射影分解と比較定理 | 環論入門

1 分解の存在

定義 1.1 (分解). $R$ を単位元をもつ結合環、 $M$ を左 $R$ -加群とする。左 $R$ -加群の完全列

\cdots\longrightarrow P_2\xrightarrow{d_2^P}P_1 \xrightarrow{d_1^P}P_0\xrightarrow{\varepsilon_P}M\longrightarrow0

を $M$ の分解 (resolution) といい、写像 $\varepsilon_P$ を添加射 (augmentation) という。すべての $n\in\N$ に対して $P_n$ が射影加群である分解を射影分解 (projective resolution)、すべての $P_n$ が自由加群である分解を自由分解 (free resolution) という。

分解に付随する鎖複体 $P_\bullet$ は、非負次数に $P_n$ を置き、負次数の加群と次数 $0$ 以下の微分を零とした複体である。分解を $P_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_P}M$ とも書く。

命題 1.2. $R$ を単位元をもつ結合環、 $P_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_P}M$ を左 $R$ -加群 $M$ の分解とする。このとき、添加射は同型

H_0(P_\bullet)\longrightarrow M,\qquad [x]\longmapsto\varepsilon_P(x)

を誘導し、 $n\ne0$ では $H_n(P_\bullet)=0$ である。

証明. 分解の完全性より $\varepsilon_P$ は全射であり、 $\ker\varepsilon_P=\im d_1^P$ である。したがって商加群 $H_0(P_\bullet)=P_0/\im d_1^P$ から $M$ への誘導写像は全射であり、その核は零である。正次数では $\ker d_n^P=\im d_{n+1}^P$ であるためホモロジーは零であり、負次数では複体の項が零である。▨

定理 1.3. $R$ を単位元をもつ結合環とする。このとき、任意の左 $R$ -加群 $M$ は自由分解をもち、したがって射影分解をもつ。

証明. $K_{-1}=M$ とおく。§E6.14 系 1.2により、各 $n\in\N$ について自由左 $R$ -加群 $F_n$ からの全射 $q_n\colon F_n\to K_{n-1}$ を取り、 $K_n=\ker q_n$ とおくことを帰納的に繰り返す。 $j_n\colon K_n\hookrightarrow F_n$ を包含とし、

\varepsilon_F=q_0,\qquad d_n^F=j_{n-1}\circ q_n\quad(n\ge1)

と定める。

$q_n$ は全射、 $j_n$ は単射であるから、 $\im d_1^F=K_0=\ker\varepsilon_F$ であり、 $n\ge1$ に対して

\im d_{n+1}^F=j_n(K_n)=\ker q_n=\ker d_n^F

が成り立つ。ここでは $K_n$ を $F_n$ の部分加群とみなしている。よって得られた列は完全であり、各項が自由であるから自由分解である。§E6.14 系 1.2により各 $F_n$ は射影的でもある。▨

2 比較定理

定義 2.1 (分解の射). $R$ を単位元をもつ結合環、 $P_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_P}M$ と $Q_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_Q}N$ を左 $R$ -加群の分解、 $f\colon M\to N$ を左 $R$ -線形写像とする。鎖写像 $\varphi\colon P_\bullet\to Q_\bullet$ が

\varepsilon_Q\circ\varphi_0=f\circ\varepsilon_P

を満たすとき、 $\varphi$ を $f$ を持ち上げる分解の射 (morphism of resolutions) という。

定理 2.2 (比較定理). $R$ を単位元をもつ結合環、 $P_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_P}M$ を左 $R$ -加群 $M$ の射影分解、 $Q_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_Q}N$ を左 $R$ -加群 $N$ の分解とする。このとき、任意の左 $R$ -線形写像 $f\colon M\to N$ に対して、次が成り立つ。

$f$ を持ち上げる分解の射 $\varphi\colon P_\bullet\to Q_\bullet$ が存在する。
$f$ を持ち上げる二つの分解の射 $\varphi,\psi$ は鎖ホモトピックである。すなわち左 $R$ -線形写像 $h_n\colon P_n\to Q_{n+1}$ が $n\in\N$ について存在し、 $\varphi_0-\psi_0=d_1^Q\circ h_0,$ $\varphi_n-\psi_n=d_{n+1}^Q\circ h_n+h_{n-1}\circ d_n^P \qquad(n\ge1)$ が成り立つ。

