end と coend | 圏論 I

1 楔と余楔

定義 1.1. $H:\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathcal D$ を関手とする。対象 $d$ から $H$ への楔 (wedge) とは、射の族 $\omega_c:d\to H(c,c)$ であって、任意の射 $u:c\to c'$ に対して

H(\id_c,u)\omega_c=H(u,\id_{c'})\omega_{c'}

を満たすものをいう。楔 $(E,\omega)$ がend (end) であるとは、任意の楔 $(d,\omega')$ に対して $\omega_ct=\omega'_c$ をすべての $c$ で満たす射 $t:d\to E$ がただ一つ存在することをいう。 $E=\int_cH(c,c)$ と書く。

$H$ から $d$ への余楔 (cowedge) とは、射の族 $\omega_c:H(c,c)\to d$ であって、任意の射 $u:c\to c'$ に対して

\omega_cH(u,\id_c)=\omega_{c'}H(\id_{c'},u)

を満たすものをいう。余楔 $(Q,\omega)$ がcoend (coend) であるとは、任意の余楔 $(d,\omega')$ に対して $t\omega_c=\omega'_c$ をすべての $c$ で満たす射 $t:Q\to d$ がただ一つ存在することをいう。 $Q=\int^cH(c,c)$ と書く。

$\mathcal C$ が $V$ -小ならば、これらの族は $V$ の元である。 $\mathcal C$ が $V$ -小でない場合、普遍性は、構成して与えた族ごとの主張である。対象全体が $V$ -小で射全体だけが大きい場合にも、成分族自体は $V$ の元である。

命題 1.2. 関手 $H:\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathcal D$ の end と coend は、それぞれ構造射と両立する一意な同型を除いて一意である。反対関手

\bar H=H^{\mathrm{op}}:\mathcal C\times\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal D^{\mathrm{op}}

を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 上の二変数関手とみなすと、 $H$ の余楔は $\bar H$ の楔であり、 $H$ の coend は $\bar H$ の end である。

証明. 二つの end $E,E'$ の普遍性から、構造射と両立する射 $t:E\to E'$ と $s:E'\to E$ を得る。合成 $st$ と恒等射は同じ構造射を与えるので一意性から $st=\id_E$ となり、 $ts=\id_{E'}$ も成り立つ。coend では矢印を逆にして同じ一意性を適用する。

$u:c\to c'$ に対する余楔の等式を反対圏で読むと、 $u^{\mathrm{op}}:c'\to c$ に対する $\bar H$ の楔の等式になる。普遍射の向きも逆になるので end の条件と一致する。ここで対象の値は $\bar H(a,b)=H(a,b)$ である。▨

注意 1.3. 対応 $(a,b)\mapsto H(b,a)$ は $\mathcal C\times\mathcal C^{\mathrm{op}}$ から $\mathcal D^{\mathrm{op}}$ への関手とは限らない。実際、 $\mathcal C$ を $0\to1$ の圏、 $H=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}$ とすると、変数交換には $\operatorname{Hom}(1,1)\to\operatorname{Hom}(1,0)$ という、非空集合から空集合への写像が必要になる。

命題 1.4. $\mathcal C$ を $V$ -小圏、 $H:\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathcal D$ を関手とする。このとき、次が成り立つ。

$\mathcal D$ が完備ならば、 $H$ の end は二射 $\rho,\sigma:\prod_cH(c,c)\rightrightarrows\prod_{u:c\to c'}H(c,c'), \quad p_u\rho=H(\id_c,u)p_c,\quad p_u\sigma=H(u,\id_{c'})p_{c'}$ の等化子 $e$ と $p_ce$ によって与えられる。
$\mathcal D$ が余完備ならば、 $H$ の coend は二射 $\rho,\sigma:\coprod_{u:c\to c'}H(c',c)\rightrightarrows\coprod_cH(c,c), \quad \rho\kappa_u=\iota_cH(u,\id_c),\quad \sigma\kappa_u=\iota_{c'}H(\id_{c'},u)$ の余等化子 $q$ と $q\iota_c$ によって与えられる。
関手 $T:\mathcal D\to\mathcal D'$ が上の二つの余積と余等化子を保つならば、その coend を保つ。局所 $V$ -小圏の間の左随伴は、存在する coend を保つ。

