1 Weyl 解とレゾルベント 定義 1.1. − ∞ ≤ a < b ≤ ∞ -\infty\le a<b\le\infty − ∞ ≤ a < b ≤ ∞ p , q , w p,q,w p , q , w p , w > 0 p,w>0 p , w > 0 1 / p , q , w ∈ L l o c 1 ( a , b ) 1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b) 1/ p , q , w ∈ L loc 1 ( a , b )
H = L 2 ( ( a , b ) , w d x ; C ) , u [ 1 ] = p u ′ , ℓ u = − ( u [ 1 ] ) ′ + q u H=L^2((a,b),w\,dx;\C),\qquad
u^{[1]}=pu',\qquad \ell u=-(u^{[1]})'+qu H = L 2 (( a , b ) , w d x ; C ) , u [ 1 ] = p u ′ , ℓ u = − ( u [ 1 ] ) ′ + q u と置く。内積は⟨ f , g ⟩ w = ∫ a b f g ‾ w d x \langle f,g\rangle_w=\int_a^bf\overline g\,w\,dx ⟨ f , g ⟩ w = ∫ a b f g w d x ℓ / w \ell/w ℓ / w A A A §E13.31 定理 2.4 による。
z ∈ C ∖ R z\in\C\setminus\R z ∈ C ∖ R e e e ℓ u = z w u \ell u=zwu ℓ u = z w u e e e e e e Weyl 解 (Weyl solution )W ( u , v ) = u v [ 1 ] − u [ 1 ] v W(u,v)=uv^{[1]}-u^{[1]}v W ( u , v ) = u v [ 1 ] − u [ 1 ] v
補題 1.2. p , q , w p,q,w p , q , w p , w > 0 p,w>0 p , w > 0 1 / p , q , w ∈ L l o c 1 ( a , b ; R ) 1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b;\R) 1/ p , q , w ∈ L loc 1 ( a , b ; R ) z ∈ C ∖ R z\in\C\setminus\R z ∈ C ∖ R u a , u b u_a,u_b u a , u b W ( u a , u b ) ≠ 0 W(u_a,u_b)\ne0 W ( u a , u b ) = 0
証明. 極限点型端点では§E13.31 定理 1.5 により局所二乗可積分解の空間は一次元である。極限円型端点では全解が局所二乗可積分である。実零パラメータの基準解から作った一般化境界値について、同じスペクトルパラメータz z z u , v u,v u , v W ( u , v ) W(u,v) W ( u , v )
W ( u a , u b ) = 0 W(u_a,u_b)=0 W ( u a , u b ) = 0 D ( A ) D(A) D ( A ) A A A §E12.12 命題 3.3 に反する。▨
定理 1.3. p , q , w p,q,w p , q , w p , w > 0 p,w>0 p , w > 0 1 / p , q , w ∈ L l o c 1 ( a , b ; R ) 1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b;\R) 1/ p , q , w ∈ L loc 1 ( a , b ; R ) A A A z ∈ C ∖ R z\in\C\setminus\R z ∈ C ∖ R u a ( z , ⋅ ) , u b ( z , ⋅ ) u_a(z,\cdot),u_b(z,\cdot) u a ( z , ⋅ ) , u b ( z , ⋅ )
G z ( x , t ) = − u a ( z , min { x , t } ) u b ( z , max { x , t } ) W ( u a , u b ) G_z(x,t)=-\frac{u_a(z,\min\{x,t\})u_b(z,\max\{x,t\})}{W(u_a,u_b)} G z ( x , t ) = − W ( u a , u b ) u a ( z , min { x , t }) u b ( z , max { x , t }) について、すべてのf ∈ H f\in H f ∈ H
( ( A − z I ) − 1 f ) ( x ) = ∫ a b G z ( x , t ) f ( t ) w ( t ) d t ((A-zI)^{-1}f)(x)=\int_a^bG_z(x,t)f(t)w(t)\,dt (( A − z I ) − 1 f ) ( x ) = ∫ a b G z ( x , t ) f ( t ) w ( t ) d t がほとんど至る所で成り立つ。右辺は各x ∈ ( a , b ) x\in(a,b) x ∈ ( a , b )
証明. 分母が非零であることは補題 1.2 による。x = t x=t x = t x x x
− u a ( t ) u b [ 1 ] ( t ) − u a [ 1 ] ( t ) u b ( t ) W ( u a , u b ) = − 1 -\frac{u_a(t)u_b^{[1]}(t)-u_a^{[1]}(t)u_b(t)}{W(u_a,u_b)}=-1 − W ( u a , u b ) u a ( t ) u b [ 1 ] ( t ) − u a [ 1 ] ( t ) u b ( t ) = − 1 である。内部のコンパクト区間に台をもつf ∈ H f\in H f ∈ H t < x t<x t < x t > x t>x t > x f w f w f w u u u u [ 1 ] u^{[1]} u [ 1 ] ( ℓ − z w ) u = w f (\ell-zw)u=wf ( ℓ − z w ) u = w f f f f u u u u a u_a u a u b u_b u b u ∈ H u\in H u ∈ H u ∈ D ( A ) u\in D(A) u ∈ D ( A ) u = ( A − z I ) − 1 f u=(A-zI)^{-1}f u = ( A − z I ) − 1 f
各x x x G z ( x , ⋅ ) G_z(x,\cdot) G z ( x , ⋅ ) u a u_a u a u b u_b u b G z ( x , ⋅ ) ∈ H G_z(x,\cdot)\in H G z ( x , ⋅ ) ∈ H f ∈ H f\in H f ∈ H f n f_n f n f f f H H H x x x ( A − z I ) − 1 f n (A-zI)^{-1}f_n ( A − z I ) − 1 f n H H H ( A − z I ) − 1 f (A-zI)^{-1}f ( A − z I ) − 1 f ▨
定義 1.4. a a a p , q , w p,q,w p , q , w p , w > 0 p,w>0 p , w > 0 1 / p , q , w ∈ L l o c 1 ( a , b ; R ) 1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b;\R) 1/ p , q , w ∈ L loc 1 ( a , b ; R )
cos α u ( a ) − sin α u [ 1 ] ( a ) = 0 , α ∈ R \cos\alpha\,u(a)-\sin\alpha\,u^{[1]}(a)=0,\qquad \alpha\in\R cos α u ( a ) − sin α u [ 1 ] ( a ) = 0 , α ∈ R とし、右端には自己共役な分離型条件を固定する。基本解θ z , φ z \theta_z,\varphi_z θ z , φ z
( θ z ( a ) φ z ( a ) θ z [ 1 ] ( a ) φ z [ 1 ] ( a ) ) = ( cos α sin α − sin α cos α ) \begin{pmatrix}\theta_z(a)&\varphi_z(a)\\\theta_z^{[1]}(a)&\varphi_z^{[1]}(a)\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\-\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix} ( θ z ( a ) θ z [ 1 ] ( a ) φ z ( a ) φ z [ 1 ] ( a ) ) = ( cos α − sin α sin α cos α ) で正規化する。W ( θ z , φ z ) = 1 W(\theta_z,\varphi_z)=1 W ( θ z , φ z ) = 1 φ z \varphi_z φ z z z z
ψ z = θ z + m ( z ) φ z \psi_z=\theta_z+m(z)\varphi_z ψ z = θ z + m ( z ) φ z と正規化したときの係数m m m Weyl 関数 (Weyl function )φ z \varphi_z φ z
命題 1.5. a a a p , q , w p,q,w p , q , w p , w > 0 p,w>0 p , w > 0 1 / p , q , w ∈ L l o c 1 ( a , b ) 1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b) 1/ p , q , w ∈ L loc 1 ( a , b ) W ( θ z , φ z ) = 1 W(\theta_z,\varphi_z)=1 W ( θ z , φ z ) = 1 φ z \varphi_z φ z m m m m m m C ∖ R \C\setminus\R C ∖ R m ( z ‾ ) = m ( z ) ‾ m(\overline z)=\overline{m(z)} m ( z ) = m ( z )
ℑ m ( z ) = ℑ z ∫ a b ∣ ψ z ( x ) ∣ 2 w ( x ) d x \Im m(z)=\Im z\int_a^b|\psi_z(x)|^2w(x)\,dx ℑ m ( z ) = ℑ z ∫ a b ∣ ψ z ( x ) ∣ 2 w ( x ) d x が成り立つ。特に上半平面でℑ m > 0 \Im m>0 ℑ m > 0
G z ( x , t ) = φ z ( min { x , t } ) θ z ( max { x , t } ) + m ( z ) φ z ( x ) φ z ( t ) G_z(x,t)=\varphi_z(\min\{x,t\})\theta_z(\max\{x,t\})
+m(z)\varphi_z(x)\varphi_z(t) G z ( x , t ) = φ z ( min { x , t }) θ z ( max { x , t }) + m ( z ) φ z ( x ) φ z ( t ) と表される。
証明. W ( φ z , ψ z ) = − 1 W(\varphi_z,\psi_z)=-1 W ( φ z , ψ z ) = − 1 定理 1.3 により、核は表示された形に表される。流束系の係数行列は
( 0 1 / p q − z w 0 ) \begin{pmatrix}0&1/p\\q-zw&0\end{pmatrix} ( 0 q − z w 1/ p 0 ) であり、§E13.8 命題 5.1 により基本解とその流束はz z z a a a x x x z z z
z 0 ∉ R z_0\notin\R z 0 ∈ / R φ z 0 \varphi_{z_0} φ z 0 h ∈ H h\in H h ∈ H
F ( z 0 ) ≠ 0 , F ( z ) = ∫ a b φ z h w F(z_0)\ne0,\qquad F(z)=\int_a^b\varphi_z h w F ( z 0 ) = 0 , F ( z ) = ∫ a b φ z h w となるように選ぶことができる。もしすべての実コンパクト台h h h φ z 0 \varphi_{z_0} φ z 0 h h h φ z 0 = 0 \varphi_{z_0}=0 φ z 0 = 0
⟨ ( A − z I ) − 1 h , h ⟩ w = H h ( z ) + m ( z ) F ( z ) 2 \langle(A-zI)^{-1}h,h\rangle_w=H_h(z)+m(z)F(z)^2 ⟨( A − z I ) − 1 h , h ⟩ w = H h ( z ) + m ( z ) F ( z ) 2 であり、H h ( z ) H_h(z) H h ( z ) h , h h,h h , h F , H h F,H_h F , H h §E12.12 命題 1.6 (6) により左辺は正則なので、F ≠ 0 F\ne0 F = 0 m = ( ⟨ ( A − z I ) − 1 h , h ⟩ w − H h ) / F 2 m=(\langle(A-zI)^{-1}h,h\rangle_w-H_h)/F^2 m = (⟨( A − z I ) − 1 h , h ⟩ w − H h ) / F 2 z 0 z_0 z 0
実係数と実端点条件の下では、ψ z ‾ \overline{\psi_z} ψ z z ‾ \overline z z [ ψ z , ψ z ] [\psi_z,\psi_z] [ ψ z , ψ z ] − 2 i ℑ m ( z ) -2i\Im m(z) − 2 i ℑ m ( z ) ψ z ≠ 0 \psi_z\ne0 ψ z = 0 ▨
2 スペクトル測度と反転 定理 2.1. a a a p , q , w p,q,w p , q , w p , w > 0 p,w>0 p , w > 0 1 / p , q , w ∈ L l o c 1 ( a , b ) 1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b) 1/ p , q , w ∈ L loc 1 ( a , b ) A A A W ( θ z , φ z ) = 1 W(\theta_z,\varphi_z)=1 W ( θ z , φ z ) = 1 φ z \varphi_z φ z m m m ρ \rho ρ λ 0 ∈ R \lambda_0\in\R λ 0 ∈ R
m ( z ) = ∫ I d ρ ( t ) t − z + H I ( z ) m(z)=\int_I\frac{d\rho(t)}{t-z}+H_I(z) m ( z ) = ∫ I t − z d ρ ( t ) + H I ( z ) と表される。ここでI I I λ 0 \lambda_0 λ 0 I I I z z z H I H_I H I ρ \rho ρ スペクトル測度 (spectral measure )
証明. E E E §E12.15 定理 2.1 によるA A A λ 0 \lambda_0 λ 0 K K K h = 1 K φ λ 0 h=\mathbf1_K\varphi_{\lambda_0} h = 1 K φ λ 0 H H H F ( z ) = ∫ φ z h w F(z)=\int\varphi_z h w F ( z ) = ∫ φ z h w F ( λ 0 ) = ∫ K φ λ 0 2 w > 0 F(\lambda_0)=\int_K\varphi_{\lambda_0}^2w>0 F ( λ 0 ) = ∫ K φ λ 0 2 w > 0 φ λ 0 \varphi_{\lambda_0} φ λ 0 K K K
F F F λ 0 \lambda_0 λ 0 I I I σ h ( B ) = ⟨ E ( B ) h , h ⟩ w \sigma_h(B)=\langle E(B)h,h\rangle_w σ h ( B ) = ⟨ E ( B ) h , h ⟩ w §E12.15 命題 3.1 と核の表示から
q ( z ) = ∫ R d σ h ( t ) t − z = H h ( z ) + m ( z ) F ( z ) 2 q(z)=\int_\R\frac{d\sigma_h(t)}{t-z}=H_h(z)+m(z)F(z)^2 q ( z ) = ∫ R t − z d σ h ( t ) = H h ( z ) + m ( z ) F ( z ) 2 である。I I I d ρ I ( t ) = F ( t ) − 2 d σ h ( t ) d\rho_I(t)=F(t)^{-2}d\sigma_h(t) d ρ I ( t ) = F ( t ) − 2 d σ h ( t ) F F F ρ I \rho_I ρ I
J J J λ 0 \lambda_0 λ 0 J ‾ ⊂ I \overline J\subset I J ⊂ I a ( z ) = F ( z ) − 2 a(z)=F(z)^{-2} a ( z ) = F ( z ) − 2 J J J
m ( z ) − ∫ I d ρ I ( t ) t − z = − a ( z ) H h ( z ) + a ( z ) ∫ R ∖ I d σ h ( t ) t − z + ∫ I a ( z ) − a ( t ) t − z d σ h ( t ) . \begin{split}
m(z)-\int_I\frac{d\rho_I(t)}{t-z}
={}&-a(z)H_h(z)
+a(z)\int_{\R\setminus I}\frac{d\sigma_h(t)}{t-z}\\
&+\int_I\frac{a(z)-a(t)}{t-z}\,d\sigma_h(t).
