Eilenberg–Watts の定理 | 圏論 I

1 加法関手のテンソル積

命題 1.1. $\mathcal C$ を $V$ -小な前加法圏、 $S$ を環、 $P:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Ab}$ と $F:\mathcal C\to\mathbf{Mod}\text{-}S$ を加法関手とする。このとき、テンソル積を§E9.16 命題 4.2の coend とする。

関係の元 $\rho_u(x,z)=\iota_c(P(u)x\otimes z)-\iota_{c'}(x\otimes F(u)z) \quad(u:c\to c')$ は $u$ について加法的である。各 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,c')$ の生成系が与えられていれば、 $u$ を生成系の元に限った $\rho_u(x,z)$ が生成する部分加群は、すべての $u$ の $\rho_u(x,z)$ が生成する部分加群に等しい。
$[u\otimes z]\mapsto F(u)(z)$ は自然な同型 $h_c\otimes_{\mathcal C}F\cong F(c)$ を与える。双対に $P\otimes_{\mathcal C}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(d,-)\cong P(d)$ である。
$\mathcal C=\mathcal BR$ で、 $P=M$ が右 $R$ 加群、 $F=N$ が左 $R$ ・右 $S$ 双加群に対応するとき、 $M\otimes_{\mathcal BR}N\cong M\otimes_RN$ である。

証明. $P,F$ の加法性とテンソル積の双加法性により、 $\rho_{u+v}=\rho_u+\rho_v$ 、 $\rho_{-u}=-\rho_u$ 、 $\rho_0=0$ である。任意の射が生成系の有限整数係数和で書かれるので、関係の生成する部分加群も同じである。

$u\otimes z\mapsto F(u)(z)$ は $F$ の加法性により双加法的であり、第二変数について右 $S$ 線形である。関手性から coend の関係を保つ。逆射を $z\mapsto[\id_c\otimes z]$ とすると、関係

[u\otimes z]=[\id_c\otimes F(u)(z)]

によって両合成は恒等射となる。この同型の $c$ と $F$ についての自然性は、生成元上で両経路の値を比較することによって従う。双対の同型は $[x\otimes v]\mapsto P(v)(x)$ 、逆射 $x\mapsto[x\otimes\id_d]$ である。最後の主張は§E9.16 命題 4.4を同じ一対象の圏に適用したものである。▨

2 加法版の普遍随伴

定理 2.1. $\mathcal C$ を $V$ -小な前加法圏、 $S$ を環、 $F:\mathcal C\to\mathbf{Mod}\text{-}S$ を加法関手とする。このとき、 $N_F(E)=\operatorname{Hom}_S(F(-),E)$ と後合成は、加法関手

N_F:\mathbf{Mod}\text{-}S\to\operatorname{Add}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Ab})

を定める。

加法的な前層 $P$ に対し、 $(\eta_P)_c(x)(z)=[x\otimes z]$ は $P$ から $N_F$ への普遍射であり、自然な全単射 $\operatorname{Hom}_S(P\otimes_{\mathcal C}F,E) \cong\operatorname{Hom}(P,N_F(E))$ を与える。具体的な商として各テンソル積を指定すると、 $P\mapsto P\otimes_{\mathcal C}F$ は $\eta$ が自然になるように関手 $L$ に一意に延び、 $L\dashv N_F$ となる。両関手は加法的である。
米田埋め込み $y$ に対して $Ly\cong F$ である。

証明. 右 $S$ 線形写像 $h:F(c')\to E$ に対し、 $hF(u+v)=hF(u)+hF(v)$ であるから、 $N_F(E)$ は加法的な前層である。後合成も加法的であり、前合成と交換するので $N_F$ を定める。

§E9.16 命題 4.2により、左辺の射は、双加法的かつ第二変数について右 $S$ 線形な族 $\beta_c:P(c)\times F(c)\to E$ で

\beta_c(P(u)x,z)=\beta_{c'}(x,F(u)z)

を満たすものに対応する。Hom–tensor 随伴（§E6.12 命題 16.2）により、この族は群準同型 $\phi_c:P(c)\to\operatorname{Hom}_S(F(c),E)$ の族に対応する。表示した等式は $\phi$ の自然性である。恒等射に対応する $\phi$ が $\eta_P$ であり、各 $\eta_P(x)$ の右線形性は $[x\otimes zs]=[x\otimes z]s$ による。

