圏同値と骨格 | 圏論 I

1 圏同値

定義 1.1. 圏 $\mathcal C,\mathcal D$ の間の関手

F:\mathcal C\to\mathcal D,\qquad G:\mathcal D\to\mathcal C

と自然同型

\theta:GF\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal C},\qquad \zeta:FG\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal D}

の組 $(F,G,\theta,\zeta)$ を圏同値 (equivalence of categories) といい、 $G$ を $F$ の準逆 (quasi-inverse) という。「 $F$ は圏同値である」とは、 $F$ を第一成分とするこの組が与えられていることをいう。

$\mathcal C,\mathcal D$ がともに $V$ -小であり、両者の間に圏同値が存在するとき、 $\mathcal C$ と $\mathcal D$ は圏同値である (equivalent categories) といい、 $\mathcal C\simeq\mathcal D$ と書く。

注意 1.2. $V$ を集合全体の類にとると、大きい圏の間の関手や自然変換は一般に類であり、その存在を集合への量化で述べることはできない。したがって、 $V$ -小でない圏を含む場合には、§E9.1 注意 2.9に従い、圏同値の組 $(F,G,\theta,\zeta)$ を構成してその性質を述べる。

命題 1.3. 圏同値 $(F,G,\theta,\zeta)$ に対し、 $(G,F,\zeta,\theta)$ も圏同値である。

証明. 演習とする（問題 6.1 (1)）。▨

命題 1.4. 圏同型 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ とその逆 $G:\mathcal D\to\mathcal C$ に対し、

(F,G,\mathrm{id}_{\mathrm{id}_{\mathcal C}},\mathrm{id}_{\mathrm{id}_{\mathcal D}})

は圏同値である。

証明. $GF=\mathrm{id}_{\mathcal C}$ 、 $FG=\mathrm{id}_{\mathcal D}$ なので、それぞれの恒等自然変換は自然同型 $GF\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal C}$ 、 $FG\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal D}$ である。▨

2 充満忠実性と本質的全射性

定義 2.1. 関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ が本質的全射 (essentially surjective) であるとは、 $\mathcal D$ の任意の対象 $B$ に対して、 $F(A)\cong B$ を満たす $\mathcal C$ の対象 $A$ が存在することをいう。

$\mathcal D$ の各対象 $B$ に対して、対象 $A_B$ と同型射 $\zeta_B:F(A_B)\to B$ を指定した族 $(A_B,\zeta_B)_B$ を、 $F$ の本質的全射性の証拠の族 (family of witnesses for essential surjectivity) という。

補題 2.2. 圏同値 $(F,G,\theta,\zeta)$ の関手 $F$ は忠実である。

証明. 射 $f,g:A\to A'$ が $F(f)=F(g)$ を満たすとする。 $\theta$ の自然性により

f=\theta_{A'}\circ GF(f)\circ\theta_A^{-1} =\theta_{A'}\circ GF(g)\circ\theta_A^{-1}=g

である。▨

命題 2.3. 関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ について、次が成り立つ。

圏同値 $(F,G,\theta,\zeta)$ が与えられているならば、 $F$ は充満忠実かつ本質的全射である。族 $(G(B),\zeta_B)_B$ は本質的全射性の証拠の族である。
$F$ が充満忠実で、本質的全射性の証拠の族 $(A_B,\zeta_B)_B$ が与えられているとする。 $G(B)=A_B$ とおき、射 $v:B\to B'$ に対して $G(v):A_B\to A_{B'}$ を $F(G(v))=\zeta_{B'}^{-1}\circ v\circ\zeta_B$ を満たすただ一つの射と定める。また、 $\theta_A:GF(A)\to A$ を $F(\theta_A)=\zeta_{F(A)}$ を満たすただ一つの射と定める。このとき、 $G$ は関手であり、 $(F,G,\theta,\zeta)$ は圏同値である。

証明.主張 (1)を示す。補題 2.2を $(F,G,\theta,\zeta)$ と $(G,F,\zeta,\theta)$ に適用すると、 $F,G$ はともに忠実である。射 $v:F(A)\to F(A')$ を取り、

f=\theta_{A'}\circ G(v)\circ\theta_A^{-1}:A\to A'

とおく。 $f$ に対する $\theta$ の自然性から

\theta_{A'}\circ GF(f)=f\circ\theta_A=\theta_{A'}\circ G(v)

