§E13.6最大解

最終更新

初期値問題の局所解は、初期時刻の近くにおける状態の変化を記述する。しかし、局所解の存在だけでは、その解をどこまで延長することができるかは分からない。例えば、y′=y2y'=y^2、y(0)=1y(0)=1の解y(t)=1/(1−t)y(t)=1/(1-t)は、t↑1t\uparrow1のとき発散するため、時刻11を越えて延長することができない。最大解とその最大存在区間は、局所解をどこまで延長することができるかを表す。Carathéodory 条件と時間について可積分な Lipschitz 係数の条件を局所的に満たす方程式では、有限端点の近くで絶対連続解のグラフが定義域内のコンパクト集合に留まるならば、解をその端点を越えて絶対連続解として延長することができる。したがって、方程式の定義域が開区間JJとRd\R^dの積J×RdJ\times\R^dであるとき、最大絶対連続解の最大存在区間の有限端点がJJに属すれば、その端点へ近づくにつれて解のノルムは発散する。本記事では、局所解の延長と最大解の存在区間を考察する。

1 解の延長と共通区間での一意性

定義 1.1.d∈N≥1d\in\NN、Ω⊆R×Rd\Omega\subseteq\R\times\R^dを開集合、f:Ω→Rdf:\Omega\to\R^dを写像とする。開区間II上の関数y∈ACloc(I;Rd)\boldsymbol y\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\R^d)が、すべてのt∈It\in Iに対して(t,y(t))∈Ω(t,\boldsymbol y(t))\in\Omegaを満たし、ほとんど至る所のt∈It\in Iに対してy′(t)=f(t,y(t))\boldsymbol y'(t)=f(t,\boldsymbol y(t))を満たすとき、y\boldsymbol yを方程式u′=f(t,u)\boldsymbol u'=f(t,\boldsymbol u)のII上の絶対連続解という。これは、各t0∈It_0\in Iについてy0=y(t0)\boldsymbol y_0=\boldsymbol y(t_0)とおいた初期値問題の絶対連続解である。

I,JI,Jを開区間とし、y:I→Rd\boldsymbol y:I\to\R^dとz:J→Rd\boldsymbol z:J\to\R^dを方程式u′=f(t,u)\boldsymbol u'=f(t,\boldsymbol u)の絶対連続解とする。I⊆JI\subseteq Jかつz∣I=y\boldsymbol z|_I=\boldsymbol yであるとき、z\boldsymbol zをy\boldsymbol yの絶対連続解としての延長 (extension as an absolutely continuous solution) という。y\boldsymbol yが、真に大きい開区間への絶対連続解としての延長をもたないとき、y\boldsymbol yを最大絶対連続解 (maximal absolutely continuous solution) といい、その定義区間を最大存在区間という。

定義 1.2.d∈N≥1d\in\NN、Ω⊆R×Rd\Omega\subseteq\R\times\R^dを開集合、f:Ω→Rdf:\Omega\to\R^dを写像とする。I,JI,Jを開区間とし、y:I→Rd\boldsymbol y:I\to\R^dとz:J→Rd\boldsymbol z:J\to\R^dを同じ方程式u′=f(t,u)\boldsymbol u'=f(t,\boldsymbol u)の古典解とする。I⊆JI\subseteq Jかつz∣I=y\boldsymbol z|_I=\boldsymbol yであるとき、z\boldsymbol zをy\boldsymbol yの延長 (extension of a solution) という。

y\boldsymbol yが、真に大きい開区間への古典解としての延長をもたないとき、y\boldsymbol yを最大解 (maximal solution) といい、その定義区間を最大存在区間 (maximal interval of existence) という。

補題 1.3.d∈N≥1d\in\NN、Ω⊆R×Rd\Omega\subseteq\R\times\R^dを開集合とする。写像f:Ω→Rdf:\Omega\to\R^dが Carathéodory 条件と時間について可積分な Lipschitz 係数の条件を局所的に満たすとする。このとき、開区間I,JI,J上の絶対連続解y:I→Rd\boldsymbol y:I\to\R^d、z:J→Rd\boldsymbol z:J\to\R^dが、あるt0∈I∩Jt_0\in I\cap Jでy(t0)=z(t0)\boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol z(t_0)を満たすならば、I∩JI\cap Jの全体でy=z\boldsymbol y=\boldsymbol zである。

証明.H=I∩JH=I\cap Jとし、A={t∈H:y(t)=z(t)}A=\{t\in H:\boldsymbol y(t)=\boldsymbol z(t)\}とおく。t0∈At_0\in Aであり、両解の連続性からAAはHHの相対位相で閉じている。任意のs∈As\in Aに対して、(s,y(s))∈Ω(s,\boldsymbol y(s))\in\Omegaの周りに、Ω\Omegaに含まれる正の時間幅と球半径をもつ閉矩形を取る。局所条件により§E13.4 定理 3.5を適用することができるので、同じ初期値をもつ両解はssの近傍で一致する。従ってAAはHHで相対的に開いている。区間HHは連結であるから、空でない開閉部分集合AAはHHに等しい。▨

2 最大絶対連続解の構成

定理 2.1.d∈N≥1d\in\NN、Ω⊆R×Rd\Omega\subseteq\R\times\R^dを開集合とし、f:Ω→Rdf:\Omega\to\R^dが Carathéodory 条件と時間について可積分な Lipschitz 係数の条件を局所的に満たすとする。このとき、任意の(t0,y0)∈Ω(t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omegaに対して、初期値問題

y′=f(t,y),y(t0)=y0\boldsymbol y'=f(t,\boldsymbol y),\qquad \boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0

は一意な最大絶対連続解をもつ。その最大存在区間はImax⁡=(α,β)I_{\max}=(\alpha,\beta)という開区間であり、−∞≤α<t0<β≤∞-\infty\leq\alpha<t_0<\beta\leq\inftyである。同じ初期値をもつ任意の開区間上の絶対連続解は、この最大解の制限である。

証明. 同じ初期値をもつ開区間上の絶対連続解の全体をS\mathcal Sとする。§E13.4 定理 3.5によりS\mathcal Sは空でない。各u∈S\boldsymbol u\in\mathcal Sの定義区間をIuI_{\boldsymbol u}と書き、

Imax⁡=⋃u∈SIuI_{\max}=\bigcup_{\boldsymbol u\in\mathcal S}I_{\boldsymbol u}

とおく。すべてのIuI_{\boldsymbol u}がt0t_0を含むので、この和集合はt0t_0を含む開区間である。補題 1.3により、各解は重なり上で一致する。従って

ymax⁡(t)=u(t)(t∈Iu)\boldsymbol y_{\max}(t)=\boldsymbol u(t)\qquad(t\in I_{\boldsymbol u})

によってymax⁡:Imax⁡→Rd\boldsymbol y_{\max}:I_{\max}\to\R^dが well-defined に定まり、そのグラフはΩ\Omegaに含まれる。

任意の有限閉区間[a,b]⊆Imax⁡[a,b]\subseteq I_{\max}を取る。a′=min⁡{a,t0}a'=\min\{a,t_0\}、b′=max⁡{b,t0}b'=\max\{b,t_0\}とおき、a′∈Iua'\in I_{\boldsymbol u}、b′∈Ivb'\in I_{\boldsymbol v}を満たすu,v∈S\boldsymbol u,\boldsymbol v\in\mathcal Sを取る。両区間はt0t_0を含むので、[a′,t0]⊆Iu[a',t_0]\subseteq I_{\boldsymbol u}、[t0,b′]⊆Iv[t_0,b']\subseteq I_{\boldsymbol v}である。ymax⁡\boldsymbol y_{\max}は前者でu\boldsymbol u、後者でv\boldsymbol vに一致し、両者はt0t_0で同じ値をもつ。§E13.2 命題 2.8により、ymax⁡\boldsymbol y_{\max}は[a′,b′][a',b']上で絶対連続である。長さが零の片方の区間は除けばよい。従って[a,b][a,b]上でも絶対連続である。

ymax⁡\boldsymbol y_{\max}は開区間IuI_{\boldsymbol u}上でu\boldsymbol uに一致するので、IuI_{\boldsymbol u}のほとんど至る所で微分方程式を満たす。IvI_{\boldsymbol v}についても同じである。[a,b]⊆Iu∪Iv[a,b]\subseteq I_{\boldsymbol u}\cup I_{\boldsymbol v}であるから、[a,b][a,b]上でも方程式がほとんど至る所で成り立つ。Imax⁡I_{\max}を可算個の有限閉区間で覆うと、Imax⁡I_{\max}上での例外集合も零集合である。従ってymax⁡\boldsymbol y_{\max}は初期値問題の絶対連続解である。

ymax⁡\boldsymbol y_{\max}を開区間JJへ延長する絶対連続解z\boldsymbol zがあれば、z∈S\boldsymbol z\in\mathcal SなのでJ⊆Imax⁡J\subseteq I_{\max}である。延長の条件により逆の包含も与えられるからJ=Imax⁡J=I_{\max}であり、ymax⁡\boldsymbol y_{\max}は最大である。任意のz∈S\boldsymbol z\in\mathcal Sは構成からymax⁡\boldsymbol y_{\max}の制限である。z\boldsymbol zも最大ならば、ymax⁡\boldsymbol y_{\max}がその延長であることから定義区間は一致し、両解も一致する。▨

