蛇の補題 | 圏論 I

1 完全列と誘導射

定義 1.1. アーベル圏の対象と射を配置した図が可換図式 (commutative diagram) であるとは、同じ始点と終点をもつ矢印の道に沿う合成がすべて一致することをいう。列 $M_\bullet,N_\bullet$ の間の列の射 (morphism of sequences) とは、各次数の射 $f_j:M_j\to N_j$ の族であって $f_{j+1}d_j^M=d_j^Nf_j$ を満たすものをいう。両列が完全列または短完全列である場合、それぞれ完全列の射、短完全列の射という。

補題 1.2. アーベル圏の可換四角形 $gd^M=d^Nf$ に対して、 $\ker d^M\to\ker d^N$ と $\operatorname{coker}d^M\to\operatorname{coker}d^N$ が一意に誘導される。核の包含を $s^M,s^N$ 、余核への射を $q^M,q^N$ と書くと、誘導射 $a,b$ は

s^Na=fs^M,\qquad bq^M=q^Ng

によって定まる。 $(f,g)\mapsto(a,b)$ は、恒等射の組を恒等射へ、四角形の射の合成を誘導射の合成へ移す。

証明. $d^Nfs^M=gd^Ms^M=0$ なので、核の普遍性により $a$ が定まる。 $q^Ngd^M=q^Nd^Nf=0$ なので、余核の普遍性により $b$ が定まる。合成した四角形に対して誘導射の合成は同じ等式を満たし、一意性から所要の誘導射に一致する。恒等射についても同じ一意性を用いる。▨

補題 1.3. アーベル圏で、二つの列 $M_1\xrightarrow{d_1^M}M_2\xrightarrow{d_2^M}M_3$ と $N_1\xrightarrow{d_1^N}N_2\xrightarrow{d_2^N}N_3$ の各合成が零であり、 $(f_1,f_2,f_3)$ が列の射であるとする。このとき、核と余核の誘導射を $a_1,a_2$ と $b_1,b_2$ と書く。

上段が $M_2$ で完全で $d_1^N$ がモノ射ならば、核の列は $\ker f_2$ で完全である。
下段が $N_2$ で完全で $d_2^M$ がエピ射ならば、余核の列は $\operatorname{coker}f_2$ で完全である。
$d_1^M$ がモノ射ならば $a_1$ はモノ射である。
$d_2^N$ がエピ射ならば $b_2$ はエピ射である。

証明.主張 (1)を示す。核の包含を $s_j$ とする。 $s_3a_2=d_2^Ms_2$ と $s_3$ のモノ性から、 $\ker a_2$ を $M_2$ の部分対象とみなすと

\ker a_2=\ker f_2\cap\ker d_2^M =\ker f_2\cap\operatorname{im}d_1^M

である。一方、 $d_1^N$ のモノ性と四角形の可換性から

\ker f_1=\ker(d_1^Nf_1)=\ker(f_2d_1^M) =(d_1^M)^{-1}(\ker f_2).

したがって§E9.19 定理 6.5により、 $M_2$ の部分対象として

\operatorname{im}a_1=d_1^M((d_1^M)^{-1}\ker f_2) =\ker f_2\cap\operatorname{im}d_1^M.

包含 $s_2$ はモノ射なので、核の列の中央で像と核が一致する。主張 (2)を示す。核の列の結果を反対圏に適用し、§E9.19 命題 4.2により元の圏の完全性に戻す。

主張 (3)を示す。 $s_2a_1=d_1^Ms_1$ がモノ射ならば $a_1$ もモノ射であり、

主張 (4)を示す。主張 (3)を反対圏に適用する。▨

2 蛇の補題

定義 2.1. アーベル圏の図

\begin{array}{ccccccccc} &&M_1&\xrightarrow{d_1^M}&M_2&\xrightarrow{d_2^M}&M_3&\longrightarrow&0\\ &&\downarrow f_1&&\downarrow f_2&&\downarrow f_3\\ 0&\longrightarrow&N_1&\xrightarrow{d_1^N}&N_2&\xrightarrow{d_2^N}&N_3 \end{array}

