。▨

5 前層

定義 5.1. 圏 $\mathcal C$ 上の前層 (presheaf) とは、関手 $P:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ 、すなわち集合に値をとる反変関手のことである。 $\mathcal C$ が $V$ -小ならば、関手圏

\widehat{\mathcal C}=[\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]

を $\mathcal C$ 上の前層の圏 (category of presheaves) という。

例 5.2. $X\in V$ を位相空間とし、開集合の包含による圏を $\mathcal O(X)$ とする。このとき、各開集合 $U$ に、部分空間位相に関して連続な実数値関数の集合 $C(U)$ を対応させる。実数には通常の位相を入れる。包含 $U'\subseteq U$ には制限写像

r_{U,U'}:C(U)\to C(U'),\qquad f\mapsto f|_{U'}

を対応させる。この対応は $\mathcal O(X)$ 上の前層である。

包含写像 $j:U'\to U$ は連続であり（§E2.12 定理 4.4）、制限は合成 $f\circ j$ なので§E2.12 命題 1.10により連続である。 $U''\subseteq U'\subseteq U$ について包含写像を合成すると $U''\to U$ の包含写像になるので、 $r_{U',U''}\circ r_{U,U'}=r_{U,U''}$ である。また $r_{U,U}=\mathrm{id}_{C(U)}$ である。 $\R\in V$ であり、 $C(U)$ は写像の集合 $\R^U$ の部分集合なので $V$ に属する。 $\mathcal O(X)$ は $V$ -小圏であるから、この前層は $\widehat{\mathcal O(X)}$ の対象である。

注意 5.3. $\mathcal C$ が $V$ -小でないときも、 $P\in\widehat{\mathcal C}$ を「 $P$ は $\mathcal C$ 上の前層である」の略記とし、 $\alpha\in\widehat{\mathcal C}(P,Q)$ を「 $\alpha:P\Rightarrow Q$ は自然変換である」の略記とすることがある。この記号は個別の前層と自然変換についての言明の略記であり、 $\widehat{\mathcal C}$ が圏であることを意味しない。

後に扱う到達可能な前層の圏 $\mathrm{Acc}(\mathcal C)$ では、米田埋め込みと $V$ -小な余極限に関して前層の圏と類似の結果が成り立つ。一方、極限には条件が必要であり、 $V$ -小でない離散圏 $\mathcal C$ では $\mathrm{Acc}(\mathcal C)$ は終対象をもたない。到達可能性の定義とこれらの結果の証明は、大きさに関する後の議論に委ねる。

注意 5.4. 前層に、互いに一致する局所的なデータから大域的なデータを一意に復元する条件を加えたものが層である。この条件の定義は後に扱う。

6 二変数の関手とカリー化

命題 6.1. $\mathcal C,\mathcal D,\mathcal E$ を圏とし、 $\mathcal D$ は $V$ -小とする。このとき、次が成り立つ。

関手 $H:\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal E$ から、 $(\Lambda H)(c)=H(c,-),\qquad ((\Lambda H)(f))_d=H(f,\mathrm{id}_d)$ によって関手 $\Lambda H:\mathcal C\to[\mathcal D,\mathcal E]$ が定まる。逆に、関手 $\Phi:\mathcal C\to[\mathcal D,\mathcal E]$ から、 $f:c\to c'$ 、 $g:d\to d'$ に対し $\Phi^\flat(c,d)=\Phi(c)(d),\qquad \Phi^\flat(f,g)=\Phi(f)_{d'}\circ\Phi(c)(g)$ によって関手 $\Phi^\flat:\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal E$ が定まる。この二つの構成は互いに逆である。 $H$ から $\Lambda H$ を作る操作をカリー化 (currying) という。
自然変換 $\alpha:H\Rightarrow H'$ から、 $((\Lambda\alpha)_c)_d=\alpha_{(c,d)}$ によって自然変換 $\Lambda\alpha:\Lambda H\Rightarrow\Lambda H'$ が定まる。逆に、自然変換 $\beta:\Phi\Rightarrow\Psi$ から、 $\beta^\flat_{(c,d)}=(\beta_c)_d$ によって自然変換 $\beta^\flat:\Phi^\flat\Rightarrow\Psi^\flat$ が定まる。この二つの構成は互いに逆である。
$\mathcal C$ も $V$ -小ならば、これらの構成は互いに逆の関手となり、圏同型 $\Lambda:[\mathcal C\times\mathcal D,\mathcal E] \longrightarrow[\mathcal C,[\mathcal D,\mathcal E]]$ を与える。 $\mathcal C$ が $V$ -小でない場合、前二項は個別に与えた関手と自然変換に対する構成として読む。

