有限次元結合代数と中心単純代数 | 環論入門

1 単位的結合代数

定義 1.1. $K$ を可換体とする。単位的結合的 $K$ -代数 (unital associative K-algebra) とは、 $K$ 上の線形空間 $A$ 、 $K$ -双線型写像

A\times A\longrightarrow A, \qquad (a,b)\longmapsto ab

および元 $1_A\in A$ であって、任意の $a,b,c\in A$ に対して

(ab)c=a(bc), \qquad 1_Aa=a1_A=a

を満たすものをいう。本記事では単に $K$ -代数 (K-algebra) という場合にも、単位的かつ結合的であることを含める。

$A$ の台となる $K$ -線形空間が有限次元であるとき、 $A$ を有限次元 $K$ -代数 (finite-dimensional K-algebra) という。

零線形空間には $1_A=0$ とするただ一つの $K$ -代数構造がある。一方、非零の $K$ -代数では $1_A\neq0$ である。

命題 1.2. 単位的結合的 $K$ -代数 $A$ に対して、

\iota_A\colon K\longrightarrow Z(A), \qquad c\longmapsto c1_A

は単位元を保つ環準同型であり、スカラー倍は

ca=\iota_A(c)a

によって復元される。

逆に、単位元をもつ結合環 $A$ と単位元を保つ環準同型

\iota\colon K\longrightarrow Z(A)

が与えられたとき、

ca:=\iota(c)a

によって $A$ は単位的結合的 $K$ -代数になる。この二つの構成は互いに逆である。

証明. $A$ を $K$ -代数とする。乗法の双線型性と単位元の性質から

(c+d)1_A=c1_A+d1_A, \qquad (cd)1_A=(c1_A)(d1_A), \qquad 1_K1_A=1_A

が成り立つため、 $\iota_A$ は単位元を保つ環準同型である。任意の $a\in A$ に対して

(c1_A)a=c(1_Aa)=ca, \qquad a(c1_A)=c(a1_A)=ca

であるから、 $c1_A\in Z(A)$ である。第一の等式はスカラー倍の復元式でもある。

逆に $\iota\colon K\to Z(A)$ が与えられたとする。 $K$ の加法と乗法、 $\iota$ の環準同型性および $\iota(K)\subseteq Z(A)$ から、

(c+d)a=ca+da, \quad c(a+b)=ca+cb, \quad (cd)a=c(da), \quad 1_Ka=a

が成り立つ。よって $A$ は $K$ 上の線形空間になる。また

(ca)b=(\iota(c)a)b =\iota(c)(ab)=c(ab)

であり、中心性を用いると

a(cb)=a(\iota(c)b) =\iota(c)(ab)=c(ab)

も成り立つ。したがって乗法は $K$ -双線型である。環の結合律と単位元は変化しないため、 $A$ は単位的結合的 $K$ -代数になる。二つの構成が互いに逆であることは、表示した復元式から従う。▨

定義 1.3. $A,B$ を単位的結合的 $K$ -代数とする。写像 $f\colon A\to B$ が単位的 $K$ -代数準同型 (unital K-algebra homomorphism) であるとは、 $f$ が単位元を保つ環準同型であり、任意の $c\in K$ と $a\in A$ に対して

f(ca)=cf(a)

を満たすことをいう。同値に、構造準同型について

f\circ\iota_A=\iota_B

が成り立つことをいう。全単射な $K$ -代数準同型を $K$ -代数同型 (K-algebra isomorphism)、単射な $K$ -代数準同型を $K$ -代数埋め込み (K-algebra embedding) という。

$A$ の部分集合 $B$ が $A$ と同じ単位元をもつ部分環であり、 $K$ -線形部分空間でもあるとき、 $B$ を $A$ の $K$ -部分代数 (K-subalgebra) という。

証明. $f$ が $K$ 線形ならば、任意の $c\in K$ に対して

f(\iota_A(c))=f(c1_A)=cf(1_A)=c1_B=\iota_B(c)

である。逆に $f\iota_A=\iota_B$ ならば

f(ca)=f(\iota_A(c)a) =f(\iota_A(c))f(a) =\iota_B(c)f(a)=cf(a)

となる。環準同型は加法を保つため、 $f$ は $K$ 線形である。▨

2 単純代数と中心単純代数

定義 2.1. 単位的結合的 $K$ -代数 $A$ を考える。

台となる環が§E6.4 定義 6.1の意味で単純環であるとき、 $A$ を単純 $K$ -代数 (simple K-algebra) という。
構造準同型の像が中心全体に等しいとき、すなわち $Z(A)=K1_A:=\{c1_A\mid c\in K\}$ が成り立つとき、 $A$ を中心 $K$ -代数 (central K-algebra) という。
$A$ が有限次元、単純かつ中心であるとき、 $A$ を中心単純 $K$ -代数 (central simple K-algebra) という。

単純代数は非零であるため、その構造準同型 $\iota_A\colon K\to A$ は単射である。実際、核は体 $K$ のイデアルであり、 $\iota_A(1_K)=1_A\neq0$ であるから、核は零イデアルに限られる。単純代数を扱う場合には、この単射によって $K$ を $K1_A$ と同一視する。

命題 2.2. 単純 $K$ -代数 $A$ の中心 $Z(A)$ は、 $K1_A$ を部分体として含む体である。

証明.§E6.1 命題 4.4により $Z(A)$ は可換部分環である。 $0\neq z\in Z(A)$ を取る。集合

Az:=\{az\mid a\in A\}

は非零の両側イデアルである。実際、左からの乗法で閉じ、 $z$ の中心性から

(az)r=a(zr)=a(rz)=(ar)z\in Az

となるため右からの乗法でも閉じる。 $A$ は単純であるから $Az=A$ である。したがって、 $az=1_A$ を満たす $a\in A$ が存在する。 $z$ は中心に属するため $za=az=1_A$ でもある。

任意の $r\in A$ に対して

ar=ar(za)=a(rz)a=a(zr)a=(az)ra=ra

である。よって $a\in Z(A)$ であり、 $z$ は $Z(A)$ の中に逆元をもつ。したがって $Z(A)$ は体である。構造準同型の像 $K1_A$ は中心に含まれ、構造準同型は単射であるから、 $K1_A$ は $Z(A)$ の部分体である。▨

3 反対代数

命題 3.1. 単位的結合的 $K$ -代数 $A$ に対して、反対環 $A^{\mathrm{op}}$ は、 $A$ と同じ $K$ -線形空間構造によって単位的結合的 $K$ -代数になる。さらに、次が成り立つ。