に対して、二行 $M_1\to M_2\to M_3\to0$ 、 $0\to N_1\to N_2\to N_3$ が完全であり、 $(f_1,f_2,f_3)$ が列の射であるとする。二つのこの形の図式の間の六つの射で、水平・垂直のすべての四角形を可換にするものを図式の射 (morphism of diagrams) という。

補題 2.2.定義 2.1の条件を満たす図式 $D$ について次の帰着が成り立つ。

二行を $0\longrightarrow\operatorname{coker}d_1^M\longrightarrow M_3\longrightarrow0, \qquad 0\longrightarrow\operatorname{coker}f_1\longrightarrow \operatorname{coker}(d_1^Nf_1)\longrightarrow N_3$ とし、縦射を誘導射とする図式 $D'$ は同じ条件を満たす。 $D'$ の対象と射にプライムを付けて $M'_j,N'_j,f'_j,a'_j,b'_j$ と書く。標準射 $D\to D'$ は $\ker f_3$ 上で恒等射、 $\operatorname{coker}f_1$ と $\operatorname{coker}f_2$ 上で同型を誘導し、 $\ker f_3$ 内で $\operatorname{im}a_2=\operatorname{im}a'_2$ である。
二行を $M_1\longrightarrow(d_2^M)^{-1}(\ker f_3)\longrightarrow\ker f_3\longrightarrow0, \qquad 0\longrightarrow N_1\longrightarrow\ker d_2^N\longrightarrow0$ とし、縦射を制限とする図式 $D''$ も同じ条件を満たす。 $D''$ の対象と射に二つのプライムを付けて $M''_j,N''_j,f''_j,a''_j,b''_j$ と書く。標準射 $D''\to D$ は $\operatorname{coker}f_1$ 上で恒等射、 $\ker f_3$ と $\ker f_2$ 上で同型を誘導し、 $\operatorname{coker}f_1$ の商対象として $\operatorname{coim}b''_1=\operatorname{coim}b_1$ である。 $M_1=0$ ならば $M''_1=0$ である。
これらの比較同型と可換になる射 $\delta:\ker f_3\to\operatorname{coker}f_1$ と帰着後の対応する射を与えたとき、六項列の $\ker f_3$ と $\operatorname{coker}f_1$ での完全性は帰着の前後で同値である。二つの帰着は図式の射を一意に誘導し、標準射と可換になる。

証明.主張 (1)を示す。 $T=\operatorname{im}d_1^M$ 、 $K=\operatorname{im}d_1^N$ 、 $J=\operatorname{im}(d_1^Nf_1)$ と置く。上段の完全性により $M_2/T\to M_3$ は同型である。 $d_1^N$ はモノ射なので $K/J\cong\operatorname{coker}f_1$ である。§E9.19 命題 6.6 (2)が

0\to K/J\to N_2/J\to N_2/K\to0

を与える。 $N_2/K\to N_3$ はモノ射なので、後合成しても中央の完全性は保たれる。この完全列が $D'$ の下段である。 $f_2d_1^M=d_1^Nf_1$ なので、 $f_2$ は商の間の射 $\bar f_2:M_2/T\to N_2/J$ を誘導する。

商射を $q:M_2\to M_2/T$ 、 $r:N_2\to N_2/J$ とする。 $J=f_2(T)$ なので§E9.19 定理 6.5から

q^{-1}(\ker\bar f_2)=\ker(rf_2)=f_2^{-1}J=T+\ker f_2.

$q$ はエピ射であり、同じ公式の第一式を適用すると

\ker\bar f_2=q(T+\ker f_2)=q(\ker f_2).

