§E6.1環

証明. 右分配律から

を得る。両辺に$-(a0_R)$を加えると$a0_R=0_R$を得る。左分配律を用いる同じ議論によって$0_Ra=0_R$を得る。

次に

であるから、加法逆元の一意性により$(-a)b=-(ab)$である。同様に

であるから、$a(-b)=-(ab)$を得る。最後に、既に示した二つの公式を順に用いると

となる。▨

証明. 直積環の各環公理は、各座標$R_i$の対応する公理から従う。例えば$x=(x_i)$、$y=(y_i)$、$z=(z_i)$に対して

である。任意の$i$で座標が一致するため、$x(y+z)=xy+xz$である。他の公理も同じ座標計算で得られる。

行列の加法がアーベル群をなすことは、$R$の加法がアーベル群をなすことから成分ごとに従う。乗法の結合律は、任意の$i,j$に対して有限和の添字を入れ替える計算

から従う。分配律も有限和と$R$の分配律から従い、$I_nA=AI_n=A$は成分計算から従う。

$\operatorname{End}_{\Z}(A)$では、点ごとの加法がアーベル群をなす。写像の合成は結合的であり、恒等写像が単位元である。任意の$f,g,h\in\operatorname{End}_{\Z}(A)$と$a\in A$に対して

であるから、$f(g+h)=fg+fh$である。また

であるから、$(f+g)h=fh+gh$である。したがって自己準同型全体は環をなす。▨

証明. 整数倍の定義により、任意の$k\in\Z$に対して

である。実際、$k\ge0$の場合は反復和の定義であり、$k=-r<0$の場合は$r\cdot a=(r-1)\cdot a+a$の両辺から$r\cdot a$を引くと得られる。

$m\in\Z$を固定する。このとき、$n=0$では$(m+n)\cdot a=m\cdot a+n\cdot a$である。直前の漸化式により、この等式の両辺は$n$を$n+1$に替えると$a$だけ増え、$n$を$n-1$に替えると$a$だけ減る。したがって、正負それぞれの方向への帰納法により、すべての$n\in\Z$について等式が成り立つ。

加法の可換性により、$n\ge0$のときは反復和を並べ替えて$n\cdot(a+b)=n\cdot a+n\cdot b$を得る。$n<0$のときは$r=-n>0$と置くと

である。

加法準同型$f\colon A\to B$は§E1.6 命題 1.3により零元と加法逆元を保つ。したがって、$n\ge0$では反復和に加法性を適用し、$n<0$ではさらに逆元の保存を用いると、$f(n\cdot a)=n\cdot f(a)$を得る。

既に示した係数の和の法則により、写像$h_a\colon\Z\to A$、$k\mapsto k\cdot a$は加法準同型である。整数の加法群における$n$の$m$倍は整数$mn$であるから、整数倍の保存を$h_a$に適用すると

である。$1\cdot a=a$は定義から従う。▨

証明.$\varphi\colon\Z\to R$を環準同型とする。$\varphi$は加法準同型であるから、補題 3.1により

となる。最後の等号は$\varphi(1_{\Z})=1_R$による。したがって$\varphi$は表示した式で定まり、環準同型は高々一つである。

$\chi_R(n):=n\cdot1_R$と定める。補題 3.1により

であるから、$\chi_R$は加法群の準同型である。また$\chi_R(1)=1_R$である。

$m\in\Z$を固定し、写像

を考える。分配律により$\mu$は加法群$(R,+)$の準同型であるから、補題 3.1により整数倍を保つ。したがって

である。第四の等号は補題 3.1の係数の積の法則による。ゆえに$\chi_R(mn)=\chi_R(m)\chi_R(n)$が成り立ち、$\chi_R$は環準同型である。

環準同型の合成は環準同型であるから、$f\circ\chi_R$は$\Z$から$R'$への環準同型である。いま示した一意性により、$f\circ\chi_R=\chi_{R'}$である。▨

