関手 | 圏論 I | 数学汎典

1 関手とその合成

定義 1.1. 圏 $\mathcal C,\mathcal D$ に対し、関手 (functor) $F:\mathcal C\to\mathcal D$ は、次の対応と条件からなる。

$\mathcal C$ の各対象 $A$ に $\mathcal D$ の対象 $F(A)$ を対応させる。
$\mathcal C$ の各射 $f:A\to B$ に $\mathcal D$ の射 $F(f):F(A)\to F(B)$ を対応させる。
$\mathcal C$ の任意の射 $f:A\to B$ 、 $g:B\to C$ について $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ が成り立つ。この条件を合成の保存 (preservation of composition) という。
$\mathcal C$ の任意の対象 $A$ について $F(\mathrm{id}_A)=\mathrm{id}_{F(A)}$ が成り立つ。この条件を恒等射の保存 (preservation of identities) という。

反変関手と区別するときには、関手を共変関手 (covariant functor) という。関手を、対象の対応のグラフと射の対応のグラフの組として表す。この組は終域の圏を成分に含まない。関手の等式は、この二つのグラフの等式である。

注意 1.2. 関手の訳語には、函手という表記もある。

命題 1.3.

圏 $\mathcal C$ の対象と射をそれぞれ自身に送る対応は関手である。この関手を恒等関手 (identity functor) といい、 $\mathrm{id}_{\mathcal C}$ と書く。
関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ 、 $G:\mathcal D\to\mathcal E$ に対し、 $(G\circ F)(A)=G(F(A))$ 、 $(G\circ F)(f)=G(F(f))$ は関手 $G\circ F:\mathcal C\to\mathcal E$ を定める。
合成可能な関手 $F,G,H$ について $(H\circ G)\circ F=H\circ(G\circ F)$ であり、 $\mathrm{id}_{\mathcal D}\circ F=F=F\circ\mathrm{id}_{\mathcal C}$ である。

証明.主張 (1)を示す。恒等対応は各射の両端、合成、恒等射を変えないので関手である。

主張 (2)を示す。射 $f:A\to B$ の合成対応による像は $G(F(f)):G(F(A))\to G(F(B))$ であり、

G(F(g\circ f))=G(F(g)\circ F(f))=G(F(g))\circ G(F(f)), \qquad G(F(\mathrm{id}_A))=\mathrm{id}_{G(F(A))}

である。したがって合成対応も関手である。主張 (3)を示す。三つの関手の二通りの合成は、対象 $A$ をともに $H(G(F(A)))$ に、射 $f$ をともに $H(G(F(f)))$ に送る。恒等関手との合成も対象と射の対応を変えないので、結合律と単位律を得る。▨

命題 1.4. $\mathcal D$ を圏 $\mathcal C$ の部分圏とする。このとき、次が成り立つ。

対象と射をそのまま送る対応 $J:\mathcal D\to\mathcal C$ は関手である。これを包含関手 (inclusion functor) という。
関手 $F:\mathcal C\to\mathcal E$ に対し、 $F|_{\mathcal D}=F\circ J$ は関手であり、 $\mathcal D$ の対象 $A$ と射 $f$ をそれぞれ $F(A)$ と $F(f)$ に送る。この関手を $F$ の $\mathcal D$ への制限 (restriction) という。

証明.主張 (1)を示す。部分圏の合成と恒等射は $\mathcal C$ のものの制限なので、包含対応は射の両端、合成、恒等射を保つ。主張 (2)を示す。制限の関手性は命題 1.3 (2)から従う。▨

命題 1.5. 関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ と $\mathcal C$ の同型射 $f:A\to B$ に対し、 $F(f)$ は同型射であり、 $F(f)^{-1}=F(f^{-1})$ である。とくに、 $A\cong B$ ならば $F(A)\cong F(B)$ である。

証明. 逆射の二つの等式に $F$ を施すと、

F(f^{-1})\circ F(f)=\mathrm{id}_{F(A)},\qquad F(f)\circ F(f^{-1})=\mathrm{id}_{F(B)}

を得る。よって $F(f^{-1})$ は $F(f)$ の逆射であり、§E9.1 命題 5.2により逆射の公式が成り立つ。▨

2 反対圏と反変関手

命題 2.1. 関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ と同じ対象と射の対応は、関手 $F^{\mathrm{op}}:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal D^{\mathrm{op}}$ を定める。