証明. 全射 $\varepsilon_Q\colon Q_0\to N$ に $P_0$ の射影性を適用し、 $\varepsilon_Q\varphi_0=f\varepsilon_P$ を満たす $\varphi_0\colon P_0\to Q_0$ を取る。証明中では $P_{-1}=M$ 、 $Q_{-1}=N$ 、 $d_0^P=\varepsilon_P$ 、 $d_0^Q=\varepsilon_Q$ 、 $\varphi_{-1}=f$ とおく。

$n\ge1$ とし、 $\varphi_0,\ldots,\varphi_{n-1}$ が構成され、 $0\le k<n$ で $d_k^Q\varphi_k=\varphi_{k-1}d_k^P$ が成り立つとする。このとき

d_{n-1}^Q\varphi_{n-1}d_n^P =\varphi_{n-2}d_{n-1}^Pd_n^P=0

である。したがって $\varphi_{n-1}d_n^P$ は $\ker d_{n-1}^Q$ に値を取る。 $Q$ の完全性より微分が誘導する写像 $Q_n\to\ker d_{n-1}^Q$ は全射である。 $P_n$ の射影性により、 $d_n^Q\varphi_n=\varphi_{n-1}d_n^P$ を満たす $\varphi_n$ が存在する。帰納法により、すべての非負次数で両立する写像が得られ、主張 (1)が成り立つ。

$f$ を持ち上げる二つの分解の射 $\varphi,\psi$ を取り、 $\theta_n=\varphi_n-\psi_n$ とおく。 $\varepsilon_Q\theta_0=0$ であるから、 $\theta_0$ は $\ker\varepsilon_Q$ に値を取る。完全性から得られる全射 $Q_1\to\ker\varepsilon_Q$ に $P_0$ の射影性を適用すると、 $d_1^Qh_0=\theta_0$ を満たす $h_0\colon P_0\to Q_1$ が得られる。 $h_{-1}\colon M\to Q_0$ は零写像とする。

$n\ge1$ とし、 $h_0,\ldots,h_{n-1}$ が構成され、 $0\le k<n$ で $\theta_k=d_{k+1}^Qh_k+h_{k-1}d_k^P$ が成り立つとする。写像

t_n=\theta_n-h_{n-1}d_n^P\colon P_n\longrightarrow Q_n

について、鎖写像の条件と帰納法の仮定から

\begin{aligned} d_n^Qt_n &=\theta_{n-1}d_n^P-d_n^Qh_{n-1}d_n^P\\ &=(\theta_{n-1}-d_n^Qh_{n-1})d_n^P\\ &=h_{n-2}d_{n-1}^Pd_n^P=0 \end{aligned}

を得る。全射 $Q_{n+1}\to\ker d_n^Q$ に $P_n$ の射影性を適用し、 $d_{n+1}^Qh_n=t_n$ を満たす $h_n$ を取る。すべての $n\in\N$ について所要の等式が成り立ち、負次数に零写像を置けば $P_\bullet$ と $Q_\bullet$ の鎖ホモトピーとなる。これで主張 (2)は示された。▨

系 2.3. $R$ を単位元をもつ結合環、 $P_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_P}M$ と $Q_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_Q}M$ を左 $R$ -加群 $M$ の射影分解とする。このとき、 $\id_M$ を持ち上げる分解の射 $u\colon P_\bullet\to Q_\bullet$ と $v\colon Q_\bullet\to P_\bullet$ が存在し、

v\circ u\simeq\id_{P_\bullet},\qquad u\circ v\simeq\id_{Q_\bullet}

が成り立つ。したがって二つの射影分解は鎖ホモトピー同値である。

証明.定理 2.2 (1)を両方向に適用して $u,v$ を取る。 $vu$ と $\id_{P_\bullet}$ はともに $\id_M$ を持ち上げるため、定理 2.2 (2)により鎖ホモトピックである。 $uv$ と $\id_{Q_\bullet}$ についても、同じ主張を $Q_\bullet$ から $Q_\bullet$ への射に適用して結論を得る。▨

例 2.4. 正整数 $m$ に対し、商写像 $\varepsilon_m\colon\Z\to\Z/m\Z$ を添加射とする列

0\longrightarrow\Z\xrightarrow{\times m}\Z \xrightarrow{\varepsilon_m}\Z/m\Z\longrightarrow0

は自由分解である。実際、 $m$ 倍写像は単射であり、その像 $m\Z$ は $\varepsilon_m$ の核に等しい。次数 $1,0$ の項を $\Z$ とし、ほかの項を零とした複体を $P(m)_\bullet$ と書く。