証明.主張 (1)を示す。直積圏で $f:c\to c'$ 、 $g:d\to d'$ をとると、§E9.2 命題 3.1 (1)により

(f,g)=(f,\mathrm{id}_{d'})\circ(\mathrm{id}_c,g) =(\mathrm{id}_{c'},g)\circ(f,\mathrm{id}_d)

である。関手 $H$ をこの等式に適用すると、 $H(f,\mathrm{id}_d)$ の $d$ に関する自然性を得る。 $H(c,-)$ の関手性と、 $f\mapsto H(f,\mathrm{id}_{-})$ による恒等射・合成の保存も $H$ の関手性から従う。よって $\Lambda H$ が定まる。

関手 $\Phi:\mathcal C\to[\mathcal D,\mathcal E]$ に対しては、 $\Phi^\flat$ は恒等射を恒等射へ送る。さらに $f':c'\to c''$ 、 $g':d'\to d''$ をとる。自然変換 $\Phi(f)$ の $g'$ に関する自然性により

\begin{aligned} \Phi^\flat(f',g')\circ\Phi^\flat(f,g) &=\Phi(f')_{d''}\circ\Phi(c')(g')\circ\Phi(f)_{d'}\circ\Phi(c)(g)\\ &=\Phi(f')_{d''}\circ\Phi(f)_{d''}\circ\Phi(c)(g')\circ\Phi(c)(g)\\ &=\Phi(f'\circ f)_{d''}\circ\Phi(c)(g'\circ g)\\ &=\Phi^\flat(f'\circ f,g'\circ g). \end{aligned}

したがって $\Phi^\flat$ は関手である。対象での値は両構成で変わらない。射での値について、直積圏の最初の分解と $H$ の合成保存から $(\Lambda H)^\flat(f,g)=H(f,g)$ を得る。一方、 $\Phi^\flat(\mathrm{id}_c,g)=\Phi(c)(g)$ および $\Phi^\flat(f,\mathrm{id}_d)=\Phi(f)_d$ なので、 $\Lambda(\Phi^\flat)=\Phi$ である。

主張 (2)を示す。 $\alpha:H\Rightarrow H'$ の自然性を $(\mathrm{id}_c,g)$ に適用すると、各族 $(\alpha_{(c,d)})_d$ は自然変換 $H(c,-)\Rightarrow H'(c,-)$ になる。 $(f,\mathrm{id}_d)$ に適用すると、これらの自然変換は $c$ に関しても自然である。よって $\Lambda\alpha$ が定まる。逆に、 $\beta:\Phi\Rightarrow\Psi$ に対し、 $\beta$ の $f$ に関する自然性と $\beta_c$ の $g$ に関する自然性から

\begin{aligned} \Psi^\flat(f,g)\circ(\beta_c)_d &=\Psi(f)_{d'}\circ\Psi(c)(g)\circ(\beta_c)_d\\ &=\Psi(f)_{d'}\circ(\beta_c)_{d'}\circ\Phi(c)(g)\\ &=(\beta_{c'})_{d'}\circ\Phi(f)_{d'}\circ\Phi(c)(g)\\ &=(\beta_{c'})_{d'}\circ\Phi^\flat(f,g) \end{aligned}