となる。 $\theta_{A'}$ を消去すると $GF(f)=G(v)$ であり、 $G$ の忠実性から $F(f)=v$ を得る。よって $F$ は充満である。各 $B$ における成分 $\zeta_B:FG(B)\to B$ は同型射なので、指定された族は本質的全射性の証拠の族である。

主張 (2)を示す。各対象 $B$ に $G(B)=A_B$ を対応させる。充満忠実性により、各射 $v:B\to B'$ に対して

F(G(v))=\zeta_{B'}^{-1}\circ v\circ\zeta_B

\text{(2.3.1)}

を満たす射 $G(v):G(B)\to G(B')$ はただ一つである。この式で射の対応を定める。恒等射に対して右辺は $\mathrm{id}_{F(G(B))}$ である。合成可能な射 $v:B\to B'$ 、 $w:B'\to B''$ に対しては

\begin{aligned} F(G(w)\circ G(v)) &=(\zeta_{B''}^{-1}\circ w\circ\zeta_{B'}) \circ(\zeta_{B'}^{-1}\circ v\circ\zeta_B)\\ &=\zeta_{B''}^{-1}\circ(w\circ v)\circ\zeta_B =F(G(w\circ v)) \end{aligned}

である。 $F$ の忠実性から、 $G$ は恒等射と合成を保つ。したがって $G$ は関手である。また、式 (2.3.1)は

v\circ\zeta_B=\zeta_{B'}\circ FG(v)

と同値なので、与えられた成分族は自然同型 $\zeta:FG\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal D}$ である。

充満忠実性により、 $F(\theta_A)=\zeta_{F(A)}$ を満たす射 $\theta_A:GF(A)\to A$ もただ一つである。 $F(\theta_A)$ は同型射なので、§E9.2 命題 6.2により $\theta_A$ は同型射である。射 $f:A\to A'$ に対し、 $\zeta$ の自然性から

F(f\circ\theta_A)=F(f)\circ\zeta_{F(A)} =\zeta_{F(A')}\circ FGF(f) =F(\theta_{A'}\circ GF(f))

を得る。忠実性により $f\circ\theta_A=\theta_{A'}\circ GF(f)$ であり、 $\theta$ は自然同型である。 $G(v)$ と $\theta_A$ はいずれも条件を満たすただ一つの射として定めたので、この構成に選択を用いる必要はない。▨

例 2.4. $\mathcal C=\mathcal B(\Z/2\Z)$ とし、 $\mathcal D$ を $V$ の元である二元集合と全単射のなす圏とする。このとき、 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ を、唯一の対象を $\{0,1\}$ に送り、二つの自己射をそれぞれ恒等写像と互換に送る関手とする。射の対応は二元の群どうしの同型なので、 $F$ は充満忠実である。どの二元集合も $\{0,1\}$ と全単射で結ばれるので、 $F$ は本質的全射である。

圏同値 $(F,G,\theta,\zeta)$ が与えられれば、各二元集合 $B$ に対して $FG(B)=\{0,1\}$ であるから、 $B\mapsto\zeta_B(0)$ はすべての二元集合から一斉に一点を選ぶ対応となる。 $V$ を集合全体の類にとる場合、そのような対応を定める式を ZFC だけから一般に得ることはできない。この非導出性は集合論の無矛盾性に関する結果であり、ここでは証明しない。 $V$ が宇宙の場合にも、二元集合全体は $V$ -小でないので、本単元の規約による選択公理の適用範囲には入らない。実際、二元集合全体が $V$ に属せば、その和も $V$ に属し、任意の $x\in V$ を含むことになる。したがって、§E9.1 例 3.4と同じ全体集合についての矛盾が生じる。

この例では $\mathcal C$ は $V$ -小であり、 $\mathcal D$ の全対象は一つの同型類に属する。したがって、定義域の小ささと同型類の代表の小ささだけからは、証拠の族は得られない。

3 有限圏と行列の圏

例 3.1. 整数の整除関係から作る圏の充満部分圏として、対象が $\{2,-2\}$ である圏 $\mathcal C$ と、対象が $\{2\}$ である圏 $\mathcal S$ をとる。このとき、包含関手 $F:\mathcal S\to\mathcal C$ と、対象も射も唯一の値へ送る関手 $G:\mathcal C\to\mathcal S$ を考える。