$Z(A^{\mathrm{op}})=Z(A)$ である。
$A$ が単純であることと $A^{\mathrm{op}}$ が単純であることは同値である。
$\dim_KA^{\mathrm{op}}=\dim_KA$ である。
$A$ が中心単純 $K$ -代数であることと $A^{\mathrm{op}}$ が中心単純 $K$ -代数であることは同値である。

証明. $A^{\mathrm{op}}$ の積を $a\star b:=ba$ と書く。任意の $c\in K$ と $a,b\in A$ に対して

(ca)\star b=b(ca)=c(ba)=c(a\star b)

である。また

a\star(cb)=(cb)a=c(ba)=c(a\star b)

である。よって反対環の積は $K$ -双線型である。結合律と単位元は§E6.1 命題 4.2から従う。

中心の等式は§E6.1 命題 4.4で証明済みである。 $A$ の両側イデアルは、積の左右を交換しても両側からの乗法で閉じるため、 $A^{\mathrm{op}}$ の両側イデアルと同じ部分集合である。したがって単純性は反対代数へ移る。反対代数を二度取ると $A$ に戻るため、逆向きも成り立つ。

台となる $K$ -線形空間は変化しないので次元も変化しない。中心、単純性および有限次元性がすべて保存されるため、中心単純性も双方向に保存される。▨

4 有限次元代数の基本例

定理 4.1. $n\geq1$ とする。このとき、全行列代数 $M_n(K)$ は次元 $n^2$ の中心単純 $K$ -代数である。

証明. 成分ごとのスカラー倍と行列積によって $M_n(K)$ は $K$ -代数になる。行列単位

\{E_{ij}\mid1\leq i,j\leq n\}

は $K$ -基底であるから、 $\dim_KM_n(K)=n^2$ である。§E6.4 定理 6.3を斜体 $D=K$ へ適用すると、 $M_n(K)$ は単純環である。

$X=(x_{ij})\in Z(M_n(K))$ とする。各 $k$ について $XE_{kk}=E_{kk}X$ である。左辺は第 $k$ 列以外が零であり、右辺は第 $k$ 行以外が零である。この等式を成分ごとに比較すると、 $i\neq k$ に対して $x_{ik}=0$ 、 $j\neq k$ に対して $x_{kj}=0$ となる。すべての $k$ について適用すると $X$ は対角行列である。

$X=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ と書く。 $i\neq j$ に対して

XE_{ij}=\lambda_iE_{ij}, \qquad E_{ij}X=\lambda_jE_{ij}

であるから、中心性より $\lambda_i=\lambda_j$ である。 $n=1$ の場合も含めて、ある $\lambda\in K$ が存在して $X=\lambda I_n$ となる。逆にスカラー行列はすべての行列と可換する。したがって

Z(M_n(K))=KI_n

であり、 $M_n(K)$ は中心単純 $K$ -代数である。▨

例 4.2. $G$ を有限群とする。このとき、係数環を $K$ とする群環 $K[G]$ は $K$ -基底 $G$ をもつため

\dim_KK[G]=|G|

である。群環の乗法は $K$ -双線型であり、群の単位元が代数の単位元になるため、 $K[G]$ は有限次元 $K$ -代数である。

写像

\varepsilon\colon K[G]\longrightarrow K, \qquad \varepsilon\left(\sum_{g\in G}a_gg\right) :=\sum_{g\in G}a_g

を augmentation (augmentation) という。有限和を展開すると

\varepsilon(xy)=\varepsilon(x)\varepsilon(y)

となり、 $\varepsilon(1)=1$ であるため、 $\varepsilon$ は全射な $K$ -代数準同型である。

$G$ が自明群でない場合、 $g\neq e$ を取ると $g-e$ は群基底の一次独立性から非零であり、 $\varepsilon(g-e)=0$ である。したがって $\ker\varepsilon$ は非零の両側イデアルである。一方、 $\varepsilon(1)=1$ であるから核は真である。よって非自明な有限群の群代数 $K[G]$ は単純ではない。 $G$ が自明群ならば $K[G]\cong K$ であり、中心単純 $K$ -代数である。

非自明な有限群 $G$ の群代数 $K[G]$ は単純環でないが、このことから左正則 $K[G]$ -加群が半単純でないことは従わない。

定理 4.3. Hamilton の四元数環 $\mathbb H$ は、実数体 $\R$ 上の次元 $4$ の中心単純代数である。

証明.§E6.1 例 7.4の行列表示を用いる。 $1:=H(1,0)$ と置き、

\mathbf i:=H(i,0), \qquad \mathbf j:=H(0,1), \qquad \mathbf k:=H(0,i)

と置く。 $z=a+bi$ 、 $w=c+di$ と書けば

H(z,w)=a1+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k

であり、この表示は一意である。したがって $1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$ は $\mathbb H$ の実基底であり、 $\dim_{\R}\mathbb H=4$ である。実数による行列のスカラー倍と四元数の積は両立するため、 $\mathbb H$ は実代数になる。

行列積から

\mathbf i^2=\mathbf j^2=\mathbf k^2=-1, \qquad \mathbf i\mathbf j=\mathbf k=-\mathbf j\mathbf i

を得る。結合律から

\mathbf i\mathbf k=-\mathbf j, \quad \mathbf k\mathbf i=\mathbf j, \quad \mathbf j\mathbf k=\mathbf i, \quad \mathbf k\mathbf j=-\mathbf i

も従う。 $q=a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k$ が中心に属するとする。基底 $1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$ を用いると

q\mathbf i=-b+a\mathbf i+d\mathbf j-c\mathbf k, \qquad \mathbf i q=-b+a\mathbf i-d\mathbf j+c\mathbf k

である。 $q\mathbf i=\mathbf i q$ と実数体の標数が零であることから $c=d=0$ を得る。続いて

(a+b\mathbf i)\mathbf j=a\mathbf j+b\mathbf k, \qquad \mathbf j(a+b\mathbf i)=a\mathbf j-b\mathbf k

を比較すると $b=0$ となる。したがって $q=a1$ である。実スカラーはすべての四元数と可換するため、

Z(\mathbb H)=\R1

である。

§E6.1 例 7.4により $\mathbb H$ は斜体である。 $I$ を $\mathbb H$ の非零両側イデアルとし、 $0\neq q\in I$ を取ると、 $q^{-1}q=1\in I$ となるため $I=\mathbb H$ である。よって $\mathbb H$ は単純である。有限次元性、単純性および中心の計算を合わせると、 $\mathbb H$ は中心単純 $\R$ -代数である。▨

例 4.4. $\C$ は実数による通常のスカラー倍によって、次元 $2$ の単純 $\R$ -代数になる。実際、 $\C$ は体であるから単純環である。しかし $\C$ は可換であるため

