§E13.29一次元の Sobolev 空間

証明.(1)を示す。$y\le x$としてよい。$u$は絶対連続であるから、§E13.2 定理 2.5により$u(x)-u(y)=\int_y^xu'(s)\,ds$である。§E10.22 定理 4.2を$u'\mathbf 1_{[y,x]}$と$\mathbf 1_{[y,x]}$に適用すると

を得る。

(2)を示す。$u$は連続であるから、$\lvert u\rvert$は$[a,b]$上で最小値を$y_0$で取る。$p<\infty$ならば$(b-a)\lvert u(y_0)\rvert^p\le\int_a^b\lvert u\rvert^p\,dx$であり、$p=\infty$ならば$\lvert u(y_0)\rvert\le\lVert u\rVert_\infty$であるから、いずれの場合も$\lvert u(y_0)\rvert\le(b-a)^{-1/p}\lVert u\rVert_p$である。すべての$x\in[a,b]$について、(1)により$\lvert u(x)\rvert\le\lvert u(y_0)\rvert+\lvert u(x)-u(y_0)\rvert\le(b-a)^{-1/p}\lVert u\rVert_p+(b-a)^{1-1/p}\lVert u'\rVert_p$である。

(3)を示す。(2)の右辺は$C_0\lVert u\rVert_{W^{1,p}}$以下である。包含写像は線形であり、前文の評価により、そのノルムは$C_0$以下である。$\lvert u(x_0)\rvert\le\max_{[a,b]}\lvert u\rvert\le C_0\lVert u\rVert_{W^{1,p}}$により$u\mapsto u(x_0)$は連続であり、その核は閉である。▨

証明.(1)を示す。§E13.2 補題 1.2 (2)と$L^p(a,b)$の線形性により、$W^{1,p}(a,b)$は$C([a,b];\mathbb K)$の部分空間であり、$(\alpha u+\beta v)'=\alpha u'+\beta v'$がほとんど至る所で成り立つ。したがって$\lVert\cdot\rVert_{W^{1,p}}$は$\lVert\cdot\rVert_p$の三角不等式と斉次性から三角不等式と斉次性を満たす。$\lVert u\rVert_{W^{1,p}}=0$ならば$u=0$がほとんど至る所で成り立ち、$u$は連続であるから$u=0$である。

$(u_n)$を$W^{1,p}(a,b)$の Cauchy 列とする。定理 1.2 (3)により$(u_n)$は$C([a,b];\mathbb K)$の最大値ノルムについて Cauchy 列であるから、$C([a,b];\mathbb K)$の完備性により、ある$u\in C([a,b];\mathbb K)$へ一様収束する。$(u_n')$は$L^p(a,b)$の Cauchy 列であるから、§E10.23 定理 1.1により、ある$g\in L^p(a,b)$へ$L^p$ノルムで収束する。§E10.22 定理 4.2により、すべての$t\in[a,b]$について

である。§E13.2 定理 2.5により$u_n(t)=u_n(a)+\int_a^tu_n'(s)\,ds$であるから、$n\to\infty$として$u(t)=u(a)+\int_a^tg(s)\,ds$を得る。$g\in L^p(a,b)\subseteq L^1(a,b)$であるから、§E13.2 定理 2.5により$u$は絶対連続であり、$u'=g$がほとんど至る所で成り立つ。したがって$u\in W^{1,p}(a,b)$である。さらに$\lVert u_n-u\rVert_p\le(b-a)^{1/p}\max_{[a,b]}\lvert u_n-u\rvert\to0$かつ$\lVert u_n'-u'\rVert_p=\lVert u_n'-g\rVert_p\to0$であるから、$\lVert u_n-u\rVert_{W^{1,p}}\to0$である。

