§E6.17Noether 加群・Artin 加群・有限長加群

証明. 演習とする（問題 10.1 (1)）。▨

証明. 演習とする（問題 10.1 (1)）。▨

証明.$v\in V$を取る。$p(V)=p(U)$であるから、$p(u)=p(v)$となる$u\in U$が存在する。$U\subseteq V$により

である。よって$v\in U$であり、$V\subseteq U$となる。仮定$U\subseteq V$と合わせて$U=V$を得る。▨

証明.$B$が Noether 加群であるとする。$A$の部分加群の昇鎖へ$i$を施すと、$B$の部分加群の昇鎖が得られる。$i$は単射であるため、像の鎖が停止すれば元の鎖も停止する。よって$A$は Noether 加群である。

$C$の部分加群の昇鎖$C_0\subseteq C_1\subseteq\cdots$に対して、逆像

は$B$の部分加群の昇鎖である。この逆像の鎖が$n$で停止すれば、$p$の全射性から

がすべての$j\geq n$について成り立つ。したがって$C$も Noether 加群である。

逆に$A$と$C$が Noether 加群であるとする。$A$を$i(A)=\ker p$と同一視し、$B$の部分加群の昇鎖

を取る。共通部分$A\cap B_j$は$A$の昇鎖をなし、像$p(B_j)$は$C$の昇鎖をなす。両方が停止する段階以後の添字を一つ取り、$n$とする。$j\geq n$に対して$A\cap B_j=A\cap B_n$かつ$p(B_j)=p(B_n)$である。補題 3.1を$B_n\subseteq B_j$に適用すると、$B_j=B_n$となる。したがって$B$は Noether 加群である。▨

証明. 演習とする（問題 10.1 (2)）。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$\ell_R(M)=d<\infty$とする。昇鎖$N_0\subseteq N_1\subseteq\cdots$が停止しないと仮定する。$j_0:=0$と置く。$j_q$が選ばれたとき、鎖は$N_{j_q}$で停止しないため、$j_{q+1}>j_q$かつ$N_{j_q}\subsetneq N_{j_{q+1}}$となる$j_{q+1}$を選ぶことができる。したがって$(N_{j_q})$は停止しない真の昇鎖である。任意の有限部分の先頭が非零ならば$0$を加えることにより、長さが任意に大きい真の昇鎖を得る。降鎖が停止しない場合にも、真の包含が生じる添字を同じ方法で逐次選ぶ。得られた真の降鎖の任意の有限部分を逆順に並べ、先頭が非零ならば$0$を加えると、長さが任意に大きい真の昇鎖になる。いずれも$\ell_R(M)=d$に反するため、$M$は Noether 加群かつ Artin 加群である。

(1)$\Rightarrow$(3)を示す。長さを定める集合は整数の集合であり、その上限$d$は有限であるから、長さ$d$の鎖

が存在する。$M_d\neq M$ならば末尾へ$M$を加えることができるため、$M_d=M$である。また、$M_{i-1}$と$M_i$の間に真の中間部分加群があれば、その部分加群を挿入して鎖を長くすることができる。したがって中間部分加群は存在しない。$M_i/M_{i-1}$の部分加群の逆像は$M_{i-1}$と$M_i$の間の部分加群であるため、この商は単純である。よって表示した鎖は組成列である。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$M\neq0$とする。$M$の真の部分加群全体は零部分加群を含む空でない族である。Noether 性と命題 1.2により、この族は極大元$M_1$をもつ。商$M/M_1$は非零であり、商の部分加群の逆像を取れば、$M_1$の極大性から$M/M_1$が単純であることが従う。$M_1\neq0$ならば同じ操作を$M_1$に施し、

を作る。$M$は Artin 加群であるため、真の降鎖は無限に続かない。したがって、$M_n=0$となる整数$n\geq0$が存在する。降鎖を逆順に並べると$M$の組成列を得る。$M=0$の場合には定義で指定した長さ$0$の組成列を用いる。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。組成列の因子数$n$に関する帰納法を用いる。$n=0$ならば$M=0$であり、$\ell_R(M)=0$である。$n>0$とし、$A:=M_{n-1}$、$S:=M/A$と置く。$A$の組成列は因子数$n-1$であるため、帰納法の仮定から$\ell_R(A)=n-1$である。

