極限と余極限 | 圏論 I

1 定義

定義 1.1. $\mathcal J$ を $V$ -小圏、 $\mathcal C$ を圏とする。

関手 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ を取る。
1. 関手 $D$ を $\mathcal C$ の図式 (diagram) または $V$ -小な図式といい、 $\mathcal J$ をその添字圏 (index category) という。
2. 対象 $X$ と射の族 $(\psi_j:X\to D(j))_{j\in\operatorname{Ob}(\mathcal J)}$ が、任意の射 $u:i\to j$ について
  $D(u)\circ\psi_i=\psi_j$
  を満たすとき、 $(X,(\psi_j)_j)$ を $D$ への錐 (cone) といい、 $X$ を錐の頂点 (vertex) という。
3. 図式 $D$ への錐 $(L,(\pi_j)_j)$ が次の普遍性を満たすとき、この錐を $D$ の極限 (limit) または極限錐 (limit cone) という。任意の錐 $(X,(\psi_j)_j)$ に対し、すべての $j$ について
  $\pi_j\circ t=\psi_j$
  を満たす射 $t:X\to L$ がただ一つ存在する。この射を媒介射 (mediating morphism) という。各 $\pi_j:L\to D(j)$ を極限の射影 (projection) という。極限を一つ選ぶとき、その頂点を $\lim D$ と書く。
図式 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ を取る。
1. 対象 $X$ と射の族 $(\varphi_j:D(j)\to X)_{j\in\operatorname{Ob}(\mathcal J)}$ が、任意の射 $u:i\to j$ について $\varphi_j\circ D(u)=\varphi_i$ を満たすとき、 $(X,(\varphi_j)_j)$ を $D$ からの余錐 (cocone) といい、 $X$ を余錐の頂点 (vertex) という。
2. $D$ からの余錐 $(C,(\iota_j)_j)$ が次の普遍性を満たすとき、この余錐を $D$ の余極限 (colimit) または余極限余錐 (colimit cocone) という。任意の余錐 $(X,(\varphi_j)_j)$ に対し、すべての $j$ について $t\circ\iota_j=\varphi_j$ を満たす射 $t:C\to X$ がただ一つ存在する。各 $\iota_j:D(j)\to C$ を余極限の入射 (injection) といい、余極限を一つ選ぶとき、その頂点を $\operatorname{colim}D$ と書く。

注意 1.2. $\mathcal J$ が $V$ -小ならば、個々の錐と余錐は $V$ の元である。実際、頂点と各成分は $V$ の元であり、成分族は $V$ -小な集合 $\operatorname{Ob}(\mathcal J)$ で添字づけられているので、族と有限の組についての閉包性（§E9.1 命題 2.3）を適用することができる。

「 $\mathcal C$ は $\mathcal J$ 形の極限をもつ」とは、 $\mathcal J$ が $V$ -小であり、任意の図式 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ に極限が存在することをいう。余極限についても同様に定める。 $\mathcal J$ が $V$ -小でない関手にも、錐・余錐の等式と極限・余極限の普遍性は同じ式で書くことができる。ただし、その成分族は一般には $V$ -小ではない。対象の全体が $V$ -小で射の全体が $V$ -小でない圏もあり、その場合も成分族は $V$ の元である。

$V$ -小でない添字についての「 $(L,(\lambda_j)_j)$ は $D$ の極限である」という主張は、§E9.1 注意 2.9に従い、 $D$ と錐を与える構成ごとの主張として読む。対象の全体も $V$ -小でない場合、錐の存在を量化する「 $D$ は極限をもつ」という形は用いない。

極限の普遍性は射の存在と一意性による条件であり、錐の全体が $V$ の元であることを要しない。固定した頂点 $X$ をもつ錐の全体を $\mathbf{Set}$ の対象として扱うには、その全体が $V$ の元であることが必要になる。 $\mathcal C$ が局所 $V$ -小ならば、錐の全体は

\prod_{j\in\operatorname{Ob}(\mathcal J)}\Hom_{\mathcal C}(X,D(j))

の部分集合として $V$ の元である。hom 関手による普遍性の表示では、この小性を用いる。また、小さい図式の極限を直積と equalizer から構成するときには、対象と射の全体をそれぞれ直積の添字に用いる。