$GF=\mathrm{id}_{\mathcal S}$ なので $\theta=\mathrm{id}_{\mathrm{id}_{\mathcal S}}$ とする。 $X=2,-2$ に対し、 $\zeta_X:2\to X$ を唯一の射とする。両方向に射が一本ずつあるので各 $\zeta_X$ は同型射であり、各 Hom が一元であることから自然性も成り立つ。したがって $(F,G,\theta,\zeta)$ は圏同値である。一方、二つの圏の対象数は異なるので、対象の全単射を要する圏同型は存在しない。

例 3.2. $k\in V$ を可換体とする。このとき、非負整数を対象とし、 $m$ から $n$ への射を $n\times m$ 行列とする圏を $\mathbf{Mat}_k$ と書く。合成は行列積、恒等射は単位行列である。行列には定義域 $m$ と終域 $n$ を添え、 $m=0$ または $n=0$ の行列の集合は一元集合とする。 $V$ の元である有限次元 $k$ 線形空間の圏を $\mathbf{FinVect}_k$ と書く。

対応

M:\mathbf{Mat}_k\to\mathbf{FinVect}_k,\qquad M(n)=k^n,\qquad M(A)(x)=Ax

は、 $B(Ax)=(BA)x$ と単位行列の作用により関手である。標準基底についての行列と線形写像の一対一対応（§E3.4 命題 2.2）により $M$ は充満忠実である。零次元が含まれる場合にも、零空間を定義域または終域とする線形写像は一つだけなので、この対応は全単射である。

有限次元空間 $W$ の順序付き基底 $(w_1,\ldots,w_n)$ に対して、

\varphi_W:k^n\to W,\qquad (a_1,\ldots,a_n)\mapsto\sum_{i=1}^na_iw_i

は線形同型である。全射性は生成性から、単射性は一次独立性から従い、逆写像の線形性は§E3.4 命題 1.2による。したがって $M$ は本質的全射である。各 $W$ に順序付き基底を一つずつ指定した族が与えられれば、 $(n,\varphi_W)_W$ は証拠の族となり、命題 2.3 (2)により $M$ を第一成分とする圏同値が得られる。

$\mathbf{FinVect}_k$ は $V$ -小でない。実際、すべての対象の集まりが $V$ に属せば、台集合の和も $V$ に属する。しかし任意の $x\in V$ に対して一点集合 $\{x\}$ 上の零空間が対象であるため、この和はすべての $x\in V$ を含み、全体集合についての矛盾が生じる。このため、順序付き基底の族を全対象について選択公理から得ることは、本単元の規約では認められない。注意 1.2に従い、ここで得た圏同値は $M$ と指定された基底の族からの構成として扱う。

さらに、 $\mathbf{Mat}_k$ から $\mathbf{FinVect}_k$ へのどの関手も圏同型ではない。実際、 $\mathbf{Mat}_k$ の対象 $m,n$ が同型ならば $k^m\cong k^n$ であり、基底の濃度の一意性（§E3.3 定理 3.3）から $m=n$ である。一方、

L_1=\{(x,0)\mid x\in k\},\qquad L_2=\{(x,x)\mid x\in k\}

は異なる一次元部分空間であり、互いに線形同型である。圏同型 $H$ とその逆 $J$ が与えられたとすると、 $J$ は同型を保つので $J(L_1)$ と $J(L_2)$ は同型であり、 $\mathbf{Mat}_k$ の同型な対象は等しいので $J(L_1)=J(L_2)$ となる。 $HJ=\mathrm{id}$ より $L_1=L_2$ となり、矛盾する。

4 骨格

定義 4.1. 圏 $\mathcal C$ の充満部分圏 $\mathcal S$ が $\mathcal C$ の骨格 (skeleton) であるとは、 $\mathcal C$ の任意の対象 $X$ に対して、 $X\cong S$ を満たす $\mathcal S$ の対象 $S$ がちょうど一つ存在することをいう。

補題 4.2. 圏 $\mathcal C$ の骨格 $\mathcal S$ の対象 $S,S'$ が $\mathcal C$ で同型ならば、 $S=S'$ である。

証明. $S$ と同型な $\mathcal S$ の対象として $S$ と $S'$ があるので、骨格の定義における一意性から $S=S'$ である。▨

命題 4.3. 圏 $\mathcal C$ の骨格 $\mathcal S$ の包含関手を $I:\mathcal S\to\mathcal C$ とする。このとき、次が成り立つ。