証明. $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射 $f:A\to B$ は $\mathcal C$ では $f:B\to A$ なので、その像 $F(f):F(B)\to F(A)$ は $\mathcal D^{\mathrm{op}}$ では $F(A)\to F(B)$ という型をもつ。 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ で合成可能な $f,g$ に対し、

F(g\circ^{\mathrm{op}}f)=F(f\circ g) =F(f)\circ F(g)=F(g)\circ^{\mathrm{op}}F(f)

である。反対圏でも恒等射は変わらないので、恒等射も保たれる。▨

定義 2.2. 圏 $\mathcal C$ から圏 $\mathcal D$ への反変関手 (contravariant functor) とは、関手 $F:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal D$ のことである。

命題 2.3. 圏 $\mathcal C,\mathcal D$ について、次の対応と等式を与えることは反変関手 $F:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal D$ を与えることと同値である。

$\mathcal C$ の各対象 $A$ に $\mathcal D$ の対象 $F(A)$ を対応させる。
$\mathcal C$ の各射 $f:A\to B$ に $\mathcal D$ の射 $F(f):F(B)\to F(A)$ を対応させる。
$\mathcal C$ の任意の射 $f:A\to B$ 、 $g:B\to C$ について $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ が成り立つ。
$\mathcal C$ の任意の対象 $A$ について $F(\mathrm{id}_A)=\mathrm{id}_{F(A)}$ が成り立つ。

証明. $\mathcal C$ の射 $f:A\to B$ は $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ では $B\to A$ である。また、 $\mathcal C$ の射 $g:B\to C$ に対し、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ での合成 $f\circ^{\mathrm{op}}g$ は $g\circ f$ に等しい。したがって、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ からの関手に課す型と合成の保存の条件は、表示した型と等式そのものである。恒等射は両圏で同じなので、恒等射の保存の条件も一致する。▨

命題 2.4. 反変関手 $F:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal D$ 、 $G:\mathcal D^{\mathrm{op}}\to\mathcal E$ に対し、 $G\circ F^{\mathrm{op}}:\mathcal C\to\mathcal E$ は共変関手である。その対象と射の対応は $A\mapsto G(F(A))$ 、 $f:A\to B\mapsto G(F(f)):G(F(A))\to G(F(B))$ である。

証明.命題 2.1と§E9.1 命題 7.2により、 $F^{\mathrm{op}}:\mathcal C\to\mathcal D^{\mathrm{op}}$ は関手である。 $G$ との合成に命題 1.3を適用すると結論を得る。 $F(f)$ の向きと $G$ による向きの反転から、表示した射の型が従う。▨

3 直積圏

命題 3.1.

二つの圏 $\mathcal C,\mathcal D$ に対し、対象を組 $(A,B)$ 、 $(A,B)$ から $(A',B')$ への射を組 $(f,g)$ （ $f:A\to A'$ 、 $g:B\to B'$ ）とし、
$(f',g')\circ(f,g)=(f'\circ f,g'\circ g),\qquad \mathrm{id}_{(A,B)}=(\mathrm{id}_A,\mathrm{id}_B)$
と定めると圏をなす。この圏を $\mathcal C,\mathcal D$ の直積圏 (product category) といい、 $\mathcal C\times\mathcal D$ と書く。対象と射の第一成分、第二成分をとる対応は、それぞれ射影関手 (projection functor) $\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal C$ 、 $\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal D$ を定める。直積圏からの関手を二変数の関手 (bifunctor) という。

各射 $(f,g):(A,B)\to(A',B')$ は
$(f,g)=(f,\mathrm{id}_{B'})\circ(\mathrm{id}_A,g) =(\mathrm{id}_{A'},g)\circ(f,\mathrm{id}_B)$
と分解される。 $\mathcal C,\mathcal D$ がともに $V$ -小ならば直積圏も $V$ -小である。
$\mathcal C,\mathcal D$ がともに局所 $V$ -小ならば、 $\mathcal C\times\mathcal D$ も局所 $V$ -小である。

証明.主張 (1)を示す。射の組の両端は各成分の両端から一意に定まる。表示した合成は指定した型の射であり、結合律と単位律は各成分の圏の公理から従う。射影は成分をとるので、表示した合成と恒等射を保つ。射の分解も各成分の単位律による。