2 双対と一意性

命題 2.1. $\mathcal C$ を圏、 $\mathcal J$ を $V$ -小圏、 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ を図式とする。このとき、次が成り立つ。

$D$ と同じ対象と射の対応は、関手 $D^{\mathrm{op}}:\mathcal J^{\mathrm{op}}\to\mathcal C^{\mathrm{op}}$ を定める。
$\mathcal J^{\mathrm{op}}$ は $V$ -小圏である。
射の族 $(\varphi_j:D(j)\to X)_j$ が $D$ からの余錐であることは、同じ射の族が $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ で $D^{\mathrm{op}}$ への錐であるための必要十分条件である。
余錐 $(C,(\iota_j)_j)$ が $D$ の余極限であることは、同じ頂点と射の族が $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ で $D^{\mathrm{op}}$ の極限であるための必要十分条件である。
錐の等式と普遍性の対応は、 $\mathcal J$ が $V$ -小でなくても、構成で与えた族について成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。§E9.2 命題 2.1を $D$ に適用すると主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。反対圏をとっても対象と射の全体は変わらないので、§E9.1 命題 7.2により主張 (2)が成り立つ。

主張 (3)を示す。 $\mathcal J$ の射 $u:i\to j$ を取る。 $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ では $u:j\to i$ であり、錐の条件

D^{\mathrm{op}}(u)\circ^{\mathrm{op}}\varphi_j=\varphi_i

は、 $\mathcal C$ での $\varphi_j\circ D(u)=\varphi_i$ と同じ等式である。したがって主張 (3)が成り立つ。

主張 (4)を示す。 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ での媒介射 $t:X\to C$ は、 $\mathcal C$ では $t:C\to X$ である。条件 $\iota_j\circ^{\mathrm{op}}t=\varphi_j$ は $t\circ\iota_j=\varphi_j$ と同じなので、媒介射の存在と一意性も一致する。よって主張 (4)が成り立つ。

主張 (5)を示す。錐の等式と媒介射の条件の対応には、 $\mathcal J$ の対象や射の全体の小ささを用いていない。したがって、構成で与えた族についても同じ対応が成り立つ。▨

注意 2.2. 圏 $\mathcal C$ 、添字圏 $\mathcal J$ 、関手 $D$ を、それぞれ $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 、 $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ 、 $D^{\mathrm{op}}$ に置き換えると、極限と余極限の主張は次の対応で移り合う。

射の始域と終域を交換する。
射の合成の順序を反転する。
錐・極限・射影と余錐・余極限・入射を交換する。

この置き換えを二度行うと、§E9.1 命題 7.2により元の主張に戻る。したがって、極限について証明した主張を反対圏に適用すると、対応する余極限の主張を得る。

命題 2.1 (5)の対応は、小さくない添字を小さい添字へ帰着するときにも用いる。

命題 2.3. $\mathcal C$ を圏、 $\mathcal J$ を $V$ -小圏、 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ を図式とする。このとき、次が成り立つ。

$D$ の二つの極限 $(L,(\pi_j)_j)$ 、 $(L',(\pi'_j)_j)$ に対し、すべての $j$ について $\pi'_j\circ t=\pi_j$ を満たす射 $t:L\to L'$ がただ一つ存在し、この射は同型射である。
$D$ の二つの余極限 $(C,(\iota_j)_j)$ 、 $(C',(\iota'_j)_j)$ に対し、すべての $j$ について $t\circ\iota_j=\iota'_j$ を満たす射 $t:C\to C'$ がただ一つ存在し、この射は同型射である。

証明.主張 (1)を示す。二つの極限の普遍性により、すべての $j$ について

\pi'_j\circ t=\pi_j,\qquad \pi_j\circ s=\pi'_j

を満たす射 $t:L\to L'$ 、 $s:L'\to L$ がそれぞれただ一つ存在する。合成 $s\circ t$ は $\pi_j\circ s\circ t=\pi_j$ を満たす。 $\id_L$ も同じ等式を満たすので、 $(L,(\pi_j)_j)$ の普遍性により $s\circ t=\id_L$ である。同じく $\pi'_j\circ t\circ s=\pi'_j$ と一意性から $t\circ s=\id_{L'}$ を得る。したがって $t$ は同型射であり、主張 (1)が成り立つ。