自然な全射 $f\colon\Z/6\Z\to\Z/2\Z$ の持上げとして、 $P(6)_\bullet\to P(2)_\bullet$ の射

\varphi_0=\times1,\quad\varphi_1=\times3, \qquad \psi_0=\times3,\quad\psi_1=\times9

がある。どちらも次数 $0$ で $f$ を誘導し、微分との可換性は $2\cdot3=1\cdot6$ と $2\cdot9=3\cdot6$ である。写像 $h_0\colon\Z\to\Z$ を $-1$ 倍写像とし、ほかの $h_n$ を零とすると、

\varphi_0-\psi_0=\times(-2)=d_1^{P(2)}h_0, \qquad \varphi_1-\psi_1=\times(-6)=h_0d_1^{P(6)}

となる。したがって、異なる二つの持上げは鎖ホモトピックである。

3 非負次数の射影複体

補題 3.1. $R$ を単位元をもつ結合環とし、 $C,D$ を非負次数に集中する左 $R$ 加群の鎖複体とする。各整数 $n$ に対して $C_n,D_n$ が射影的であると仮定する。

$C$ が非輪状ならば、 $C$ は可縮である。
鎖写像 $f\colon C\to D$ が擬同型ならば、 $f$ は鎖ホモトピー同値である。任意の右 $R$ 加群 $N$ と任意の左 $R$ 加群 $M$ に対して、アーベル群の複体の間に誘導される写像 $1_N\otimes_R f\colon N\otimes_R C\longrightarrow N\otimes_R D, \qquad f^*\colon\Hom_R(D,M)\longrightarrow\Hom_R(C,M)$ も、それぞれ鎖ホモトピー同値、余鎖ホモトピー同値である。したがって、これらの写像は、すべての整数 $n$ に対して $H_n(N\otimes_R C)\xrightarrow{\ \cong\ }H_n(N\otimes_R D), \qquad H^n(\Hom_R(D,M))\xrightarrow{\ \cong\ }H^n(\Hom_R(C,M))$ を誘導する。ここで $\Hom_R(C,M)^n=\Hom_R(C_n,M)$ の微分は $\delta^n(\varphi)=\varphi\circ d^C_{n+1}$ とする。 $R$ が可換ならば、任意の $R$ 加群 $M$ に対して $f\otimes_R1_M\colon C\otimes_R M\to D\otimes_R M$ も鎖ホモトピー同値であり、全次数でホモロジーの同型を誘導する。

非負次数に集中するという仮定を、 $C,D$ が下に有界であるという仮定に置き換えても、すべての結論が成り立つ。特に、各項が自由加群である場合にも、結論は成り立つ。

証明. $C$ が非輪状であるとすると、増大写像 $C_0\to0$ を付けた列

\cdots\longrightarrow C_2\longrightarrow C_1\longrightarrow C_0\longrightarrow0

は零加群の射影分解である。恒等写像 $\id_C$ と零写像 $0\colon C\to C$ は、いずれも零加群の唯一の射を持ち上げる。比較定理の一意性定理 2.2 (2)により、 $\id_C$ と $0$ は鎖ホモトピックである。したがって、各整数 $n$ に対して左 $R$ 線形写像 $s_n\colon C_n\to C_{n+1}$ が存在し、

d^C_{n+1}s_n+s_{n-1}d^C_n=\id_{C_n}

が成り立つ。よって $C$ は可縮である。

$f\colon C\to D$ を擬同型とする。写像錐 $E=\operatorname{Cone}(f)$ は

E_n=D_n\oplus C_{n-1},\qquad \partial_n(y,x)=(d^D_ny+f_{n-1}x,-d^C_{n-1}x)

で与えられる。§E6.14 命題 2.1 (1)により、各 $E_n$ は射影的である。また、 $E$ は非負次数に集中し、§E6.34 命題 3.3により非輪状である。主張 (1)により、 $E$ の縮約 $S_n\colon E_n\to E_{n+1}$ が存在する。

直和の標準包含と標準射影によって $S_n$ の成分を取り、

S_n(y,x)=\bigl(a_n(y)+b_n(x),\ g_n(y)-h_{n-1}(x)\bigr)

と書く。各成分は

a_n\colon D_n\to D_{n+1},\quad b_n\colon C_{n-1}\to D_{n+1},\quad g_n\colon D_n\to C_n,\quad h_n\colon C_n\to C_{n+1}

であり、いずれも左 $R$ 線形である。縮約の等式 $\partial_{n+1}S_n+S_{n-1}\partial_n=\id_{E_n}$ の $D_n$ から $C_{n-1}$ への成分を取ると、