\end{split} m ( z ) − ∫ I t − z d ρ I ( t ) = − a ( z ) H h ( z ) + a ( z ) ∫ R ∖ I t − z d σ h ( t ) + ∫ I t − z a ( z ) − a ( t ) d σ h ( t ) . 第二項はJ ‾ \overline J J R ∖ I \R\setminus I R ∖ I z = t z=t z = t − a ′ ( t ) -a'(t) − a ′ ( t ) J J J t ∈ I t\in I t ∈ I z z z
[ c , d ] ⊂ J [c,d]\subset J [ c , d ] ⊂ J
1 π ∫ c d ℑ ( ∫ I d ρ I ( t ) t − s − i ε ) d s = ∫ I ( 1 π ∫ c d ε d s ( t − s ) 2 + ε 2 ) d ρ I ( t ) . \frac1\pi\int_c^d\Im\left(\int_I\frac{d\rho_I(t)}{t-s-i\varepsilon}\right)ds
=\int_I\left(\frac1\pi\int_c^d\frac{\varepsilon\,ds}{(t-s)^2+\varepsilon^2}\right)d\rho_I(t). π 1 ∫ c d ℑ ( ∫ I t − s − i ε d ρ I ( t ) ) d s = ∫ I ( π 1 ∫ c d ( t − s ) 2 + ε 2 ε d s ) d ρ I ( t ) . 内側の括弧は零以上一以下であり、ε ↓ 0 \varepsilon\downarrow0 ε ↓ 0 ( c , d ) (c,d) ( c , d ) ρ I ( ( c , d ) ) + ρ I ( { c } ) / 2 + ρ I ( { d } ) / 2 \rho_I((c,d))+\rho_I(\{c\})/2+\rho_I(\{d\})/2 ρ I (( c , d )) + ρ I ({ c }) /2 + ρ I ({ d }) /2 [ c , d ] [c,d] [ c , d ]
ε ℑ m ( λ + i ε ) ⟶ ρ I ( { λ } ) ( λ ∈ J ) \varepsilon\Im m(\lambda+i\varepsilon)
\longrightarrow\rho_I(\{\lambda\})\qquad(\lambda\in J) ε ℑ m ( λ + i ε ) ⟶ ρ I ({ λ }) ( λ ∈ J ) は、核ε 2 / ( ( t − λ ) 2 + ε 2 ) \varepsilon^2/((t-\lambda)^2+\varepsilon^2) ε 2 / (( t − λ ) 2 + ε 2 ) m m m J J J §E10.9 定理 1.9 により局所測度は一意である。
各実数の近傍からこのように得た測度は、重なる区間で同じm m m J n J_n J n D n = J n ∖ ⋃ j < n J j D_n=J_n\setminus\bigcup_{j<n}J_j D n = J n ∖ ⋃ j < n J j ρ ( B ) = ∑ n ρ I n ( B ∩ D n ) \rho(B)=\sum_n\rho_{I_n}(B\cap D_n) ρ ( B ) = ∑ n ρ I n ( B ∩ D n ) J n J_n J n J n J_n J n ρ \rho ρ ▨
命題 2.2. a a a m m m ρ \rho ρ c < d c<d c < d
lim ε ↓ 0 1 π ∫ c d ℑ m ( t + i ε ) d t = ρ ( ( c , d ) ) + 1 2 ρ ( { c } ) + 1 2 ρ ( { d } ) \lim_{\varepsilon\downarrow0}\frac1\pi\int_c^d\Im m(t+i\varepsilon)\,dt
=\rho((c,d))+\frac12\rho(\{c\})+\frac12\rho(\{d\}) ε ↓ 0 lim π 1 ∫ c d ℑ m ( t + i ε ) d t = ρ (( c , d )) + 2 1 ρ ({ c }) + 2 1 ρ ({ d }) である。また、すべてのλ ∈ R \lambda\in\R λ ∈ R
ρ ( { λ } ) = lim ε ↓ 0 ε ℑ m ( λ + i ε ) \rho(\{\lambda\})=\lim_{\varepsilon\downarrow0}\varepsilon\Im m(\lambda+i\varepsilon) ρ ({ λ }) = ε ↓ 0 lim ε ℑ m ( λ + i ε ) が成り立つ。
証明. 各点の近傍での式は定理 2.1 の証明で得た。[ c , d ] [c,d] [ c , d ] c = t 0 < t 1 < ⋯ < t N = d c=t_0<t_1<\cdots<t_N=d c = t 0 < t 1 < ⋯ < t N = d [ t j − 1 , t j ] [t_{j-1},t_j] [ t j − 1 , t j ] ▨
補題 2.3. a a a p , q , w p,q,w p , q , w p , w > 0 p,w>0 p , w > 0 1 / p , q , w ∈ L l o c 1 ( a , b ) 1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b) 1/ p , q , w ∈ L loc 1 ( a , b ) A A A W ( θ z , φ z ) = 1 W(\theta_z,\varphi_z)=1 W ( θ z , φ z ) = 1 ρ \rho ρ f ∈ H f\in H f ∈ H
f ^ ( λ ) = ∫ a b φ λ ( x ) f ( x ) w ( x ) d x \widehat f(\lambda)=\int_a^b\varphi_\lambda(x)f(x)w(x)\,dx f ( λ ) = ∫ a b φ λ ( x ) f ( x ) w ( x ) d x と定める。このとき、任意の二つのコンパクト台関数f , g ∈ H f,g\in H f , g ∈ H B ⊆ R B\subseteq\R B ⊆ R
⟨ E ( B ) f , g ⟩ w = ∫ B f ^ ( λ ) g ^ ( λ ) ‾ d ρ ( λ ) \langle E(B)f,g\rangle_w=\int_B\widehat f(\lambda)\overline{\widehat g(\lambda)}\,d\rho(\lambda) ⟨ E ( B ) f , g ⟩ w = ∫ B f ( λ ) g ( λ ) d ρ ( λ ) が成り立つ。特にf ^ ∈ L 2 ( ρ ) \widehat f\in L^2(\rho) f ∈ L 2 ( ρ )
証明. まずf , g f,g f , g F f ( z ) = ∫ φ z f w F_f(z)=\int\varphi_zfw F f ( z ) = ∫ φ z f w
⟨ ( A − z I ) − 1 f , g ⟩ w = H f , g ( z ) + m ( z ) F f ( z ) F g ( z ) \langle(A-zI)^{-1}f,g\rangle_w
=H_{f,g}(z)+m(z)F_f(z)F_g(z) ⟨( A − z I ) − 1 f , g ⟩ w = H f , g ( z ) + m ( z ) F f ( z ) F g ( z ) であり、H f , g H_{f,g} H f , g m m m b ( z ) = F f ( z ) F g ( z ) b(z)=F_f(z)F_g(z) b ( z ) = F f ( z ) F g ( z )
b ( z ) ∫ I d ρ ( t ) t − z = ∫ I b ( t ) d ρ ( t ) t − z + ∫ I b ( z ) − b ( t ) t − z d ρ ( t ) . b(z)\int_I\frac{d\rho(t)}{t-z}
=\int_I\frac{b(t)\,d\rho(t)}{t-z}
+\int_I\frac{b(z)-b(t)}{t-z}\,d\rho(t). b ( z ) ∫ I t − z d ρ ( t ) = ∫ I t − z b ( t ) d ρ ( t ) + ∫ I t − z b ( z ) − b ( t ) d ρ ( t ) . 最後の項は局所的に正則で実軸で実数値をとる。従って局所区間に対する反転の極限は、符号付き有限測度F f F g d ρ F_fF_g\,d\rho F f F g d ρ
一方、S ( z ) = ( A − z I ) − 1 = − R ( z , A ) S(z)=(A-zI)^{-1}=-R(z,A) S ( z ) = ( A − z I ) − 1 = − R ( z , A ) §E12.15 定理 4.1 を適用する。実f , g f,g f , g ⟨ ℑ S ( z ) f , g ⟩ w = ℑ ⟨ S ( z ) f , g ⟩ w \langle\Im S(z)f,g\rangle_w=\Im\langle S(z)f,g\rangle_w ⟨ ℑ S ( z ) f , g ⟩ w = ℑ ⟨ S ( z ) f , g ⟩ w ⟨ ( E ( ( c , d ) ) + E ( { c } ) / 2 + E ( { d } ) / 2 ) f , g ⟩ w \langle(E((c,d))+E(\{c\})/2+E(\{d\})/2)f,g\rangle_w ⟨( E (( c , d )) + E ({ c }) /2 + E ({ d }) /2 ) f , g ⟩ w ε 2 / ( ( t − λ ) 2 + ε 2 ) \varepsilon^2/((t-\lambda)^2+\varepsilon^2) ε 2 / (( t − λ ) 2 + ε 2 )
g = f g=f g = f ∫ ∣ f ^ ∣ 2 d ρ = ∥ f ∥ w 2 \int|\widehat f|^2d\rho=\|f\|_w^2 ∫ ∣ f ∣ 2 d ρ = ∥ f ∥ w 2 f ^ g ^ \widehat f\widehat g f g f , g f,g f , g ▨
3 行列値測度とスペクトル変換 定義 3.1. 実直線上の局所有限な非負 Hermite 行列値測度Ω = ( Ω i j ) i , j = 1 2 \Omega=(\Omega_{ij})_{i,j=1}^2 Ω = ( Ω ij ) i , j = 1 2 Ω 11 , Ω 22 \Omega_{11},\Omega_{22} Ω 11 , Ω 22 Ω 12 , Ω 21 \Omega_{12},\Omega_{21} Ω 12 , Ω 21 B B B Ω ( B ) \Omega(B) Ω ( B )
μ = Ω 11 + Ω 22 \mu=\Omega_{11}+\Omega_{22} μ = Ω 11 + Ω 22 R = ( d Ω i j / d μ ) i , j = 1 2 R=(d\Omega_{ij}/d\mu)_{i,j=1}^2 R = ( d Ω ij / d μ ) i , j = 1 2 F : R → C 2 F:\R\to\C^2 F : R → C 2
∥ F ∥ Ω 2 = ∫ R F ( λ ) ∗ R ( λ ) F ( λ ) d μ ( λ ) < ∞ \|F\|_\Omega^2=\int_\R F(\lambda)^*R(\lambda)F(\lambda)\,d\mu(\lambda)<\infty ∥ F ∥ Ω 2 = ∫ R F ( λ ) ∗ R ( λ ) F ( λ ) d μ ( λ ) < ∞ を満たすものを、∥ F − G ∥ Ω = 0 \|F-G\|_\Omega=0 ∥ F − G ∥ Ω = 0 行列値測度の二乗可積分空間 (matrix-weighted L2 space )L 2 ( Ω ) L^2(\Omega) L 2 ( Ω )
⟨ F , G ⟩ Ω = ∫ R G ∗ R F d μ = ∫ R G ∗ d Ω F \langle F,G\rangle_\Omega=\int_\R G^*RF\,d\mu=\int_\R G^*\,d\Omega\,F ⟨ F , G ⟩ Ω = ∫ R G ∗ R F d μ = ∫ R G ∗ d Ω F とする。
命題 3.2. Ω \Omega Ω μ = tr Ω \mu=\operatorname{tr}\Omega μ = tr Ω R = d Ω / d μ R=d\Omega/d\mu R = d Ω/ d μ R ≥ 0 R\ge0 R ≥ 0 tr R = 1 \operatorname{tr}R=1 tr R = 1 μ \mu μ L 2 ( Ω ) L^2(\Omega) L 2 ( Ω ) ⟨ , ⟩ Ω \langle\ ,\ \rangle_\Omega ⟨ , ⟩ Ω h h h ∥ h ∥ ∞ \|h\|_\infty ∥ h ∥ ∞
証明. 非負行列の二次形式から∣ Ω 12 ( B ) ∣ 2 ≤ Ω 11 ( B ) Ω 22 ( B ) |\Omega_{12}(B)|^2\le\Omega_{11}(B)\Omega_{22}(B) ∣ Ω 12 ( B ) ∣ 2 ≤ Ω 11 ( B ) Ω 22 ( B ) μ ( B ) = 0 \mu(B)=0 μ ( B ) = 0 B B B B B B §E10.27 定理 4.1 を各成分へ適用し、密度を得る。密度の一意性によって区間ごとの密度を貼り合わせることができる。
成分が有理複素数であるベクトルv v v v ∗ Ω v v^*\Omega v v ∗ Ω v v ∗ R v ≥ 0 v^*Rv\ge0 v ∗ R v ≥ 0 v v v R ≥ 0 R\ge0 R ≥ 0 μ = tr Ω \mu=\operatorname{tr}\Omega μ = tr Ω tr R = 1 \operatorname{tr}R=1 tr R = 1 ∥ R ∥ ≤ 1 \|R\|\le1 ∥ R ∥ ≤ 1
P ( λ ) P(\lambda) P ( λ ) R ( λ ) R(\lambda) R ( λ )
P = lim n → ∞ R ( R + n − 1 I ) − 1 P=\lim_{n\to\infty}R(R+n^{-1}I)^{-1} P = n → ∞ lim R ( R + n − 1 I ) − 1 なのでP P P R R R R ≠ 0 R\ne0 R = 0
R 1 / 2 = R + det R I tr R + 2 det R R^{1/2}=\frac{R+\sqrt{\det R}\,I}{\sqrt{\operatorname{tr}R+2\sqrt{\det R}}} R 1/2 = tr R + 2 det R R + det R I であり、これは有限次元の対角化で確認することができる。R = 0 R=0 R = 0
通常のL 2 ( μ ; C 2 ) L^2(\mu;\C^2) L 2 ( μ ; C 2 )
K = { v : P v = v ほとんど至る所 } \mathcal K=\{v:Pv=v\text{ ほとんど至る所}\} K = { v : P v = v ほとんど至る所 } は、有界作用素I − P I-P I − P F ↦ R 1 / 2 F F\mapsto R^{1/2}F F ↦ R 1/2 F L 2 ( Ω ) L^2(\Omega) L 2 ( Ω ) K \mathcal K K v ∈ K v\in\mathcal K v ∈ K R R R R + 1 / 2 R^{+1/2} R + 1/2 F = R + 1 / 2 v F=R^{+1/2}v F = R + 1/2 v
