§E13.27固有関数展開

証明. 演習とする（問題 5.1）。▨

証明.主張 (1)を示す。$y\in D(A)$とする。$py'$と$\overline y$に§E13.2 定理 3.4を適用すると、

を得る。$\beta_e=0$である端点$e$では$\alpha_e\ne0$であるから$y(e)=0$であり、$\beta_e\ne0$である端点$e$では$p(e)y'(e)=-r_ey(e)$である。いずれの端点でも$p(e)y'(e)\overline{y(e)}=-r_e|y(e)|^2$であるから、$-[py'\overline y]_a^b=r_b|y(b)|^2-r_a|y(a)|^2$である。右辺の各項は実数である。

主張 (2)を示す。$\kappa\geq\kappa_0$、$y\in D(A)$とする。

である。$R>0$の場合は補題 1.2に$\varepsilon=m_p/(2R)$を代入すると、

であり、$R=0$の場合は$C=0$であるから、この不等式は自明に成り立つ。$p\geq m_p$、$q\geq-\|q\|_\infty$と主張 (1)により

を得る。$\int_a^b|y|^2\,dx\leq m_w^{-1}\|y\|_w^2$と$\kappa\geq\kappa_0$より、右辺は$\frac{m_p}{2}\int_a^b|y'|^2\,dx+\|y\|_w^2$以上である。$(A+\kappa I)y=0$ならば下限から$\|y\|_w=0$であり、$y=0$である。▨

証明.$y\in C^1([a,b];\C)$が$y'\in AC([a,b];\C)$を満たすとする。§E13.2 系 2.7 (2)により$p$は絶対連続であり、§E13.2 定理 3.1 (2)により$py'$は絶対連続で、ほとんど至る所で$(py')'=p'y'+py''$である。したがって、$g\in H$について$-(py')'+(q+\kappa w)y=wg$がほとんど至る所で成り立つことと

がほとんど至る所で成り立つことは同値である。$A$の境界条件は、境界係数の組$(\alpha_a,\beta_ap(a))$、$(\alpha_b,\beta_bp(b))$についての§E13.24 定義 3.1の境界条件である。$P,Q$は連続な実数値関数である。方程式$y''+Py'+Qy=-(w/p)g$と境界係数の組$(\alpha_a,\beta_ap(a))$、$(\alpha_b,\beta_bp(b))$からなる§E13.24 定義 3.1の問題を、正規化された問題という。

正規化された問題の境界核の元$y$は$Ay=-\kappa y\in H$を満たすので$D(A)$に属し、$(A+\kappa I)y=0$であるから、仮定により$y=0$である。$u_0,v_0$を§E13.24 補題 3.2の$u,v$とし、$W_0=u_0v_0'-u_0'v_0$とおく。§E13.24 補題 3.2 (3)により、$W_0$は$[a,b]$の全点で零でない。$u_0,v_0$はほとんど至る所で$-(py')'+(q+\kappa w)y=0$を満たし、$pu_0'$、$pv_0'$は$[a,b]$上で絶対連続である。§E13.26 定義 3.2により$p,q,w$の$(a,b)$への制限について$a,b$はともに正則端点であり、$u_0,v_0$の$(a,b)$への制限は、流束$pu_0'$、$pv_0'$をもつ$\ell[y]=-\kappa wy$の解である。流束の$[a,b]$への連続な延長は$pu_0'$、$pv_0'$であるから、§E13.26 補題 1.5 (5)により$c_0=u_0\,pv_0'-pu_0'\,v_0=pW_0$は$[a,b]$上で定数であり、$W_0$が零でないので$c_0\ne0$である。$u=\mu u_0$、$v=\nu v_0$（$\mu,\nu\in\R\setminus\{0\}$）とすると$c=\mu\nu c_0$であり、$c$は零でない実数の定数である。

$f\in H$に対して Cauchy–Schwarz の不等式より

である。ただし$m_p=\min_{[a,b]}p$である。§E13.24 定理 3.4を外力$-wf/p$に適用すると、§E13.24 式 (3.3.1)の Green 関数$G$により