証明.$K:=\ker\chi_R$と置く。$\chi_R$は零元と加法逆元を保つから、$0\in K$であり、$k\in K$ならば$-k\in K$である。したがって、$K$が正の整数を含まない場合は$K=\{0\}=0\Z$である。

$K$が正の整数を含む場合は、その最小元を$d$とする。任意の$q\in\Z$に対して

であるから$d\Z\subseteq K$である。任意の$k\in K$に対して整数の除法により$k=qd+r$、$0\le r<d$と書くと

である。$r\in K$と$d$の最小性により$r=0$であるから、$k\in d\Z$を得る。したがって$K=d\Z$である。

非負整数$n$が$K=n\Z$を満たすとする。$K=\{0\}$ならば$n\in K$より$n=0$である。$K\ne\{0\}$ならば$n>0$であり、$n$は$n\Z$の最小正元であるから$n=d$である。したがって生成する非負整数は一意である。▨

証明.主張 (1)を示す。任意の$k,\ell\in\Z$に対して、$\chi_R(k)=\chi_R(\ell)$であることと$\chi_R(k-\ell)=0_R$であることは同値である。したがって$\chi_R$が単射であることと$\ker\chi_R=\{0\}$であることは同値であり、$\{0\}=0\Z$であるから、これは$\operatorname{char}R=0$と同値である。また$\ker\chi_R=\{0\}$は、任意の正の整数$m$に対して$\chi_R(m)=m\cdot1_R\ne0_R$であることと同値である。$\chi_R(-m)=-\chi_R(m)$であるため、負の整数を調べる必要はない。

主張 (2)を示す。$\operatorname{char}R=n>0$とすると、$\ker\chi_R=n\Z$であるから、$m\cdot1_R=0_R$を満たす正の整数は$n$の正の倍数の全体であり、その最小元は$n$である。逆に、$n$が$m\cdot1_R=0_R$を満たす正の整数のうち最小のものであるとする。$\operatorname{char}R=n'$と置くと、$n\in\ker\chi_R$より$n'\ne0$であり、いま示したことにより$n'$は同じ集合の最小元であるから$n=n'$である。

主張 (3)を示す。$n:=\operatorname{char}R$と置く。このとき、$\chi_R(n)=n\cdot1_R=0_R$である。$a\in R$に対して写像$x\mapsto xa$は分配律により$(R,+)$の準同型であるから、補題 3.1により

である。

主張 (4)を示す。命題 3.2により$f\circ\chi_R=\chi_{R'}$であるから、$\chi_R(n)=0_R$ならば$\chi_{R'}(n)=f(0_R)=0_{R'}$である。したがって

であり、$\operatorname{char}R'$は$\operatorname{char}R$を割り切る。$R$と$R'$が同型ならば両向きの環準同型が存在するため、二つの標数は互いに割り切り合い、非負整数として等しい。部分環$S$については、$1_R\in S$であり、$S$は差について閉じているから、任意の整数$n$に対して$n\cdot1_R\in S$である。したがって$\chi_S$は$\chi_R$の終域を$S$へ制限した写像であり、二つの核は集合として一致する。ゆえに$\operatorname{char}S=\operatorname{char}R$である。

主張 (5)を示す。$\operatorname{char}R=1$であることは$\ker\chi_R=\Z$と同値であり、これは$1_R=\chi_R(1)=0_R$と同値である。$1_R=0_R$ならば、任意の$a\in R$に対して$a=a1_R=a0_R=0_R$であるから$R$は零環である。逆に$R$が零環ならば$1_R=0_R$である。▨

証明.$a,b,c\in R^{\mathrm{op}}$に対して、$R$の結合律を用いると

である。$R$の分配律から

であり、もう一方の分配律も同様に得られる。また

である。加法は$R$と同じであるから、$R^{\mathrm{op}}$は環である。反対環の操作を二度行うと積の順序が二度逆転するため、$(R^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}$の積は$R$の積と一致する。▨