対象と射の組は $V$ の元の対なので $V$ に属する。対象全体と射全体はそれぞれもとの二圏の対象全体と射全体の直積であるから、両圏が $V$ -小の場合には直積の閉包性によって $V$ に属する。

主張 (2)を示す。

\Hom_{\mathcal C\times\mathcal D}((A,B),(A',B')) =\Hom_{\mathcal C}(A,A')\times\Hom_{\mathcal D}(B,B')

なので、両圏が局所 $V$ -小の場合には各 Hom も直積の閉包性により $V$ に属する。▨

4 例

例 4.1. $\mathcal B(\Z/2\Z)$ の唯一の対象を集合 $X=\{0,1\}$ に送る二つの関手を考える。一方は二本の射をともに $\mathrm{id}_X$ に送り、他方は恒等射を $\mathrm{id}_X$ に、恒等射でない射を交換写像 $\tau(0)=1$ 、 $\tau(1)=0$ に送る。 $\tau^2=\mathrm{id}_X$ なので、いずれも合成と恒等射を保つ。二つの関手は対象の対応が同じであり、射の対応が異なる。

例 4.2. 群、位相空間、体 $k\in V$ 上の線形空間、環、および単位的結合環 $R\in V$ 上の左・右加群を台集合に送り、各射を同じ写像に送る対応は、それぞれ $\mathbf{Set}$ への関手を定める。各圏の合成と恒等射は写像の合成と恒等写像なので、関手の二つの保存則を満たす。これらを忘却関手 (forgetful functor) と総称する。たとえば、群の忘却関手を $U:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ と書く。

例 4.3. 離散位相を入れた $\R$ から通常位相を入れた $\R$ への恒等写像は、連続全単射であるが同相写像でない（§E2.12 例 6.9）。したがって、忘却関手 $\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ による像が同型射であっても、もとの射は同型射とは限らない。

例 4.4. 集合 $A\in V$ にべき集合 $\mathcal P(A)$ を対応させる。

写像 $f:A\to B$ に像をとる写像 $\mathcal P(A)\to\mathcal P(B)$ 、 $S\mapsto f(S)$ を対応させると共変関手 $\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$ になる。
写像 $f:A\to B$ に逆像をとる写像 $\mathcal P(B)\to\mathcal P(A)$ 、 $T\mapsto f^{-1}(T)$ を対応させると反変関手 $\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ になる。

$S\subseteq A$ 、 $T\subseteq C$ と写像 $g:B\to C$ に対し、像と逆像の定義（§E1.1 定義 4.1）から

z\in(g\circ f)(S)\iff \exists x\in S\ (z=g(f(x)))\iff z\in g(f(S)),

x\in(g\circ f)^{-1}(T)\iff g(f(x))\in T\iff x\in f^{-1}(g^{-1}(T))

を得る。恒等写像による像と逆像はもとの部分集合に等しい。以上の等式により、合成と恒等射の保存則が成り立つ。閉包性により $\mathcal P(A)\in V$ であり、誘導写像のグラフも対応する直積の部分集合なので $V$ に属する。

例 4.5. 体 $k\in V$ 上の線形空間 $A$ に双対空間 $A^*$ を、線形写像 $f:A\to B$ に双対写像

f^*:B^*\to A^*,\qquad f^*(\varphi)=\varphi\circ f

を対応させると、反変関手 $\mathbf{Vect}_k^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Vect}_k$ になる。§E3.5 双対空間と双対写像では双対を $A^\vee$ と書くが、本単元では $A^*$ と書く。§E3.5 命題 3.2により、任意の次元で双対写像は線形であり、

(g\circ f)^*=f^*\circ g^*,\qquad(\mathrm{id}_A)^*=\mathrm{id}_{A^*}

が成り立つ。したがって、この対応は反変関手の条件を満たす。 $A^*$ の台集合は $k^A$ の部分集合であり、点ごとの演算と双対写像のグラフは対応する直積の部分集合である。したがって、閉包性により構造を備えた $A^*$ と各双対写像は $V$ の元である。