-d^C_ng_n+g_{n-1}d^D_n=0

となる。よって $g=(g_n)_n\colon D\to C$ は鎖写像である。同じ等式の $D_n$ から $D_n$ への成分と、次数 $n+1$ における $C_n$ から $C_n$ への成分から、

\begin{aligned} \id_{D_n}-f_ng_n&=d^D_{n+1}a_n+a_{n-1}d^D_n,\\ \id_{C_n}-g_nf_n&=d^C_{n+1}h_n+h_{n-1}d^C_n \end{aligned}

を得る。したがって、 $g$ は $f$ の鎖ホモトピー逆である。

$N$ を右 $R$ 加群とする。テンソル積の誘導写像は合成と恒等写像を保つ§E6.12 命題 12.1。また、誘導写像は各変数について加法的であるから、鎖ホモトピーの二つの等式から

\begin{aligned} \id_{N\otimes_R D}-(1_N\otimes_R f)(1_N\otimes_R g) &=d_{N\otimes_R D}(1_N\otimes_R a)+(1_N\otimes_R a)d_{N\otimes_R D},\\ \id_{N\otimes_R C}-(1_N\otimes_R g)(1_N\otimes_R f) &=d_{N\otimes_R C}(1_N\otimes_R h)+(1_N\otimes_R h)d_{N\otimes_R C} \end{aligned}

を得る。よって $1_N\otimes_R g$ は $1_N\otimes_R f$ の鎖ホモトピー逆である。

$M$ を左 $R$ 加群とし、 $h$ の前合成によって

K_C^n\colon\Hom_R(C_n,M)\longrightarrow\Hom_R(C_{n-1},M), \qquad K_C^n(\varphi)=\varphi\circ h_{n-1}

を定める。任意の $\varphi\in\Hom_R(C_n,M)$ に対して

\begin{aligned} (\delta^{n-1}K_C^n+K_C^{n+1}\delta^n)(\varphi) &=\varphi\circ h_{n-1}\circ d^C_n +\varphi\circ d^C_{n+1}\circ h_n\\ &=\varphi-\varphi\circ g_n\circ f_n \end{aligned}

となる。同様に、 $K_D^n(\psi)=\psi\circ a_{n-1}$ と置くと

\delta K_D+K_D\delta=\id_{\Hom_R(D,M)}-g^*f^*

となる。したがって、 $f^*g^*$ と $g^*f^*$ はそれぞれ恒等写像と余鎖ホモトピックであるから、 $g^*$ は $f^*$ の余鎖ホモトピー逆である。ホモトピーの式をサイクルまたはコサイクルへ適用すると、二つの合成と恒等写像との差は境界または余境界になる。よって、ホモロジーおよびコホモロジーのそれぞれについて、誘導される写像は互いに逆である。 $R$ が可換な場合には、鎖ホモトピーの二つの式へ $-\otimes_R M$ を適用することで、 $g\otimes_R1_M$ が $f\otimes_R1_M$ の鎖ホモトピー逆となる。

$C,D$ が下に有界である場合には、整数 $r$ を $n<r$ ならば $C_n=D_n=0$ となるように取る。 $C'_n=C_{n+r}$ 、 $D'_n=D_{n+r}$ と置き、微分と鎖写像の添字を同じだけ移すと、非負次数に集中する複体とその間の鎖写像を得る。非負次数に集中する場合の結論を適用して添字を戻すと、元の複体についても縮約とホモトピー逆を得る。自由加群は§E6.14 系 1.2により射影的である。▨

4 馬蹄補題

定理 4.1 (馬蹄補題). $R$ を単位元をもつ結合環とし、左 $R$ -加群の短完全列

0\longrightarrow A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\longrightarrow0

と射影分解 $P_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_P}A$ 、 $Q_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_Q}C$ を与える。このとき、 $B$ の射影分解 $E_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_E}B$ と、 $i,p$ をそれぞれ持ち上げる分解の射 $j\colon P_\bullet\to E_\bullet$ 、 $r\colon E_\bullet\to Q_\bullet$ が存在して、

0\longrightarrow P_\bullet\xrightarrow{j}E_\bullet \xrightarrow{r}Q_\bullet\longrightarrow0

