正則係数の線形方程式 | 常微分方程式論

1 正則係数の線形系と解の芽

定義 1.1. $D\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ とし、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とする。ベクトル値または行列値の関数が正則であるとは、その各成分が正則であることをいう。開集合 $U\subseteq D$ の上の正則写像 $Y:U\to\C^n$ が、すべての $z\in U$ について

Y'(z)=A(z)Y(z)

を満たすとき、 $Y$ を線形系 $Y'=A(z)Y$ の $U$ 上の解という。 $U$ 上の解の全体を $\mathcal S_A(U)$ と書く。 $\mathcal S_A(U)$ は関数の和と複素数倍について $\C$ 上のベクトル空間である。

$a\in D$ とする。 $a$ を含む領域 $U\subseteq D$ と $Y\in\mathcal S_A(U)$ の組 $(Y,U)$ を考え、二つの組 $(Y,U)$ と $(Z,V)$ が同値であるとは、 $a$ を含む開集合 $W\subseteq U\cap V$ が存在して、 $W$ の上で $Y=Z$ が成り立つことをいう。同値類を $a$ における解の芽 (germ of solutions) といい、 $(Y,U)$ の定める解の芽を $[Y]_a$ と書く。 $a$ における解の芽の全体を $\mathcal S_{A,a}$ と書く。 $U\cap V$ の $a$ を含む連結成分を $\Omega$ とすると、 $\Omega$ は領域であり（§E5.5 補題 5.1）、 $c\in\C$ について $[Y]_a+c[Z]_a=[(Y+cZ)|_\Omega]_a$ は代表元の選び方によらずに定まる。この演算により $\mathcal S_{A,a}$ は $\C$ 上のベクトル空間である。

$p_0,\ldots,p_{n-1}:D\to\C$ を正則とし、開集合 $U\subseteq D$ の上の正則関数 $y$ について $Ly=y^{(n)}+\sum_{j=0}^{n-1}p_jy^{(j)}$ とおく。 $U$ 上で $Ly=0$ を満たす正則関数 $y$ を $n$ 階方程式 $Ly=0$ の $U$ 上の解という。解の全体 $\mathcal S_L(U)$ 、 $a\in D$ における解の芽 $[y]_a$ とその全体 $\mathcal S_{L,a}$ を、上と同じ規則で定める。 $y_1,\ldots,y_n\in\mathcal S_L(U)$ の Wronskian を

W(y_1,\ldots,y_n)(z)=\det\bigl(y_k^{(j-1)}(z)\bigr)_{j,k=1}^{n}\qquad(z\in U)

と定める。

2 円板上の局所解

定理 2.1. $D\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ 、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とし、 $\C^n$ に Euclid ノルム $\lVert\cdot\rVert$ を入れ、 $\C^{n\times n}$ にはその作用素ノルムを用いる。このとき、次が成り立つ。

$\Delta=D(z_0,r)\subseteq D$ を開円板、 $\eta\in\C^n$ とし、 $\Delta$ 上の写像の列を $Y_0(z)=\eta$ と $Y_{k+1}(z)=\eta+\int_{[z_0,z]}A(\zeta)Y_k(\zeta)\,d\zeta\qquad(k\in\N)$ で定める。このとき、各 $Y_k$ は $\Delta$ 上で正則であり、 $(Y_k)$ は $\Delta$ に含まれるコンパクト集合の上で一様に収束する。その極限 $Y$ は、 $Y(z_0)=\eta$ を満たす $\mathcal S_A(\Delta)$ のただ一つの元である。 $0<\rho<r$ について $M_\rho=\max_{\lvert z-z_0\rvert\le\rho}\lVert A(z)\rVert$ とおくと、すべての $k\in\N$ と $\lvert z-z_0\rvert\le\rho$ を満たす $z$ について $\lVert Y(z)-Y_k(z)\rVert\le\frac{\lVert\eta\rVert(M_\rho\rho)^{k+1}e^{M_\rho\rho}}{(k+1)!}$ が成り立つ。 $Y$ の各成分の $z_0$ における Taylor 級数は $\Delta$ 上でその成分に収束する。
$U\subseteq D$ を領域、 $Y,Z\in\mathcal S_A(U)$ とする。このとき、 $Y(b)=Z(b)$ を満たす $b\in U$ が存在するならば、 $U$ 上で $Y=Z$ である。
$\Delta\subseteq D$ を開円板、 $b\in\Delta$ とする。このとき、 $\ev^\Delta_b:\mathcal S_A(\Delta)\to\C^n$ 、 $Y\mapsto Y(b)$ と $j^\Delta_b:\mathcal S_A(\Delta)\to\mathcal S_{A,b}$ 、 $Y\mapsto[Y]_b$ は線形同型である。
$a\in D$ とする。このとき、 $\ev_a:\mathcal S_{A,a}\to\C^n$ 、 $[Y]_a\mapsto Y(a)$ は代表元によらずに定まる線形同型である。とくに $\dim_\C\mathcal S_{A,a}=n$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $0<\rho<r$ とする。 $z\mapsto\lVert A(z)\rVert$ は連続であり $\overline D(z_0,\rho)$ はコンパクトであるから、§E2.9 定理 1.7により $M_\rho$ は定まる。

主張 2.1.1. $C\ge0$ 、 $k\in\N$ とし、連続写像 $V:\overline D(z_0,\rho)\to\C^n$ がすべての $z\in\overline D(z_0,\rho)$ について $\lVert V(z)\rVert\le C(M_\rho\lvert z-z_0\rvert)^k/k!$ を満たすとする。このとき、すべての $z\in\overline D(z_0,\rho)$ について

\left\lVert\int_{[z_0,z]}A(\zeta)V(\zeta)\,d\zeta\right\rVert\le\frac{C(M_\rho\lvert z-z_0\rvert)^{k+1}}{(k+1)!}

が成り立つ。

証明. 線分 $[z_0,z]$ を $\zeta(s)=z_0+s(z-z_0)$ （ $0\le s\le1$ ）で表すと、§E5.4 定義 2.2により左辺の積分は $(z-z_0)\int_0^1A(\zeta(s))V(\zeta(s))\,ds$ である。被積分関数は $[0,1]$ 上で連続であるから、§E10.7 命題 1.3と§E10.10 命題 5.1を各成分に適用すると、この積分と、下の式の左辺の実数値関数の積分は、Lebesgue 測度についての積分に一致する。 $\lvert\zeta(s)-z_0\rvert=s\lvert z-z_0\rvert$ であるから、§E13.2 補題 1.3 (2)により、そのノルムは

\lvert z-z_0\rvert\int_0^1M_\rho\frac{C(M_\rho s\lvert z-z_0\rvert)^k}{k!}\,ds=\frac{C(M_\rho\lvert z-z_0\rvert)^{k+1}}{(k+1)!}

以下である。▨

$Y_0$ は $\Delta$ 上で正則である。 $Y_k$ が $\Delta$ 上で正則ならば、 $AY_k$ の各成分は§E5.2 命題 1.2により $\Delta$ 上で正則であり、開円板 $\Delta$ は $z_0$ に関して星形であるから、§E5.5 定理 4.1により $Y_{k+1}$ は $\Delta$ 上で正則であって $Y_{k+1}'=AY_k$ を満たす。 $Y_1(z)-Y_0(z)=\int_{[z_0,z]}A(\zeta)\eta\,d\zeta$ と $Y_{k+1}(z)-Y_k(z)=\int_{[z_0,z]}A(\zeta)(Y_k(\zeta)-Y_{k-1}(\zeta))\,d\zeta$ に主張 2.1.1を帰納的に適用すると、すべての $k\in\N$ と $z\in\overline D(z_0,\rho)$ について

\lVert Y_{k+1}(z)-Y_k(z)\rVert\le\frac{\lVert\eta\rVert(M_\rho\rho)^{k+1}}{(k+1)!}

を得る。 $l>k$ ならば、 $(k+1+i)!\ge(k+1)!\,i!$ （ $i\in\N$ ）により

\lVert Y_l(z)-Y_k(z)\rVert\le\lVert\eta\rVert\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(M_\rho\rho)^{k+1+i}}{(k+1+i)!}\le\frac{\lVert\eta\rVert(M_\rho\rho)^{k+1}e^{M_\rho\rho}}{(k+1)!}

である。したがって各 $z\in\Delta$ で $(Y_k(z))$ は $\C^n$ の Cauchy 列であり、極限 $Y(z)$ をもつ。上の不等式で $l\to\infty$ とすると、主張の評価を得る。 $\Delta$ に含まれるコンパクト集合 $K$ に対し、 $K\cup\{z_0\}$ は空でないコンパクト集合であり、 $z\mapsto\lvert z-z_0\rvert$ はその上で§E2.9 定理 1.7により最大値をとる。その値は $r$ 未満であるから、 $K\subseteq\overline D(z_0,\rho)$ を満たす $0<\rho<r$ が存在する。よって $(Y_k)$ の各成分は $\Delta$ に含まれるコンパクト集合の上で $Y$ の成分へ一様に収束し、§E5.17 定理 2.1 (1)により $Y$ は $\Delta$ 上で正則である。 $z\in\overline D(z_0,\rho)$ について、主張 2.1.1を $V=Y_k-Y$ と $C=\max_{\overline D(z_0,\rho)}\lVert Y_k-Y\rVert$ に指数 $0$ で適用すると

\left\lVert\int_{[z_0,z]}A(\zeta)\bigl(Y_k(\zeta)-Y(\zeta)\bigr)\,d\zeta\right\rVert\le M_\rho\rho\max_{\overline D(z_0,\rho)}\lVert Y_k-Y\rVert

であり、右辺は $k\to\infty$ で $0$ に収束する。漸化式で $k\to\infty$ とすると、 $\Delta$ 上で $Y(z)=\eta+\int_{[z_0,z]}A(\zeta)Y(\zeta)\,d\zeta$ が成り立つ。§E5.5 定理 4.1により $Y'=AY$ であり、 $Y(z_0)=\eta$ である。

$Z\in\mathcal S_A(\Delta)$ が $Z(z_0)=\eta$ を満たすとし、 $Q=Z-Y$ 、 $G(z)=\int_{[z_0,z]}A(\zeta)Q(\zeta)\,d\zeta$ とおく。§E5.5 定理 4.1により $G'=AQ=Q'$ である。 $\Delta$ は§E5.2 命題 4.5により領域であるから、§E5.4 命題 4.3を $Q-G$ の各成分に適用すると $Q-G$ は定数であり、その $z_0$ での値は $0$ である。よって $Q(z)=\int_{[z_0,z]}A(\zeta)Q(\zeta)\,d\zeta$ である。 $0<\rho<r$ について $C=\max_{\overline D(z_0,\rho)}\lVert Q\rVert$ とおき、主張 2.1.1を帰納的に適用すると、すべての $k\in\N$ と $z\in\overline D(z_0,\rho)$ について $\lVert Q(z)\rVert\le C(M_\rho\rho)^k/k!$ を得る。右辺は $k\to\infty$ で $0$ に収束するから、 $\overline D(z_0,\rho)$ 上で $Q=0$ である。 $\rho<r$ は任意であるから、 $\Delta$ 上で $Z=Y$ である。Taylor 級数についての主張は、§E5.7 定理 2.1を $Y$ の各成分に適用すると得られる。

主張 (2)を示す。 $D(b,\varepsilon)\subseteq U$ を満たす $\varepsilon>0$ を取る。 $Y$ と $Z$ の $D(b,\varepsilon)$ への制限は $\mathcal S_A(D(b,\varepsilon))$ の元であり、 $b$ で同じ値をとるから、主張 (1)の一意性により $D(b,\varepsilon)$ 上で一致する。 $D(b,\varepsilon)$ の各点は $U$ に属する集積点であるから、§E5.8 定理 3.1を $Y-Z$ の各成分に適用すると、 $U$ 上で $Y=Z$ である。

主張 (3)を示す。 $\Delta=D(c,r)$ とする。主張 (1)により $\ev^\Delta_c$ は全単射であり、線形であるから、 $\dim_\C\mathcal S_A(\Delta)=n$ である。 $\Delta$ は領域であるから、主張 (2)により線形写像 $\ev^\Delta_b$ は単射であり、定義域と終域の次元が等しいので線形同型である。 $j^\Delta_b$ は線形である。 $j^\Delta_b(Y)=0$ ならば $Y(b)=0$ であるから $Y=0$ であり、 $j^\Delta_b$ は単射である。 $\sigma\in\mathcal S_{A,b}$ の代表元 $(Z,U)$ を取り、 $Y=(\ev^\Delta_b)^{-1}(Z(b))$ とおく。 $U\cap\Delta$ の $b$ を含む連結成分 $\Omega$ は§E5.5 補題 5.1により領域であり、 $Y|_\Omega$ と $Z|_\Omega$ は $b$ で同じ値をとるから、主張 (2)により $\Omega$ 上で一致する。よって $j^\Delta_b(Y)=\sigma$ であり、 $j^\Delta_b$ は全射である。

