§E13.26Sturm–Liouville 問題

証明.主張 (1)を示す。$y$が解であるとし、$\boldsymbol Y=(y,y^{[1]})^{\mathsf T}$とおく。$\boldsymbol Y$は局所絶対連続である。$y^{[1]}=py'$がほとんど至る所で成り立ち、ほとんどすべての点で$p>0$であるから、$y'=y^{[1]}/p$がほとんど至る所で成り立つ。$\ell[y]$の定義から$(y^{[1]})'=(q-\lambda w)y-wf$がほとんど至る所で成り立つ。したがって$\boldsymbol Y'=A_\lambda\boldsymbol Y+\boldsymbol b$がほとんど至る所で成り立つ。逆に$\boldsymbol Y$が条件を満たすとすると、$Y_0'=Y_1/p$がほとんど至る所で成り立つから$pY_0'=Y_1$がほとんど至る所で成り立ち、$Y_1$は局所絶対連続であるから$Y_1$は$Y_0$の流束である。$Y_1'=(q-\lambda w)Y_0-wf$がほとんど至る所で成り立つから、$\ell[Y_0]=-Y_1'+qY_0=\lambda wY_0+wf$がほとんど至る所で成り立つ。

主張 (2)を示す。$1/p,q,w,wf$は$(a,b)$上で局所可積分であるから、$A_\lambda\in L^1_{\mathrm{loc}}((a,b);\C^{2\times2})$、$\boldsymbol b\in L^1_{\mathrm{loc}}((a,b);\C^2)$である。§E13.9 定理 1.1を$I=(a,b)$、$\mathbb K=\C$に適用すると、$\boldsymbol Y(c)=(\eta_0,\eta_1)^{\mathsf T}$を満たす$\boldsymbol Y'=A_\lambda\boldsymbol Y+\boldsymbol b$の局所絶対連続解がただ一つ存在する。主張 (1)により、$\ell[y]=\lambda wy+wf$の解$y$と、この系の解$\boldsymbol Y$は$\boldsymbol Y=(y,y^{[1]})^{\mathsf T}$によって一対一に対応するから、求める解はただ一つ存在する。$\lambda,\eta_0,\eta_1$が実数で$f$が実数値ならば、$A_\lambda$と$\boldsymbol b$は実数値であり、§E13.9 定理 1.1を$\mathbb K=\R$に適用して得られる実数値の解は$\mathbb K=\C$の解でもあるから、一意性により求める解に一致する。

主張 (3)を示す。行列値関数

は、主張 (1)を$f=0$に適用すると、$\Phi'=A_\lambda\Phi$をほとんど至る所で満たす局所絶対連続関数である。$\operatorname{tr}A_\lambda=0$であるから、§E13.9 定理 3.1により$\det\Phi=uv^{[1]}-u^{[1]}v$は定数である。

主張 (4)を示す。$e=a$の場合、$1/p,q,w,wf$は$(a,c)$上で可積分であり、$J$に含まれる任意の有限閉区間$K$について$K\subseteq[a,c']$を満たす$c'\in(c,b)$が存在するから、$A_\lambda\in L^1_{\mathrm{loc}}(J;\C^{2\times2})$、$\boldsymbol b\in L^1_{\mathrm{loc}}(J;\C^2)$である。$e=b$の場合も、$J$に含まれる任意の有限閉区間$K$について$K\subseteq[c',b]$を満たす$c'\in(a,c)$が存在するから、同じ結論が成り立つ。$y$を解とし、$\boldsymbol Y=(y,y^{[1]})^{\mathsf T}$とおく。§E13.9 定理 1.1を$I=J$に適用すると、$\boldsymbol Z(c)=\boldsymbol Y(c)$を満たす$\boldsymbol Z'=A_\lambda\boldsymbol Z+\boldsymbol b$の解$\boldsymbol Z\in AC_{\mathrm{loc}}(J;\C^2)$が存在する。$\boldsymbol Z$の$(a,b)$への制限と$\boldsymbol Y$は、§E13.9 定理 1.1を$I=(a,b)$に適用したときの同じ初期値の解であるから一致する。したがって$y$と$y^{[1]}$は$J$上の局所絶対連続関数$Z_0,Z_1$に延びる。$\boldsymbol Z(e)=(\eta_0,\eta_1)^{\mathsf T}$を満たす$J$上の解$\boldsymbol Z$の$(a,b)$への制限は、主張 (1)により解$y=Z_0$を与え、$y(e)=\eta_0$、$y^{[1]}(e)=\eta_1$を満たす。$y,\tilde y$を$y(e)=\tilde y(e)$、$y^{[1]}(e)=\tilde y^{[1]}(e)$を満たす二つの解とすると、$(y,y^{[1]})$と$(\tilde y,\tilde y^{[1]})$の$J$への延長は、ともに$J$上で$\boldsymbol Z'=A_\lambda\boldsymbol Z+\boldsymbol b$をほとんど至る所で満たし$e$で同じ値をとる局所絶対連続関数であるから、§E13.9 定理 1.1の一意性により一致する。