は正規化された問題の一意な解であり、$y\in C^1([a,b];\C)$、$y'\in AC([a,b];\C)$であり、$y$は$f$の代表元によらない。$G(x,s)=u_0(\min\{x,s\})v_0(\max\{x,s\})/W_0(s)$であるから

であり、$y(x)=\int_a^bK_\kappa(x,s)f(s)w(s)\,ds$である。最初の段落により$py'$は絶対連続で、$-(py')'+(q+\kappa w)y=wf$がほとんど至る所で成り立つから、$Ay=f-\kappa y\in H$であり$y\in D(A)$である。したがって$A+\kappa I$は全射であり、仮定により単射でもあるから、Green 作用素$T_\kappa$が存在して$T_\kappa f=y$である。$K_\kappa$の実数値性、対称性、連続性は、$u,v$が実数値連続関数であることと定義式から従い、上の等式は$K_\kappa$が$u_0,v_0,c_0$だけで定まることを示す。$f$が連続な代表元を持つならば$P,Q,-wf/p$は連続であり、§E13.24 定理 3.4により$y\in C^2([a,b];\C)$で、正規化された方程式は全点で成り立つ。$p\in C^1$であるから、$-(py')'+(q+\kappa w)y=wf$も全点で成り立つ。▨

証明.$d\mu=w(x)\,dx$とおくと$\mu([a,b])<\infty$である。定理 2.1の連続核$K_\kappa$は有界なので$K_\kappa\in L^2(\mu\times\mu)$である。§E12.2 定理 2.3より$T_\kappa$は有界線形かつコンパクトであり、

を満たす。

$f,g\in H$とすると$f,g\in L^1(\mu)$でもあり、$K_\kappa(x,s)f(s)\overline{g(x)}$は積測度に関して可積分である。§E10.19 定理 3.2と実対称性により

したがって$T_\kappa$は自己共役である。

逆写像の等式

から、$T_\kappa$は単射であり、$\im T_\kappa=D(A)$である。$h\in(\im T_\kappa)^\perp$ならば、任意の$f\in H$に対して$0=\langle T_\kappa f,h\rangle_w=\langle f,T_\kappa h\rangle_w$である。$f=T_\kappa h$とすると$T_\kappa h=0$となり、単射性から$h=0$である。§E10.3 命題 2.3により$\im T_\kappa$は稠密である。

$\kappa\geq\kappa_0$、$f\ne0$とし、$y=T_\kappa f$とおくと$y\ne0$である。命題 1.3 (2)より

を得る。

一様な正下限$c>0$が存在すると仮定する。互いに素な区間$I_n=(a+(b-a)2^{-n},a+(b-a)2^{-n+1})$、$n\in\NN$の指示関数を用いて$e_n=\mathbf1_{I_n}/\sqrt{\mu(I_n)}$とおくと、$(e_n)$は$H$の正規直交列である。仮定と Cauchy–Schwarz の不等式により任意の$f\in H$に対して$\|T_\kappa f\|_w\geq c\|f\|_w$であるから、$n\ne m$ならば

である。これはコンパクト性により$(T_\kappa e_n)$が収束部分列を持つことに反する。したがって一様な正下限は存在しない。▨

証明. Dirichlet 条件では$r_0=r_1=0$であるから、命題 1.3 (1)を$\kappa=0$で適用すると、$y\in\ker A$について$\int_0^1|y'|^2\,dx=0$である。$y$は定数であり、$y(0)=0$から$y=0$である。§E13.24 例 3.5により、この場合の§E13.24 補題 3.2の$u,v$は$-x$、$1-x$である。定理 2.1を$u(x)=x$、$v(x)=1-x$として適用すると$c=x\cdot(-1)-1\cdot(1-x)=-1$であり、上記の$K_0$を得る。