(2)を示す。$u,v\in H^1(a,b)$について、$u,v,u',v'\in L^2(a,b)$であるから、§E10.22 定理 4.2により$u\overline v$と$u'\overline{v'}$は可積分であり、$\langle u,v\rangle_{H^1}$は有限である。$\langle\cdot,\cdot\rangle_{H^1}$が第1変数について線形であり、共役対称であることは積分の線形性と$\overline{u\overline v}=\overline uv$から従う。$\langle u,u\rangle_{H^1}=\lVert u\rVert_2^2+\lVert u'\rVert_2^2\ge0$であり、これが$0$ならば(1)の証明と同様に$u=0$である。したがって$\langle\cdot,\cdot\rangle_{H^1}$は内積である。$\lVert u\rVert_{H^1}^2=\lVert u\rVert_2^2+\lVert u'\rVert_2^2$と、実数$\alpha,\beta\ge0$についての$(\alpha+\beta)^2/2\le\alpha^2+\beta^2\le(\alpha+\beta)^2$により、ノルムの評価を得る。評価から$\lVert\cdot\rVert_{H^1}$と$\lVert\cdot\rVert_{W^{1,2}}$は同じ Cauchy 列と収束列をもつから、(1)により$H^1(a,b)$は$\lVert\cdot\rVert_{H^1}$について完備であり、§E10.3 定義 1.3により Hilbert 空間である。▨

証明.$\Phi(\xi,\eta)=\xi^2+\eta^2$は$\R^2$上の$C^1$級関数である。$u$の実部と虚部の組に§E13.2 定理 3.1 (1)を適用すると、$\lvert u\rvert^2$は絶対連続であり、ほとんど至る所で$(\lvert u\rvert^2)'=2\Re(u\overline{u'})$である。§E13.2 定理 2.5により、$x,y\in[a,b]$について$\lvert u(x)\rvert^2-\lvert u(y)\rvert^2=\int_y^x2\Re(u\overline{u'})\,ds$であり、Cauchy–Schwarz の不等式により$\lvert u(x)\rvert^2\le\lvert u(y)\rvert^2+2\lVert u\rVert_2\lVert u'\rVert_2$である。$\lvert u\rvert$の最小点$y_0$では$(b-a)\lvert u(y_0)\rvert^2\le\lVert u\rVert_2^2$であるから、$y=y_0$として

を得る。最後の不等式は$2\alpha\beta\le\varepsilon\beta^2+\alpha^2/\varepsilon$による。▨

証明.$M=\sup_{u\in B}\lVert u\rVert_{W^{1,p}}$とし、$B$を$C([a,b];\mathbb K)$の部分集合とみなす。定理 1.2 (3)により、すべての$u\in B$と$x\in[a,b]$について$\lvert u(x)\rvert\le C_0M$であるから、各$x$について$\{u(x):u\in B\}$は$\mathbb K$の有界集合であり、相対コンパクトである。定理 1.2 (1)により、$\lvert u(x)-u(y)\rvert\le M\lvert x-y\rvert^{1-1/p}$がすべての$u\in B$と$x,y\in[a,b]$について成り立つ。$p>1$であるから$1-1/p>0$であり、任意の$\varepsilon>0$に対して$\delta=(\varepsilon/(M+1))^{1/(1-1/p)}$とすると、$\lvert x-y\rvert<\delta$ならばすべての$u\in B$について$\lvert u(x)-u(y)\rvert<\varepsilon$である。したがって$B$は同程度連続である。$[a,b]$はコンパクトであり$\mathbb K$は完備であるから、§E2.31 系 4.4を$X=[a,b]$、$Y=\mathbb K$、$\mathcal F=B$に適用して、$\overline B$は$C([a,b];\mathbb K)$のコンパクト集合である。$W^{1,p}(a,b)$の有界列の項全体の集合を$B$とすると、$B$は有界であり、その閉包は$C([a,b];\mathbb K)$のコンパクト集合である。距離空間のコンパクト集合の点列は収束部分列をもつから、有界列は$C([a,b];\mathbb K)$で一様収束する部分列をもつ。▨

