§E6.16入射加群と入射包絡

証明.(a)$\Leftrightarrow$(b)を示す。§E6.12 命題 4.1 (2)により、表示した列の右端以外は常に完全である。右端の完全性は$i^*$の全射性、すなわち$i$に沿う延長の存在である。任意の単射$i\colon A\to B$は短完全列$0\to A\to B\to B/i(A)\to0$の左の射になるので、両条件は同値である。

(a)$\Rightarrow$(c)を示す。単射$j\colon E\to X$に沿って$\id_E$を延長すれば、$r\circ j=\id_E$を満たす$r\colon X\to E$を得る。

(c)$\Leftrightarrow$(d)を示す。単射$j\colon E\to X$に対する短完全列$0\to E\to X\to X/j(E)\to0$に分裂補題§E6.8 命題 3.2を適用すると、$j$のレトラクションの存在と、$j(E)$が$X$の直和因子であることは同値である。$j$が誘導する同型$E\cong j(E)$によって、両条件が同値であることを得る。

(c)$\Rightarrow$(a)を示す。部分加群$A\subseteq B$と$R$-線形写像$f\colon A\to E$を取り、

と置く。$L$は線形写像$a\mapsto(f(a),-a)$の像なので部分加群である。商写像と標準包含の合成を$j\colon E\to X$、$k\colon B\to X$とすると、$j\circ f=k|_A$である。$j(e)=0$ならば$(e,0)=(f(a),-a)$となる$a\in A$が存在し、$a=0$、$e=0$となる。したがって$j$は単射であり、仮定からレトラクション$r\colon X\to E$が存在する。合成$r\circ k$は$f$の延長である。一般の単射$i\colon A\to B$には、部分加群$i(A)$上の写像$f\circ i^{-1}$にこの構成を適用する。▨

証明.主張 (1)を示す。単射$i\colon A\to B$と$f\colon A\to\prod_jE_j$を取る。各成分写像$f_j\colon A\to E_j$に対して延長$g_j\colon B\to E_j$を選ぶ。写像$g(b)=(g_j(b))_{j\in J}$は線形であり、各成分で$g_j\circ i=f_j$なので$g\circ i=f$である。$J=\varnothing$では直積は零加群であり、零写像が延長を与える。

主張 (2)を示す。入射加群$E$の直和因子$D$の包含を$u\colon D\to E$、射影を$v\colon E\to D$とする。単射$i\colon A\to B$と$f\colon A\to D$に対し、$u\circ f$の延長$h\colon B\to E$を取ると、$v\circ h$は$f$の延長である。▨

証明. 右$R$-加群の射と左$R^{\mathrm{op}}$-加群の射は同じ加法写像である。単射であることも合成の等式も変わらないので、両方の延長性は同じ条件である。▨

証明. 必要性を示す。$E$が入射加群ならば、左イデアルの包含$I\hookrightarrow R$に沿って任意の$f\colon I\to E$を延長することができる。

十分性を示す。部分加群$A\subseteq B$と$R$-線形写像$f\colon A\to E$を取る。$A\subseteq A'\subseteq B$を満たす部分加群$A'$と、$f'|_A=f$を満たす線形写像$f'\colon A'\to E$の対の集合を考える。

と定めると半順序になる。この集合は$(A,f)$を含む。空でない鎖の定義域の和集合は部分加群であり、鎖に属する写像は共通の定義域で一致するので、和集合上に線形写像を定める。この対は鎖の上界である。空の鎖は$(A,f)$を上界にもつ。Zorn の補題§E1.20 定理 2.1 (3)により極大な対$(A',f')$が存在する。

$A'\ne B$と仮定し、$x\in B\setminus A'$を取る。

は、加法と左からの乗法で閉じた左イデアルである。写像$h\colon I\to E$、$h(r)=f'(rx)$は左$R$-線形なので、仮定から線形写像$\widetilde h\colon R\to E$へ延長する。二つの線形写像