F = lim n → ∞ ( R + n − 1 I ) − 1 / 2 v F=\lim_{n\to\infty}(R+n^{-1}I)^{-1/2}v F = n → ∞ lim ( R + n − 1 I ) − 1/2 v と書かれるので可測である。各点でR 1 / 2 F = v R^{1/2}F=v R 1/2 F = v F ∈ L 2 ( Ω ) F\in L^2(\Omega) F ∈ L 2 ( Ω ) §E10.13 定理 2.2 による通常のL 2 L^2 L 2 K \mathcal K K L 2 ( Ω ) L^2(\Omega) L 2 ( Ω )
任意の代表関数F F F F n = 1 [ − n , n ] 1 { ∣ F ∣ ≤ n } F F_n=\mathbf1_{[-n,n]}\mathbf1_{\{|F|\le n\}}F F n = 1 [ − n , n ] 1 { ∣ F ∣ ≤ n } F ∥ F − F n ∥ Ω → 0 \|F-F_n\|_\Omega\to0 ∥ F − F n ∥ Ω → 0 F n F_n F n [ − n , n ] [-n,n] [ − n , n ] μ ( [ − n , n ] ) < ∞ \mu([-n,n])<\infty μ ([ − n , n ]) < ∞ ∥ R ∥ ≤ 1 \|R\|\le1 ∥ R ∥ ≤ 1 L 2 ( Ω ) L^2(\Omega) L 2 ( Ω ) L 2 ( Ω ) L^2(\Omega) L 2 ( Ω ) ∫ ∣ h ∣ 2 F ∗ R F d μ ≤ ∥ h ∥ ∞ 2 ∥ F ∥ Ω 2 \int|h|^2F^*RF\,d\mu\le\|h\|_\infty^2\|F\|_\Omega^2 ∫ ∣ h ∣ 2 F ∗ R F d μ ≤ ∥ h ∥ ∞ 2 ∥ F ∥ Ω 2 ▨
補題 3.3. − ∞ ≤ a < b ≤ ∞ -\infty\le a<b\le\infty − ∞ ≤ a < b ≤ ∞ w w w w ∈ L l o c 1 ( a , b ) w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b) w ∈ L loc 1 ( a , b ) H = L 2 ( ( a , b ) , w d x ; C ) H=L^2((a,b),w\,dx;\C) H = L 2 (( a , b ) , w d x ; C ) d ∈ { 1 , 2 } d\in\{1,2\} d ∈ { 1 , 2 } A A A H H H E E E d = 1 d=1 d = 1 Ω = ρ \Omega=\rho Ω = ρ μ = ρ , R = 1 , L 2 ( Ω ) = L 2 ( ρ ) \mu=\rho,R=1,L^2(\Omega)=L^2(\rho) μ = ρ , R = 1 , L 2 ( Ω ) = L 2 ( ρ ) d = 2 d=2 d = 2 Ω \Omega Ω μ = tr Ω , R = d Ω / d μ \mu=\operatorname{tr}\Omega,R=d\Omega/d\mu μ = tr Ω , R = d Ω/ d μ
連続関数y : R × ( a , b ) → R d y:\R\times(a,b)\to\R^d y : R × ( a , b ) → R d f ∈ H f\in H f ∈ H
( U 0 f ) ( λ ) = ∫ a b y ( λ , x ) f ( x ) w ( x ) d x (U_0f)(\lambda)=\int_a^b y(\lambda,x)f(x)w(x)\,dx ( U 0 f ) ( λ ) = ∫ a b y ( λ , x ) f ( x ) w ( x ) d x と定める。すべてのこのようなf , g f,g f , g B ⊆ R B\subseteq\R B ⊆ R
⟨ E ( B ) f , g ⟩ w = ∫ B ( U 0 g ) ∗ R ( U 0 f ) d μ \langle E(B)f,g\rangle_w=\int_B(U_0g)^*R(U_0f)\,d\mu ⟨ E ( B ) f , g ⟩ w = ∫ B ( U 0 g ) ∗ R ( U 0 f ) d μ が成り立つとする。さらに、各λ 0 ∈ R \lambda_0\in\R λ 0 ∈ R J ∋ λ 0 J\ni\lambda_0 J ∋ λ 0 h 1 , … , h d ∈ H h_1,\ldots,h_d\in H h 1 , … , h d ∈ H
C ( λ ) = ( U 0 h 1 ( λ ) , … , U 0 h d ( λ ) ) C(\lambda)=\bigl(U_0h_1(\lambda),\ldots,U_0h_d(\lambda)\bigr) C ( λ ) = ( U 0 h 1 ( λ ) , … , U 0 h d ( λ ) ) はすべてのλ ∈ J \lambda\in J λ ∈ J sup λ ∈ J ∥ C ( λ ) − 1 ∥ < ∞ \sup_{\lambda\in J}\|C(\lambda)^{-1}\|<\infty sup λ ∈ J ∥ C ( λ ) − 1 ∥ < ∞
このとき、U 0 U_0 U 0 U : H → L 2 ( Ω ) U:H\to L^2(\Omega) U : H → L 2 ( Ω ) f , g ∈ H f,g\in H f , g ∈ H B B B
⟨ f , g ⟩ w = ∫ R ( U g ) ∗ R ( U f ) d μ , U E ( B ) f = 1 B U f \langle f,g\rangle_w=\int_\R(Ug)^*R(Uf)\,d\mu,
\qquad UE(B)f=\mathbf1_BUf ⟨ f , g ⟩ w = ∫ R ( U g ) ∗ R ( U f ) d μ , U E ( B ) f = 1 B U f が成り立つ。F ∈ L 2 ( Ω ) F\in L^2(\Omega) F ∈ L 2 ( Ω )
U − 1 F = lim r → ∞ ∫ [ − r , r ] y ( λ , ⋅ ) T R ( λ ) F ( λ ) d μ ( λ ) U^{-1}F=\lim_{r\to\infty}\int_{[-r,r]}y(\lambda,\cdot)^{\mathsf T}R(\lambda)F(\lambda)\,d\mu(\lambda) U − 1 F = r → ∞ lim ∫ [ − r , r ] y ( λ , ⋅ ) T R ( λ ) F ( λ ) d μ ( λ ) というH H H x ∈ ( a , b ) x\in(a,b) x ∈ ( a , b ) H H H
U D ( A ) = { F ∈ L 2 ( Ω ) : λ F ∈ L 2 ( Ω ) } , U A f = λ U f ( f ∈ D ( A ) ) UD(A)=\{F\in L^2(\Omega):\lambda F\in L^2(\Omega)\},
\qquad UAf=\lambda Uf\quad(f\in D(A)) U D ( A ) = { F ∈ L 2 ( Ω ) : λ F ∈ L 2 ( Ω )} , U A f = λ U f ( f ∈ D ( A )) が成り立つ。
証明. 内部コンパクト区間K K K f ∈ H f\in H f ∈ H ∫ K ∣ f ∣ w d x ≤ ( ∫ K w d x ) 1 / 2 ∥ f ∥ w < ∞ \int_K|f|w\,dx\le(\int_Kw\,dx)^{1/2}\|f\|_w<\infty ∫ K ∣ f ∣ w d x ≤ ( ∫ K w d x ) 1/2 ∥ f ∥ w < ∞ y y y U 0 f U_0f U 0 f λ \lambda λ
射影の因子化にB = R B=\R B = R g = f g=f g = f ∥ U 0 f ∥ Ω = ∥ f ∥ w \|U_0f\|_\Omega=\|f\|_w ∥ U 0 f ∥ Ω = ∥ f ∥ w H H H U 0 U_0 U 0 d = 1 d=1 d = 1 §E10.13 定理 2.2 、d = 2 d=2 d = 2 命題 3.2 によりL 2 ( Ω ) L^2(\Omega) L 2 ( Ω ) U 0 U_0 U 0 H H H M \mathcal M M P M P_{\mathcal M} P M M \mathcal M M f , g ∈ H f,g\in H f , g ∈ H B B B
P M ( 1 B U f ) = U E ( B ) f , ∥ U E ( B ) f ∥ Ω 2 = ⟨ E ( B ) f , f ⟩ w = ∥ 1 B U f ∥ Ω 2 P_{\mathcal M}(\mathbf1_BUf)=UE(B)f,\qquad
\|UE(B)f\|_\Omega^2=\langle E(B)f,f\rangle_w=\|\mathbf1_BUf\|_\Omega^2 P M ( 1 B U f ) = U E ( B ) f , ∥ U E ( B ) f ∥ Ω 2 = ⟨ E ( B ) f , f ⟩ w = ∥ 1 B U f ∥ Ω 2 となる。直交分解のノルム公式から1 B U f = U E ( B ) f \mathbf1_BUf=UE(B)f 1 B U f = U E ( B ) f
仮定の区間J J J d d d v v v J J J b = C − 1 v b=C^{-1}v b = C − 1 v J J J b = 0 b=0 b = 0 C C C C − 1 C^{-1} C − 1 J J J b j b_j b j
v = ∑ j = 1 d b j U h j ∈ M . v=\sum_{j=1}^d b_jUh_j\in\mathcal M. v = j = 1 ∑ d b j U h j ∈ M . 各実点の近傍J J J ( J n ) (J_n) ( J n ) D n = J n ∖ ⋃ j < n J j D_n=J_n\setminus\bigcup_{j<n}J_j D n = J n ∖ ⋃ j < n J j F F F 1 D n F \mathbf1_{D_n}F 1 D n F J n J_n J n M \mathcal M M ∑ n = 1 N 1 D n F \sum_{n=1}^N\mathbf1_{D_n}F ∑ n = 1 N 1 D n F L 2 ( Ω ) L^2(\Omega) L 2 ( Ω ) F F F d = 2 d=2 d = 2 命題 3.2 により、d = 1 d=1 d = 1 F F F M = L 2 ( Ω ) \mathcal M=L^2(\Omega) M = L 2 ( Ω )
有界区間I I I F ∈ L 2 ( Ω ) F\in L^2(\Omega) F ∈ L 2 ( Ω ) v I ( x ) = ∫ I y ( λ , x ) T R ( λ ) F ( λ ) d μ v_I(x)=\int_I y(\lambda,x)^{\mathsf T}R(\lambda)F(\lambda)d\mu v I ( x ) = ∫ I y ( λ , x ) T R ( λ ) F ( λ ) d μ x x x
∫ I ∣ y T R F ∣ d μ ≤ ( ∫ I y T R y d μ ) 1 / 2 ∥ 1 I F ∥ Ω < ∞ \int_I|y^{\mathsf T}RF|\,d\mu
\le\left(\int_I y^{\mathsf T}Ry\,d\mu\right)^{1/2}\|\mathbf1_IF\|_\Omega<\infty ∫ I ∣ y T R F ∣ d μ ≤ ( ∫ I y T R y d μ ) 1/2 ∥ 1 I F ∥ Ω < ∞ である。ここではy y y ∥ R ∥ ≤ 1 \|R\|\le1 ∥ R ∥ ≤ 1 μ ( I ) < ∞ \mu(I)<\infty μ ( I ) < ∞ y y y I ‾ \overline I I K ⊂ ( a , b ) K\subset(a,b) K ⊂ ( a , b ) x ∈ K x\in K x ∈ K v I v_I v I K K K g ∈ H g\in H g ∈ H ∫ K ∣ g ∣ w d x ≤ ( ∫ K w d x ) 1 / 2 ∥ g ∥ w < ∞ \int_K|g|w\,dx\le(\int_Kw\,dx)^{1/2}\|g\|_w<\infty ∫ K ∣ g ∣ w d x ≤ ( ∫ K w d x ) 1/2 ∥ g ∥ w < ∞
∫ v I g ‾ w d x = ∫ I ( U g ) ∗ R F d μ = ⟨ U − 1 ( 1 I F ) , g ⟩ w . \int v_I\overline g\,w\,dx
=\int_I(Ug)^*RF\,d\mu
=\langle U^{-1}(\mathbf1_IF),g\rangle_w. ∫ v I g w d x = ∫ I ( U g ) ∗ R F d μ = ⟨ U − 1 ( 1 I F ) , g ⟩ w . v I v_I v I U − 1 ( 1 I F ) U^{-1}(\mathbf1_IF) U − 1 ( 1 I F ) K K K K K K g g g v I ∈ H v_I\in H v I ∈ H I = [ − r , r ] I=[-r,r] I = [ − r , r ] U − 1 U^{-1} U − 1 R 1 / 2 ( F − G ) = 0 R^{1/2}(F-G)=0 R 1/2 ( F − G ) = 0 R ( F − G ) = 0 R(F-G)=0 R ( F − G ) = 0
U E ( B ) U − 1 UE(B)U^{-1} U E ( B ) U − 1 1 B \mathbf1_B 1 B §E12.7 命題 5.1 の定義域とノルム公式を実座標関数λ ↦ λ \lambda\mapsto\lambda λ ↦ λ
f ∈ D ( A ) ⟺ ∫ R λ 2 ( U f ) ∗ R ( U f ) d μ < ∞ f\in D(A)\quad\Longleftrightarrow\quad
\int_\R\lambda^2(Uf)^*R(Uf)\,d\mu<\infty f ∈ D ( A ) ⟺ ∫ R λ 2 ( U f ) ∗ R ( U f ) d μ < ∞ を得る。f ∈ D ( A ) f\in D(A) f ∈ D ( A ) A E ( [ − r , r ] ) f AE([-r,r])f A E ([ − r , r ]) f λ 1 [ − r , r ] U f \lambda\mathbf1_{[-r,r]}Uf λ 1 [ − r , r ] U f U A f = λ U f UAf=\lambda Uf U A f = λ U f ▨
4 片端正則の展開 定理 4.1. a a a p , q , w p,q,w p , q , w p , w > 0 p,w>0 p , w > 0 1 / p , q , w ∈ L l o c 1 ( a , b ) 1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b) 1/ p , q , w ∈ L loc 1 ( a , b ) A A A W ( θ z , φ z ) = 1 W(\theta_z,\varphi_z)=1 W ( θ z , φ z ) = 1 ρ \rho ρ
( U f ) ( λ ) = ∫ a b φ λ ( x ) f ( x ) w ( x ) d x (Uf)(\lambda)=\int_a^b\varphi_\lambda(x)f(x)w(x)\,dx ( U f ) ( λ ) = ∫ a b φ λ ( x ) f ( x ) w ( x ) d x は、H H H L 2 ( ρ ) L^2(\rho) L 2 ( ρ ) f , g ∈ H f,g\in H f , g ∈ H
⟨ f , g ⟩ w = ∫ R ( U f ) U g ‾ d ρ , U E ( B ) f = 1 B U f \langle f,g\rangle_w=\int_\R(Uf)\overline{Ug}\,d\rho,
