§E6.4整域・体・被約環・単純環

$R$が整域ならば、命題 1.2により簡約律が成り立つ。逆に簡約律を仮定し、$ab=0$かつ$a\ne0$とする。可換性から$ba=0=0\cdot a$であり、$a\ne0$に簡約律を適用すると$b=0$である。したがって$R$は零因子をもたず、$R\ne\{0\}$であるから整域である。$\Z/(6)$では$a=2+(6)$、$b=4+(6)$、$c=3+(6)$とすると$ac=6+(6)=0$、$bc=12+(6)=0$であるから$ac=bc$であり、$c\ne0$かつ$a\ne b$である。

$x,y\in R$が$\mu_a(x)=\mu_a(y)$を満たすとする。$ax=ay$と$a\ne0$に命題 1.2を適用すると$x=y$となり、$\mu_a$は単射である。単射$\mu_a$は有限集合$R$と像$\mu_a(R)$の間の全単射を与えるため、$|\mu_a(R)|=|R|$である。$\mu_a(R)\subseteq R$なので、有限性から$\mu_a(R)=R$となり、$\mu_a$は全射である。特に$1_R$は像に属するため、ある$b\in R$が存在して$\mu_a(b)=ab=1_R$となる。$R$は可換なので$ba=1_R$も成り立ち、$b$は$a$の逆元である。$\Z/(7)$の類を$0,1,\ldots,6$で表すと、$\mu_3$の値は順に$0,3,6,2,5,1,4$である。したがって$\mu_3(5)=1$であり、$3+(7)$の逆元は$5+(7)$である。

$\Z/(0)\cong\Z$は整域であるため$(0)$は素イデアルであるが、$(0)\subsetneq(2)\subsetneq\Z$なので極大イデアルではない。$\Z/(2)$は体であるため$(2)$は極大イデアルであり、素イデアルでもある。$5$は正の素数なので命題 4.4により$\Z/(5)$は体であり、$(5)$も極大イデアルかつ素イデアルである。$2\cdot3\in(6)$であるが$2,3\notin(6)$なので$(6)$は素イデアルではなく、$(6)\subsetneq(2)\subsetneq\Z$なので極大イデアルでもない。

命題 4.2 (1)を可換環$R$と真の素イデアル$I$に適用すると、$R/I$は整域である。商環の積が$(a+I)(b+I)=ab+I$であるため、積が零になる条件$ab\in I$は、少なくとも一方の因子が零になる条件$a\in I$または$b\in I$を意味する。また、真のイデアル$I$は$1_R$を含まないから$1_R+I\ne0+I$であり、商環は非零である。$I=(5)$は解答 (3)により素イデアルなので、同じ特徴づけから$\Z/(5)$は整域である。具体的には$ab\equiv0\pmod5$ならば$5\mid a$または$5\mid b$であり、商で少なくとも一方の類が零になる。

$x=2+(4)$と置くと$x\ne0$であるが$x^2=4+(4)=0$である。よって$x$は非零冪零元であり、$\Z/(4)$は被約環ではない。一般に、非零冪零元$y$に対して$y^n=0$となる最小の$n$を取ると、$y^{n-1}\ne0$かつ$y\,y^{n-1}=0$であるから、$y$は零因子である。しかし、一般の零因子は冪零とは限らない。例えば$\Z/(6)$の$2+(6)$は$3+(6)$との積が零になるため零因子であるが、その正の冪は$2+(6)$と$4+(6)$を交互に取り、零にならない。したがって、被約性は零因子の不存在ではなく、零因子のうち冪零になる元の不存在を表す。

$M_n(I)$は零行列を含み、加法と加法逆元について閉じている。$X\in M_n(R)$と$A\in M_n(I)$について、$(XA)_{ij}=\sum_kx_{ik}a_{kj}$と$(AX)_{ij}=\sum_ka_{ik}x_{kj}$の各項は$I$が両側イデアルであることから$I$に属するので、$XA,AX\in M_n(I)$である。

$\mathfrak J$を$M_n(R)$の両側イデアルとし、$I=\{a\in R\mid aE_{11}\in\mathfrak J\}$と置く。$0\in I$であり、$aE_{11},bE_{11}\in\mathfrak J$ならば$(a-b)E_{11}\in\mathfrak J$である。また、$r\in R$について$(rE_{11})(aE_{11})=(ra)E_{11}$と$(aE_{11})(rE_{11})=(ar)E_{11}$は$\mathfrak J$に属するから、$I$は両側イデアルである。$A=(a_{ij})\in\mathfrak J$ならば$E_{1p}AE_{q1}=a_{pq}E_{11}\in\mathfrak J$であるから、$A$のすべての成分は$I$に属し、$\mathfrak J\subseteq M_n(I)$である。逆に$a\in I$と$k,\ell$について$aE_{k\ell}=E_{k1}(aE_{11})E_{1\ell}\in\mathfrak J$であり、$M_n(I)$の元はこの形の行列の有限和であるから、$M_n(I)\subseteq\mathfrak J$である。したがって$\mathfrak J=M_n(I)$である。$I$は$M_n(I)$の$(1,1)$成分全体として$M_n(I)$から定まるから、一意である。

