§E9.8モノ射とエピ射

証明.主張 (1)を示す。$\mathcal C$の射$g,h:X\to A$を、反対圏では$g^{\mathrm{op}},h^{\mathrm{op}}:A\to X$と見る。反対圏の合成の定義により、$g^{\mathrm{op}}\circ^{\mathrm{op}}f^{\mathrm{op}}=h^{\mathrm{op}}\circ^{\mathrm{op}}f^{\mathrm{op}}$は$f\circ g=f\circ h$と同じ等式である。したがって、反対圏での$f^{\mathrm{op}}$のエピ性は$f$のモノ性と同じ条件である。

主張 (2)を示す。反対圏を二度とると元の圏に戻るので、同じ同値を反対圏の射$f^{\mathrm{op}}$に適用すると、エピ性とモノ性を交換した同値も得られる。▨

証明. 同型射$f:A\to B$と射$g,h:X\to A$が$f\circ g=f\circ h$を満たすとする。左から$f^{-1}$を合成すると、結合律と逆射の等式により$g=h$を得る。また、射$u,v:B\to Y$が$u\circ f=v\circ f$を満たせば、右から$f^{-1}$を合成して$u=v$を得る。▨

証明.(1)$\Leftrightarrow$(2)を示す。対象$X$を取る。$\Hom(X,f)$は射$g:X\to A$を$f\circ g$に送るので、その単射性は、任意の射$g,h:X\to A$について$f\circ g=f\circ h$ならば$g=h$となることに等しい。すべての$X$についてこの条件を課すと、モノ射の消去律になる。

(2)$\Leftrightarrow$(3)を示す。§E9.7 命題 3.3 (1)の自然変換$y(f)$の成分は$y(f)_X(g)=f\circ g$であるから、$y(f)_X=\Hom(X,f)$である。▨

証明.§E9.7 命題 1.3により、反対圏の対象$B,A$の反変 hom 関手はそれぞれ$h^B,h^A$である。$\mathcal C^{\mathrm{op}}$における$y_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(f^{\mathrm{op}})_Y$は、射$u:Y\to B$を$f^{\mathrm{op}}\circ^{\mathrm{op}}u$に送る。この対応は元の圏では$u:B\to Y$を$u\circ f$に送るので、$\Hom(f,Y)$である。▨

証明.§E9.1 命題 7.2により反対圏も局所$V$-小なので、命題 2.1を$f^{\mathrm{op}}$に適用する。命題 1.2と命題 2.2によって三条件を元の圏で読み替えると、主張の同値を得る。▨

証明.主張 (1)を示す。$f$が単射で、写像$g,h:X\to A$が$f\circ g=f\circ h$を満たすとする。任意の$x\in X$に対し$f(g(x))=f(h(x))$なので、単射性により$g(x)=h(x)$である。したがって$g=h$であり、$f$はモノ射である。逆に、$f$をモノ射とし、$f(a)=f(a')$を満たす$a,a'\in A$を取る。一元集合$\{\ast\}$から$A$への写像$g,h$を$g(\ast)=a$、$h(\ast)=a'$で定めると、両写像は$f\circ g=f\circ h$を満たすので、$g=h$、したがって$a=a'$である。

主張 (2)を示す。$f$が全射で、写像$g,h:B\to Y$が$g\circ f=h\circ f$を満たすとする。任意の$b\in B$に対して$f(a)=b$を満たす$a\in A$が存在するので、$g(b)=g(f(a))=h(f(a))=h(b)$である。したがって$g=h$であり、$f$はエピ射である。逆に、$f$が全射でないとし、$b_0\in B\setminus f(A)$を取る。$g:B\to\{0,1\}$を定値$0$の写像とし、$h:B\to\{0,1\}$を$h(b_0)=1$、$b\ne b_0$ならば$h(b)=0$と定める。$g\circ f=h\circ f$であるが$g(b_0)\ne h(b_0)$なので、$f$はエピ射でない。▨

証明.

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証明.主張 (1)の証明は演習とする（問題 5.1 (1)）。

主張 (2)を示す。反対圏にモノ射の項を適用し、§E9.5 命題 2.1と命題 1.2によって読み替えると、エピ射の項を得る。▨