は各次数で分裂する短完全列となる。さらに各 $n\in\N$ で

E_n=P_n\oplus Q_n,\qquad j_n(x)=(x,0),\qquad r_n(x,y)=y

とすることができる。

証明. $P_\bullet$ と $Q_\bullet$ の各微分を、その像である核への全射と包含の合成に分解する。すなわち $K_{-1}^A=A$ 、 $K_{-1}^C=C$ とおき、添加射を $a_0\colon P_0\to K_{-1}^A$ 、 $c_0\colon Q_0\to K_{-1}^C$ と書く。 $n\in\N$ に対し

K_n^A=\ker a_n,\quad K_n^C=\ker c_n, \qquad a_{n+1}\colon P_{n+1}\twoheadrightarrow K_n^A, \quad c_{n+1}\colon Q_{n+1}\twoheadrightarrow K_n^C

とし、後二つの写像は微分の終域を制限して得る。完全性により、これらは全射である。

主張 4.1.1. 左 $R$ -加群の短完全列 $0\to U\xrightarrow{\alpha}V\xrightarrow{\beta}W\to0$ 、全射 $a\colon P\to U$ 、 $c\colon Q\to W$ を与え、 $Q$ は射影的とする。このとき、次の二つの等式を満たす全射 $b\colon P\oplus Q\to V$ が存在する。

b(x,0)=\alpha a(x),\qquad \beta b(x,y)=c(y).

この $b$ に対して、標準包含と標準射影の制限による列

0\longrightarrow\ker a\longrightarrow\ker b \longrightarrow\ker c\longrightarrow0

は短完全列である。

証明. $Q$ の射影性により、 $\beta\ell=c$ を満たす $\ell\colon Q\to V$ を取る。 $b(x,y)=\alpha a(x)+\ell(y)$ と定めると、これは左 $R$ -線形写像であり、次の図式は可換である。

図 4.1.1

上段は標準包含と標準射影による短完全列である。§E6.8 命題 2.1を適用すると、 $\coker a=\coker c=0$ であるから

0\longrightarrow\ker a\longrightarrow\ker b\longrightarrow\ker c \longrightarrow0\longrightarrow\coker b\longrightarrow0

は完全である。よって $\coker b=0$ 、すなわち $b$ は全射であり、核の列も短完全列である。▨

$K_{-1}^B=B$ 、 $i_{-1}=i$ 、 $p_{-1}=p$ とおく。 $n\in\N$ とし、短完全列

0\longrightarrow K_{n-1}^A\xrightarrow{i_{n-1}}K_{n-1}^B \xrightarrow{p_{n-1}}K_{n-1}^C\longrightarrow0

が構成されているとする。主張 4.1.1を $a_n,c_n$ に適用して、 $E_n=P_n\oplus Q_n$ からの全射 $b_n\colon E_n\to K_{n-1}^B$ を取り、 $K_n^B=\ker b_n$ とおく。標準包含 $j_n\colon P_n\to E_n$ と標準射影 $r_n\colon E_n\to Q_n$ は核上の写像 $i_n,p_n$ を誘導し、

0\longrightarrow K_n^A\xrightarrow{i_n}K_n^B \xrightarrow{p_n}K_n^C\longrightarrow0

は短完全列となる。この操作を $n=0$ から繰り返す。

$k_n^A\colon K_n^A\hookrightarrow P_n$ 、 $k_n^B\colon K_n^B\hookrightarrow E_n$ 、 $k_n^C\colon K_n^C\hookrightarrow Q_n$ を包含とし、

\varepsilon_E=b_0,\qquad d_n^E=k_{n-1}^B b_n\quad(n\ge1)

と定める。 $b_n$ の全射性と $k_n^B$ の単射性より

\im d_1^E=\ker\varepsilon_E, \qquad \im d_{n+1}^E=K_n^B=\ker d_n^E\quad(n\ge1)

である。したがって $E_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_E}B$ は分解である。§E6.14 命題 2.1 (1)により各 $E_n=P_n\oplus Q_n$ は射影的である。

構成により $b_nj_n=i_{n-1}a_n$ 、 $p_{n-1}b_n=c_nr_n$ であり、核への制限から

k_{n-1}^Bi_{n-1}=j_{n-1}k_{n-1}^A, \qquad r_{n-1}k_{n-1}^B=k_{n-1}^Cp_{n-1} \quad(n\ge1)

である。したがって

d_n^Ej_n=k_{n-1}^Bi_{n-1}a_n=j_{n-1}d_n^P, \qquad r_{n-1}d_n^E=k_{n-1}^Cp_{n-1}b_n=d_n^Qr_n