主張 (4)を示す。同値な二つの組は $a$ を含む開集合の上で一致するから、 $\ev_a$ は代表元によらずに定まり、線形である。 $D(a,\varepsilon)\subseteq D$ を満たす開円板 $\Delta=D(a,\varepsilon)$ を取ると $\ev_a\circ j^\Delta_a=\ev^\Delta_a$ であり、主張 (3)により $j^\Delta_a$ と $\ev^\Delta_a$ は線形同型であるから、 $\ev_a$ は線形同型である。▨

3 パラメータへの正則な依存

補題 3.1. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間、 $W\subseteq\C$ を開集合とし、 $f:X\times W\to\C$ が次の三条件を満たすとする。各 $w\in W$ について $x\mapsto f(x,w)$ は可測である。各 $x\in X$ について $w\mapsto f(x,w)$ は $W$ 上で正則である。 $W$ に含まれる各コンパクト集合 $K$ に対して、非負の可積分関数 $g_K:X\to[0,\infty)$ が存在し、すべての $x\in X$ と $w\in K$ について $\lvert f(x,w)\rvert\le g_K(x)$ が成り立つ。

このとき $F(w)=\int_Xf(x,w)\,d\mu(x)$ は $W$ 上の正則関数である。さらに、すべての $k\in\NN$ と $w\in W$ について、 $\partial_w^kf(x,w)$ を $w\mapsto f(x,w)$ の $k$ 階導関数の $w$ における値とすると、 $x\mapsto\partial_w^kf(x,w)$ は可積分であり、

F^{(k)}(w)=\int_X\partial_w^kf(x,w)\,d\mu(x)

が成り立つ。

証明. $K\subseteq W$ を空でないコンパクト集合とする。各 $w\in K$ について $\overline D(w,2\rho_w)\subseteq W$ を満たす $\rho_w>0$ を取る。開円板 $D(w,\rho_w)$ （ $w\in K$ ）は $K$ を覆うから、 $K$ のコンパクト性により、有限個の点 $w_1,\ldots,w_q\in K$ が存在して $K\subseteq\bigcup_{i=1}^qD(w_i,\rho_{w_i})$ が成り立つ。 $r_K=\min_i\rho_{w_i}$ 、 $L_K=\bigcup_{i=1}^q\overline D(w_i,2\rho_{w_i})$ とおく。 $L_K$ は $W$ に含まれる有界閉集合であるから、§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。 $w\in K$ と $\lvert w-w_i\rvert<\rho_{w_i}$ を満たす $i$ を取ると、 $\lvert\zeta-w\rvert\le r_K$ ならば $\lvert\zeta-w_i\rvert<2\rho_{w_i}$ であるから、 $\overline D(w,r_K)\subseteq L_K$ である。円周 $\lvert\zeta-w\rvert=r_K$ の上で $\lvert f(x,\zeta)\rvert\le g_{L_K}(x)$ であるから、§E5.6 系 4.2により、すべての $x\in X$ 、 $w\in K$ 、 $m\in\N$ について

\lvert\partial_w^mf(x,w)\rvert\le\frac{m!\,g_{L_K}(x)}{r_K^{m}}

が成り立つ。

$w_0\in W$ を固定し、 $\overline D(w_0,2r)\subseteq W$ を満たす $r>0$ を取って $K_0=\overline D(w_0,2r)$ とおく。 $K_0$ は§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。 $x\in X$ について§E5.7 定理 2.1を $D(w_0,2r)$ 上の $w\mapsto f(x,w)$ に適用し、その係数を円周 $\lvert\zeta-w_0\rvert=2r$ の上の評価 $\lvert f(x,\zeta)\rvert\le g_{K_0}(x)$ と§E5.6 系 4.2で評価すると、 $0<\lvert h\rvert\le r$ について

q_h(x)=\frac{f(x,w_0+h)-f(x,w_0)}{h},\qquad \lvert q_h(x)\rvert\le\sum_{m=1}^{\infty}\frac{g_{K_0}(x)\lvert h\rvert^{m-1}}{(2r)^m}\le\frac{g_{K_0}(x)}{r}

を得る。各 $w\in W$ について一点集合 $\{w\}$ はコンパクトであるから $x\mapsto f(x,w)$ は可積分であり、 $F$ は $W$ 上で定義され、 $(F(w_0+h)-F(w_0))/h=\int_Xq_h\,d\mu$ である。各 $x$ について $h\to0$ のとき $q_h(x)\to\partial_wf(x,w_0)$ であり、 $j\in\NN$ について $q_{r/j}$ の実部と虚部に§E10.7 定理 5.1を適用すると、 $x\mapsto\partial_wf(x,w_0)$ は可測である。 $0<\lvert h_j\rvert\le r$ を満たし $0$ に収束する任意の点列 $(h_j)$ について、可積分関数 $g_{K_0}/r$ による支配とともに§E10.11 定理 3.1を適用すると

\lim_{j\to\infty}\frac{F(w_0+h_j)-F(w_0)}{h_j}=\int_X\partial_wf(x,w_0)\,d\mu(x)

を得る。したがって $F$ は $w_0$ で複素微分可能であり、 $F'(w_0)=\int_X\partial_wf(x,w_0)\,d\mu(x)$ である。 $w_0$ は任意であるから、 $F$ は $W$ 上で正則である。

$\partial_wf$ は三条件を満たす。実際、各 $w$ について $x\mapsto\partial_wf(x,w)$ の可測性は前段で得た。各 $x$ について $w\mapsto\partial_wf(x,w)$ は§E5.6 定理 4.1により $W$ 上で正則である。 $W$ に含まれる空でない各コンパクト集合 $K$ について、第一段の評価の $m=1$ の場合により $g_{L_K}/r_K$ が支配関数である。前段の結論を $f$ の代わりに $\partial_w^{k-1}f$ に適用する $k$ についての帰納法により、すべての $k\in\NN$ と $w\in W$ について $F^{(k)}(w)=\int_X\partial_w^kf(x,w)\,d\mu(x)$ を得る。 $x\mapsto\partial_w^kf(x,w)$ の可積分性は第一段の評価を $K=\{w\}$ に適用すると得られる。▨

定理 3.2. $D\subseteq\C$ を領域、 $W\subseteq\C$ を開集合、 $n\in\NN$ とし、 $A:D\times W\to\C^{n\times n}$ を連続写像で、各 $\mu\in W$ について $z\mapsto A(z,\mu)$ が $D$ 上で正則であり、各 $z\in D$ について $\mu\mapsto A(z,\mu)$ が $W$ 上で正則であるものとする。 $\eta:W\to\C^n$ を正則、 $\Delta=D(z_0,r)\subseteq D$ を開円板とし、各 $\mu\in W$ について $Y(\cdot,\mu)$ を線形系 $Y'=A(z,\mu)Y$ の $\Delta$ 上の解で $Y(z_0,\mu)=\eta(\mu)$ を満たすものとする（定理 2.1 (1)）。このとき $Y:\Delta\times W\to\C^n$ は連続であり、各 $z\in\Delta$ について $\mu\mapsto Y(z,\mu)$ は $W$ 上で正則である。

証明. $\C^n$ に Euclid ノルムを入れ、 $\C^{n\times n}$ にはその作用素ノルムを用いる。 $\mu\in W$ について、定理 2.1 (1)の Picard 反復を $A(\cdot,\mu)$ と $\eta(\mu)$ に対して作り、 $Y_k(z,\mu)$ と書く。 $\zeta_z(s)=z_0+s(z-z_0)$ とおくと、§E5.4 定義 2.2により

Y_{k+1}(z,\mu)=\eta(\mu)+(z-z_0)\int_0^1G_k(s,z,\mu)\,ds,\qquad G_k(s,z,\mu)=A(\zeta_z(s),\mu)\,Y_k(\zeta_z(s),\mu)

である。 $Y_k$ が $\Delta\times W$ 上で連続であり、各 $z\in\Delta$ について $\mu\mapsto Y_k(z,\mu)$ が $W$ 上で正則であるとする。 $G_k$ は $[0,1]\times\Delta\times W$ 上で連続である。 $z\in\Delta$ を固定する。 $G_k(\cdot,z,\cdot)$ は連続であるから、§E10.7 命題 1.3と§E10.10 命題 5.1により $\int_0^1G_k(s,z,\mu)\,ds$ は Lebesgue 測度についての積分に一致する。 $W$ に含まれる各コンパクト集合 $K$ について $G_k(\cdot,z,\cdot)$ はコンパクト集合 $[0,1]\times K$ の上で有界であり、各 $s$ について $\mu\mapsto G_k(s,z,\mu)$ の各成分は $W$ 上で正則であるから、Lebesgue 測度を備えた $[0,1]$ の上で補題 3.1を $G_k$ の各成分に適用すると、 $\mu\mapsto Y_{k+1}(z,\mu)$ は $W$ 上で正則である。 $(z_j,\mu_j)$ を $(z,\mu)\in\Delta\times W$ に収束する点列とし、 $\overline D(z,\varepsilon)\subseteq\Delta$ と $\overline D(\mu,\varepsilon)\subseteq W$ を満たす $\varepsilon>0$ を取る。十分大きい $j$ について $(z_j,\mu_j)\in\overline D(z,\varepsilon)\times\overline D(\mu,\varepsilon)$ であり、 $G_k$ はコンパクト集合 $[0,1]\times\overline D(z,\varepsilon)\times\overline D(\mu,\varepsilon)$ の上で有界であるから、§E10.11 定理 3.1を各成分の実部と虚部に適用すると $\int_0^1G_k(s,z_j,\mu_j)\,ds\to\int_0^1G_k(s,z,\mu)\,ds$ である。よって $Y_{k+1}$ は $\Delta\times W$ 上で連続である。 $Y_0(z,\mu)=\eta(\mu)$ は二つの性質をもつから、 $k$ についての帰納法により、すべての $Y_k$ はこの二つの性質をもつ。

$(z_1,\mu_1)\in\Delta\times W$ を取り、 $\lvert z_1-z_0\rvert<\rho<r$ と $\overline D(\mu_1,\sigma)\subseteq W$ を満たす $\rho,\sigma>0$ を取る。

M=\max\bigl\{\lVert A(z,\mu)\rVert:\lvert z-z_0\rvert\le\rho,\ \mu\in\overline D(\mu_1,\sigma)\bigr\},\qquad E=\max_{\mu\in\overline D(\mu_1,\sigma)}\lVert\eta(\mu)\rVert

とおく。各 $\mu\in\overline D(\mu_1,\sigma)$ について定理 2.1 (1)の $M_\rho$ は $M$ 以下であり、 $x\mapsto x^{k+1}e^x$ は $[0,\infty)$ 上で増加するから、 $\lvert z-z_0\rvert\le\rho$ と $\mu\in\overline D(\mu_1,\sigma)$ について

\lVert Y(z,\mu)-Y_k(z,\mu)\rVert\le\frac{E(M\rho)^{k+1}e^{M\rho}}{(k+1)!}

が成り立つ。右辺は $k\to\infty$ で $0$ に収束するから、 $Y_k\to Y$ は $\overline D(z_0,\rho)\times\overline D(\mu_1,\sigma)$ 上で一様収束である。§E2.16 定理 2.4を各成分の実部と虚部に適用すると、 $Y$ は $D(z_0,\rho)\times D(\mu_1,\sigma)$ 上で連続である。 $z\in D(z_0,\rho)$ を固定すると、 $\mu\mapsto Y_k(z,\mu)$ は $D(\mu_1,\sigma)$ 上の正則写像の列であって $Y(z,\cdot)$ へ一様に収束するから、§E5.17 定理 2.1 (1)により $\mu\mapsto Y(z,\mu)$ は $D(\mu_1,\sigma)$ 上で正則である。 $(z_1,\mu_1)$ は任意であるから、 $Y$ は $\Delta\times W$ 上で連続であり、各 $z\in\Delta$ について $\mu\mapsto Y(z,\mu)$ は $W$ 上で正則である。▨

4 高階方程式と一階系

命題 4.1. $D\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ 、 $p_0,\ldots,p_{n-1}:D\to\C$ を正則とし、 $Ly=y^{(n)}+\sum_{j=0}^{n-1}p_jy^{(j)}$ とおく。 $A_L:D\to\C^{n\times n}$ を、 $1\le j\le n-1$ について $(j,j+1)$ 成分が $1$ 、第 $n$ 行が $(-p_0,\ldots,-p_{n-1})$ 、その他の成分が $0$ である行列値関数とする。このとき、次が成り立つ。