$M$の任意の真の昇鎖

を取り、$A_j:=A\cap N_j$、$C_j:=(N_j+A)/A\subseteq S$と置く。$(A_j)$は$A$の昇鎖であり、真に増大する段階は高々$n-1$回である。$(C_j)$は単純加群$S$の部分加群の昇鎖であるため、真に増大する段階は高々一回である。$A_j=A_{j+1}$かつ$C_j=C_{j+1}$ならば、商射$M\to S$に関する補題 3.1から$N_j=N_{j+1}$となり、真の包含に反する。したがって各段階で$(A_j)$または$(C_j)$の少なくとも一方が真に増大し、$r\leq(n-1)+1=n$である。もとの組成列は長さ$n$の真の昇鎖であるため、$\ell_R(M)=n$となる。▨

証明.定理 4.3、命題 3.2および命題 3.3により、有限長であることについての同値が従う。

$A$を$i(A)=\ker p$と同一視し、$A$と$C$が有限長であるとする。定理 4.3により、$A$と$C$は組成列

をもち、同じ定理の末尾の主張により$\ell_R(A)=r$、$\ell_R(C)=s$である。$p^{-1}(C_0)=\ker p=A$であるから、部分加群の列

を得る。

下側の因子$A_j/A_{j-1}$は単純である。$1\leq j\leq s$について、$p$を$p^{-1}(C_j)$へ制限した写像と商射$C_j\to C_j/C_{j-1}$の合成

を考える。$p$は全射であるから$p(p^{-1}(C_j))=C_j$であり、$q_j$は全射である。$q_j(b)=0$は$p(b)\in C_{j-1}$、すなわち$b\in p^{-1}(C_{j-1})$と同値であるから、$\ker q_j=p^{-1}(C_{j-1})$である。§E6.2 定理 5.1により

であり、上側の因子も単純である。単純加群は零でないから、表示した列の各包含は真であり、この列は因子数$r+s$の$B$の組成列である。定理 4.3の末尾の主張により

となる。▨

証明. 演習とする（問題 10.1 (3)）。▨

証明. 包含射$A\to A+B$と商射$A+B\to(A+B)/B$の合成$q$は全射である。実際、任意の$(a+b)+B$は$a+B=q(a)$に等しい。また、$q(a)=B$は$a\in A\cap B$と同値であるから、$\ker q=A\cap B$である。§E6.2 定理 5.1により、$q$が誘導する表示の写像$\theta$は同型である。▨

証明.$d:=\ell_R(M)$に関する帰納法を用いる。$d=0$ならば$M=0$であり、二つの組成列はいずれも組成因子をもたない。$d>0$とし、二つの組成列を

とする。$M/A$と$M/B$は単純であるため、$A$と$B$は$M$の極大部分加群である。

$A=B$ならば、$A$の二つの組成列へ帰納法の仮定を適用することができる。実際、$A\subsetneq M$であるため、$A$の任意の真の昇鎖へ末尾の$M$を加えると$M$の鎖になり、$\ell_R(A)<d$である。$A$以下の組成因子が並べ替えを除いて一致し、最上部の因子$M/A$は共通であるから、$M$についても結論が成り立つ。

$A\neq B$とし、$L:=A\cap B$と置く。$B\subseteq A$ならば$B$の極大性と$A\subsetneq M$から$A=B$となるため、$B\nsubseteq A$である。したがって$A\subsetneq A+B$であり、$A$の極大性から

となる。補題 6.1により

である。よって$A/L$と$B/L$は単純加群である。

$M$は有限長であるから定理 4.3により Noether 加群かつ Artin 加群であり、部分加群$L$も両方の鎖条件を満たす。再び同じ定理により、$L$は組成列

をもつ。末尾へ$A$または$B$を加えると、それぞれ$A$と$B$の組成列が得られる。

$\ell_R(A),\ell_R(B)<d$であるため、帰納法の仮定を$A$と$B$へ適用する。最初の組成列に現れる$A$以下の因子は、$L$の因子と$A/L$を合わせた多重集合に一致する。第二の組成列に現れる$B$以下の因子は、$L$の因子と$B/L$を合わせた多重集合に一致する。さらに