$I$ は充満忠実かつ本質的全射である。
各対象 $X$ に対し、 $X$ と同型な $\mathcal S$ のただ一つの対象 $S_X$ と同型射 $\varphi_X:S_X\to X$ を指定した族が与えられれば、 $I$ を第一成分とする圏同値が得られる。
$\mathcal C$ が $V$ -小ならば、この族は選択公理によって得られる。

証明.主張 (1)を示す。充満部分圏の包含は§E9.2 命題 6.3により充満忠実であり、骨格の定義から本質的全射である。

主張 (2)を示す。指定された族 $(S_X,\varphi_X)_X$ は $I$ の本質的全射性の証拠の族なので、命題 2.3 (2)を適用する。

主張 (3)を示す。 $\mathcal C$ が $V$ -小の場合、 $S_X$ は $X$ から一意に定まる。 $S_X$ から $X$ への同型射全体は $\operatorname{Mor}(\mathcal C)$ の空でない部分集合なので $V$ に属する。添字集合 $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ も $V$ に属するから、選択公理§E1.20 定理 2.1 (1)により各 $X$ で $\varphi_X$ を選ぶことができる。▨

命題 4.4. 圏 $\mathcal C$ の対象の全体 $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ が $V$ の元ならば、 $\mathcal C$ は骨格をもつ。

証明. $T=\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ とおく。対象の同型関係は、恒等射、逆射、同型射の合成によって反射律・対称律・推移律を満たす。したがって $T$ 上の同値関係である。商集合 $Q=T/{\cong}$ は $\mathcal P(T)$ の部分集合として $V$ に属し、各同値類は $T$ の空でない部分集合として $V$ に属する（§E1.3 定義 2.1）。選択公理により各 $q\in Q$ の代表 $s(q)\in q$ を一つ選ぶ。 $s(Q)$ を対象とする充満部分圏は、各同型類にただ一つの対象をもつので骨格である。 $T=\varnothing$ の場合には、空写像 $s$ によって空圏を得る。▨

例 4.5. $k\in V$ を可換体とする。このとき、 $\{k^n\mid n\in\N\}$ を対象とする $\mathbf{FinVect}_k$ の充満部分圏を $\mathcal S$ とする。各有限次元空間はある $k^n$ と同型であり、基底の濃度の一意性によって $n$ は一意なので、 $\mathcal S$ は骨格である。各空間に順序付き基底を指定した族が与えられれば、命題 4.3により包含を第一成分とする圏同値が得られる。

行列の関手 $M$ の終域を $\mathcal S$ に制限した関手 $M_0:\mathbf{Mat}_k\to\mathcal S$ は、対象について全単射であり、充満忠実である。したがって§E9.2 命題 7.2により圏同型である。この逆関手は対象と射の一意な原像で定まり、選択を用いない。

注意 4.6. $V$ に属する基数を対象とする $\mathbf{Set}$ の充満部分圏は骨格である。実際、選択公理のもとでは、各集合 $X$ と等濃な基数 $\lvert X\rvert$ がただ一つ存在する（§E1.22 定理 2.2）。また、 $X\in V$ ならば $\lvert X\rvert\in V$ である。

$X\in V$ から全射を受ける順序数 $\beta$ は $V$ に属することを、 $\beta$ に関する超限帰納法§E1.17 定理 1.1で示す。 $\beta=0$ ならば空集合の閉包性による。 $\beta>0$ とし、全射 $q:X\to\beta$ をとる。 $0<\gamma<\beta$ に対して

q_\gamma(x)= \begin{cases} q(x),&q(x)<\gamma,\\ 0,&q(x)\ge\gamma \end{cases}

は $X\to\gamma$ の全射であるから、帰納法の仮定より $\gamma\in V$ である。 $0\in V$ でもあるので、すべての $x\in X$ について $q(x)\in V$ であり、対と和の閉包性から $q(x)+1\in V$ である。族の和の閉包性を用いると

\beta=\bigcup_{x\in X}(q(x)+1)\in V

を得る。 $X$ から $\lvert X\rvert$ への全単射にこの結果を適用すると、 $\lvert X\rvert\in V$ を得る。集合の圏での同型は全単射なので、基数の存在と一意性により、骨格の条件が成り立つ。

