平坦加群と普遍単射 | 環論入門

1 平坦性と普遍単射

定義 1.1. $R$ を単位的結合環とする。左 $R$ 加群 $F$ が左平坦 $R$ 加群 (left flat R-module) であるとは、任意の右 $R$ 加群の単射 $u\colon A\hookrightarrow B$ に対して

u\otimes_R1_F\colon A\otimes_RF \longrightarrow B\otimes_RF

がアーベル群の単射となることをいう。

右 $R$ 加群 $G$ が右平坦 $R$ 加群 (right flat R-module) であるとは、任意の左 $R$ 加群の単射 $v\colon C\hookrightarrow D$ に対して

1_G\otimes_Rv\colon G\otimes_RC \longrightarrow G\otimes_RD

がアーベル群の単射となることをいう。

命題 1.2. $A$ を右 $R$ 加群、 $F$ を左 $R$ 加群とする。このとき、 $F$ を右 $R^{\mathrm{op}}$ 加群、 $A$ を左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群とみなすと、

\sigma_{A,F}\colon A\otimes_RF \xrightarrow{\ \cong\ } F\otimes_{R^{\mathrm{op}}}A, \qquad \sigma_{A,F}(a\otimes f):=f\otimes a

というアーベル群の同型が定まる。この同型は $A$ と $F$ の準同型と可換する。

したがって、左 $R$ 加群 $F$ が左平坦であることは、右 $R^{\mathrm{op}}$ 加群として右平坦であることと同値である。右 $R$ 加群 $G$ が右平坦であることは、左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群として左平坦であることと同値である。

証明.§E6.12 命題 12.2により、反対環の作用 $fr^{\mathrm{op}}=rf$ 、 $r^{\mathrm{op}}a=ar$ に対して、表示した同型 $\sigma_{A,F}$ が定まる。同命題の両変数についての自然性から、任意の右 $R$ -加群の単射 $u\colon A\to B$ に対して

\sigma_{B,F}(u\otimes_R1_F) =(1_F\otimes_{R^{\mathrm{op}}}u)\sigma_{A,F}

が成り立つ。したがって $u\otimes_R1_F$ が単射であることと、 $1_F\otimes_{R^{\mathrm{op}}}u$ が単射であることは同値である。右 $R$ -加群の単射は左 $R^{\mathrm{op}}$ -加群の単射と同じ写像なので、すべての $u$ についてこの条件を課すと、左 $R$ 平坦性と右 $R^{\mathrm{op}}$ 平坦性の同値を得る。 $R$ を $R^{\mathrm{op}}$ に置き換えると、右 $R$ 平坦性と左 $R^{\mathrm{op}}$ 平坦性の同値も従う。▨

定理 1.3. 左 $R$ 加群 $F$ に対して、次の二条件は同値である。

$F$ は左平坦 $R$ 加群である。
関手 $-\otimes_RF$ は右 $R$ 加群のすべての短完全列をアーベル群の短完全列へ移す。

右 $R$ 加群 $G$ に対しても、次の二条件は同値である。

$G$ は右平坦 $R$ 加群である。
関手 $G\otimes_R-$ は左 $R$ 加群のすべての短完全列をアーベル群の短完全列へ移す。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。短完全列

0\longrightarrow A'\xrightarrow{\ i\ }A \xrightarrow{\ p\ }A''\longrightarrow0

を取る。§E6.12 命題 19.1により

A'\otimes_RF\xrightarrow{\ i\otimes1_F\ } A\otimes_RF\xrightarrow{\ p\otimes1_F\ } A''\otimes_RF\longrightarrow0

は完全である。 $F$ が左平坦ならば $i\otimes1_F$ は単射であるため、左端に $0\to$ を加えた列は短完全列になる。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。逆に(2)を仮定し、右 $R$ 加群の単射 $i\colon A'\hookrightarrow A$ を取る。余核への標準射影を $p\colon A\to A/i(A')$ とすると

0\longrightarrow A'\xrightarrow{\ i\ }A \xrightarrow{\ p\ }A/i(A')\longrightarrow0

は短完全列である。(2)により $i\otimes1_F$ は単射である。したがって $F$ は左平坦である。

(3) $\Leftrightarrow$ (4)を示す。右 $R$ 加群 $G$ を左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群とみなす。左 $R$ 加群の短完全列は、同じ写像をもつ右 $R^{\mathrm{op}}$ 加群の短完全列である。命題命題 1.2の自然な同型によって、 $G\otimes_R-$ は $-\otimes_{R^{\mathrm{op}}}G$ と対応する。左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群 $G$ に対する直前の証明を適用すると、右 $R$ 加群の場合の二条件も同値になる。▨

定義 1.4. $R$ を単位的結合環とする。右 $R$ -加群の射 $f\colon A\to B$ が普遍単射 (pure monomorphism) であるとは、任意の左 $R$ -加群 $F$ に対して

f\otimes1_F\colon A\otimes_RF\longrightarrow B\otimes_RF

が単射となることをいう。普遍単射を純単射ともいう。 $F=R$ と単位同型を取ると、普遍単射 $f$ 自身も単射である。

右部分加群 $A\subseteq B$ の包含が普遍単射であるとき、 $A$ を $B$ の純部分加群 (pure submodule) という。短完全列 $0\to A\xrightarrow{f}B\to C\to0$ の左の射 $f$ が普遍単射であるとき、この列を純完全列 (pure exact sequence) という。

左 $R$ -加群の射 $f\colon A\to B$ については、任意の右 $R$ -加群 $G$ に対する $1_G\otimes f$ が単射となることを普遍単射の定義とし、純部分加群と純完全列も同じように定める。命題 1.2により、左 $R$ -加群の普遍単射は右 $R^{\mathrm{op}}$ -加群の普遍単射と一致する。

補題 1.5. $R$ を単位的結合環とする。このとき、左または右 $R$ -加群の分裂単射は普遍単射である。

証明. 右 $R$ -加群の射 $f\colon A\to B$ と $r\colon B\to A$ が $rf=1_A$ を満たすとする。任意の左 $R$ -加群 $F$ に対して