3 コンパクト集合上の可積分な支配

補題 3.1.n∈N≥1n\in\NNとし、Rn\R^nにノルム∥⋅∥\|\cdot\|を固定する。R×Rn\R\times\R^nの点p=(t,u)p=(t,\boldsymbol u)、q=(s,v)q=(s,\boldsymbol v)に対してdist∞(p,q)=max⁡{∣t−s∣,∥u−v∥}\mathrm{dist}_\infty(p,q)=\max\{|t-s|,\|\boldsymbol u-\boldsymbol v\|\}とおき、A⊆R×RnA\subseteq\R\times\R^nに対してdist∞(p,A)=inf⁡q∈Adist∞(p,q)\mathrm{dist}_\infty(p,A)=\inf_{q\in A}\mathrm{dist}_\infty(p,q)とする（A=∅A=\varnothingならば+∞+\inftyとする）。Ω⊆R×Rn\Omega\subseteq\R\times\R^nを開集合、K⊆ΩK\subseteq\Omegaをコンパクト集合とし、ρ≥0\rho\geq0に対して

Kρ={p∈R×Rn:dist∞(p,K)≤ρ}K_\rho=\{p\in\R\times\R^n:\mathrm{dist}_\infty(p,K)\leq\rho\}

とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. 各ρ≥0\rho\geq0についてKρK_\rhoはコンパクトであり、K⊆KρK\subseteq K_\rhoである。あるρK>0\rho_K>0が存在し、0≤ρ≤ρK0\leq\rho\leq\rho_KならばKρ⊆ΩK_\rho\subseteq\Omegaである。
  2. k∈N≥1k\in\NNとし、Rk\R^kにもノルムを固定して同じ記号∥⋅∥\|\cdot\|で表す。写像f:Ω→Rkf:\Omega\to\R^kが次を満たすとする。長さが正の有限閉区間JJと半径が正の閉球B⊆RnB\subseteq\R^nについてJ×B⊆ΩJ\times B\subseteq\Omegaならば、Lebesgue 零集合N⊆JN\subseteq Jと非負関数m∈L1(J)m\in L^1(J)が存在し、すべてのt∈J∖Nt\in J\setminus Nについて、u↦f(t,u)\boldsymbol u\mapsto f(t,\boldsymbol u)はBB上で連続であり、すべてのu∈B\boldsymbol u\in Bで∥f(t,u)∥≤m(t)\|f(t,\boldsymbol u)\|\leq m(t)である。さらにρ≥0\rho\geq0はKρ⊆ΩK_\rho\subseteq\Omegaを満たすとする。このとき、非負関数mK∈L1(R)m_K\in L^1(\R)と Lebesgue 零集合NK⊆RN_K\subseteq\Rが存在し、すべてのt∈R∖NKt\in\R\setminus N_Kについて、u↦f(t,u)\boldsymbol u\mapsto f(t,\boldsymbol u)は{u:(t,u)∈Kρ}\{\boldsymbol u:(t,\boldsymbol u)\in K_\rho\}上で連続であり、(t,u)∈Kρ(t,\boldsymbol u)\in K_\rhoならば∥f(t,u)∥≤mK(t)\|f(t,\boldsymbol u)\|\leq m_K(t)である。特に、k=nk=nでありffが Carathéodory 条件を局所的に満たすならば、ffはこの仮定を満たし、すべての(t,u)∈K(t,\boldsymbol u)\in Kでt∉NKt\notin N_Kならば ∥f(t,u)∥≤mK(t)\|f(t,\boldsymbol u)\|\leq m_K(t) が成り立つ。
  3. d,p∈N≥1d,p\in\NN、n=d+pn=d+pとし、Rn=Rd×Rp\R^n=\R^d\times\R^pの点を(x,μ)(\boldsymbol x,\boldsymbol\mu)と書き、f(t,(x,μ))f(t,(\boldsymbol x,\boldsymbol\mu))をf(t,x,μ)f(t,\boldsymbol x,\boldsymbol\mu)と書く。Rd\R^dにもノルムを固定して同じ記号∥⋅∥\|\cdot\|で表す。写像f:Ω→Rkf:\Omega\to\R^kは主張 (2)の仮定を満たし、さらに、そこで閉矩形J×B⊆ΩJ\times B\subseteq\Omegaごとに取る零集合NNについて、ある非負関数ℓ∈L1(J)\ell\in L^1(J)が存在して、すべてのt∈J∖Nt\in J\setminus Nと(x,μ),(x′,μ)∈B(\boldsymbol x,\boldsymbol\mu),(\boldsymbol x',\boldsymbol\mu)\in Bに対して ∥f(t,x,μ)−f(t,x′,μ)∥≤ℓ(t)∥x−x′∥\|f(t,\boldsymbol x,\boldsymbol\mu)-f(t,\boldsymbol x',\boldsymbol\mu)\|\leq\ell(t)\|\boldsymbol x-\boldsymbol x'\| が成り立つとする。ρ≥0\rho\geq0はKρ⊆ΩK_\rho\subseteq\Omegaを満たすとする。このとき、主張 (2)の結論を満たすmKm_K、NKN_Kと非負関数ℓK∈L1(R)\ell_K\in L^1(\R)が存在し、すべてのt∈R∖NKt\in\R\setminus N_Kと、(t,x,μ),(t,x′,μ)∈Kρ(t,\boldsymbol x,\boldsymbol\mu),(t,\boldsymbol x',\boldsymbol\mu)\in K_\rhoを満たすx,x′∈Rd\boldsymbol x,\boldsymbol x'\in\R^d、μ∈Rp\boldsymbol\mu\in\R^pに対して ∥f(t,x,μ)−f(t,x′,μ)∥≤ℓK(t)∥x−x′∥\|f(t,\boldsymbol x,\boldsymbol\mu)-f(t,\boldsymbol x',\boldsymbol\mu)\|\leq\ell_K(t)\|\boldsymbol x-\boldsymbol x'\| が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。K=∅K=\varnothingならばKρ=∅K_\rho=\varnothingであり、ρK=1\rho_K=1とすればよい。K≠∅K\neq\varnothingとする。三角不等式により∣dist∞(p,K)−dist∞(p′,K)∣≤dist∞(p,p′)|\mathrm{dist}_\infty(p,K)-\mathrm{dist}_\infty(p',K)|\leq\mathrm{dist}_\infty(p,p')であるから、p↦dist∞(p,K)p\mapsto\mathrm{dist}_\infty(p,K)は連続であり、KρK_\rhoは閉集合である。KKは有界であるからKρK_\rhoも有界であり、KρK_\rhoはコンパクトである。K⊆KρK\subseteq K_\rhoは定義から従う。F=(R×Rn)∖ΩF=(\R\times\R^n)\setminus\Omegaが空ならばρK=1\rho_K=1とする。F≠∅F\neq\varnothingならば、p↦dist∞(p,F)p\mapsto\mathrm{dist}_\infty(p,F)は連続であり、FFが閉集合でK∩F=∅K\cap F=\varnothingであるからKK上で正である。KKのコンパクト性により、そのKK上の最小値δ\deltaは正である。ρK=δ/2\rho_K=\delta/2とおく。0≤ρ≤ρK0\leq\rho\leq\rho_K、p∈Kρp\in K_\rhoとする。q↦dist∞(p,q)q\mapsto\mathrm{dist}_\infty(p,q)はコンパクト集合KK上で最小値をとるので、dist∞(p,q)≤ρ\mathrm{dist}_\infty(p,q)\leq\rhoを満たすq∈Kq\in Kが存在する。任意のr∈Fr\in Fについてdist∞(p,r)≥dist∞(q,r)−dist∞(p,q)≥δ/2>0\mathrm{dist}_\infty(p,r)\geq\mathrm{dist}_\infty(q,r)-\mathrm{dist}_\infty(p,q)\geq\delta/2>0であるからp∉Fp\notin Fであり、p∈Ωp\in\Omegaである。