この骨格の包含を第一成分とする圏同値を与えるには、すべての $X\in V$ に全単射 $\lvert X\rvert\to X$ を一つずつ指定する必要がある。有限集合の圏についても、 $\{1,\ldots,n\}$ （ $n\in\N$ 、 $n=0$ のときは空集合）を対象とする充満部分圏は骨格であるが、包含の圏同値の成分からは全二元集合にわたる一点の選択が得られる。したがって、いずれの包含についても、例 2.4と同じ理由から、選択公理だけによる一斉の構成を行うことはできない。

5 小さい添字による選択

定義 5.1. 圏 $\mathcal D$ が本質的に $V$ -小 (essentially V-small) であるとは、 $V$ -小圏 $\mathcal D_0$ と圏同値 $(E,K,\eta,\varepsilon)$ が与えられていることをいう。ここで

E:\mathcal D_0\to\mathcal D,\qquad K:\mathcal D\to\mathcal D_0,\qquad \eta:KE\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal D_0},\qquad \varepsilon:EK\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal D}

である。

系 5.2. $F:\mathcal C\to\mathcal D$ を充満忠実かつ本質的全射な関手とし、 $\mathcal D$ は圏同値 $(E,K,\eta,\varepsilon)$ 、 $E:\mathcal D_0\to\mathcal D$ によって本質的に $V$ -小であるとする。

このとき、 $\mathcal D_0$ の各対象 $b$ に、 $\mathcal C$ の対象 $A_b$ と同型射 $\zeta_b:F(A_b)\to E(b)$ を対応させる族が存在する。その族から定まる

\bigl(A_{K(B)},\varepsilon_B\circ\zeta_{K(B)}\bigr)_B

は $F$ の本質的全射性の証拠の族である。したがって、この族から $F$ を第一成分とする圏同値が得られる。

証明. $I=\operatorname{Ob}(\mathcal D_0)\in V$ とおく。各 $b\in I$ に対し、本質的全射性によって対象 $A$ と同型射 $u:F(A)\to E(b)$ の組が存在する。対象と射は $V$ の元なので、この組も $V$ の元である。

「 $x$ はこの条件を満たす組 $(A,u)$ である」という論理式に、Scott の集合添字選択§E1.21 命題 4.1を適用する。各 $b$ で一つの組 $(A_b,\zeta_b)$ を値とする族が得られ、各値が $V$ の元であることから、族の閉包性によりこの族も $V$ の元である。この結論は、圏と関手を与える式を固定するごとに得られる主張である。

$\mathcal D$ の各対象 $B$ に対して、合成

F(A_{K(B)})\xrightarrow{\zeta_{K(B)}}EK(B) \xrightarrow{\varepsilon_B}B

は同型射である。したがって族 $(A_{K(B)},\varepsilon_B\circ\zeta_{K(B)})_B$ は証拠の族であり、命題 2.3 (2)を適用することができる。▨

注意 5.3. 本質的に $V$ -小な圏 $\mathcal D$ のデータ $(E,K,\eta,\varepsilon)$ に対し、対象の集まり $\{E(b)\mid b\in\operatorname{Ob}(\mathcal D_0)\}$ は族の値の全体として $V$ に属する。各対象 $B$ は $\varepsilon_B:EK(B)\to B$ によってこの集まりの対象と同型である。このように、すべての対象の同型類を代表する $V$ -小な対象の集まりを、同型類の $V$ -小な代表系という。代表の重複は許す。

同型類の $V$ -小な代表系だけから、圏同値のデータを得ることは一般にはできない。例 2.4では一つの対象 $\{0,1\}$ が代表系をなすが、圏同値には全二元集合の一斉選択が必要になる。一方、 $\mathcal D$ 自身が $V$ -小ならば、 $\mathcal D_0=\mathcal D$ と恒等関手・恒等自然同型によって本質的に $V$ -小である。

注意 5.4. 本質的全射性は、対象 $B$ を一つ固定するごとに証拠の組が存在することを述べる。準逆の構成には、すべての $B$ について組を指定した族が必要である。終域が本質的に $V$ -小ならば、系 5.2によりその族が得られる。一方、一般の終域では族をデータとして与える。