(r\otimes1_F)(f\otimes1_F)=1_{A\otimes_RF}

であるから、 $f\otimes1_F$ は単射である。左加群の場合は反対環に移して同じ結論を得る。▨

2 平坦加群の直和と射影加群

命題 2.1. 左 $R$ 加群の族 $(F_i)_{i\in I}$ に対して、次の条件は同値である。

すべての $F_i$ は左平坦である。
$\bigoplus_{i\in I}F_i$ は左平坦である。

さらに、左平坦加群の任意の直和因子は左平坦である。左右を入れ替えた三つの主張も右平坦加群について成り立つ。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。右 $R$ 加群の単射 $u\colon A\hookrightarrow B$ を取る。§E6.12 命題 18.1の同型の下で

A\otimes_R\left(\bigoplus_iF_i\right) \cong\bigoplus_i(A\otimes_RF_i),

B\otimes_R\left(\bigoplus_iF_i\right) \cong\bigoplus_i(B\otimes_RF_i)

であり、 $u\otimes1_{\oplus_iF_i}$ は $\bigoplus_i(u\otimes1_{F_i})$ に対応する。各 $F_i$ が平坦ならば各成分写像は単射である。直和の元は有限台をもつため、直和写像で零へ移る元は各成分が零であり、もとの元も零である。したがって直和は平坦である。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。左平坦加群 $F$ が $F=P\oplus Q$ と分解するとする。同じテンソル積の直和同型の下で、 $u\otimes1_F$ は

(u\otimes1_P)\oplus(u\otimes1_Q)

に対応する。 $x\in A\otimes_RP$ が $(u\otimes1_P)(x)=0$ を満たすならば、 $(x,0)$ は単射 $u\otimes1_F$ によって零へ移る。したがって $x=0$ であり、 $P$ は平坦である。各 $F_i$ は直和の直和因子であるため、逆向きも従う。

右平坦加群については、命題命題 1.2により左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群へ移し、左側で証明した結果を適用する。直和の包含と射影は同じ加法群準同型であるため、移送後も同じ直和分解を与える。▨

系 2.2. 任意の自由左 $R$ 加群は左平坦であり、任意の自由右 $R$ 加群は右平坦である。

証明. 右 $R$ 加群 $A$ に対する単位同型

A\otimes_RR\cong A, \qquad a\otimes r\longmapsto ar

の下で、 $u\otimes1_R$ は右 $R$ 線形写像 $u$ 自身に対応する。したがって左正則加群 ${}_RR$ は左平坦である。自由左 $R$ 加群は ${}_RR$ の任意直和であるため、命題命題 2.1により左平坦である。自由右 $R$ 加群の場合は反対環へ移して同じ結論を得る。▨

補題 2.3. 左射影 $R$ 加群 $P$ は左平坦であり、 $\Hom_R(P,-)$ は完全関手である。右射影 $R$ 加群も右平坦であり、右加群に対する $\Hom_R(P,-)$ は完全関手である。

証明. 左射影加群 $P$ は§E6.14 命題 1.3により自由左 $R$ 加群の直和因子である。自由左 $R$ 加群は系 2.2により左平坦であり、平坦加群の直和因子は命題 2.1により平坦である。したがって $P$ は左平坦である。 $\Hom_R(P,-)$ の完全性は§E6.14 命題 1.3 (4)である。

右射影加群を左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群とみなし、左側の結論を適用する。命題§E6.14 命題 2.2により射影性と Hom の誘導写像が保たれ、命題命題 1.2により平坦性が保たれる。よって右側の二つの結論も成り立つ。▨

3 局所化環の平坦性

定理 3.1. $R$ を単位元をもつ可換環、 $S\subseteq R$ を $1\in S$ を含む乗法的集合とする。 $0\in S$ である場合も許す。このとき、標準写像 $R\to S^{-1}R$ によって $S^{-1}R$ を左 $R$ 加群および右 $R$ 加群とみなすと、 $S^{-1}R$ は左平坦かつ右平坦である。

証明. 右 $R$ 加群 $A$ は、 $R$ の可換性によって左 $R$ 加群でもある。純テンソル上の式

\chi_A\colon A\otimes_RS^{-1}R \longrightarrow S^{-1}A, \qquad \chi_A\left(a\otimes\frac r s\right):=\frac{ra}{s}

によって $\chi_A$ を定める。§E6.12 命題 12.2の因子交換に $R^{\mathrm{op}}=R$ を用い、§E6.12 定理 20.6の同型を合成すると $\chi_A$ を得る。したがって $\chi_A$ は同型である。

右 $R$ 線形写像 $u\colon A\to B$ は、同じ写像によって左 $R$ 線形でもある。二つの同型の自然性から

\chi_B\circ(u\otimes1_{S^{-1}R}) =(S^{-1}u)\circ\chi_A

となる。 $u$ が単射ならば、§E6.12 命題 20.7により $S^{-1}u$ も単射である。 $\chi_A$ と $\chi_B$ は同型であるため、 $u\otimes1_{S^{-1}R}$ は単射である。したがって $S^{-1}R$ は左平坦である。

$R$ は可換環であるため $R^{\mathrm{op}}=R$ であり、 $S^{-1}R$ の左作用と右作用は同じ乗法から定まる。命題命題 1.2により、左平坦性は右平坦性へ移る。よって $S^{-1}R$ は右平坦でもある。▨

4 平坦であるが射影的でない加群

例 4.1. $S:=\Z\setminus\{0\}$ とする。このとき、写像

\lambda\colon S^{-1}\Z\longrightarrow\Q, \qquad \lambda(a/s):=a/s

は環の同型である。実際、§E6.5 命題 5.3を包含 $\Z\hookrightarrow\Q$ に適用すると、 $\lambda$ は単射な環準同型である。任意の有理数は非零整数を分母とする分数なので、 $\lambda$ は全射でもある。定理 3.1により、 $\Q$ は平坦 $\Z$ 加群である。