となり、 $j,r$ は鎖写像である。次数 $0$ の構成は $\varepsilon_Ej_0=i\varepsilon_P$ 、 $p\varepsilon_E=\varepsilon_Qr_0$ を与える。各次数の列は直和の標準的な短完全列であり、 $y\mapsto(0,y)$ が $r_n$ の切断となる。▨

例 4.2. 左 $\Z$ -加群の短完全列

0\longrightarrow\Z/2\Z\xrightarrow{i}\Z/4\Z \xrightarrow{p}\Z/2\Z\longrightarrow0, \qquad i(\bar x)=\overline{2x},\quad p(\bar y)=\bar y

に対し、両端の自由分解を $\Z\xrightarrow{\times2}\Z$ とする。このとき、中央の自由分解として、

0\longrightarrow\Z^2\xrightarrow{D}\Z^2 \xrightarrow{\varepsilon}\Z/4\Z\longrightarrow0, \qquad D(a,b)=(2a-b,2b),\quad \varepsilon(x,y)=\overline{2x+y}

を取ることができる。 $D$ は単射であり、 $\varepsilon$ は全射である。 $\varepsilon(x,y)=0$ ならば $y=2b$ と書くことができ、 $x+b$ は偶数である。 $a=(x+b)/2$ とおけば $(x,y)=D(a,b)$ となる。逆に $\varepsilon(D(a,b))=\overline{4a}=0$ であるから、列は完全である。

次数 $1,0$ のいずれでも $j(x)=(x,0)$ 、 $r(x,y)=y$ とすれば、 $Dj(a)=j(2a)$ 、 $rD(a,b)=2r(a,b)$ であり、添加射も $i,p$ と両立する。したがって分解の短完全列は次数ごとに分裂する。

一方、 $p$ は加群準同型としての切断をもたない。実際、 $p(s(\bar1))=\bar1$ を満たす元 $s(\bar1)\in\Z/4\Z$ は奇数の剰余類であるため、 $2s(\bar1)=\bar2\ne0$ であるが、準同型ならば $2s(\bar1)=s(\bar0)=0$ でなければならない。分解の射 $r$ に鎖写像としての切断があれば、 $H_0$ を取ることで $p$ の切断が得られるため、そのような切断も存在しない。ここでは命題 1.2の同型と、ホモロジー誘導写像の合成則§E6.33 命題 2.4を用いた。

5 演習

問題 5.1. $M=\Z/2\Z$ とする。 $D_0=M$ 、 $D_n=0$ （ $n\ne0$ ）、微分はすべて零とし、添加射 $\varepsilon_D=\id_M$ を付ける。一方、 $P_1=P_0=\Z$ 、 $d_1^P=\times2$ 、ほかの項と微分は零とし、商写像 $\varepsilon_P\colon\Z\to M$ を添加射とする。

$D_\bullet$ と $P_\bullet$ がともに $M$ の分解であり、 $P_\bullet$ は自由分解であることを確認せよ。 $\id_M$ を持ち上げる分解の射 $D_\bullet\to P_\bullet$ が存在しないことを示し、比較定理で満たされていない仮定を特定せよ。

解答.

$D_\bullet$ では、連続する微分の合成は零であり、添加した列の非零部分は $0\to M\xrightarrow{\id_M}M\to0$ である。したがって、 $D_\bullet$ は $M$ の分解である。 $P_\bullet$ でも微分の合成は零であり、 $2$ 倍写像の単射性と $\ker\varepsilon_P=2\Z$ により添加した列は完全である。各項は自由 $\Z$ -加群であるため、 $P_\bullet$ は自由分解である。

鎖写像 $u\colon D_\bullet\to P_\bullet$ の非零となりうる成分は $u_0\colon M\to\Z$ だけである。次数 $1$ の鎖写像の等式は $d_1^Pu_1=u_0d_1^D=0$ であり、ほかの次数でも両辺は零である。しかし、§E6.34 例 1.10で示したように、 $M$ から $\Z$ への準同型はすべて零である。よって $u_0=0$ であり、添加射の条件 $\varepsilon_Pu_0=\id_M\varepsilon_D=\id_M$ は成り立たない。したがって、所要の分解の射は存在しない。

全射 $\varepsilon_P\colon\Z\to M$ に沿って $\id_M$ を持ち上げることができないため、 $D_0=M$ は射影加群ではない。したがって、比較定理の始域が射影分解であるという仮定が満たされていない。▨

§E6.35射影分解と比較定理

1 分解の存在

2 比較定理

3 非負次数の射影複体

4 馬蹄補題

5 演習

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