開集合 $U\subseteq D$ について、 $\Phi_U(y)=(y,y',\ldots,y^{(n-1)})^{\mathsf T}$ は $\mathcal S_L(U)$ から $\mathcal S_{A_L}(U)$ への線形同型であり、その逆写像は第一成分をとる写像である。
$a\in D$ について、代表元 $(y,U)$ により $\varphi_a([y]_a)=[\Phi_U(y)]_a$ と定めると、 $\varphi_a$ は $\mathcal S_{L,a}$ から $\mathcal S_{A_L,a}$ への線形同型である。 $\ev^L_a=\ev_a\circ\varphi_a$ は $[y]_a\mapsto(y(a),\ldots,y^{(n-1)}(a))^{\mathsf T}$ で与えられる線形同型であり、 $\dim_\C\mathcal S_{L,a}=n$ である。さらに、開円板 $\Delta\subseteq D$ 、 $b\in\Delta$ 、 $\eta\in\C^n$ について、 $(y(b),\ldots,y^{(n-1)}(b))^{\mathsf T}=\eta$ を満たす $y\in\mathcal S_L(\Delta)$ がただ一つ存在する。
開集合 $U\subseteq D$ と $y_1,\ldots,y_n\in\mathcal S_L(U)$ について、 $\Phi_U(y_1),\ldots,\Phi_U(y_n)$ を列にもつ行列の行列式は $W(y_1,\ldots,y_n)$ である。 $a\in U$ について、 $[y_1]_a,\ldots,[y_n]_a$ が $\mathcal S_{L,a}$ の基底であるための必要十分条件は $W(y_1,\ldots,y_n)(a)\ne0$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $y\in\mathcal S_L(U)$ とすると、§E5.6 定理 4.1により $y^{(j)}$ はすべて $U$ 上で正則である。 $Y=\Phi_U(y)$ の成分 $Y_j=y^{(j)}$ （ $0\le j\le n-1$ ）は、 $j<n-1$ について $Y_j'=Y_{j+1}$ を満たし、 $Y_{n-1}'=y^{(n)}=-\sum_{j=0}^{n-1}p_jY_j$ を満たすから、 $Y\in\mathcal S_{A_L}(U)$ である。逆に $Y\in\mathcal S_{A_L}(U)$ とすると、 $j<n-1$ についての $Y_j'=Y_{j+1}$ から帰納的に $Y_0^{(j)}=Y_j$ （ $0\le j\le n-1$ ）であり、第 $n$ 行は $LY_0=0$ を与える。よって $Y_0\in\mathcal S_L(U)$ かつ $Y=\Phi_U(Y_0)$ である。 $\Phi_U$ と第一成分をとる写像は線形であり、互いに逆写像である。

主張 (2)を示す。 $\Phi_U$ は開集合への制限と可換であるから、 $\varphi_a$ は代表元によらずに定まり、線形である。同じ理由で、第一成分をとる写像は $\mathcal S_{A_L,a}$ から $\mathcal S_{L,a}$ への写像を誘導する。誘導された写像は $\varphi_a$ の逆写像である。 $\ev_a\circ\varphi_a$ の表示は定義から従い、定理 2.1 (4)により $\ev^L_a$ は線形同型である。最後の主張は、定理 2.1 (3)を $A_L$ に適用して得られる $\mathcal S_{A_L}(\Delta)$ の元を主張 (1)で移すと得られる。

主張 (3)を示す。行列の $(j,k)$ 成分は $y_k^{(j-1)}$ であるから、その行列式は $W(y_1,\ldots,y_n)$ である。 $\ev^L_a([y_k]_a)$ はこの行列の $a$ における第 $k$ 列であり、 $\ev^L_a$ は線形同型であるから、 $[y_1]_a,\ldots,[y_n]_a$ が基底であることと、 $a$ における $n$ 本の列が $\C^n$ の基底であること、すなわち $W(y_1,\ldots,y_n)(a)\ne0$ であることは同値である。▨

注意 4.2. $x_0\in\R$ 、 $R>0$ とし、§E13.34 級数解法の§E13.34 式 (1.1.2)の係数 $P,Q$ が、 $\lvert x-x_0\rvert<R$ を満たすすべての実数 $x$ で、 $x_0$ における Taylor 級数 $\sum_{k\ge0}p_k(x-x_0)^k$ 、 $\sum_{k\ge0}q_k(x-x_0)^k$ に等しいとする。このとき、二つの級数は開円板 $\Delta=D(x_0,R)$ の上の正則関数 $\tilde P,\tilde Q$ を定める。 $\eta_0,\eta_1\in\C$ とし、命題 4.1 (2)の最後の主張を $D=\Delta$ 、 $n=2$ 、 $p_1=\tilde P$ 、 $p_0=\tilde Q$ に適用すると、 $y(x_0)=\eta_0$ 、 $y'(x_0)=\eta_1$ を満たす $y\in\mathcal S_L(\Delta)$ がただ一つ存在し、定理 2.1 (1)により $y$ の $x_0$ における Taylor 級数は $\Delta$ 上で $y$ に収束する。この Taylor 級数と $\tilde P,\tilde Q$ の級数を $y''+\tilde Py'+\tilde Qy=0$ に代入して $(z-x_0)^m$ の係数を比較すると、 $y$ の Taylor 係数は§E13.34 式 (1.2.1)を満たす。したがって、§E13.34 系 2.3の級数は $y$ の Taylor 級数であり、その収束半径が $R$ 以上であることと、その和が方程式と初期条件を満たすことは、複素円板 $\Delta$ の上の解の存在と一意性から再び得られる。

5 曲線に沿う解の接続

定義 5.1. $D\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ 、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とし、 $\gamma:[0,1]\to D$ を連続写像とする。各 $t\in[0,1]$ に対して $\gamma(t)$ を含む領域 $U_t\subseteq D$ と $Y_t\in\mathcal S_A(U_t)$ を与える族 $(Y_t,U_t)_{t\in[0,1]}$ が次の条件を満たすとき、この族を $\gamma$ に沿う解の接続 (continuation of solutions along a curve) という。各 $t\in[0,1]$ に対して $\delta_t>0$ が存在し、 $s\in[0,1]$ かつ $\lvert s-t\rvert<\delta_t$ ならば、 $\gamma(s)\in U_t\cap U_s$ であり、 $\gamma(s)$ を含む開集合 $W$ が存在して、 $W$ の上で $Y_s=Y_t$ が成り立つ。

補題 5.2. $D\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ 、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とし、 $\Delta,\Delta'\subseteq D$ を開円板とする。 $c,c'\in\Delta$ について、定理 2.1 (3)の線形同型 $j^\Delta_c,j^\Delta_{c'}$ を用いて

P^\Delta_{c,c'}=j^\Delta_{c'}\circ(j^\Delta_c)^{-1}:\mathcal S_{A,c}\to\mathcal S_{A,c'}

と定める。このとき、次が成り立つ。

$c,c',c''\in\Delta$ について $P^\Delta_{c,c}=\id$ と $P^\Delta_{c',c''}\circ P^\Delta_{c,c'}=P^\Delta_{c,c''}$ が成り立つ。とくに $P^\Delta_{c',c}=(P^\Delta_{c,c'})^{-1}$ である。
$c,c'\in\Delta\cap\Delta'$ ならば $P^\Delta_{c,c'}=P^{\Delta'}_{c,c'}$ である。
$\Delta$ の中心を $c_\Delta$ とし、 $\C^n$ の標準基底 $e_1,\ldots,e_n$ について $(\ev^\Delta_{c_\Delta})^{-1}(e_k)$ を第 $k$ 列にもつ $\Delta$ 上の行列値関数を $\Phi_\Delta$ とする。このとき、 $\Delta$ 上で $\Phi_\Delta'=A\Phi_\Delta$ が成り立ち、各 $z\in\Delta$ について $\Phi_\Delta(z)$ は可逆であり、 $c,c'\in\Delta$ について、定理 2.1 (4)の線形同型 $\ev_c,\ev_{c'}$ を用いて $\ev_{c'}\circ P^\Delta_{c,c'}\circ\ev_c^{-1}=\Phi_\Delta(c')\Phi_\Delta(c)^{-1}$ が成り立つ。

証明.主張 (1)は定義から従う。主張 (2)を示す。 $\sigma\in\mathcal S_{A,c}$ について $Y=(j^\Delta_c)^{-1}(\sigma)$ 、 $Y'=(j^{\Delta'}_c)^{-1}(\sigma)$ とおく。開円板は凸であるから、 $\Delta\cap\Delta'$ は $c$ に関して星形な開集合であり、§E5.2 命題 4.5により領域である。 $Y$ と $Y'$ は $c$ で同じ芽をもつから $Y(c)=Y'(c)$ であり、定理 2.1 (2)により $\Delta\cap\Delta'$ 上で $Y=Y'$ である。 $c'\in\Delta\cap\Delta'$ であるから $j^\Delta_{c'}(Y)=j^{\Delta'}_{c'}(Y')$ である。

主張 (3)を示す。 $\Phi_\Delta$ の各列は $\mathcal S_A(\Delta)$ の元であるから、 $\Phi_\Delta'=A\Phi_\Delta$ である。 $z\in\Delta$ について $\Phi_\Delta(z)$ の列は、定理 2.1 (3)の線形同型 $\ev^\Delta_z\circ(\ev^\Delta_{c_\Delta})^{-1}$ による標準基底の像であるから、 $\Phi_\Delta(z)$ は可逆である。 $v\in\C^n$ について $Z=\Phi_\Delta\Phi_\Delta(c)^{-1}v$ とおくと、 $Z\in\mathcal S_A(\Delta)$ かつ $Z(c)=v$ であるから $\ev_c^{-1}(v)=j^\Delta_c(Z)$ であり、

\ev_{c'}\bigl(P^\Delta_{c,c'}(\ev_c^{-1}(v))\bigr)=\ev_{c'}\bigl(j^\Delta_{c'}(Z)\bigr)=Z(c')=\Phi_\Delta(c')\Phi_\Delta(c)^{-1}v

である。▨

命題 5.3. $D\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ 、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とし、 $\gamma:[0,1]\to D$ を連続写像とする。このとき、次が成り立つ。

分割 $0=t_0<t_1<\cdots<t_m=1$ と開円板 $\Delta_1,\ldots,\Delta_m\subseteq D$ で、各 $i$ について $\gamma([t_{i-1},t_i])\subseteq\Delta_i$ を満たすものが存在する。
主張 (1)の条件を満たす分割と開円板を取り、 $p_i=\gamma(t_i)$ とおく。このとき、任意の $\sigma\in\mathcal S_{A,\gamma(0)}$ に対して、 $[Y_0]_{\gamma(0)}=\sigma$ を満たす $\gamma$ に沿う解の接続 $(Y_t,U_t)$ が存在し、 $[Y_1]_{\gamma(1)}=P^{\Delta_m}_{p_{m-1},p_m}\circ\cdots\circ P^{\Delta_1}_{p_0,p_1}(\sigma)$ が成り立つ。
$(Y_t,U_t)$ と $(Z_t,V_t)$ を $\gamma$ に沿う解の接続とする。このとき、 $[Y_0]_{\gamma(0)}=[Z_0]_{\gamma(0)}$ ならば、すべての $t\in[0,1]$ について $[Y_t]_{\gamma(t)}=[Z_t]_{\gamma(t)}$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $[0,1]$ は§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであり、§E2.9 定理 3.1により点列コンパクトである。 $D$ に含まれる開円板 $\Delta$ にわたる $\gamma^{-1}(\Delta)$ の全体は $[0,1]$ の開被覆であるから、§E2.9 補題 2.3によりこの開被覆は Lebesgue 数 $\delta>0$ をもつ。 $1/m<\delta$ を満たす $m\in\NN$ を取り、 $t_i=i/m$ とおく。 $[t_{i-1},t_i]\subseteq B(t_{i-1},\delta)$ であるから、§E2.9 定義 2.2により $\gamma([t_{i-1},t_i])\subseteq\Delta_i$ を満たす開円板 $\Delta_i\subseteq D$ が存在する。

主張 (2)を示す。 $\sigma_0=\sigma$ とし、 $i=1,\ldots,m$ について $Y^{(i)}=(j^{\Delta_i}_{p_{i-1}})^{-1}(\sigma_{i-1})\in\mathcal S_A(\Delta_i)$ 、 $\sigma_i=j^{\Delta_i}_{p_i}(Y^{(i)})$ と帰納的に定めると、 $\sigma_i=P^{\Delta_i}_{p_{i-1},p_i}(\sigma_{i-1})$ である。 $1\le i\le m-1$ とする。 $\Delta_i\cap\Delta_{i+1}$ は $p_i$ に関して星形な開集合であるから§E5.2 命題 4.5により領域であり、 $Y^{(i)}$ と $Y^{(i+1)}$ は $p_i$ で同じ芽 $\sigma_i$ をもつから、定理 2.1 (2)により $\Delta_i\cap\Delta_{i+1}$ 上で $Y^{(i)}=Y^{(i+1)}$ である。

$1\le i\le m$ と $t\in[t_{i-1},t_i)$ について $(Y_t,U_t)=(Y^{(i)},\Delta_i)$ と定め、 $(Y_1,U_1)=(Y^{(m)},\Delta_m)$ と定める。すべての $t$ について $\gamma(t)\in U_t$ である。 $t=0$ または $t=1$ のとき、および $t\in(t_{i-1},t_i)$ を満たす $i$ が存在するとき、 $\lvert s-t\rvert<\delta_t$ を満たすすべての $s\in[0,1]$ について $(Y_s,U_s)=(Y_t,U_t)$ となる $\delta_t>0$ が存在し、接続の条件が成り立つ。 $t=t_i$ （ $1\le i\le m-1$ ）のとき、 $U_t=\Delta_{i+1}$ は $\gamma(t_i)$ を含む開集合であるから、 $\gamma$ の連続性により、 $\delta_t\le\min\{t_i-t_{i-1},t_{i+1}-t_i\}$ を満たし、 $\lvert s-t_i\rvert<\delta_t$ ならば $\gamma(s)\in\Delta_{i+1}$ となる $\delta_t>0$ が存在する。 $t_i\le s<t_i+\delta_t$ ならば $(Y_s,U_s)=(Y_t,U_t)$ である。 $t_i-\delta_t<s<t_i$ ならば $(Y_s,U_s)=(Y^{(i)},\Delta_i)$ であり、 $\gamma(s)\in\Delta_i\cap\Delta_{i+1}$ であって、開集合 $\Delta_i\cap\Delta_{i+1}$ の上で $Y_s=Y^{(i)}=Y^{(i+1)}=Y_t$ である。よって $(Y_t,U_t)$ は $\gamma$ に沿う解の接続である。 $[Y_0]_{\gamma(0)}=j^{\Delta_1}_{p_0}(Y^{(1)})=\sigma$ であり、 $[Y_1]_{\gamma(1)}=\sigma_m$ であるから、主張の等式を得る。