証明.主張 (1)と主張 (3)の証明は演習とする（問題 5.1 (1)）。主張 (2)は命題 1.2により主張 (1)を反対圏に適用して得られる。空圏の場合には、空積である終対象と空余積である始対象がそれぞれの普遍性を満たす。▨

2 自然変換の end

命題 2.1. $\mathcal C$ を $V$ -小圏、 $\mathcal D$ を局所 $V$ -小圏、 $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$ を関手とする。このとき、対応

H(c',c)=\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(c'),G(c)),\qquad H(u,v)(f)=G(v)fF(u)

は集合値の二変数関手であり、 $\operatorname{Nat}(F,G)$ と写像 $\alpha\mapsto\alpha_c$ はその end である。すなわち $\operatorname{Nat}(F,G)\cong\int_c\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(c),G(c))$ である。

証明. $F,G$ の関手性と合成の結合律から $H$ の関手性が従う。集合 $X$ からの楔 $\omega$ に対し、各 $x\in X$ の成分族 $(\omega_c(x))_c$ は楔の等式によって自然変換を定める。各 $x$ にこの自然変換を対応させる写像 $t$ は、すべての $c$ について $(\alpha\mapsto\alpha_c)t=\omega_c$ を満たす唯一の写像 $X\to\operatorname{Nat}(F,G)$ である。両端と成分族の組からなる集合としての自然変換の全体は、成分族の集合と標準的に全単射であり、 $V$ -小である（§E9.3 命題 4.5）。したがって、 $\operatorname{Nat}(F,G)$ は $\mathbf{Set}$ の対象であり、上の対応により end の普遍性を満たす。▨

例 2.2. $\mathcal C$ を $V$ -小圏、 $P:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ を前層、 $A\in\mathcal C$ とする。このとき、命題 2.1と§E9.7 定理 2.1により

\int_c\operatorname{Map}(\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,A),P(c))\longrightarrow P(A), \qquad \omega\longmapsto\omega_A(\id_A)

は全単射である。その逆は $x\mapsto(u\mapsto P(u)(x))$ である。

3 前層と関手のテンソル積

命題 3.1. $X$ を $V$ -小集合、 $e$ を圏 $\mathcal E$ の対象とし、余積 $X\cdot e=\coprod_{x\in X}e$ と入射 $\iota_x$ が与えられているとする。このとき、同様に与えられた余積 $X'\cdot e'$ 、写像 $f:X\to X'$ 、射 $g:e\to e'$ に対して

(f\cdot g)\iota_x=\iota_{f(x)}g

を満たす射が一意に定まる。 $\mathcal E$ の任意の対象 $d$ について、射 $X\cdot e\to d$ は射の族 $(e\to d)_{x\in X}$ と一対一に対応し、この対応は前合成と後合成と両立する。

証明.§E9.6 命題 2.3の余積の普遍性を射の族 $\iota_{f(x)}g$ に適用する。恒等射と合成に関する式は、各 $\iota_x$ との合成が一致することから従う。射の族との対応も同じ普遍性による。▨

命題 3.2. $\mathcal C$ を $V$ -小圏、 $\mathcal E$ を余完備な圏、 $P$ を $\mathcal C$ の前層、 $F:\mathcal C\to\mathcal E$ を関手とする。このとき、次が成り立つ。