を考える。$(a,r)\in\ker q$ならば$rx=-a\in A'$であるから$r\in I$であり、

となる。したがって$\ker q\subseteq\ker t$であり、商の普遍性から$t$は$q$の像$A'+Rx$上の線形写像を誘導する。この写像は$f'$を延長する。$x\notin A'$なので$A'\subsetneq A'+Rx$となり、$(A',f')$の極大性に反する。よって$A'=B$である。一般の単射$i\colon A\to B$には$i(A)$上の写像$f\circ i^{-1}$を延長すればよい。▨

証明. 入射$R$-加群$E$、$r\ne0$および$d\in E$を取る。整域なので$rR\to E$、$ra\mapsto ad$は線形写像として定まる。入射性によって延長$g\colon R\to E$が存在し、$rg(1)=g(r)=d$となる。▨

証明. 非零イデアル$I=rR$から可除加群$D$への写像$f$に対し、$rd=f(r)$となる$d\in D$を取れば$a\mapsto ad$が延長になる。零イデアルからの写像も零写像によって$R$全体へ延長することができる。したがって定理 2.1により、可除加群は入射加群である。入射加群が可除であることは命題 3.2による。▨

証明.$\Z$は単項イデアル整域なので、命題 3.3を$R=\Z$に適用する。▨

証明.$r\ne0$と$d+N\in D/N$を取り、$re=d$となる$e\in D$を選ぶ。$r(e+N)=d+N$であるから、$D/N$は可除である。▨

証明. 左イデアル$I\subseteq R$と線形写像$f\colon I\to D$を取る。$I=0$の場合は零写像で延長する。$I\ne0$の場合は$a\in I\setminus\{0\}$を固定し、可除性によって$ad=f(a)$を満たす$d\in D$を取る。任意の$b\in I$に対し、可換性と線形性から

となる。仮定より$f(b)=bd$であり、$r\mapsto rd$は$f$の延長である。定理 2.1により$D$は入射的である。分数体では非零元による乗法が可逆なので、可除性と零化に関する仮定の両方が成り立つ。▨

証明.$\Q/\Z$は例 3.7により入射$\Z$-加群である。もとの短完全列をアーベル群の列とみなし、命題 1.2 条件 (b)を適用すると、指標の列は完全である。右加群の短完全列にも同じ結果を適用する。▨

証明.主張 (1)を示す。加法群としての巡回部分群$\Z m\subseteq M$を取る。$m$の位数が有限の$n\ge2$ならば$m\mapsto1/n+\Z$は$\Z m\to\Q/\Z$の準同型を定める。位数が無限ならば$m\mapsto1/2+\Z$が準同型を定める。いずれも$m$の像は非零であり、$\Q/\Z$の入射性によって$M$全体への加法群準同型$\chi$に延長することができる。

主張 (2)を示す。もとの列が完全ならば$g\circ f=0$なので$\im g^+\subseteq\ker f^+$である。$\chi\in\ker f^+$を取ると、$\chi$は$\im f=\ker g$上で零になる。したがって$\chi$は$B/\ker g\cong\im g$上の指標を誘導する。この指標を$C$へ延長したものを$\psi$とすれば、$\chi=\psi\circ g=g^+(\psi)$である。

逆に指標の列が完全であると仮定する。$f^+\circ g^+=0$なので、任意の$a\in A$と$\psi\in C^+$について$\psi(g(f(a)))=0$となる。主張 (1)によって$g(f(a))=0$であり、$\im f\subseteq\ker g$を得る。もし$b\in\ker g\setminus\im f$が存在すれば、商アーベル群$B/\im f$の非零元$b+\im f$を零にしない指標が存在する。この指標と商写像との合成を$\chi\in B^+$とすると、$f^+(\chi)=0$かつ$\chi(b)\ne0$である。一方、指標の列の完全性により$\chi=\psi\circ g$となる$\psi\in C^+$が存在し、$g(b)=0$から$\chi(b)=0$となる。よって$b\in\ker g\setminus\im f$は存在せず、$\ker g=\im f$である。右加群に対しても、同じ加法群の議論を適用する。▨

証明.§E6.12 命題 15.3を右$R$-加群$A$とアーベル群$D$に適用する。したがって同命題の同型$\Phi_F$と、左$R$-線形写像$u\colon F\to F'$に関する自然性が、そのまま主張の対応と等式を与える。▨