テンソル積は直和を関係の部分加群で割った商として指定されているので、§E9.10 命題 3.2により関手と随伴を構成することができる。射への作用は $[x\otimes z]\mapsto[\alpha_c(x)\otimes z]$ である。加法性は§E9.18 系 4.3による。主張 (2)を示す。命題 1.1 (2)により $Ly$ と $F$ の自然同型を得る。▨

注意 2.2. 集合値の普遍随伴では、余積の普遍性が元ごとの射の族を与える。加法版のテンソル積では、 $P(c)$ の元の和についての関係も課される。 $P$ の元の圏 $\int P$ 上の余極限にはこの関係が課されないので、§E9.16 命題 4.5の $\mathbb F_2^2$ は三次元の余極限を与え、加法版の左随伴と一致しない。

3 加法版の自由余完備化

命題 3.1. $V$ -小な前加法圏 $\mathcal C$ 上の加法的な前層の圏は、 $[\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Ab}]$ の中で各点の $V$ -小な余極限と核について閉じる。したがって余完備であり、余極限と核は各点で計算される。各点で完全な列 $Q_1\to Q_0\to P\to0$ の $P$ は最初の射の余核である。

証明. 演習とする（問題 6.2 (1)）。▨

系 3.2. $\mathcal C$ を $V$ -小な前加法圏、 $S$ を環とする。

加法関手 $F:\mathcal C\to\mathbf{Mod}\text{-}S$ に対して $L_F=-\otimes_{\mathcal C}F$ は $V$ -小な余極限を保つ加法関手であり、 $L_Fy\cong F$ である。
加法関手 $H':\operatorname{Add}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Ab})\to\mathbf{Mod}\text{-}S$ と自然変換 $\tau:F\Rightarrow H'y$ に対して $\sigma_P([x\otimes z])=H'(\Psi(x))(\tau_c(z)) \quad(x\in P(c),\ z\in F(c))$ は自然変換 $\sigma:L_F\Rightarrow H'$ を定める。 $\Psi(x):h_c\to P$ は加法的な米田対応による射である。この $\sigma$ は上の同型のもとで $\sigma y=\tau$ を満たす唯一の自然変換である。
加法関手 $H$ が $V$ -小な直和と余核を保つならば、前項で $F=Hy$ 、 $H'=H$ 、 $\tau=\id$ とした自然変換 $\theta:L_{Hy}\Rightarrow H$ は同型である。二つのそのような関手 $H,H'$ と $\tau:Hy\Rightarrow H'y$ に対し、 $\sigma y=\tau$ を満たす唯一の自然変換は $\sigma=\theta'\circ(-\otimes_{\mathcal C}\tau)\circ\theta^{-1}$ である。

したがって、構成して与えた個々の $F,H$ について $L_Fy\cong F$ 、 $L_{Hy}\cong H$ が成り立ち、これらの間の自然変換は $\sigma\mapsto\sigma y$ によって対応する。

証明.主張 (1)を示す。定理 2.1と§E9.11 定理 4.1による。

主張 (2)を示す。その項の式の右辺は $\Psi$ と $H'$ の加法性によって双加法的であり、第二変数について右 $S$ 線形である。 $u:c\to c'$ に対して

\Psi(P(u)x')=\Psi(x')y(u),\qquad H'(y(u))\tau_c=\tau_{c'}F(u)

なので、coend の関係を保つ。テンソル積の普遍性が唯一の射 $\sigma_P$ を与える。 $\alpha:P\to Q$ に対して $\alpha\Psi(x)=\Psi(\alpha_c(x))$ なので、生成元上で $H'(\alpha)\sigma_P=\sigma_Q L_F(\alpha)$ となる。 $P=h_c$ で $x=\id_c$ を代入すれば $\sigma y=\tau$ を得る。一般の生成元 $[x\otimes z]$ は $L_F(\Psi(x))$ による $[\id_c\otimes z]$ の像なので、自然性と $\sigma y=\tau$ が全成分を一意に決める。

主張 (3)を示す。 $\theta$ は、表現可能前層では命題 1.1 (2)の同型である。両関手が直和を保つので、表現可能前層の任意の $V$ -小な直和でも同型である。前層 $P$ に対して

Q_0=\bigoplus_{(c,x),\ x\in P(c)}h_c\longrightarrow P

を成分 $\Psi(x)$ で定める。各 $x\in P(c)$ は該当する成分の $\id_c$ の像なので、この射は各点で全射である。添字集合は $\mathcal C$ と各 $P(c)$ の $V$ -小性によって $V$ に属する。各点の核 $K$ は加法的な前層であり、同じ構成で $Q_1\to K$ を得る。したがって