Z(\C)=\C

であり、 $\R1$ より真に大きい。したがって $\C$ は単純 $\R$ -代数であるが、中心 $\R$ -代数ではなく、中心単純 $\R$ -代数でもない。

5 代数のテンソル積

定理 5.1. $A,B$ を単位的結合的 $K$ -代数とする。このとき、 $K$ -線形空間 $A\otimes_KB$ 上には、純テンソルについて

(a\otimes b)(a'\otimes b'):=aa'\otimes bb'

で定まるただ一つの $K$ -双線型な乗法が存在する。この乗法は結合的であり、単位元は

1_A\otimes1_B

である。したがって $A\otimes_KB$ は単位的結合的 $K$ -代数になる。この代数を $A$ と $B$ の $K$ 上の代数のテンソル積 (tensor product of algebras over K) という。

証明. 写像

\beta\colon A\times B\times A\times B \longrightarrow A\otimes_KB, \qquad \beta(a,b,a',b'):=aa'\otimes bb'

を考える。 $\beta$ は各変数について加法を保つ。 $c\in K$ に対して、第一のテンソル因子の平衡関係について

\begin{aligned} \beta(ca,b,a',b') &=caa'\otimes bb'\\ &=aa'\otimes cbb' =\beta(a,cb,a',b') \end{aligned}

が成り立つ。第二のテンソル因子についても

\begin{aligned} \beta(a,b,ca',b') &=aca'\otimes bb' =caa'\otimes bb'\\ &=aa'\otimes cbb' =\beta(a,b,a',cb') \end{aligned}

が成り立つ。ここでは代数の乗法の $K$ -双線型性と、テンソル積の平衡関係を用いた。

テンソル積の普遍性の加法群版を二つの対 $(a,b)$ と $(a',b')$ へ順に適用すると、表示した純テンソルの式を満たす双加法写像

(A\otimes_KB)\times(A\otimes_KB) \longrightarrow A\otimes_KB

がただ一つ定まる。したがって乗法はテンソルの表示に依存しない。さらに $c\in K$ に対して

\begin{aligned} \bigl(c(a\otimes b)\bigr)(a'\otimes b') &=(ca\otimes b)(a'\otimes b') =caa'\otimes bb'\\ &=c\bigl((a\otimes b)(a'\otimes b')\bigr),\\ (a\otimes b)\bigl(c(a'\otimes b')\bigr) &=(a\otimes b)(ca'\otimes b') =aca'\otimes bb'\\ &=c\bigl((a\otimes b)(a'\otimes b')\bigr) \end{aligned}

である。純テンソルが各変数の空間を生成するため、乗法は二つの変数のそれぞれについて $K$ 線形である。

三つの純テンソルに対して

\begin{aligned} \bigl((a\otimes b)(a'\otimes b')\bigr)(a''\otimes b'') &= (aa')a''\otimes(bb')b'',\\ (a\otimes b)\bigl((a'\otimes b')(a''\otimes b'')\bigr) &= a(a'a'')\otimes b(b'b'') \end{aligned}

であり、 $A$ と $B$ の結合律によって二つの値は等しい。純テンソルは $A\otimes_KB$ を生成し、乗法は双線型であるため、結合律は一般の三元についても成り立つ。また

(1_A\otimes1_B)(a\otimes b)=a\otimes b =(a\otimes b)(1_A\otimes1_B)

であるため、 $1_A\otimes1_B$ は単位元である。

構造準同型は

c\longmapsto c(1_A\otimes1_B) =(c1_A)\otimes1_B=1_A\otimes(c1_B)

で与えられる。この像は純テンソルと可換し、したがって代数全体の中心に含まれる。以上により $A\otimes_KB$ は $K$ -代数である。▨

命題 5.2. $A,B,C$ を単位的結合的 $K$ -代数とする。このとき、次が成り立つ。

単位的 $K$ -代数準同型 $f\colon A\to C$ と $g\colon B\to C$ が、すべての $a\in A$ と $b\in B$ について $f(a)g(b)=g(b)f(a)$ を満たすならば、すべての $a\in A$ と $b\in B$ について $h(a\otimes b)=f(a)g(b)$ を満たす単位的 $K$ -代数準同型 $h\colon A\otimes_KB\to C$ がただ一つ存在する。
単位的 $K$ -代数準同型 $h\colon A\otimes_KB\to C$ に対して、 $a\mapsto h(a\otimes1_B)$ と $b\mapsto h(1_A\otimes b)$ はそれぞれ $A$ と $B$ から $C$ への単位的 $K$ -代数準同型であり、すべての $a\in A$ と $b\in B$ について $h(a\otimes1_B)\,h(1_A\otimes b)=h(1_A\otimes b)\,h(a\otimes1_B)$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。写像 $(a,b)\mapsto f(a)g(b)$ は、 $f,g$ の $K$ 線形性と $C$ の乗法の $K$ -双線型性により各変数について $K$ 線形であり、 $c\in K$ に対して $f(ca)g(b)=c\,f(a)g(b)=f(a)g(cb)$ を満たす。§E6.12 定義 9.1を $R=S=K$ として適用すると、 $h(a\otimes b)=f(a)g(b)$ を満たす $K$ -線形写像 $h\colon A\otimes_KB\to C$ がただ一つ存在する。純テンソルについて、二像の可換性 $f(a')g(b)=g(b)f(a')$ により

h\bigl((a\otimes b)(a'\otimes b')\bigr) =f(aa')g(bb') =f(a)f(a')g(b)g(b') =f(a)g(b)f(a')g(b') =h(a\otimes b)\,h(a'\otimes b')

である。 $h(xy)$ と $h(x)h(y)$ はともに $(x,y)$ について双加法的であり、純テンソルは $A\otimes_KB$ を加法群として生成するから、すべての $x,y\in A\otimes_KB$ について $h(xy)=h(x)h(y)$ である。また $h(1_A\otimes1_B)=f(1_A)g(1_B)=1_C$ である。したがって $h$ は単位的 $K$ -代数準同型である。単位的 $K$ -代数準同型 $h'$ が同じ式を満たすならば、 $h'$ は $K$ -線形であるから、上の一意性により $h'=h$ である。

主張 (2)を示す。 $a\mapsto a\otimes1_B$ は $K$ -線形であり、 $(a\otimes1_B)(a'\otimes1_B)=aa'\otimes1_B$ と単位元 $1_A\otimes1_B$ の保存から、単位的 $K$ -代数準同型 $A\to A\otimes_KB$ である。同様に $b\mapsto1_A\otimes b$ は単位的 $K$ -代数準同型 $B\to A\otimes_KB$ である。これらと $h$ の合成は単位的 $K$ -代数準同型である。さらに