主張 (2)を示す。Kρ=∅K_\rho=\varnothingならばmK=0m_K=0、NK=∅N_K=\varnothingとすればよい。Kρ≠∅K_\rho\neq\varnothingとする。Ω\Omegaは開集合であるから、各p=(tp,up)∈Kρp=(t_p,\boldsymbol u_p)\in K_\rhoに対して、閉矩形Rp=[tp−rp,tp+rp]×{u:∥u−up∥≤rp}R_p=[t_p-r_p,t_p+r_p]\times\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u-\boldsymbol u_p\|\leq r_p\}がΩ\Omegaに含まれるようなrp>0r_p>0が存在する。RpR_pは中心pp、半径rpr_pのdist∞\mathrm{dist}_\inftyに関する閉球である。中心pp、半径rp/2r_p/2の開球UpU_pの族はKρK_\rhoを覆うので、主張 (1)によるKρK_\rhoのコンパクト性から、Kρ⊆Up1∪⋯∪UpjK_\rho\subseteq U_{p_1}\cup\cdots\cup U_{p_j}を満たすp1,…,pj∈Kρp_1,\ldots,p_j\in K_\rhoが存在する。Ri=Rpi=Ji×BiR_i=R_{p_i}=J_i\times B_i、ri=rpir_i=r_{p_i}と書き、仮定から各RiR_iに対する零集合Ni⊆JiN_i\subseteq J_iと非負関数mi∈L1(Ji)m_i\in L^1(J_i)を取る。mim_iをJiJ_iの外で零に延長した関数をm~i\widetilde m_iとし、

mK=∑i=1jm~i,NK=⋃i=1jNim_K=\sum_{i=1}^j\widetilde m_i,\qquad N_K=\bigcup_{i=1}^jN_i

とおく。有限和なのでmK∈L1(R)m_K\in L^1(\R)であり、NKN_Kは零集合である。

t∈R∖NKt\in\R\setminus N_Kを取り、St={u:(t,u)∈Kρ}S_t=\{\boldsymbol u:(t,\boldsymbol u)\in K_\rho\}とおく。u∈St\boldsymbol u\in S_tならば、あるiiについて(t,u)∈Upi⊆Ri(t,\boldsymbol u)\in U_{p_i}\subseteq R_iであり、t∈Ji∖Nit\in J_i\setminus N_i、u∈Bi\boldsymbol u\in B_iである。従って∥f(t,u)∥≤mi(t)≤mK(t)\|f(t,\boldsymbol u)\|\leq m_i(t)\leq m_K(t)である。また、StS_tはt∈Jit\in J_iを満たすiiについてのSt∩BiS_t\cap B_iの和であり、これらは有限個のStS_tの閉部分集合で、各々の上でu↦f(t,u)\boldsymbol u\mapsto f(t,\boldsymbol u)は連続である。有限個の閉集合による被覆の上で連続性は貼り合わさるので、u↦f(t,u)\boldsymbol u\mapsto f(t,\boldsymbol u)はStS_t上で連続である。

k=nk=nでffが Carathéodory 条件を局所的に満たすならば、§E13.4 定義 2.1 条件 (b)と§E13.4 定義 2.1 条件 (c)がこの仮定そのものである。K⊆KρK\subseteq K_\rhoであるから、KK上の評価はKρK_\rho上の評価に含まれる。

主張 (3)を示す。Kρ=∅K_\rho=\varnothingならばℓK=0\ell_K=0とすればよい。Kρ≠∅K_\rho\neq\varnothingとし、上のpip_i、rir_i、RiR_i、NiN_i、mim_i、mKm_K、NKN_Kを用い、仮定から各RiR_iに対する非負関数ℓi∈L1(Ji)\ell_i\in L^1(J_i)を取り、JiJ_iの外で零に延長した関数をℓ~i\widetilde\ell_iとする。Rd\R^dとRn\R^nは有限次元であるから、線形写像x↦(x,0)\boldsymbol x\mapsto(\boldsymbol x,\boldsymbol 0)は有界であり、すべてのx∈Rd\boldsymbol x\in\R^dで∥(x,0)∥≤c∥x∥\|(\boldsymbol x,\boldsymbol 0)\|\leq c\|\boldsymbol x\|を満たすc>0c>0が存在する。δ=min⁡iri/2\delta=\min_ir_i/2とし、

ℓK=∑i=1jℓ~i+2cδ mK\ell_K=\sum_{i=1}^j\widetilde\ell_i+\frac{2c}{\delta}\,m_K

とおくと、ℓK∈L1(R)\ell_K\in L^1(\R)は非負である。t∈R∖NKt\in\R\setminus N_Kを取り、P=(t,x,μ)P=(t,\boldsymbol x,\boldsymbol\mu)、P′=(t,x′,μ)P'=(t,\boldsymbol x',\boldsymbol\mu)をKρK_\rhoの点とする。dist∞(P,P′)=∥(x−x′,0)∥\mathrm{dist}_\infty(P,P')=\|(\boldsymbol x-\boldsymbol x',\boldsymbol 0)\|である。

dist∞(P,P′)<δ\mathrm{dist}_\infty(P,P')<\deltaの場合、P∈UpiP\in U_{p_i}を満たすiiを取ると、dist∞(P′,pi)<ri/2+δ≤ri\mathrm{dist}_\infty(P',p_i)<r_i/2+\delta\leq r_iであるから、P,P′∈RiP,P'\in R_iである。従ってt∈Ji∖Nit\in J_i\setminus N_i、(x,μ),(x′,μ)∈Bi(\boldsymbol x,\boldsymbol\mu),(\boldsymbol x',\boldsymbol\mu)\in B_iであり、∥f(P)−f(P′)∥≤ℓi(t)∥x−x′∥≤ℓK(t)∥x−x′∥\|f(P)-f(P')\|\leq\ell_i(t)\|\boldsymbol x-\boldsymbol x'\|\leq\ell_K(t)\|\boldsymbol x-\boldsymbol x'\|である。dist∞(P,P′)≥δ\mathrm{dist}_\infty(P,P')\geq\deltaの場合、δ≤c∥x−x′∥\delta\leq c\|\boldsymbol x-\boldsymbol x'\|であり、主張 (2)により

∥f(P)−f(P′)∥≤2mK(t)≤2cδmK(t)∥x−x′∥≤ℓK(t)∥x−x′∥\|f(P)-f(P')\|\leq2m_K(t)\leq\frac{2c}{\delta}m_K(t)\|\boldsymbol x-\boldsymbol x'\|\leq\ell_K(t)\|\boldsymbol x-\boldsymbol x'\|

である。▨

補題 3.2.d∈N≥1d\in\NN、Ω⊆R×Rd\Omega\subseteq\R\times\R^dを開集合とし、f:Ω→Rdf:\Omega\to\R^dが Carathéodory 条件を局所的に満たすとする。K⊆ΩK\subseteq\Omegaをコンパクト集合とし、非負関数mK∈L1(R)m_K\in L^1(\R)と Lebesgue 零集合NK⊆RN_K\subseteq\Rは、すべての(t,u)∈K(t,\boldsymbol u)\in Kでt∉NKt\notin N_Kならば∥f(t,u)∥≤mK(t)\|f(t,\boldsymbol u)\|\leq m_K(t)を満たすとする（補題 3.1 (2)によりこのようなmKm_K、NKN_Kが存在する）。y:I→Rd\boldsymbol y:I\to\R^dを開区間II上の絶対連続解とし、H⊆IH\subseteq Iを区間とする。すべてのt∈Ht\in Hに対して(t,y(t))∈K(t,\boldsymbol y(t))\in Kであるとする。このとき、g(t)=f(t,y(t))g(t)=f(t,\boldsymbol y(t))はHH上で Lebesgue 可測であり、ほとんど至る所のt∈Ht\in Hで∥g(t)∥≤mK(t)\|g(t)\|\leq m_K(t)であり、HHに属するs<ts<tに対して

∥y(t)−y(s)∥≤∫stmK(r) dr\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol y(s)\|\leq\int_s^t m_K(r)\,dr

が成り立つ。

証明. 絶対連続解の導関数y′\boldsymbol y'はII上で局所可積分であり、ほとんど至る所でggに一致する。Lebesgue 測度は完備であるから、ggはHH上で可測である。t∈H∖NKt\in H\setminus N_Kならば(t,y(t))∈K(t,\boldsymbol y(t))\in Kなので∥g(t)∥≤mK(t)\|g(t)\|\leq m_K(t)である。NKN_Kは零集合であるから、この評価はほとんど至る所のt∈Ht\in Hで成り立つ。特にggは[s,t][s,t]上で可積分である。§E13.2 系 2.6と§E13.4 系 3.1により

∥y(t)−y(s)∥≤∫st∥g(r)∥ dr≤∫stmK(r) dr\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol y(s)\| \leq\int_s^t\|g(r)\|\,dr \leq\int_s^t m_K(r)\,dr