Q_1\longrightarrow Q_0\longrightarrow P\longrightarrow0

は各点で完全であり、命題 3.1により $P$ は余核である。両関手が余核を保ち、 $Q_1,Q_0$ 上の $\theta$ は同型なので、余核の普遍性が $\theta_P$ の同型性を与える。 $Q_0$ は $P$ の元の集合から、 $Q_1$ は $K$ の元の集合から具体的に作られる。

最後の式は $y$ 上で $\tau$ を与える。他の $\sigma$ についても $\sigma\theta$ は第二の主張の条件を満たすので一意性から同じ式に一致する。▨

4 Eilenberg–Watts の定理

命題 4.1. 環 $R,S$ に対して、評価 $F\mapsto F(\ast)$ と作用 $rn=F(r)(n)$ は、 $\operatorname{Add}(\mathcal BR,\mathbf{Mod}\text{-}S)$ と左 $R$ ・右 $S$ 双加群の圏の同型を与える。自然変換は両作用を保つ準同型に対応する。

加法的な米田埋め込み $y:\mathcal BR\to\mathbf{Mod}\text{-}R$ は $\ast$ を右正則加群 $R_R$ に、 $r$ を左乗法 $y(r):s\mapsto rs$ に送る。加法関手 $G:\mathbf{Mod}\text{-}R\to\mathbf{Mod}\text{-}S$ に対し、 $Gy$ は $G(R)$ に左作用 $rn=G(y(r))(n)$ を入れた双加群に対応する。

証明. 演習とする（問題 6.1 (1)）。▨

定理 4.2 (Eilenberg–Watts の定理). $R,S$ を環、 $G:\mathbf{Mod}\text{-}R\to\mathbf{Mod}\text{-}S$ を加法関手とする。このとき、 $G(R)$ に左作用 $rn=G(y(r))(n)$ を入れ、

\theta_M:M\otimes_RG(R)\to G(M),\qquad \theta_M(m\otimes n)=G(\Psi(m))(n),\qquad \Psi(m)(r)=mr

と定めると、 $\theta$ は自然変換である。次の四条件は同値である。

$G$ は右完全であり、 $V$ -小な直和を保つ。すなわち完全列 $M'\to M\to M''\to0$ を完全列へ移し、標準射 $\bigoplus_jG(M_j)\to G(\bigoplus_jM_j)$ が同型である。
$G$ は $V$ -小な余極限を保つ。
各右 $S$ 加群 $E$ に対して、右 $R$ 加群 $M_E$ と射 $\varepsilon_E:G(M_E)\to E$ が存在し、任意の右 $R$ 加群 $M$ と射 $g:G(M)\to E$ に対し、 $g=\varepsilon_EG(h)$ を満たす射 $h:M\to M_E$ がただ一つ存在する。
$\theta$ は自然同型である。

左 $R$ ・右 $S$ 双加群 $N$ と自然同型 $\kappa:-\otimes_RN\Rightarrow G$ が与えられれば、これらの条件が成り立ち、 $N\cong R\otimes_RN\xrightarrow{\kappa_R}G(R)$ は双加群の同型である。
双加群 $N,N'$ の間の準同型 $t$ を $-\otimes_Rt$ に送る構成と、自然変換 $\sigma:-\otimes_RN\Rightarrow-\otimes_RN'$ の $R$ での成分を単位同型のもとで $N\to N'$ と読む構成は、互いに逆である。

証明. $\Psi(mr)=\Psi(m)y(r)$ と $G$ の加法性により、 $G(\Psi(m))(n)$ は $m,n$ について双加法的かつ $R$ -平衡的であり、 $n$ について右 $S$ 線形である。したがって $\theta_M$ が定まる。右線形写像 $a:M\to M'$ について $a\Psi(m)=\Psi(a(m))$ なので、生成元上で $G(a)\theta_M=\theta_{M'}(a\otimes1)$ となる。

(1) $\Rightarrow$ (4)を示す。§E9.18 命題 5.4により右加群を $\mathcal BR$ 上の加法的な前層とみなす。右完全性は§E9.19 命題 8.2 (2)により余核の保存である。系 3.2 (3)を $H=G$ に適用し、命題 4.1と命題 1.1 (3)によって読み替えると、自由余完備化の比較同型は表示した $\theta$ に一致する。