最後の等式では、像が和を保つことを用いた。これは像と逆像の対応§E9.19 命題 6.3 (1)によって、両辺が同じ上界をもつことから従う。したがって $\ker f_2\to\ker\bar f_2$ はエピ射であり、 $M_3$ への像は変わらない。

$J\leq\operatorname{im}f_2$ であるから、 $\bar f_2$ の余核は $N_2/\operatorname{im}f_2$ である。余核の普遍性でも、 $trf_2=0$ と $t\bar f_2q=0$ の同値からこの同型を得る。第一の余核は零射 $0\to\operatorname{coker}f_1$ の余核なので、比較は恒等同型となる。これで主張 (1)は示された。

主張 (2)を示す。主張 (1)を反対圏の図式 $N_3\to N_2\to N_1\to0$ 、 $0\to M_3\to M_2\to M_1$ に適用して得られる。反対圏での商を元の圏の核と読むと、中央の対象は $\ker(f_3d_2^M)=(d_2^M)^{-1}(\ker f_3)$ となる。像の一致は余像の一致に移る。

主張 (3)を示す。図式の射は、第一の帰着では各余核へ、第二の帰着では各核と pullback へ、普遍性によって唯一の射を誘導する。これらは標準射と可換であり、恒等射と合成も保つ。完全性の比較は、第一の帰着では $a_2$ の像と $b_1$ の核が比較同型で一致すること、第二の帰着では $a_2$ の像と $b_1$ の余像、したがって核が一致することによる。▨

補題 2.3.定義 2.1の図式で $M_1=0$ 、 $N_3=0$ ならば、 $d_2^M$ と $d_1^N$ は同型である。 $\ker f_3=M_3$ 、 $\operatorname{coker}f_1=N_1$ と同一視し、

\delta_0=(d_1^N)^{-1}f_2(d_2^M)^{-1}

と置くと、核三項、 $\delta_0$ 、余核三項を並べた六項列は完全である。この射は $M_1=0$ 、 $N_3=0$ の図式の間の射と可換になる。

証明. 行の完全性と§E9.19 命題 4.3 (2)により両水平射は同型である。基本列 $\ker f_2\to M_2\xrightarrow{f_2}N_2\to\operatorname{coker}f_2$ をこの二つの同型で移すと、所要の中央四項の完全性を得る。 $\ker f_1$ と $\operatorname{coker}f_3$ は零である。図式の射は水平同型と可換なので、その逆射とも可換であり、表示した合成とも可換になる。▨

定義 2.4.定義 2.1の図式 $D$ に第一の帰着を施した $D'$ に、第二の帰着を施した図式を $D'''$ とする。 $D$ の連結射 (connecting morphism) $\delta_D:\ker f_3\to\operatorname{coker}f_1$ を、比較同型と $\delta_0$ の合成

\ker f_3\xrightarrow{\sim}\ker f'''_3 \xrightarrow{\delta_0}\operatorname{coker}f'''_1 \xrightarrow{\sim}\operatorname{coker}f_1

と定める。

定理 2.5 (蛇の補題). アーベル圏の可換図式で、上段 $M_1\to M_2\to M_3\to0$ と下段 $0\to N_1\to N_2\to N_3$ が完全であり、縦射を $f_1,f_2,f_3$ とする。この図式を $D$ 、核と余核の誘導射を $a_1,a_2,b_1,b_2$ 、連結射を $\delta_D$ と書く。このとき

\ker f_1\xrightarrow{a_1}\ker f_2\xrightarrow{a_2}\ker f_3 \xrightarrow{\delta_D}\operatorname{coker}f_1 \xrightarrow{b_1}\operatorname{coker}f_2\xrightarrow{b_2}\operatorname{coker}f_3

は完全である。上段の最初の射がモノ射ならば $a_1$ はモノ射であり、下段の最後の射がエピ射ならば $b_2$ はエピ射である。

証明.補題 1.3により $\ker f_2$ と $\operatorname{coker}f_2$ での完全性および両端の結論を得る。補題 2.2の二つの帰着によって $M_1=0$ 、 $N_3=0$ の場合に移る。帰着の誘導射は標準射と可換であり、 $M_1=0$ 、 $N_3=0$ の場合の射 $\delta_0$ も図式の射と可換なので、それらの合成で定めた $\delta_D$ は帰着の比較と可換である。したがって残る二箇所の完全性は補題 2.3から移される。▨