である。▨

4 時間反転と有限端点での絶対連続解の延長

補題 4.1.d∈N≥1d\in\NN、Ω⊆R×Rd\Omega\subseteq\R\times\R^dを開集合、f:Ω→Rdf:\Omega\to\R^dを写像とし、Ω^={(t,u):(−t,u)∈Ω}\widehat\Omega=\{(t,\boldsymbol u):(-t,\boldsymbol u)\in\Omega\}、f^(t,u)=−f(−t,u)\widehat f(t,\boldsymbol u)=-f(-t,\boldsymbol u)とおく。このとき、Ω^\widehat\Omegaは開集合である。ffが Carathéodory 条件と時間について可積分な Lipschitz 係数の条件を局所的に満たすならば、f^:Ω^→Rd\widehat f:\widehat\Omega\to\R^dも同じ条件を局所的に満たす。さらに、開区間II上の関数y:I→Rd\boldsymbol y:I\to\R^dに対してy^(t)=y(−t)\widehat{\boldsymbol y}(t)=\boldsymbol y(-t)(t∈−I)(t\in-I)とおく。このとき、y\boldsymbol yがu′=f(t,u)\boldsymbol u'=f(t,\boldsymbol u)の絶対連続解であることは、y^\widehat{\boldsymbol y}がu′=f^(t,u)\boldsymbol u'=\widehat f(t,\boldsymbol u)の絶対連続解であるための必要十分条件である。また、y\boldsymbol yが最大絶対連続解であることは、y^\widehat{\boldsymbol y}が最大絶対連続解であるための必要十分条件である。

証明.Ω^\widehat\Omegaは連続写像(t,u)↦(−t,u)(t,\boldsymbol u)\mapsto(-t,\boldsymbol u)によるΩ\Omegaの逆像であるから開集合である。J×B⊆Ω^J\times B\subseteq\widehat\Omegaを閉矩形とすると、(−J)×B⊆Ω(-J)\times B\subseteq\Omegaであり、ffのこの矩形上の制限は、あるm,ℓ∈L1(−J)m,\ell\in L^1(-J)と零集合N⊆−JN\subseteq-Jに対して Carathéodory 条件と Lipschitz 評価を満たす。各u∈B\boldsymbol u\in Bに対してt↦f^(t,u)=−f(−t,u)t\mapsto\widehat f(t,\boldsymbol u)=-f(-t,\boldsymbol u)は可測関数と反転の合成なので可測である。t∈J∖(−N)t\in J\setminus(-N)ならば−t∉N-t\notin Nなので、u↦f^(t,u)\boldsymbol u\mapsto\widehat f(t,\boldsymbol u)は連続であり、すべてのu,v∈B\boldsymbol u,\boldsymbol v\in Bについて∥f^(t,u)∥≤m(−t)\|\widehat f(t,\boldsymbol u)\|\leq m(-t)と∥f^(t,u)−f^(t,v)∥≤ℓ(−t)∥u−v∥\|\widehat f(t,\boldsymbol u)-\widehat f(t,\boldsymbol v)\|\leq\ell(-t)\|\boldsymbol u-\boldsymbol v\|が成り立つ。反転は Lebesgue 測度を保つので、−N-Nは零集合であり、t↦m(−t)t\mapsto m(-t)、t↦ℓ(−t)t\mapsto\ell(-t)はJJ上で可積分である。

y∈ACloc(I;Rd)\boldsymbol y\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\R^d)とする。[a,b]⊆−I[a,b]\subseteq-Iに対して反転は[−b,−a]⊆I[-b,-a]\subseteq Iの互いに交わらない区間の有限族を、総長を保って[a,b][a,b]の同様の族へ移すので、y^∈ACloc(−I;Rd)\widehat{\boldsymbol y}\in AC_{\mathrm{loc}}(-I;\R^d)である。逆も同じである。(t,y^(t))∈Ω^(t,\widehat{\boldsymbol y}(t))\in\widehat\Omegaは(−t,y(−t))∈Ω(-t,\boldsymbol y(-t))\in\Omegaと同値である。y\boldsymbol yが−t-tで微分可能であることとy^\widehat{\boldsymbol y}がttで微分可能であることは同値であり、このときy^′(t)=−y′(−t)\widehat{\boldsymbol y}'(t)=-\boldsymbol y'(-t)である。従って、y′(s)=f(s,y(s))\boldsymbol y'(s)=f(s,\boldsymbol y(s))が成り立たないssの集合が零集合であることと、y^′(t)=f^(t,y^(t))\widehat{\boldsymbol y}'(t)=\widehat f(t,\widehat{\boldsymbol y}(t))が成り立たないttの集合が零集合であることは同値である。f^^=f\widehat{\widehat f}=f、Ω^^=Ω\widehat{\widehat\Omega}=\Omega、y^^=y\widehat{\widehat{\boldsymbol y}}=\boldsymbol yであるから、この対応は両方向に成り立つ。

y\boldsymbol yの絶対連続解としての延長z:J→Rd\boldsymbol z:J\to\R^dにz^:−J→Rd\widehat{\boldsymbol z}:-J\to\R^dを対応させる写像は、y^\widehat{\boldsymbol y}の延長の全体への全単射であり、定義区間の真の包含を保つ。従って最大性も対応する。▨

定理 4.2.d∈N≥1d\in\NN、Ω⊆R×Rd\Omega\subseteq\R\times\R^dを開集合とし、f:Ω→Rdf:\Omega\to\R^dが Carathéodory 条件と時間について可積分な Lipschitz 係数の条件を局所的に満たすとする。y:(α,β)→Rd\boldsymbol y:(\alpha,\beta)\to\R^dを絶対連続解とする。このとき、次が成り立つ。

  1. β<∞\beta<\inftyであり、あるt1∈(α,β)t_1\in(\alpha,\beta)とコンパクト集合K⊆ΩK\subseteq\Omegaが存在して(t,y(t))∈K(t,\boldsymbol y(t))\in Kがt1≤t<βt_1\leq t<\betaで成り立つならば、y\boldsymbol yはβ\betaを越えて絶対連続解として延長することができる。
  2. α>−∞\alpha>-\inftyであり、あるt1∈(α,β)t_1\in(\alpha,\beta)とコンパクト集合K⊆ΩK\subseteq\Omegaが存在して(t,y(t))∈K(t,\boldsymbol y(t))\in Kがα<t≤t1\alpha<t\leq t_1で成り立つならば、y\boldsymbol yはα\alphaを越えて絶対連続解として延長することができる。

証明.主張 (1)を示す。補題 3.1 (2)をn=k=dn=k=d、ρ=0\rho=0として適用し、KK上の評価を与えるmKm_KとNKN_Kを取り、g(t)=f(t,y(t))g(t)=f(t,\boldsymbol y(t))とおく。補題 3.2をH=[t1,β)H=[t_1,\beta)に適用すると、ggは[t1,β)[t_1,\beta)上で可測であり、ほとんど至る所で∥g∥≤mK\|g\|\leq m_Kである。特にg∈L1([t1,β);Rd)g\in L^1([t_1,\beta);\R^d)である。同補題により、t1≤s<t<βt_1\leq s<t<\betaならば

∥y(t)−y(s)∥≤∫stmK(r) dr\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol y(s)\|\leq\int_s^t m_K(r)\,dr

である。§E13.2 補題 1.3 (1)により、右辺はs,t↑βs,t\uparrow\betaのとき零へ収束する。従ってy(t)\boldsymbol y(t)は端点で Cauchy 条件を満たし、有限次元空間の完備性により

yβ=lim⁡t↑βy(t)\boldsymbol y_\beta=\lim_{t\uparrow\beta}\boldsymbol y(t)

が存在する。KKは閉じているので、(β,yβ)∈K⊆Ω(\beta,\boldsymbol y_\beta)\in K\subseteq\Omegaである。

t1≤t<βt_1\leq t<\betaでは、§E13.2 系 2.6によりy(t)=y(t1)+∫t1ty′(r) dr\boldsymbol y(t)=\boldsymbol y(t_1)+\int_{t_1}^t\boldsymbol y'(r)\,drであり、y′=g\boldsymbol y'=gがほとんど至る所で成り立つからy(t)=y(t1)+∫t1tg(r) dr\boldsymbol y(t)=\boldsymbol y(t_1)+\int_{t_1}^tg(r)\,drである。y(β)=yβ\boldsymbol y(\beta)=\boldsymbol y_\betaと定め、g(β)=0g(\beta)=0とする。§E13.4 系 3.1により∥∫tβg(r) dr∥≤∫tβmK(r) dr\|\int_t^\beta g(r)\,dr\|\leq\int_t^\beta m_K(r)\,drであり、右辺はt↑βt\uparrow\betaのとき零へ収束する。従って

y(t)=y(t1)+∫t1tg(r) dr(t1≤t≤β)\boldsymbol y(t)=\boldsymbol y(t_1)+\int_{t_1}^t g(r)\,dr \qquad(t_1\leq t\leq\beta)