証明. 可測関数$v:[a,b]\to\mathbb K$が有界ならば$\int\lvert v\rvert^rw\,dx\le(\sup\lvert v\rvert)^r\lVert w\rVert_1$であるから、$v\in L^r_w$であり$\lVert v\rVert_{L^r_w}\le\lVert w\rVert_1^{1/r}\sup\lvert v\rvert$である。連続関数は有界であるから、$u\in W^{1,p}(a,b)$は$L^r_w$の元であり、定理 1.2 (3)により$\lVert u\rVert_{L^r_w}\le C_0\lVert w\rVert_1^{1/r}\lVert u\rVert_{W^{1,p}}$である。

$(u_n)$を$W^{1,p}(a,b)$の有界列とする。定理 2.2により、$C([a,b];\mathbb K)$のある$v$へ一様収束する部分列$(u_{n_k})$が存在する。上の評価を$u_{n_k}-v$に適用して$\lVert u_{n_k}-v\rVert_{L^r_w}\le\lVert w\rVert_1^{1/r}\max\lvert u_{n_k}-v\rvert\to0$を得る。したがって、有界集合の任意の点列は$L^r_w$で収束する部分列をもち、有界集合の像は$L^r_w$で相対コンパクトである。▨

証明. 証明は演習とする（問題 8.1）。▨

証明.§E10.47 補題 1.1を$d=1$に適用し、$\eta_r\in C_c^\infty(\R;\R)$を$\eta_r\ge0$、$\operatorname{supp}\eta_r=[-r,r]$、$\int_\R\eta_r=1$を満たすものとする。$H_r(y)=\int_{-\infty}^y\eta_r(z)\,dz$は$C^\infty$級であり、非減少であり、$y\le-r$で$0$、$y\ge r$で$1$である。(1)については$\psi(x)=H_r(x-s)-H_r(x-t)$とおく。$x-s>x-t$であるから$0\le\psi(x)\le H_r(x-s)\le1$である。$x\in[s+r,t-r]$ならば$H_r(x-s)=1$、$H_r(x-t)=0$であり、$x\le s-r$ならば二項はともに$0$、$x\ge t+r$ならば二項はともに$1$であるから、$\psi$は$[s-r,t+r]\subseteq(a,b)$の外で$0$である。(2)については、$0<r<(b-a)/2$を取り、$\theta(x)=\eta_r(x-(a+b)/2)$とおく。▨

証明.$\psi$の台は$(a,b)$のコンパクト部分区間$[\alpha,\beta]$に含まれるとする。$\psi$は連続であるから、微積分の基本定理により$\varphi$は$C^\infty$級であり$\varphi'=\psi$である。$x<\alpha$で$\varphi(x)=0$であり、$x>\beta$で$\varphi(x)=\int_a^b\psi\,ds=0$であるから、$\varphi$の台は$[\alpha,\beta]$に含まれる。▨

証明.$\psi\in C_c^\infty((a,b);\mathbb K)$が$\int_a^b\psi\,dx=0$を満たすとする。補題 3.2により$\varphi(x)=\int_a^x\psi(s)\,ds$は$C_c^\infty((a,b);\mathbb K)$の元であり$\varphi'=\psi$であるから、仮定により$\int k\psi\,dx=\int k\varphi'\,dx=0$である。

補題 3.1 (2)の$\theta$を取り、$c=\int_a^bk\theta\,dx$とおく。$\theta$は有界で台がコンパクトであるから$c$は有限である。任意の$\chi\in C_c^\infty((a,b);\mathbb K)$について$\psi=\chi-(\int\chi)\theta$は積分が$0$であるから、前段により$\int k\psi\,dx=0$であり、$\int k\chi=(\int\chi)\int k\theta=c\int\chi$である。したがって$f=k-c\in L^1_{\mathrm{loc}}(a,b;\mathbb K)$はすべての$\chi\in C_c^\infty((a,b);\mathbb K)$について$\int f\chi\,dx=0$を満たす。