証明.$0_R$と$1_R$は任意の$r\in R$と可換である。$z,w\in Z(R)$と$r\in R$に対して

であり、

である。したがって$Z(R)$は部分環である。$z,w\in Z(R)$ならば中心の定義を$r=w$に適用して$zw=wz$を得るため、$Z(R)$は可換である。反対環で$z$と$r$が可換であるという条件は$rz=zr$であり、$R$での条件と同値である。したがって$Z(R^{\mathrm{op}})=Z(R)$である。▨

証明.$v,w\in R$がともに単元$u$の乗法逆元であるとすると、

である。したがって乗法逆元は一意である。

$1_R$は単元である。単元$x,y$に対して

かつ

であるから、$xy$は単元である。単元$x$の逆元$x^{-1}$も単元であり、その逆元は$x$である。結合律は$R$の結合律から従うため、$R^\times$は群をなす。

$e^2=e$ならば、分配律と命題 1.2から

である。また

である。▨

証明.$f,g\in A[M]$の台を$F,G$とする。和$f+g$の台は有限集合$F\cup G$に含まれ、加法逆元$-f$の台は$F$に等しい。零写像の台は空である。加法の結合律と可換律、零元と逆元の法則は$A$の加法の法則を各点に適用して得られるため、$A[M]$は加法についてアーベル群である。

$x\notin FG:=\{uv\mid u\in F,\ v\in G\}$ならば、$uv=x$を満たす各組で$f(u)=0_A$または$g(v)=0_A$であり、命題 1.2により$f(u)g(v)=0_A$である。したがって$\operatorname{supp}(f\ast g)\subseteq FG$であり、$FG$は有限なので乗法も$A[M]$上で閉じている。

$h\in A[M]$の台を$H$とする。$A$の分配律と結合律および$M$の結合律により、任意の$x\in M$に対して

外側の和を展開するとき、零となる中間係数を含めても和は変わらないため、いずれも表示した有限集合上の和に等しい。よって乗法は結合的である。分配律についても、台の和集合を用いて零の項を補えば

となる。各$x$に対して$(\delta_e\ast f)(x)=1_Af(x)=f(x)$および$(f\ast\delta_e)(x)=f(x)1_A=f(x)$であるから、$\delta_e$は単位元である。

任意の$a,b\in A$と$m,n\in M$に対して、積の定義から

である。この式と成分ごとの加法から、$\iota$は加法、乗法および単位元を保つ。$\iota(a)(e)=a$なので$\iota$は単射である。また、$j(e)=\delta_e$、$j(m)\ast j(n)=j(mn)$であり、

各点で係数を比べると$f=\sum_{m\in\operatorname{supp}(f)}f(m)\delta_m$であり、主張の表示を得る。

$A$と$M$がともに可換ならば、添字の交換$(u,v)\mapsto(v,u)$により

である。したがって$A[M]$は可換環である。▨

証明.$f\in A[M]$に対し、表示された有限和によって$\Phi(f)$を定める。$\varphi(0_A)=0_B$なので、和の添字に台の外の元を加えても値は変わらない。したがって$f,g\in A[M]$の台の和集合上で計算すると、$\varphi$の加法性と$B$の分配律から$\Phi(f+g)=\Phi(f)+\Phi(g)$を得る。また、$\Phi(\delta_e)=\varphi(1_A)u(e)=1_B$である。

$F:=\operatorname{supp}(f)$、$G:=\operatorname{supp}(g)$と置く。二つの像が互いに可換であることを用いると

よって$\Phi$は環準同型である。定義から$\Phi(\iota(a))=\varphi(a)$および$\Phi(j(m))=u(m)$が成り立つ。

同じ二条件を満たす環準同型$\Psi\colon A[M]\to B$に対して、定理 6.2の有限和表示により

となる。したがって$\Psi=\Phi$であり、延長は一意である。▨