$\Q$ の台集合上の自由アーベル群

F:=\Z^{(\Q)}

を取り、 $q\in\Q$ に対応する基底元 $e_q$ を $q$ へ送る全射

\varepsilon\colon F\twoheadrightarrow\Q

を考える。仮に $\Q$ が射影的ならば、恒等写像を持ち上げる写像 $g\colon\Q\to F$ で

\varepsilon\circ g=1_{\Q}

となるものが存在する。

群準同型 $h\colon\Q\to\Z$ を取り、 $a:=h(1)$ と置くと、任意の正整数 $n$ に対して

a=h(1)=h(n(1/n))=n h(1/n)

である。 $n>|a|$ を満たす正整数を取ると、絶対値が $n$ 未満で $n$ の倍数である整数 $a$ は $0$ でなければならない。よって $h(1)=0$ である。任意の $q=m/n\in\Q$ に対して

n h(q)=h(m)=m h(1)=0

であり、 $\Z$ には非零の $n$ 倍で零になる元がないため $h(q)=0$ である。

各添字 $q\in\Q$ に対する座標射影を $\pr_q\colon F\to\Z$ とする。合成 $\pr_q\circ g\colon\Q\to\Z$ は直前の議論により零写像である。したがって任意の $x\in\Q$ に対して $g(x)$ のすべての座標は零であり、 $g(x)=0$ である。よって $g=0$ となるが、等式 $g=0$ は $\varepsilon\circ g=1_{\Q}$ に反する。したがって $\Q$ は射影的でない。

5 普遍単射と短完全列

命題 5.1. $R$ を単位的結合環とし、右 $R$ -加群の短完全列

0\longrightarrow K\xrightarrow{i}P\longrightarrow C\longrightarrow0

を取る。このとき、次が成り立つ。

$C$ が右平坦ならば、 $i$ は普遍単射である。
$P$ が右平坦で $i$ が普遍単射ならば、 $K$ と $C$ は右平坦である。
$P$ と $C$ が右平坦ならば、 $K$ は右平坦である。

左 $R$ -加群の短完全列についても、右平坦を左平坦に置き換えた主張が成り立つ。

証明. $C$ を右平坦とし、左 $R$ -加群 $F$ を取る。§E6.14 系 1.2により、自由左加群 $G$ からの全射を取り、その核を $H$ とすると、 $0\to H\to G\to F\to0$ は完全である。テンソル積の右完全性§E6.12 命題 19.1と $G$ の平坦性から、可換図式

\begin{array}{ccccc} K\otimes_RH&\longrightarrow&P\otimes_RH&\longrightarrow&C\otimes_RH\longrightarrow0\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ 0\longrightarrow K\otimes_RG&\longrightarrow&P\otimes_RG&\longrightarrow&C\otimes_RG \end{array}

の両行は完全である。右縦射は $C$ の右平坦性により単射である。蛇の補題§E6.8 命題 2.1により、左縦射の余核から中央縦射の余核への射は単射となる。§E6.12 命題 19.1を反対環に適用し、命題 1.2で移すと、これらの余核はそれぞれ $K\otimes_RF$ と $P\otimes_RF$ である。余核間の射は $i\otimes1_F$ なので、主張 (1)を得る。

$P$ を右平坦とし、 $i$ を普遍単射とする。左 $R$ -加群の単射 $u\colon A\to B$ と $D=\coker u$ を取る。 $X=K,P,C$ に対して $u_X=1_X\otimes u$ と置く。 $A,B$ をテンソルして得られる二つの列は純性により短完全列であり、 $\ker u_P=0$ である。蛇の補題から $\ker u_K=0$ であり、さらに

0\longrightarrow\ker u_C\longrightarrow\coker u_K \longrightarrow\coker u_P

は完全である。第二変数の右完全性によって、最後の射は $K\otimes_RD\to P\otimes_RD$ と同定される。この射も純性により単射であるから、 $\ker u_C=0$ となる。 $u$ は任意なので $K$ と $C$ は右平坦であり、主張 (2)を得る。

$P,C$ を右平坦とする。主張 (1)により $i$ は普遍単射であるから、直前の結論により $K$ は右平坦である。これで主張 (3)は示された。左加群の場合は反対環と命題 1.2によって右加群の結果に帰着する。▨

6 巡回加群とイデアルによる判定

補題 6.1. $R$ を単位的結合環、 $P$ を平坦左 $R$ -加群、 $u\colon K\to P$ を左 $R$ -加群の単射とする。このとき、任意の有限生成右イデアル $J\subseteq R$ に対して

1_{R/J}\otimes u\colon (R/J)\otimes_RK\longrightarrow(R/J)\otimes_RP

が単射であることは、 $u$ が普遍単射であるための必要十分条件である。

証明. $u$ が普遍単射ならば、定義を右加群 $R/J$ に適用して必要性を得る。

表示した写像がすべての有限生成右イデアル $J$ に対して単射であると仮定する。任意の右イデアル $I$ は、その有限生成右部分イデアル $J$ の有向和であり、標準的な商写像について $\varinjlim_{J\subseteq I}R/J\cong R/I$ である。実際、 $R/J$ 上の射からなる余錐は、すべての $J$ を零にする $R$ 上の射、すなわち $I$ を零にする射に等しい。テンソル積の余極限保存§E6.12 定理 17.2とフィルター余極限の完全性§E6.9 定理 9.1により、 $(R/I)\otimes_Ru$ は単射である。任意の巡回右加群はある $R/I$ と同型なので、巡回右加群をテンソルした写像はすべて単射である。

有限生成右加群 $Q=x_1R+\cdots+x_nR$ に対して、 $Q_0=0$ 、 $Q_j=x_1R+\cdots+x_jR$ と置く。 $Q_{j-1}\otimes_Ru$ が単射であると仮定し、 $C_j=Q_j/Q_{j-1}$ と置く。テンソル積の右完全性から、次の可換図式の両行は完全である。

\begin{array}{ccccc} Q_{j-1}\otimes_RK&\longrightarrow&Q_j\otimes_RK&\longrightarrow&C_j\otimes_RK\longrightarrow0\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ Q_{j-1}\otimes_RP&\longrightarrow&Q_j\otimes_RP&\longrightarrow&C_j\otimes_RP\longrightarrow0. \end{array}