が全点で成り立つ。§E13.2 補題 1.3 (3)により、端点値を加えたy\boldsymbol yは[t1,β][t_1,\beta]上で絶対連続である。

(β,yβ)∈Ω(\beta,\boldsymbol y_\beta)\in\Omegaに§E13.4 定理 3.5を適用すると、あるδ>0\delta>0と、z(β)=yβ\boldsymbol z(\beta)=\boldsymbol y_\betaを満たす(β−δ,β+δ)(\beta-\delta,\beta+\delta)上の絶対連続解z\boldsymbol zが存在する。そこで

y~(t)={y(t),α<t<β,z(t),β≤t<β+δ\widetilde{\boldsymbol y}(t)= \begin{cases} \boldsymbol y(t),&\alpha<t<\beta,\\ \boldsymbol z(t),&\beta\leq t<\beta+\delta \end{cases}

とおく。β\betaをまたぐ任意の有限閉区間を、必要ならt1t_1とβ\betaで分割すると、各部分上の関数は絶対連続であり、分点で値が一致する。§E13.2 命題 2.8によりy~\widetilde{\boldsymbol y}は局所絶対連続である。そのグラフはΩ\Omegaに含まれ、t≠βt\ne\betaではもとの二つの解の方程式がほとんど至る所で成り立つ。一点{β}\{\beta\}は零集合なので、y~\widetilde{\boldsymbol y}は(α,β+δ)(\alpha,\beta+\delta)上の絶対連続解であり、求める延長である。

主張 (2)を示す。補題 4.1の記号で、y^:(−β,−α)→Rd\widehat{\boldsymbol y}:(-\beta,-\alpha)\to\R^dはf^\widehat fの絶対連続解であり、K^={(−t,u):(t,u)∈K}\widehat K=\{(-t,\boldsymbol u):(t,\boldsymbol u)\in K\}はΩ^\widehat\Omegaのコンパクト集合である。−t1∈(−β,−α)-t_1\in(-\beta,-\alpha)であり、−t1≤s<−α-t_1\leq s<-\alphaならば(s,y^(s))∈K^(s,\widehat{\boldsymbol y}(s))\in\widehat Kである。−α<∞-\alpha<\inftyなので、主張 (1)をy^\widehat{\boldsymbol y}に適用すると、−α-\alphaを越える延長w:(−β,−α+δ)→Rd\boldsymbol w:(-\beta,-\alpha+\delta)\to\R^dが存在する。同補題によりw^:(α−δ,β)→Rd\widehat{\boldsymbol w}:(\alpha-\delta,\beta)\to\R^dはy\boldsymbol yの絶対連続解としての延長である。▨

系 4.3.d∈N≥1d\in\NN、Ω⊆R×Rd\Omega\subseteq\R\times\R^dを開集合とし、f:Ω→Rdf:\Omega\to\R^dが Carathéodory 条件と時間について可積分な Lipschitz 係数の条件を局所的に満たすとする。y:(α,β)→Rd\boldsymbol y:(\alpha,\beta)\to\R^dを最大絶対連続解とし、K⊆ΩK\subseteq\Omegaをコンパクト集合とする。このとき、次が成り立つ。

  1. β<∞\beta<\inftyならば、あるtK∈(α,β)t_K\in(\alpha,\beta)が存在し、tK≤t<βt_K\leq t<\betaのすべてのttで(t,y(t))∉K(t,\boldsymbol y(t))\notin Kである。特に、任意のt1∈(α,β)t_1\in(\alpha,\beta)に対して、(t,y(t))∉K(t,\boldsymbol y(t))\notin Kを満たすt∈[t1,β)t\in[t_1,\beta)が存在し、tn↑βt_n\uparrow\betaかつ(tn,y(tn))∉K(t_n,\boldsymbol y(t_n))\notin Kを満たす列を取ることができる。
  2. α>−∞\alpha>-\inftyならば、あるtK∈(α,β)t_K\in(\alpha,\beta)が存在し、α<t≤tK\alpha<t\leq t_Kのすべてのttで(t,y(t))∉K(t,\boldsymbol y(t))\notin Kである。特に、任意のt1∈(α,β)t_1\in(\alpha,\beta)に対して、(t,y(t))∉K(t,\boldsymbol y(t))\notin Kを満たすt∈(α,t1]t\in(\alpha,t_1]が存在する。

証明.主張 (1)を示す。β<∞\beta<\inftyとし、そのようなtKt_Kが存在しないと仮定する。このとき、sn→βs_n\to\betaを満たすsn∈(α,β)s_n\in(\alpha,\beta)で(sn,y(sn))∈K(s_n,\boldsymbol y(s_n))\in Kとなるものが存在する。補題 3.1をn=k=dn=k=dとして用い、そのdist∞\mathrm{dist}_\inftyとKρK_\rhoの記号を用いる。補題 3.1 (1)により0<ρ<10<\rho<1をK′=Kρ⊆ΩK'=K_\rho\subseteq\Omegaとなるように取ると、K′K'はコンパクトである。補題 3.1 (2)をKKとρ\rhoに適用して、K′K'上の評価を与える非負関数mK′∈L1(R)m_{K'}\in L^1(\R)と零集合NK′N_{K'}を取る。

任意のt1∈(α,β)t_1\in(\alpha,\beta)について、[t1,β)[t_1,\beta)上のグラフがK′K'に含まれることはない。含まれるならば、定理 4.2 (1)によりy\boldsymbol yがβ\betaを越えて延長され、最大性と両立しない。D(t)=dist∞((t,y(t)),K)D(t)=\mathrm{dist}_\infty((t,\boldsymbol y(t)),K)とおくと、DDは連続であり、D(sn)=0D(s_n)=0である。各nnに対して、集合Tn={t∈[sn,β):D(t)>ρ}={t∈[sn,β):(t,y(t))∉K′}T_n=\{t\in[s_n,\beta):D(t)>\rho\}=\{t\in[s_n,\beta):(t,\boldsymbol y(t))\notin K'\}は空でない。その下限をunu_nとする。unu_nはTnT_nの点列の極限であるから、連続性によりD(un)≥ρD(u_n)\geq\rhoである。D(sn)=0D(s_n)=0と連続性からun>snu_n>s_nであり、[sn,un)[s_n,u_n)上でD≤ρD\leq\rhoであるから、連続性によりD(un)≤ρD(u_n)\leq\rhoである。従ってD(un)=ρD(u_n)=\rhoであり、[sn,un][s_n,u_n]上のグラフはK′K'に含まれる。(sn,y(sn))∈K(s_n,\boldsymbol y(s_n))\in Kなので

max⁡{∣un−sn∣,∥y(un)−y(sn)∥}≥ρ\max\{|u_n-s_n|,\|\boldsymbol y(u_n)-\boldsymbol y(s_n)\|\}\geq\rho

である。十分大きいnnについて∣un−sn∣<β−sn<ρ|u_n-s_n|<\beta-s_n<\rhoであるから、∥y(un)−y(sn)∥≥ρ\|\boldsymbol y(u_n)-\boldsymbol y(s_n)\|\geq\rhoである。一方、補題 3.2をK′K'とH=[sn,un]H=[s_n,u_n]に適用すると、

∥y(un)−y(sn)∥≤∫snβmK′(r) dr\|\boldsymbol y(u_n)-\boldsymbol y(s_n)\|\leq\int_{s_n}^{\beta}m_{K'}(r)\,dr

であり、§E13.2 補題 1.3 (1)によりこの右辺はn→∞n\to\inftyで零へ収束する。これはρ>0\rho>0と両立しない。従ってtKt_Kは存在する。任意のt1∈(α,β)t_1\in(\alpha,\beta)に対してtn=max⁡{t1,tK}+(β−max⁡{t1,tK})(1−1/n)t_n=\max\{t_1,t_K\}+(\beta-\max\{t_1,t_K\})(1-1/n)とおくと、これが列を与える。

主張 (2)を示す。補題 4.1の記号で、y^:(−β,−α)→Rd\widehat{\boldsymbol y}:(-\beta,-\alpha)\to\R^dは最大絶対連続解であり、K^={(−t,u):(t,u)∈K}\widehat K=\{(-t,\boldsymbol u):(t,\boldsymbol u)\in K\}はΩ^\widehat\Omegaのコンパクト集合である。右端点の結論をy^\widehat{\boldsymbol y}とK^\widehat Kに適用すると、あるsK∈(−β,−α)s_K\in(-\beta,-\alpha)が存在し、sK≤s<−αs_K\leq s<-\alphaで(s,y^(s))∉K^(s,\widehat{\boldsymbol y}(s))\notin\widehat Kである。tK=−sKt_K=-s_Kとおくと、α<t≤tK\alpha<t\leq t_Kで(t,y(t))∉K(t,\boldsymbol y(t))\notin Kである。特に、t1∈(α,β)t_1\in(\alpha,\beta)に対してmin⁡{t1,tK}\min\{t_1,t_K\}が求める点を与える。▨