主張 (3)を示す。 $k=1,\ldots,n$ について、 $Y_t$ と $Z_t$ の第 $k$ 成分の族 $((Y_t)_k,U_t)$ と $((Z_t)_k,V_t)$ は§E5.19 定義 3.1の意味の $\gamma$ に沿う解析接続であり、 $t=0$ で $\gamma(0)$ において同値である。§E5.19 定理 3.2により、各 $t\in[0,1]$ と各 $k$ について、 $\gamma(t)$ を含む開集合 $W_k$ の上で $(Y_t)_k=(Z_t)_k$ である。 $W_1\cap\cdots\cap W_n$ の上で $Y_t=Z_t$ であるから、 $[Y_t]_{\gamma(t)}=[Z_t]_{\gamma(t)}$ である。▨

定義 5.4. $D\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ 、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とし、 $\gamma:[0,1]\to D$ を連続写像とする。 $\sigma\in\mathcal S_{A,\gamma(0)}$ に対して、 $[Y_0]_{\gamma(0)}=\sigma$ を満たす $\gamma$ に沿う解の接続 $(Y_t,U_t)$ を取り、 $T_\gamma(\sigma)=[Y_1]_{\gamma(1)}$ と定める。命題 5.3 (2)と命題 5.3 (3)により、 $T_\gamma(\sigma)$ は接続の選び方によらずに定まり、命題 5.3 (1)の条件を満たす任意の分割と開円板について

T_\gamma=P^{\Delta_m}_{p_{m-1},p_m}\circ\cdots\circ P^{\Delta_1}_{p_0,p_1}\qquad(p_i=\gamma(t_i))

であるから、 $T_\gamma$ は線形同型 $\mathcal S_{A,\gamma(0)}\to\mathcal S_{A,\gamma(1)}$ である。 $T_\gamma$ を $\gamma$ に沿う接続写像 (continuation operator) という。

$\gamma(1)=\delta(0)$ を満たす連続写像 $\gamma,\delta:[0,1]\to D$ について、 $0\le t\le1/2$ で $(\gamma*\delta)(t)=\gamma(2t)$ 、 $1/2\le t\le1$ で $(\gamma*\delta)(t)=\delta(2t-1)$ と定める。連続写像 $\gamma:[0,1]\to D$ について $\gamma^-(t)=\gamma(1-t)$ と定める。

$p_0,\ldots,p_{n-1}:D\to\C$ を正則とする $n$ 階方程式 $Ly=0$ については、命題 4.1 (2)の $\varphi$ と $A_L$ に対する接続写像 $T_\gamma$ を用いて、 $T^L_\gamma=\varphi_{\gamma(1)}^{-1}\circ T_\gamma\circ\varphi_{\gamma(0)}:\mathcal S_{L,\gamma(0)}\to\mathcal S_{L,\gamma(1)}$ と定める。

命題 5.5. $D\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ 、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とする。このとき、次が成り立つ。

連続写像 $\gamma:[0,1]\to D$ と開円板 $\Delta\subseteq D$ が $\gamma([0,1])\subseteq\Delta$ を満たすならば、 $T_\gamma=P^\Delta_{\gamma(0),\gamma(1)}$ である。とくに、 $\gamma$ が定値写像ならば $T_\gamma$ は恒等写像である。
連続写像 $\gamma,\delta:[0,1]\to D$ が $\gamma(1)=\delta(0)$ を満たすならば、 $T_{\gamma*\delta}=T_\delta\circ T_\gamma$ である。
連続写像 $\gamma:[0,1]\to D$ について $T_{\gamma^-}=T_\gamma^{-1}$ である。
$p_0,\ldots,p_{n-1}:D\to\C$ を正則とし、 $T$ を $A_L$ に対する接続写像とする。このとき、 $k\in\NN$ と、 $1\le i\le k-1$ について $\gamma_i(1)=\gamma_{i+1}(0)$ を満たす連続写像 $\gamma_1,\ldots,\gamma_k:[0,1]\to D$ について、 $T^L_{\gamma_k}\circ\cdots\circ T^L_{\gamma_1}=\varphi_{\gamma_k(1)}^{-1}\circ T_{\gamma_k}\circ\cdots\circ T_{\gamma_1}\circ\varphi_{\gamma_1(0)}$ である。連続写像 $\gamma:[0,1]\to D$ について $(T^L_\gamma)^{-1}=\varphi_{\gamma(0)}^{-1}\circ T_\gamma^{-1}\circ\varphi_{\gamma(1)}$ である。

$p_0,\ldots,p_{n-1}:D\to\C$ を正則とする $n$ 階方程式の $T^L$ についても、主張 (1)・主張 (2)・主張 (3)の三つの主張が、主張 (1)の $P^\Delta_{\gamma(0),\gamma(1)}$ を $A_L$ についての $\varphi_{\gamma(1)}^{-1}\circ P^\Delta_{\gamma(0),\gamma(1)}\circ\varphi_{\gamma(0)}$ に置き換えて成り立つ。

証明.主張 (1)は、定義 5.4の表示を $m=1$ 、 $\Delta_1=\Delta$ として用いると得られる。定値写像については補題 5.2 (1)による。

主張 (2)を示す。命題 5.3 (1)により、 $\gamma$ について分割 $(t_i)_{i=0}^m$ と開円板 $(\Delta_i)_{i=1}^m$ を取り、 $\delta$ について分割 $(t'_j)_{j=0}^{m'}$ と開円板 $(\Delta'_j)_{j=1}^{m'}$ を取る。 $\gamma*\delta$ について、分割 $t_0/2<\cdots<t_m/2=(1+t'_0)/2<\cdots<(1+t'_{m'})/2$ と開円板 $\Delta_1,\ldots,\Delta_m,\Delta'_1,\ldots,\Delta'_{m'}$ は命題 5.3 (1)の条件を満たす。実際、 $(\gamma*\delta)([t_{i-1}/2,t_i/2])=\gamma([t_{i-1},t_i])\subseteq\Delta_i$ であり、 $(\gamma*\delta)([(1+t'_{j-1})/2,(1+t'_j)/2])=\delta([t'_{j-1},t'_j])\subseteq\Delta'_j$ である。分点の像は $\gamma(t_i)$ と $\delta(t'_j)$ であるから、定義 5.4の表示により $T_{\gamma*\delta}=T_\delta\circ T_\gamma$ である。

主張 (3)を示す。 $\gamma$ について分割 $(t_i)$ と開円板 $(\Delta_i)$ を取り、 $p_i=\gamma(t_i)$ とおく。 $k=0,\ldots,m$ について $u_k=1-t_{m-k}$ とおき、 $k=1,\ldots,m$ について $\Delta^-_k=\Delta_{m-k+1}$ とおくと、 $\gamma^-([u_{k-1},u_k])=\gamma([t_{m-k},t_{m-k+1}])\subseteq\Delta^-_k$ であり、 $\gamma^-(u_k)=p_{m-k}$ である。定義 5.4の表示と補題 5.2 (1)により

T_{\gamma^-}=P^{\Delta_1}_{p_1,p_0}\circ\cdots\circ P^{\Delta_m}_{p_m,p_{m-1}}=\bigl(P^{\Delta_1}_{p_0,p_1}\bigr)^{-1}\circ\cdots\circ\bigl(P^{\Delta_m}_{p_{m-1},p_m}\bigr)^{-1}=T_\gamma^{-1}

である。

主張 (4)を示す。定義 5.4により $T^L_{\gamma_i}=\varphi_{\gamma_i(1)}^{-1}\circ T_{\gamma_i}\circ\varphi_{\gamma_i(0)}$ であり、 $\gamma_i(1)=\gamma_{i+1}(0)$ であるから $\varphi_{\gamma_{i+1}(0)}\circ\varphi_{\gamma_i(1)}^{-1}$ は恒等写像である。これらを合成すると第一の等式を得る。第二の等式は $T^L_\gamma=\varphi_{\gamma(1)}^{-1}\circ T_\gamma\circ\varphi_{\gamma(0)}$ の両辺の逆写像をとると得られる。 $T^L$ についての三つの主張は、主張 (1)・主張 (2)・主張 (3)を $A_L$ に適用した等式に主張 (4)を用いると得られる。▨

注意 5.6. $p_0,\ldots,p_{n-1}:D\to\C$ を正則とし、 $T$ を $A_L$ に対する接続写像とする。各点の芽空間の間の写像の合成として書かれた $T$ についての等式は、命題 5.5 (4)により、各点で $\varphi$ と $\varphi^{-1}$ を挟んだ $T^L$ についての等式へ移る。以後の命題で $n$ 階方程式の $T^L$ について同じ主張を述べるときは、この移し方による。

6 モノドロミー定理

定義 6.1. $D\subseteq\C$ を領域とし、 $\gamma_0,\gamma_1:[0,1]\to D$ を $\gamma_0(0)=\gamma_1(0)=a$ と $\gamma_0(1)=\gamma_1(1)=b$ を満たす連続写像とする。連続写像 $H:[0,1]^2\to D$ がすべての $s,t\in[0,1]$ について

H(0,t)=\gamma_0(t),\qquad H(1,t)=\gamma_1(t),\qquad H(s,0)=a,\qquad H(s,1)=b

を満たすとき、 $H$ を $\gamma_0$ と $\gamma_1$ の間の端点を固定したホモトピーという。このような $H$ が存在するとき、 $\gamma_0$ と $\gamma_1$ は $D$ の中で端点を固定してホモトピック (homotopic with fixed endpoints) であるという。

定理 6.2 (モノドロミー定理). $D\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ 、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とし、 $H:[0,1]^2\to D$ を連続写像とする。 $s\in[0,1]$ について $\gamma_s(t)=H(s,t)$ とおき、 $\alpha(s)=H(s,0)$ 、 $\beta(s)=H(s,1)$ とおく。このとき、 $\mathcal S_{A,H(0,0)}$ から $\mathcal S_{A,H(1,1)}$ への写像として

T_{\gamma_1}\circ T_\alpha=T_\beta\circ T_{\gamma_0}

が成り立つ。とくに、 $D$ の中で端点を固定してホモトピックな二つの連続写像 $\gamma_0,\gamma_1:[0,1]\to D$ について $T_{\gamma_0}=T_{\gamma_1}$ である。 $n$ 階方程式の $T^L$ についても、同じ二つの主張が成り立つ（注意 5.6）。

証明. $[0,1]^2$ は§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであり、§E2.9 定理 3.1により Euclid 距離について点列コンパクトである。 $D$ に含まれる開円板 $\Delta$ にわたる $H^{-1}(\Delta)$ の全体は $[0,1]^2$ の開被覆であるから、§E2.9 補題 2.3によりこの開被覆は Lebesgue 数 $\delta>0$ をもつ。 $\sqrt2/N<\delta$ を満たす $N\in\NN$ を取り、 $s_i=i/N$ 、 $t_j=j/N$ （ $0\le i,j\le N$ ）、 $Q_{ij}=[s_i,s_{i+1}]\times[t_j,t_{j+1}]$ （ $0\le i,j\le N-1$ ）とおく。 $Q_{ij}\subseteq B((s_i,t_j),\delta)$ であるから、§E2.9 定義 2.2により $H(Q_{ij})\subseteq\Delta_{ij}$ を満たす開円板 $\Delta_{ij}\subseteq D$ が存在する。 $c_{i,j}=H(s_i,t_j)$ とおき、 $x,y\in\Delta_{ij}$ について $P_{ij}(x,y)=P^{\Delta_{ij}}_{x,y}$ と書く。

$0\le i\le N-1$ 、 $l\in\{i,i+1\}$ 、 $0\le j\le N-1$ について $\gamma_{s_l}([t_j,t_{j+1}])\subseteq H(Q_{ij})\subseteq\Delta_{ij}$ であるから、定義 5.4の表示により

T_{\gamma_{s_l}}=P_{i,N-1}(c_{l,N-1},c_{l,N})\circ\cdots\circ P_{i,0}(c_{l,0},c_{l,1})\qquad(l=i,\,i+1)

である。同じ表示を $\alpha([s_i,s_{i+1}])\subseteq\Delta_{i,0}$ と $\beta([s_i,s_{i+1}])\subseteq\Delta_{i,N-1}$ に用いると

T_\alpha=P_{N-1,0}(c_{N-1,0},c_{N,0})\circ\cdots\circ P_{0,0}(c_{0,0},c_{1,0}),\qquad T_\beta=P_{N-1,N-1}(c_{N-1,N},c_{N,N})\circ\cdots\circ P_{0,N-1}(c_{0,N},c_{1,N})