\qquad UE(B)f=\mathbf1_BUf ⟨ f , g ⟩ w = ∫ R ( U f ) U g d ρ , U E ( B ) f = 1 B U f が成り立つ。F ∈ L 2 ( ρ ) F\in L^2(\rho) F ∈ L 2 ( ρ )
U − 1 F = lim r → ∞ ∫ [ − r , r ] φ λ ( ⋅ ) F ( λ ) d ρ ( λ ) U^{-1}F=\lim_{r\to\infty}\int_{[-r,r]}\varphi_\lambda(\cdot)F(\lambda)\,d\rho(\lambda) U − 1 F = r → ∞ lim ∫ [ − r , r ] φ λ ( ⋅ ) F ( λ ) d ρ ( λ ) というH H H
U D ( A ) = { F ∈ L 2 ( ρ ) : λ F ∈ L 2 ( ρ ) } , U A f = λ U f ( f ∈ D ( A ) ) UD(A)=\{F\in L^2(\rho):\lambda F\in L^2(\rho)\},\qquad UAf=\lambda Uf\quad(f\in D(A)) U D ( A ) = { F ∈ L 2 ( ρ ) : λ F ∈ L 2 ( ρ )} , U A f = λ U f ( f ∈ D ( A )) が成り立つ。
証明. 補題 2.3 により、d = 1 d=1 d = 1 y ( λ , x ) = φ λ ( x ) y(\lambda,x)=\varphi_\lambda(x) y ( λ , x ) = φ λ ( x ) Ω = ρ \Omega=\rho Ω = ρ 補題 3.3 の射影因子化を満たす。基本解の連続性とパラメータに関する局所一様な連続性から、核y y y
任意のλ 0 ∈ R \lambda_0\in\R λ 0 ∈ R φ λ 0 \varphi_{\lambda_0} φ λ 0 K K K h = 1 K φ λ 0 h=\mathbf1_K\varphi_{\lambda_0} h = 1 K φ λ 0
( U 0 h ) ( λ 0 ) = ∫ K φ λ 0 ( x ) 2 w ( x ) d x > 0. (U_0h)(\lambda_0)=\int_K\varphi_{\lambda_0}(x)^2w(x)\,dx>0. ( U 0 h ) ( λ 0 ) = ∫ K φ λ 0 ( x ) 2 w ( x ) d x > 0. モーメントU 0 h U_0h U 0 h λ 0 \lambda_0 λ 0 J J J δ > 0 \delta>0 δ > 0 ∣ U 0 h ∣ ≥ δ |U_0h|\ge\delta ∣ U 0 h ∣ ≥ δ J J J ▨
5 Weyl 行列と二成分の展開 定義 5.1. p , q , w p,q,w p , q , w p , w > 0 p,w>0 p , w > 0 1 / p , q , w ∈ L l o c 1 ( a , b ; R ) 1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b;\R) 1/ p , q , w ∈ L loc 1 ( a , b ; R ) A A A c c c
θ z ( c ) = φ z [ 1 ] ( c ) = 1 , θ z [ 1 ] ( c ) = φ z ( c ) = 0 \theta_z(c)=\varphi_z^{[1]}(c)=1,\qquad
\theta_z^{[1]}(c)=\varphi_z(c)=0 θ z ( c ) = φ z [ 1 ] ( c ) = 1 , θ z [ 1 ] ( c ) = φ z ( c ) = 0 と正規化し、y ( z , x ) = ( θ z ( x ) , φ z ( x ) ) T y(z,x)=(\theta_z(x),\varphi_z(x))^{\mathsf T} y ( z , x ) = ( θ z ( x ) , φ z ( x ) ) T z z z ψ ± = θ z + m ± ( z ) φ z \psi_\pm=\theta_z+m_\pm(z)\varphi_z ψ ± = θ z + m ± ( z ) φ z φ z \varphi_z φ z c c c
D ( z ) = m + ( z ) − m − ( z ) D(z)=m_+(z)-m_-(z) D ( z ) = m + ( z ) − m − ( z )
M ( z ) = − 1 D ( z ) ( 1 ( m + ( z ) + m − ( z ) ) / 2 ( m + ( z ) + m − ( z ) ) / 2 m − ( z ) m + ( z ) ) M(z)=-\frac1{D(z)}
\begin{pmatrix}
1&(m_+(z)+m_-(z))/2\\
(m_+(z)+m_-(z))/2&m_-(z)m_+(z)
\end{pmatrix} M ( z ) = − D ( z ) 1 ( 1 ( m + ( z ) + m − ( z )) /2 ( m + ( z ) + m − ( z )) /2 m − ( z ) m + ( z ) ) を Weyl 行列 (Weyl matrix )ℑ M = ( M − M ∗ ) / ( 2 i ) \Im M=(M-M^*)/(2i) ℑ M = ( M − M ∗ ) / ( 2 i )
補題 5.2. p , q , w p,q,w p , q , w p , w > 0 p,w>0 p , w > 0 1 / p , q , w ∈ L l o c 1 ( a , b ; R ) 1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b;\R) 1/ p , q , w ∈ L loc 1 ( a , b ; R ) c c c M M M M M M M ( z ‾ ) ∗ = M ( z ) M(\overline z)^*=M(z) M ( z ) ∗ = M ( z ) ℑ M ( z ) \Im M(z) ℑ M ( z )
G z ( x , t ) = y ( z , x ) T M ( z ) y ( z , t ) + K z ( x , t ) , G_z(x,t)=y(z,x)^{\mathsf T}M(z)y(z,t)+K_z(x,t), G z ( x , t ) = y ( z , x ) T M ( z ) y ( z , t ) + K z ( x , t ) , K z ( x , t ) = sgn ( x − t ) 2 { θ z ( x ) φ z ( t ) − φ z ( x ) θ z ( t ) } K_z(x,t)=\frac{\operatorname{sgn}(x-t)}2
\{\theta_z(x)\varphi_z(t)-\varphi_z(x)\theta_z(t)\} K z ( x , t ) = 2 sgn ( x − t ) { θ z ( x ) φ z ( t ) − φ z ( x ) θ z ( t )} と表される。K z K_z K z x , t x,t x , t z z z
証明. 右半区間では命題 1.5 を適用することができる。左半区間をx ↦ − x x\mapsto-x x ↦ − x − m − -m_- − m − m ± m_\pm m ± ℑ m + > 0 \Im m_+>0 ℑ m + > 0 ℑ m − < 0 \Im m_-<0 ℑ m − < 0 D ≠ 0 D\ne0 D = 0 M M M M ( z ‾ ) ∗ = M ( z ) M(\overline z)^*=M(z) M ( z ) ∗ = M ( z )
x < t x<t x < t 定理 1.3 の核は
− ( θ z ( x ) + m − φ z ( x ) ) ( θ z ( t ) + m + φ z ( t ) ) m + − m − -\frac{(\theta_z(x)+m_-\varphi_z(x))(\theta_z(t)+m_+\varphi_z(t))}{m_+-m_-} − m + − m − ( θ z ( x ) + m − φ z ( x )) ( θ z ( t ) + m + φ z ( t )) である。積を展開し、混合項の係数を平均と差に分けると表示されたM , K M,K M , K x > t x>t x > t
G z ( x , c ) G_z(x,c) G z ( x , c ) G z ( x , t ) G_z(x,t) G z ( x , t ) t = c t=c t = c g 1 , g 2 g_1,g_2 g 1 , g 2
g 1 = y ( z , x ) T M ( z ) e 1 − 1 2 sgn ( x − c ) φ z ( x ) , g 2 = y ( z , x ) T M ( z ) e 2 + 1 2 sgn ( x − c ) θ z ( x ) . g_1=y(z,x)^{\mathsf T}M(z)e_1-\tfrac12\operatorname{sgn}(x-c)\varphi_z(x),\qquad
g_2=y(z,x)^{\mathsf T}M(z)e_2+\tfrac12\operatorname{sgn}(x-c)\theta_z(x). g 1 = y ( z , x ) T M ( z ) e 1 − 2 1 sgn ( x − c ) φ z ( x ) , g 2 = y ( z , x ) T M ( z ) e 2 + 2 1 sgn ( x − c ) θ z ( x ) . 両関数はc c c g 1 g_1 g 1 g 2 g_2 g 2
v = ( α , β ) T v=(\alpha,\beta)^{\mathsf T} v = ( α , β ) T h = α g 1 + β g 2 h=\alpha g_1+\beta g_2 h = α g 1 + β g 2 c c c ( M v ) 1 , ( M v ) 2 (Mv)_1,(Mv)_2 ( M v ) 1 , ( M v ) 2 β , − α \beta,-\alpha β , − α
[ h , h ] ( c + ) − [ h , h ] ( c − ) = − 2 i ℑ ( v ∗ M v ) . [h,h](c+)-[h,h](c-)=-2i\Im(v^*Mv). [ h , h ] ( c + ) − [ h , h ] ( c − ) = − 2 i ℑ ( v ∗ M v ) . 左右の Green 恒等式を加え、外側の境界形式が零であることを使うと
v ∗ ℑ M ( z ) v = ( ℑ z ) ∫ a b ∣ h ∣ 2 w d x ≥ 0 v^*\Im M(z)v=(\Im z)\int_a^b|h|^2w\,dx\ge0 v ∗ ℑ M ( z ) v = ( ℑ z ) ∫ a b ∣ h ∣ 2 w d x ≥ 0 を得る。▨
定理 5.3. p , q , w p,q,w p , q , w p , w > 0 p,w>0 p , w > 0 1 / p , q , w ∈ L l o c 1 ( a , b ; R ) 1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b;\R) 1/ p , q , w ∈ L loc 1 ( a , b ; R ) A A A c c c y = ( θ , φ ) T y=(\theta,\varphi)^{\mathsf T} y = ( θ , φ ) T M M M Ω \Omega Ω
M ( z ) = ∫ I d Ω ( t ) t − z + H I ( z ) M(z)=\int_I\frac{d\Omega(t)}{t-z}+H_I(z) M ( z ) = ∫ I t − z d Ω ( t ) + H I ( z ) と表される。I I I H I H_I H I I I I Ω \Omega Ω スペクトル行列 (spectral matrix )
コンパクト台関数f ∈ H f\in H f ∈ H f ^ ( λ ) = ∫ a b y ( λ , x ) f ( x ) w ( x ) d x \widehat f(\lambda)=\int_a^b y(\lambda,x)f(x)w(x)dx f ( λ ) = ∫ a b y ( λ , x ) f ( x ) w ( x ) d x f , g ∈ H f,g\in H f , g ∈ H B B B
⟨ E ( B ) f , g ⟩ w = ∫ B g ^ ∗ d Ω f ^ \langle E(B)f,g\rangle_w=\int_B\widehat g^*\,d\Omega\,\widehat f ⟨ E ( B ) f , g ⟩ w = ∫ B g ∗ d Ω f が成り立つ。
証明. 実λ 0 \lambda_0 λ 0 K K K h j = 1 K y j ( λ 0 , ⋅ ) h_j=\mathbf1_K y_j(\lambda_0,\cdot) h j = 1 K y j ( λ 0 , ⋅ ) j = 1 , 2 j=1,2 j = 1 , 2
C i j ( z ) = ∫ a b y i ( z , x ) h j ( x ) w ( x ) d x C_{ij}(z)=\int_a^b y_i(z,x)h_j(x)w(x)\,dx C ij ( z ) = ∫ a b y i ( z , x ) h j ( x ) w ( x ) d x は整関数を成分にもつ。C ( λ 0 ) C(\lambda_0) C ( λ 0 ) K K K C C C λ 0 \lambda_0 λ 0
Σ i j ( B ) = ⟨ E ( B ) h j , h i ⟩ w \Sigma_{ij}(B)=\langle E(B)h_j,h_i\rangle_w Σ ij ( B ) = ⟨ E ( B ) h j , h i ⟩ w Σ \Sigma Σ Q i j ( z ) = ⟨ ( A − z I ) − 1 h j , h i ⟩ w Q_{ij}(z)=\langle(A-zI)^{-1}h_j,h_i\rangle_w Q ij ( z ) = ⟨( A − z I ) − 1 h j , h i ⟩ w
Q ( z ) = ∫ R d Σ ( t ) t − z = C ( z ) T M ( z ) C ( z ) + H ( z ) Q(z)=\int_\R\frac{d\Sigma(t)}{t-z}=C(z)^{\mathsf T}M(z)C(z)+H(z) Q ( z ) = ∫ R t − z d Σ ( t ) = C ( z ) T M ( z ) C ( z ) + H ( z ) である。H H H K z K_z K z
C C C I I I L ( z ) = C ( z ) − 1 L(z)=C(z)^{-1} L ( z ) = C ( z ) − 1 I I I
d Ω I ( t ) = L ( t ) T d Σ ( t ) L ( t ) d\Omega_I(t)=L(t)^{\mathsf T}\,d\Sigma(t)\,L(t) d Ω I ( t ) = L ( t ) T d Σ ( t ) L ( t ) と定める。L ( t ) L(t) L ( t ) J ‾ ⊂ I \overline J\subset I J ⊂ I J J J M M M I I I
L ( z ) T d Σ ( t ) L ( z ) − L ( t ) T d Σ ( t ) L ( t ) = ( L ( z ) − L ( t ) ) T d Σ ( t ) L ( z ) + L ( t ) T d Σ ( t ) ( L ( z ) − L ( t ) ) . \begin{split}
L(z)^{\mathsf T}d\Sigma(t)L(z)-L(t)^{\mathsf T}d\Sigma(t)L(t)
={}&(L(z)-L(t))^{\mathsf T}d\Sigma(t)L(z)\\
&+L(t)^{\mathsf T}d\Sigma(t)(L(z)-L(t)).