$z\in Q_j\otimes_RK$ が中央の縦射で零へ移るとする。 $C_j$ は巡回なので、右縦射は単射である。したがって $z$ の $C_j\otimes_RK$ における像は零であり、上段の完全性から $z$ はある $y\in Q_{j-1}\otimes_RK$ の像である。 $P$ の平坦性により下段左の横射は単射なので、 $y$ の $Q_{j-1}\otimes_RP$ における像は零である。帰納法の仮定から $y=0$ 、したがって $z=0$ を得る。 $Q_0\otimes_Ru$ は単射なので、帰納法により $Q\otimes_Ru$ は単射である。

任意の右 $R$ -加群 $Q$ は§E6.9 定理 11.1によって有限表示右加群 $Q_\alpha$ のフィルター余極限と表すことができる。各 $Q_\alpha$ は有限生成なので、直前の結果から $Q_\alpha\otimes_Ru$ は単射である。再びテンソル積の余極限保存とフィルター余極限の完全性を適用すると、 $Q\otimes_Ru$ は単射である。よって $u$ は普遍単射である。▨

補題 6.2. $R$ を単位的結合環、 $P$ を平坦左 $R$ -加群とし、左 $R$ -加群の短完全列

0\longrightarrow K\longrightarrow P\xrightarrow{p}M\longrightarrow0

において $K$ を $P$ の部分加群と同一視する。右イデアル $J\subseteq R$ と左 $R$ -加群 $X$ に対して、 $JX$ を積 $ax$ 、 $a\in J$ 、 $x\in X$ で生成される加法部分群とする。このとき、アーベル群の同型

\ker(J\otimes_RM\longrightarrow M) \cong (K\cap JP)/JK \cong\ker\bigl((R/J)\otimes_RK\longrightarrow(R/J)\otimes_RP\bigr)

が成り立つ。左端の写像は $a\otimes m\mapsto am$ である。

証明. テンソル積の右完全性と単位同型から、次の可換図式の両行は完全である。

\begin{array}{ccccccc} J\otimes_RK&\longrightarrow&J\otimes_RP&\longrightarrow&J\otimes_RM&\longrightarrow&0\\ \downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ K&\longrightarrow&P&\xrightarrow{p}&M&\longrightarrow&0. \end{array}

縦射はいずれも $a\otimes x\mapsto ax$ である。 $P$ の平坦性により中央の縦射は単射であり、その像は $JP$ である。この同一視の下で上段左の横射の像は $JK$ であるから、上段の右完全性により $J\otimes_RM\cong JP/JK$ を得る。右縦射は $p$ が誘導する $JP/JK\to M$ に対応するので、その核は $(K\cap JP)/JK$ である。

右加群の完全列 $J\to R\to R/J\to0$ に $-\otimes_RX$ を施すと、単位同型と右完全性により $(R/J)\otimes_RX\cong X/JX$ を得る。 $X=K,P$ に適用すれば、右端の核は $K/JK\to P/JP$ の核、すなわち $(K\cap JP)/JK$ である。▨

定理 6.3. $R$ を単位的結合環、 $F$ を左 $R$ -加群とする。このとき、次の条件は同値である。

$F$ は左平坦である。
任意の右イデアル $J\subseteq R$ に対して、写像 $J\otimes_RF\longrightarrow F,\qquad a\otimes x\longmapsto ax$ は単射である。
任意の有限生成右イデアル $J\subseteq R$ に対して、上の写像は単射である。

証明. $F$ が左平坦ならば、右単射 $J\hookrightarrow R$ にテンソルし、単位同型 $R\otimes_RF\cong F$ を取ると(2)を得る。この条件を有限生成右イデアルに制限すると(3)が従う。

(3)を仮定し、§E6.14 系 1.2によって自由左加群 $P$ からの全射 $P\to F$ を取って、その核を $K$ とする。 $P$ は系 2.2により平坦である。任意の有限生成右イデアル $J$ に対して $J\otimes_RF\to F$ は単射なので、補題 6.2により $(R/J)\otimes_RK\to(R/J)\otimes_RP$ も単射である。補題 6.1によって $K\hookrightarrow P$ は普遍単射である。したがって命題 5.1 (2)により $F$ は平坦である。▨

例 6.4. $n\ge2$ を整数とする。このとき、 $n\Z\hookrightarrow\Z$ に $\Z/n\Z$ をテンソルした写像は、 $n\otimes\overline1$ を $\overline n=0$ へ送る。一方、同型 $n\Z\cong\Z$ 、 $na\mapsto a$ により

n\Z\otimes_\Z\Z/n\Z\cong\Z/n\Z

であり、 $n\otimes\overline1$ は非零元 $\overline1$ に対応する。したがって $\Z/n\Z$ は平坦 $\Z$ -加群ではない。

例 6.5. $k$ を体、 $R=k[t]/(t^2)$ とし、 $t$ の剰余類も $t$ と書く。このとき、定数項を取る写像 $R\to k$ によって $k$ を $R$ -加群とみなすと、 $k$ は平坦ではない。実際、 $tR\cong k$ 、 $at\mapsto a$ であり、平衡写像

tR\times k\longrightarrow k,\qquad(at,b)\longmapsto ab

は同型 $tR\otimes_Rk\cong k$ を誘導する。逆写像は $c\mapsto t\otimes c$ である。したがって $t\otimes1$ は非零であるが、包含 $tR\hookrightarrow R$ をテンソルした写像の下では $t\cdot1=0$ に写る。

7 有限表示加群による普遍単射の判定

補題 7.1. $R$ を単位的結合環、 $A$ を右 $R$ -加群、 $m\in\N$ 、 $N\subseteq R^m$ を左部分加群とする。このとき、 $A^m$ の加法部分群

A\cdot N= \left\{\sum_{j=1}^q(a_jn_{j1},\ldots,a_jn_{jm}): q\in\N,\ a_j\in A,\ (n_{j1},\ldots,n_{jm})\in N\right\}

を取ると、 $A$ について自然なアーベル群の同型

A\otimes_R(R^m/N)\cong A^m/(A\cdot N),\qquad a\otimes[(r_1,\ldots,r_m)]\longmapsto[(ar_1,\ldots,ar_m)]