$a<s<t<b$を取り、$r_0=\frac12\min\{s-a,\,b-t,\,(t-s)/2\}$とする。$r_m=r_0/m$に対して補題 3.1 (1)の関数$\psi_m$を取る。$\int f\psi_m\,dx=0$である。$m\to\infty$のとき、$x\in(s,t)$では十分大きな$m$で$\psi_m(x)=1$であり、$x\notin[s,t]$では十分大きな$m$で$\psi_m(x)=0$であるから、$x\ne s,t$について$\psi_m(x)\to\mathbf 1_{(s,t)}(x)$である。$\lvert f\psi_m\rvert\le\lvert f\rvert\mathbf 1_{[s-r_0,t+r_0]}$であり、右辺は可積分であるから、§E10.11 定理 3.1により$\int_s^tf\,dx=\lim_m\int f\psi_m\,dx=0$である。$s<t$は任意であるから、§E13.1 系 4.3を$f$と$0$に適用して、$f=0$がほとんど至る所で成り立つ。▨

証明.(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$\varphi\in C_c^\infty((a,b);\mathbb K)$の台を含む$[\alpha,\beta]\subseteq(a,b)$を取る。$G$と$\varphi$は$[\alpha,\beta]$上で絶対連続であり、$\varphi(\alpha)=\varphi(\beta)=0$であるから、§E13.2 定理 3.4を$B(x,y)=xy$に適用して$\int_\alpha^\beta G'\varphi\,dx=-\int_\alpha^\beta G\varphi'\,dx$を得る。$G=g$と$G'=h$がほとんど至る所で成り立つから、$\int g\varphi'=-\int h\varphi$である。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$x_0\in(a,b)$をとり、$H(x)=\int_{x_0}^xh(s)\,ds$とおく。§E13.2 系 2.6により$H$は局所絶対連続であり、$H'=h$がほとんど至る所で成り立つ。(2)$\Rightarrow$(1)により$\int H\varphi'=-\int h\varphi$であるから、(1)との差により、すべての$\varphi$について$\int(g-H)\varphi'=0$である。$g-H$は局所可積分であるから、補題 3.3により$g-H=c$がほとんど至る所で成り立つ。$G=H+c$は局所絶対連続であり、$G=g$と$G'=h$がほとんど至る所で成り立つ。

(3)$\Rightarrow$(4)を示す。$\widetilde u\in W^{1,p}(a,b)$は絶対連続であり、$\widetilde u'\in L^p(a,b)$である。$\widetilde u$は局所絶対連続であるから、$g=u$、$h=v=\widetilde u'$に(2)$\Rightarrow$(1)を適用して、(4)を得る。

(4)$\Rightarrow$(3)を示す。$g=u$、$h=v$に(1)$\Rightarrow$(2)を適用すると、局所絶対連続な$G$で$G=u$と$G'=v$がほとんど至る所で成り立つものが存在する。$t_0\in(a,b)$を取る。§E13.2 系 2.6により$G(t)=G(t_0)+\int_{t_0}^tv\,ds$がすべての$t\in(a,b)$で成り立つ。$v\in L^p(a,b)\subseteq L^1(a,b)$であるから、$\widetilde u(t)=G(t_0)+\int_{t_0}^tv\,ds$は$[a,b]$全体で定まり、$(a,b)$上で$G$に一致する。§E13.2 定理 2.5により$\widetilde u$は$[a,b]$上で絶対連続であり、$\widetilde u'=v$がほとんど至る所で成り立つ。したがって$\widetilde u\in W^{1,p}(a,b)$であり、$\widetilde u=u$がほとんど至る所で成り立つ。$u$とほとんど至る所で一致する連続関数$\widetilde u_1,\widetilde u_2$は、$(a,b)$で空でない開集合が正の測度をもつことから$(a,b)$の稠密な部分集合上で一致し、連続性により$[a,b]$上で一致するから、そのような連続関数は一意である。(4)を満たす任意の$v$について、上の構成で得た関数は$u$とほとんど至る所で一致する連続関数であるから、一意性により$\widetilde u$に等しい。したがって、$v=\widetilde u'$がほとんど至る所で成り立つ。▨