例 4.6. 群 $G$ に中心 $Z(G)$ を対応させ、群準同型を中心への制限に送る対応は、一般には関手を定めない。中心は全元と可換な元の全体である（§E7.13 定義 1.1）。 $G=\{\mathrm{id},(1\ 2)\}\le S_3$ とその包含 $j:G\to S_3$ をとると、 $G$ は可換なので $(1\ 2)\in Z(G)$ である。一方、置換の積（§E7.4 定義 2.1）は

(1\ 2)(1\ 2\ 3)=(2\ 3),\qquad (1\ 2\ 3)(1\ 2)=(1\ 3)

なので、 $j((1\ 2))\notin Z(S_3)$ である。したがって、制限は $Z(G)\to Z(S_3)$ という型をもたない。

5 自由群と普遍性

命題 5.1. 集合 $S\in V$ 上の簡約語による自由群を $\mathrm{Free}(S)$ 、生成元を送る標準写像を $\iota_S:S\to U(\mathrm{Free}(S))$ と書く。

任意の群 $G\in\operatorname{Ob}(\mathbf{Grp})$ と写像 $h:S\to U(G)$ に対し、 $U(\widehat h)\circ\iota_S=h$ を満たす群準同型 $\widehat h:\mathrm{Free}(S)\to G$ がただ一つある。
写像 $u:S\to T$ を、 $\iota_T\circ u$ の一意な延長 $\mathrm{Free}(u):\mathrm{Free}(S)\to\mathrm{Free}(T)$ に送る対応は、関手 $\mathrm{Free}:\mathbf{Set}\to\mathbf{Grp}$ を定める。

証明.主張 (1)を示す。§E7.9 定理 1.6を集合 $S$ と写像 $h$ に適用すると、主張 (1)を得る。 $S$ の正負の文字の集合は $V$ に属し、その有限列全体は $\N\in V$ と族の和の閉包性により $V$ に属する。簡約語全体はその部分集合であり、群演算のグラフも対応する直積の部分集合なので、自由群は構造を含めて $V$ の元である。

主張 (2)を示す。各延長は写像の集合の中で条件を満たすただ一つの元なので、 $u\mapsto\mathrm{Free}(u)$ は選択なしに式で定まる。

恒等準同型は $U(\mathrm{id}_{\mathrm{Free}(S)})\circ\iota_S=\iota_S$ を満たすので、一意性から $\mathrm{Free}(\mathrm{id}_S)=\mathrm{id}_{\mathrm{Free}(S)}$ である。写像 $u:S\to T$ 、 $v:T\to W$ に対し、忘却関手の合成の保存と延長の等式により

U(\mathrm{Free}(v)\circ\mathrm{Free}(u))\circ\iota_S =U(\mathrm{Free}(v))\circ\iota_T\circ u =\iota_W\circ v\circ u

である。したがって、一意性から $\mathrm{Free}(v)\circ\mathrm{Free}(u)=\mathrm{Free}(v\circ u)$ を得る。▨

系 5.2. 写像 $u:S\to T$ に対し、 $\mathrm{Free}(u)$ は

U(\mathrm{Free}(u))\circ\iota_S=\iota_T\circ u

を満たすただ一つの群準同型 $\mathrm{Free}(S)\to\mathrm{Free}(T)$ である。

証明.命題 5.1 (1)に $G=\mathrm{Free}(T)$ 、 $h=\iota_T\circ u$ を代入したものである。▨

例 5.3. $S=\{a,b\}$ とし、 $u:S\to S$ を $u(a)=b$ 、 $u(b)=a$ で定める。

$\mathrm{Free}(u)$ は簡約語の文字 $a,b$ を交換する。たとえば $ab^{-1}a\mapsto ba^{-1}b$ である。系 5.2による生成元上の値と§E7.9 定理 1.6の語の評価の公式により、簡約語の各文字が指定した文字に送られる。
$u^2=\mathrm{id}_S$ と関手性により $\mathrm{Free}(u)^2=\mathrm{id}_{\mathrm{Free}(S)}$ である。したがって、 $\mathrm{Free}(u)$ は自身を逆射にもつ群の圏の同型射である。

