§E9.6極限・余極限の特殊な場合

証明. 対象と射の全体をともに空集合とすると、合成と恒等射の指定は空の対応である。圏の公理が課す等式の対象となる射は存在しないので、公理はすべて成り立つ。$\varnothing\in V$より空圏は$V$-小である。▨

証明.主張 (1)を示す。$D$への錐は、対象$X$と空の射の族からなる。極限への媒介射に課す射影との両立条件も空である。したがって$(T,\varnothing)$が極限である条件は、任意の対象$X$から$T$への射がただ一つ存在することであり、主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。$\mathcal C^{\mathrm{op}}$の終対象は$\mathcal C$の始対象である。空圏の反対圏も空圏なので、上の結果と§E9.5 命題 2.1により主張 (2)が成り立つ。▨

証明.命題 1.4により終対象は空図式の極限、始対象は空図式の余極限である。§E9.5 命題 2.3 (1)と§E9.5 命題 2.3 (2)を適用する。射影と入射の族は空なので、両立条件は任意の射について成り立つ。▨

証明.$\mathcal J$の射$u:i\to j$を取る。終対象の定義より$!_j\circ u=!_i$なので、$D(!_j)\circ D(u)=D(!_i)$であり、表示した族は余錐である。任意の余錐$(X,(\mu_j)_j)$に対し、その余錐の条件から$\mu_j=\mu_t\circ D(!_j)$を得る。したがって$\mu_t:D(t)\to X$が媒介射である。$!_t=\id_t$なので、別の媒介射$h$も$h=h\circ D(!_t)=\mu_t$を満たす。

$s$は$\mathcal J^{\mathrm{op}}$の終対象である。上の結果を$D^{\mathrm{op}}$に適用し、§E9.5 命題 2.1で元の圏へ戻すと極限の主張を得る。▨

証明. 型の合う二射は同じ対象の恒等射なので、合成を恒等射とすれば結合律と単位律を満たす。恒等射を$(i,i)$として表すと、射の全体は$I\times I$の部分集合であり$V$に属する。▨

証明.主張 (1)を示す。離散圏上の図式に対する錐の条件は$\id_{A_i}\circ f_i=f_i$だけなので、任意の射族が錐である。極限の普遍性を適用すると主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。余錐の条件も$g_i\circ\id_{A_i}=g_i$だけなので、余極限の普遍性から主張 (2)を得る。▨

証明. 離散圏上の同じ図式に§E9.5 命題 2.3 (1)と§E9.5 命題 2.3 (2)を適用する。▨

証明.主張 (1)を示す。命題 2.3 (1)を恒等射の組$(\id_A,\id_A)$に適用する。

主張 (2)を示す。命題 2.3 (2)を恒等射の組$(\id_A,\id_A)$に適用する。▨

証明.$\Delta\circ D$への錐を取り、その頂点を$(X,Y)$、成分を$(a_j,b_j):(X,Y)\to(D(j),D(j))$とする。直積圏の等式は成分ごとの等式なので、$(X,(a_j)_j)$と$(Y,(b_j)_j)$はそれぞれ$D$への錐である。極限の普遍性により$\pi_j\circ r=a_j$、$\pi_j\circ s=b_j$を満たす射$r:X\to L$、$s:Y\to L$がそれぞれただ一つある。したがって$(r,s):(X,Y)\to(L,L)$が求める媒介射であり、各成分の一意性により一意である。▨

証明. 集合族の直積（§E1.2 定義 5.1） は、各$i$に$A_i$の元を対応させる族の集合である。$I$と各$A_i$は$V$の元なので、和・直積・冪・部分集合についての閉包性により、この直積も$V$の元である。

任意の集合$X\in V$と写像族$f_i:X\to A_i$に対して

と定めると$p_i\circ t=f_i$である。直積の二元はすべての成分が等しいときに限り等しいので、同じ等式を満たす写像は$t$に等しい。命題 2.3 (1)により主張を得る。▨

証明.§E1.2 命題 6.2により、写像族$(g_i:A_i\to X)_i$に対し、すべての$i$について$t\circ\iota_i=g_i$を満たす写像$t$がただ一つ存在する。命題 2.3 (2)により主張を得る。▨

証明.$G=\prod_iG_i$とおき、$x,y\in G$に対して$(xy)_i=x_iy_i$と定める。各$G_i$の結合律により$((xy)z)_i=x_i(y_iz_i)$であり、すべての成分の相等から$G$の結合律が従う。元$(1_{G_i})_i$は単位元であり、$x$の逆元は$(x_i^{-1})_i$である。空添字の場合にも直積は空の族を唯一の元とする自明群である。演算の定義から各射影は準同型である。