証明.命題 5.1を右正則加群$A=R$に適用し、単位同型§E6.12 命題 13.1 (2)と合成すると、左$R$-加群$F$について自然な同型

を得る。この対応は$v\mapsto(x\mapsto v(x)(1))$であり、その逆は$\lambda\mapsto(x\mapsto(s\mapsto\lambda(sx)))$である。可除性と命題 3.4により$D$は入射アーベル群なので、単射$i\colon A\to B$に沿う右辺の制限写像は全射である。自然性によって左辺の制限写像も全射になる。よって$\Hom_\Z(R,D)$は入射左$R$-加群である。▨

証明. アーベル群$M$の指標の集合$J=\Hom_\Z(M,\Q/\Z)$を取り、

と定める。$j$は加法群準同型であり、命題 4.3 (1)によって単射である。$\Q/\Z$の入射性と命題 1.3 (1)により$D$は入射アーベル群であり、命題 3.2によって可除である。▨

証明.補題 5.3によって、$M$の加法群から可除アーベル群への単射$j\colon M\to D$を取る。$E=\Hom_\Z(R,D)$と置く。命題 5.1を右正則加群$A=R$と左$R$-加群$F=M$に適用し、§E6.12 命題 13.1 (2)と合成して得られる同型のもとで、$j$に対応する線形写像を$\iota\colon M\to E$とする。具体的には

である。$\iota(m)=0$ならば$j(m)=\iota(m)(1)=0$となり、$j$の単射性から$m=0$を得る。$E$は命題 5.2により入射的である。▨

証明. 右$R$-加群の単射$u\colon A\to B$を取る。指標加群の完全性命題 4.2と完全性の検出命題 4.3 (2)により、$u\otimes1_F$が単射であることと、$(u\otimes1_F)^+$が全射であることは同値である。§E6.12 命題 16.2の自然同型

の下で、$(u\otimes1_F)^+$は制限写像

に対応する。すべての単射$u$についてこの写像が全射となることは、$F^+$の右入射性である。▨

証明. 左$R$-加群$F$を取る。命題 5.1に$D=\Q/\Z$を代入すると

を得る。対応する写像を$\Phi_A,\Phi_B$と書くと、$\lambda\in(B\otimes_RF)^+$、$x\in F$、$a\in A$に対して

となる。したがって指標加群の完全性と完全性の検出により、$f\otimes1_F$の単射性は$\Hom_R(F,f^+)$の全射性と同値である。

$f$が普遍単射ならば、$F=A^+$として恒等写像$1_{A^+}$を持ち上げると、$f^+s=1_{A^+}$となる$s\colon A^+\to B^+$を得る。逆にこのような$s$が存在すれば、任意の$F$について$\Hom_R(F,s)$は$\Hom_R(F,f^+)$の右逆となる。よってすべての$f\otimes1_F$は単射である。▨

証明.(a)$\Rightarrow$(b)を示す。$x\in M\setminus\{0\}$に対して部分加群$Rx$は非零なので、$Rx\cap N$の非零元を取ればよい。

(b)$\Rightarrow$(a)を示す。非零部分加群$L\subseteq M$の非零元$x$を取り、$rx\in N\setminus\{0\}$となる$r\in R$を選ぶ。$rx\in L\cap N$なので$L\cap N\ne0$である。

(a)$\Rightarrow$(c)を示す。$f|_N$が単射ならば$\ker f\cap N=0$である。$N$の本質性から$\ker f=0$となるので、$f$は単射である。

(c)$\Rightarrow$(a)を示す。$L\subseteq M$が$L\cap N=0$を満たす部分加群ならば、商写像$q\colon M\to M/L$の$N$への制限は単射である。仮定から$q$は単射なので、$L=\ker q=0$である。▨

証明.主張 (1)を示す。非零部分加群$L\subseteq M$に対して$L\cap B\ne0$であり、$A$の本質性から$(L\cap B)\cap A\ne0$となる。$A\subseteq B$なので$L\cap A\ne0$である。