3 連結射の自然性

命題 3.1.定義 2.1の条件を満たす二つの図式 $D,E$ の間の図式の射 $\varphi:D\to E$ は、連結射と可換な射 $\ker f_3^D\to\ker f_3^E$ と $\operatorname{coker}f_1^D\to\operatorname{coker}f_1^E$ を誘導する。したがって六項完全列の射を与える。連結射は帰着に用いた核、余核、逆像の取り方によらない。

証明.補題 2.2により $\varphi$ は $D'\to E'$ 、 $D'''\to E'''$ を一意に誘導し、比較射と可換になる。 $M_1=0$ 、 $N_3=0$ の図式では、誘導された射は補題 2.3により $\delta_0$ と可換である。連結射を定める各因子について四角形が可換なので、その合成も可換である。他の四つの射との可換性は補題 1.2による。同じ図式で取り方だけを変え、恒等射の族にこの主張を適用すると、核と余核の標準比較同型のもとで連結射が一致する。▨

命題 3.2. 左 $R$ 加群の圏の図式が定義 2.1の条件を満たすとする。このとき、 $x\in\ker f_3$ に対して $d_2^M(y)=x$ となる任意の $y\in M_2$ を取り、 $d_1^N(z)=f_2(y)$ となる $z\in N_1$ を取ると

\delta_D(x)=z+\operatorname{im}f_1

である。この連結射は加群の蛇の補題の連結準同型と一致する。

証明. $d_2^M$ は全射なので $y$ が存在する。 $d_2^Nf_2(y)=f_3(x)=0$ と下段の完全性から $z$ が存在し、 $d_1^N$ の単射性から一意である。第一の帰着で $y$ は $y+\operatorname{im}d_1^M$ に、 $f_2(y)$ は $f_2(y)+\operatorname{im}(d_1^Nf_1)$ に移る。第二の帰着ではこれらを核に制限する。限定形の $(d_1^N)^{-1}$ に対応する射は後者を $z+\operatorname{im}f_1$ に移すので、定義の合成は表示した式になる。式は任意の持ち上げについて成り立ち、§E6.8 命題 2.1の連結準同型の式と一致する。▨

4 五項補題

系 4.1. アーベル圏の短完全列の射 $(f_1,f_2,f_3)$ において、 $f_1,f_3$ がともにモノ射ならば $f_2$ はモノ射であり、ともにエピ射ならば $f_2$ はエピ射である。とくに両端が同型ならば中央も同型である。

証明.定理 2.5の列の最初の四項と最後の四項において、両端の核が零ならば中央の核も零、両端の余核が零ならば中央の余核も零である。§E9.19 系 3.4を適用する。▨

系 4.2. アーベル圏の五項の列の射 $f_j:A_j\to B_j$ （ $1\leq j\leq5$ ）について、両行が第二・第三・第四項で完全であるとする。

$f_2,f_4$ がモノ射で $f_1$ がエピ射ならば、 $f_3$ はモノ射である。
$f_2,f_4$ がエピ射で $f_5$ がモノ射ならば、 $f_3$ はエピ射である。
$f_2,f_4$ が同型、 $f_1$ がエピ射、 $f_5$ がモノ射ならば、 $f_3$ は同型である。

証明.主張 (1)を示す。 $K=\operatorname{im}(A_2\to A_3)$ 、 $I=\operatorname{im}(A_3\to A_4)$ とし、下段の対応物を $K',I'$ とする。 $f_4$ がモノ射ならば $I\to I'$ もモノ射である。短完全列 $0\to K\to A_3\to I\to0$ と下段の列に蛇の補題を適用すると、 $\ker f_3\cong\ker(K\to K')$ となる。

$J=\operatorname{im}(A_1\to A_2)$ と下段の $J'$ に対して、 $f_1$ のエピ性と§E9.19 補題 3.2から $J\to J'$ はエピ射である。 $0\to J\to A_2\to K\to0$ と下段の列に蛇の補題を適用すると、 $\ker f_2=0$ と $\operatorname{coker}(J\to J')=0$ の間に $\ker(K\to K')$ が入るので、この核は零である。よって $f_3$ はモノ射である。