群$H$と準同型族$f_i:H\to G_i$を取る。命題 2.8による一意な写像$t:H\to G$に対して、任意の$x,y\in H$とすべての$i$で

が成り立つので、$t(xy)=t(x)t(y)$である。したがって$t$は準同型であり、写像としての一意性から準同型としても一意である。台集合と演算のグラフは$V$に属するので、この群は$\mathbf{Grp}$の対象である。二項の場合、成分族を順序対へ送る全単射は、成分ごとの積を保つので外部直積との群同型である。▨

証明. 集合としての直積とその位相は$V$の元であり、射影は連続である。任意の位相空間$Y$と連続写像族$f_i:Y\to X_i$に対し、命題 2.8により成分を$f_i$とする写像$t:Y\to\prod_iX_i$がただ一つある。すべての$p_i\circ t=f_i$が連続なので、積位相の普遍性（§E2.14 定理 1.6） により$t$は連続である。写像としての一意性から、連続写像としても一意である。▨

証明.$f,g$の図式への錐を$(X,(w,z))$とする。錐の条件は$f\circ w=z=g\circ w$なので、第二成分$z$は第一成分$w$によって定まり、第一成分には$f\circ w=g\circ w$が課される。射$t:X\to E$の媒介条件のうち、$e\circ t=w$が成り立てば$(f\circ e)\circ t=f\circ w=z$も成り立つ。したがって錐であることは条件 (a)に、媒介射の存在一意性は条件 (b)に等しい。

$\mathcal C^{\mathrm{op}}$の平行な二射$f,g:B\to A$に、この特徴づけを適用する。

§E9.5 命題 2.1により、この反対圏の極限は元の圏の coequalizer である。▨

証明.$e'\circ t=e$が成り立てば$(f\circ e')\circ t=f\circ e$も成り立つので、二つの射影との両立は$e'\circ t=e$と同値である。§E9.5 命題 2.3 (1)を適用する。coequalizer についても$t\circ c=c'$が成り立てば$t\circ(c\circ f)=c'\circ f$が成り立つので、§E9.5 命題 2.3 (2)を適用する。▨

証明.$E\subseteq A\in V$なので$E\in V$であり、$f\circ e=g\circ e$が成り立つ。写像$w:X\to A$が$f\circ w=g\circ w$を満たすならば、すべての$x\in X$で$w(x)\in E$である。したがって$t(x)=w(x)$は$t:X\to E$を定め、$e\circ t=w$を満たす。$e$は単射なので$t$は一意であり、命題 3.3により主張を得る。表示した具体例では、値が一致する元は$1,3$である。▨

証明.$\sim_R$の存在は§E1.3 補題 5.1による。商集合は$\mathcal P(B)$の部分集合なので$V$に属する。各$a\in A$について$f(a)\sim_R g(a)$なので$c\circ f=c\circ g$である。

写像$w:B\to Y$が$w\circ f=w\circ g$を満たすとする。すべての$(b,b')\in R$で$w(b)=w(b')$なので、§E1.3 補題 5.1により$w$は$\sim_R$の各同値類上で定数である。商の普遍性（§E1.3 定理 4.1） により、$t\circ c=w$を満たす写像$t:B/{\sim_R}\to Y$がただ一つある。命題 3.3により主張を得る。▨

証明.$A\to C\leftarrow B$への錐の成分を$w_1:X\to A$、$w_2:X\to B$、$w_3:X\to C$とする。錐の条件は$f\circ w_1=w_3=g\circ w_2$なので、第三成分は第一成分から定まり、残る条件は$f\circ w_1=g\circ w_2$である。$p\circ t=w_1$、$q\circ t=w_2$を満たす射$t:X\to P$は$(f\circ p)\circ t=w_3$も満たす。したがって、錐と媒介射の条件はそれぞれ条件 (a)、条件 (b)に等しい。

$\mathcal C^{\mathrm{op}}$の射$f:A\to C$、$g:B\to C$にこの結果を適用する。

§E9.5 命題 2.1により、反対圏の pullback は元の圏の pushout である。▨

証明.$p'\circ t=p$の左に$f$を合成すれば第三成分との両立を得るので、§E9.5 命題 2.3 (1)を適用することができる。pushout についても第一入射との両立に$f$を右から合成すれば第三成分との両立が従い、§E9.5 命題 2.3 (2)を適用することができる。▨