命題 5.4. 写像 $u:S\to T$ について、次が成り立つ。

$u$ が単射ならば、 $\mathrm{Free}(u)$ は単射である。
$u$ が全射ならば、 $\mathrm{Free}(u)$ は全射である。

証明. 演習とする（問題 8.5 (1)）。▨

6 忠実性と充満性

定義 6.1. 関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ が忠実 (faithful functor) であるとは、任意の対象 $A,B$ と射 $f,g:A\to B$ について、 $F(f)=F(g)$ ならば $f=g$ であることをいう。 $F$ が充満 (full functor) であるとは、任意の対象 $A,B$ と射 $v:F(A)\to F(B)$ について、 $F(f)=v$ を満たす射 $f:A\to B$ があることをいう。忠実かつ充満な関手を充満忠実 (fully faithful functor) という。

定義域の圏と終域の圏の Hom がともに集合である場合、忠実性は各写像 $\Hom_{\mathcal C}(A,B)\to\Hom_{\mathcal D}(F(A),F(B))$ の単射性に相当し、充満性はその全射性に相当する。

命題 6.2. 充満忠実関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ と射 $f:A\to B$ に対し、 $F(f)$ が同型射ならば $f$ も同型射である。

証明. 充満性により $F(g)=F(f)^{-1}$ を満たす射 $g:B\to A$ をとる。関手性から

F(g\circ f)=\mathrm{id}_{F(A)}=F(\mathrm{id}_A),\qquad F(f\circ g)=\mathrm{id}_{F(B)}=F(\mathrm{id}_B)

であり、忠実性により $g\circ f=\mathrm{id}_A$ 、 $f\circ g=\mathrm{id}_B$ を得る。▨

命題 6.3. 部分圏 $\mathcal D\subseteq\mathcal C$ の包含関手 $J:\mathcal D\to\mathcal C$ は忠実である。 $J$ が充満であることは、 $\mathcal D$ が充満部分圏であるための必要十分条件である。

証明. 包含は各射を同じ射に送るので忠実である。また、 $\mathcal D$ の対象 $A,B$ の間の任意の $\mathcal C$ の射が包含の像であることは、 $\Hom_{\mathcal D}(A,B)=\Hom_{\mathcal C}(A,B)$ と同値である。▨

例 6.4. $\mathcal B\N\subseteq\mathcal B\Z$ の包含関手は、射 $-1$ が像に入らないので充満でない（§E9.1 例 6.3）。群の忘却関手 $U:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ は忠実であるが充満でない。実際、同じ台写像をもつ群準同型は等しいので忠実である。一方、加法群 $\Z/2\Z$ の台集合上の定値写像 $x\mapsto1$ は単位元 $0$ を保たないので群準同型でなく、忘却関手の像に入らない。

7 圏同型

定義 7.1. 関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ と $G:\mathcal D\to\mathcal C$ が関手の等式

G\circ F=\mathrm{id}_{\mathcal C},\qquad F\circ G=\mathrm{id}_{\mathcal D}

を満たすとき、 $F$ を圏同型 (isomorphism of categories)、 $G$ を $F$ の逆という。 $\mathcal C,\mathcal D$ がともに $V$ -小の場合には、圏同型があることを「 $\mathcal C$ と $\mathcal D$ は同型 (isomorphic categories) である」といい、 $\mathcal C\cong\mathcal D$ と書く。

命題 7.2. 関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ について、次が成り立つ。

対象の対応と射の対応がともに全単射ならば、一意な原像をとる二つの対応は関手 $F^{-1}:\mathcal D\to\mathcal C$ を定め、 $F$ は $F^{-1}$ を逆とする圏同型である。
$F$ が $G$ を逆とする圏同型ならば、対象の対応と射の対応はともに全単射であり、 $G=F^{-1}$ である。
対象の対応と射の対応がともに全単射であることは、対象の対応が全単射であり $F$ が充満忠実であるための必要十分条件である。