$\Z$のイデアルは$m\geq0$による$m\Z$であるから、$M_2(\Z)$の両側イデアルは$M_2(m\Z)$（$m\geq0$）であり、$m$が異なれば異なる。とくに$R=D$が斜体ならば$I\in\{0,D\}$なので、定理 6.3の単純性が従う。

$\overline a:=a+(8)$と書く。$\overline2\ne0$、$\overline4\ne0$であるが、$\overline2\,\overline4=0$なので$A$は整域ではない。$\overline2$が可逆ならば$\overline2\,\overline4=0$に逆元を掛けると$\overline4=0$となるから、$A$は体でもない。さらに$\overline2^3=0$なので、$A$は被約環ではない。集合$I=\{\overline0,\overline2,\overline4,\overline6\}$は差について閉じている。また、$I$の任意の元と$A$の任意の元の積は偶数の剰余類なので$I$に属する。したがって$I$はイデアルである。$\overline2\in I$、$\overline1\notin I$より$0\subsetneq I\subsetneq A$であり、$A$は単純環ではない。

行列単位を$E_{ij}$と書く。$E_{11}E_{12}=E_{12}\ne0$に対して$E_{12}E_{11}=0$なので$B$は非可換である。また、$E_{11}$と$E_{22}$はともに非零であるが$E_{11}E_{22}=0$である。$E_{12}\ne0$かつ$E_{12}^2=0$なので、$E_{12}$は非零冪零元である。

$J$を$B$の非零両側イデアルとし、非零行列$X=(x_{ij})\in J$を取る。$x_{pq}\ne0$となる添字$p,q\in\{1,2\}$が存在する。任意の$i,j\in\{1,2\}$に対して

である。$x_{pq}$は体$k$の非零元なので、左から$x_{pq}^{-1}I_2$を掛けると$E_{ij}\in J$を得る。とくに$I_2=E_{11}+E_{22}\in J$だから$J=B$である。したがって両側イデアルは$0$と$B$だけであり、$B$は単純環である。

体$k$は命題 3.2と命題 5.2により整域かつ被約環である。$k$の非零イデアルには非零元$a$と$a^{-1}a=1$が属するので、$k$は単純環でもある。$\Z$は整域かつ被約環であるが、$2$の逆元が整数でないため体ではなく、$0\subsetneq2\Z\subsetneq\Z$より単純環でもない。例 5.3により$\Z\times\Z$は被約環であるが整域ではない。したがって命題 3.2により体でもない。また、$\Z\times\{0\}$は非零真イデアルなので単純環でもない。$A$は四つの性質をいずれももたない。一方、$B$は非零冪零元をもつ単純環である。$B$は非可換なので、本記事の整域、体、被約環の定義の対象には含まれない。

$X$をコンパクト空間、$I\subsetneq C(X,\R)$を真のイデアルとする。$X=\emptyset$ならば$C(X,\R)$は零環であり真のイデアルをもたないから、$X\ne\emptyset$である。

有限個の元$f_1,\ldots,f_n\in I$に対し、$g=\sum_{j=1}^n f_j^2$とおく。イデアルの性質から$g\in I$であり、実数の平方の非負性から$Z(g)=\bigcap_{j=1}^n Z(f_j)$である。この共通部分が空ならば、§E2.16 命題 5.1 (2)により$g$は可逆であり、$1=g(1/g)\in I$となる。これは$I$が真のイデアルであることに反する。したがって、有限個の零集合の共通部分は空でない。空の有限族についても、その共通部分は空でない$X$である。

§E2.16 命題 4.3 (1)により各$Z(f)$は閉集合であるから、閉集合族$(Z(f))_{f\in I}$は有限交差性をもつ。§E2.19 定理 3.2により$\bigcap_{f\in I}Z(f)\ne\emptyset$である。

$X$をコンパクト Hausdorff 空間とする。$X=\emptyset$の場合、$C(X,\R)$は零環であり極大イデアルをもたない。したがって点の集合と極大イデアルの集合はともに空であり、結論が成り立つ。以下、$X\ne\emptyset$とする。

$M$を$C(X,\R)$の極大イデアルとする。命題 7.2により、すべての$f\in M$について$f(x)=0$を満たす点$x\in X$が存在する。すると$M\subseteq M_x$であり、命題 7.1により$M_x$は真のイデアルであるから、$M$の極大性により$M=M_x$である。したがって$x\mapsto M_x$は全射である。

相異なる点$x,x'\in X$をとる。§E2.19 系 6.12により$X$は T3½ 空間であり、§E2.15 命題 1.5により$\{x'\}$は閉集合である。§E2.15 定義 1.7 (2)により、$f(x)=0$かつ$f(x')=1$を満たす連続関数$f\colon X\to[0,1]$が存在する。$f$を実数値関数とみなすと、$f\in M_x$かつ$f\notin M_{x'}$である。ゆえに$M_x\ne M_{x'}$であり、写像は単射でもある。