\end{split} L ( z ) T d Σ ( t ) L ( z ) − L ( t ) T d Σ ( t ) L ( t ) = ( L ( z ) − L ( t ) ) T d Σ ( t ) L ( z ) + L ( t ) T d Σ ( t ) ( L ( z ) − L ( t )) . 各項をt − z t-z t − z J J J R ∖ I \R\setminus I R ∖ I − L ( z ) T H ( z ) L ( z ) -L(z)^{\mathsf T}H(z)L(z) − L ( z ) T H ( z ) L ( z ) z z z
任意の定数ベクトルv ∈ C 2 v\in\C^2 v ∈ C 2 v ∗ M ( z ) v v^*M(z)v v ∗ M ( z ) v v ∗ Ω I v v^*\Omega_Iv v ∗ Ω I v 定理 2.1 の証明と同じ Borel 分割D n = J n ∖ ⋃ j < n J j D_n=J_n\setminus\bigcup_{j<n}J_j D n = J n ∖ ⋃ j < n J j Ω \Omega Ω
まず任意の有限個の実コンパクト台関数f 1 , … , f N f_1,\ldots,f_N f 1 , … , f N N N N F ( z ) F(z) F ( z ) F ( z ) T M ( z ) F ( z ) F(z)^{\mathsf T}M(z)F(z) F ( z ) T M ( z ) F ( z ) F ( z ) F(z) F ( z ) F ( t ) F(t) F ( t )
∫ I F ( t ) T d Ω ( t ) F ( t ) t − z \int_I\frac{F(t)^{\mathsf T}d\Omega(t)F(t)}{t-z} ∫ I t − z F ( t ) T d Ω ( t ) F ( t ) と、実軸で Hermite となる正則行列の和になる。各定数ベクトルの二次形式に§E12.15 定理 4.1 を適用すると、圧縮した PVM と測度F ( t ) T d Ω ( t ) F ( t ) F(t)^{\mathsf T}d\Omega(t)F(t) F ( t ) T d Ω ( t ) F ( t )
対角成分について有界区間を増大させると∫ f ^ ∗ d Ω f ^ = ∥ f ∥ w 2 \int\widehat f^*d\Omega\widehat f=\|f\|_w^2 ∫ f ∗ d Ω f = ∥ f ∥ w 2 f , g f,g f , g ▨
命題 5.4. 実自己共役分離型 Sturm–Liouville 問題に対する Weyl 行列M M M Ω \Omega Ω c < d c<d c < d
lim ε ↓ 0 1 π ∫ c d ℑ M ( t + i ε ) d t = Ω ( ( c , d ) ) + 1 2 Ω ( { c } ) + 1 2 Ω ( { d } ) \lim_{\varepsilon\downarrow0}\frac1\pi\int_c^d\Im M(t+i\varepsilon)\,dt
=\Omega((c,d))+\frac12\Omega(\{c\})+\frac12\Omega(\{d\}) ε ↓ 0 lim π 1 ∫ c d ℑ M ( t + i ε ) d t = Ω (( c , d )) + 2 1 Ω ({ c }) + 2 1 Ω ({ d }) であり、すべてのλ ∈ R \lambda\in\R λ ∈ R
Ω ( { λ } ) = lim ε ↓ 0 ε ℑ M ( λ + i ε ) \Omega(\{\lambda\})=\lim_{\varepsilon\downarrow0}\varepsilon\Im M(\lambda+i\varepsilon) Ω ({ λ }) = ε ↓ 0 lim ε ℑ M ( λ + i ε ) である。極限は有限次元行列のノルムについて取る。正則な左端をもつ問題のm , ρ m,\rho m , ρ
証明. 行列の局所表示に定数ベクトルv v v v ∗ Ω v v^*\Omega v v ∗ Ω v ε 2 / ( ( t − λ ) 2 + ε 2 ) \varepsilon^2/((t-\lambda)^2+\varepsilon^2) ε 2 / (( t − λ ) 2 + ε 2 ) 命題 2.2 である。▨
定理 5.5. p , q , w p,q,w p , q , w p , w > 0 p,w>0 p , w > 0 1 / p , q , w ∈ L l o c 1 ( a , b ; R ) 1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b;\R) 1/ p , q , w ∈ L loc 1 ( a , b ; R ) A A A y = ( θ , φ ) T y=(\theta,\varphi)^{\mathsf T} y = ( θ , φ ) T Ω \Omega Ω
( U f ) ( λ ) = ∫ a b y ( λ , x ) f ( x ) w ( x ) d x (Uf)(\lambda)=\int_a^b y(\lambda,x)f(x)w(x)\,dx ( U f ) ( λ ) = ∫ a b y ( λ , x ) f ( x ) w ( x ) d x はH H H L 2 ( Ω ) L^2(\Omega) L 2 ( Ω ) μ = tr Ω \mu=\operatorname{tr}\Omega μ = tr Ω R = d Ω / d μ R=d\Omega/d\mu R = d Ω/ d μ
⟨ f , g ⟩ w = ∫ R ( U g ) ∗ R ( U f ) d μ , U E ( B ) f = 1 B U f \langle f,g\rangle_w=\int_\R(Ug)^*R(Uf)\,d\mu,\qquad
UE(B)f=\mathbf1_BUf ⟨ f , g ⟩ w = ∫ R ( U g ) ∗ R ( U f ) d μ , U E ( B ) f = 1 B U f である。逆変換は
U − 1 F = lim r → ∞ ∫ [ − r , r ] y ( λ , ⋅ ) T R ( λ ) F ( λ ) d μ ( λ ) U^{-1}F=\lim_{r\to\infty}\int_{[-r,r]}y(\lambda,\cdot)^{\mathsf T}R(\lambda)F(\lambda)\,d\mu(\lambda) U − 1 F = r → ∞ lim ∫ [ − r , r ] y ( λ , ⋅ ) T R ( λ ) F ( λ ) d μ ( λ ) というH H H
U D ( A ) = { F ∈ L 2 ( Ω ) : ∫ R λ 2 F ∗ R F d μ < ∞ } , U A f = λ U f ( f ∈ D ( A ) ) UD(A)=\left\{F\in L^2(\Omega):\int_\R\lambda^2F^*RF\,d\mu<\infty\right\},\qquad
UAf=\lambda Uf\quad(f\in D(A)) U D ( A ) = { F ∈ L 2 ( Ω ) : ∫ R λ 2 F ∗ R F d μ < ∞ } , U A f = λ U f ( f ∈ D ( A )) が成り立つ。
証明. 定理 5.3 により、y = ( θ , φ ) T y=(\theta,\varphi)^{\mathsf T} y = ( θ , φ ) T Ω \Omega Ω 補題 3.3 の二成分の射影因子化を満たす。基本解は実パラメータで実数値をとり、( λ , x ) (\lambda,x) ( λ , x )
任意のλ 0 ∈ R \lambda_0\in\R λ 0 ∈ R K K K h j = 1 K y j ( λ 0 , ⋅ ) h_j=\mathbf1_Ky_j(\lambda_0,\cdot) h j = 1 K y j ( λ 0 , ⋅ ) j = 1 , 2 j=1,2 j = 1 , 2 C ( λ ) = ( U 0 h 1 ( λ ) , U 0 h 2 ( λ ) ) C(\lambda)=(U_0h_1(\lambda),U_0h_2(\lambda)) C ( λ ) = ( U 0 h 1 ( λ ) , U 0 h 2 ( λ )) C ( λ 0 ) C(\lambda_0) C ( λ 0 ) K K K C ( λ 0 ) C(\lambda_0) C ( λ 0 ) λ 0 \lambda_0 λ 0 C C C ▨
6 極限円型端点と結合型条件 定理 6.1. p , q , w p,q,w p , q , w p , w > 0 p,w>0 p , w > 0 1 / p , q , w ∈ L l o c 1 ( a , b ; R ) 1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b;\R) 1/ p , q , w ∈ L loc 1 ( a , b ; R ) A A A
Γ b u = e i η T Γ a u , T ∈ SL 2 ( R ) , 0 ≤ η < π \Gamma_bu=e^{i\eta}T\Gamma_au,\qquad T\in \SL_2(\R),\quad0\le\eta<\pi Γ b u = e i η T Γ a u , T ∈ SL 2 ( R ) , 0 ≤ η < π の場合も、非実数でのレゾルベントは二乗可積分核をもち、コンパクトである。
内点で標準化した二基本解y = ( θ , φ ) T y=(\theta,\varphi)^{\mathsf T} y = ( θ , φ ) T
G z ( x , t ) = y ( z , x ) T M A ( z ) y ( z , t ) + K z ( x , t ) G_z(x,t)=y(z,x)^{\mathsf T}M_A(z)y(z,t)+K_z(x,t) G z ( x , t ) = y ( z , x ) T M A ( z ) y ( z , t ) + K z ( x , t ) と表される。K z K_z K z 補題 5.2 の核であり、M A M_A M A M A ( z ‾ ) ∗ = M A ( z ) M_A(\overline z)^*=M_A(z) M A ( z ) ∗ = M A ( z ) ℑ M A ≥ 0 \Im M_A\ge0 ℑ M A ≥ 0 M A M_A M A Ω A \Omega_A Ω A
さらにA A A ( e j ) (e_j) ( e j ) e j ( x ) = y ( λ j , x ) T c j e_j(x)=y(\lambda_j,x)^{\mathsf T}c_j e j ( x ) = y ( λ j , x ) T c j
Ω A = ∑ j c j c j ∗ δ λ j , f = ∑ j ⟨ f , e j ⟩ w e j \Omega_A=\sum_jc_jc_j^*\delta_{\lambda_j},\qquad
f=\sum_j\langle f,e_j\rangle_w e_j Ω A = j ∑ c j c j ∗ δ λ j , f = j ∑ ⟨ f , e j ⟩ w e j であり、最後の級数はH H H
証明. 固定非実数z z z θ z , φ z ∈ H \theta_z,\varphi_z\in H θ z , φ z ∈ H c ∈ ( a , b ) c\in(a,b) c ∈ ( a , b ) f ∈ H f\in H f ∈ H
v z ( x ) = ∫ c x { θ z ( x ) φ z ( t ) − φ z ( x ) θ z ( t ) } f ( t ) w ( t ) d t v_z(x)=\int_c^x\{\theta_z(x)\varphi_z(t)-\varphi_z(x)\theta_z(t)\}f(t)w(t)\,dt v z ( x ) = ∫ c x { θ z ( x ) φ z ( t ) − φ z ( x ) θ z ( t )} f ( t ) w ( t ) d t と置く。Cauchy–Schwarz の不等式により二つの係数積分は各半区間で有界であり、v z ∈ H v_z\in H v z ∈ H v z , v z [ 1 ] v_z,v_z^{[1]} v z , v z [ 1 ] ( ℓ − z w ) v z = w f (\ell-zw)v_z=wf ( ℓ − z w ) v z = w f v z ( c ) = v z [ 1 ] ( c ) = 0 v_z(c)=v_z^{[1]}(c)=0 v z ( c ) = v z [ 1 ] ( c ) = 0 v z ∈ D ( T max ) v_z\in D(T_{\max}) v z ∈ D ( T m a x )
一般化境界値の連立条件をB Γ u = 0 B\Gamma u=0 B Γ u = 0 B B B u = v z + d 1 θ z + d 2 φ z u=v_z+d_1\theta_z+d_2\varphi_z u = v z + d 1 θ z + d 2 φ z
B Γ ( θ z , φ z ) ( d 1 d 2 ) = − B Γ v z B\Gamma(\theta_z,\varphi_z)\begin{pmatrix}d_1\\d_2\end{pmatrix}=-B\Gamma v_z B Γ ( θ z , φ z ) ( d 1 d 2 ) = − B Γ v z である。左辺の二行二列行列が特異ならば、非零の斉次解がD ( A ) D(A) D ( A ) d 1 , d 2 d_1,d_2 d 1 , d 2
例えば右端では、v z v_z v z
Γ b v z = ( Γ b θ z ) ∫ c b φ z f w − ( Γ b φ z ) ∫ c b θ z f w \Gamma_bv_z=(\Gamma_b\theta_z)\int_c^b\varphi_zfw
-(\Gamma_b\varphi_z)\int_c^b\theta_zfw Γ b v z = ( Γ b θ z ) ∫ c b φ z f w − ( Γ b φ z ) ∫ c b θ z f w である。積分は絶対収束し、Γ b θ z , Γ b φ z \Gamma_b\theta_z,\Gamma_b\varphi_z Γ b θ z , Γ b φ z d 1 , d 2 d_1,d_2 d 1 , d 2 ∫ a c θ z f w \int_a^c\theta_zfw ∫ a c θ z f w ∫ a c φ z f w \int_a^c\varphi_zfw ∫ a c φ z f w ∫ c b θ z f w \int_c^b\theta_zfw ∫ c b θ z f w ∫ c b φ z f w \int_c^b\varphi_zfw ∫ c b φ z f w u u u D ( A ) D(A) D ( A ) ( A − z I ) u = f (A-zI)u=f ( A − z I ) u = f u = ( A − z I ) − 1 f u=(A-zI)^{-1}f u = ( A − z I ) − 1 f H H H L 2 ( w d x ⊗ w d t ) L^2(w\,dx\otimes w\,dt) L 2 ( w d x ⊗ w d t ) §E12.2 定理 2.3 によりレゾルベントはコンパクトである。
構成したレゾルベント核G z G_z G z K z K_z K z x = t x=t x = t x x x G z ( x , t ) = G z ‾ ( t , x ) ‾ G_z(x,t)=\overline{G_{\overline z}(t,x)} G z ( x , t ) = G z ( t , x ) t t t M A ( z ) M_A(z) M A ( z ) y ( z , x ) T M A ( z ) y ( z , t ) y(z,x)^{\mathsf T}M_A(z)y(z,t) y ( z , x ) T M A ( z ) y ( z , t ) M A ( z ‾ ) ∗ = M A ( z ) M_A(\overline z)^*=M_A(z) M A ( z ) ∗ = M A ( z )
任意の非実数z 0 z_0 z 0 h 1 , h 2 h_1,h_2 h 1 , h 2 C ( z 0 ) C(z_0) C ( z 0 ) Q Q Q K z K_z K z H H H
M A ( z ) = C ( z ) − T ( Q ( z ) − H ( z ) ) C ( z ) − 1 M_A(z)=C(z)^{-\mathsf T}(Q(z)-H(z))C(z)^{-1} M A ( z ) = C ( z ) − T ( Q ( z ) − H ( z )) C ( z ) − 1 となるので、M A M_A M A z 0 z_0 z 0 z 0 z_0 z 0
補題 5.2 の二つの列g 1 , g 2 g_1,g_2 g 1 , g 2 G z G_z G z A A A h = α g 1 + β g 2 h=\alpha g_1+\beta g_2 h = α g 1 + β g 2 [ h , h ] ( b ) − [ h , h ] ( a ) = 0 [h,h](b)-[h,h](a)=0 [ h , h ] ( b ) − [ h , h ] ( a ) = 0 c c c β , − α \beta,-\alpha β , − α
v ∗ ℑ M A ( z ) v = ( ℑ z ) ∥ h ∥ w 2 ≥ 0 v^*\Im M_A(z)v=(\Im z)\|h\|_w^2\ge0 v ∗ ℑ M A ( z ) v = ( ℑ z ) ∥ h ∥ w 2 ≥ 0 を得る。