証明.主張 (1)を示す。対象と射の対応を $F_0,F_1$ と書き、逆対応を

F_0^{-1}(B)=A\iff F_0(A)=B,\qquad F_1^{-1}(u)=f\iff F_1(f)=u

で定める。全単射性により、各対応は定義域の各元に対してただ一つの値をもつ。したがって、二つのグラフは $F_0,F_1$ のグラフの順序対を反転する式で定まる。

射 $u:B\to B'$ に対し、 $F_1^{-1}(u):A\to A'$ とすると、 $F_0(A)=B$ 、 $F_0(A')=B'$ である。 $F_0$ の単射性により $A=F_0^{-1}(B)$ 、 $A'=F_0^{-1}(B')$ なので、 $F_1^{-1}(u)$ の両端は所要の型をもつ。 $F_1(\mathrm{id}_{F_0^{-1}(B)})=\mathrm{id}_B$ と原像の一意性から $F_1^{-1}(\mathrm{id}_B)=\mathrm{id}_{F_0^{-1}(B)}$ である。合成可能な射 $u:B\to B'$ 、 $v:B'\to B''$ について

F_1(F_1^{-1}(v)\circ F_1^{-1}(u))=v\circ u=F_1(F_1^{-1}(v\circ u))

であり、 $F_1$ の単射性により $F_1^{-1}(v)\circ F_1^{-1}(u)=F_1^{-1}(v\circ u)$ である。よって $F^{-1}=(F_0^{-1},F_1^{-1})$ は関手であり、各対応の逆であることから二つの合成は恒等関手に等しい。この構成には選択を用いない。

主張 (2)を示す。 $G\circ F$ と $F\circ G$ が恒等関手ならば、対象と射のそれぞれについて対応が互いに両側逆である。したがって二つの対応は全単射であり、その逆対応は $G$ に等しい。

主張 (3)を示す。二つの対応が全単射ならば、同じ両端をもつ射に対する $F_1$ の単射性から忠実性が従う。 $v:F(A)\to F(A')$ の一意な原像 $f:B\to B'$ をとると、 $F_0$ の単射性により $B=A$ 、 $B'=A'$ なので充満性も従う。反対に、 $F_0$ が全単射で $F$ が充満忠実であるとする。任意の射 $v:B\to B'$ に対し、対象の一意な原像 $A,A'$ を定めると、充満性により $F(f)=v$ を満たす $f:A\to A'$ がある。 $F(f)=F(g)$ ならば対象に関する単射性から $f,g$ の両端が等しく、忠実性から $f=g$ となる。よって射の対応も全単射である。▨

例 7.3. $\mathcal B\N\to\mathcal B\Z$ の包含関手は対象について全単射であり、忠実である。しかし射 $-1$ は像に入らないので充満でなく、命題 7.2により圏同型でない。

8 演習

問題 8.1.

圏 $\mathcal C$ の射 $f:A\to B$ 、 $g:B\to A$ が $g\circ f=\mathrm{id}_A$ を満たすとする。関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ に対し $F(g)\circ F(f)=\mathrm{id}_{F(A)}$ を示せ。 $F(f)$ が同型射ならば $F(g)=F(f)^{-1}$ も同型射であることを示し、 $F(f)$ が同型射であっても $f,g$ がともに同型射でない例を挙げよ。

解答.

関手性から $F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)=F(\mathrm{id}_A)=\mathrm{id}_{F(A)}$ である。右から $F(f)^{-1}$ を合成すると $F(g)=F(f)^{-1}$ を得る。逆射は同型射である（§E9.1 命題 5.3）。例として、集合 $A=\{0\}$ 、 $B=\{0,1\}$ 、包含 $f:A\to B$ と定値写像 $g:B\to A$ をとる。 $g\circ f=\mathrm{id}_A$ であるが、 $f$ は全射でなく $g$ は単射でないので、ともに同型射でない。すべての集合を一元集合 $\{0\}$ に、すべての写像をその恒等写像に送る関手では、 $F(f)$ は同型射になる。

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問題 8.2.

べき集合に逆像をとる写像を対応させる対応が、 $\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ から $\mathbf{Set}$ への関手であることを、反対圏の合成の定義に戻って示せ。

解答.

$\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ の射 $f:A\to B$ は集合の写像 $f:B\to A$ であり、逆像は $\mathcal P(A)\to\mathcal P(B)$ という型をもつ。 $\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ の射 $g:B\to C$ に対し、 $g\circ^{\mathrm{op}}f=f\circ g$ である。任意の $S\subseteq A$ と $x\in C$ について $x\in(f\circ g)^{-1}(S)\iff f(g(x))\in S\iff x\in g^{-1}(f^{-1}(S))$ であるから、反対圏での合成を保存する。恒等写像による逆像はもとの部分集合なので、恒等射も保存する。

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問題 8.3.