主張 (5)を示す。$h=y^{[1]}/p$は$(a,b)$上の連続関数であり、$y'=h$がほとんど至る所で成り立つ。§E13.2 系 2.7 (1)を$I=(a,b)$に適用すると、$y$は$C^1$級であり、すべての点で$y'=h$、すなわち$y^{[1]}=py'$が成り立つ。$u,v$に適用すると$W(u,v)=u\,pv'-pu'\,v=p(uv'-u'v)$である。▨

証明.$c<k<d$を満たす$k$を取る。$c=a$ならば$a$は正則端点であるから定義 1.2により$q$は$(c,k)$上で可積分であり、$c>a$ならば$[c,k]$は$(a,b)$に含まれる有限閉区間であるから$q$は$(c,k)$上で可積分である。$d=b$の場合と$d<b$の場合に分けると、同じ理由で$q$は$(k,d)$上で可積分である。したがって$q$は$(c,d)$上で可積分である。$u,v$の延長は$[c,d]$上で有界であるから$qu\overline v$と$u\overline{qv}$は$(c,d)$上で可積分である。$(u^{[1]})'$と$(v^{[1]})'$は§E13.2 定理 2.5により$(c,d)$上で可積分であるから、$\ell[u]\overline v$と$u\overline{\ell[v]}$は$(c,d)$上で可積分である。

主張 (1)を示す。複素共役$z\mapsto\overline z$は実変数の$C^1$写像であるから、§E13.2 定理 3.1 (1)により$\overline v,\overline{v^{[1]}}$は$[c,d]$上で絶対連続であり、その導関数は$\overline{v'},\overline{(v^{[1]})'}$である。$B((z_0,z_1),(\zeta_0,\zeta_1))=z_0\zeta_1-z_1\zeta_0$は双線形写像$\C^2\times\C^2\to\C$であり、$H=B\bigl((u,u^{[1]}),(\overline v,\overline{v^{[1]}})\bigr)$であるから、§E13.2 定理 3.1 (2)により$H$は$[c,d]$上で絶対連続であり、ほとんど至る所で

が成り立つ。$u^{[1]}=pu'$、$v^{[1]}=pv'$がほとんど至る所で成り立ち$p$は実数値であるから、$u'\overline{v^{[1]}}=pu'\overline{v'}=u^{[1]}\overline{v'}$がほとんど至る所で成り立つ。$q$は実数値であるから$qu\overline v=u\overline{qv}$である。したがってほとんど至る所で

が成り立つ。§E13.2 定理 2.5 (3)により$H(d)-H(c)=\int_c^dH'\,dx$である。

主張 (2)を示す。$\alpha,\beta$は実数であるから$\alpha\overline{v(e)}+\beta\overline{v^{[1]}(e)}=\overline{\alpha v(e)+\beta v^{[1]}(e)}=0$である。二つのベクトル$(u(e),u^{[1]}(e))$と$(\overline{v(e)},\overline{v^{[1]}(e)})$は、零でない線形形式$(z_0,z_1)\mapsto\alpha z_0+\beta z_1$の核に属する。この核は$\C^2$の一次元部分空間であるから、二つのベクトルは一次従属であり、行列式$H(e)=u(e)\overline{v^{[1]}(e)}-u^{[1]}(e)\overline{v(e)}$は零である。

主張 (3)を示す。$\varepsilon$は実数で$\varepsilon^2=1$であるから、$H(d)=\varepsilon^2\bigl(u(c)\overline{v^{[1]}(c)}-u^{[1]}(c)\overline{v(c)}\bigr)=H(c)$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$c\in(a,b)$を取る。定義 1.2により、$a$が正則端点であるから$1/p,q,w$は$(a,c)$上で可積分であり、$b$が正則端点であるから$(c,b)$上で可積分である。したがって$1/p,q,w$は$(a,b)$上で可積分である。