を得る。

主張 6.2.1. $0\le i\le N-1$ について

T_{\gamma_{s_{i+1}}}\circ P_{i,0}(c_{i,0},c_{i+1,0})=P_{i,N-1}(c_{i,N},c_{i+1,N})\circ T_{\gamma_{s_i}}

が成り立つ。

証明. $l\in\{i,i+1\}$ と $0\le k\le N$ について、 $R_l^k=P_{i,k-1}(c_{l,k-1},c_{l,k})\circ\cdots\circ P_{i,0}(c_{l,0},c_{l,1})$ （ $R_l^0=\id$ ）とおく。 $V_0=P_{i,0}(c_{i,0},c_{i+1,0})$ とし、 $1\le k\le N$ について $V_k=P_{i,k-1}(c_{i,k},c_{i+1,k})$ とおく。 $0\le k\le N-1$ について、 $c_{i,k},c_{i+1,k}$ は $H(Q_{ik})$ に属し、 $k\ge1$ ならば $H(Q_{i,k-1})$ にも属するから、補題 5.2 (2)により $V_k=P_{ik}(c_{i,k},c_{i+1,k})$ である。 $Q_{ik}$ の四つの頂点の像は $\Delta_{ik}$ に属するから、補題 5.2 (1)により

P_{ik}(c_{i+1,k},c_{i+1,k+1})\circ P_{ik}(c_{i,k},c_{i+1,k})=P_{ik}(c_{i,k},c_{i+1,k+1})=P_{ik}(c_{i,k+1},c_{i+1,k+1})\circ P_{ik}(c_{i,k},c_{i,k+1})

であり、右辺の第一因子は $V_{k+1}$ である。したがって、 $R_{i+1}^k\circ V_0=V_k\circ R_i^k$ が成り立つならば

R_{i+1}^{k+1}\circ V_0=P_{ik}(c_{i+1,k},c_{i+1,k+1})\circ V_k\circ R_i^k=V_{k+1}\circ P_{ik}(c_{i,k},c_{i,k+1})\circ R_i^k=V_{k+1}\circ R_i^{k+1}

である。 $k=0$ では $R_{i+1}^0\circ V_0=V_0\circ R_i^0$ であるから、 $k$ についての帰納法により $R_{i+1}^N\circ V_0=V_N\circ R_i^N$ を得る。 $R_l^N=T_{\gamma_{s_l}}$ であるから、これは主張の等式である。▨

$0\le i\le N$ について $E_i=P_{i-1,0}(c_{i-1,0},c_{i,0})\circ\cdots\circ P_{0,0}(c_{0,0},c_{1,0})$ 、 $F_i=P_{i-1,N-1}(c_{i-1,N},c_{i,N})\circ\cdots\circ P_{0,N-1}(c_{0,N},c_{1,N})$ （ $E_0=F_0=\id$ ）とおく。 $i=0$ では $T_{\gamma_{s_0}}\circ E_0=F_0\circ T_{\gamma_0}$ である。 $T_{\gamma_{s_i}}\circ E_i=F_i\circ T_{\gamma_0}$ が成り立つならば、主張 6.2.1により

T_{\gamma_{s_{i+1}}}\circ E_{i+1}=T_{\gamma_{s_{i+1}}}\circ P_{i,0}(c_{i,0},c_{i+1,0})\circ E_i=P_{i,N-1}(c_{i,N},c_{i+1,N})\circ T_{\gamma_{s_i}}\circ E_i=F_{i+1}\circ T_{\gamma_0}

である。 $E_N=T_\alpha$ 、 $F_N=T_\beta$ であるから、 $i=N$ として $T_{\gamma_1}\circ T_\alpha=T_\beta\circ T_{\gamma_0}$ を得る。

$\gamma_0$ と $\gamma_1$ の間の端点を固定したホモトピー $H$ については、 $\alpha$ と $\beta$ は定値写像であり、命題 5.5 (1)により $T_\alpha$ と $T_\beta$ は恒等写像であるから、 $T_{\gamma_1}=T_{\gamma_0}$ である。 $T^L$ についての二つの主張は、注意 5.6による。▨

系 6.3. $D\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ 、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とし、 $\gamma_0,\gamma_1$ を $D$ 内の閉曲線とする。連続写像 $H:[0,1]^2\to D$ がすべての $s,t\in[0,1]$ について $H(0,t)=\gamma_0(t)$ 、 $H(1,t)=\gamma_1(t)$ 、 $H(s,0)=H(s,1)$ を満たすとし、 $\delta(s)=H(s,0)$ とおく。このとき

T_{\gamma_1}=T_\delta\circ T_{\gamma_0}\circ T_\delta^{-1}

である。とくに、 $\gamma_1$ が定値写像ならば、 $T_{\gamma_0}$ は $\mathcal S_{A,\gamma_0(0)}$ の恒等写像である。 $n$ 階方程式の $T^L$ についても、同じ二つの主張が成り立つ（注意 5.6）。

証明.定理 6.2を $H$ に適用すると、 $\alpha=\beta=\delta$ であるから $T_{\gamma_1}\circ T_\delta=T_\delta\circ T_{\gamma_0}$ を得る。 $T_\delta$ は線形同型であるから、主張の等式が成り立つ。 $\gamma_1$ が定値写像ならば命題 5.5 (1)により $T_{\gamma_1}$ は恒等写像であり、 $T_{\gamma_0}=T_\delta^{-1}\circ T_\delta$ は恒等写像である。 $T^L$ についての二つの主張は、注意 5.6による。▨

系 6.4. $D\subseteq\C$ を§E5.2 定義 4.6の意味で単連結な領域、 $n\in\NN$ 、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とする。このとき、各 $a\in D$ と $\eta\in\C^n$ に対して、 $Y(a)=\eta$ を満たす $Y\in\mathcal S_A(D)$ がただ一つ存在する。 $p_0,\ldots,p_{n-1}:D\to\C$ を正則とすると、各 $a\in D$ と $\eta\in\C^n$ に対して、 $(y(a),\ldots,y^{(n-1)}(a))^{\mathsf T}=\eta$ を満たす $y\in\mathcal S_L(D)$ がただ一つ存在する。

証明. $\sigma=\ev_a^{-1}(\eta)\in\mathcal S_{A,a}$ とおく（定理 2.1 (4)）。 $z\in D$ について、§E5.1 命題 1.4により $a$ と $z$ を結ぶ $D$ 内の折れ線が存在するから、 $\gamma(0)=a$ 、 $\gamma(1)=z$ を満たす連続写像 $\gamma:[0,1]\to D$ が存在する。 $\tilde\gamma$ も同じ条件を満たす連続写像とすると、 $C=\gamma*\tilde\gamma^-$ は $D$ 内の閉曲線である。 $D$ は単連結であるから、 $H(0,t)=C(t)$ 、 $H(1,t)=H(1,0)$ 、 $H(s,0)=H(s,1)$ を満たす連続写像 $H:[0,1]^2\to D$ が存在し、系 6.3により $T_C$ は恒等写像である。命題 5.5 (2)と命題 5.5 (3)により $T_C=T_{\tilde\gamma}^{-1}\circ T_\gamma$ であるから、 $T_\gamma=T_{\tilde\gamma}$ である。よって $Y(z)=\ev_z(T_\gamma\sigma)$ は $\gamma$ の選び方によらずに定まる。

$z_1\in D$ を取り、 $z_1$ を中心とする開円板 $\Delta\subseteq D$ と、 $\gamma(0)=a$ 、 $\gamma(1)=z_1$ を満たす連続写像 $\gamma:[0,1]\to D$ を取って、 $Z=(j^\Delta_{z_1})^{-1}(T_\gamma\sigma)\in\mathcal S_A(\Delta)$ とおく。 $z\in\Delta$ について $\lambda(t)=z_1+t(z-z_1)$ とおくと、 $\gamma*\lambda$ は $a$ と $z$ を結び、命題 5.5 (2)と命題 5.5 (1)により $T_{\gamma*\lambda}\sigma=P^\Delta_{z_1,z}(T_\gamma\sigma)=j^\Delta_z(Z)$ である。よって $Y(z)=Z(z)$ であり、 $\Delta$ 上で $Y=Z$ である。したがって $Y$ は $D$ 上で正則であり、 $Y'=AY$ を満たす。定値写像に沿う接続写像は恒等写像であるから、 $Y(a)=\ev_a(\sigma)=\eta$ である。一意性は定理 2.1 (2)による。 $n$ 階方程式についての主張は、 $A_L$ についての主張を命題 4.1 (1)で移すと得られる。▨

7 モノドロミー群

定義 7.1. $D\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ 、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とし、 $a\in D$ とする。 $\gamma(0)=\gamma(1)=a$ を満たす $D$ 内の閉曲線 $\gamma$ にわたる $T_\gamma$ の全体を $M_{A,a}$ と書く。命題 5.5 (2)、命題 5.5 (3)、命題 5.5 (1)により、 $M_{A,a}$ は $\GL(\mathcal S_{A,a})$ の部分群である。 $M_{A,a}$ を、基点 $a$ における線形系 $Y'=A(z)Y$ のモノドロミー群 (monodromy group) という。 $p_0,\ldots,p_{n-1}:D\to\C$ を正則とする $n$ 階方程式 $Ly=0$ については、 $T^L_\gamma$ の全体 $M_{L,a}=\varphi_a^{-1}\circ M_{A_L,a}\circ\varphi_a\subseteq\GL(\mathcal S_{L,a})$ を基点 $a$ におけるモノドロミー群という。

命題 7.2. $D\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ 、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とし、 $a,b\in D$ とする。このとき、 $\delta(0)=a$ 、 $\delta(1)=b$ を満たす連続写像 $\delta:[0,1]\to D$ は§E5.1 命題 1.4により存在し、そのような任意の $\delta$ について $M_{A,b}=T_\delta\circ M_{A,a}\circ T_\delta^{-1}$ が成り立つ。さらに、線形同型 $\iota_a:\C^n\to\mathcal S_{A,a}$ と $\iota_b:\C^n\to\mathcal S_{A,b}$ を任意に取ると、 $\GL_n(\C)$ の部分群 $\iota_a^{-1}\circ M_{A,a}\circ\iota_a$ と $\iota_b^{-1}\circ M_{A,b}\circ\iota_b$ は共役である。 $p_0,\ldots,p_{n-1}:D\to\C$ を正則とする $n$ 階方程式のモノドロミー群についても、同じ二つの主張が成り立つ。

証明. $a$ と $b$ を結ぶ $D$ 内の折れ線を $[0,1]$ で径数付けると $\delta$ を得る。 $\gamma$ を $\gamma(0)=\gamma(1)=a$ を満たす $D$ 内の閉曲線とすると、 $(\delta^-*\gamma)*\delta$ は $b$ を始点かつ終点とする閉曲線であり、命題 5.5 (2)と命題 5.5 (3)により $T_{(\delta^-*\gamma)*\delta}=T_\delta\circ T_\gamma\circ T_\delta^{-1}$ である。よって $T_\delta\circ M_{A,a}\circ T_\delta^{-1}\subseteq M_{A,b}$ である。 $\tilde\gamma$ を $b$ を始点かつ終点とする閉曲線とすると、 $(\delta*\tilde\gamma)*\delta^-$ は $a$ を始点かつ終点とする閉曲線であり、 $T_{(\delta*\tilde\gamma)*\delta^-}=T_\delta^{-1}\circ T_{\tilde\gamma}\circ T_\delta\in M_{A,a}$ であるから、 $T_{\tilde\gamma}\in T_\delta\circ M_{A,a}\circ T_\delta^{-1}$ である。 $g=\iota_b^{-1}\circ T_\delta\circ\iota_a\in\GL_n(\C)$ とおくと、 $\iota_b^{-1}\circ M_{A,b}\circ\iota_b=g\circ(\iota_a^{-1}\circ M_{A,a}\circ\iota_a)\circ g^{-1}$ である。 $n$ 階方程式についての主張は、 $M_{L,a}=\varphi_a^{-1}\circ M_{A_L,a}\circ\varphi_a$ 、 $M_{L,b}=\varphi_b^{-1}\circ M_{A_L,b}\circ\varphi_b$ と命題 5.5 (4)により、 $A_L$ についての主張から得られる。▨

注意 7.3. 各点 $a\in D$ に $\mathcal S_{A,a}$ を対応させ、 $D$ 内の各曲線 $\gamma$ に $T_\gamma$ を対応させる組は、線形系 $Y'=A(z)Y$ の解の局所系と呼ばれる。定理 6.2により、 $T_\gamma$ は $\gamma$ の端点を固定したホモトピーの類だけで定まる。積を $[\gamma][\delta]=[\gamma*\delta]$ で定める基点 $a$ における $D$ の基本群 $\pi_1(D,a)$ について、命題 5.5 (2)により $T_{\gamma*\delta}=T_\delta\circ T_\gamma$ であるから、 $[\gamma]\mapsto T_\gamma^{-1}$ は $\pi_1(D,a)$ から $\GL(\mathcal S_{A,a})$ への群準同型であり、その像はモノドロミー群 $M_{A,a}$ である。この準同型はモノドロミー表現と呼ばれる。