系 4.4.d∈N≥1d\in\NN、J⊆RJ\subseteq\Rを開区間とし、Ω=J×Rd\Omega=J\times\R^d上のffが Carathéodory 条件と時間について可積分な Lipschitz 係数の条件を局所的に満たすとする。y:(α,β)→Rd\boldsymbol y:(\alpha,\beta)\to\R^dを最大絶対連続解とする。このとき、有限端点β\betaがJJに属するならば、∥y(t)∥→∞\|\boldsymbol y(t)\|\to\infty(t↑β)(t\uparrow\beta)であり、有限端点α\alphaがJJに属するならば、∥y(t)∥→∞\|\boldsymbol y(t)\|\to\infty(t↓α)(t\downarrow\alpha)である。特に、任意のt1∈(α,β)t_1\in(\alpha,\beta)について、β∈J\beta\in Jならばsup⁡t1≤t<β∥y(t)∥=∞\sup_{t_1\leq t<\beta}\|\boldsymbol y(t)\|=\inftyであり、α∈J\alpha\in Jならばsup⁡α<t≤t1∥y(t)∥=∞\sup_{\alpha<t\leq t_1}\|\boldsymbol y(t)\|=\inftyである。

証明.β∈J\beta\in Jとし、R≥0R\geq0とt1∈(α,β)t_1\in(\alpha,\beta)を取る。[t1,β]⊆J[t_1,\beta]\subseteq Jなので、K=[t1,β]×{u:∥u∥≤R}K=[t_1,\beta]\times\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u\|\leq R\}はΩ\Omegaのコンパクト部分集合である。系 4.3 (1)により、あるtKt_Kが存在し、max⁡{t1,tK}≤t<β\max\{t_1,t_K\}\leq t<\betaで(t,y(t))∉K(t,\boldsymbol y(t))\notin Kである。この範囲のttは[t1,β][t_1,\beta]に属するので∥y(t)∥>R\|\boldsymbol y(t)\|>Rである。RRは任意であるから∥y(t)∥→∞\|\boldsymbol y(t)\|\to\infty(t↑β)(t\uparrow\beta)である。α∈J\alpha\in Jならば、K=[α,t1]×{u:∥u∥≤R}K=[\alpha,t_1]\times\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u\|\leq R\}と系 4.3 (2)から、α<t≤min⁡{t1,tK}\alpha<t\leq\min\{t_1,t_K\}で∥y(t)∥>R\|\boldsymbol y(t)\|>Rを得る。上限の結論は極限の結論から従う。▨

注意 4.5.J=(0,1)J=(0,1)、f=0f=0とすると、Ω=J×Rd\Omega=J\times\R^d上の最大絶対連続解y=0\boldsymbol y=\boldsymbol 0の最大存在区間は(0,1)(0,1)であり、y\boldsymbol yは有界である。したがって、有限端点がJJに属さないときは、系 4.4の結論は成り立つとは限らない。

5 連続なベクトル場の最大解と延長

補題 5.1.d∈N≥1d\in\NN、Ω⊆R×Rd\Omega\subseteq\R\times\R^dを開集合とし、f:Ω→Rdf:\Omega\to\R^dを連続で、状態変数について局所 Lipschitz 連続な写像とする。このとき、ffは Carathéodory 条件と時間について可積分な Lipschitz 係数の条件を局所的に満たす。また、開区間上の関数が方程式u′=f(t,u)\boldsymbol u'=f(t,\boldsymbol u)の古典解であることは、その関数が絶対連続解であるための必要十分条件である。従って、古典解としての延長と絶対連続解としての延長は一致し、最大解であることは最大絶対連続解であるための必要十分条件である。

証明.§E13.4 補題 4.3 (2)により、ffは局所条件を満たす。古典解は§E13.4 補題 1.3により絶対連続解である。開区間II上の絶対連続解y\boldsymbol yについてt0∈It_0\in Iを取り、y0=y(t0)\boldsymbol y_0=\boldsymbol y(t_0)とおくと、§E13.4 補題 4.3 (3)によりy\boldsymbol yは古典解である。従って、開区間上の古典解と絶対連続解の集合が一致するので、延長の集合も一致し、最大性も一致する。▨

系 5.2.d∈N≥1d\in\NN、Ω⊆R×Rd\Omega\subseteq\R\times\R^dを開集合とし、f:Ω→Rdf:\Omega\to\R^dを連続で、状態変数について局所 Lipschitz 連続な写像とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 開区間I,JI,J上の古典解y:I→Rd\boldsymbol y:I\to\R^d、z:J→Rd\boldsymbol z:J\to\R^dが、あるt0∈I∩Jt_0\in I\cap Jでy(t0)=z(t0)\boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol z(t_0)を満たすならば、I∩JI\cap Jの全体でy=z\boldsymbol y=\boldsymbol zである。
  2. 任意の(t0,y0)∈Ω(t_0,\boldsymbol y_0)\in\Omegaに対して、初期値問題y′=f(t,y)\boldsymbol y'=f(t,\boldsymbol y)、y(t0)=y0\boldsymbol y(t_0)=\boldsymbol y_0は一意な古典的最大解をもつ。その最大存在区間はImax⁡=(α,β)I_{\max}=(\alpha,\beta)であり、−∞≤α<t0<β≤∞-\infty\leq\alpha<t_0<\beta\leq\inftyである。同じ初期値をもつ任意の開区間上の古典解は、この最大解の制限である。
  3. y:(α,β)→Rd\boldsymbol y:(\alpha,\beta)\to\R^dを古典解とする。β<∞\beta<\inftyであり、あるt1∈(α,β)t_1\in(\alpha,\beta)とコンパクト集合K⊆ΩK\subseteq\Omegaが存在して(t,y(t))∈K(t,\boldsymbol y(t))\in Kがt1≤t<βt_1\leq t<\betaで成り立つならば、y\boldsymbol yはβ\betaを越えて古典解として延長することができる。α>−∞\alpha>-\inftyであり、あるt1∈(α,β)t_1\in(\alpha,\beta)とコンパクト集合K⊆ΩK\subseteq\Omegaが存在して(t,y(t))∈K(t,\boldsymbol y(t))\in Kがα<t≤t1\alpha<t\leq t_1で成り立つならば、y\boldsymbol yはα\alphaを越えて古典解として延長することができる。
  4. y:(α,β)→Rd\boldsymbol y:(\alpha,\beta)\to\R^dを古典的最大解とし、K⊆ΩK\subseteq\Omegaをコンパクト集合とする。β<∞\beta<\inftyならば、あるtK∈(α,β)t_K\in(\alpha,\beta)が存在し、tK≤t<βt_K\leq t<\betaで(t,y(t))∉K(t,\boldsymbol y(t))\notin Kである。特に、任意のt1∈(α,β)t_1\in(\alpha,\beta)に対して(t,y(t))∉K(t,\boldsymbol y(t))\notin Kを満たすt∈[t1,β)t\in[t_1,\beta)が存在し、tn↑βt_n\uparrow\betaかつ(tn,y(tn))∉K(t_n,\boldsymbol y(t_n))\notin Kを満たす列を取ることができる。α>−∞\alpha>-\inftyならば、あるtK∈(α,β)t_K\in(\alpha,\beta)が存在し、α<t≤tK\alpha<t\leq t_Kで(t,y(t))∉K(t,\boldsymbol y(t))\notin Kである。
  5. J⊆RJ\subseteq\Rを開区間とし、Ω=J×Rd\Omega=J\times\R^dとする。古典的最大解y:(α,β)→Rd\boldsymbol y:(\alpha,\beta)\to\R^dについて、β∈J\beta\in Jならば∥y(t)∥→∞\|\boldsymbol y(t)\|\to\infty(t↑β)(t\uparrow\beta)であり、α∈J\alpha\in Jならば∥y(t)∥→∞\|\boldsymbol y(t)\|\to\infty(t↓α)(t\downarrow\alpha)である。特に、Ω=R×Rd\Omega=\R\times\R^dならば、有限端点β\betaについて、任意のt1∈(α,β)t_1\in(\alpha,\beta)に対してsup⁡t1≤t<β∥y(t)∥=∞\sup_{t_1\leq t<\beta}\|\boldsymbol y(t)\|=\inftyである。