各対 $(c',c)$ に余積 $P(c')\cdot F(c)$ を取ると、これらは二変数関手を定め、その coend $P\otimes_{\mathcal C}F=\int^cP(c)\cdot F(c)$ が存在する。この対象を $P$ と $F$ のテンソル積 (tensor product of functors) という。
coend の構造射 $\omega_c$ と入射 $\iota_x$ の合成を $\omega_{c,x}:F(c)\to P\otimes_{\mathcal C}F$ と書く。 $\mathcal E$ の任意の対象 $d$ について、射 $P\otimes_{\mathcal C}F\to d$ は $\phi_{c,P(u)(x')}=\phi_{c',x'}F(u) \quad(u:c\to c',\ x'\in P(c'))$ を満たす族 $\phi_{c,x}:F(c)\to d$ に一対一に対応する。
テンソル積はこの構造射を保つ一意な同型を除いて一意である。

証明.主張 (1)を示す。対象対は $V$ -小なので、余積の族は§E1.21 命題 4.1によって取ることができる。命題 3.1の射への対応を $P$ と $F$ の射に適用すると二変数関手を得る。coend の存在は命題 1.4 (2)による。

主張 (2)を示す。余楔の等式を $P(c')\cdot F(c)$ の $x'$ 番目の入射と合成すると、主張の $\phi$ の等式になる。余積と coend の普遍性を順に適用すれば対応を得る。

主張 (3)を示す。射と族との対応を二つのテンソル積に適用すると、構造射を保つ射が両方向に一意に定まる。両合成は同じ構造射を与えるので、同じ一意性により恒等射である。▨

注意 3.3. $\mathcal E$ に $V$ -小な余極限の選択が与えられていれば、その余積と余等化子を使うことにより、各前層 $P$ に $P\otimes_{\mathcal C}F$ を対応させる規則が定まる。各 $P$ についての存在は命題 3.2による。前層全体にわたるこの規則は、余極限の選択から定まる。集合や加群に値を取る場合には、直和と商の具体的な構成がこの規則を与える。

命題 3.4. $\mathcal C$ を圏、 $P$ を前層、 $F:\mathcal C\to\mathcal E$ を関手とし、各対 $(c',c)$ に余積 $P(c')\cdot F(c)$ が与えられているとする。元の圏の射影を $\pi_P:\int P\to\mathcal C$ と書く。このとき、 $\mathcal E$ の任意の対象 $e$ について、余楔 $\omega$ を族 $(\omega_c\iota_x)_{(c,x)}$ に移す対応は、 $P(-)\cdot F(-)$ から $e$ への余楔と $F\pi_P$ から $e$ への余錐を一対一に対応させ、後合成と両立する。 $P(-)\cdot F(-)$ の coend と $F\pi_P$ の余極限は、この対応によって一致する。とくに $\mathcal C$ が $V$ -小ならば、一方が存在するとき

P\otimes_{\mathcal C}F\cong\operatorname{colim}_{(c,x)\in\int P}F(c)

である。大きい $\mathcal C$ では、対応は、与えられた族ごとの主張である。

証明. 元の圏の射 $u:(c,x)\to(c',x')$ の条件は $P(u)(x')=x$ である。したがって余錐の等式 $\phi_{c',x'}F(u)=\phi_{c,x}$ は命題 3.2の等式と一致する。余積の普遍性が逆対応を与え、後合成との両立性も各成分の等式から従う。この対応により、coend の普遍性と余極限の普遍性は同じ条件になる。▨

命題 3.5.

$\mathcal C$ を局所 $V$ -小圏、 $F:\mathcal C\to\mathcal E$ を関手、 $c\in\mathcal C$ とし、余積 $\operatorname{Hom}(a,c)\cdot F(b)$ が各 $(a,b)$ に与えられているとする。このとき、族 $\omega_a:\operatorname{Hom}(a,c)\cdot F(a)\to F(c),\qquad \omega_a\iota_u=F(u)$ は coend である。射 $v:c\to d$ が誘導する二つの coend の間の射は $F(v)$ である。
$\mathcal C$ を $V$ -小圏、 $P$ を前層とする。このとき、米田埋め込み $y$ に対して $P\cong P\otimes_{\mathcal C}y=\int^cP(c)\cdot h_c, \qquad P(d)\cong\int^cP(c)\times\operatorname{Hom}(d,c)$ である。構造射の $(c,x)$ 成分は $x$ に対応する自然変換 $h_c\to P$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $\mathcal E$ の対象 $e$ と余楔 $\phi$ に対して $t=\phi_{c,\id_c}:F(c)\to e$ と置く。余楔の条件を $u:a\to c$ と $\id_c$ に適用すると $\phi_{a,u}=tF(u)$ となる。逆にこの式は任意の $t$ から余楔を定め、 $u=\id_c$ が一意性を与える。 $F(v)F(u)=F(vu)$ により誘導射の主張も従う。