主張 (2)を示す。$N_1,N_2\subseteq M$が本質的であり、$L\subseteq M$が非零部分加群ならば、$L\cap N_1\ne0$である。$N_2$の本質性から$(L\cap N_1)\cap N_2\ne0$となるので、$N_1\cap N_2$は本質的である。有限族については帰納法で従う。空の共通部分$M$も$M$で本質的である。

主張 (3)を示す。非零部分加群$L\subseteq M$を取る。$f(L)=0$ならば$L\subseteq f^{-1}(N)$である。$f(L)\ne0$ならば、$f(L)\cap N$の非零元$y$と、$f(x)=y$を満たす$x\in L$を取る。$x$は$L\cap f^{-1}(N)$の非零元である。したがって、どちらの場合も$L\cap f^{-1}(N)\ne0$となる。

主張 (4)を示す。座標射影を$\pi_i\colon\bigoplus_{j\in I}M_j\to M_i$とする。主張 (3)により各$\pi_i^{-1}(N_i)$は本質的であり、有限族について

が成り立つ。主張 (2)によって結論を得る。$I=\varnothing$の場合にも両辺は零加群である。▨

証明.$\mathcal C=\{C\subseteq M:C\text{ は部分加群であり }A\cap C=0\}$と置く。$0\in\mathcal C$であり、$\mathcal C$の空でない鎖の和集合は部分加群である。この和集合と$A$の共通部分の元は、鎖の一つの元と$A$の共通部分に属するので零である。したがって和集合は$\mathcal C$に属する。空の鎖には$0$が上界となるので、Zorn の補題§E1.20 定理 2.1 (3)により極大元$C$が存在する。

$\ker q\cap A=C\cap A=0$なので、$q$の$A$への制限は単射である。$L\subseteq M/C$が$L\cap q(A)=0$を満たす部分加群であるとし、$D=q^{-1}(L)$と置く。$D$は$C$を含む部分加群である。$a\in D\cap A$ならば$q(a)\in L\cap q(A)=0$なので、$a\in C\cap A=0$となる。よって$D\in\mathcal C$であり、$C$の極大性から$D=C$である。$q$は全射なので$L=q(D)=q(C)=0$となり、$q(A)$は$M/C$で本質的である。

$q^{-1}(q(A))=A+C$なので、命題 7.3 (3)により$A+C$は$M$で本質的である。$A\cap C=0$から$A+C=A\oplus C$である。▨

証明.(a)$\Rightarrow$(b)を示す。本質拡大$i\colon M\to X$を取る。命題 1.2 条件 (d)により、$X=i(M)\oplus C$となる部分加群$C$が存在する。$C\cap i(M)=0$と$i(M)$の本質性から$C=0$である。したがって$i$は同型である。

(b)$\Rightarrow$(a)を示す。$M$を部分加群として含む左$R$-加群$X$を取る。補題 7.5を$X$とその部分加群$M$に適用し、$M\cap C=0$を満たす極大な部分加群$C\subseteq X$を取ると、商写像$q\colon X\to X/C$の制限$q|_M\colon M\to X/C$は本質拡大である。仮定から$q|_M$は同型である。任意の$x\in X$に対して$q(x)=q(m)$となる$m\in M$が存在するので$X=M+C$である。$M\cap C=0$だから$X=M\oplus C$となる。$X$は任意なので、命題 1.2 条件 (d)によって$M$は入射的である。▨

証明.$H\subseteq X$を本質拡大とする。$I$の入射性によって包含写像$H\to I$を$f\colon X\to I$へ延長する。$f|_H$は単射なので、命題 7.2 条件 (c)により$f$は単射である。命題 7.3 (1)によって$M$は$X$で本質的である。$f$が$M$上恒等であることから$M$は$f(X)$で本質的である。$H\subseteq f(X)\subseteq I$と$H$の極大性から$f(X)=H$となる。

$x\in X$に対して$f(x)\in H$であり、$f$は$H$上恒等なので$f(f(x))=f(x)$である。$f$の単射性から$x=f(x)\in H$となる。したがって$X=H$である。したがって$H$は真の本質拡大を持たず、命題 8.1により入射的である。▨