(a\otimes1_B)(1_A\otimes b)=a\otimes b=(1_A\otimes b)(a\otimes1_B)

に $h$ を適用すると、二像の可換性を得る。▨

系 5.3. $A,A',B,B',C$ を単位的結合的 $K$ -代数とする。このとき、次が成り立つ。

単位的 $K$ -代数準同型 $f\colon A\to A'$ と $g\colon B\to B'$ に対して、 $a\otimes b\mapsto f(a)\otimes g(b)$ を満たす単位的 $K$ -代数準同型 $A\otimes_KB\to A'\otimes_KB'$ がただ一つ存在する。
§E6.12 定理 14.1が与える $K$ -線形同型 $(A\otimes_KB)\otimes_KC\longrightarrow A\otimes_K(B\otimes_KC), \qquad (a\otimes b)\otimes c\longmapsto a\otimes(b\otimes c)$ は単位的 $K$ -代数の同型である。
§E6.12 命題 13.1が与える $K$ -線形同型 $A\otimes_KK\longrightarrow A, \quad a\otimes c\longmapsto ca, \qquad K\otimes_KA\longrightarrow A, \quad c\otimes a\longmapsto ca$ は単位的 $K$ -代数の同型である。

証明.主張 (1)を示す。命題 5.2 (2)を $A'\otimes_KB'$ の恒等写像に適用すると、 $a'\mapsto a'\otimes1_{B'}$ と $b'\mapsto1_{A'}\otimes b'$ は単位的 $K$ -代数準同型であり、それらの像は互いに可換である。これらを $f$ と $g$ に合成した $a\mapsto f(a)\otimes1_{B'}$ と $b\mapsto1_{A'}\otimes g(b)$ は単位的 $K$ -代数準同型であり、像は互いに可換である。命題 5.2 (1)により、 $a\otimes b\mapsto(f(a)\otimes1_{B'})(1_{A'}\otimes g(b))=f(a)\otimes g(b)$ を満たす単位的 $K$ -代数準同型がただ一つ存在する。

主張 (2)を示す。 $T:=A\otimes_K(B\otimes_KC)$ と置く。命題 5.2 (2)を $T$ と $B\otimes_KC$ の恒等写像に適用し、得られる準同型を合成すると、 $a\mapsto a\otimes(1_B\otimes1_C)$ と $b\mapsto1_A\otimes(b\otimes1_C)$ は $T$ への単位的 $K$ -代数準同型であり、

\bigl(a\otimes(1_B\otimes1_C)\bigr)\bigl(1_A\otimes(b\otimes1_C)\bigr) =a\otimes(b\otimes1_C) =\bigl(1_A\otimes(b\otimes1_C)\bigr)\bigl(a\otimes(1_B\otimes1_C)\bigr)

であるから、命題 5.2 (1)により $a\otimes b\mapsto a\otimes(b\otimes1_C)$ を満たす単位的 $K$ -代数準同型 $h_1\colon A\otimes_KB\to T$ が存在する。同様に $c\mapsto1_A\otimes(1_B\otimes c)$ は単位的 $K$ -代数準同型 $h_2\colon C\to T$ である。純テンソルについて

h_1(a\otimes b)\,h_2(c)=a\otimes(b\otimes c)=h_2(c)\,h_1(a\otimes b)

であり、純テンソルは $A\otimes_KB$ を加法群として生成するから、 $h_1$ の像と $h_2$ の像は互いに可換である。命題 5.2 (1)により、 $x\otimes c\mapsto h_1(x)h_2(c)$ を満たす単位的 $K$ -代数準同型 $h\colon(A\otimes_KB)\otimes_KC\to T$ が存在し、 $h\bigl((a\otimes b)\otimes c\bigr)=a\otimes(b\otimes c)$ である。 $h$ と§E6.12 定理 14.1の線形同型はともに加法的であり、加法群を生成する純テンソル $(a\otimes b)\otimes c$ の上で一致するから、等しい。したがって、この線形同型は全単射な単位的 $K$ -代数準同型であり、 $K$ -代数同型である。

主張 (3)を示す。 $K$ は自身の上の単位的結合的 $K$ -代数であり、命題 1.2により構造準同型 $\iota_A\colon K\to A$ 、 $c\mapsto c1_A$ は単位元を保つ環準同型で、像は $Z(A)$ に含まれる。 $\iota_A(cd)=c\,\iota_A(d)$ であるから、 $\iota_A$ は単位的 $K$ -代数準同型である。命題 5.2 (1)を $\operatorname{id}_A$ と $\iota_A$ に適用すると、 $a\otimes c\mapsto a(c1_A)=ca$ を満たす単位的 $K$ -代数準同型 $A\otimes_KK\to A$ を得る。これは§E6.12 命題 13.1の線形同型と純テンソルの上で一致するから等しく、 $K$ -代数同型である。 $\iota_A$ と $\operatorname{id}_A$ に適用すると、 $c\otimes a\mapsto(c1_A)a=ca$ により $K\otimes_KA\to A$ についても同じ結論を得る。▨

命題 5.4. $A,B$ を単位的結合的 $K$ -代数とする。このとき、次の二つの $K$ -代数同型が存在する。

\tau\colon A\otimes_KB\xrightarrow{\ \cong\ }B\otimes_KA, \qquad \tau(a\otimes b)=b\otimes a,

\omega\colon(A\otimes_KB)^{\mathrm{op}} \xrightarrow{\ \cong\ } A^{\mathrm{op}}\otimes_KB^{\mathrm{op}}, \qquad \omega(a\otimes b)=a\otimes b.