主張 (2)を示す。$y$を解とし、$c\in(a,b)$を取る。$e\in\{a,b\}$について、命題 1.3 (4)を$f=0$に適用すると、$y$と$y^{[1]}$は$(a,b)\cup\{e\}$上の局所絶対連続関数に延びる。$e=a$の延長は$[a,c]$上で絶対連続であり、$e=b$の延長は$[c,b]$上で絶対連続であり、両者は$c$で一致する。$[a,c]$上で$e=a$の延長に、$[c,b]$上で$e=b$の延長に等しい関数は、$(a,b)$上で$y$または$y^{[1]}$に一致し、§E13.2 命題 2.8により$[a,b]$上で絶対連続である。

主張 (3)を示す。$c\in(a,b)$のとき、命題 1.3 (2)を$f=0$に適用すると、条件を満たす解がただ一つ存在する。$c\in\{a,b\}$のとき、命題 1.3 (4)を$e=c$、$f=0$に適用すると、条件を満たす解がただ一つ存在する。$\lambda,\eta_0,\eta_1$が実数であるとし、$y$をこの解とする。複素共役$z\mapsto\overline z$は実変数の$C^1$写像であるから、§E13.2 定理 3.1 (1)により$\overline y$と$\overline{y^{[1]}}$は$(a,b)$上で局所絶対連続であり、その導関数はほとんど至る所で$\overline{y'}$と$\overline{(y^{[1]})'}$である。$p,q,w,\lambda$は実数値であるから、ほとんど至る所で$\overline{y^{[1]}}=p\overline{y'}$かつ$-\bigl(\overline{y^{[1]}}\bigr)'+q\overline y=\overline{\ell[y]}=\lambda w\overline y$が成り立つ。したがって$\overline y$は流束$\overline{y^{[1]}}$をもつ$\ell[y]=\lambda wy$の解であり、$\overline y$と$\overline{y^{[1]}}$の$[a,b]$への延長は$y$と$y^{[1]}$の延長の複素共役である。$\overline y(c)=\overline{\eta_0}=\eta_0$、$\overline{y^{[1]}}(c)=\overline{\eta_1}=\eta_1$であるから、一意性により$\overline y=y$であり、$y$は実数値である。

主張 (4)を示す。零でない解$y$と$x\in[a,b]$について$(y(x),y^{[1]}(x))=(0,0)$であるとすると、零関数も$x$で同じ値をとる解であるから、主張 (3)の一意性により$y=0$となり、$y$が零でないことに反する。

主張 (5)を示す。流束は存在すれば一つに限るから、解$u,v$と$k_1,k_2\in\C$について$k_1u+k_2v$は流束$k_1u^{[1]}+k_2v^{[1]}$をもつ解である。命題 1.3 (3)により$W(u,v)$は$(a,b)$上で定数であり、主張 (2)の延長によって$[a,b]$上の連続関数に延びるから、$[a,b]$上で定数である。$(k_1,k_2)\ne(0,0)$について$k_1u+k_2v=0$ならば、その流束$k_1u^{[1]}+k_2v^{[1]}$も零であるから、行列$\begin{pmatrix}u&v\\u^{[1]}&v^{[1]}\end{pmatrix}$の列は各点で一次従属であり、$W(u,v)=0$である。逆に$W(u,v)=0$とし、$c\in[a,b]$を取ると、$(k_1,k_2)\ne(0,0)$が存在して$k_1u(c)+k_2v(c)=0$かつ$k_1u^{[1]}(c)+k_2v^{[1]}(c)=0$が成り立つ。$k_1u+k_2v$は$c$での値が$(0,0)$の解であるから、主張 (3)の一意性により零であり、$u,v$は一次従属である。▨

証明.$\lambda,\mu$を固有値、$u$を$\lambda$に属する固有関数、$v$を$\mu$に属する固有関数とする。補題 1.5 (2)により$u,u^{[1]},v,v^{[1]}$は$[a,b]$上の絶対連続関数に延びるから、定理 1.4を$c=a$、$d=b$に適用することができる。補題 1.5 (1)により$w$は$(a,b)$上で可積分であり、$u,v$の延長は$[a,b]$上で有界であるから、$wu\overline v$は$(a,b)$上で可積分である。$w$は実数値であるから、ほとんど至る所で$\ell[u]\overline v-u\overline{\ell[v]}=(\lambda-\overline\mu)wu\overline v$が成り立ち、定理 1.4 (1)により$(\lambda-\overline\mu)\int_a^bwu\overline v\,dx=H(b)-H(a)$である。$e\in\{a,b\}$について、$u$と$v$はともに$\alpha_ez(e)+\beta_ez^{[1]}(e)=0$を満たすから、定理 1.4 (2)により$H(e)=0$である。したがって