を得る。これが $\beta^\flat$ の自然性である。二つの対応は各 $(c,d)$ で成分を変えないので互いに逆である。

主張 (3)を示す。 $\mathcal C,\mathcal D$ がともに $V$ -小ならば、§E9.2 命題 3.1 (1)により $\mathcal C\times\mathcal D$ も $V$ -小である。したがって表示した両側の関手圏が定まる。自然変換の対応は成分を組み替えるだけなので、恒等自然変換と成分ごとの合成を保つ。よって $\Lambda$ と $\flat$ は関手であり、既に示した二つの合成の等式により互いに逆の圏同型である。▨

例 6.2. $M\in V$ をモノイドとすると、 $\mathcal BM\times\mathcal BM$ の自己射のモノイドは $M\times M$ であり、その $\mathbf{Set}$ への関手が与える作用 $\rho$ に対して、カリー化は $\rho(m,1)$ と $\rho(1,n)$ という互いに可換な二つの $M$ の作用を取り出すことに当たる。逆の構成は、それらの作用を $\rho(m,n)=\rho(m,1)\circ\rho(1,n)$ と合成するものである。

7 演習

問題 7.1.

関手 $F,G,H:\mathcal C\to\mathcal D$ 、射の族 $\eta_A:F(A)\to G(A)$ と自然同型 $\theta:G\Rightarrow H$ をとる。族 $(\theta_A\circ\eta_A)_A$ が自然ならば $\eta$ も自然であることを示せ。 $\theta$ が自然変換であっても自然同型でないとき、この結論が成り立たない例を $\mathcal C=\mathcal D=\mathbf{Set}$ で作れ。

解答.

自然変換 $\gamma:F\Rightarrow H$ を $\gamma_A=\theta_A\circ\eta_A$ とおく。命題 1.4と命題 1.3により $\theta^{-1}\gamma$ は自然変換であり、その成分は $\eta_A$ である。

反例として $F=G=\mathrm{id}_{\mathbf{Set}}$ とし、 $H$ を一元集合 $\{0\}$ への定値関手とする。 $\theta_A:A\to\{0\}$ は唯一の写像とする。この写像の族は自然変換である。 $\Omega=\{0,1\}$ について $\eta_\Omega$ を交換写像、 $A\ne\Omega$ では $\eta_A=\mathrm{id}_A$ と定める。包含 $i:\{0\}\to\Omega$ に対し、 $\eta_\Omega\circ i$ の値は $1$ 、 $i\circ\eta_{\{0\}}$ の値は $0$ なので、 $\eta$ は自然でない。一方、 $\theta_A\circ\eta_A=\theta_A$ だから合成の族は自然である。

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問題 7.2.

命題 2.3の証明を完成させよ。

解答.

右辺の $A$ における成分は $\theta'_{F_2(A)}\circ K_1(\eta'_A)\circ\theta_{F_1(A)}\circ K_0(\eta_A)$ である。 $\theta$ の射 $\eta'_A$ に対する自然性を用いると、これは $\theta'_{F_2(A)}\circ\theta_{F_2(A)}\circ K_0(\eta'_A)\circ K_0(\eta_A) =(\theta'\theta)_{F_2(A)}\circ K_0(\eta'_A\circ\eta_A)$ に等しく、左辺の成分に一致する。

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問題 7.3.

系 2.2の二つの成分公式を、水平合成の二通りの表示のそれぞれから導け。

解答.

$\mathrm{id}_K*\eta$ の二つの表示は $\mathrm{id}_{K(G(A))}\circ K(\eta_A)$ と $K(\eta_A)\circ\mathrm{id}_{K(F(A))}$ であり、どちらも $K(\eta_A)$ に等しい。 $\theta*\mathrm{id}_L$ の二つの表示は $\theta_{L(A)}\circ F'(\mathrm{id}_{L(A)})$ と $G'(\mathrm{id}_{L(A)})\circ\theta_{L(A)}$ であり、恒等射の保存と単位律によりどちらも $\theta_{L(A)}$ に等しい。

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問題 7.4.