が存在する。特に $N$ が有限生成ならば $R^m/N$ は有限表示である。 $N$ が行ベクトル $(r_{j1},\ldots,r_{jm})$ 、 $1\le j\le q$ で生成される場合、 $A\cdot N$ は

\left(\sum_{j=1}^q a_jr_{j1},\ldots,\sum_{j=1}^q a_jr_{jm}\right), \qquad a_1,\ldots,a_q\in A,

という元全体である。

証明. $N\to R^m\to R^m/N\to0$ に $A\otimes_R-$ を施す。§E6.12 命題 19.1を反対環に適用し、命題 1.2を用いると、得られる列は右完全である。単位同型と有限直和同型によって $A\otimes_RR^m=A^m$ と同定すると、 $A\otimes_RN$ の像は $A\cdot N$ である。したがって主張の商同型を得る。各写像は $A$ の準同型と可換するので、同型も自然である。

$N$ が上の行ベクトルで生成されるならば、 $n\in N$ はそれらの左一次結合である。平衡関係 $a\otimes rn=(ar)\otimes n$ によって、その左係数を $A$ の側へ移すと最後の表示を得る。有限表示性は§E6.9 定理 2.2から従う。▨

定理 7.2. $R$ を単位的結合環とし、右 $R$ -加群の短完全列

0\longrightarrow A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\longrightarrow0

を取る。このとき、 $i$ によって $A$ を $B$ の部分加群と同一視すると、次の条件は同値である。

$i$ は普遍単射である。
任意の有限表示左 $R$ -加群 $F$ に対して、 $i\otimes1_F$ は単射である。
任意の $m,n\in\N$ 、 $r_{ji}\in R$ 、 $a_i\in A$ に対し、有限連立方程式 $\sum_{j=1}^n x_jr_{ji}=a_i\qquad(1\le i\le m)$ が $x_1,\ldots,x_n\in B$ という解をもつならば、 $x_1,\ldots,x_n\in A$ という解ももつ。
任意の有限表示右 $R$ -加群 $Q$ に対して、写像 $\Hom_{R^{\mathrm{op}}}(Q,B)\longrightarrow \Hom_{R^{\mathrm{op}}}(Q,C),\qquad h\longmapsto ph$ は全射である。

証明. $i$ が普遍単射ならば、定義を有限表示加群に適用して(2)を得る。逆にこの条件を仮定し、左加群 $F$ を取る。§E6.9 定理 11.1により $F=\varinjlim_jF_j$ と表し、各 $F_j$ を有限表示とする。各 $i\otimes1_{F_j}$ は単射なので、§E6.9 定理 9.1によりその余極限も単射である。§E6.12 定理 17.1の標準同型の下でこの射は $i\otimes1_F$ であり、(1)が従う。

$N\subseteq R^m$ を行ベクトル $(r_{j1},\ldots,r_{jm})$ 、 $1\le j\le n$ で生成される左部分加群とする。補題 7.1により、 $i\otimes1_{R^m/N}$ は

A^m/(A\cdot N)\longrightarrow B^m/(B\cdot N)

に対応する。その単射性は $A^m\cap(B\cdot N)=A\cdot N$ と同値である。 $(a_1,\ldots,a_m)\in A^m$ が $B\cdot N$ に属することは、(3)の方程式が $B$ 内に解をもつことに等しい。 $A\cdot N$ に属することは $A$ 内に解をもつことに等しい。任意の有限表示左加群はこの形の $R^m/N$ と同型なので、(2) $\Leftrightarrow$ (3)が従う。

(3)を仮定し、有限表示右加群 $Q$ と射 $g\colon Q\to C$ を取る。 $Q$ の生成元を $e_1,\ldots,e_n$ 、関係部分加群の有限生成元を

\sum_{j=1}^n e_jr_{ji}=0\qquad(1\le i\le m)

と表す。 $p(b_j)=g(e_j)$ となる $b_j\in B$ を選ぶと、 $a_i=\sum_jb_jr_{ji}$ は $A$ に属する。仮定から $\sum_jx_jr_{ji}=a_i$ となる $x_j\in A$ が存在する。 $b_j-x_j$ は $Q$ のすべての関係を満たすので、自由加群と商加群の普遍性により $h(e_j)=b_j-x_j$ となる射 $h\colon Q\to B$ を定める。生成元上で $ph=g$ であるから(4)を得る。

(4)を仮定し、方程式 $\sum_jb_jr_{ji}=a_i$ の解 $b_j\in B$ を取る。右自由加群 $R_R^n$ を、有限個の元 $\sum_je_jr_{ji}$ が生成する右部分加群で割った有限表示加群を $Q$ とする。 $e_j\mapsto p(b_j)$ は $Q\to C$ を定める。この射の持上げ $h\colon Q\to B$ を取る。 $x_j=b_j-h(e_j)$ と置くと、 $p(x_j)=0$ なので $x_j\in A$ である。さらに、

\sum_jx_jr_{ji} =a_i-h\!\left(\sum_je_jr_{ji}\right)=a_i

となる。したがって(3)が成り立つ。▨

系 7.3. $R$ を単位的結合環とする。このとき、左または右 $R$ -加群の純完全列 $0\to A\to B\xrightarrow{p}C\to0$ において、 $C$ が有限表示ならばこの列は分裂する。

証明. 右加群の場合、定理 7.2 (4)に $Q=C$ と $1_C$ を代入すると、 $ps=1_C$ となる $s\colon C\to B$ が存在する。反対環への移行は有限表示性と純性を保つため、左加群の場合も従う。▨

系 7.4. $R$ を単位的結合環、 $(A_i)_{i\in I}$ を右 $R$ -加群の族とする。このとき、標準包含 $\bigoplus_{i\in I}A_i\hookrightarrow\prod_{i\in I}A_i$ は普遍単射である。左加群の族についても同じ主張が成り立つ。

証明. 演習とする（問題 10.1 (6)）。▨

定理 7.5. $R$ を単位的結合環とする。このとき、有限表示左平坦 $R$ -加群は左射影であり、有限表示右平坦 $R$ -加群は右射影である。

証明. 有限表示左平坦加群 $F$ に対して、自由加群からの全射 $P\to F$ を取る。命題 5.1 (1)の左加群版により、その核の包含は普遍単射である。系 7.3によりこの全射は分裂する。したがって $F$ は自由加群の直和因子であり、§E6.14 命題 1.3 (3)によって射影的である。右加群の場合は反対環へ移して同じ結論を得る。▨