主張 (2)を示す。二つの余極限を、命題 2.1 (4)により $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の極限とみなす。極限の一意性を、頂点の順序を $C',C$ として適用すると、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の一意な同型射 $t:C'\to C$ で $\iota_j\circ^{\mathrm{op}}t=\iota'_j$ を満たすものを得る。元の圏では $t:C\to C'$ 、 $t\circ\iota_j=\iota'_j$ であり、逆射の等式も保たれる。よって主張 (2)が成り立つ。▨

注意 2.4. $\lim D$ は、図式 $D$ について選んだ一つの極限錐の頂点を表す。別の極限錐の頂点とは、射影に両立する一意な同型によって結ばれる。同型の一意性には、この両立条件が必要である。たとえば、対象が一つで恒等射だけをもつ添字圏から $\mathbf{Set}$ への図式で、その対象を $\{0,1\}$ に送ると、恒等写像を射影とする錐が極限である。頂点には恒等写像と互換という二つの自己同型があるが、射影を保つものは恒等写像だけである。

$\operatorname{colim}D$ についても、入射との両立を課した一意な同型がある。すべての図式の極限錐を一斉に指定した族は、個々の極限の一意性からは定まらないデータである。関手 $\lim$ を作るときには、各図式の極限錐を指定した族を用いる。

3 例

例 3.1. $\mathcal J$ を、対象 $1,2$ と、恒等射以外には射 $u:1\to2$ だけをもつ圏とする。このとき、圏 $\mathcal C$ の射 $f:A\to B$ が定める図式 $D(1)=A$ 、 $D(2)=B$ 、 $D(u)=f$ の極限は

(A,(\id_A,f))

である。

実際、錐 $(X,(\psi_1,\psi_2))$ の条件は $f\circ\psi_1=\psi_2$ である。射 $t=\psi_1:X\to A$ は二つの射影との両立条件を満たし、 $\id_A\circ t=\psi_1$ から一意である。

例 3.2.例 3.1の図式 $D$ の余極限は

(B,(f,\id_B))

である。反対図式は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $f:B\to A$ からなるので、例 3.1と命題 2.1 (4)を適用するとこの余極限を得る。成分は元の添字 $1,2$ の順に並べたものである。

余錐 $(X,(\varphi_1,\varphi_2))$ の条件は $\varphi_2\circ f=\varphi_1$ であり、第一成分は第二成分から定まる。

例 3.3. $P\subseteq V$ を前順序集合とし、 $x\le y$ のときに限って $x$ から $y$ への射を一本もつ圏とみなす。 $\mathcal J$ を $V$ -小圏、 $D:\mathcal J\to P$ を図式とし、 $T=\{D(j)\mid j\in\operatorname{Ob}(\mathcal J)\}$ とおく。このとき、次が成り立つ。

$D$ への錐の頂点は $T$ の下界であり、下界ごとに錐はただ一つ定まる。極限の頂点は $T$ の下限である。双対に、余錐の頂点は $T$ の上界、余極限の頂点は $T$ の上限である。
二つの下限 $\ell,\ell'$ は $\ell\le\ell'$ 、 $\ell'\le\ell$ を満たし、この二本の射は互いに逆である。 $P$ が半順序集合ならば $\ell=\ell'$ である。上限についても同じ結論が成り立つ。
$P=\{a,b\}$ に等号だけからなる順序を入れ、離散二点の添字圏の二対象を $a,b$ へ送る図式を取る。この図式には錐も極限もない。

対象 $x$ を頂点とする錐を与えるには、すべての $j$ について $x\le D(j)$ が必要十分である。各 Hom が高々一元なので、成分の選択と錐の等式にはこれ以外の条件がない。下界 $\ell$ を頂点とする錐が極限であるための必要十分条件は、任意の下界 $x$ について $x\le\ell$ となることである。極限の頂点に課した条件は§E1.8 定義 2.1の下限の条件に等しい。余錐と上限については、順序を反転して同じ結果を適用する。

二つの下限の間には両方向の射があり、各自己射は恒等射だけなので、二つの合成は恒等射である。この同型は命題 2.3 (1)の同型に等しい。半順序の場合には反対称律から $\ell=\ell'$ となる。