注意 7.4. $D=\C\setminus\{0\}$ 、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則、 $T>0$ とし、 $\gamma(t)=e^{2\pi it}$ （ $0\le t\le1$ ）とおく。このとき、 $B(t)=\frac{2\pi i}{T}e^{2\pi it/T}A(e^{2\pi it/T})$ は $\R$ 上の連続な $T$ 周期の行列値関数であり、§E13.13 Floquet 理論の意味の $T$ 周期線形系 $\boldsymbol x'=B(t)\boldsymbol x$ のモノドロミー行列は $\ev_1\circ T_\gamma\circ\ev_1^{-1}$ に一致する。実際、 $\gamma$ に沿う解の接続 $(Y_s,U_s)$ について $\boldsymbol x(t)=Y_{t/T}(e^{2\pi it/T})$ （ $0\le t\le T$ ）は $[0,T]$ 上で $\boldsymbol x'=B(t)\boldsymbol x$ を満たし、 $\boldsymbol x(T)=\ev_1(T_\gamma[Y_0]_1)$ である。

8 正則写像による引き戻し

補題 8.1. $D,D'\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ とし、 $A:D\to\C^{n\times n}$ 、 $B:D'\to\C^{n\times n}$ 、 $h:D'\to D$ 、 $G:D'\to\C^{n\times n}$ を正則とする。各 $w\in D'$ について $G(w)$ は可逆であり、 $D'$ 上で

G'+h'\,G\,(A\circ h)=B\,G

が成り立つとする。線形系 $Y'=A(z)Y$ と $Z'=B(w)Z$ の接続写像をそれぞれ $T^A$ 、 $T^B$ と書く。開集合 $V\subseteq D'$ 、 $Z\in\mathcal S_B(V)$ 、 $w\in V$ について、 $V$ の $w$ を含む連結成分を $V_w$ とし、 $[Z]_w=[Z|_{V_w}]_w$ と書く（ $V_w$ は§E5.5 補題 5.1により領域である）。このとき、次が成り立つ。

開集合 $U\subseteq D$ と $Y\in\mathcal S_A(U)$ について、 $G\cdot(Y\circ h)\in\mathcal S_B(h^{-1}(U))$ である。
$w\in D'$ 、 $h(w)$ を含む領域 $U\subseteq D$ 、 $Y\in\mathcal S_A(U)$ について $h^*_w[Y]_{h(w)}=[G\cdot(Y\circ h)]_w$ と定めると、 $h^*_w$ は代表元によらずに定まり、 $\mathcal S_{A,h(w)}$ から $\mathcal S_{B,w}$ への線形同型であって、 $\ev_w\circ h^*_w=G(w)\circ\ev_{h(w)}$ を満たす。
連続写像 $\delta:[0,1]\to D'$ について、 $h^*_{\delta(1)}\circ T^A_{h\circ\delta}=T^B_\delta\circ h^*_{\delta(0)}$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。 $h$ は連続であるから $h^{-1}(U)$ は $D'$ の開集合である。§E5.2 命題 1.2 (4)と§E5.2 命題 1.2を成分に適用すると、 $Z=G\cdot(Y\circ h)$ は $h^{-1}(U)$ 上で正則であり、

Z'=G'\,(Y\circ h)+h'\,G\,(Y'\circ h)=\bigl(G'+h'\,G\,(A\circ h)\bigr)(Y\circ h)=B\,G\,(Y\circ h)=BZ

である。

主張 (2)を示す。 $(Y,U)$ と $(\hat Y,\hat U)$ が $h(w)$ において同値であるとし、 $h(w)$ を含む開集合 $W\subseteq U\cap\hat U$ の上で $Y=\hat Y$ であるとする。 $V=h^{-1}(U)$ 、 $\hat V=h^{-1}(\hat U)$ とおくと、 $w$ を含む開集合 $h^{-1}(W)\cap V_w\cap\hat V_w$ の上で $G\cdot(Y\circ h)=G\cdot(\hat Y\circ h)$ であるから、 $h^*_w$ は代表元によらずに定まる。 $h^*_w$ が線形であることは、 $\mathcal S_{A,h(w)}$ と $\mathcal S_{B,w}$ の演算の定義から従う。 $\ev_w(h^*_w[Y]_{h(w)})=G(w)Y(h(w))=G(w)\ev_{h(w)}([Y]_{h(w)})$ であるから、 $\ev_w\circ h^*_w=G(w)\circ\ev_{h(w)}$ である。定理 2.1 (4)により $\ev_w$ と $\ev_{h(w)}$ は線形同型であり、 $G(w)$ は可逆であるから、 $h^*_w=\ev_w^{-1}\circ G(w)\circ\ev_{h(w)}$ は線形同型である。

主張 (3)を示す。 $\sigma\in\mathcal S_{A,h(\delta(0))}$ とする。命題 5.3 (1)と命題 5.3 (2)により、 $h\circ\delta$ に沿う解の接続 $(Y_t,U_t)$ で $[Y_0]_{h(\delta(0))}=\sigma$ を満たすものが存在する。 $t\in[0,1]$ について、 $h^{-1}(U_t)$ の $\delta(t)$ を含む連結成分を $V_t$ とし、 $Z_t=G\cdot(Y_t\circ h)|_{V_t}$ とおく。§E5.5 補題 5.1と主張 (1)により、 $V_t$ は $\delta(t)$ を含む領域であり、 $Z_t\in\mathcal S_B(V_t)$ である。 $t\in[0,1]$ とし、 $\varepsilon_t>0$ を、 $(Y_t,U_t)$ について定義 5.1の条件を満たす数とする。 $V_t$ は開集合であり $\delta$ は連続であるから、 $0<\varepsilon'_t\le\varepsilon_t$ を満たし、 $\lvert s-t\rvert<\varepsilon'_t$ ならば $\delta(s)\in V_t$ となる $\varepsilon'_t$ が存在する。 $s\in[0,1]$ が $\lvert s-t\rvert<\varepsilon'_t$ を満たすとすると、 $\delta(s)\in V_t\cap V_s$ であり、 $h(\delta(s))$ を含む開集合 $W$ が存在して $W$ の上で $Y_s=Y_t$ であるから、 $\delta(s)$ を含む開集合 $h^{-1}(W)\cap V_t\cap V_s$ の上で $Z_s=Z_t$ である。よって $(Z_t,V_t)$ は $\delta$ に沿う解の接続であり、 $[Z_0]_{\delta(0)}=h^*_{\delta(0)}\sigma$ 、 $[Z_1]_{\delta(1)}=h^*_{\delta(1)}[Y_1]_{h(\delta(1))}=h^*_{\delta(1)}T^A_{h\circ\delta}\sigma$ である。定義 5.4により $T^B_\delta h^*_{\delta(0)}\sigma=h^*_{\delta(1)}T^A_{h\circ\delta}\sigma$ である。▨

補題 8.2. $D,D'\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ とし、 $p_0,\ldots,p_{n-1}:D\to\C$ と $q_0,\ldots,q_{n-1}:D'\to\C$ を正則として、 $Ly=y^{(n)}+\sum_{j=0}^{n-1}p_jy^{(j)}$ 、 $\tilde Lv=v^{(n)}+\sum_{j=0}^{n-1}q_jv^{(j)}$ とおく。 $h:D'\to D$ と $\kappa:D'\to\C$ を正則とし、 $h'$ と $\kappa$ は $D'$ のどの点でも $0$ にならないとする。さらに、すべての開集合 $U\subseteq D$ と $y\in\mathcal S_L(U)$ について $\kappa\cdot(y\circ h)\in\mathcal S_{\tilde L}(h^{-1}(U))$ が成り立つとする。開集合 $V\subseteq D'$ の上の解の $w\in V$ における芽は、補題 8.1と同じく、 $V$ の $w$ を含む連結成分への制限の芽とする。このとき、次が成り立つ。

$w\in D'$ 、 $h(w)$ を含む領域 $U\subseteq D$ 、 $y\in\mathcal S_L(U)$ について $h^\#_w[y]_{h(w)}=[\kappa\cdot(y\circ h)]_w$ と定めると、 $h^\#_w$ は代表元によらずに定まり、 $\mathcal S_{L,h(w)}$ から $\mathcal S_{\tilde L,w}$ への線形同型である。
連続写像 $\delta:[0,1]\to D'$ について、 $h^\#_{\delta(1)}\circ T^L_{h\circ\delta}=T^{\tilde L}_\delta\circ h^\#_{\delta(0)}$ が成り立つ。

証明. $m_{00}=\kappa$ とし、 $j\in\N$ と $0\le k\le j+1$ について $m_{j+1,k}=m_{jk}'+h'\,m_{j,k-1}$ と帰納的に定める。ただし $m_{j,-1}=m_{j,j+1}=0$ とする。§E5.6 定理 4.1と§E5.2 命題 1.2により各 $m_{jk}$ は $D'$ 上で正則であり、 $m_{jj}=\kappa\,(h')^j$ である。開集合 $U\subseteq D$ の上の正則関数 $y$ について、 $h^{-1}(U)$ 上で

\bigl(\kappa\cdot(y\circ h)\bigr)^{(j)}=\sum_{k=0}^{j}m_{jk}\,(y^{(k)}\circ h)\qquad(j\in\N)

が成り立つ。実際、 $j=0$ では両辺は等しく、 $j$ についてこの等式が成り立てば、§E5.2 命題 1.2 (4)により右辺の導関数は $\sum_{k=0}^{j}\bigl(m_{jk}'\,(y^{(k)}\circ h)+h'\,m_{jk}\,(y^{(k+1)}\circ h)\bigr)=\sum_{k=0}^{j+1}m_{j+1,k}\,(y^{(k)}\circ h)$ である。 $1\le j,k\le n$ について、 $k\le j$ ならば $(j,k)$ 成分が $m_{j-1,k-1}$ 、 $k>j$ ならば $0$ である行列値関数を $G$ とする。 $G$ は下三角行列値であり、 $\det G=\prod_{j=0}^{n-1}\kappa\,(h')^j$ は $D'$ のどの点でも $0$ にならないから、各 $G(w)$ は可逆である。命題 4.1の $A_L$ と $\Phi_U$ を用い、 $\tilde L$ について同じく定める行列値関数と写像を $A_{\tilde L}$ と $\tilde\Phi_V$ と書く。上の等式により、開集合 $U\subseteq D$ と $y\in\mathcal S_L(U)$ について

\tilde\Phi_{h^{-1}(U)}\bigl(\kappa\cdot(y\circ h)\bigr)=G\cdot\bigl(\Phi_U(y)\circ h\bigr)

が成り立つ。

$w\in D'$ とし、 $h(w)$ を中心とする開円板 $\Delta\subseteq D$ を取り、 $A_L$ に対する補題 5.2 (3)の行列値関数を $\Psi$ と書く。 $\Psi$ の各列は $\mathcal S_{A_L}(\Delta)$ の元であるから、命題 4.1 (1)により、 $y_1,\ldots,y_n\in\mathcal S_L(\Delta)$ が存在して、 $\Psi$ の第 $k$ 列は $(y_k,y_k',\ldots,y_k^{(n-1)})^{\mathsf T}$ である。仮定により $\kappa\cdot(y_k\circ h)\in\mathcal S_{\tilde L}(h^{-1}(\Delta))$ であるから、命題 4.1 (1)を $\tilde L$ に適用すると、 $Z=G\cdot(\Psi\circ h)$ の第 $k$ 列 $\tilde\Phi_{h^{-1}(\Delta)}\bigl(\kappa\cdot(y_k\circ h)\bigr)$ は $\mathcal S_{A_{\tilde L}}(h^{-1}(\Delta))$ に属し、 $h^{-1}(\Delta)$ 上で $Z'=A_{\tilde L}Z$ である。一方、§E5.2 命題 1.2 (4)により $Z'=\bigl(G'+h'\,G\,(A_L\circ h)\bigr)(\Psi\circ h)$ である。 $\Psi(h(w))$ は可逆であるから、 $w$ において $G'+h'\,G\,(A_L\circ h)=A_{\tilde L}G$ が成り立つ。 $w\in D'$ は任意であるから、 $A=A_L$ 、 $B=A_{\tilde L}$ と $G$ は補題 8.1の仮定を満たす。同じ補題の線形同型を $h^*_w$ と書き、命題 4.1 (2)の線形同型を $L$ について $\varphi$ 、 $\tilde L$ について $\tilde\varphi$ と書く。

主張 (1)を示す。 $h(w)$ を含む領域 $U\subseteq D$ と $y\in\mathcal S_L(U)$ について、上の等式により

h^*_w\bigl(\varphi_{h(w)}[y]_{h(w)}\bigr)=\bigl[G\cdot(\Phi_U(y)\circ h)\bigr]_w=\bigl[\tilde\Phi_{h^{-1}(U)}\bigl(\kappa\cdot(y\circ h)\bigr)\bigr]_w=\tilde\varphi_w\bigl[\kappa\cdot(y\circ h)\bigr]_w

である。よって $h^\#_w=\tilde\varphi_w^{-1}\circ h^*_w\circ\varphi_{h(w)}$ であり、 $h^\#_w$ は代表元によらずに定まる線形同型である。