系 7.6. $R$ を単位的結合環、 $F$ を有限生成左平坦 $R$ -加群とする。このとき、 $F$ が射影的であることと有限表示であることは同値である。右加群についても同じ主張が成り立つ。

証明. $F$ が射影的ならば、有限生成性による全射 $R^n\to F$ は分裂する。その核 $K$ は $R^n$ の直和因子であり、射影 $R^n\to K$ の標準基底の像によって有限生成される。§E6.9 定理 2.2により $F$ は有限表示である。逆に $F$ が有限表示ならば、定理 7.5により射影的である。右加群の場合は反対環に適用する。▨

例 7.7. $k$ を体とし、成分ごとの演算をもつ可換環 $R=k^{\N}$ と、その有限台イデアル $I=k^{(\N)}$ を取る。このとき、 $R/I$ は $1+I$ で生成される非零の巡回加群であり、平坦であるが、射影的でも有限表示でもない。

右イデアル $J\subseteq R$ を取る。補題 7.1の $m=1$ 、 $N=I$ の場合により、 $J\otimes_R(R/I)\cong J/JI$ である。この同型の下で $J\otimes_R(R/I)\to R/I$ は $a+JI\mapsto a+I$ となり、その核は $(J\cap I)/JI$ である。 $x\in J\cap I$ の有限台を $E$ とし、 $E$ の指示関数を $e_E\in I$ とすると、 $x=xe_E\in JI$ である。逆包含 $JI\subseteq J\cap I$ も成り立つので核は零であり、定理 6.3 (2)によって $R/I$ は平坦である。

$R/I$ が射影的であると仮定する。全射 $R\to R/I$ が分裂するので、 $I$ への $R$ -線形射影 $p\colon R\to I$ が存在する。 $e=p(1)$ と置くと、 $p(r)=re$ 、 $p(e)=e$ から $e^2=e$ 、 $I=Re$ となる。 $e\in I$ の台は有限なので、その台に属さない $n\in\N$ を取る。 $n$ 成分だけが $1$ である元 $e_n$ は $I$ に属するが、 $Re$ のすべての元の $n$ 成分は零である。したがって $e_n\notin Re$ であり、 $I=Re$ に反する。よって $R/I$ は射影的でない。

$R/I$ が有限表示ならば、定理 7.5によって射影的となるため、有限表示でもない。

さらに、命題 5.1 (1)により包含 $I\hookrightarrow R$ は普遍単射であり、直前に示した $R$ -線形射影 $R\to I$ の不存在により分裂しない。

8 平坦性の関係式判定

定理 8.1. $R$ を単位的結合環、 $F$ を左 $R$ -加群とする。このとき、次の条件は同値である。

$F$ は左平坦である。
任意の $m,n\in\N$ 、行列 $U=(u_{ij})\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(R)$ 、列 $x=(x_j)\in F^n$ に対して、 $Ux=0$ 、すなわち $\sum_{j=1}^n u_{ij}x_j=0\qquad(1\le i\le m)$ ならば、ある $q\in\N$ 、 $V\in\operatorname{Mat}_{n\times q}(R)$ 、 $y\in F^q$ が存在して $x=Vy,\qquad UV=0$ となる。
任意の有限表示左 $R$ -加群 $Q$ と線形写像 $g\colon Q\to F$ に対して、ある $q\in\N$ と線形写像 $h\colon Q\to R^q$ 、 $v\colon R^q\to F$ が存在して $g=vh$ となる。

証明. $F$ を左平坦とし、 $Ux=0$ とする。右自由加群の元を列で書き、右線形写像

t_U\colon R_R^n\longrightarrow R_R^m,\qquad a\longmapsto Ua

の核を $L$ とする。平坦性による短完全列保存を $0\to L\to R_R^n\to\im t_U\to0$ と $\im t_U\hookrightarrow R_R^m$ に適用すると、テンソル後の列

L\otimes_RF\longrightarrow F^n\xrightarrow{U}F^m

は完全である。 $x$ は $L\otimes_RF$ の元の像なので、有限個の $b_1,\ldots,b_q\in L$ と $y_1,\ldots,y_q\in F$ を取り、 $x=\sum_k b_ky_k$ と書くことができる。 $b_k$ を第 $k$ 列とする行列を $V$ とすると、 $x=Vy$ 、 $UV=0$ であり、(2)を得る。

(2)を仮定し、有限表示左加群 $Q$ と $g\colon Q\to F$ を取る。有限表示 $Q=R^n/N$ を取り、 $N$ の有限生成元を行列 $U\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(R)$ の行に並べる。 $x_j=g([e_j])$ と置くと $Ux=0$ である。仮定から $x=Vy$ 、 $UV=0$ となる $V,y$ が存在する。§E6.3 命題 6.2による左線形写像 $R^n\to R^q$ 、 $z\mapsto zV$ は $N$ を零へ送るので、 $h\colon Q\to R^q$ を誘導する。標準基底を $y_k$ へ送る線形写像を $v\colon R^q\to F$ とすると、 $vh([e_j])=\sum_kV_{jk}y_k=x_j$ である。したがって $vh=g$ であり、(3)が従う。

(3)を仮定し、有限生成右イデアル $J\subseteq R$ に対する $J\otimes_RF\to F$ の核の元を $z=\sum_{j=1}^n a_j\otimes x_j$ と表す。関係 $\sum_ja_jx_j=0$ により、 $e_j\mapsto x_j$ は有限表示左加群

Q=R^n/R(a_1,\ldots,a_n)

から $F$ への射 $g$ を定める。 $g=vh$ となる有限自由加群を経由する因子化 $Q\xrightarrow{h}R^q\xrightarrow{v}F$ を取る。 $h([e_j])$ の第 $k$ 成分を $V_{jk}$ 、 $v(e_k)$ を $y_k$ と置くと、

x_j=\sum_kV_{jk}y_k,\qquad \sum_ja_jV_{jk}=0

である。したがって

z=\sum_{j,k}a_j\otimes V_{jk}y_k =\sum_k\left(\sum_ja_jV_{jk}\right)\otimes y_k=0.