証明.主張 (1)を示す。補題 5.1によりffは局所条件を満たし、古典解は絶対連続解である。補題 1.3を適用して結論を得る。

主張 (2)を示す。補題 5.1により定理 2.1を適用することができ、一意な最大絶対連続解ymax⁡:(α,β)→Rd\boldsymbol y_{\max}:(\alpha,\beta)\to\R^dを得る。これは同補題により古典解であり、最大である。同じ初期値をもつ開区間上の古典解は絶対連続解であるから、定理 2.1によりymax⁡\boldsymbol y_{\max}の制限である。z\boldsymbol zを同じ初期値をもつ古典的最大解とすると、z\boldsymbol zはymax⁡\boldsymbol y_{\max}の制限であり、ymax⁡\boldsymbol y_{\max}はz\boldsymbol zの古典解としての延長であるから、z\boldsymbol zの最大性により定義区間が一致し、z=ymax⁡\boldsymbol z=\boldsymbol y_{\max}である。

主張 (3)を示す。補題 5.1によりy\boldsymbol yは絶対連続解であり、定理 4.2により絶対連続解としての延長が存在する。この延長は同補題により古典解である。

主張 (4)を示す。補題 5.1によりy\boldsymbol yは最大絶対連続解であるから、系 4.3を適用する。

主張 (5)を示す。補題 5.1によりy\boldsymbol yは最大絶対連続解であるから、系 4.4を適用する。Ω=R×Rd\Omega=\R\times\R^dはJ=RJ=\Rの場合であり、有限端点β\betaはJJに属する。▨

例 5.3.f(t,y)=2∣y∣f(t,y)=2\sqrt{|y|}はR2\R^2上で連続であり、§E13.4 例 5.3の右辺の22倍であるから、y=0y=0の近傍で状態変数について Lipschitz 連続ではない。c≥0c\geq0に対して§E13.4 例 5.3のycy_cを取り、zc=4ycz_c=4y_cとおく。ycy_cはR\R上の一階連続微分可能な関数としてyc′=∣yc∣y_c'=\sqrt{|y_c|}を満たすので、zc′=4∣yc∣=2∣zc∣z_c'=4\sqrt{|y_c|}=2\sqrt{|z_c|}であり、zcz_cはR\R上の古典解である。zc(0)=0z_c(0)=0であり、zcz_cの定義区間はR\Rであるからzcz_cは古典的最大解である。zcz_cはt≤ct\leq cで00、t>ct>cで正であるから、c≥0c\geq0が異なればzcz_cは異なり、初期値問題y′=2∣y∣y'=2\sqrt{|y|}、y(0)=0y(0)=0は互いに異なる古典的最大解を無限個もつ。局所 Lipschitz 連続性の仮定を外すと、系 5.2 (2)の最大解の一意性は成り立たない。

6 有限時間爆発

例 6.1 (有限時間爆発). 初期値問題

y′=y2,y(0)=1y'=y^2,\qquad y(0)=1

は、変数分離により

y(t)=11−ty(t)=\frac{1}{1-t}

を解としてもつ。実際、y′(t)=1/(1−t)2=y(t)2y'(t)=1/(1-t)^2=y(t)^2、y(0)=1y(0)=1なので、この関数は(−∞,1)(-\infty,1)上で方程式と初期条件を満たす。

この解の最大存在区間は(−∞,1)(-\infty,1)である。実際、t↑1t\uparrow1のときy(t)→+∞y(t)\to+\inftyであるから、t=1t=1において有限な値をもつ連続な延長は存在しない。一方、f(t,y)=y2f(t,y)=y^2はR2\R^2上で連続であり、状態変数について局所 Lipschitz 連続である。したがって、有限端点の原因はベクトル場の特異点ではなく、解自身が有限時間で非有界になることである。

7 演習

問題 7.1 (状態領域の境界による延長不能).Ω=R×(−1,1)\Omega=\R\times(-1,1)上の初期値問題

y′=1,y(0)=0y'=1,\qquad y(0)=0

を考える。この初期値問題の最大解と最大存在区間を求めよ。また、最大解が有界であるにもかかわらず、最大存在区間の有限端点を越えて延長することができない理由を示せ。

解答.

解yyの定義区間に属する任意のttに対して、微分方程式と初期条件から

y(t)=y(0)+∫0t1 ds=ty(t)=y(0)+\int_0^t1\,ds=t

を得る。したがって、y(t)=ty(t)=tが初期値問題の解となるためには(t,y(t))=(t,t)∈Ω(t,y(t))=(t,t)\in\Omega、すなわち−1<t<1-1<t<1でなければならない。実際、y(t)=ty(t)=tは(−1,1)(-1,1)上で方程式と初期条件を満たす。

この解が11を含む開区間へ延長されたと仮定すると、延長も初期条件を満たす解であるから、その区間上でy(t)=ty(t)=tとなる。しかし、t≥1t\geq1では(t,y(t))=(t,t)∉Ω(t,y(t))=(t,t)\notin\Omegaであり、解のグラフがΩ\Omegaに含まれない。左端点−1-1についても同じ理由で延長することができない。ゆえに最大解はy(t)=ty(t)=t、最大存在区間は(−1,1)(-1,1)である。

この最大解は∣y(t)∣<1|y(t)|<1を満たすので有界である。一方、t↑1t\uparrow1のとき(t,y(t))→(1,1)∉Ω(t,y(t))\to(1,1)\notin\Omegaとなり、t↓−1t\downarrow-1のときも(t,y(t))→(−1,−1)∉Ω(t,y(t))\to(-1,-1)\notin\Omegaとなる。したがって、延長を妨げるのは状態の非有界性ではなく、t↑1t\uparrow1のとき解のグラフがΩ\Omegaに属さない点(1,1)(1,1)へ収束することである。▨

問題 7.2.f(t,y)=y2f(t,y)=y^2とし、y0∈Ry_0\in\Rとする。初期値問題y′=y2y'=y^2、y(0)=y0y(0)=y_0の最大解と最大存在区間を、y0>0y_0>0、y0=0y_0=0、y0<0y_0<0の場合に求めよ。

解答.

ffは連続で、状態変数について局所 Lipschitz 連続であるから、系 5.2 (2)により最大解y~:(α,β)→R\tilde y:(\alpha,\beta)\to\Rが一意に存在する。

y0=0y_0=0ならば、y=0y=0はR\R上の解であり、定義区間がR\Rであるから最大解である。

y0≠0y_0\neq0とし、LLをy0>0y_0>0のとき(−∞,1/y0)(-\infty,1/y_0)、y0<0y_0<0のとき(1/y0,∞)(1/y_0,\infty)とする。z(t)=y0/(1−y0t)z(t)=y_0/(1-y_0t)はLL上で一階連続微分可能であり、z′(t)=y02/(1−y0t)2=z(t)2z'(t)=y_0^2/(1-y_0t)^2=z(t)^2、z(0)=y0z(0)=y_0を満たす。系 5.2 (2)によりzzはy~\tilde yの制限であり、L⊆(α,β)L\subseteq(\alpha,\beta)である。LLの有限端点をe=1/y0e=1/y_0とすると、eeが(α,β)(\alpha,\beta)に属するならば、y~\tilde yはeeで連続であるからeeの近くで有界であるが、LLの内側からeeへ近づくとき∣z(t)∣=∣y0∣/∣1−y0t∣→∞|z(t)|=|y_0|/|1-y_0t|\to\inftyであり矛盾する。従ってe∉(α,β)e\notin(\alpha,\beta)であり、(α,β)=L(\alpha,\beta)=Lである。

したがって、最大存在区間はy0>0y_0>0のとき(−∞,1/y0)(-\infty,1/y_0)、y0=0y_0=0のときR\R、y0<0y_0<0のとき(1/y0,∞)(1/y_0,\infty)である。y0≠0y_0\neq0の最大解はy0/(1−y0t)y_0/(1-y_0t)であり、有限端点で∣y∣→∞|y|\to\inftyとなる。y0<0y_0<0では有限端点が左端点である。▨

問題 7.3 (増大条件による大域存在と解の貼り合わせ).d∈N≥1d\in\NN、Ω=R×Rd\Omega=\R\times\R^dとし、f:Ω→Rdf:\Omega\to\R^dは連続で、状態変数について局所 Lipschitz 連続であるとする。