離散二点 $a,b$ について、 $x\le a$ ならば $x=a$ であり、 $x\le b$ ならば $x=b$ である。 $a\ne b$ なので共通の下界はなく、錐も極限もない。

4 添字の帰着

命題 4.1. $\mathcal J,\mathcal C$ を圏、 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ を関手とする。このとき、 $\mathcal J$ は $V$ -小とは限らず、以下の錐と普遍性は構成ごとに述べる。

$\mathcal S$ を $\mathcal J$ の $V$ -小な充満部分圏とし、 $\mathcal J$ の任意の対象が $\mathcal S$ の対象と同型であるとする。 $(L,(\mu_s)_s)$ を $D|_{\mathcal S}$ の極限とする。各 $j\in\operatorname{Ob}(\mathcal J)$ について、 $s\in\operatorname{Ob}(\mathcal S)$ と同型射 $\varphi:j\to s$ を取り、 $\lambda_j=D(\varphi)^{-1}\circ\mu_s$ とおく。右辺は $(s,\varphi)$ によらずに定まり、 $(L,(\lambda_j)_j)$ は $D$ の極限である。
$\mathcal J_0$ を $V$ -小圏とし、圏同値のデータ $E:\mathcal J_0\to\mathcal J,\qquad K:\mathcal J\to\mathcal J_0,\qquad \theta:KE\Rightarrow\id_{\mathcal J_0},\qquad \zeta:EK\Rightarrow\id_{\mathcal J}$ が与えられているとする。 $(L,(\mu_b)_b)$ が $D\circ E$ の極限ならば、 $\lambda_j=D(\zeta_j)\circ\mu_{K(j)}$ で定まる $(L,(\lambda_j)_j)$ は $D$ の極限である。
主張 (1)の $\mathcal S$ に対し、 $(C,(\iota'_s)_s)$ が $D|_{\mathcal S}$ の余極限ならば、 $\iota_j=\iota'_s\circ D(\varphi)$ は $(s,\varphi)$ によらず、 $(C,(\iota_j)_j)$ は $D$ の余極限である。また、主張 (2)の圏同値に対し、 $(C,(\iota'_b)_b)$ が $D\circ E$ の余極限ならば、 $\iota_j=\iota'_{K(j)}\circ D(\zeta_j)^{-1}$ で定まる $(C,(\iota_j)_j)$ は $D$ の余極限である。

証明.主張 (1)を示す。対象 $j$ を一つ固定し、二組 $(s,\varphi)$ 、 $(s',\varphi')$ を取る。充満性により $\varphi'\circ\varphi^{-1}:s\to s'$ は $\mathcal S$ の射である。 $\mu$ の錐の等式と、関手の同型保存（§E9.2 命題 1.5）から

D(\varphi')\circ D(\varphi)^{-1}\circ\mu_s=\mu_{s'}

を得る。左に $D(\varphi')^{-1}$ を合成すると

D(\varphi)^{-1}\circ\mu_s=D(\varphi')^{-1}\circ\mu_{s'}

となる。したがって、射 $D(\varphi)^{-1}\circ\mu_s$ は組 $(s,\varphi)$ の取り方によらずただ一つに定まる。この射を $\lambda_j$ とする。 $s\in\operatorname{Ob}(\mathcal S)$ では $\varphi=\id_s$ を用いて $\lambda_s=\mu_s$ を得る。

射 $u:i\to j$ を固定し、二組 $(s_i,\varphi_i)$ 、 $(s_j,\varphi_j)$ を取る。充満性により $\varphi_j\circ u\circ\varphi_i^{-1}:s_i\to s_j$ は $\mathcal S$ の射なので、

\begin{aligned} D(u)\circ\lambda_i &=D(\varphi_j)^{-1}\circ D(\varphi_j\circ u\circ\varphi_i^{-1})\circ\mu_{s_i}\\ &=D(\varphi_j)^{-1}\circ\mu_{s_j} =\lambda_j. \end{aligned}

よって $\lambda$ は錐である。

$D$ への錐 $(X,(\psi_j)_j)$ を取る。 $\mathcal S$ への制限は $D|_{\mathcal S}$ への錐なので、 $\mu_s\circ t=\psi_s$ をすべての $s$ で満たす射 $t:X\to L$ がただ一つ存在する。各 $j$ について一組 $(s,\varphi)$ を取ると、 $\psi$ の錐の条件から

