射影加群 | 環論入門

1 左射影加群

定義 1.1. $R$ を単位元をもつ結合環とする。左 $R$ 加群 $P$ が左射影 $R$ 加群 (left projective R-module) であるとは、任意の左 $R$ 加群の全射

\pi\colon B\twoheadrightarrow C

と任意の左 $R$ 線形写像 $f\colon P\to C$ に対して、

\pi\circ g=f

を満たす左 $R$ 線形写像 $g\colon P\to B$ が存在することをいう。この $g$ を $f$ の $\pi$ に沿う持上げ (lift) という。

系 1.2. $R$ を単位元をもつ結合環とする。このとき、任意の自由左 $R$ 加群は左射影 $R$ 加群である。また、任意の左 $R$ 加群 $M$ に対して、ある自由左 $R$ 加群からの全射 $F\twoheadrightarrow M$ が存在する。

証明. 第一の主張は§E6.3 系 7.1による。第二の主張については、§E6.3 補題 4.5により、 $M$ の台集合上の自由加群 $F=R^{(M)}$ の基底元 $e_m$ を $m$ へ送る写像 $\varepsilon\colon F\to M$ を取る。任意の $m\in M$ は $\varepsilon(e_m)$ に等しいので、 $\varepsilon$ は全射である。▨

命題 1.3. $R$ を単位元をもつ結合環、 $P$ を左 $R$ 加群とする。このとき、次の四条件は同値である。

$P$ は左射影 $R$ 加群である。
$P$ を終域とするすべての短完全列 $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow P\longrightarrow0$ は分裂する。
ある自由左 $R$ 加群 $F$ と左 $R$ 加群 $Q$ が存在して $F\cong P\oplus Q$ となる。
共変関手 $\operatorname{Hom}_R(P,-)$ は完全である。すなわち、左 $R$ 加群の任意の短完全列をアーベル群の短完全列へ移す。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。短完全列

0\longrightarrow A\xrightarrow{\ i\ }B \xrightarrow{\ \pi\ }P\longrightarrow0

を取る。全射 $\pi$ と恒等写像 $1_P\colon P\to P$ に射影性を適用すると、 $\pi\circ s=1_P$ を満たす $s\colon P\to B$ が得られる。したがって短完全列は分裂する。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。系 1.2により、自由左 $R$ 加群 $F=R^{(P)}$ からの全射 $\varepsilon\colon F\to P$ を取る。 $K:=\ker\varepsilon$ と置くと、短完全列

0\longrightarrow K\xrightarrow{\ \iota\ }F \xrightarrow{\ \varepsilon\ }P\longrightarrow0

を得る。(2)により、この列には切断 $s\colon P\to F$ が存在する。§E6.8 命題 3.2を適用すると $F\cong K\oplus P$ となる。したがって $P$ は自由加群の直和因子である。

(3) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $F\cong P\oplus Q$ とし、包含 $j\colon P\to F$ と射影 $q\colon F\to P$ を取る。このとき $q\circ j=1_P$ である。全射 $\pi\colon B\twoheadrightarrow C$ と $f\colon P\to C$ に対して、自由加群の持上げ性§E6.3 系 7.1により

\pi\circ h=f\circ q

を満たす $h\colon F\to B$ が存在する。 $g:=h\circ j$ と置くと

\pi\circ g=f\circ q\circ j=f

である。したがって $P$ は射影的である。

(1) $\Rightarrow$ (4)を示す。左 $R$ 加群の短完全列

0\longrightarrow A'\xrightarrow{\ i\ }A \xrightarrow{\ p\ }A''\longrightarrow0

を取る。§E6.12 命題 4.1により

0\longrightarrow\operatorname{Hom}_R(P,A') \xrightarrow{\ i_*\ }\operatorname{Hom}_R(P,A) \xrightarrow{\ p_*\ }\operatorname{Hom}_R(P,A'')

は完全である。任意の $f\colon P\to A''$ は、射影性によって $p\circ g=f$ となる $g\colon P\to A$ をもつ。すなわち $p_*$ は全射である。したがって表示した列の右端に $\to0$ を加えた列も完全である。

(4) $\Rightarrow$ (1)を示す。全射 $\pi\colon B\twoheadrightarrow C$ と左 $R$ 線形写像 $f\colon P\to C$ を取る。短完全列