主張 (2)を示す。反対圏で主張 (1)を適用する。

主張 (3)を示す。主張 (1)と主張 (2)により $f_3$ はモノ射かつエピ射であり、§E9.19 系 3.4 (3)により同型である。▨

5 短完全列の分裂

定義 5.1. 短完全列 $0\to A\xrightarrow iB\xrightarrow pC\to0$ に対し、 $ri=\id_A$ を満たす $r:B\to A$ をレトラクション (retraction)、 $ps=\id_C$ を満たす $s:C\to B$ をセクション (section) という。いずれかが存在するとき列は分裂する (split) という。

命題 5.2. アーベル圏の双積 $A\oplus C$ に対し、 $0\to A\xrightarrow{i_A}A\oplus C\xrightarrow{p_C}C\to0$ は短完全列である。 $p_A$ はレトラクション、 $i_C$ はセクションである。

証明. 射 $x:X\to A\oplus C$ が $p_Cx=0$ を満たすならば $x=(i_Ap_A+i_Cp_C)x=i_Ap_Ax$ であり、 $p_Ai_A=\id$ が因子化の一意性を与えるので、 $i_A=\ker p_C$ である。双対に $p_C=\operatorname{coker}i_A$ である。レトラクションとセクションの等式は双積の等式である。▨

命題 5.3. アーベル圏の短完全列 $0\to A\xrightarrow iB\xrightarrow pC\to0$ について次の条件は同値である。

$i$ のレトラクションが存在する。
$p$ のセクションが存在する。
$\Theta i=i_A$ 、 $p_C\Theta=p$ を満たす同型 $\Theta:B\to A\oplus C$ が存在する。

主張 (3)の $\Theta$ に対し、 $r=p_A\Theta$ 、 $s=\Theta^{-1}i_C$ と $i,p$ は $B$ を $A,C$ の双積にする。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $ri=\id_A$ とする。上段を $A\to B\to C\to0$ 、下段を $0\to A\xrightarrow{\id}A\to0$ 、縦射を $\id_A,r,0$ とする図式に蛇の補題を適用すると、 $\ker r\to C$ は同型である。その逆射と核の包含の合成がセクションを与える。

(1) $\Rightarrow$ (3)を示す。元の短完全列から双積の短完全列への縦射を $\id_A,\Theta=(r,p),\id_C$ とする。 $ri=\id_A$ と $pi=0$ により図式は可換であり、系 4.1によって $\Theta$ は同型である。

(3) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $\Theta$ があれば $p_A\Theta$ はレトラクションとなる。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。(1) $\Rightarrow$ (2)の議論を反対圏で適用する。最後の双積の等式は $A\oplus C$ の等式を $\Theta$ で移したものである。▨

命題 5.4. アーベル圏の短完全列 $0\to A\xrightarrow iB\xrightarrow pC\to0$ について次が成り立つ。

セクション $s$ に対して $ir=\id_B-sp$ を満たすレトラクション $r$ が一意に定まる。双対にレトラクション $r$ に対して $sp=\id_B-ir$ を満たすセクション $s$ が一意に定まる。これらは互いに逆な対応であり、対応する組は $rs=0$ を満たす。
対応する組について $(r,p)$ の逆射は $ip_A+sp_C$ である。任意のセクション $s'$ に対して $s'-irs'$ は $r$ に対応するセクションである。
レトラクションが存在する場合、その全体には $\operatorname{Hom}(C,A)$ が $r\mapsto r+\psi p$ によって自由かつ推移的に作用する。任意の二つのレトラクション $r,r'$ に対し、 $r-r'=\psi p$ を満たす $\psi$ は一意に存在する。