であるため、二つの列の最上部の因子を加えた多重集合も一致する。▨

証明.(1)を示す。(2)を示す。加法部分群$N\subseteq M$が右$R$部分加群であることは、すべての$n\in N$と$r\in R$に対して$nr\in N$となることと同値である。この条件は$r^{\mathrm{op}}n=nr\in N$、すなわち$N$が左$R^{\mathrm{op}}$部分加群であることと同じである。したがって部分加群の集合と包含関係は変化せず、昇鎖と降鎖も同じ列である。また、

であるから、有限生成性も保たれる。以上により(1)と(2)が従う。

(3)を示す。右商加群$M/N$の作用は

であり、左$R^{\mathrm{op}}$加群としての商作用

と同じである。部分加群が一致するため、商の単純性も一致する。したがって組成列は同じ部分加群列であり、各右$R$組成因子は同じ加法群と作用をもつ左$R^{\mathrm{op}}$組成因子になる。真の鎖の長さも変化しないため、有限長とその値が保たれる。

(4)を示す。写像$f\colon M\to N$の右$R$線形性を表す等式

は

と同じ等式である。核、像、全射性および単射性は加法群の写像として変化しないため、短完全列も同じ写像列である。組成因子の同型も同じ写像である。したがって、左$R^{\mathrm{op}}$加群に対する Jordan–Hölder の定理と長さの加法性が右$R$加群へ移る。最後に、右正則加群$R_R$は反対環の左正則加群${}_{R^{\mathrm{op}}}R^{\mathrm{op}}$と同じ作用をもつ。よって環についての主張も従う。▨

証明.$k\geq0$について$P_k=\Z(p^{-k}+\Z)$であり、$p^{-k}=p\cdot p^{-(k+1)}$から$P_k\subseteq P_{k+1}$である。$p^{-(k+1)}\in p^{-k}\Z$は$p^{-1}\in\Z$を意味するから、$p^{-(k+1)}+\Z\notin P_k$であり、包含$P_k\subsetneq P_{k+1}$は真である。また、$P$の元$b/p^n+\Z$（$b\in\Z$、$n\geq0$）は$P_n$に属するから、$P=\bigcup_{k\geq0}P_k$である。

$P$の非零元$x=b/p^n+\Z$（$b\in\Z$、$n\geq0$）を取り、$b=p^ea$、$p\nmid a$と分解する。$b\neq0$であり、$e\geq n$ならば$x=0$となるから、$k:=n-e\geq1$であり、$x=a/p^k+\Z$と書くことができる。$p$は素数であり$p\nmid a$であるから$\gcd(a,p^k)=1$である。§A4.3 補題 1.1を$a$と$p^k$に適用すると、$ar+p^ks=1$を満たす整数$r,s$が存在する。このとき

であるから、$P_k=\Z(p^{-k}+\Z)\subseteq\Z x$である。$x\in P_k$と合わせて$\Z x=P_k$を得る。

$N\subseteq P$を部分加群とし、$K:=\{k\geq0\mid P_k\subseteq N\}$と置く。$P_0=0$であるから$0\in K$である。$N$の元$x$は、$x=0$ならば$P_0$に属し、$x\neq0$ならば前段により$x\in\Z x=P_k\subseteq N$を満たす$k\geq1$が存在する。したがって$N=\bigcup_{k\in K}P_k$である。$K$が上に有界ならば、その最大値$k$について$j\in K$のとき$P_j\subseteq P_k$であるから、$N=P_k$である。$K$が上に有界でなければ、任意の$j\geq0$に対して$j\leq k$を満たす$k\in K$が存在し、$P_j\subseteq P_k\subseteq N$である。よって$N\supseteq\bigcup_{j\geq0}P_j=P$であり、$N=P$である。

$P$の部分加群は真の包含で並ぶ$P_0\subsetneq P_1\subsetneq\cdots$と$P$だけであるから、昇鎖$P_0\subsetneq P_1\subsetneq\cdots$は停止せず、$P$は Noether 加群でない。部分加群の降鎖$N_0\supseteq N_1\supseteq\cdots$を取る。すべての$N_j$が$P$に等しければ降鎖は停止する。ある$j_0$について$N_{j_0}\neq P$ならば、ある$m\geq0$について$N_{j_0}=P_m$であり、$j\geq j_0$について$N_j\subseteq P_m\subsetneq P$であるから$N_j=P_{k_j}$、$k_j\leq m$と書くことができる。$(k_j)_{j\geq j_0}$は$0$以上$m$以下の整数の広義単調減少列であるから、ある段階以後一定である。したがって降鎖は停止し、$P$は Artin 加群である。