定理 6.3 (3)によって $F$ は左平坦である。▨

定理 8.2. $(R,\mathfrak m)$ を可換局所環、 $F$ を有限生成平坦 $R$ -加群とする。このとき、 $F$ は有限生成自由加群である。

証明. 剰余体 $k=R/\mathfrak m$ 上の有限次元線形空間 $F/\mathfrak mF$ の基底を取り、その持上げを $x_1,\ldots,x_n\in F$ とする。 $\mathfrak m=J(R)$ なので、§E6.11 系 4.1 (1)により $x_1,\ldots,x_n$ は $F$ を生成する。 $n=0$ ならば $F=0$ である。

$n>0$ とし、列 $x=(x_j)$ に対する関係 $ax=0$ 、 $a\in\operatorname{Mat}_{1\times n}(R)$ を取る。定理 8.1 (2)により、ある $q\in\N$ 、 $V\in\operatorname{Mat}_{n\times q}(R)$ 、 $y\in F^q$ が存在して $x=Vy$ 、 $aV=0$ となる。 $x_j$ は $F$ を生成するので、 $y=Wx$ となる $W\in\operatorname{Mat}_{q\times n}(R)$ を取ると、 $x=VWx$ である。剰余体上で $x_j$ の像は基底であるから、 $VW\equiv I_n\pmod{\mathfrak m}$ となる。

$d=\det(VW)$ と置くと $d\in1+\mathfrak m$ であり、§E6.6 命題 4.6により $d$ は単元である。§E3.21 補題 1.1により

(VW)^{-1}=d^{-1}\operatorname{adj}(VW).

$aV=0$ から $aVW=0$ であり、右から $(VW)^{-1}$ を掛けると $a=0$ を得る。よって $x_1,\ldots,x_n$ の間に非零の関係はなく、標準基底を $x_j$ へ送る全射 $R^n\to F$ は同型である。▨

9 フィルター余極限と Lazard の定理

命題 9.1. $R$ を単位的結合環、 $I$ をフィルター圏、 $(F_i)_{i\in I}$ を左 $R$ -加群の図式とする。このとき、各 $F_i$ が左平坦ならば、 $\varinjlim_I F_i$ も左平坦である。右平坦加群についても同じ主張が成り立つ。

証明. 右 $R$ -加群の単射 $u\colon A\to B$ を取る。各 $u\otimes1_{F_i}$ は単射なので、§E6.9 定理 9.1によりその余極限も単射である。§E6.12 定理 17.1の同型の下で、この余極限は

u\otimes1_{\varinjlim_I F_i}\colon A\otimes_R\varinjlim_I F_i\longrightarrow B\otimes_R\varinjlim_I F_i

に対応する。したがって $\varinjlim_I F_i$ は左平坦である。右加群の場合も、反対環への移行と因子交換同型命題 1.2により従う。▨

命題 9.2. $R$ を単位的結合環、 $I$ をフィルター圏とし、 $f\colon A\to B$ を $I$ 上の右 $R$ -加群の図式の射とする。このとき、各 $f_i\colon A_i\to B_i$ が普遍単射ならば、誘導写像

\varinjlim_I A_i\longrightarrow\varinjlim_I B_i

も普遍単射である。左加群の図式についても同じ主張が成り立つ。

証明. 左 $R$ -加群 $F$ を取る。各 $f_i\otimes1_F$ は単射なので、§E6.9 定理 9.1によりその余極限も単射である。§E6.12 定理 17.2を $S=\Z$ と左 $R$ ・右 $\Z$ 双加群 $F$ に適用すると、

\varinjlim_I(A_i\otimes_RF)\cong \left(\varinjlim_I A_i\right)\otimes_RF

を得る。この標準同型の下で余極限の単射は $(\varinjlim_I f_i)\otimes1_F$ である。よって $\varinjlim_I f_i$ は普遍単射である。左加群の場合も反対環へ移して従う。▨

定理 9.3 (Lazard の定理). $R$ を単位的結合環、 $M$ を左 $R$ -加群とする。このとき、次の条件は同値である。

$M$ は左平坦である。
あるフィルター圏 $I$ と有限生成自由左 $R$ -加群の図式 $(G_i)_{i\in I}$ が存在して、 $M\cong\varinjlim_I G_i$ となる。

証明. $M$ を左平坦とし、§E6.9 定理 11.1のフィルター圏 $F_M$ と図式 $D$ を取る。その対象 $(n,N,\alpha)$ は有限生成左部分加群 $N\subseteq R^n$ と線形写像 $\alpha\colon R^n/N\to M$ をもち、 $D_{(n,N,\alpha)}=R^n/N$ である。 $N=0$ である対象全体の充満部分圏を $J$ とする。

任意の対象 $P=(n,N,\alpha)$ に定理 8.1 (3)を適用すると、有限自由加群を経由する因子化

R^n/N\xrightarrow{h}R^q\xrightarrow{v}M,\qquad vh=\alpha

を得る。標準同型 $R^q\cong R^q/0$ を通じて、 $h$ は $P$ から $J$ の対象 $(q,0,v)$ への射を与える。したがって $J$ は $F_M$ で共終である。§E6.9 命題 9.3により $J$ はフィルター圏であり、