(4) $\Rightarrow$ (3)を示す。 $M_E=\operatorname{Hom}_S(G(R),E)$ とし、右 $R$ 作用を $(hr)(n)=h(rn)$ とする。 $\varepsilon_E$ を

G(M_E)\xrightarrow{\theta_{M_E}^{-1}}M_E\otimes_RG(R) \xrightarrow{\mathrm{ev}}E

と定める。Hom–tensor 随伴（§E6.12 命題 16.2）と $\theta$ の自然性が、 $h\mapsto\varepsilon_EG(h)$ の全単射を与える。

(3) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $M$ を $V$ -小な図式 $(M_j)$ の余極限とし、対象 $E$ を固定する。 $E$ への普遍射を一つ取ると

\operatorname{Hom}_S(G(M),E)\cong\operatorname{Hom}_R(M,M_E)

である。右辺は余極限の普遍性により、両立する族 $M_j\to M_E$ に対応する。この族は普遍射の自然な全単射によって、両立する族 $G(M_j)\to E$ に対応する。したがって $G(M)$ と構造射の像は余極限の普遍性を満たす。この議論は $E$ ごとであり、全対象にわたる普遍射の選択を行わない。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。直和は余積であり、余核は射と零射の余等化子なので保たれる。再び§E9.19 命題 8.2 (2)により右完全である。

主張 (5)を示す。 $\kappa$ が与えられた場合、テンソル積の随伴による普遍射を $\kappa$ で移すと主張 (3)を得る。 $\kappa_R$ は右 $S$ 線形であり、 $y(r)$ に対する自然性から左 $R$ 線形でもある。

主張 (6)を示す。系 3.2 (2)を $\mathcal C=\mathcal BR$ に適用する。 $y$ 上の自然変換は命題 4.1により双加群準同型であり、 $-\otimes_Rt$ はその指定された成分をもつので、一意性からすべての自然変換をこの形で与える。▨

例 4.3.

非零環 $R$ に対し、 $G(M)=M^{\NN}$ は加法的で完全であるが、直和を保たない。核と像の一致は成分ごとに確認され、全射の像の持ち上げには可算集合を添字とする選択公理を用いる。標準射 $\bigoplus_k R^{\NN}\longrightarrow(R^{\oplus\NN})^{\NN}$ の像は、全項に共通する有限個の座標以外が零である列の全体である。第 $k$ 項が第 $k$ 標準基底である列 $(e_k)_k$ は像に入らない。像の計算は演習とする（問題 6.3 (1)）。
$G(A)=A[2]=\{a\in A\mid2a=0\}$ は $\mathbf{Ab}$ の加法関手であり、条件が成分ごとなので直和を保つ。しかし全射 $\Z\to\Z/2\Z$ は $0\to\Z/2\Z$ に移るので右完全でない。 $G(\Z)=0$ だから、標準変換 $A\otimes_{\Z}G(\Z)\to G(A)$ は $A=\Z/2\Z$ で同型にならない。

いずれの関手も双加群とのテンソル積関手には自然同型でない。テンソル積関手は右完全性と直和の保存をともに満たすからである。

5 例

例 5.1. 環準同型 $\varphi:S\to R$ による右加群の係数の制限 $\varphi^*$ は、台のアーベル群を変えないので完全列と直和を保つ。 $G=\varphi^*$ とすると、 $G(R)$ は、左作用を積、右作用を $r\cdot s=r\varphi(s)$ とした双加群 $R_\varphi$ である。定理 4.2により

-\otimes_RR_\varphi\cong\varphi^*,\qquad \varphi^*\dashv\operatorname{Hom}_S(R_\varphi,-).

同型は $m\otimes r\mapsto mr$ であり、右随伴の右 $R$ 作用は $(hr)(x)=h(rx)$ である。普遍射は評価によって各 $E$ に指定されるので、随伴全体もこの式から構成される。群環の包含の場合、この右随伴の値は余誘導加群である。

例 5.2. 環 $R$ の中心の元 $z\in Z(R)$ に対し、 $\mu_{z,M}(m)=mz$ は恒等関手の自然変換を定める。任意の自然変換 $\sigma:\id\Rightarrow\id$ について $z=\sigma_R(1)$ は中心の元であり、 $\sigma=\mu_z$ である。対応は一対一であり、