0\longrightarrow\ker\pi\longrightarrow B \xrightarrow{\ \pi\ }C\longrightarrow0

に $\operatorname{Hom}_R(P,-)$ を施すと、(4)により

\operatorname{Hom}_R(P,B) \xrightarrow{\ \pi_*\ } \operatorname{Hom}_R(P,C)\longrightarrow0

は完全である。したがって $\pi_*$ は全射であるから、 $\pi\circ g=f$ となる $g\colon P\to B$ が存在する。よって $P$ は射影的である。▨

2 射影加群の直和と反対環

命題 2.1. $R$ を単位元をもつ結合環、 $(P_i)_{i\in I}$ を左 $R$ 加群の族とする。このとき、次が成り立つ。

すべての $P_i$ が射影的であることと、 $\bigoplus_{i\in I}P_i$ が射影的であることは同値である。
射影加群の任意の直和因子は射影的である。

証明.主張 (1)を示す。各 $P_i$ が射影的であるとする。全射 $\pi\colon B\twoheadrightarrow C$ と写像 $f\colon\bigoplus_iP_i\to C$ を取る。標準包含を $j_i\colon P_i\to\bigoplus_kP_k$ とする。各 $i$ に対して、 $P_i$ の射影性により $\pi\circ g_i=f\circ j_i$ を満たす $g_i\colon P_i\to B$ が存在する。直和の普遍性により、 $g\circ j_i=g_i$ を満たす $g\colon\bigoplus_iP_i\to B$ が存在する。すべての $i$ について

\pi\circ g\circ j_i=f\circ j_i

であるため、 $\pi\circ g=f$ である。よって直和は射影的である。

主張 (2)を示す。射影加群 $E$ が $E=P\oplus Q$ と分解するとする。命題 1.3 (3)により $E$ は自由加群 $F$ の直和因子である。直和分解を合成すると $P$ も $F$ の直和因子となるから、命題 1.3により $P$ は射影的である。各 $P_i$ は直和の直和因子であるから、 $\bigoplus_iP_i$ が射影的ならば各 $P_i$ も射影的である。▨

命題 2.2. $R$ を単位元をもつ結合環、 $P$ を右 $R$ 加群とする。このとき、次の条件は同値である。

任意の右 $R$ 加群の全射 $\pi\colon B\twoheadrightarrow C$ と右 $R$ 線形写像 $f\colon P\to C$ に対して、 $\pi\circ g=f$ となる右 $R$ 線形写像 $g\colon P\to B$ が存在する。
$P$ を左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群とみなした加群 ${}_{R^{\mathrm{op}}}P$ は左射影 $R^{\mathrm{op}}$ 加群である。

したがって、右射影加群についても命題 1.3の四条件、系 1.2および命題 2.1が左右を入れ替えた形で成り立つ。

証明. 証明は演習とする（問題 4.1 (2)）。▨

3 射影加群が自由とは限らない例

例 3.1. $R:=\Z/6\Z$ とし、 $P:=\Z/2\Z$ と $Q:=\Z/3\Z$ に、剰余写像を通して左 $R$ 作用を入れる。このとき、写像

\varphi\colon R\longrightarrow P\oplus Q, \qquad \varphi(\overline r):=(\overline r^{(2)},\overline r^{(3)})

は左 $R$ 線形である。逆写像は

\psi\colon P\oplus Q\longrightarrow R, \qquad \psi(\overline a^{(2)},\overline b^{(3)}) :=\overline{3a+4b}^{(6)}

である。§E6.7 例 4.1を法 $2,3$ に適用すると、 $\varphi$ は環同型、したがって左 $R$ 加群の同型である。 $3a+4b\equiv a\pmod2$ 、 $3a+4b\equiv b\pmod3$ であるから、 $\psi$ は中国剰余同型 $\varphi$ の逆写像である。したがって

R\cong P\oplus Q

となる。 $P$ は自由加群 $R$ の直和因子であるため、命題 1.3により射影的である。

一方、 $P$ は自由左 $R$ 加群でない。仮に $P\cong R^{(I)}$ ならば、 $I$ が無限集合である場合には相異なる基底元が $R^{(I)}$ の無限部分集合を与えるため、位数 $2$ の $P$ と同型にならない。 $I$ が有限集合で $|I|=n$ ならば、 $|R^{(I)}|=6^n$ である。 $n=0$ のとき位数は $1$ 、 $n\ge1$ のとき位数は $6$ 以上であり、いずれも $2$ でない。したがって $P$ は射影的であるが自由でない。

注意 3.2.