主張 (2)を示す。§E9.9 定理 4.1の余極限表示に命題 3.4を適用すると主張 (2)の前半を得る。評価関手は各点余極限を保つ（§E9.9 定理 2.6）ので、各 $d$ における式を得る。▨

系 3.6. $\mathcal A$ を $V$ -小圏、 $\mathcal B$ を局所 $V$ -小圏、 $\mathcal D$ を余完備な圏、 $K:\mathcal A\to\mathcal B$ 、 $F:\mathcal A\to\mathcal D$ を関手とする。このとき、次が成り立つ。

$(L,\eta)$ が $F$ の $K$ に沿った各点左 Kan 拡張ならば、各 $b$ で $L(b)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(K(-),b)\otimes_{\mathcal A}F=\int^a\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(K(a),b)\cdot F(a).$ この coend の構造射は $\omega^b_{a,f}=L(f)\eta_a$ であり、 $L(\beta)$ は $\omega^b_{a,f}$ を $\omega^{b'}_{a,\beta f}$ に移す射である。
各 $b$ について被積分関手の余積と coend $(C_b,\omega^b)$ の選択が与えられていれば、 $L(b)=C_b$ 、 $L(f)\eta_a=\omega^b_{a,f}$ を満たす各点左 Kan 拡張がただ一つ定まる。

証明.主張 (1)を示す。§E9.15 命題 2.2により $(K\downarrow b)$ は前層 $\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(K(-),b)$ の元の圏であり、 $V$ -小である。命題 3.4は、この圏上の余極限錐と表示した coend を対応させる。各点 Kan 拡張の定義を適用すると主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。§E9.15 定理 4.1をその余極限錐の族に適用する。実際、 $\eta_a=\omega^{K(a)}_{a,\id_{K(a)}}$ であり、 $L(\beta)$ はすべての構造射との合成で一意に決まる。したがって二つの構成は互いに逆である。▨

4 加群に値を取る coend

命題 4.1. $\mathcal C$ を $V$ -小圏、 $S$ を環、 $H:\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathbf{Mod}\text{-}S$ を関手とする。このとき、射

\delta:\bigoplus_{u:c\to c'}H(c',c)\to\bigoplus_cH(c,c), \qquad \delta\kappa_u=\iota_cH(u,\id_c)-\iota_{c'}H(\id_{c'},u)

の余核 $q$ と族 $q\iota_c$ は $H$ の coend である。忘却関手 $\mathbf{Mod}\text{-}S\to\mathbf{Ab}$ はこの coend を保つ。

証明. 加群の余積は直和である（§E9.14 命題 2.1）。二射 $\rho,\sigma$ に対して $t\rho=t\sigma$ は $t(\rho-\sigma)=0$ と同値なので、余等化子は差の余核である（§E6.2 命題 4.4 (2)）。命題 1.4 (2)により表示した構成を得る。台のアーベル群を取る操作は直和と商を保つので、命題 1.4 (3)により coend を保つ。▨

命題 4.2. $\mathcal C$ を $V$ -小圏、 $S$ を環、 $P:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Ab}$ 、 $F:\mathcal C\to\mathbf{Mod}\text{-}S$ を関手とする。このとき、対応 $(c',c)\mapsto P(c')\otimes_{\Z}F(c)$ は二変数関手である。その coend $P\otimes_{\mathcal C}F=\int^cP(c)\otimes_{\Z}F(c)$ を $P$ と $F$ のテンソル積 (tensor product of module-valued functors) という。この対象は