M\cong\varinjlim_{F_M}D_P\cong\varinjlim_JD_P

となる。 $J$ 上の各 $D_P$ は有限生成自由なので、(2)を得る。

$M$ が(2)を満たすならば、各 $G_i$ は系 2.2により平坦である。命題 9.1によって $M$ も平坦となる。▨

10 演習

問題 10.1 (平坦加群と普遍単射の確認). 次の各問に答えよ。

$A\otimes_RF\to F\otimes_{R^{\mathrm{op}}}A$ 、 $a\otimes f\mapsto f\otimes a$ の平衡性を確認し、左右の平坦性が反対環上の対応する性質へ移る理由を説明せよ。
左平坦加群 $F$ について、 $-\otimes_RF$ が短完全列を保つことを証明せよ。平坦加群の任意直和と直和因子が平坦であることをテンソル積の直和同型から導き、自由加群および射影加群が平坦であることを示せ。射影加群の任意直和についても持上げ写像を構成せよ。
可換環 $R$ と乗法的集合 $S$ に対して、 $A\otimes_RS^{-1}R\cong S^{-1}A$ を構成せよ。右 $R$ 加群の単射 $u\colon A\to B$ に対する写像 $u\otimes1$ が $S^{-1}u$ と対応することを示し、局所化環の左右の平坦性を証明せよ。また、 $0\in S$ のときに $S^{-1}R=0$ となることを確認し、この退化した場合にも平坦性の結論が成り立つことを説明せよ。
$S=\Z\setminus\{0\}$ に対して $S^{-1}\Z\cong\Q$ を証明せよ。また、任意の準同型 $\Q\to\Z$ が零写像であることを用いて、 $\Q$ が自由アーベル群の直和因子にならないことを証明せよ。
正整数全体 $\NN$ を整除関係で順序づけ、 $n\mid m$ に対する写像 $G_n=\Z\to G_m=\Z$ を $a\mapsto(m/n)a$ とする。この図式の余極限が $\Q$ と同型であることを示せ。
系 7.4を証明せよ。

解答 (演習の解答).

写像 $(a,f)\mapsto f\otimes a$ は、標準的な平衡写像 $A\times F\to A\otimes_RF$ と、§E6.12 命題 12.2の同型 $\sigma_{A,F}$ の合成である。したがって、この写像は $R$ 上で平衡である。両変数についての自然性により、 $u\otimes_R1_F$ と $1_F\otimes_{R^{\mathrm{op}}}u$ は同型を介して対応する。よって、命題 1.2のとおり、左右の平坦性は反対環上の対応する平坦性へ移る。
平坦加群とのテンソル積による短完全列の保存は定理 1.3による。テンソル積の直和同型の下では、直和に対する誘導写像は各成分の誘導写像の直和となる。したがって命題 2.1により、平坦加群の任意直和と直和因子は平坦である。自由加群と射影加群の平坦性には、それぞれ系 2.2と補題 2.3を適用する。

射影左 $R$ -加群の族 $(P_i)_{i\in I}$ 、左 $R$ -加群の全射 $p\colon B\to C$ 、線形写像 $f\colon\bigoplus_iP_i\to C$ を取る。このとき、§E6.14 命題 2.1 (1)により直和は射影的である。同主張の証明で構成された持上げは、標準包含 $\iota_i\colon P_i\to\bigoplus_iP_i$ と $p\circ g_i=f\circ\iota_i$ を満たす $g_i\colon P_i\to B$ に対して、
$g\colon\bigoplus_iP_i\longrightarrow B, \qquad g((x_i)_{i\in I})=\sum_{i\in I}g_i(x_i)$
と表され、 $p\circ g=f$ を満たす。右加群については§E6.14 命題 2.2により反対環上の左加群へ移し、この持上げを用いる。
§E6.12 命題 12.2の因子交換と§E6.12 定理 20.6の同型を合成すると、
$A\otimes_RS^{-1}R\longrightarrow S^{-1}A, \qquad a\otimes(r/s)\longmapsto ra/s$
を得る。ここでは $R^{\mathrm{op}}=R$ を用いた。両同型の $A$ についての自然性により、 $u\otimes1$ は $S^{-1}u$ に対応する。§E6.12 命題 20.7によって $S^{-1}u$ は単射なので、定理 3.1により $S^{-1}R$ は左右とも平坦である。

$0\in S$ ならば、局所化の相等条件において $v=0\in S$ を取ると、任意の分数 $a/s$ について $v(1a-s0)=0$ が成り立つ。よって $a/s=0/1$ であり、 $S^{-1}R=0$ となる。零加群とのテンソル積は零加群なので、任意の単射は零加群の恒等写像へ移る。したがって、この場合も $S^{-1}R$ は左右とも平坦である。
例 4.1により、分数を同じ有理数へ送る写像 $S^{-1}\Z\to\Q$ は環の同型であり、 $\Hom_\Z(\Q,\Z)=0$ である。また、同じ例の $\Hom_\Z(\Q,\Z)=0$ を用いた証明により、 $\Q$ は射影的でない。§E6.14 命題 1.3 (1) $\Leftrightarrow$ (3)により、 $\Q$ は自由アーベル群の直和因子でない。
§E6.9 例 13.2の図式を $D_n=\frac1n\Z$ と書く。各 $n$ に対して同型 $\alpha_n\colon G_n\to D_n$ 、 $\alpha_n(a)=a/n$ を取る。 $n\mid m$ のとき、
$\alpha_m((m/n)a)=a/n$
は $\alpha_n(a)$ の $D_n\hookrightarrow D_m$ による像に等しい。したがって $(\alpha_n)_n$ は図式の同型であり、§E6.3 命題 2.6により余極限の同型を誘導する。§E6.9 例 13.2と合成して $\varinjlim_nG_n\cong\Q$ を得る。各 $G_n=\Z$ は有限生成自由加群であるから、この表示は定理 9.3 (2)の具体例である。
$A=\bigoplus_iA_i$ 、 $B=\prod_iA_i$ とし、定数 $a_1,\ldots,a_m\in A$ をもつ有限連立方程式 $\sum_{j=1}^n x_jr_{j\ell}=a_\ell$ に、 $B$ 内の解 $b_1,\ldots,b_n$ が存在するとする。定数の台の和集合を $E\subseteq I$ とすると $E$ は有限である。 $B$ の元の $E$ 外の成分を零にする線形写像 $\pi_E\colon B\to A$ は、すべての $a_\ell$ を固定する。したがって $x_j=\pi_E(b_j)$ と置くと
$\sum_jx_jr_{j\ell} =\pi_E\!\left(\sum_jb_jr_{j\ell}\right) =\pi_E(a_\ell)=a_\ell$
であり、 $A$ 内の解を得る。定理 7.2 (3)から標準包含は普遍単射である。左加群の族には反対環を通じてこの結果を適用する。

▨

§E6.15平坦加群と普遍単射