射影加群は平坦であり、有限表示平坦加群は射影的である。これらの事実は §E6.15 平坦加群と普遍単射で証明する。

4 演習

問題 4.1 (射影加群の確認). 次の各問に答えよ。

$R:=\Z/6\Z$ とし、 $\Z/2\Z$ に剰余写像を通して左 $R$ 作用を入れる。剰余写像 $\pi\colon R\to\Z/2\Z$ に対して、 $s(\overline a^{(2)}):=\overline{3a}^{(6)}$ で定まる写像 $s\colon\Z/2\Z\to R$ が $\pi\circ s=1_{\Z/2\Z}$ を満たす左 $R$ 線形写像であることを示し、 $R=\ker\pi\oplus s(\Z/2\Z)$ を確かめよ。さらに、左 $R$ 加群の任意の全射 $p\colon B\to C$ と任意の左 $R$ 線形写像 $f\colon\Z/2\Z\to C$ に対して、自由左 $R$ 加群 $R$ からの $f\circ\pi$ の $p$ に沿う持上げと $s$ を合成して、 $f$ の $p$ に沿う持上げを構成せよ。
命題 2.2の証明を完成させよ。
$R:=\Z/4\Z$ とし、 $\Z/2\Z$ に剰余写像 $\rho\colon R\to\Z/2\Z$ を通して左 $R$ 作用を入れる。例 3.1の $\Z/6\Z$ 上の加群 $\Z/2\Z$ と対照して、 $\rho$ が左 $R$ 線形な切断をもたないことを元の位数によって示し、 $\Z/2\Z$ が左射影 $R$ 加群でないことを導け。

解答 (演習の解答).

整数 $a,a'$ が $a\equiv a'\pmod2$ を満たすならば $3a\equiv3a'\pmod6$ であるから、 $s$ は代表元の選び方によらずに定まる。任意の整数 $r,a,b$ に対して
$s\bigl(\overline r^{(6)}\,\overline a^{(2)}+\overline b^{(2)}\bigr) =\overline{3(ra+b)}^{(6)} =\overline r^{(6)}\,\overline{3a}^{(6)}+\overline{3b}^{(6)}$
であるから、 $s$ は左 $R$ 線形である。 $3a\equiv a\pmod2$ であるから $\pi(s(\overline a^{(2)}))=\overline a^{(2)}$ であり、 $\pi\circ s=1_{\Z/2\Z}$ である。

$\ker\pi=\{\overline0^{(6)},\overline2^{(6)},\overline4^{(6)}\}$ と $s(\Z/2\Z)=\{\overline0^{(6)},\overline3^{(6)}\}$ の共通部分は $\{\overline0^{(6)}\}$ である。任意の $x\in R$ に対して $\pi(x-s(\pi(x)))=\pi(x)-\pi(x)=0$ であるから、 $x=(x-s(\pi(x)))+s(\pi(x))$ は $\ker\pi$ の元と $s(\Z/2\Z)$ の元の和である。したがって $R=\ker\pi\oplus s(\Z/2\Z)$ である。

全射 $p\colon B\to C$ と左 $R$ 線形写像 $f\colon\Z/2\Z\to C$ を取る。 $p$ は全射であるから、 $p(b)=f(\overline1^{(2)})$ を満たす $b\in B$ が存在する。 $h\colon R\to B$ を $h(x):=xb$ と定めると、 $h$ は自由左 $R$ 加群 $R$ からの左 $R$ 線形写像であり、任意の $x\in R$ に対して
$p(h(x))=xp(b)=xf(\overline1^{(2)})=f(x\overline1^{(2)})=f(\pi(x))$
である。すなわち $p\circ h=f\circ\pi$ である。 $g:=h\circ s\colon\Z/2\Z\to B$ と置くと、 $g$ は左 $R$ 線形写像の合成として左 $R$ 線形であり、
$p\circ g=p\circ h\circ s=f\circ\pi\circ s=f$
を満たす。したがって $g$ は $f$ の $p$ に沿う持上げであり、 $g(\overline a^{(2)})=\overline{3a}^{(6)}b$ である。
命題 2.2 (1) $\Leftrightarrow$ (2)を示す。右 $R$ 加群 $M$ の元 $m$ と $r\in R$ に対して $r^{\mathrm{op}}m:=mr$ と定める。任意の $r,t\in R$ に対して
$(r^{\mathrm{op}}t^{\mathrm{op}})m=(tr)^{\mathrm{op}}m=m(tr)=(mt)r=r^{\mathrm{op}}(t^{\mathrm{op}}m)$
であるから、この作用は $M$ に左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群の構造を定める。逆に、左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群は $mr:=r^{\mathrm{op}}m$ によって右 $R$ 加群となり、二つの読み替えは互いに逆である。写像 $f\colon M\to N$ が右 $R$ 線形であることは、任意の $r\in R$ と $m\in M$ に対して
$f(mr)=f(m)r$
となることである。この等式は
$f(r^{\mathrm{op}}m)=r^{\mathrm{op}}f(m)$
と同じ等式である。したがって、 $f$ の右 $R$ 線形性は左 $R^{\mathrm{op}}$ 線形性と同値である。全射性、核、像および写像の合成は台となるアーベル群の写像として変化しない。したがって、右 $R$ 加群の全射 $\pi\colon B\twoheadrightarrow C$ と右 $R$ 線形写像 $f\colon P\to C$ に対する持上げ $g\colon P\to B$ は、同じ写像からなる左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群の持上げと一致する。右 $R$ 加群の全射全体と左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群の全射全体はこの読み替えで対応するので、命題 2.2 (1)と命題 2.2 (2)は同値である。