主張 (2)を示す。定義 5.4により $T^L_{h\circ\delta}=\varphi_{h(\delta(1))}^{-1}\circ T^{A_L}_{h\circ\delta}\circ\varphi_{h(\delta(0))}$ 、 $T^{\tilde L}_\delta=\tilde\varphi_{\delta(1)}^{-1}\circ T^{A_{\tilde L}}_\delta\circ\tilde\varphi_{\delta(0)}$ であるから、補題 8.1 (3)により

h^\#_{\delta(1)}\circ T^L_{h\circ\delta}=\tilde\varphi_{\delta(1)}^{-1}\circ h^*_{\delta(1)}\circ T^{A_L}_{h\circ\delta}\circ\varphi_{h(\delta(0))}=\tilde\varphi_{\delta(1)}^{-1}\circ T^{A_{\tilde L}}_\delta\circ h^*_{\delta(0)}\circ\varphi_{h(\delta(0))}=T^{\tilde L}_\delta\circ h^\#_{\delta(0)}

である。▨

9 Wronskian と Abel–Liouville の公式

定理 9.1 (Abel–Liouville の公式). $D\subseteq\C$ を領域、 $n\in\NN$ 、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とする。このとき、次が成り立つ。

開集合 $U\subseteq D$ の上の正則写像 $\Phi:U\to\C^{n\times n}$ が $U$ 上で $\Phi'=A\Phi$ を満たすならば、 $\det\Phi$ は $U$ 上で正則であり、 $(\det\Phi)'=\operatorname{tr}A\cdot\det\Phi$ が成り立つ。
区分的に一階連続微分可能な曲線 $\gamma:[0,1]\to D$ について $\det\bigl(\ev_{\gamma(1)}\circ T_\gamma\circ\ev_{\gamma(0)}^{-1}\bigr)=\exp\left(\int_\gamma\operatorname{tr}A(z)\,dz\right)$ が成り立つ。とくに $\gamma(0)=\gamma(1)$ ならば $\det T_\gamma=\exp\left(\int_\gamma\operatorname{tr}A(z)\,dz\right)$ である。
$p_0,\ldots,p_{n-1}:D\to\C$ を正則とし、 $U\subseteq D$ を開集合、 $y_1,\ldots,y_n\in\mathcal S_L(U)$ 、 $W=W(y_1,\ldots,y_n)$ とする。このとき、 $U$ 上で $W'=-p_{n-1}W$ が成り立つ。 $U$ が領域ならば、区分的に一階連続微分可能な曲線 $\gamma:[0,1]\to U$ について $W(\gamma(1))=W(\gamma(0))\exp\left(-\int_\gamma p_{n-1}(z)\,dz\right)$ が成り立つ。 $\gamma(0)=\gamma(1)$ を満たす区分的に一階連続微分可能な曲線 $\gamma:[0,1]\to D$ について $\det T^L_\gamma=\exp\left(-\int_\gamma p_{n-1}(z)\,dz\right)$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。 $\det\Phi$ は $\Phi$ の成分の多項式であるから、§E5.2 命題 1.2により $U$ 上で正則である。 $z\in U$ を取り、 $D(z,\varepsilon)\subseteq U$ を満たす $\varepsilon>0$ を取って、 $I=(-\varepsilon,\varepsilon)$ 上で $\psi(t)=\Phi(z+t)$ とおく。 $\Phi$ の複素微分可能性により $\psi$ は $C^1$ 級であり、 $\psi'(t)=\Phi'(z+t)=A(z+t)\psi(t)$ である。 $t\mapsto A(z+t)$ は $I$ 上で連続であるから局所可積分であり、§E13.9 定理 3.1を $\mathbb K=\C$ 、 $t_0=0$ として適用すると

\det\Phi(z+t)=\det\Phi(z)\exp\left(\int_0^t\operatorname{tr}A(z+s)\,ds\right)\qquad(t\in I)

を得る。右辺の $t=0$ における微分係数は $\operatorname{tr}A(z)\det\Phi(z)$ であり、左辺の $t=0$ における微分係数は $(\det\Phi)'(z)$ であるから、 $(\det\Phi)'(z)=\operatorname{tr}A(z)\det\Phi(z)$ である。

主張 (2)を示す。命題 5.3 (1)の条件を満たす分割 $(t_i)_{i=0}^m$ と開円板 $(\Delta_i)_{i=1}^m$ を取り、 $p_i=\gamma(t_i)$ とおき、補題 5.2 (3)の行列値関数 $\Phi_{\Delta_i}$ を $\Phi_i$ と書く。定義 5.4の表示と補題 5.2 (3)により、 $\ev_{\gamma(1)}\circ T_\gamma\circ\ev_{\gamma(0)}^{-1}$ は行列 $\Phi_i(p_i)\Phi_i(p_{i-1})^{-1}$ の $i=m,\ldots,1$ の順の積である。§E5.5 定理 4.1により $F_i'=\operatorname{tr}A$ を満たす $\Delta_i$ 上の正則関数 $F_i$ が存在する。主張 (1)と§E5.2 命題 1.2により $(e^{-F_i}\det\Phi_i)'=0$ であり、§E5.4 命題 4.3により $e^{-F_i}\det\Phi_i$ は $\Delta_i$ 上で定数である。 $\gamma$ の $[t_{i-1},t_i]$ への制限を $\gamma_i$ とすると、§E5.4 定理 4.2により

\det\bigl(\Phi_i(p_i)\Phi_i(p_{i-1})^{-1}\bigr)=e^{F_i(p_i)-F_i(p_{i-1})}=\exp\left(\int_{\gamma_i}\operatorname{tr}A(z)\,dz\right)

である。§E5.4 命題 2.6を繰り返し適用すると $\sum_{i=1}^m\int_{\gamma_i}\operatorname{tr}A(z)\,dz=\int_\gamma\operatorname{tr}A(z)\,dz$ であるから、主張の等式を得る。 $\gamma(0)=\gamma(1)$ ならば $\det T_\gamma=\det(\ev_{\gamma(0)}\circ T_\gamma\circ\ev_{\gamma(0)}^{-1})$ である。

主張 (3)を示す。 $\Phi_U(y_1),\ldots,\Phi_U(y_n)$ を列にもつ行列を $\Phi$ とすると、命題 4.1 (1)により $\Phi'=A_L\Phi$ であり、命題 4.1 (3)により $\det\Phi=W$ である。 $\operatorname{tr}A_L=-p_{n-1}$ であるから、主張 (1)により $W'=-p_{n-1}W$ である。 $U$ が領域ならば、各 $k$ について、すべての $t$ に $(\Phi_U(y_k),U)$ を対応させる族は $A_L$ に対する $\gamma$ に沿う解の接続であるから、 $T_\gamma[\Phi_U(y_k)]_{\gamma(0)}=[\Phi_U(y_k)]_{\gamma(1)}$ である。 $\ev$ を施すと $\bigl(\ev_{\gamma(1)}\circ T_\gamma\circ\ev_{\gamma(0)}^{-1}\bigr)\Phi(\gamma(0))=\Phi(\gamma(1))$ であり、行列式をとって主張 (2)を $A_L$ に適用すると、 $W(\gamma(1))=W(\gamma(0))\exp\left(-\int_\gamma p_{n-1}(z)\,dz\right)$ を得る。最後の等式は、 $T^L_\gamma=\varphi_{\gamma(0)}^{-1}\circ T_\gamma\circ\varphi_{\gamma(0)}$ の行列式が $\det T_\gamma$ に等しいことと、主張 (2)を $A_L$ に適用した等式による。▨

10 穴あき平面上の例

例 10.1. $D=\C\setminus\{0\}$ とし、 $\gamma(t)=e^{2\pi it}$ （ $0\le t\le1$ ）とおく。 $D$ は§E5.3 命題 2.1により領域であり、 $D_0=\C\setminus(-\infty,0]$ とおく。

$\alpha\in\C$ とし、 $A(z)=\alpha/z$ とおいて、 $D$ 上の線形系 $y'=A(z)y$ （ $n=1$ ）を考える。このとき、 $D_0$ 上の $u(z)=e^{\alpha\operatorname{Log}z}$ は、§E5.3 命題 2.10と§E5.2 命題 1.2 (4)により $u'=\frac{\alpha}{z}u$ を満たし、 $u(1)=1$ であるから、 $[u]_1$ は $\mathcal S_{A,1}$ の $0$ でない元である。 $\int_\gamma\frac{\alpha}{z}\,dz=\int_0^1\frac{\alpha}{e^{2\pi it}}\,2\pi ie^{2\pi it}\,dt=2\pi i\alpha$ であるから、定理 9.1 (2)により、一次元の空間 $\mathcal S_{A,1}$ の線形写像 $T_\gamma$ は $e^{2\pi i\alpha}$ 倍である。 $\alpha\notin\Z$ とすると、§E5.3 命題 1.7 (2)により $e^{2\pi i\alpha}\ne1$ である。このとき $Y(1)=1$ を満たす $Y\in\mathcal S_A(D)$ は存在しない。実際、そのような $Y$ があれば、すべての $t$ に $(Y,D)$ を対応させる族は $\gamma$ に沿う解の接続であるから $T_\gamma[Y]_1=[Y]_1$ であり、定理 2.1 (4)により $[Y]_1=[u]_1$ であるから $e^{2\pi i\alpha}[u]_1=[u]_1$ となるが、これは $e^{2\pi i\alpha}\ne1$ と $[u]_1\ne0$ に反する。したがって、 $D$ では系 6.4の結論が成り立たず、 $D$ は単連結でない。
$D$ 上の二階方程式 $y''+\frac1zy'=0$ （ $p_1(z)=1/z$ 、 $p_0=0$ ）を考える。このとき、定数関数 $1$ は $D$ 上の解であり、 $\operatorname{Log}$ は§E5.3 命題 2.10により $D_0$ 上の解である。 $W(1,\operatorname{Log})(1)=1$ であるから、命題 4.1 (3)により $[1]_1,[\operatorname{Log}]_1$ は $\mathcal S_{L,1}$ の基底である。すべての $t$ に $(\Phi_D(1),D)$ を対応させる族は解の接続であるから $T^L_\gamma[1]_1=[1]_1$ である。§E5.19 例 4.2の族 $(\ell_t,U_t)$ は§E5.19 定義 3.1の意味の $\gamma$ に沿う解析接続であり、 $\ell_0=\operatorname{Log}$ 、 $U_0=D_0$ 、 $\ell_1(1)=2\pi i$ を満たす。各 $\ell_t$ は $U_t\subseteq D$ 上の対数の枝であるから、§E5.3 命題 2.5により、ある整数 $k$ が存在して、 $\ell_t$ は§E5.3 命題 2.11の枝と定数 $2\pi ik$ だけ異なる。したがって $\ell_t$ は $U_t$ 上で正則であり、 $\ell_t'(z)=1/z$ を満たす。よって $\ell_t\in\mathcal S_L(U_t)$ である。開集合の上で一致する二つの正則関数は導関数も一致するから、 $(\Phi_{U_t}(\ell_t),U_t)$ は $A_L$ に対する $\gamma$ に沿う解の接続であり、 $T^L_\gamma[\operatorname{Log}]_1=[\ell_1]_1$ である。 $1$ を中心とし $U_1\cap D_0$ に含まれる開円板の上で $\ell_1$ と $\operatorname{Log}$ はともに対数の枝であり、 $1$ における値の差は $2\pi i$ であるから、§E5.3 命題 2.5によりその円板の上で $\ell_1=\operatorname{Log}+2\pi i$ である。したがって $T^L_\gamma[\operatorname{Log}]_1=[\operatorname{Log}]_1+2\pi i[1]_1$ であり、基底 $[1]_1,[\operatorname{Log}]_1$ に関する $T^L_\gamma$ の行列は $\begin{pmatrix}1&2\pi i\\0&1\end{pmatrix}$ である。この行列は対角化可能でない。その行列式 $1$ は、定理 9.1 (3)の値 $\exp\left(-\int_\gamma\frac{dz}{z}\right)=e^{-2\pi i}=1$ に一致する。 $y(1)=0$ 、 $y'(1)=1$ を満たす $y\in\mathcal S_L(D)$ は存在しない。実際、そのような $y$ があれば、命題 4.1 (2)により $[y]_1=[\operatorname{Log}]_1$ であり、すべての $t$ に $(\Phi_D(y),D)$ を対応させる族により $T^L_\gamma[y]_1=[y]_1$ となるが、これは $T^L_\gamma[\operatorname{Log}]_1-[\operatorname{Log}]_1=2\pi i[1]_1\ne0$ に反する。

11 演習

問題 11.1. $a,b\in\C$ とし、 $D=\C\setminus\{0\}$ 上の二階方程式 $y''+\frac azy'+\frac b{z^2}y=0$ を考える。 $\lambda_1,\lambda_2$ を $\lambda(\lambda-1)+a\lambda+b=0$ の重複を込めた二根とし、 $D_0=\C\setminus(-\infty,0]$ 上で $z^\lambda=e^{\lambda\operatorname{Log}z}$ とおき、 $\gamma(t)=e^{2\pi it}$ （ $0\le t\le1$ ）とする。

$\lambda_1\ne\lambda_2$ ならば、 $[z^{\lambda_1}]_1,[z^{\lambda_2}]_1$ は $\mathcal S_{L,1}$ の基底であり、この基底に関する $T^L_\gamma$ の行列は $\operatorname{diag}(e^{2\pi i\lambda_1},e^{2\pi i\lambda_2})$ であることを示せ。
$\lambda_1=\lambda_2=\lambda$ ならば、 $[z^\lambda]_1,[z^\lambda\operatorname{Log}z]_1$ は $\mathcal S_{L,1}$ の基底であり、この基底に関する $T^L_\gamma$ の行列は $e^{2\pi i\lambda}\begin{pmatrix}1&2\pi i\\0&1\end{pmatrix}$ であることを示せ。
いずれの場合も $\det T^L_\gamma$ が定理 9.1 (3)の与える値 $e^{-2\pi ia}$ に一致することを確かめよ。

解答.