実λ 0 \lambda_0 λ 0 h j = 1 K y j ( λ 0 , ⋅ ) h_j=\mathbf1_K y_j(\lambda_0,\cdot) h j = 1 K y j ( λ 0 , ⋅ ) Σ \Sigma Σ d Ω A = C − T d Σ C − 1 d\Omega_A=C^{-\mathsf T}d\Sigma C^{-1} d Ω A = C − T d Σ C − 1 定理 5.3 の差商による正則性の証明では、実軸上の残余の Hermite 性だけを用いている。レゾルベント核G z G_z G z K z K_z K z y y y C C C C C C y , Ω A y,\Omega_A y , Ω A 補題 3.3 の二つの仮定を満たし、ユニタリな二成分展開、逆変換、最大乗算域を得る。
F r = im E ( [ − r , r ] ) F_r=\im E([-r,r]) F r = im E ([ − r , r ]) σ f ( B ) = ⟨ E ( B ) f , f ⟩ w \sigma_f(B)=\langle E(B)f,f\rangle_w σ f ( B ) = ⟨ E ( B ) f , f ⟩ w
∥ ( A − i I ) − 1 f ∥ w 2 = ∫ [ − r , r ] d σ f ( λ ) 1 + λ 2 ≥ ∥ f ∥ w 2 1 + r 2 ( f ∈ F r ) \|(A-iI)^{-1}f\|_w^2
=\int_{[-r,r]}\frac{d\sigma_f(\lambda)}{1+\lambda^2}
\ge\frac{\|f\|_w^2}{1+r^2}\qquad(f\in F_r) ∥ ( A − i I ) − 1 f ∥ w 2 = ∫ [ − r , r ] 1 + λ 2 d σ f ( λ ) ≥ 1 + r 2 ∥ f ∥ w 2 ( f ∈ F r ) である。F r F_r F r ( f n ) (f_n) ( f n ) f n − f m f_n-f_m f n − f m 2 / ( 1 + r 2 ) \sqrt{2/(1+r^2)} 2/ ( 1 + r 2 ) F r F_r F r F r ⊂ D ( A ) F_r\subset D(A) F r ⊂ D ( A ) A A A A ∣ F r A|_{F_r} A ∣ F r F 1 F_1 F 1 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 F n ⊖ F n − 1 F_n\ominus F_{n-1} F n ⊖ F n − 1 E ( [ − n , n ] ) → I E([-n,n])\to I E ([ − n , n ]) → I F r F_r F r
各固有関数はℓ e j = λ j w e j \ell e_j=\lambda_jwe_j ℓ e j = λ j w e j e j = y ( λ j , ⋅ ) T c j e_j=y(\lambda_j,\cdot)^{\mathsf T}c_j e j = y ( λ j , ⋅ ) T c j
⟨ E ( B ) f , g ⟩ w = ∑ λ j ∈ B ( g ^ ( λ j ) ) ∗ c j c j ∗ f ^ ( λ j ) . \langle E(B)f,g\rangle_w
=\sum_{\lambda_j\in B}(\widehat g(\lambda_j))^*c_jc_j^*\widehat f(\lambda_j). ⟨ E ( B ) f , g ⟩ w = λ j ∈ B ∑ ( g ( λ j ) ) ∗ c j c j ∗ f ( λ j ) . 局所の可逆モーメント行列を使えば、測度の一意性からΩ A = ∑ j c j c j ∗ δ λ j \Omega_A=\sum_jc_jc_j^*\delta_{\lambda_j} Ω A = ∑ j c j c j ∗ δ λ j ▨
例 6.3. L > 0 L>0 L > 0 0 < η < π 0<\eta<\pi 0 < η < π L 2 ( 0 , L ) L^2(0,L) L 2 ( 0 , L ) A u = − u ′ ′ Au=-u'' A u = − u ′′
D ( A ) = { u : u , u ′ ∈ A C [ 0 , L ] , u ′ ′ ∈ L 2 ( 0 , L ) , u ( L ) = e i η u ( 0 ) , u ′ ( L ) = e i η u ′ ( 0 ) } D(A)=\{u:u,u'\in AC[0,L],\ u''\in L^2(0,L),\ u(L)=e^{i\eta}u(0),\ u'(L)=e^{i\eta}u'(0)\} D ( A ) = { u : u , u ′ ∈ A C [ 0 , L ] , u ′′ ∈ L 2 ( 0 , L ) , u ( L ) = e i η u ( 0 ) , u ′ ( L ) = e i η u ′ ( 0 )} を与える。内点c ∈ ( 0 , L ) c\in(0,L) c ∈ ( 0 , L ) n ∈ Z n\in\Z n ∈ Z
k n = 2 π n + η L , λ n = k n 2 , e n ( x ) = L − 1 / 2 e i k n ( x − c ) k_n=\frac{2\pi n+\eta}{L},\qquad
\lambda_n=k_n^2,\qquad e_n(x)=L^{-1/2}e^{ik_n(x-c)} k n = L 2 π n + η , λ n = k n 2 , e n ( x ) = L − 1/2 e i k n ( x − c ) と置く。このとき、A A A λ n \lambda_n λ n ( e n ) n ∈ Z (e_n)_{n\in\Z} ( e n ) n ∈ Z c c c
Ω A = 1 L ∑ n ∈ Z ( 1 − i k n i k n k n 2 ) δ k n 2 \Omega_A=\frac1L\sum_{n\in\Z}
\begin{pmatrix}1&-ik_n\\ik_n&k_n^2\end{pmatrix}\delta_{k_n^2} Ω A = L 1 n ∈ Z ∑ ( 1 i k n − i k n k n 2 ) δ k n 2 である。各原子は階数一の非負 Hermite 行列であり、非対角成分は非零の純虚数である。
証明. §E13.30 定理 3.4 の結合型条件で実行列をI I I A A A u ∈ D ( A ) u\in D(A) u ∈ D ( A ) u ′ ( L ) u ( L ) ‾ = u ′ ( 0 ) u ( 0 ) ‾ u'(L)\overline{u(L)}=u'(0)\overline{u(0)} u ′ ( L ) u ( L ) = u ′ ( 0 ) u ( 0 )
⟨ A u , u ⟩ = ∫ 0 L ∣ u ′ ( x ) ∣ 2 d x ≥ 0 \langle Au,u\rangle=\int_0^L|u'(x)|^2\,dx\ge0 ⟨ A u , u ⟩ = ∫ 0 L ∣ u ′ ( x ) ∣ 2 d x ≥ 0 となる。従って固有値は非負である。零固有値の解は一次関数であり、u ′ ( L ) = e i η u ′ ( 0 ) u'(L)=e^{i\eta}u'(0) u ′ ( L ) = e i η u ′ ( 0 ) e i η ≠ 1 e^{i\eta}\ne1 e i η = 1
正の固有値をk 2 k^2 k 2 k > 0 k>0 k > 0 u ( x ) = a e i k ( x − c ) + b e − i k ( x − c ) u(x)=a e^{ik(x-c)}+b e^{-ik(x-c)} u ( x ) = a e ik ( x − c ) + b e − ik ( x − c )
( e i k L − e i η ) a = 0 , ( e − i k L − e i η ) b = 0 (e^{ikL}-e^{i\eta})a=0,\qquad
(e^{-ikL}-e^{i\eta})b=0 ( e ik L − e i η ) a = 0 , ( e − ik L − e i η ) b = 0 を得る。0 < η < π 0<\eta<\pi 0 < η < π e i t ( x − c ) e^{it(x-c)} e i t ( x − c ) t = ( 2 π n + η ) / L t=(2\pi n+\eta)/L t = ( 2 π n + η ) / L n ∈ Z n\in\Z n ∈ Z λ n \lambda_n λ n k n 2 = k m 2 k_n^2=k_m^2 k n 2 = k m 2 n = m n=m n = m n + m = − η / π n+m=-\eta/\pi n + m = − η / π ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 )
∥ e n ∥ 2 2 = L − 1 ∫ 0 L d x = 1 \|e_n\|_2^2=L^{-1}\int_0^Ldx=1 ∥ e n ∥ 2 2 = L − 1 ∫ 0 L d x = 1 定理 6.1 によりA A A ( e n ) (e_n) ( e n )
内点c c c
θ k 2 ( x ) = cos ( k ( x − c ) ) , φ k 2 ( x ) = sin ( k ( x − c ) ) k \theta_{k^2}(x)=\cos(k(x-c)),\qquad
\varphi_{k^2}(x)=\frac{\sin(k(x-c))}{k} θ k 2 ( x ) = cos ( k ( x − c )) , φ k 2 ( x ) = k sin ( k ( x − c )) である。従ってe n = y ( λ n , ⋅ ) T c n e_n=y(\lambda_n,\cdot)^{\mathsf T}c_n e n = y ( λ n , ⋅ ) T c n c n = L − 1 / 2 ( 1 , i k n ) T c_n=L^{-1/2}(1,ik_n)^{\mathsf T} c n = L − 1/2 ( 1 , i k n ) T
C n = c n c n ∗ = 1 L ( 1 − i k n i k n k n 2 ) C_n=c_nc_n^*=\frac1L
\begin{pmatrix}1&-ik_n\\ik_n&k_n^2\end{pmatrix} C n = c n c n ∗ = L 1 ( 1 i k n − i k n k n 2 ) を得る。外積の形からC n ≥ 0 C_n\ge0 C n ≥ 0 det C n = 0 \det C_n=0 det C n = 0 tr C n = ( 1 + k n 2 ) / L > 0 \operatorname{tr}C_n=(1+k_n^2)/L>0 tr C n = ( 1 + k n 2 ) / L > 0 k n ≠ 0 k_n\ne0 k n = 0
λ n \lambda_n λ n
M A ( z ) = C n λ n − z + H n ( z ) M_A(z)=\frac{C_n}{\lambda_n-z}+H_n(z) M A ( z ) = λ n − z C n + H n ( z ) となる。H n H_n H n
lim ε ↓ 0 ε ℑ M A ( λ n + i ε ) = C n \lim_{\varepsilon\downarrow0}\varepsilon\Im M_A(\lambda_n+i\varepsilon)=C_n ε ↓ 0 lim ε ℑ M A ( λ n + i ε ) = C n である。一方、各成分の虚部を並べた行列では
lim ε ↓ 0 ε ( ℑ ( ( M A ( λ n + i ε ) ) i j ) ) i , j = 1 2 = ( ℜ ( ( C n ) i j ) ) i , j = 1 2 = 1 L ( 1 0 0 k n 2 ) . \lim_{\varepsilon\downarrow0}
\varepsilon\bigl(\Im((M_A(\lambda_n+i\varepsilon))_{ij})\bigr)_{i,j=1}^2
=\bigl(\Re((C_n)_{ij})\bigr)_{i,j=1}^2
=\frac1L\begin{pmatrix}1&0\\0&k_n^2\end{pmatrix}. ε ↓ 0 lim ε ( ℑ (( M A ( λ n + i ε ) ) ij ) ) i , j = 1 2 = ( ℜ (( C n ) ij ) ) i , j = 1 2 = L 1 ( 1 0 0 k n 2 ) . この成分ごとの反転では、原子の非対角成分が失われる。▨
7 境界値とスペクトル密度 命題 7.1. 実自己共役分離型 Sturm–Liouville 問題の Weyl 関数m m m ρ \rho ρ M M M Ω \Omega Ω M A , Ω A M_A,\Omega_A M A , Ω A I I I ℑ m \Im m ℑ m ℑ M \Im M ℑ M I I I
d ρ ( λ ) = 1 π ℑ m ( λ + i 0 ) d λ , d Ω ( λ ) = 1 π ℑ M ( λ + i 0 ) d λ d\rho(\lambda)=\frac1\pi\Im m(\lambda+i0)\,d\lambda,
\qquad
d\Omega(\lambda)=\frac1\pi\Im M(\lambda+i0)\,d\lambda d ρ ( λ ) = π 1 ℑ m ( λ + i 0 ) d λ , d Ω ( λ ) = π 1 ℑ M ( λ + i 0 ) d λ がそれぞれ成り立つ。
証明. 任意の[ c , d ] ⊂ I [c,d]\subset I [ c , d ] ⊂ I [ c , d ] [c,d] [ c , d ] I I I 命題 5.4 に境界値への一様収束を代入すると、( c , d ) (c,d) ( c , d ) I I I ▨
例 7.2. L 2 ( 0 , ∞ ) L^2(0,\infty) L 2 ( 0 , ∞ ) − u ′ ′ -u'' − u ′′ u ( 0 ) = 0 u(0)=0 u ( 0 ) = 0 u ′ ( 0 ) = 0 u'(0)=0 u ′ ( 0 ) = 0
( S f ) ( k ) = 2 π ∫ 0 ∞ sin ( k x ) f ( x ) d x , ( C f ) ( k ) = 2 π ∫ 0 ∞ cos ( k x ) f ( x ) d x (\mathcal Sf)(k)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^\infty\sin(kx)f(x)\,dx,
\qquad
(\mathcal Cf)(k)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^\infty\cos(kx)f(x)\,dx ( S f ) ( k ) = π 2 ∫ 0 ∞ sin ( k x ) f ( x ) d x , ( C f ) ( k ) = π 2 ∫ 0 ∞ cos ( k x ) f ( x ) d x はコンパクト台関数からL 2 ( 0 , ∞ ; d k ) L^2(0,\infty;dk) L 2 ( 0 , ∞ ; d k ) 定理 4.1 の最大定義域をもつk 2 k^2 k 2
証明. k = z k=\sqrt z k = z C ∖ [ 0 , ∞ ) \C\setminus[0,\infty) C ∖ [ 0 , ∞ ) ℑ k > 0 \Im k>0 ℑ k > 0 e i k x e^{ikx} e ik x θ z = cos ( k x ) \theta_z=\cos(kx) θ z = cos ( k x ) φ z = sin ( k x ) / k \varphi_z=\sin(kx)/k φ z = sin ( k x ) / k θ z + m φ z = e i k x \theta_z+m\varphi_z=e^{ikx} θ z + m φ z = e ik x m ( z ) = i k m(z)=ik m ( z ) = ik θ z = − sin ( k x ) / k \theta_z=-\sin(kx)/k θ z = − sin ( k x ) / k φ z = cos ( k x ) \varphi_z=\cos(kx) φ z = cos ( k x ) W ( θ z , φ z ) = 1 W(\theta_z,\varphi_z)=1 W ( θ z , φ z ) = 1 m ( z ) = i / k m(z)=i/k m ( z ) = i / k
正の実軸上では命題 7.1 により
d ρ D ( λ ) = λ π d λ , d ρ N ( λ ) = 1 π λ d λ ( λ > 0 ) d\rho_D(\lambda)=\frac{\sqrt\lambda}{\pi}\,d\lambda,\qquad
d\rho_N(\lambda)=\frac{1}{\pi\sqrt\lambda}\,d\lambda\qquad(\lambda>0) d ρ D ( λ ) = π λ d λ , d ρ N ( λ ) = π λ 1 d λ ( λ > 0 ) である。負の実軸上ではk = i − λ k=i\sqrt{-\lambda} k = i − λ λ = 0 \lambda=0 λ = 0 ε ℑ m ( i ε ) → 0 \varepsilon\Im m(i\varepsilon)\to0 ε ℑ m ( i ε ) → 0