  1. あるM≥0M\ge0についてΩ\Omegaの上で∥f∥≤M\|f\|\le Mならば、すべての古典的最大解y:(α,β)→Rd\boldsymbol y:(\alpha,\beta)\to\R^dについてβ=∞\beta=\inftyであることを示せ。
  2. あるA,B≥0A,B\ge0についてΩ\Omegaの上で∥f(t,u)∥≤A+B∥u∥\|f(t,\boldsymbol u)\|\le A+B\|\boldsymbol u\|ならば、すべての古典的最大解についてβ=∞\beta=\inftyであることを示せ。
  3. d=1d=1とし、初期値問題y′=1+y2y'=1+y^{2}、y(0)=0y(0)=0の最大解がtan⁡t\tan tであり、最大存在区間が(−π/2,π/2)(-\pi/2,\pi/2)であることを示せ。
  4. d=1d=1、f(t,y)=y−y3f(t,y)=y-y^{3}とし、0<y0<10<y_{0}<1とする。初期値問題y′=f(t,y)y'=f(t,y)、y(0)=y0y(0)=y_{0}の最大解y:(α,β)→Ry:(\alpha,\beta)\to\Rについて、(α,β)(\alpha,\beta)の全体で0<y<10<y<1であり、β=∞\beta=\inftyであって、t→∞t\to\inftyのときy(t)→1y(t)\to1となることを示せ。
  5. α<c<γ\alpha<c<\gammaとし、y1:(α,c]→Rd\boldsymbol y_{1}:(\alpha,c]\to\R^dとy2:[c,γ)→Rd\boldsymbol y_{2}:[c,\gamma)\to\R^dは、端点ccでの片側微分を含めて一階連続微分可能であって、それぞれの区間の上でy′=f(t,y)\boldsymbol y'=f(t,\boldsymbol y)を満たし、y1(c)=y2(c)\boldsymbol y_{1}(c)=\boldsymbol y_{2}(c)であるとする。(α,c](\alpha,c]でy1\boldsymbol y_{1}、[c,γ)[c,\gamma)でy2\boldsymbol y_{2}に等しい関数y\boldsymbol yは(α,γ)(\alpha,\gamma)の上の古典解であることを示せ。
解答.

  1. β<∞\beta<\inftyと仮定し、t1∈(α,β)t_{1}\in(\alpha,\beta)をとる。t1≤t<βt_{1}\le t<\betaについて、§E13.4 系 3.1により∥y(t)−y(t1)∥≤∫t1t∥f(s,y(s))∥ ds≤M(β−t1)\|\boldsymbol y(t)-\boldsymbol y(t_{1})\|\le\int_{t_{1}}^{t}\|f(s,\boldsymbol y(s))\|\,ds\le M(\beta-t_{1})であり、y\boldsymbol yは[t1,β)[t_{1},\beta)の上で有界である。これは系 5.2 (5)の∥y(t)∥→∞\|\boldsymbol y(t)\|\to\inftyに反する。ゆえにβ=∞\beta=\inftyである。

  2. β<∞\beta<\inftyと仮定し、t1∈(α,β)t_{1}\in(\alpha,\beta)をとる。[t1,β)[t_{1},\beta)の上でφ(t)=∥y(t1)∥+A(β−t1)+B∫t1t∥y(s)∥ ds\varphi(t)=\|\boldsymbol y(t_{1})\|+A(\beta-t_{1})+B\int_{t_{1}}^{t}\|\boldsymbol y(s)\|\,dsとおく。§E13.4 系 3.1により∥y(t)∥≤∥y(t1)∥+∫t1t(A+B∥y(s)∥) ds≤φ(t)\|\boldsymbol y(t)\|\le\|\boldsymbol y(t_{1})\|+\int_{t_{1}}^{t}(A+B\|\boldsymbol y(s)\|)\,ds\le\varphi(t)である。s↦∥y(s)∥s\mapsto\|\boldsymbol y(s)\|は連続であるから、微分積分学の基本定理によりφ′(t)=B∥y(t)∥≤Bφ(t)\varphi'(t)=B\|\boldsymbol y(t)\|\le B\varphi(t)であり、(e−B(t−t1)φ(t))′≤0(e^{-B(t-t_{1})}\varphi(t))'\le0である。したがって∥y(t)∥≤φ(t)≤φ(t1)eB(β−t1)\|\boldsymbol y(t)\|\le\varphi(t)\le\varphi(t_{1})e^{B(\beta-t_{1})}が[t1,β)[t_{1},\beta)の上で成り立ち、y\boldsymbol yは有界である。これは系 5.2 (5)の∥y(t)∥→∞\|\boldsymbol y(t)\|\to\inftyに反する。ゆえにβ=∞\beta=\inftyである。

  3. y(t)=tan⁡ty(t)=\tan tは(−π/2,π/2)(-\pi/2,\pi/2)の上で一階連続微分可能であり、y′(t)=1/cos⁡2t=1+tan⁡2ty'(t)=1/\cos^{2}t=1+\tan^{2}t、y(0)=0y(0)=0である。f(t,y)=1+y2f(t,y)=1+y^{2}は連続で、状態変数について局所 Lipschitz 連続であるから、系 5.2 (2)により最大解y~\tilde yがただ一つ存在し、その最大存在区間を(α,β)(\alpha,\beta)とすると、tan⁡t\tan tはy~\tilde yの制限であり(−π/2,π/2)⊆(α,β)(-\pi/2,\pi/2)\subseteq(\alpha,\beta)である。β>π/2\beta>\pi/2ならば、y~\tilde yはπ/2\pi/2で連続であり、π/2\pi/2の左側で有界であるが、t↑π/2t\uparrow\pi/2のときtan⁡t→+∞\tan t\to+\inftyであるから矛盾する。α<−π/2\alpha<-\pi/2ならば、y~\tilde yは−π/2-\pi/2で連続であり、−π/2-\pi/2の右側で有界であるが、t↓−π/2t\downarrow-\pi/2のときtan⁡t→−∞\tan t\to-\inftyであるから矛盾する。ゆえに最大存在区間は(−π/2,π/2)(-\pi/2,\pi/2)であり、最大解はtan⁡t\tan tである。(2)と比べると、ffは一次の増大条件を満たさない。

  4. ffは多項式であるから連続で、状態変数について局所 Lipschitz 連続である。定数関数00と11はR\Rの上の解である。あるt∗∈(α,β)t^{*}\in(\alpha,\beta)でy(t∗)∈{0,1}y(t^{*})\in\{0,1\}ならば、系 5.2 (1)によりyyは(α,β)(\alpha,\beta)の上で対応する定数解に一致し、y(0)=y0∈(0,1)y(0)=y_{0}\in(0,1)に反する。したがってyyは00と11の値をとらず、中間値の定理により(α,β)(\alpha,\beta)の全体で0<y<10<y<1である。yyは有界であるから、系 5.2 (5)の∥y(t)∥→∞\|y(t)\|\to\inftyによりβ=∞\beta=\inftyである。

    y′=y(1−y2)>0y'=y(1-y^{2})>0であるからyyは増加し、上に有界であるから極限ℓ=lim⁡t→∞y(t)∈(y0,1]\ell=\lim_{t\to\infty}y(t)\in(y_{0},1]が存在する。ℓ<1\ell<1と仮定すると、t≥0t\ge0でy0≤y(t)≤ℓy_{0}\le y(t)\le\ellであるからy′(t)≥y0(1−ℓ2)>0y'(t)\ge y_{0}(1-\ell^{2})>0であり、平均値の定理によりy(t)≥y0+y0(1−ℓ2)t→∞y(t)\ge y_{0}+y_{0}(1-\ell^{2})t\to\inftyとなってy<1y<1に反する。ゆえにℓ=1\ell=1である。

  5. t≠ct\ne cでは、ttの近傍でy\boldsymbol yはy1\boldsymbol y_{1}またはy2\boldsymbol y_{2}に一致するので、微分可能でy′(t)=f(t,y(t))\boldsymbol y'(t)=f(t,\boldsymbol y(t))である。t=ct=cでは、左側微分係数はy1′(c)=f(c,y1(c))\boldsymbol y_{1}'(c)=f(c,\boldsymbol y_{1}(c))、右側微分係数はy2′(c)=f(c,y2(c))\boldsymbol y_{2}'(c)=f(c,\boldsymbol y_{2}(c))であり、y1(c)=y2(c)\boldsymbol y_{1}(c)=\boldsymbol y_{2}(c)からこの二つは等しい。したがってy\boldsymbol yはccで微分可能でy′(c)=f(c,y(c))\boldsymbol y'(c)=f(c,\boldsymbol y(c))である。y\boldsymbol yは連続であり、t↦f(t,y(t))t\mapsto f(t,\boldsymbol y(t))は連続であるから、y′\boldsymbol y'は連続である。ゆえにy\boldsymbol yは(α,γ)(\alpha,\gamma)の上の古典解である。

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参考文献

  1. Philip Hartman, Ordinary Differential Equations, 2nd ed., Classics in Applied Mathematics, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 2002.最大解、延長定理、コンパクト集合からの離脱条件を参考にした。
  2. Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2012.最大存在区間と有限時間爆発の扱いを参考にした。

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