証明. 因子交換写像 $\tau$ はテンソル積の平衡関係と両立し、同じ式を二度適用すると恒等写像になるため、 $K$ -線形同型である。純テンソルの積について

\begin{aligned} \tau\bigl((a\otimes b)(a'\otimes b')\bigr) &=\tau(aa'\otimes bb')=bb'\otimes aa',\\ \tau(a\otimes b)\tau(a'\otimes b') &=(b\otimes a)(b'\otimes a')=bb'\otimes aa' \end{aligned}

となるため、 $\tau$ は $K$ -代数同型である。

左辺の反対代数における積を $\star$ とする。純テンソルについて

(a\otimes b)\star(a'\otimes b') =a'a\otimes b'b

である。右辺でも $A^{\mathrm{op}}$ と $B^{\mathrm{op}}$ の積を用いると

(a\otimes b)(a'\otimes b') =(a'a)\otimes(b'b)

となる。したがって台となる線形空間上の恒等写像 $\omega$ は積を保つ。単位元と $K$ のスカラー倍も保ち、逆写像も恒等写像であるから、 $\omega$ は $K$ -代数同型である。▨

命題 5.5. $A,B$ が有限次元 $K$ -代数ならば、 $A\otimes_KB$ も有限次元であり、

\dim_K(A\otimes_KB) =(\dim_KA)(\dim_KB)

が成り立つ。

証明. $A$ の $K$ -基底を $(a_i)_{i=1}^m$ 、 $B$ の $K$ -基底を $(b_j)_{j=1}^n$ とする。 $A$ を自由右 $K$ -加群、 $B$ を左 $K$ ・右 $K$ 双加群とみなし、§E6.12 定理 10.1を適用すると、右 $K$ -線形同型

A\otimes_K B\longrightarrow\bigoplus_{i=1}^m B, \qquad a_i\otimes b\longmapsto\iota_i(b)

を得る。ここで $\iota_i$ は第 $i$ 成分への標準包含である。 $K$ は可換であるため、この同型は $K$ -線形でもある。右辺の基底 $(\iota_i(b_j))_{i,j}$ の逆像は $(a_i\otimes b_j)_{i,j}$ であるから、 $A\otimes_KB$ の次元は $mn$ である。 $m=0$ または $n=0$ の場合にも、空な基底により同じ公式が成り立つ。▨

中心単純代数同士のテンソル積は中心単純である。この事実と反対代数を用いる Brauer 同値は、§E6.32 Brauer 群の定義で扱う。

6 体準同型に沿うスカラー拡大

体準同型は与えられたものとし、体準同型そのものの存在や構造は調べない。

定義 6.1. $K,L$ を可換体とし、 $\sigma\colon K\to L$ を単位元を保つ体準同型とする。 $L$ に

\lambda\cdot c:=\lambda\sigma(c) \qquad(\lambda\in L,\ c\in K)

という右 $K$ 作用を入れる。単位的結合的 $K$ -代数 $A$ に対して

A_{L,\sigma}:=L\otimes_{K,\sigma}A

と置き、これを代数のスカラー拡大 (scalar extension of an algebra) という。純テンソル上の $L$ のスカラー倍を

\mu(\lambda\otimes a):=(\mu\lambda)\otimes a

で定める。

$\sigma$ が包含写像である場合、台となる線形空間は§E3.17 定義 1.1の係数拡大と一致する。

定理 6.2. 定義定義 6.1の $L$ -線形空間 $A_{L,\sigma}$ には、

(\lambda\otimes a)(\mu\otimes b) :=\lambda\mu\otimes ab

によって単位的結合的 $L$ -代数構造が定まる。単位元は $1_L\otimes1_A$ である。

$A$ が $K$ -基底 $(e_i)_{i\in I}$ をもつならば、

(1_L\otimes e_i)_{i\in I}

は $A_{L,\sigma}$ の $L$ -基底である。特に $A$ が有限次元ならば

\dim_LA_{L,\sigma}=\dim_KA

である。

証明. 体準同型 $\sigma\colon K\to L$ により、 $L$ は単位的結合的 $K$ -代数である。実際、その構造準同型は $\sigma$ であり、 $L$ が可換であるため像は中心に含まれる。定義の右 $K$ 作用による $L\otimes_{K,\sigma}A$ は、この $K$ -代数 $L$ と $A$ のテンソル積である。したがって定理 5.1を適用すると、指定された積は表示に依存せず、 $K$ -双線型かつ結合的であり、単位元は $1_L\otimes1_A$ である。

$A_{L,\sigma}$ 上に構成した乗法は $L$ -双線型でもある。 $\nu,\lambda,\mu\in L$ と $a,b\in A$ に対し、 $L$ の可換性から

\bigl(\nu(\lambda\otimes a)\bigr)(\mu\otimes b) =\nu\lambda\mu\otimes ab =\nu\bigl((\lambda\otimes a)(\mu\otimes b)\bigr) =(\lambda\otimes a)\bigl(\nu(\mu\otimes b)\bigr)

となり、純テンソルの生成性によって一般の元にも従う。 $L$ の構造準同型は

\lambda\longmapsto\lambda\otimes1_A

であり、その像は純テンソルと可換する。よって $A_{L,\sigma}$ は $L$ -代数である。

$A$ を基底 $(e_i)_{i\in I}$ をもつ自由右 $K$ -加群とみなす。 $L$ には左 $K$ 作用 $c\lambda=\sigma(c)\lambda$ と通常の右 $L$ 作用を入れる。この二つの作用は両立するため、§E6.12 定理 10.1により右 $L$ -線形同型

A\otimes_KL\longrightarrow L^{(I)}, \qquad e_i\otimes\lambda\longmapsto\iota_i(\lambda)

を得る。

命題 5.4の因子交換同型を、 $K$ -代数 $L,A$ に適用する。 $\tau(\lambda\otimes a)=a\otimes\lambda$ は $\tau(\mu\lambda\otimes a)=a\otimes\mu\lambda=\tau(\lambda\otimes a)\mu$ を満たすため、左辺の左 $L$ 作用と右辺の右 $L$ 作用に両立する。したがって、因子交換同型と直和表示の合成により、 $1_L\otimes e_i$ は $L^{(I)}$ の第 $i$ 標準基底元に対応する。よって $(1_L\otimes e_i)_{i\in I}$ は $A_{L,\sigma}$ の $L$ -基底である。 $I$ が有限ならば、基底の要素数から $\dim_LA_{L,\sigma}=\dim_KA$ を得る。▨

命題 6.3. $\sigma\colon K\to L$ を体準同型、 $A,B$ を単位的結合的 $K$ -代数とする。このとき、次が成り立つ。

標準写像 $\eta_A\colon A\longrightarrow A_{L,\sigma}, \qquad a\longmapsto1_L\otimes a$ は加法、単位元および積を保ち、任意の $c\in K$ と $a\in A$ に対して $\eta_A(ca)=\sigma(c)\eta_A(a)$ を満たす。すなわち、 $\eta_A$ は $\sigma$ -半線形である。
単位的 $K$ -代数準同型 $f\colon A\to B$ に対して、 $f_{L,\sigma}\colon A_{L,\sigma}\longrightarrow B_{L,\sigma}, \qquad f_{L,\sigma}(\lambda\otimes a) :=\lambda\otimes f(a)$ は単位的 $L$ -代数準同型である。
スカラー拡大は恒等写像と合成を保つ。

証明. 標準写像の加法性はテンソル積の加法から従う。また

\eta_A(ab)=1_L\otimes ab =(1_L\otimes a)(1_L\otimes b), \qquad \eta_A(1_A)=1_L\otimes1_A