\lambda_j\circ t =D(\varphi)^{-1}\circ\mu_s\circ t =D(\varphi)^{-1}\circ\psi_s =\psi_j

となる。 $\lambda_j\circ t'=\psi_j$ をすべての $j$ で満たす射 $t'$ は、 $\lambda_s=\mu_s$ により $\mu_s\circ t'=\psi_s$ をすべての $s$ で満たすので、 $t'=t$ である。これで主張 (1)は示された。

主張 (2)を示す。射 $u:i\to j$ を取る。 $\zeta$ の自然性と $\mu$ の錐の等式により

\begin{aligned} D(u)\circ\lambda_i &=D(u\circ\zeta_i)\circ\mu_{K(i)}\\ &=D(\zeta_j)\circ D(EK(u))\circ\mu_{K(i)}\\ &=D(\zeta_j)\circ\mu_{K(j)} =\lambda_j \end{aligned}

である。したがって $\lambda$ は錐である。

$D$ への錐 $(X,(\psi_j)_j)$ を取る。 $(X,(\psi_{E(b)})_b)$ は $D\circ E$ への錐なので、その媒介射 $t:X\to L$ がただ一つ存在し、 $\mu_b\circ t=\psi_{E(b)}$ を満たす。 $\psi$ の $\zeta_j:EK(j)\to j$ に対する錐の条件から

\lambda_j\circ t =D(\zeta_j)\circ\psi_{EK(j)} =\psi_j

を得る。

§E9.4 命題 2.3 (1)により $E$ は充満忠実なので、各 $b\in\operatorname{Ob}(\mathcal J_0)$ に対して

E(v_b)=\zeta_{E(b)}

を満たす射 $v_b:KE(b)\to b$ がただ一つ存在する。 $\mu$ の錐の等式から

\lambda_{E(b)} =D(\zeta_{E(b)})\circ\mu_{KE(b)} =D(E(v_b))\circ\mu_{KE(b)} =\mu_b

となる。よって、 $\lambda_j\circ t'=\psi_j$ をすべての $j$ で満たす射 $t'$ は、 $\mu_b\circ t'=\psi_{E(b)}$ を満たすので $t'=t$ である。これで主張 (2)は示された。

主張 (3)を示す。 $\mathcal S^{\mathrm{op}}$ は $\mathcal J^{\mathrm{op}}$ の $V$ -小な充満部分圏である。 $\varphi:j\to s$ は反対圏では $s\to j$ なので、その逆射を代表への同型射として主張 (1)を適用する。構造射の式を $\mathcal C$ へ戻すと $\iota_j=\iota'_s\circ D(\varphi)$ を得る。

また、§E9.3 命題 1.4により $\theta^{-1},\zeta^{-1}$ は自然同型である。それぞれの自然性の等式を反対圏で書くと、同じ成分は $K^{\mathrm{op}}E^{\mathrm{op}}\Rightarrow\id_{\mathcal J_0^{\mathrm{op}}}$ と $E^{\mathrm{op}}K^{\mathrm{op}}\Rightarrow\id_{\mathcal J^{\mathrm{op}}}$ という自然同型を定める。したがって $E^{\mathrm{op}},K^{\mathrm{op}}$ とこれらの自然同型は、反対圏の間の圏同値を与える。主張 (2)をこのデータに適用して元の圏へ戻すと $\iota_j=\iota'_{K(j)}\circ D(\zeta_j)^{-1}$ となる。いずれも命題 2.1 (5)の対応により余極限であり、主張 (3)が成り立つ。▨

例 4.2. $V$ の元である二元集合を対象とし、全単射を射とする圏を $\mathcal J$ とする。このとき、関手

D:\mathcal J\to\mathbf{Set},\qquad D(X)=\mathcal P(X),\qquad D(f)(T)=f(T)

に対し、三点集合 $Q=\{0,1,2\}$ と写像

q_X:\mathcal P(X)\to Q,\qquad q_X(T)=|T|

の族は $D$ の余極限である。

関手性は§E9.2 例 4.4 (1)による。 $A=\{0,1\}$ だけを対象とする充満部分圏 $\mathcal S$ は $V$ -小であり、どの二元集合も $A$ と同型である。 $\mathcal S$ の自己射は恒等写像と互換 $\tau$ である。 $q_A$ は互換による像をとっても値を変えないので、 $D|_{\mathcal S}$ からの余錐である。