反変関手 $F:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal D$ と共変関手 $H:\mathcal D\to\mathcal E$ の合成が反変関手であることを示せ。共変関手 $K:\mathcal C\to\mathcal D$ の後に反変関手 $G:\mathcal D^{\mathrm{op}}\to\mathcal E$ を合成する場合も、関手の定義域と終域を明示せよ。

解答.

$H\circ F:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal E$ は関手の合成なので関手であり、 $\mathcal C$ から $\mathcal E$ への反変関手である。後の場合には $K^{\mathrm{op}}:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal D^{\mathrm{op}}$ を用い、 $G\circ K^{\mathrm{op}}:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal E$ とする。 $\mathcal C$ の射 $f:A\to B$ は、それぞれ $H(F(f)):H(F(B))\to H(F(A))$ 、 $G(K(f)):G(K(B))\to G(K(A))$ に送られる。

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問題 8.4.

群の中心と準同型の制限が関手を定めない例を、本文とは異なる群と準同型によって示せ。

解答.

$h:\Z\to S_3$ を $h(n)=(1\ 2)^n$ と定める。整数冪の法則（§E7.1 命題 1.6）により $h(m+n)=h(m)h(n)$ なので群準同型である。 $\Z$ は可換なので $1\in Z(\Z)$ であるが、 $h(1)=(1\ 2)$ は $(1\ 2\ 3)$ と可換でない。したがって $h$ は中心間の写像に制限することができない。

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問題 8.5.

命題 5.4を、語を用いずに普遍性と関手性から証明せよ。

解答.

命題 5.4 (1)を示す。 $u$ を単射とし、 $S\ne\emptyset$ の場合には $s_0\in S$ を一つ固定する。 $r:T\to S$ を $r(u(s))=s$ 、 $t\notin u(S)$ では $r(t)=s_0$ と定めると、 $r\circ u=\mathrm{id}_S$ である。関手性から $\mathrm{Free}(r)\circ\mathrm{Free}(u)=\mathrm{id}_{\mathrm{Free}(S)}$ となるので $\mathrm{Free}(u)$ は単射である。 $S=\emptyset$ の場合、 $\mathrm{Free}(\emptyset)$ 上の恒等準同型と単位元への定値準同型は、空集合上で同じ写像を延長する。普遍性の一意性から両者は等しく、 $\mathrm{Free}(\emptyset)$ は一元群である。したがって、この場合も $\mathrm{Free}(u)$ は単射である。

命題 5.4 (2)を示す。 $u$ を全射とする。各 $t\in T$ のファイバー $u^{-1}(\{t\})$ は空でなく $V$ の元である。ファイバーの集合 $\mathcal F=\{u^{-1}(\{t\})\mid t\in T\}$ は、 $T\in V$ と族の値の全体の閉包性により $V$ に属する。選択公理（§E1.13 定義 6.1）を $\mathcal F$ に適用し、各ファイバーの元を選ぶ写像 $c$ をとる。 $s(t)=c(u^{-1}(\{t\}))$ と定めると $u\circ s=\mathrm{id}_T$ である。 $s$ のグラフは $T\times S$ の部分集合なので $V$ に属する。関手性から $\mathrm{Free}(u)\circ\mathrm{Free}(s)=\mathrm{id}_{\mathrm{Free}(T)}$ となり、 $\mathrm{Free}(u)$ は全射である。 $T=\emptyset$ の場合にも空写像が右逆を与える。

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問題 8.6.

群の忘却関手は同型射を反映すること、すなわち群準同型の台写像が同型射ならば群準同型も同型射であることを示せ。位相空間の忘却関手でこの性質が成り立たない理由も述べよ。

解答.

台写像が集合の圏の同型射ならば全単射である。全単射な群準同型の逆写像は群準同型なので（§E7.3 命題 1.5）、群の圏でも同型射である。一方、離散位相の $\R$ から通常位相の $\R$ への恒等写像は連続全単射だが、その逆写像は連続でない（§E2.12 例 6.9）。よって、位相空間の忘却関手は同型射を反映しない。

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§E9.2関手

1 関手とその合成

2 反対圏と反変関手

3 直積圏

4 例

5 自由群と普遍性

6 忠実性と充満性

7 圏同型

8 演習

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