である。またテンソル積の平衡関係から

\eta_A(ca)=1_L\otimes ca =\sigma(c)\otimes a =\sigma(c)\eta_A(a)

を得る。

$f$ は $K$ 線形であるため、§E6.12 命題 12.1によって $f_{L,\sigma}=1_L\otimes f$ は well-defined な加法写像である。さらに、 $\nu\in L$ に対して

f_{L,\sigma}\bigl(\nu(\lambda\otimes a)\bigr) =\nu\lambda\otimes f(a) =\nu f_{L,\sigma}(\lambda\otimes a)

であるから、 $f_{L,\sigma}$ は $L$ 線形である。純テンソルについて

\begin{aligned} f_{L,\sigma}\bigl((\lambda\otimes a)(\mu\otimes b)\bigr) &=\lambda\mu\otimes f(ab)\\ &=\lambda\mu\otimes f(a)f(b)\\ &=f_{L,\sigma}(\lambda\otimes a) f_{L,\sigma}(\mu\otimes b) \end{aligned}

であり、単位元も保つ。よって $f_{L,\sigma}$ は $L$ -代数準同型である。恒等写像と合成を保つことは純テンソル上で

(\operatorname{id}_A)_{L,\sigma} =\operatorname{id}_{A_{L,\sigma}}, \qquad (g\circ f)_{L,\sigma}=g_{L,\sigma}\circ f_{L,\sigma}

を確認することによって従う。▨

例 6.4. $A=\C$ を実 $\R$ -代数とし、包含 $\R\hookrightarrow\C$ に沿ってスカラー拡大する。写像

\Phi\colon\C\otimes_{\R}\C \longrightarrow\C\times\C, \qquad \Phi(z\otimes w):=(zw,\,z\overline w)

を考える。ここで $z$ は拡大後のスカラーである第一因子の元、 $w$ は $A=\C$ の元であり、 $\C\times\C$ には成分ごとの演算と成分ごとの複素スカラー倍 $\lambda(u,v)=(\lambda u,\lambda v)$ を入れる。写像 $(z,w)\mapsto(zw,z\overline w)$ は各変数について加法的であり、実数 $r$ について $\overline{rw}=r\overline w$ であるから $(zr)w=z(rw)$ と $(zr)\overline w=z\,\overline{rw}$ を満たす。したがって§E6.12 命題 11.4により、 $\Phi$ は加法群準同型として定まる。

$\lambda\in\C$ に対して

\Phi\bigl(\lambda(z\otimes w)\bigr) =\Phi(\lambda z\otimes w) =(\lambda zw,\lambda z\overline w) =\lambda\Phi(z\otimes w)

であるから、 $\Phi$ は $\C$ 線形である。純テンソルについて

\Phi\bigl((z\otimes w)(z'\otimes w')\bigr) =\Phi(zz'\otimes ww') =(zz'ww',\,zz'\overline w\,\overline{w'}) =\Phi(z\otimes w)\Phi(z'\otimes w')

であり、両辺は双加法的であるから、 $\Phi$ は積を保つ。また $\Phi(1\otimes1)=(1,1)$ である。したがって $\Phi$ は単位的 $\C$ -代数準同型である。

$\C$ 線形写像

\Psi\colon\C\times\C\longrightarrow\C\otimes_{\R}\C, \qquad \Psi(u,v):=\frac{u+v}{2}\otimes1+\frac{u-v}{2i}\otimes i

を取る。 $\overline i=-i$ であるから

\Phi\bigl(\Psi(u,v)\bigr) =\Bigl(\frac{u+v}{2},\frac{u+v}{2}\Bigr) +\Bigl(\frac{u-v}{2},-\frac{u-v}{2}\Bigr) =(u,v)

であり、 $\Phi\circ\Psi=\operatorname{id}_{\C\times\C}$ である。 $w=a+bi$ 、 $a,b\in\R$ と書けば、 $\Phi(z\otimes w)=(zw,z\overline w)$ について $\frac{zw+z\overline w}{2}=za$ 、 $\frac{zw-z\overline w}{2i}=zb$ であるから、

\Psi\bigl(\Phi(z\otimes w)\bigr) =za\otimes1+zb\otimes i =z\otimes a+z\otimes bi =z\otimes w

である。純テンソルが加法群として全体を生成するため、 $\Psi\circ\Phi=\operatorname{id}_{\C\otimes_{\R}\C}$ である。よって

\C\otimes_{\R}\C \cong\C\times\C

という $\C$ -代数同型を得る。右辺は非零真の両側イデアル $\C\times0$ をもつため単純ではない。例 4.4の $\C$ は単純実代数であるから、中心性を仮定しない単純代数の単純性はスカラー拡大で保存されるとは限らない。

7 スカラー拡大と加群の同型

系 7.1 (有限次拡大に対する Noether–Deuring の定理). $k$ を体、 $A$ を有限次元単位的結合 $k$ 代数、 $L/k$ を有限次体拡大とする。 $M,N$ を有限次元左 $A$ 加群とし、

A_L:=L\otimes_kA, \qquad M_L:=L\otimes_kM, \qquad N_L:=L\otimes_kN

と置く。 $M_L$ と $N_L$ には

(\lambda\otimes a)(\mu\otimes m) :=\lambda\mu\otimes am

によって左 $A_L$ 加群の構造を入れる。このとき、 $M_L\cong N_L$ が左 $A_L$ 加群の同型として成り立つならば、 $M\cong N$ が左 $A$ 加群の同型として成り立つ。

証明. $d:=[L:k]$ と置き、 $L$ の $k$ 基底 $\lambda_1,\ldots,\lambda_d$ を取る。環準同型

A\longrightarrow A_L, \qquad a\longmapsto1\otimes a

に沿ってスカラーを制限する。写像

M^{\oplus d}\longrightarrow M_L, \qquad (m_1,\ldots,m_d)\longmapsto \sum_{i=1}^d\lambda_i\otimes m_i

は左 $A$ 加群の同型である。同じ構成によって $N^{\oplus d}\cong N_L$ も成り立つ。仮定した左 $A_L$ 加群の同型は、スカラーを制限すれば左 $A$ 加群の同型であるから、

M^{\oplus d}\cong N^{\oplus d}

を得る。

$M$ と $N$ の真の部分加群列は真の $k$ 部分空間列でもあるため、その長さはそれぞれ $\dim_kM$ と $\dim_kN$ 以下である。したがって $M$ と $N$ は有限長左 $A$ 加群である。 $d\geq1$ であるから、§E6.23 系 4.4 (2)により $M\cong N$ である。▨