$D|_{\mathcal S}$ から集合 $Y$ への余錐は、写像 $h:\mathcal P(A)\to Y$ であって $h\circ D(\tau)=h$ を満たすものに等しい。この等式から $h(\{0\})=h(\{1\})$ を得る。したがって

\bar h(0)=h(\varnothing),\qquad \bar h(1)=h(\{0\}),\qquad \bar h(2)=h(A)

と定めた写像 $\bar h:Q\to Y$ は $\bar h\circ q_A=h$ を満たす。 $q_A$ は全射なので $\bar h$ は一意である。よって $(Q,q_A)$ は $D|_{\mathcal S}$ の余極限である。

命題 4.1 (3)を適用すると、各同型射 $\varphi:X\to A$ に対し、延長された入射は

(q_A\circ D(\varphi))(T)=|\varphi(T)|=|T|

となる。したがって延長は $(q_X)_X$ に等しく、主張した余極限を得る。

$\mathcal J$ は§E9.4 例 2.4の $V$ -小でない圏である。全対象にわたって全単射 $X\to A$ を指定する必要はなく、各 $q_X$ は部分集合の元の個数によって定まっている。

5 演習

問題 5.1.

圏 $\mathcal C$ と $V$ -小圏 $\mathcal J$ の間の関手 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ を取る。射の族 $(\psi_j:X\to D(j))_j$ について、恒等射 $u=\id_j$ に対する錐の等式が自動的に成り立つことを示せ。

解答.

関手の恒等射保存と単位律により $D(\id_j)\circ\psi_j=\id_{D(j)}\circ\psi_j=\psi_j$ である。

▨

問題 5.2.

圏 $\mathcal C,\mathcal E$ 、 $V$ -小圏 $\mathcal J$ 、図式 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ と反変関手 $G:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal E$ を取る。 $D$ からの余錐 $(X,(\varphi_j)_j)$ に $G$ を施すと、 $G\circ D^{\mathrm{op}}$ への錐を得ることを示せ。 $\mathcal C=\mathcal E=\mathbf{Set}$ とし、 $G=\mathcal P^*$ を逆像による反変べき集合関手とした場合の成分と錐の等式を、部分集合の逆像によって書け。

解答.

命題 2.1 (3)により、 $(X,(\varphi_j)_j)$ は反対圏で $D^{\mathrm{op}}$ への錐である。 $G$ を各射に施すと、頂点 $G(X)$ 、成分 $G(\varphi_j):G(X)\to G(D(j))$ を得る。 $u:i\to j$ に対する余錐の等式へ $G$ を施すと
$G(D(u))\circ G(\varphi_j)=G(\varphi_i)$
となり、この等式は反対添字圏の射 $u:j\to i$ に対する錐の条件である。合成 $G\circ D^{\mathrm{op}}$ は§E9.2 命題 1.3 (2)により関手である。

$G=\mathcal P^*$ のとき、頂点は $\mathcal P(X)$ 、成分は
$\mathcal P(X)\to\mathcal P(D(j)),\qquad T\mapsto\varphi_j^{-1}(T)$
である。任意の $T\subseteq X$ について
$D(u)^{-1}\bigl(\varphi_j^{-1}(T)\bigr) =(\varphi_j\circ D(u))^{-1}(T) =\varphi_i^{-1}(T)$
であり、錐の等式を得る。

▨

問題 5.3.

圏 $\mathcal C$ の $V$ -小な図式 $D$ の極限 $(L,(\pi_j)_j)$ と、射 $r,r':X\to L$ を取る。すべての $j$ について $\pi_j\circ r=\pi_j\circ r'$ ならば $r=r'$ であることを示せ。

解答.

$\psi_j=\pi_j\circ r$ とおく。射 $u:i\to j$ に対して $D(u)\circ\psi_i =D(u)\circ\pi_i\circ r =\pi_j\circ r =\psi_j$ なので $(X,(\psi_j)_j)$ は錐である。 $r,r'$ はこの錐から極限への媒介射であり、その一意性により等しい。

▨

問題 5.4.