終域が $V$ -小でも、一つの対象に対する証拠全体が $V$ -小とは限らない。たとえば、すべての一点集合を対象とする $\mathbf{Set}$ の充満部分圏から一点の圏への関手を考える。唯一の対象の証拠は一点集合ごとにあり、その全体が $V$ -小ならば、族の和によってすべての $V$ の元を含む $V$ の元が得られる。この場合、証拠の全体を選択公理の入力となる集合として扱うことはできない。系 5.2の証明で Scott の集合添字選択を用いるのは、この選択が候補全体を集合と仮定しないからである。

定義域 $\mathcal C$ も $V$ -小ならば、系 5.2の証拠全体は $V$ -小であり、通常の選択公理を直接用いることもできる。実際、 $b$ を固定して証拠 $u_0:F(A_0)\to E(b)$ を一つとると、充満性により $\Hom_{\mathcal D}(F(A),E(b))$ は写像 $f\mapsto u_0\circ F(f)$ による $\Hom_{\mathcal C}(A,A_0)$ の像である。したがって各 Hom は $V$ に属し、 $A\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ にわたって証拠を集めた集合も $V$ に属する。

6 演習

問題 6.1.

命題 1.3を、二つの自然同型の定義域と終域を書いて証明せよ。

解答.

$G:\mathcal D\to\mathcal C$ と $F:\mathcal C\to\mathcal D$ の合成に対し、 $\zeta:FG\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal D}$ と $\theta:GF\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal C}$ は、圏同値の定義で要求される二つの自然同型である。したがって $(G,F,\zeta,\theta)$ は圏同値である。

▨

問題 6.2.

一点の圏 $\mathbf1$ への唯一の関手 $F:\mathbf{Set}\to\mathbf1$ と、 $G(*)=\varnothing$ とする関手 $G:\mathbf1\to\mathbf{Set}$ を考える。空写像の族 $\theta_X:\varnothing\to X$ が自然変換 $GF\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathbf{Set}}$ を定めることを示せ。また、 $F$ が忠実でないことを示し、 $\theta_X$ が同型射となる $X$ を求めよ。

解答.

任意の写像 $f:X\to Y$ に対し、 $f\circ\theta_X$ と $\theta_Y\circ GF(f)$ は、ともに $\varnothing$ から $Y$ への唯一の写像である。よって $\theta$ は自然変換である。 $\{0\}$ から $\{0,1\}$ への二つの異なる写像は、どちらも $F$ によって $\mathbf1$ の唯一の射へ送られるので、 $F$ は忠実でない。 $\theta_X$ が全単射であるのは $X=\varnothing$ の場合だけであり、 $\mathbf{Set}$ の同型射は全単射なので、 $\theta_X$ が同型射であるのも $X=\varnothing$ の場合だけである。

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問題 6.3.

二つの圏同値 $(F,G,\theta,\zeta)$ 、 $(F,G',\theta',\zeta')$ から、自然同型 $G\Rightarrow G'$ を式で構成せよ。

解答.

自然同型の逆、関手との水平合成、および垂直合成を用いて、 $G\xRightarrow{\ \mathrm{id}_G*(\zeta')^{-1}\ }GFG' \xRightarrow{\ \theta*\mathrm{id}_{G'}\ }G'$ と定める。§E9.3 命題 1.4、§E9.3 系 2.2、§E9.3 命題 1.3により、合成は自然変換である。各成分は $\theta_{G'(B)}\circ G(\zeta'_B)^{-1}:G(B)\to G'(B)$ という同型射の合成なので自然同型である。

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問題 6.4.

圏同値 $(F,G,\theta,\zeta)$ と自然同型 $\alpha:F'\Rightarrow F$ から、 $F'$ を第一成分とする圏同値 $(F',G,\theta',\zeta')$ を書き下せ。

解答.

自然同型を $\theta'=\theta(\mathrm{id}_G*\alpha):GF'\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal C},\qquad \zeta'=\zeta(\alpha*\mathrm{id}_G):F'G\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal D}$ と定める。成分は $\theta'_A=\theta_A\circ G(\alpha_A)$ 、 $\zeta'_B=\zeta_B\circ\alpha_{G(B)}$ である。関手との水平合成と垂直合成により自然であり、各成分は同型射の合成である。したがって $(F',G,\theta',\zeta')$ は圏同値である。

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問題 6.5.

例 3.2の $L_1,L_2\subseteq k^2$ と異なる一次元部分空間 $L_3$ を一つ与え、 $L_1,L_2,L_3$ が互いに同型であることを示せ。

解答.