λ = k 2 \lambda=k^2 λ = k 2 k > 0 k>0 k > 0 d ρ D = 2 k 2 d k / π d\rho_D=2k^2dk/\pi d ρ D = 2 k 2 d k / π d ρ N = 2 d k / π d\rho_N=2dk/\pi d ρ N = 2 d k / π U f Uf U f k − 1 ∫ sin ( k x ) f ( x ) d x k^{-1}\int\sin(kx)f(x)dx k − 1 ∫ sin ( k x ) f ( x ) d x U f ( k 2 ) Uf(k^2) U f ( k 2 ) 2 / π k \sqrt{2/\pi}\,k 2/ π k S f \mathcal Sf S f 2 / π U f ( k 2 ) = C f \sqrt{2/\pi}\,Uf(k^2)=\mathcal Cf 2/ π U f ( k 2 ) = C f 定理 4.1 から全射性、逆変換と作用素の表示を得る。▨
例 7.3. L 2 ( R ) L^2(\R) L 2 ( R ) − u ′ ′ -u'' − u ′′ A A A
d Ω ( λ ) = 1 ( 0 , ∞ ) ( λ ) 2 π ( λ − 1 / 2 0 0 λ 1 / 2 ) d λ d\Omega(\lambda)=\frac{\mathbf1_{(0,\infty)}(\lambda)}{2\pi}
\begin{pmatrix}\lambda^{-1/2}&0\\0&\lambda^{1/2}\end{pmatrix}d\lambda d Ω ( λ ) = 2 π 1 ( 0 , ∞ ) ( λ ) ( λ − 1/2 0 0 λ 1/2 ) d λ である。この二成分展開は
( F f ) ( ξ ) = 1 2 π ∫ R e − i ξ x f ( x ) d x (\mathcal Ff)(\xi)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_\R e^{-i\xi x}f(x)\,dx ( F f ) ( ξ ) = 2 π 1 ∫ R e − i ξ x f ( x ) d x による通常の Fourier 変換とユニタリ同値である。F \mathcal F F L 2 ( R ) L^2(\R) L 2 ( R ) F A F − 1 F = ξ 2 F \mathcal F A\mathcal F^{-1}F=\xi^2F F A F − 1 F = ξ 2 F
証明. 自由式の両端は極限点型であり、§E13.31 例 6.1 (5) により最大実現は自己共役である。θ z = cos ( k x ) \theta_z=\cos(kx) θ z = cos ( k x ) φ z = sin ( k x ) / k \varphi_z=\sin(kx)/k φ z = sin ( k x ) / k m + = i k m_+=ik m + = ik m − = − i k m_-=-ik m − = − ik
M ( z ) = ( i / ( 2 k ) 0 0 i k / 2 ) . M(z)=\begin{pmatrix}i/(2k)&0\\0&ik/2\end{pmatrix}. M ( z ) = ( i / ( 2 k ) 0 0 ik /2 ) . 正の実軸で虚部の境界値を取り、負の実軸での正則な実境界値と零での原子の消滅を確かめると、表示された測度を得る。
コンパクト台関数についてC ( k ) = ∫ R cos ( k x ) f ( x ) d x C(k)=\int_\R\cos(kx)f(x)dx C ( k ) = ∫ R cos ( k x ) f ( x ) d x S ( k ) = ∫ R sin ( k x ) f ( x ) d x S(k)=\int_\R\sin(kx)f(x)dx S ( k ) = ∫ R sin ( k x ) f ( x ) d x k > 0 k>0 k > 0 ( C ( k ) , S ( k ) / k ) T (C(k),S(k)/k)^{\mathsf T} ( C ( k ) , S ( k ) / k ) T
1 π ∫ 0 ∞ ( ∣ C ( k ) ∣ 2 + ∣ S ( k ) ∣ 2 ) d k \frac1\pi\int_0^\infty(|C(k)|^2+|S(k)|^2)\,dk π 1 ∫ 0 ∞ ( ∣ C ( k ) ∣ 2 + ∣ S ( k ) ∣ 2 ) d k となる。一方、正負の周波数で
F f ( k ) = C ( k ) − i S ( k ) 2 π , F f ( − k ) = C ( k ) + i S ( k ) 2 π . \mathcal Ff(k)=\frac{C(k)-iS(k)}{\sqrt{2\pi}},\qquad
\mathcal Ff(-k)=\frac{C(k)+iS(k)}{\sqrt{2\pi}}. F f ( k ) = 2 π C ( k ) − i S ( k ) , F f ( − k ) = 2 π C ( k ) + i S ( k ) . この二行二列の変換は、上の重み付き二成分空間から正負の周波数のL 2 L^2 L 2 定理 5.5 と合成して結論を得る。正の各エネルギーに二つの独立な成分が対応することも、この表示に現れている。▨
例 7.4. γ > 0 \gamma>0 γ > 0 L 2 ( 0 , ∞ ) L^2(0,\infty) L 2 ( 0 , ∞ ) − u ′ ′ -u'' − u ′′ u ′ ( 0 ) = − γ u ( 0 ) u'(0)=-\gamma u(0) u ′ ( 0 ) = − γ u ( 0 ) φ z ( 0 ) = 1 \varphi_z(0)=1 φ z ( 0 ) = 1 φ z ′ ( 0 ) = − γ \varphi_z'(0)=-\gamma φ z ′ ( 0 ) = − γ
d ρ ( λ ) = λ π ( γ 2 + λ ) 1 ( 0 , ∞ ) ( λ ) d λ + 2 γ δ − γ 2 d\rho(\lambda)=\frac{\sqrt\lambda}{\pi(\gamma^2+\lambda)}\mathbf1_{(0,\infty)}(\lambda)\,d\lambda
+2\gamma\,\delta_{-\gamma^2} d ρ ( λ ) = π ( γ 2 + λ ) λ 1 ( 0 , ∞ ) ( λ ) d λ + 2 γ δ − γ 2 である。連続密度だけを用いた展開では、固有値− γ 2 -\gamma^2 − γ 2
証明. k = z k=\sqrt z k = z ℑ k > 0 \Im k>0 ℑ k > 0
φ z ( x ) = cos ( k x ) − γ k sin ( k x ) , θ z ( x ) = − sin ( k x ) k \varphi_z(x)=\cos(kx)-\frac\gamma k\sin(kx),\qquad
\theta_z(x)=-\frac{\sin(kx)}k φ z ( x ) = cos ( k x ) − k γ sin ( k x ) , θ z ( x ) = − k sin ( k x ) と置くとW ( θ z , φ z ) = 1 W(\theta_z,\varphi_z)=1 W ( θ z , φ z ) = 1 θ z + m φ z \theta_z+m\varphi_z θ z + m φ z e i k x e^{ikx} e ik x − 1 − γ m = i k m -1-\gamma m=ikm − 1 − γ m = ik m m ( z ) = − 1 / ( γ + i k ) m(z)=-1/(\gamma+ik) m ( z ) = − 1/ ( γ + ik ) λ > 0 \lambda>0 λ > 0 λ / ( γ 2 + λ ) \sqrt\lambda/(\gamma^2+\lambda) λ / ( γ 2 + λ ) − γ 2 -\gamma^2 − γ 2 z = − γ 2 z=-\gamma^2 z = − γ 2 k = i γ k=i\gamma k = iγ ( γ + i z ) ′ = 1 / ( 2 γ ) (\gamma+i\sqrt z)'=1/(2\gamma) ( γ + i z ) ′ = 1/ ( 2 γ )
m ( z ) = − 2 γ z + γ 2 + O ( 1 ) m(z)=-\frac{2\gamma}{z+\gamma^2}+O(1) m ( z ) = − z + γ 2 2 γ + O ( 1 ) であり、原子の質量は2 γ 2\gamma 2 γ
この固有値でφ − γ 2 ( x ) = e − γ x \varphi_{-\gamma^2}(x)=e^{-\gamma x} φ − γ 2 ( x ) = e − γ x 1 / ( 2 γ ) 1/(2\gamma) 1/ ( 2 γ ) 2 γ e − γ x \sqrt{2\gamma}e^{-\gamma x} 2 γ e − γ x §E12.15 命題 3.1 (3) と射影因子化により、その変換は− γ 2 -\gamma^2 − γ 2 ▨
8 調和振動子と Hermite 展開 定義 8.1. 多項式列( H n ) n ∈ N ≥ 0 (H_n)_{n\in\N} ( H n ) n ∈ N ≥ 0
H 0 ( x ) = 1 , H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − H n ′ ( x ) H_0(x)=1,\qquad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n'(x) H 0 ( x ) = 1 , H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − H n ′ ( x ) によって定める。この列を Hermite 多項式列 (Hermite polynomials )h n ( x ) = H n ( x ) e − x 2 / 2 h_n(x)=H_n(x)e^{-x^2/2} h n ( x ) = H n ( x ) e − x 2 /2
補題 8.2. 定義 8.1 の漸化式で定めたH n H_n H n n n n 2 n 2^n 2 n n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0
H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 , H n ′ ′ − 2 x H n ′ + 2 n H n = 0 H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2},\qquad
H_n''-2xH_n'+2nH_n=0 H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d x n d n e − x 2 , H n ′′ − 2 x H n ′ + 2 n H n = 0 を満たす。またn ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 H n ′ = 2 n H n − 1 H_n'=2nH_{n-1} H n ′ = 2 n H n − 1
− h n ′ ′ + x 2 h n = ( 2 n + 1 ) h n , ∥ h n ∥ L 2 ( R ) 2 = 2 n n ! π . -h_n''+x^2h_n=(2n+1)h_n,
\qquad
\|h_n\|_{L^2(\R)}^2=2^n n!\sqrt\pi. − h n ′′ + x 2 h n = ( 2 n + 1 ) h n , ∥ h n ∥ L 2 ( R ) 2 = 2 n n ! π . 証明. 次数と最高係数は漸化式の第一項が次数を一つ上げ、微分項が次数を一つ下げることから帰納的に従う。Rodrigues 公式の右辺をP n P_n P n P 0 = 1 P_0=1 P 0 = 1 P n + 1 = 2 x P n − P n ′ P_{n+1}=2xP_n-P_n' P n + 1 = 2 x P n − P n ′ P n = H n P_n=H_n P n = H n
H 1 = 2 x H_1=2x H 1 = 2 x n = 1 n=1 n = 1 n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 H n ′ = 2 n H n − 1 H_n'=2nH_{n-1} H n ′ = 2 n H n − 1 H n ′ ′ = 2 n H n − 1 ′ H_n''=2nH_{n-1}' H n ′′ = 2 n H n − 1 ′ 2 x H n − 1 − H n − 1 ′ = H n 2xH_{n-1}-H_{n-1}'=H_n 2 x H n − 1 − H n − 1 ′ = H n
H n + 1 ′ = 2 H n + 2 x H n ′ − H n ′ ′ = 2 H n + 2 n ( 2 x H n − 1 − H n − 1 ′ ) = 2 ( n + 1 ) H n . H_{n+1}'=2H_n+2xH_n'-H_n''
=2H_n+2n(2xH_{n-1}-H_{n-1}')=2(n+1)H_n. H n + 1 ′ = 2 H n + 2 x H n ′ − H n ′′ = 2 H n + 2 n ( 2 x H n − 1 − H n − 1 ′ ) = 2 ( n + 1 ) H n . 従って全n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 H n + 1 ′ = 2 H n + 2 x H n ′ − H n ′ ′ = 2 ( n + 1 ) H n H_{n+1}'=2H_n+2xH_n'-H_n''=2(n+1)H_n H n + 1 ′ = 2 H n + 2 x H n ′ − H n ′′ = 2 ( n + 1 ) H n h n h_n h n
a 0 u = u ′ + x u a_0u=u'+xu a 0 u = u ′ + xu b 0 u = − u ′ + x u b_0u=-u'+xu b 0 u = − u ′ + xu
a 0 h n = 2 n h n − 1 ( n ≥ 1 ) , b 0 h n = h n + 1 , a 0 h 0 = 0 a_0h_n=2nh_{n-1}\quad(n\ge1),\qquad b_0h_n=h_{n+1},\qquad a_0h_0=0 a 0 h n = 2 n h n − 1 ( n ≥ 1 ) , b 0 h n = h n + 1 , a 0 h 0 = 0 となる。多項式と Gaussian の積およびその導関数は無限遠で零へ収束し、以下の積分は絶対収束するので、部分積分が正当である。n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1
∥ h n ∥ 2 2 = ⟨ b 0 h n − 1 , h n ⟩ = ⟨ h n − 1 , a 0 h n ⟩ = 2 n ∥ h n − 1 ∥ 2 2 . \|h_n\|_2^2=\langle b_0h_{n-1},h_n\rangle
=\langle h_{n-1},a_0h_n\rangle=2n\|h_{n-1}\|_2^2. ∥ h n ∥ 2 2 = ⟨ b 0 h n − 1 , h n ⟩ = ⟨ h n − 1 , a 0 h n ⟩ = 2 n ∥ h n − 1 ∥ 2 2 . §E4.15 命題 5.1 により∥ h 0 ∥ 2 2 = ∫ R e − x 2 d x = π \|h_0\|_2^2=\int_\R e^{-x^2}dx=\sqrt\pi ∥ h 0 ∥ 2 2 = ∫ R e − x 2 d x = π ▨
補題 8.3. A A A L 2 ( R ) L^2(\R) L 2 ( R ) − u ′ ′ + x 2 u -u''+x^2u − u ′′ + x 2 u A A A A ≥ I A\ge I A ≥ I A u = λ u Au=\lambda u A u = λ u u u u v = u ′ + x u v=u'+xu v = u ′ + xu D ( A ) D(A) D ( A )
A v = ( λ − 2 ) v , ∥ v ∥ 2 2 = ( λ − 1 ) ∥ u ∥ 2 2 Av=(\lambda-2)v,\qquad \|v\|_2^2=(\lambda-1)\|u\|_2^2 A v = ( λ − 2 ) v , ∥ v ∥ 2 2 = ( λ − 1 ) ∥ u ∥ 2 2 が成り立つ。
証明. §E13.31 定理 3.5 と§E13.31 定理 3.6 をQ = x 2 Q=x^2 Q = x 2
V = { u ∈ H 1 ( R ) : x u ∈ L 2 ( R ) } , a [ u ] = ∥ u ′ ∥ 2 2 + ∥ x u ∥ 2 2 V=\{u\in H^1(\R):xu\in L^2(\R)\},\qquad
\mathfrak a[u]=\|u'\|_2^2+\|xu\|_2^2 V = { u ∈ H 1 ( R ) : xu ∈ L 2 ( R )} , a [ u ] = ∥ u ′ ∥ 2 2 + ∥ xu ∥ 2 2 の形式作用素は自己共役であり、最大実現A A A u ∈ V u\in V u ∈ V ∣ u ∣ 2 |u|^2 ∣ u ∣ 2
2 ℜ ∫ R x u ′ u ‾ d x = − ∥ u ∥ 2 2 , ∥ u ′ + x u ∥ 2 2 = a [ u ] − ∥ u ∥ 2 2 2\Re\int_\R xu'\overline u\,dx=-\|u\|_2^2,
\qquad \|u'+xu\|_2^2=\mathfrak a[u]-\|u\|_2^2 2ℜ ∫ R x u ′ u d x = − ∥ u ∥ 2 2 , ∥ u ′ + xu ∥ 2 2 = a [ u ] − ∥ u ∥ 2 2 である。