注意 7.2 (同型の存在と同型写像の降下).系 7.1の結論は、ある左 $A$ 加群の同型 $M\cong N$ が存在するという主張である。仮定で与えた左 $A_L$ 加群の同型が、ある左 $A$ 加群の同型 $f\colon M\to N$ に対する $1_L\otimes f$ と一致するとは限らない。仮定で指定した同型写像の降下を主張するには、与えた同型写像が降下データと両立することを別に仮定しなければならない。

注意 7.3 (スカラー拡大に関する三つの区別).系 7.1では、 $A$ の可換性を仮定しない。 $L\otimes_kA$ の積と $L\otimes_kM$ への作用がテンソル積の平衡関係と両立するのは、構造準同型 $k\to A$ の像が中心 $Z(A)$ に含まれるからである。基礎体を非可換環に置き換えた一般のテンソル積には、同じ構成を無条件に適用することができない。

例 6.4の

\C\otimes_{\R}\C \cong\C\times\C

では、左正則加群 $\C$ は $\C$ 上で単純かつ直既約である一方、スカラー拡大後の左正則加群は二つの非零直和因子をもつ。代数が可換であっても、単純性と直既約性の保存は従わない。

8 演習

問題 8.1. 次の各問に答えよ。

$K$ -双線型な乗法をもつ単位的結合代数 $A$ について、 $c\mapsto c1_A$ が $Z(A)$ に値を取る環準同型であることを示せ。逆向きのスカラー倍も再構成せよ。
単純 $K$ -代数 $A$ の非零中心元が $Z(A)$ の中に逆元をもつことを証明せよ。
$M_n(K)$ の中心が $KI_n$ であることを、行列単位との可換性から証明せよ。
非自明な有限群 $G$ に対して、augmentation の核が $K[G]$ の非零真の両側イデアルであることを示せ。
$q=a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k\in\mathbb H$ が $\mathbf i$ および $\mathbf j$ と可換するならば $b=c=d=0$ であることを計算せよ。
$A^{\mathrm{op}}$ の $K$ -代数構造を検証し、中心単純性が反対代数で保存される理由を説明せよ。
$(a\otimes b)(a'\otimes b')=aa'\otimes bb'$ が、二つの純テンソルのどちらの平衡関係とも両立することを示せ。
$A,B$ の有限基底から $A\otimes_KB$ の基底を構成し、次元公式を証明せよ。
$\sigma\colon K\to L$ に沿うスカラー拡大で、 $\eta_A(ca)=\sigma(c)\eta_A(a)$ を示せ。また、 $K$ -代数準同型のスカラー拡大が積を保つことを示せ。
同型 $\C\otimes_{\R}\C\cong\C\times\C$ を検証し、単純性に中心性を加えずにスカラー拡大へ移すことができない理由を説明せよ。
系 7.1において $k=\Q$ 、 $L=\Q(\sqrt2)$ 、 $A=M=N=\Q$ とする。左 $A_L$ 加群 $M_L$ から $N_L$ への $\sqrt2$ 倍写像は同型であるが、どの $\Q$ -線形写像 $f\colon M\to N$ についても $1_L\otimes f$ と一致しないことを示せ。

解答 (演習の解答).

命題 1.2を適用する。双線型性から $(c+d)1_A=c1_A+d1_A$ と $(cd)1_A=(c1_A)(d1_A)$ が従い、 $1_K1_A=1_A$ である。さらに $(c1_A)a=c(1_Aa)=ca=a(c1_A)$ であるため $c1_A\in Z(A)$ となる。逆に $\iota\colon K\to Z(A)$ に対して $ca:=\iota(c)a$ と定めると、 $\iota$ の環準同型性により線形空間の公理が成り立ち、中心性により $a(cb)=c(ab)=(ca)b$ が成り立つ。
命題 2.2を単純 $K$ -代数 $A$ に適用する。 $Z(A)$ は体であるため、任意の非零 $z\in Z(A)$ は $Z(A)$ 内に逆元をもつ。
定理 4.1を適用する。 $XE_{kk}=E_{kk}X$ を成分比較すると、第 $k$ 行と第 $k$ 列の対角成分以外が零になる。すべての $k$ について適用すると $X$ は対角行列になる。 $X=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ と $E_{ij}$ の可換性から $\lambda_i=\lambda_j$ を得る。よって $X=\lambda I_n$ である。スカラー行列はすべての行列と可換するため、中心は $KI_n$ である。
例 4.2を適用する。有限和を展開すると $\varepsilon(xy)=\varepsilon(x)\varepsilon(y)$ となるため、 $\ker\varepsilon$ は両側イデアルである。 $g\neq e$ に対して $g-e\neq0$ かつ $\varepsilon(g-e)=0$ であるため核は非零である。 $\varepsilon(1)=1$ であるため核は真である。
定理 4.3を適用する。関係式 $\mathbf i^2=\mathbf j^2=-1$ 、 $\mathbf i\mathbf j=\mathbf k=-\mathbf j\mathbf i$ から $\mathbf i\mathbf k=-\mathbf j$ 、 $\mathbf k\mathbf i=\mathbf j$ が従う。したがって
$q\mathbf i=-b+a\mathbf i+d\mathbf j-c\mathbf k, \qquad \mathbf i q=-b+a\mathbf i-d\mathbf j+c\mathbf k$
である。基底の係数を比較し、実数体の標数が零であることを用いると $c=d=0$ を得る。続いて $q=a+b\mathbf i$ として
$q\mathbf j=a\mathbf j+b\mathbf k, \qquad \mathbf j q=a\mathbf j-b\mathbf k$
を比較すると $b=0$ となる。
命題 3.1を $A$ に適用する。反対環の積 $a\star b=ba$ は $K$ -双線型であり、結合律と単位元を保つため $A^{\mathrm{op}}$ は $K$ -代数である。中心、両側イデアルおよび線形空間の次元が変化しないため、中心単純性は双方向に保存される。
定理 5.1を適用する。 $c\in K$ に対して
$((ca)\otimes b)(a'\otimes b') =caa'\otimes bb'=aa'\otimes cbb' =(a\otimes cb)(a'\otimes b')$
である。第二の純テンソルについても
$(a\otimes b)((ca')\otimes b') =aca'\otimes bb'=aa'\otimes cbb' =(a\otimes b)(a'\otimes cb')$
となる。したがって積は両方の平衡関係と両立する。
§E6.12 定理 10.1を、自由右 $K$ -加群 $A$ の基底 $(a_i)_{i=1}^m$ と双加群 $B$ に適用する。得られる直和表示では $a_i\otimes b_j$ が第 $i$ 成分の基底元 $b_j$ に対応するため、 $(a_i\otimes b_j)_{i,j}$ は基底である。したがって、その要素数 $mn$ がテンソル積の次元である。 $A=0$ または $B=0$ の場合には、テンソル積も零となるため次元公式の両辺は零である。
命題 6.3 (1)を適用する。平衡関係から
$\eta_A(ca)=1_L\otimes ca =\sigma(c)\otimes a =\sigma(c)\eta_A(a)$
となる。 $f\colon A\to B$ に対して $f_{L,\sigma}(\lambda\otimes a)=\lambda\otimes f(a)$ と定めると、
$f_{L,\sigma}(\lambda\mu\otimes ab) =\lambda\mu\otimes f(a)f(b)$
であるため、スカラー拡大した写像は積を保つ。
例 6.4を適用する。 $\Phi(z\otimes w)=(zw,z\overline w)$ は実平衡であり、成分ごとの複素スカラー倍について $\C$ 線形であり、積を成分ごとの積へ送り、 $\Phi(1\otimes1)=(1,1)$ を満たす。 $\Psi(u,v)=\frac{u+v}{2}\otimes1+\frac{u-v}{2i}\otimes i$ について $\Phi\circ\Psi=\operatorname{id}_{\C\times\C}$ であり、 $w=a+bi$ （ $a,b\in\R$ ）と書けば $\Psi\circ\Phi(z\otimes w)=za\otimes1+zb\otimes i=z\otimes w$ となる。したがって $\Phi$ は $\C$ -代数同型である。 $\C\times0$ は右辺の非零真の両側イデアルであるため、スカラー拡大後は単純でない。もとの $\C$ は単純実代数であるが中心実代数ではないため、この例は単純性だけをスカラー拡大へ移すことができないことを示す。
§E6.12 命題 13.1により、 $\lambda\otimes c\mapsto\lambda c$ は $\Q$ -線形同型 $L\otimes_{\Q}\Q\to L$ である。 $\mu\in L$ について $\mu(\lambda\otimes c)=\mu\lambda\otimes c\mapsto\mu\lambda c=\mu(\lambda c)$ であり、この写像は加法的で、純テンソルは $L\otimes_{\Q}\Q$ を加法群として生成するから、 $L$ のスカラー倍を保つ。この同型によって $A_L$ 、 $M_L$ 、 $N_L$ をいずれも $L$ と同一視すると、 $(\lambda\otimes a)(\mu\otimes m)=\lambda\mu\otimes am$ は $(\lambda a)(\mu m)$ へ移るから、 $A_L$ の積と $A_L$ の $M_L$ 、 $N_L$ への作用はいずれも $L$ の乗法である。 $L$ は可換であるから、 $\sqrt2$ 倍写像 $x\mapsto\sqrt2x$ は左 $A_L$ 加群の準同型であり、 $x\mapsto\frac{\sqrt2}{2}x$ を逆写像にもつから同型である。