$n\geq1$とする。準同型$\Z\to P_n$、$a\mapsto a/p^n+\Z$は全射であり、$a/p^n\in\Z$は$a\in p^n\Z$と同値であるから、その核は$p^n\Z$である。§E6.2 定理 5.1により$\Z/p^n\Z\cong P_n$である。$1\leq j\leq n$について、$P_j/P_{j-1}$の部分加群の商射による逆像は$P_{j-1}$を含む$P_j$の部分加群であり、$P$の部分加群の決定により$P_{j-1}$または$P_j$に等しい。したがって零でない$P_j/P_{j-1}$は単純であり、$0=P_0\subsetneq P_1\subsetneq\cdots\subsetneq P_n$は$P_n$の組成列である。定理 4.3の末尾の主張により$\ell_\Z(P_n)=n$である。$P$は Noether 加群でないから、同じ定理により有限長でなく、$\ell_\Z(P)=\infty$である。

§E6.16 例 10.3の$n=1$の場合により、$\Z/p\Z\to P$、$a+p\Z\mapsto a/p+\Z$は入射包絡である。$\ell_\Z(\Z/p\Z)=\ell_\Z(P_1)=1$であるから、有限長加群の入射包絡は有限長とは限らない。§E6.16 例 10.2により$\Z$の入射包絡は$\Q$である。$P$の各元$x$は$P=\bigcup_{k\geq0}P_k$によりある$k$について$p^kx=0$を満たすが、$\Q$の非零元$q$と正整数$m$について$mq\neq0$である。各元がある正整数倍で零になるという性質は$\Z$加群の同型で保たれるから、$P$と$\Q$は同型でない。▨

証明. 行列を$(a,b,c)$と略記すると、積は

である。この積の式から

となるため、$(1,0,1)$は$T$の両側単位元である。冪等元

に対して

は左イデアルであり、

である。実際、$(a,b,c)=(a,0,0)+(0,b,c)$と一意に分解される。左部分加群、すなわち左イデアルとして

を取る。積の式から

であるため、$L_1$と$L_2$は左イデアルであり、

となる。

$L_1$の非零元$(a,0,0)$を取る。$a\neq0$であるから、左から$(a^{-1},0,0)$を掛けると$(1,0,0)$を得る。さらに$(x,0,0)(1,0,0)=(x,0,0)$であるため、非零元を含む$L_1$の左部分加群は$L_1$全体である。よって$L_1$は単純である。

$J:=\{(0,b,0)\mid b\in K\}$と置く。写像

は同型である。$J$の非零元$(0,b,0)$に左から$(b^{-1},0,0)$を掛けると$(0,1,0)$を得て、$(x,0,0)(0,1,0)=(0,x,0)$であるため、$J$は単純である。したがって$L_2/L_1$も単純である。

最後に

は加法群の同型であり、左から$(x,y,z)\in T$を掛ける作用を$k$上の乗法$c\mapsto zc$へ移す。$k$のこの加群構造における非零部分加群は、非零元$c$と任意の$z\in k$からすべての$zc$を含むため$k$全体である。よって$T/L_2$は単純である。以上により表示した列は${}_TT$の組成列であり、$\ell_T({}_TT)=3$である。定理 4.3から$T$は左 Noether 環かつ左 Artin 環である。

任意の$k$線形部分空間$W\subseteq K$に対して

と置く。$w\in W$と$(a,b,c)\in T$に対して

であり、$c\in k$から$wc\in W$となる。加法についても閉じているため、$I_W$は$T$の右イデアルである。また$I_W\subseteq I_{W'}$と$W\subseteq W'$は同値である。

$K$の$k$線形部分空間

を取る。$t$は$k$上超越的であるため$t^{n+1}\notin W_n$であり、

は右イデアルの停止しない真の昇鎖である。次に

と置く。$t^n\notin U_{n+1}$であるため、

は右イデアルの停止しない真の降鎖である。したがって$T_T$は Noether 加群でも Artin 加群でもない。▨