\mu_z+\mu_{z'}=\mu_{z+z'},\qquad \mu_z\mu_{z'}=\mu_{zz'}

を満たす。証明は演習とする（問題 6.4 (1)）。

例 5.3. 群 $G$ に対して、 $g\mapsto g$ で定まる関手 $\mathcal BG\to\mathcal B\Z[G]$ に沿う制限は

\operatorname{Add}((\mathcal B\Z[G])^{\mathrm{op}},\mathbf{Ab}) \cong[(\mathcal BG)^{\mathrm{op}},\mathbf{Ab}]

を与える。逆に、右 $G$ 作用をもつアーベル群 $A$ には

a\cdot\sum_gn_gg=\sum_gn_g(a\cdot g)

で右 $\Z[G]$ 作用を入れる。有限和なので定義され、作用の結合法則と双加法性から加群の公理が従う。同変な群準同型はこの延長に対して線形であり、制限と延長は対象と射で互いに逆である。

右 $\Z[G]$ 加群 $M$ と左 $\Z[G]$ ・右 $S$ 双加群 $N$ に対して

M\otimes_{\mathcal BG}N\cong M\otimes_{\Z[G]}N.

実際、命題 1.1 (1)により群環の加法生成系 $G$ の関係だけで十分であり、群の元についての関係は $\mathcal BG$ 上の coend の関係である。とくに自明な左加群 $\Z$ に対して $M\otimes_{\Z[G]}\Z$ は、 $mg-m$ が生成する部分群による商 $M_G$ である。定理 4.2と命題 4.1により、直和と余核を保つ $\mathbf{Mod}\text{-}\Z[G]\to\mathbf{Mod}\text{-}S$ の加法関手は、右 $S$ 加群に左から $S$ 線形に $G$ を作用させたデータに、自然同型を除いて対応する。

6 演習

問題 6.1.

命題 4.1を証明せよ。

解答.

加法関手の射への作用は、右 $S$ 加群 $N$ に対する単位的環準同型 $R\to\operatorname{End}_S(N)$ である。§E6.2 命題 1.3により左 $R$ 作用となり、値が右 $S$ 線形射であることは二つの作用が可換することである。自然変換の唯一の成分の自然性は左 $R$ 線形性であり、右 $S$ 線形性は射であることに含まれる。逆対応は双加群の左作用から関手を作るものである。米田埋め込みの $y(r)$ は後合成、すなわち左乗法なので、 $Gy$ の左作用は表示した式となる。▨

問題 6.2.

命題 3.1を証明せよ。

解答.

$V$ -小な添字圏 $\mathcal J$ の余極限はアーベル群の具体的な直和と商で指定される。余極限関手 $[\mathcal J,\mathbf{Ab}]\to\mathbf{Ab}$ は定値関手の左随伴である（§E9.11 命題 3.3）から、§E9.18 系 4.3により加法的である。加法的前層の図式 $(P_j)$ について $u\mapsto(P_j(u))_j$ は加法的なので、各点余極限の射への対応も加法的である。§E9.9 定理 2.6により、この各点余極限は関手圏の余極限でもある。核については§E9.19 命題 7.3の加法関手の核の計算を用いる。余核も各点余極限なので各点で計算され、最後の主張を得る。▨

問題 6.3.

例 4.3 (1)の標準射の像を決定せよ。

解答.

直和の元は有限個の $k$ 成分しかもたない。その像の列は、すべての項がその同じ有限集合の座標内にある。逆に共通の有限集合 $J$ 内に値を取る列は、 $j\in J$ ごとの座標列を $R^{\NN}$ の元とみなして有限和に分解することができる。したがって像は記述した集合に正確に一致する。非零環では各 $e_k$ の第 $k$ 座標が非零なので、 $(e_k)_k$ は共通の有限集合内に収まらない。▨

問題 6.4.

例 5.2を証明せよ。

解答.

単位同型 $-\otimes_RR\cong\id$ と定理 4.2 (6)から、 $\sigma_R$ は ${}_RR_R$ の双加群準同型である。 $z=\sigma_R(1)$ とすれば $\sigma_R(r)=zr=rz$ なので $z\in Z(R)$ である。対応するテンソル積上の射は $m\otimes r\mapsto m\otimes zr$ であり、単位同型のもとで $m\mapsto mz$ となる。逆に中心元からのこの写像は右線形で、すべての右線形写像と可換する。 $R$ の1で評価すれば単射性を得る。和と合成の式は各 $m$ での計算による。▨

§E9.22Eilenberg–Watts の定理

1 加法関手のテンソル積

2 加法版の普遍随伴

3 加法版の自由余完備化

4 Eilenberg–Watts の定理

5 例

6 演習

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