$\mathbf{Set}$ の射一本の図式の極限錐で、単射でない射影をもつ例を挙げよ。

解答.

定値写像 $f:\{0,1\}\to\{0\}$ の図式を取る。例 3.1により、頂点 $\{0,1\}$ 、射影 $\id_{\{0,1\}},f$ は極限錐をなす。射影 $f$ は $f(0)=f(1)$ を満たすので単射でない。

▨

問題 5.5.

対象 $\ast$ が一つで恒等射だけをもつ圏 $\mathbf1$ から、圏 $\mathcal C$ への図式 $D:\mathbf1\to\mathcal C$ を取る。 $(D(\ast),\id_{D(\ast)})$ が極限でも余極限でもあることを示せ。

解答.

錐は射 $\psi:X\to D(\ast)$ であり、媒介射の条件 $\id_{D(\ast)}\circ t=\psi$ は $t=\psi$ と同値である。よって表示した錐は極限である。反対図式も一対象一恒等射の圏からの図式なので、命題 2.1 (4)により同じ頂点と恒等射は余極限でもある。

▨

問題 5.6.

互いに比較不能な二点 $a,b$ からなる前順序集合 $P$ を圏とみなし、 $P$ 内で余錐も余極限ももたない $V$ -小な図式を与えよ。

解答.

離散二点の添字圏の二対象を $a,b$ へ送る図式を取る。 $a\le x$ ならば $x=a$ 、 $b\le x$ ならば $x=b$ となるので、二点の共通の上界は存在しない。例 3.3 (1)により余錐は存在せず、したがって余極限も存在しない。

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問題 5.7.

圏 $\mathcal C$ の $V$ -小な図式 $D:\mathcal J\to\mathcal C$ 、その極限 $(L,(\pi_j)_j)$ 、対象 $L''$ を取る。同型射 $\varphi:L''\to L$ に対して、 $(L'',(\pi_j\circ\varphi)_j)$ が極限であることを示せ。逆に、頂点 $L''$ の各極限 $(L'',(\lambda_j)_j)$ に対して、すべての $j$ について $\lambda_j=\pi_j\circ\varphi$ を満たす同型射 $\varphi:L''\to L$ がただ一つあることを示せ。さらに、 $\mathcal C$ が局所 $V$ -小ならば、この対応が $V$ の元である二つの集合の間の全単射であることを確かめよ。

解答.

同型射 $\varphi:L''\to L$ を取る。 $D(u)\circ\pi_i=\pi_j$ の右に $\varphi$ を合成すると、族 $(\pi_j\circ\varphi)_j$ は錐である。任意の錐 $(X,(\psi_j)_j)$ に対し、 $(L,(\pi_j)_j)$ への一意な媒介射を $t:X\to L$ とする。合成 $\varphi^{-1}\circ t:X\to L''$ は
$\pi_j\circ\varphi\circ\varphi^{-1}\circ t=\psi_j$
を満たす。別の射 $s:X\to L''$ が同じ条件を満たせば、 $\varphi\circ s$ は $(L,(\pi_j)_j)$ への媒介射なので $\varphi\circ s=t$ 、したがって $s=\varphi^{-1}\circ t$ である。よって移した錐は極限である。

頂点 $L''$ の極限 $(L'',(\lambda_j)_j)$ を取る。命題 2.3 (1)により、 $\pi_j\circ\varphi=\lambda_j$ を満たす同型射 $\varphi:L''\to L$ がただ一つある。したがって、同型射と頂点 $L''$ の極限錐はこの規則で一対一に対応する。

$\mathcal C$ が局所 $V$ -小ならば、同型射の全体は $\Hom_{\mathcal C}(L'',L)\in V$ の部分集合である。頂点 $L''$ の極限錐の全体も
$\prod_{j\in\operatorname{Ob}(\mathcal J)}\Hom_{\mathcal C}(L'',D(j))$
の部分集合として $V$ の元である。対応のグラフはこれら二つの集合の直積の部分集合なので $V$ に属する。以上より、対応は $V$ の元の間の全単射である。

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§E9.5極限と余極限

1 定義

2 双対と一意性

3 例

4 添字の帰着

5 演習

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