$\chi(\lambda)=\lambda(\lambda-1)+a\lambda+b$ とおく。例 10.1 (2)で確かめたとおり、§E5.19 例 4.2の族 $(\ell_t,U_t)$ を取ると、 $\ell_t$ は $U_t\subseteq D$ 上で正則で $\ell_t'=1/z$ を満たし、 $\ell_0=\operatorname{Log}$ であり、 $1$ を中心とする開円板が存在して、その上で $\ell_1=\operatorname{Log}+2\pi i$ である。 $\lambda\in\C$ について $u_t=e^{\lambda\ell_t}$ 、 $v_t=\ell_te^{\lambda\ell_t}$ とおくと、§E5.2 命題 1.2により

u_t'=\frac{\lambda}{z}u_t,\qquad u_t''=\frac{\lambda(\lambda-1)}{z^2}u_t,\qquad v_t'=\frac{1+\lambda\ell_t}{z}u_t,\qquad v_t''=\frac{(2\lambda-1)+\lambda(\lambda-1)\ell_t}{z^2}u_t

であるから、

z^2u_t''+azu_t'+bu_t=\chi(\lambda)u_t,\qquad z^2v_t''+azv_t'+bv_t=\bigl(\chi(\lambda)\ell_t+\chi'(\lambda)\bigr)u_t

である。 $\chi(\lambda)=0$ ならば $u_t\in\mathcal S_L(U_t)$ であり、 $\chi(\lambda)=\chi'(\lambda)=0$ ならば $v_t\in\mathcal S_L(U_t)$ でもある。 $\ell_s$ と $\ell_t$ が開集合 $W$ の上で一致すれば $u_s,u_t$ と $v_s,v_t$ も $W$ の上で一致するから、 $\chi(\lambda)=0$ ならば $(\Phi_{U_t}(u_t),U_t)$ は $A_L$ に対する $\gamma$ に沿う解の接続であり、 $\chi(\lambda)=\chi'(\lambda)=0$ ならば $(\Phi_{U_t}(v_t),U_t)$ も $A_L$ に対する $\gamma$ に沿う解の接続である。 $u_0=z^\lambda$ 、 $v_0=z^\lambda\operatorname{Log}z$ であり、 $1$ の近くで§E5.3 命題 1.6により $u_1=e^{2\pi i\lambda}z^\lambda$ 、 $v_1=e^{2\pi i\lambda}(z^\lambda\operatorname{Log}z+2\pi iz^\lambda)$ であるから、

T^L_\gamma[z^\lambda]_1=e^{2\pi i\lambda}[z^\lambda]_1,\qquad T^L_\gamma[z^\lambda\operatorname{Log}z]_1=e^{2\pi i\lambda}\bigl([z^\lambda\operatorname{Log}z]_1+2\pi i[z^\lambda]_1\bigr)

である（後者は $\chi(\lambda)=\chi'(\lambda)=0$ のとき）。

(1)を示す。 $\chi(\lambda_k)=0$ であり、 $W(z^{\lambda_1},z^{\lambda_2})(1)=\det\begin{pmatrix}1&1\\\lambda_1&\lambda_2\end{pmatrix}=\lambda_2-\lambda_1\ne0$ であるから、命題 4.1 (3)により二つの芽は基底である。上の等式により行列は $\operatorname{diag}(e^{2\pi i\lambda_1},e^{2\pi i\lambda_2})$ である。

(2)を示す。 $\chi$ は $\lambda$ を重根にもつから $\chi(\lambda)=\chi'(\lambda)=0$ である。 $v_0(1)=0$ 、 $v_0'(1)=1$ であるから $W(z^\lambda,z^\lambda\operatorname{Log}z)(1)=\det\begin{pmatrix}1&0\\\lambda&1\end{pmatrix}=1$ であり、二つの芽は基底である。上の等式により行列は $e^{2\pi i\lambda}\begin{pmatrix}1&2\pi i\\0&1\end{pmatrix}$ である。

(3)を示す。 $\chi(\lambda)=\lambda^2+(a-1)\lambda+b$ であるから $\lambda_1+\lambda_2=1-a$ であり、二つの場合とも $\det T^L_\gamma=e^{2\pi i(\lambda_1+\lambda_2)}=e^{2\pi i(1-a)}=e^{-2\pi ia}$ である。一方 $p_1(z)=a/z$ について $-\int_\gamma p_1(z)\,dz=-\int_0^1\frac{a}{e^{2\pi it}}\,2\pi ie^{2\pi it}\,dt=-2\pi ia$ であるから、定理 9.1 (3)の値は $e^{-2\pi ia}$ であり、両者は一致する。▨

問題 11.2. $D\subseteq\C$ を領域、 $W\subseteq\C$ を開集合、 $n\in\NN$ とし、 $A:D\times W\to\C^{n\times n}$ を定理 3.2の仮定を満たす写像とする。 $\gamma:[0,1]\to D$ を連続写像とし、 $\mu\in W$ について、線形系 $Y'=A(z,\mu)Y$ の $\gamma$ に沿う接続写像を $T_\gamma(\mu)$ 、定理 2.1 (4)の線形同型を $\ev_c(\mu)$ と書く。 $\mu\mapsto\ev_{\gamma(1)}(\mu)\circ T_\gamma(\mu)\circ\ev_{\gamma(0)}(\mu)^{-1}\in\C^{n\times n}$ の各成分が $W$ 上で正則であることを示せ。

解答.

命題 5.3 (1)の条件を満たす分割 $(t_i)_{i=0}^m$ と開円板 $(\Delta_i)_{i=1}^m$ を一組取る。この組は $\gamma$ と $D$ だけを用いて取るので、 $\mu$ によらない。 $p_i=\gamma(t_i)$ とし、 $c_i$ を $\Delta_i$ の中心とする。 $\mu\in W$ について、線形系 $Y'=A(z,\mu)Y$ に対する補題 5.2 (3)の行列値関数 $\Phi_{\Delta_i}$ を $\Phi_i(\cdot,\mu)$ と書く。その第 $k$ 列は、 $c_i$ における値が標準基底の $e_k$ である $\Delta_i$ 上の解であるから、定理 3.2を定値写像 $\eta(\mu)=e_k$ に適用すると、各 $z\in\Delta_i$ について $\mu\mapsto\Phi_i(z,\mu)$ の各成分は $W$ 上で正則である。定義 5.4の表示と補題 5.2 (3)により、 $\ev_{\gamma(1)}(\mu)\circ T_\gamma(\mu)\circ\ev_{\gamma(0)}(\mu)^{-1}$ は $\Phi_i(p_i,\mu)\Phi_i(p_{i-1},\mu)^{-1}$ の $i=m,\ldots,1$ の順の積である。 $\Phi_i(p_{i-1},\mu)$ は可逆であり、 $\Phi_i(p_{i-1},\mu)^{-1}$ の各成分は、 $\Phi_i(p_{i-1},\mu)$ の成分の多項式である余因子を、零にならない正則関数 $\mu\mapsto\det\Phi_i(p_{i-1},\mu)$ で割ったものであるから、§E5.2 命題 1.2 (3)により $W$ 上で正則である。したがって、 $\ev_{\gamma(1)}(\mu)\circ T_\gamma(\mu)\circ\ev_{\gamma(0)}(\mu)^{-1}$ の各成分は正則関数の積の和であり、§E5.2 命題 1.2により $W$ 上で正則である。▨

問題 11.3. $D=\C\setminus\{0\}$ 、 $n,k\in\NN$ とし、 $A:D\to\C^{n\times n}$ を正則とする。 $w\in D$ について $h(w)=w^k$ 、 $B(w)=kw^{k-1}A(w^k)$ とおき、 $\gamma(t)=e^{2\pi it}$ （ $0\le t\le1$ ）とする。線形系 $Y'=A(z)Y$ と $Z'=B(w)Z$ の接続写像をそれぞれ $T^A$ 、 $T^B$ と書く。

$G$ を単位行列の値をとる定値写像とする。 $D'=D$ として $A,B,h,G$ が補題 8.1の仮定を満たすことを確かめ、同じ補題の線形同型 $h^*_1:\mathcal S_{A,1}\to\mathcal S_{B,1}$ について $T^B_\gamma=h^*_1\circ(T^A_\gamma)^k\circ(h^*_1)^{-1}$ であることを示せ。
$n=1$ 、 $\alpha\in\C$ 、 $A(z)=\alpha/z$ とする。 $B(w)=k\alpha/w$ であることを確かめ、(1)と例 10.1 (1)から求めた $T^B_\gamma$ が、例 10.1 (1)を $B$ に直接適用して得られる $T^B_\gamma$ に一致することを確かめよ。また、 $k\ge2$ 、 $\alpha=1/k$ のとき、 $T^A_\gamma$ は恒等写像でなく、 $T^B_\gamma$ は恒等写像であることを示せ。

解答.

(1)を示す。 $h$ は $D$ 上で正則で $h(D)\subseteq D$ 、 $h'(w)=kw^{k-1}$ であり、 $G'=0$ であるから、 $G'+h'\,G\,(A\circ h)=kw^{k-1}A(w^k)=BG$ である。補題 8.1 (3)を $\delta=\gamma$ に適用すると、 $\gamma(0)=\gamma(1)=1$ 、 $h(1)=1$ であるから、 $h^*_1\circ T^A_{h\circ\gamma}=T^B_\gamma\circ h^*_1$ である。命題 5.3 (1)の条件を $\gamma$ について満たす分割 $(t_i)_{i=0}^m$ と開円板 $(\Delta_i)_{i=1}^m$ を取り、 $p_i=\gamma(t_i)$ とおく。 $0\le l\le k-1$ 、 $0\le i\le m$ について $s_{lm+i}=(l+t_i)/k$ とおく。 $t_0=0$ 、 $t_m=1$ により $s_{lm+m}=s_{(l+1)m}$ であるから、これは矛盾なく定まり、 $0=s_0<s_1<\cdots<s_{km}=1$ は $[0,1]$ の分割である。 $1\le i\le m$ と $s\in[s_{lm+i-1},s_{lm+i}]$ について $ks-l\in[t_{i-1},t_i]$ であり、§E5.3 命題 1.7 (2)により $e^{-2\pi il}=1$ であるから、§E5.3 命題 1.6により $(h\circ\gamma)(s)=e^{2\pi iks}=e^{2\pi i(ks-l)}=\gamma(ks-l)\in\Delta_i$ である。とくに $(h\circ\gamma)(s_{lm+i})=p_i$ である。定義 5.4の表示をこの分割と、開円板の列 $\Delta_1,\ldots,\Delta_m$ を $k$ 回並べた列に用いると、 $T^A_{h\circ\gamma}$ は $P^{\Delta_m}_{p_{m-1},p_m}\circ\cdots\circ P^{\Delta_1}_{p_0,p_1}=T^A_\gamma$ の $k$ 個の合成である。したがって $T^A_{h\circ\gamma}=(T^A_\gamma)^k$ であり、 $T^B_\gamma=h^*_1\circ(T^A_\gamma)^k\circ(h^*_1)^{-1}$ である。

(2)を示す。 $B(w)=kw^{k-1}\alpha/w^k=k\alpha/w$ である。例 10.1 (1)により $T^A_\gamma$ は $e^{2\pi i\alpha}$ 倍であるから、(1)と§E5.3 命題 1.6により $T^B_\gamma$ は $(e^{2\pi i\alpha})^k=e^{2\pi ik\alpha}$ 倍である。例 10.1 (1)を $\alpha$ の代わりに $k\alpha$ について適用しても、 $T^B_\gamma$ は $e^{2\pi ik\alpha}$ 倍であり、両者は一致する。 $k\ge2$ 、 $\alpha=1/k$ ならば $\alpha\notin\Z$ であるから、§E5.3 命題 1.7 (2)により $e^{2\pi i\alpha}\ne1$ であり、 $T^A_\gamma$ は恒等写像でない。一方 $k\alpha=1$ であるから $e^{2\pi ik\alpha}=1$ であり、 $T^B_\gamma$ は恒等写像である。▨

§E13.37正則係数の線形方程式

1 正則係数の線形系と解の芽

2 円板上の局所解

3 パラメータへの正則な依存

4 高階方程式と一階系

5 曲線に沿う解の接続

6 モノドロミー定理

7 モノドロミー群

8 正則写像による引き戻し

9 Wronskian と Abel–Liouville の公式

10 穴あき平面上の例

11 演習

参考文献

前提記事