証明.$P\subseteq A\times B\in V$なので$P\in V$であり、$f\circ p=g\circ q$が成り立つ。写像$w_1:X\to A$、$w_2:X\to B$が$f\circ w_1=g\circ w_2$を満たすならば、$t(x)=(w_1(x),w_2(x))$は$X$から$P$への写像を定める。この写像は$p\circ t=w_1$、$q\circ t=w_2$を満たし、両成分が指定されるので一意である。包含写像の場合は$f(a)=g(b)$が$a=b$と同値なので、表示した写像と$a\mapsto(a,a)$が互いに逆になる。▨

証明.主張 (1)を示す。射$w_1:X\to A$、$w_2:X\to B$が$f\circ w_1=g\circ w_2$を満たすとする。直積の普遍性により、$p_A\circ w=w_1$、$p_B\circ w=w_2$を満たす射$w:X\to A\times B$がただ一つある。すると

なので、equalizer の普遍性により$e\circ t=w$を満たす射$t:X\to E$がただ一つある。この射は$(p_A\circ e)\circ t=w_1$、$(p_B\circ e)\circ t=w_2$を満たす。別の射$t'$が両等式を満たせば、直積の一意性から$e\circ t'=w$、equalizer の一意性から$t'=t$である。また$f\circ p_A\circ e=g\circ p_B\circ e$は equalizer の等化条件である。命題 4.3により主張 (1)が成り立つ。

主張 (2)を示す。反対圏では余積は直積、coequalizer は equalizer である（§E9.5 命題 2.1）。したがって、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$の射$f:A\to C$、$g:B\to C$と直積$A\sqcup B$に上の結果を適用することができる。反対圏の二射$f\circ^{\mathrm{op}}\iota_A$、$g\circ^{\mathrm{op}}\iota_B$は、元の圏では$\iota_A\circ f$、$\iota_B\circ g$である。得られる構造射を元の圏へ戻すと$c\circ\iota_A$、$c\circ\iota_B$となり、主張 (2)を得る。▨

証明.命題 2.10により直和は余積であり、命題 3.6により$c$は$\iota_A\circ f,\iota_B\circ g$の coequalizer である。命題 4.6 (2)を適用する。▨

証明.$\mathcal J$は$V$-小なので、二つの直積の添字集合はともに$V$に属する。$Q$の普遍性により、表示した成分をもつ$\alpha,\beta$がただ一つずつある。$\alpha\circ e=\beta\circ e$の左に$r_u$を合成すると

を得る。したがって$(E,(p_j\circ e)_j)$は錐である。

任意の錐$(X,(\psi_j)_j)$を取る。$P$の普遍性により、すべての$j$で$p_j\circ h=\psi_j$を満たす射$h:X\to P$がただ一つある。すべての$u\in M$について

である。$Q$の普遍性の一意性から$\alpha\circ h=\beta\circ h$となり、equalizer の普遍性により$e\circ t=h$を満たす射$t:X\to E$がただ一つある。この射は$p_j\circ e\circ t=\psi_j$を満たす。

別の射$t':X\to E$がすべての$j$で$p_j\circ e\circ t'=\psi_j$を満たせば、$P$の普遍性から$e\circ t'=h$である。equalizer の一意性から$t'=t$なので、表示した錐は極限である。任意の$V$-小な図式についてこの構成を行うことができるので、$\mathcal C$は完備である。▨

証明.§E9.5 命題 2.1により、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$は$V$-小な直積と equalizer をもつ。定理 5.2を$D^{\mathrm{op}}:\mathcal J^{\mathrm{op}}\to\mathcal C^{\mathrm{op}}$に適用する。

反対添字圏の射$u:j\to i$の終域は元の添字圏の射$u:i\to j$の始域なので、定理の$P,Q$はそれぞれ$S,T$に対応する。反対圏での等式$r_u\circ^{\mathrm{op}}\alpha=p_i$、$r_u\circ^{\mathrm{op}}\beta=D(u)\circ^{\mathrm{op}}p_j$は、元の圏では$\alpha'\circ\kappa_u=\iota_i$、$\beta'\circ\kappa_u=\iota_j\circ D(u)$となる。equalizer と極限錐も、それぞれ coequalizer$c$と余極限余錐$(c\circ\iota_j)_j$に対応する。▨

証明.命題 2.8と命題 3.5により、$\mathbf{Set}$は$V$-小な直積と equalizer をもつ。定理 5.2の二射は

である。したがって、両者の一致集合は表示した$L$に等しく、定理の構成による射影も各成分への射影である。▨

証明.命題 2.10と命題 3.6により、$\mathbf{Set}$は$V$-小な余積と coequalizer をもつ。系 5.3の二射は、$T=\coprod_{u\in M}D(\operatorname{dom}u)$の元$(u,x)$に対して

と定まる。したがって命題 3.6による商は$S/{\sim_R}$であり、系の構成は表示した余極限を与える。▨