証明. 演習とする（問題 7.1）。▨

例 5.5. $0\to\Z\xrightarrow2\Z\to\Z/2\Z\to0$ は分裂しない（§E6.8 例 3.3）。

例 5.6. $\mathcal I$ を一つの矢印 $0\to1$ の圏とする。このとき、関手圏 $[\mathcal I,\mathbf{Ab}]$ の列

0\to(0\to\Z)\to(\Z\xrightarrow{\id}\Z)\to(\Z\to0)\to0

は各点で短完全なので短完全列であり、各点の列は分裂する。しかしセクション $s$ が自然変換であれば、矢印 $0\to1$ に対する自然性が $s_0=0$ を要求する。商射の対象 $0$ での成分は恒等射なので $p_0s_0=\id_{\Z}$ と矛盾する。したがって関手圏では分裂しない。

6 例

例 6.1. 上段と下段を $0\to\Z\xrightarrow2\Z\to\Z/2\Z\to0$ 、縦射を $2,2,0$ とする。このとき、連結射は $\Z/2\Z$ の恒等射であり、六項列は

0\to0\to0\to\Z/2\Z\xrightarrow{\id}\Z/2\Z \xrightarrow0\Z/2\Z\xrightarrow{\id}\Z/2\Z\to0

である。第一の帰着の下段は $0\to\Z/2\Z\xrightarrow2\Z/4\Z\to\Z/2\Z$ 、中央縦射は $\Z/2\Z\xrightarrow2\Z/4\Z$ となる。第二の帰着で下段中央は $2\Z/4\Z$ となるので、 $M_1=0$ 、 $N_3=0$ の場合の合成は $1\mapsto1\mapsto2\mapsto1$ である。加群での式でも $y=1$ 、 $z=1$ となり一致する。

例 6.2. 上段を $\Z\xrightarrow{0}0\to0\to0$ 、下段と縦射をすべて零とする図式は定義 2.1の条件を満たす。六項列は $\Z\to0\to0\to0\to0\to0$ であり中央の各項で完全であるが、最初の射はモノ射ではない。左端に零を付けた列は $\Z$ で完全でない。

7 演習

問題 7.1.命題 5.4を証明せよ。

解答.

セクション $s$ に対して $p(\id_B-sp)=0$ なので、 $i=\ker p$ の普遍性が $ir=\id_B-sp$ を満たす唯一の $r$ を与える。 $iri=i$ と $i$ のモノ性から $ri=\id_A$ である。逆向きは余核の普遍性による。両対応は同じ等式を特徴づけるので互いに逆である。また $irs=s-sps=0$ から $rs=0$ となる。

$(r,p)(ip_A+sp_C)$ の四成分は対角成分が恒等射、非対角成分が零である。逆順の合成は $ir+sp=\id_B$ である。任意のセクション $s'$ に対して $p(s'-irs')=\id_C$ 、 $r(s'-irs')=0$ である。さらに $(s'-irs')p=(\id-ir)s'p=sp s'p=sp$ なので、 $p$ のエピ性により補正した射は $s$ に一致する。

レトラクション $r,r'$ の差は $(r-r')i=0$ を満たす。 $p=\operatorname{coker}i$ の普遍性から $r-r'=\psi p$ を満たす $\psi$ が一意に定まる。 $r+\psi p$ は再びレトラクションであり、加法が作用の法則を与える。差の一意性が自由性と推移性である。▨

問題 7.2.例 6.1の六つの核・余核と誘導射を計算し、完全性を確かめよ。また例 6.2の両行の完全性と端での不完全性を確かめよ。

解答.

整数の図式では二倍写像の核は零、余核は $\Z/2\Z$ である。零写像 $\Z/2\Z\to\Z/2\Z$ の核と余核はともに $\Z/2\Z$ である。核の最初の二射は零、余核の最初の射は二倍写像が誘導する零射、最後の射は商写像が誘導する恒等射である。連結射は本文の計算により恒等射であり、像と次の核が各項で一致する。

端の例では上段の第二項以降と下段の全項が零なので完全である。核は順に $\Z,0,0$ 、余核はすべて零である。最初の射の核は $\Z$ なので、左端に零を追加すると完全性が成立しない。▨

§E9.20蛇の補題