$f\colon\Q\to\Q$ を $\Q$ -線形写像とすると、 $f(c)=cf(1)$ であり、 $1_L\otimes f$ は $\lambda\otimes c\mapsto\lambda\otimes cf(1)$ であるから、上の同一視のもとで $f(1)\in\Q$ 倍写像である。 $1_L\otimes f$ が $\sqrt2$ 倍写像と一致するならば、 $1\in L$ での値を比べて $f(1)=\sqrt2$ となる。 $\sqrt2\notin\Q$ であるから、これは $f(1)\in\Q$ に反する。したがって $\sqrt2$ 倍写像はどの $\Q$ -線形写像 $f$ についても $1_L\otimes f$ と一致しない。

▨

問題 8.2. $K$ を体、 $G=\{e,g\}$ を $g^2=e$ を満たす位数 $2$ の群とし、 $A=K[G]$ とする。 $\operatorname{char}K\ne2$ と $\operatorname{char}K=2$ のそれぞれの場合について、 $A$ の半単純性、単純性および中心性を判定せよ。標数が $2$ でない場合には、二つの直和因子に対応する冪等元を求めよ。

解答.

$A$ は基底 $e,g$ をもつ次元 $2$ の可換 $K$ -代数であり、 $e$ はその単位元である。したがって $Z(A)=A\ne Ke$ であるから、標数によらず中心 $K$ -代数ではない。また、例 4.2により、augmentation の核 $K(g-e)$ は非零真の両側イデアルである。よって、いずれの標数でも $A$ は単純ではない。

$\operatorname{char}K\ne2$ とする。このとき、 $2$ は $K$ で可逆であり、写像

\Phi\colon A\longrightarrow K\times K, \qquad \Phi(ae+bg)=(a+b,a-b)

は $K$ -代数同型である。実際、 $g^2=e$ により積を保ち、単位元は $(1,1)$ に写る。逆写像は

(u,v)\longmapsto\frac{u+v}{2}e+\frac{u-v}{2}g

である。二つの冪等元は

p_+=\frac{e+g}{2},\qquad p_-=\frac{e-g}{2}

であり、 $p_+^2=p_+$ 、 $p_-^2=p_-$ 、 $p_+p_-=0$ 、 $p_++p_-=e$ を満たす。したがって $A=Kp_+\oplus Kp_-$ は左イデアルの内部直和である。各直和因子は次元 $1$ の非零 $K$ -線形空間なので、左 $A$ -加群として単純である。よって $A$ は半単純環である。

$\operatorname{char}K=2$ とする。 $\epsilon=g-e$ とおくと、 $\epsilon\ne0$ であり、 $\epsilon^2=g^2-2g+e=0$ である。各元は一意に $a e+b\epsilon$ と書くことができる。 $a\ne0$ ならば

(ae+b\epsilon)^{-1}=a^{-1}e-ba^{-2}\epsilon

である。したがって、 $K\epsilon$ に含まれない左イデアルは可逆元を含むため $A$ 全体である。一方、 $K\epsilon$ は次元 $1$ の左イデアルなので、非零真の左イデアルは $K\epsilon$ だけである。 $A$ 自身は単純左加群ではないため、左正則加群の単純部分加群は $K\epsilon$ だけである。その和は $A$ 全体にならず、 $A$ は単純左加群の内部直和に分解しない。よって、標数 $2$ では $A$ は半単純環でもない。▨

§E6.26有限次元結合代数と中心単純代数

1 単位的結合代数

2 単純代数と中心単純代数

3 反対代数

4 有限次元代数の基本例

5 代数のテンソル積

6 体準同型に沿うスカラー拡大

7 スカラー拡大と加群の同型

8 演習

参考文献

前提記事