一般のu ∈ V u\in V u ∈ V [ − r , r ] [-r,r] [ − r , r ] R ∖ [ − 2 r , 2 r ] \R\setminus[-2r,2r] R ∖ [ − 2 r , 2 r ] ∣ χ r ′ ∣ ≤ C / r |\chi_r'|\le C/r ∣ χ r ′ ∣ ≤ C / r χ r u → u \chi_ru\to u χ r u → u ( χ r u ) ′ → u ′ (\chi_ru)'\to u' ( χ r u ) ′ → u ′ x χ r u → x u x\chi_ru\to xu x χ r u → xu L 2 L^2 L 2 ∥ u ′ + x u ∥ 2 2 = a [ u ] − ∥ u ∥ 2 2 \|u'+xu\|_2^2=\mathfrak a[u]-\|u\|_2^2 ∥ u ′ + xu ∥ 2 2 = a [ u ] − ∥ u ∥ 2 2 V V V a [ u ] ≥ ∥ u ∥ 2 2 \mathfrak a[u]\ge\|u\|_2^2 a [ u ] ≥ ∥ u ∥ 2 2 A ≥ I A\ge I A ≥ I
固有ベクトルu ∈ D ( A ) u\in D(A) u ∈ D ( A ) V V V u ′ ′ = ( x 2 − λ ) u u''=(x^2-\lambda)u u ′′ = ( x 2 − λ ) u u u u u ′ , x u ∈ L 2 u',xu\in L^2 u ′ , xu ∈ L 2 v = u ′ + x u ∈ L 2 v=u'+xu\in L^2 v = u ′ + xu ∈ L 2
− v ′ ′ + x 2 v = ( λ − 2 ) v -v''+x^2v=(\lambda-2)v − v ′′ + x 2 v = ( λ − 2 ) v となる。v , v ′ v,v' v , v ′ L 2 L^2 L 2 v v v D ( A ) D(A) D ( A ) a [ u ] = ⟨ A u , u ⟩ = λ ∥ u ∥ 2 2 \mathfrak a[u]=\langle Au,u\rangle=\lambda\|u\|_2^2 a [ u ] = ⟨ A u , u ⟩ = λ ∥ u ∥ 2 2 ∥ u ′ + x u ∥ 2 2 = a [ u ] − ∥ u ∥ 2 2 \|u'+xu\|_2^2=\mathfrak a[u]-\|u\|_2^2 ∥ u ′ + xu ∥ 2 2 = a [ u ] − ∥ u ∥ 2 2 ▨
例 8.4. L 2 ( R ) L^2(\R) L 2 ( R ) A = − d 2 / d x 2 + x 2 A=-d^2/dx^2+x^2 A = − d 2 / d x 2 + x 2 2 n + 1 2n+1 2 n + 1 n ∈ N ≥ 0 n\in\N n ∈ N ≥ 0
e n ( x ) = H n ( x ) e − x 2 / 2 ( 2 n n ! π ) 1 / 2 e_n(x)=\frac{H_n(x)e^{-x^2/2}}{(2^n n!\sqrt\pi)^{1/2}} e n ( x ) = ( 2 n n ! π ) 1/2 H n ( x ) e − x 2 /2 は完全正規直交系をなし、すべてのf ∈ L 2 ( R ) f\in L^2(\R) f ∈ L 2 ( R )
f = ∑ n = 0 ∞ ⟨ f , e n ⟩ e n , ∥ f ∥ 2 2 = ∑ n = 0 ∞ ∣ ⟨ f , e n ⟩ ∣ 2 f=\sum_{n=0}^\infty\langle f,e_n\rangle e_n,\qquad
\|f\|_2^2=\sum_{n=0}^\infty|\langle f,e_n\rangle|^2 f = n = 0 ∑ ∞ ⟨ f , e n ⟩ e n , ∥ f ∥ 2 2 = n = 0 ∑ ∞ ∣ ⟨ f , e n ⟩ ∣ 2 が成り立つ。級数はL 2 L^2 L 2
D ( A ) = { f ∈ L 2 ( R ) : ∑ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 ) 2 ∣ ⟨ f , e n ⟩ ∣ 2 < ∞ } D(A)=\left\{f\in L^2(\R):\sum_{n=0}^\infty(2n+1)^2|\langle f,e_n\rangle|^2<\infty\right\} D ( A ) = { f ∈ L 2 ( R ) : n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 ) 2 ∣ ⟨ f , e n ⟩ ∣ 2 < ∞ } である。
証明. §E13.31 定理 5.2 と§E13.31 命題 5.1 をQ = x 2 Q=x^2 Q = x 2 A A A 補題 8.3 によってA ≥ I A\ge I A ≥ I §E12.14 定理 2.3 によりA A A
任意の固有値λ \lambda λ λ ≥ 1 \lambda\ge1 λ ≥ 1 λ > 1 \lambda>1 λ > 1 補題 8.3 の下降写像は固有値λ \lambda λ λ − 2 \lambda-2 λ − 2 [ 1 , 3 ) [1,3) [ 1 , 3 ) A ≥ I A\ge I A ≥ I 2 n + 1 2n+1 2 n + 1
固有値1の解は∥ u ′ + x u ∥ 2 2 = 0 \|u'+xu\|_2^2=0 ∥ u ′ + xu ∥ 2 2 = 0 u ′ + x u = 0 u'+xu=0 u ′ + xu = 0 u u u e − x 2 / 2 e^{-x^2/2} e − x 2 /2 補題 8.2 のh n h_n h n h n , h n ′ h_n,h_n' h n , h n ′ h n h_n h n − h n ′ ′ + x 2 h n -h_n''+x^2h_n − h n ′′ + x 2 h n L 2 L^2 L 2 h n ∈ D ( A ) h_n\in D(A) h n ∈ D ( A ) 2 n + 1 2n+1 2 n + 1 e n e_n e n A A A e n e_n e n §E12.14 定理 2.3 から従う。▨
9 Bessel の Hankel 変換 定義 9.1. ν ≥ 0 \nu\ge0 ν ≥ 0 t > 0 t>0 t > 0
J ν ( t ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m ( t / 2 ) 2 m + ν m ! Γ ( m + ν + 1 ) J_\nu(t)=\sum_{m=0}^\infty
\frac{(-1)^m(t/2)^{2m+\nu}}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)} J ν ( t ) = m = 0 ∑ ∞ m ! Γ ( m + ν + 1 ) ( − 1 ) m ( t /2 ) 2 m + ν と定め、J ν J_\nu J ν 次数ν \nu ν (Bessel function of the first kind of orderν \nu ν )t ν t^\nu t ν
補題 9.2. ν ≥ 0 \nu\ge0 ν ≥ 0 定義 9.1 の級数は正の実軸のコンパクト集合上で任意の階数まで項別微分することができ、
t 2 J ν ′ ′ + t J ν ′ + ( t 2 − ν 2 ) J ν = 0 t^2J_\nu''+tJ_\nu'+(t^2-\nu^2)J_\nu=0 t 2 J ν ′′ + t J ν ′ + ( t 2 − ν 2 ) J ν = 0 を満たす。またt ↓ 0 t\downarrow0 t ↓ 0
J ν ( t ) = ( t / 2 ) ν Γ ( ν + 1 ) ( 1 + O ( t 2 ) ) J_\nu(t)=\frac{(t/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)}(1+O(t^2)) J ν ( t ) = Γ ( ν + 1 ) ( t /2 ) ν ( 1 + O ( t 2 )) である。
証明. J ν ( t ) = t ν ∑ m ≥ 0 a m t 2 m J_\nu(t)=t^\nu\sum_{m\ge0}a_mt^{2m} J ν ( t ) = t ν ∑ m ≥ 0 a m t 2 m
∣ a m + 1 a m ∣ = 1 4 ( m + 1 ) ( m + ν + 1 ) . \left|\frac{a_{m+1}}{a_m}\right|=\frac1{4(m+1)(m+\nu+1)}. a m a m + 1 = 4 ( m + 1 ) ( m + ν + 1 ) 1 . 従って冪級数の収束半径は無限大であり、§E5.7 定理 1.5 と、t > 0 t>0 t > 0 t ν t^\nu t ν t 2 m + ν t^{2m+\nu} t 2 m + ν t 2 d 2 / d t 2 + t d / d t − ν 2 t^2d^2/dt^2+td/dt-\nu^2 t 2 d 2 / d t 2 + t d / d t − ν 2 4 m ( m + ν ) t 2 m + ν 4m(m+\nu)t^{2m+\nu} 4 m ( m + ν ) t 2 m + ν m ≥ 1 m\ge1 m ≥ 1 4 m ( m + ν ) a m = − a m − 1 4m(m+\nu)a_m=-a_{m-1} 4 m ( m + ν ) a m = − a m − 1 t 2 J ν t^2J_\nu t 2 J ν m = 0 m=0 m = 0 ▨
一般の Hankel 変換定理と Friedrichs 境界条件の同定の証明は省略する。
例 9.4. ν ≥ 0 \nu\ge0 ν ≥ 0 a > 0 a>0 a > 0 f ( x ) = x ν e − a x 2 f(x)=x^\nu e^{-ax^2} f ( x ) = x ν e − a x 2 f ∈ L 2 ( ( 0 , ∞ ) , x d x ) f\in L^2((0,\infty),x\,dx) f ∈ L 2 (( 0 , ∞ ) , x d x ) k > 0 k>0 k > 0
∫ 0 ∞ J ν ( k x ) x ν e − a x 2 x d x = k ν ( 2 a ) ν + 1 e − k 2 / ( 4 a ) \int_0^\infty J_\nu(kx)x^\nu e^{-ax^2}x\,dx
=\frac{k^\nu}{(2a)^{\nu+1}}e^{-k^2/(4a)} ∫ 0 ∞ J ν ( k x ) x ν e − a x 2 x d x = ( 2 a ) ν + 1 k ν e − k 2 / ( 4 a ) が成り立つ。右辺はH ν f \mathcal H_\nu f H ν f
証明. 原点での冪と無限遠の Gaussian の減衰により∫ 0 ∞ x 2 ν + 1 e − 2 a x 2 d x < ∞ \int_0^\infty x^{2\nu+1}e^{-2ax^2}dx<\infty ∫ 0 ∞ x 2 ν + 1 e − 2 a x 2 d x < ∞ s = a x 2 s=ax^2 s = a x 2
∫ 0 ∞ x 2 m + 2 ν + 1 e − a x 2 d x = Γ ( m + ν + 1 ) 2 a m + ν + 1 . \int_0^\infty x^{2m+2\nu+1}e^{-ax^2}dx
=\frac{\Gamma(m+\nu+1)}{2a^{m+\nu+1}}. ∫ 0 ∞ x 2 m + 2 ν + 1 e − a x 2 d x = 2 a m + ν + 1 Γ ( m + ν + 1 ) . J ν ( k x ) J_\nu(kx) J ν ( k x )
∑ m = 0 ∞ ( k / 2 ) 2 m + ν m ! Γ ( m + ν + 1 ) Γ ( m + ν + 1 ) 2 a m + ν + 1 = k ν ( 2 a ) ν + 1 e k 2 / ( 4 a ) < ∞ . \sum_{m=0}^\infty
\frac{(k/2)^{2m+\nu}}{m!\Gamma(m+\nu+1)}
\frac{\Gamma(m+\nu+1)}{2a^{m+\nu+1}}
=\frac{k^\nu}{(2a)^{\nu+1}}e^{k^2/(4a)}<\infty. m = 0 ∑ ∞ m ! Γ ( m + ν + 1 ) ( k /2 ) 2 m + ν 2 a m + ν + 1 Γ ( m + ν + 1 ) = ( 2 a ) ν + 1 k ν e k 2 / ( 4 a ) < ∞. 従って積分と級数の交換は正当であり、積分自体も絶対収束する。符号を戻して指数関数の級数を足すと表示された式となる。
f n = 1 [ 1 / n , n ] f f_n=\mathbf1_{[1/n,n]}f f n = 1 [ 1/ n , n ] f L 2 ( x d x ) L^2(x\,dx) L 2 ( x d x ) f f f H ν f n \mathcal H_\nu f_n H ν f n L 2 ( k d k ) L^2(k\,dk) L 2 ( k d k ) H ν f \mathcal H_\nu f H ν f k k k L 2 L^2 L 2 ▨
10 演習 解答. ∫ 0 ∞ ( 1 + x ) − 3 / 2 d x = 2 \int_0^\infty(1+x)^{-3/2}dx=2 ∫ 0 ∞ ( 1 + x ) − 3/2 d x = 2 f ∈ L 2 f\in L^2 f ∈ L 2 ∣ e − i ξ x ∣ = 1 |e^{-i\xi x}|=1 ∣ e − i ξ x ∣ = 1
∫ R ∣ e − i ξ x f ( x ) ∣ d x = ∫ 0 ∞ ( 1 + x ) − 3 / 4 d x = ∞ \int_\R|e^{-i\xi x}f(x)|dx=\int_0^\infty(1+x)^{-3/4}dx=\infty ∫ R ∣ e − i ξ x f ( x ) ∣ d x = ∫ 0 ∞ ( 1 + x ) − 3/4 d x = ∞ である。ユニタリな Fourier 変換はコンパクト台関数上の積分からL 2 L^2 L 2 f f f L 2 L^2 L 2 ▨
問題 10.2. γ > 0 \gamma>0 γ > 0 u ′ ( 0 ) = − γ u ( 0 ) u'(0)=-\gamma u(0) u ′ ( 0 ) = − γ u ( 0 ) k > 0 k>0 k > 0 φ k 2 ( x ) = cos ( k x ) − γ sin ( k x ) / k \varphi_{k^2}(x)=\cos(kx)-\gamma\sin(kx)/k φ k 2 ( x ) = cos ( k x ) − γ sin ( k x ) / k f ∈ L 2 ( 0 , ∞ ) f\in L^2(0,\infty) f ∈ L 2 ( 0 , ∞ ) k k k
解答. 例 7.4 の測度とλ = k 2 \lambda=k^2 λ = k 2
∥ f ∥ 2 2 = 2 π ∫ 0 ∞ k 2 γ 2 + k 2 ∣ ∫ 0 ∞ ( cos ( k x ) − γ k sin ( k x ) ) f ( x ) d x ∣ 2 d k + 2 γ ∣ ∫ 0 ∞ e − γ x f ( x ) d x ∣ 2 . \begin{split}
\|f\|_2^2={}&\frac2\pi\int_0^\infty\frac{k^2}{\gamma^2+k^2}
\left|\int_0^\infty\left(\cos(kx)-\frac\gamma k\sin(kx)\right)f(x)dx\right|^2dk\\
&+2\gamma\left|\int_0^\infty e^{-\gamma x}f(x)dx\right|^2.
\end{split} ∥ f ∥ 2 2 = π 2 ∫ 0 ∞ γ 2 + k 2 k 2 ∫ 0 ∞ ( cos ( k x ) − k γ sin ( k x ) ) f ( x ) d x 2 d k + 2 γ ∫ 0 ∞ e − γ x f ( x ) d x 2 . 第二項は正規化した固有関数2 γ e − γ x \sqrt{2\gamma}e^{-\gamma x} 2 γ e − γ x 定理 4.1 から従う。▨
問題 10.3. Ω ( B ) = ( ∣ B ∩ [ 0 , 1 ] ∣ 0 0 0 ) \Omega(B)=\begin{pmatrix}|B\cap[0,1]|&0\\0&0\end{pmatrix} Ω ( B ) = ( ∣ B ∩ [ 0 , 1 ] ∣ 0 0 0 ) ∣ ⋅ ∣ |\cdot| ∣ ⋅ ∣ L 2 ( Ω ) L^2(\Omega) L 2 ( Ω ) L 2 [ 0 , 1 ] L^2[0,1] L 2 [ 0 , 1 ]
解答. μ \mu μ [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] R = diag ( 1 , 0 ) R=\operatorname{diag}(1,0) R = diag ( 1 , 0 ) F = ( F 1 , F 2 ) T F=(F_1,F_2)^{\mathsf T} F = ( F 1 , F 2 ) T ∥ F ∥ Ω 2 = ∫ 0 1 ∣ F 1 ∣ 2 d λ \|F\|_\Omega^2=\int_0^1|F_1|^2d\lambda ∥ F ∥ Ω 2 = ∫ 0 1 ∣ F 1 ∣ 2 d λ [ F ] ↦ [ F 1 ] [F]\mapsto[F_1] [ F ] ↦ [ F 1 ] L 2 ( Ω ) L^2(\Omega) L 2 ( Ω ) L 2 [ 0 , 1 ] L^2[0,1] L 2 [ 0 , 1 ] ( 0 , 1 ) T (0,1)^{\mathsf T} ( 0 , 1 ) T ▨