$L_3=\{(0,x)\mid x\in k\}$ とする。 $(0,1)$ は $L_3$ に属し $L_1,L_2$ には属さないので、 $L_3$ は両者と異なる。 $k$ からの写像 $x\mapsto(x,0)$ 、 $x\mapsto(x,x)$ 、 $x\mapsto(0,x)$ は、それぞれ $L_1,L_2,L_3$ への線形同型である。これらの逆と合成から、三つの空間の間の線形同型が得られる。

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問題 6.6.

局所 $V$ -小圏 $\mathcal C$ の二つの骨格 $\mathcal S,\mathcal S'$ をとり、 $\mathcal S$ は $V$ -小であるとする。 $\mathcal S'$ も $V$ -小であり、 $\mathcal S$ と $\mathcal S'$ が圏同型であることを、選択公理を用いて示せ。

解答.

各 $S\in\operatorname{Ob}(\mathcal S)$ に対し、 $S$ と同型な $\mathcal S'$ の唯一の対象を $H(S)$ とする。逆に、各 $S'\in\operatorname{Ob}(\mathcal S')$ は $\mathcal S$ のただ一つの対象と同型である。両骨格の代表の一意性から、二つの対応は互いに逆である。したがって $H$ は対象の全単射であり、 $\operatorname{Ob}(\mathcal S')$ は $V$ -小な集合の像として $V$ に属する。局所 $V$ -小性と充満性により各 $\Hom_{\mathcal S'}(S',T')$ は $V$ に属し、その対象の組全体にわたる和も $V$ に属する。よって $\mathcal S'$ は $V$ -小である。

各 $S$ から $H(S)$ への同型射全体は $\Hom_{\mathcal C}(S,H(S))$ の空でない部分集合であり、 $V$ に属する。 $V$ -小な添字集合 $\operatorname{Ob}(\mathcal S)$ に選択公理を用い、同型射 $\phi_S:S\to H(S)$ を選ぶ。射 $f:S\to T$ を
$H(f)=\phi_T\circ f\circ\phi_S^{-1}$
に送る。この対応は、隣り合う $\phi_T^{-1}\circ\phi_T$ を消去することで合成を保ち、恒等射も保つ。各 Hom 上の逆対応は $u\mapsto\phi_T^{-1}\circ u\circ\phi_S$ である。よって $H$ は充満忠実であり、対象について全単射なので§E9.2 命題 7.2により圏同型である。対象が空の場合にも、二つの空圏の間の唯一の関手を得る。

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問題 6.7.

充満忠実関手の合成は充満忠実であり、本質的全射な関手の合成は本質的全射であることを示せ。 $\mathcal C$ が $V$ -小のとき、 $\mathcal C$ の任意の二つの骨格が圏同値であることを導け。

解答.

$F:\mathcal A\to\mathcal B$ と $H:\mathcal B\to\mathcal D$ を充満忠実とする。射 $v:HF(A)\to HF(A')$ に対し、 $H$ の充満忠実性により $H(u)=v$ を満たす $u:F(A)\to F(A')$ がただ一つあり、 $F$ の充満忠実性により $F(f)=u$ を満たす $f:A\to A'$ がただ一つある。したがって合成は充満忠実である。

$F,H$ が本質的全射であるとする。各 $D\in\mathcal D$ に対して同型射 $h:H(B)\to D$ をとり、さらに同型射 $f:F(A)\to B$ をとると、 $h\circ H(f):HF(A)\to D$ は同型射である。よって合成は本質的全射である。対象 $D$ ごとに存在を述べるだけなので、この議論に選択を用いない。

$V$ -小圏 $\mathcal C$ の骨格を $\mathcal S,\mathcal S'$ 、包含を $I,I'$ とする。命題 4.3により、 $I'$ に準逆 $R':\mathcal C\to\mathcal S'$ と自然同型を与えることができる。 $I$ と $R'$ は充満忠実かつ本質的全射なので、合成 $R'I$ も同じ性質をもつ。 $\mathcal S'$ は $V$ -小圏の部分圏として $V$ -小であるから、系 5.2により $R'I$ から圏同値が得られる。 $\mathcal S$ も $V$ -小なので、 $\mathcal S\simeq\mathcal S'$ である。

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§E9.4圏同値と骨格

1 圏同値

2 充満忠実性と本質的全射性

3 有限圏と行列の圏

4 骨格

5 小さい添字による選択

6 演習

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