$\Omega=\{0,1\}$ とする。 $\mathcal B(\Z/2\Z)$ の唯一の対象を $\Omega$ に送り、恒等射でない射をそれぞれ恒等写像と交換写像に送る対応を $F,G$ とする。これらが関手であり、対象での値は同型でも関手圏では同型でないことを示せ。

解答.

恒等写像と交換写像はいずれも二乗が恒等写像なので、 $\Z/2\Z$ の積を保ち、 $F,G$ は関手である。唯一の対象での値は同じ集合 $\Omega$ である。しかし自然変換 $\alpha:F\Rightarrow G$ の成分 $a:\Omega\to\Omega$ は、交換写像を $\tau$ として $\tau\circ a=a$ を満たさなければならない。 $\tau$ には固定点がないので、そのような写像 $a$ は存在しない。 $\mathcal B(\Z/2\Z)$ は $V$ -小であり、命題 4.3により関手圏での同型もない。

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問題 7.5.

自然変換 $\eta:F\Rightarrow G$ の各成分が左逆射をもっても、 $\rho\eta=\mathrm{id}_F$ を満たす自然変換 $\rho:G\Rightarrow F$ が存在するとは限らないことを、 $\Z/2\Z$ の作用から作る例で示せ。

解答.

$F:\mathcal B(\Z/2\Z)\to\mathbf{Set}$ を $\{0,1\}$ 上の交換作用とする。 $G$ は $\{0,1,p\}$ 上で $0,1$ を交換し $p$ を固定する作用とする。包含 $j:\{0,1\}\to\{0,1,p\}$ は作用と両立するので自然変換 $\eta:F\Rightarrow G$ の成分となる。集合としては $r(0)=0$ 、 $r(1)=1$ 、 $r(p)=0$ が左逆を与える。しかし自然変換 $\rho:G\Rightarrow F$ の成分は固定点 $p$ を $F$ の作用の固定点へ送る必要があり、交換作用には固定点がない。したがって $\rho$ 自体が存在せず、自然な左逆もない。

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問題 7.6.

位相空間 $X\in V$ の開集合 $U$ に、有界な実数値連続関数の集合 $C_b(U)$ を対応させる。この対応と、包含 $U'\subseteq U$ に対する制限写像 $C_b(U)\to C_b(U')$ が $\mathcal O(X)$ 上の前層を定めることを示せ。

解答.

$C_b(U)$ は $C(U)$ の部分集合なので $V$ の元である。 $f\in C_b(U)$ に対し、すべての $x\in U$ で $|f(x)|\le M$ となる実数 $M\ge0$ をとる。 $U'\subseteq U$ ならば制限 $f|_{U'}$ は連続であり、同じ $M$ がその上界となる。よって制限は $C_b(U)\to C_b(U')$ を定める。制限の合成と恒等写像の等式は連続関数の前層のものを制限して得る。 $U'=\emptyset$ への制限は唯一の空写像であり、その有界性は $M=0$ で成り立つ。

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問題 7.7.

例 3.5と異なる環準同型を選び、 $2$ 次正方行列について行列式の自然性を数値で確かめよ。

解答.

商準同型 $q:\Z\to\Z/5\Z$ と $A=\begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}$ をとる。整数上では $\det(A)=21-8=13$ なので $q(\det(A))=[3]_5$ である。他方、成分を写した行列は $\begin{pmatrix}3&4\\2&2\end{pmatrix}$ で、その行列式は $[6-8]_5=[-2]_5=[3]_5$ である。

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§E9.3自然変換と関手圏

1 自然変換と垂直合成

2 水平合成

3 自然変換の例

4 関手圏と大きさ

5 前層

6 二変数の関手とカリー化

7 演習

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