反対環への読み替えによって短完全列とその切断写像は変化しない。 $\operatorname{Hom}_R(P,-)$ の右加群版は $\operatorname{Hom}_{R^{\mathrm{op}}}(P,-)$ と同じアーベル群と誘導写像をもつ。自由右 $R$ 加群 $R^{(I)}$ は、左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群として自由加群 $(R^{\mathrm{op}})^{(I)}$ に一致する。直和と、その標準包含および標準射影も、読み替えによって変化しない。したがって、左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群に対する命題 1.3の四条件、系 1.2および命題 2.1が、写像を変えずに右 $R$ 加群へ移る。
例 3.1では $\Z/6\Z\cong\Z/2\Z\oplus\Z/3\Z$ であり、(1)の切断 $s$ は $\overline1^{(2)}$ を位数 $2$ の元 $\overline3^{(6)}$ へ送る。 $\Z/4\Z$ で $\rho$ によって $\overline1^{(2)}$ へ移る元は $\overline1^{(4)}$ と $\overline3^{(4)}$ だけであり、いずれも位数 $4$ をもつ。一方、 $\rho$ の左 $R$ 線形な切断 $t$ が存在するならば、
$2t(\overline1^{(2)})=t(2\cdot\overline1^{(2)})=t(\overline0^{(2)})=0$
であるから、 $t(\overline1^{(2)})$ は $\rho$ で $\overline1^{(2)}$ へ移る位数 $2$ 以下の元である。そのような元は存在しないので、 $\rho$ は左 $R$ 線形な切断をもたない。

$K:=\ker\rho=\{\overline0^{(4)},\overline2^{(4)}\}$ と置く。 $\rho$ は全射であるから、
$0\longrightarrow K\longrightarrow R\xrightarrow{\ \rho\ }\Z/2\Z\longrightarrow0$
は左 $R$ 加群の短完全列である。 $\Z/2\Z$ が左射影 $R$ 加群ならば、命題 1.3 (2)によりこの列は分裂し、§E6.8 命題 3.2により $\rho$ は左 $R$ 線形な切断をもつ。これは前段に反するから、 $\Z/2\Z$ は左射影 $R$ 加群でない。

▨

問題 4.2. $n>1$ を整数とし、 $\pi\colon\Z\to\Z/n\Z$ を商写像とする。 $\Z/n\Z$ の恒等写像を $\pi$ に沿って $\Z$ 加群準同型として持ち上げることができるか判定せよ。また、 $\Z/n\Z$ が射影 $\Z$ 加群であるか判定せよ。

解答.

§E6.12 例 6.2を整数 $n>1$ に適用すると、同例の商写像 $q$ は本問の $\pi$ と同じ写像であり、 $\Z/n\Z$ の恒等写像は $\pi$ に沿う持上げをもたない。射影性の定義定義 1.1によれば、射影加群からの任意の準同型は任意の全射に沿って持ち上げることができる。したがって、 $\Z/n\Z$ は射影 $\Z$ 加群ではない。▨

§E6.14射影加群

1 左射影加群

2 射影加群の直和と反対環

3 射影加群が自由とは限らない例

4 演習

参考文献

前提記事