\bigoplus_cP(c)\otimes_{\Z}F(c)

を、すべての $u:c\to c'$ 、 $x'\in P(c')$ 、 $z\in F(c)$ に対する

\iota_c(P(u)(x')\otimes z)-\iota_{c'}(x'\otimes F(u)(z))

が生成する部分加群で割った商である。 $P\otimes_{\mathcal C}F$ から任意の右 $S$ 加群 $E$ への射は、各変数について加法的で第二変数について右 $S$ 線形な写像 $\beta_c:P(c)\times F(c)\to E$ であって

\beta_c(P(u)(x'),z)=\beta_{c'}(x',F(u)(z))

をすべての $u:c\to c'$ 、 $x'\in P(c')$ 、 $z\in F(c)$ について満たす族と一対一に対応する。

証明. $P(c')$ の標準自由表示§E6.3 系 7.3に、自由加群のテンソル積§E6.12 定理 10.1と余核による存在証明§E6.12 定理 11.1を適用する。この構成では、台集合と核の台集合を基底とする自由加群、直和、商を同じ規則で作るので、全対象対に対するテンソル積が指定される。右 $S$ 作用は第二因子から定まる。§E6.12 命題 12.1により、対応 $(c',c)\mapsto P(c')\otimes_{\Z}F(c)$ は二変数関手であり、命題 4.1により商表示を得る。写像の対応の証明は演習とする（問題 5.2 (1)）。▨

注意 4.3. 集合値前層 $P$ と右 $S$ 加群値関手 $F$ に対して、 $P(c)\cdot F(c)\cong\Z[P(c)]\otimes_{\Z}F(c)$ である。したがって集合値前層のテンソル積は、自由アーベル群を各点で取った前層 $\Z[P]$ の加群値テンソル積と一致する。

命題 4.4. $R,S$ を環、 $M$ を右 $R$ 加群、 $N$ を左 $R$ ・右 $S$ 双加群とする。 $R$ の乗法モノイドの一対象圏 $\mathcal BR$ 上で、 $M$ は右作用による反変関手、 $N$ は左作用による共変関手を定める。このとき

M\otimes_{\mathcal BR}N\cong M\otimes_RN

であり、同型は $[m\otimes n]\mapsto m\otimes n$ で与えられる。

証明. $\mathcal BR$ の対象は一つなので、命題 4.2の族は一つの双加法写像 $\beta$ であり、その条件は $\beta(mr,n)=\beta(m,rn)$ である。これは§E6.12 定義 7.1の平衡性である。§E6.12 定理 11.1の普遍性との一致が、表示した同型とその一意性を与える。▨

命題 4.5. $R=\mathbb F_2$ 、 $M=\mathbb F_2^2$ 、 $N=\mathbb F_2$ とする。このとき、 $UM$ を台集合の前層とすると、アーベル群の圏において

\operatorname{colim}_{\int UM}N\cong UM\otimes_{\mathcal BR}N\cong\mathbb F_2^3, \qquad M\otimes_RN\cong\mathbb F_2^2

である。

証明.命題 3.4と命題 4.1により、左辺は $\bigoplus_{m\in M}N$ を $\iota_{mr}(n)=\iota_m(rn)$ で割った商である。 $r=0$ の関係は $m=0$ の成分を零とし、 $r=1$ の関係は恒等式である。非零元三つの成分には関係が残らないので $\mathbb F_2^3$ を得る。一方、 $M\otimes_RR\to M$ 、 $m\otimes r\mapsto mr$ は $m\mapsto m\otimes1$ を逆写像にもつ。台集合の余極限には $M$ の元の加法関係が課されていない。▨