が成り立つ。

主張 (1)を示す。$(\lambda-\overline\mu)\int_a^bwu\overline v\,dx=0$に$\mu=\lambda$、$v=u$を代入すると、$(\lambda-\overline\lambda)\int_a^bw\lvert u\rvert^2\,dx=0$である。$u$は連続で零でないから、$\lvert u\rvert>0$がその上で成り立つ空でない開区間が存在し、$w>0$がほとんど至る所で成り立つから、$w\lvert u\rvert^2$は正の測度をもつ集合の上で正である。§E10.10 命題 3.4により$\int_a^bw\lvert u\rvert^2\,dx>0$であり、$\lambda=\overline\lambda$である。

主張 (2)を示す。主張 (1)により$\overline\mu=\mu$であるから、$(\lambda-\overline\mu)\int_a^bwu\overline v\,dx=0$は$(\lambda-\mu)\int_a^bwu\overline v\,dx=0$となる。したがって、$\lambda\ne\mu$より積分は零である。

主張 (3)を示す。$\lambda$を固有値とすると、主張 (1)により$\lambda$は実数である。$(\alpha_a,\beta_a)$は零でない実数の組であるから、線形形式$(z_0,z_1)\mapsto\alpha_az_0+\beta_az_1$の$\C^2$における核は、零でない実ベクトル$(-\beta_a,\alpha_a)$で張られる一次元部分空間である。補題 1.5 (3)により、$y_\lambda(a)=-\beta_a$、$y_\lambda^{[1]}(a)=\alpha_a$を満たす$\ell[y]=\lambda wy$の解$y_\lambda$がただ一つ存在し、$y_\lambda$は実数値で零でない。$y$を$\lambda$に属する固有関数とすると、$(y(a),y^{[1]}(a))$は核に属するから、$(y(a),y^{[1]}(a))=k(-\beta_a,\alpha_a)$を満たす$k\in\C$が存在する。$y-ky_\lambda$は流束$y^{[1]}-ky_\lambda^{[1]}$をもち$a$での値が$(0,0)$の解であるから、補題 1.5 (3)の一意性により$y=ky_\lambda$であり、$y\ne0$から$k\ne0$である。したがって$y_\lambda=k^{-1}y$は$b$での境界条件を満たし、$\lambda$に属する実数値の固有関数である。固有空間の元は$y_\lambda$の複素数倍であり、$y_\lambda$の零でない複素数倍はすべて$\lambda$に属する固有関数であるから、固有空間は$\C y_\lambda$に等しい。▨

証明.主張 (1)を示す。$g(x)=\int_c^xQ(s)/P(s)\,ds$とおくと、§E13.2 系 2.6により$g$は局所絶対連続であり、$g'=Q/P$がほとんど至る所で成り立つ。$\exp$は$C^1$写像であるから、§E13.2 定理 3.1 (1)により$p=\exp\circ g$と$1/p=\exp\circ(-g)$は局所絶対連続であり、$p'=pQ/P$がほとんど至る所で成り立つ。$p$は正の連続関数であるから$I$に含まれる各有限閉区間の上で有界であり、$q=-pR/P$と$w=pW/P$は局所可積分である。$1/p$は連続であるから局所可積分である。ほとんどすべての点で$W/P>0$ならば、ほとんどすべての点で$w>0$であり、定義 1.1の仮定が満たされる。

主張 (2)を示す。$y\in C^1(I;\C)$、$y'\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\C)$が方程式を満たすとする。$y$は$I$に含まれる各有限閉区間の上で導関数が有界であるから Lipschitz 連続であり、§E13.2 補題 1.2 (4)により局所絶対連続である。§E13.2 定理 3.1 (2)により$py'$は局所絶対連続であり、ほとんど至る所で

が成り立つ。したがって$y^{[1]}=py'$について$-(y^{[1]})'+qy=\lambda wy$がほとんど至る所で成り立つ。

逆に、$y\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\C)$と$y^{[1]}$が後者の条件を満たすとする。$p,0,1$は$I$上で定義 1.1の仮定を満たし、$y^{[1]}$はその意味での$y$の流束であるから、命題 1.3 (5)により$y\in C^1(I;\C)$であり、すべての点で$y'=y^{[1]}/p$である。§E13.2 定理 3.1 (2)により$y'=y^{[1]}\cdot(1/p)$は局所絶対連続であり、$(1/p)'=-p'/p^2=-(Q/P)/p$と$(y^{[1]})'=(q-\lambda w)y$がほとんど至る所で成り立つから、ほとんど至る所で