命題 4.6. $G$ を群、 $X$ を右 $G$ 集合、 $A$ を左 $G$ 集合とする。このとき、次が成り立つ。

$X\otimes_{\mathcal BG}A$ は、 $X\times A$ を $(xg,a)\sim(x,ga)$ で割った集合 $X\times_GA$ である。この関係は作用 $g\cdot(x,a)=(xg^{-1},ga)$ の軌道関係である。
対応 $[(x,a)]\mapsto[x]\otimes[a]$ は自然な同型 $\Z[X\times_GA]\cong\Z[X]\otimes_{\Z[G]}\Z[A]$ を定める。

証明.主張 (1)を示す。§E9.6 命題 3.6の集合の余等化子に命題 1.4 (2)を適用すると、表示した関係による商を得る。関係と軌道の一致は演習とする（問題 5.3 (1)）。

主張 (2)を示す。自由アーベル群を取る関手は左随伴である（§E9.14 命題 2.3）から命題 1.4 (3)により coend を保つ。§E6.12 定理 10.1の自由加群のテンソル積により $\Z[X\times A]\cong\Z[X]\otimes_{\Z}\Z[A]$ を得る。商の関係は $[xg]\otimes[a]=[x]\otimes[ga]$ となる。平衡性の式は群環の元について加法的なので、群の元についての関係だけで群環全体の関係を得る。命題 4.4により、この商は右辺と同型である。逆射は純テンソル $[x]\otimes[a]$ を $[(x,a)]$ に移し、両合成は生成元上で恒等射である。▨

例 4.7. 群の包含 $H\subset G$ と左 $H$ 加群 $W$ に対し、 $K:\mathcal BH\to\mathcal BG$ に沿った $W$ の各点左 Kan 拡張の coend は、 $G$ を添字とする $W$ の直和を $gh\otimes w=g\otimes hw$ で割った商である。系 3.6の式は§E9.15 命題 8.1の誘導加群の表示を与える。

5 演習

問題 5.1.

命題 1.4 (1)と命題 1.4 (3)を証明せよ。

解答.

(1)。積への射 $t:d\to\prod_cH(c,c)$ に対して、 $\rho t=\sigma t$ は各射影との合成を比べると楔の条件そのものである。等化子の普遍性が唯一の因子化を与える。余積と余等化子を保つ関手については、像の二射と構造射が同じ構成を与えるので coend が保存される。随伴 $L\dashv R$ については、自然な全単射 $\operatorname{Hom}(Ld,e)\cong\operatorname{Hom}(d,Re)$ が、 $LH$ から $e$ への余楔と $H$ から $Re$ への余楔を対応させる。 $Q$ が $H$ の coend ならば、それらは $Q\to Re$ 、さらに $LQ\to e$ と一対一に対応する。この対応は構造射との合成によるので、 $LQ$ は coend である。▨

問題 5.2.

命題 4.2の写像の対応を証明せよ。

解答.

(1)。各 $\beta_c$ はテンソル積の普遍性によって一意の右 $S$ 線形射 $P(c)\otimes_{\Z}F(c)\to E$ を与える。直和の普遍性でまとめた射が $\delta$ を零へ送る条件は、表示した平衡関係である。余核の普遍性が商からの唯一の射を与える。逆対応はその射を構造射と純テンソル写像に合成することであり、両対応は互いに逆である。▨

問題 5.3.

命題 4.6 (1)の関係が軌道関係であることを確かめ、 $X\times_GG\cong X$ と $X\times_G\ast\cong X/G$ を示せ。

解答.

(1)。 $(xg,a)$ に $g$ を作用させると $(x,ga)$ となる。逆に任意の軌道内の対 $(x,a)$ と $(xg^{-1},ga)$ は関係 $(xg,a)\sim(x,ga)$ で結ばれる。群作用の軌道関係は同値関係である（§E7.10 命題 4.3）。写像 $[x,g]\mapsto xg$ と $x\mapsto[x,1]$ は互いに逆であり、 $[x,\ast]\mapsto xG$ は軌道集合への全単射である。▨

§E9.16end と coend

1 楔と余楔

2 自然変換の end

3 前層と関手のテンソル積

4 加群に値を取る coend

5 演習

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