$z$を§E13.24 例 3.5の解とし、$y(x)=-z(1-x)$とおく。$y\in C^1$、$y'\in AC$であり、ほとんど至る所で$-y''(x)=z''(1-x)=\mathbf1_{(1/2,1]}(1-x)=f(x)$が成り立ち、$y(0)=y(1)=0$である。したがって$y\in D(A)$、$Ay=f$であり、$y=T_0f$である。同じ例の$z$の式に$1-x$を代入すると上記の式を得る。$y'(x)=z'(1-x)$であり、§E13.24 例 3.5により$z'$の$1/2$における左右の微分係数は$0$と$1$であるから、$y'$の$1/2$における左右の微分係数は$-1$と$0$である。▨

証明. 定数関数$1$は$D(A)$に属し、$A1=0$である。 Neumann 条件では$r_0=r_1=0$であるから、命題 1.3 (1)により$\langle(A+\kappa I)y,y\rangle_w=\int_0^1|y'|^2\,dx+\kappa\int_0^1|y|^2\,dx$である。$\kappa>0$ならば核は零であり、定理 2.1が適用される。$y=1/\kappa$は$D(A)$に属し、$(A+\kappa I)y=1$を満たす。$T_\kappa$は$A+\kappa I$の逆写像であるから、$T_\kappa1=1/\kappa$である。▨

証明.$y\in\ker(A-\lambda I)$とする。§E13.2 系 2.7 (2)により$p$は絶対連続であり、§E13.2 定理 3.1 (2)により$py'$は絶対連続である。$-(py')'+qy=\lambda wy$がほとんど至る所で成り立つから、$y$の$(a,b)$への制限は$p,q,w$の制限についての$\ell[y]=\lambda wy$の解である。§E13.26 補題 3.3 (1)により$y\in C^2([a,b];\C)$であり、$-(py')'+qy=\lambda wy$が全点で成り立つ。$y$は§E13.26 式 (3.2.1)を満たすから、$y\ne0$ならば、§E13.26 補題 3.3 (2)により$\lambda$は固有値であり、$y$は$\lambda$に属する固有関数である。

逆に、$\lambda$を固有値とし、$y$を$\lambda$に属する固有関数とする。§E13.26 補題 3.3 (2)により、$y\in C^2([a,b];\C)$は§E13.26 式 (3.2.1)を満たし、$-(py')'+qy=\lambda wy$を全点で満たす。$y'\in C^1([a,b];\C)$は絶対連続であり、$w^{-1}(-(py')'+qy)=\lambda y\in H$であるから、$y\in D(A)$かつ$Ay=\lambda y$である。▨

証明.$T_\kappa e=\tau e$とすると、定理 2.2により

であり、$\tau>0$、$\lambda=\tau^{-1}-\kappa\in\R$である。$e=\tau^{-1}T_\kappa e\in D(A)$であり、逆写像の等式から$(A+\kappa I)e=\tau^{-1}e$、すなわち$Ae=\lambda e$である。補題 3.1により$e$は$C^2$級であり、上記の微分方程式を全点で満たす。境界条件は$e\in D(A)$から従う。

逆に、上記の$C^2$級の代表元$e$は$D(A)$に属し、$(A+\kappa I)e=\tau^{-1}e$を満たす。両辺へ$T_\kappa$を適用すると$e=\tau^{-1}T_\kappa e$を得る。

$\lambda$を$A$の固有値とする。命題 1.3 (2)により$A+\kappa I$は単射であるから、$\lambda+\kappa\ne0$である。$y\in\ker(A-\lambda I)$ならば$(A+\kappa I)y=(\lambda+\kappa)y$であり、$T_\kappa$を適用して$T_\kappa y=(\lambda+\kappa)^{-1}y$を得る。逆に$T_\kappa y=(\lambda+\kappa)^{-1}y$ならば、$y=(\lambda+\kappa)T_\kappa y\in D(A)$であり、$(A+\kappa I)y=(\lambda+\kappa)y$、すなわち$Ay=\lambda y$である。▨

証明.補題 3.1により、$\ker(A-\lambda I)$は$\{0\}$であるか、§E13.26 定義 3.2の固有値$\lambda$の固有空間である。§E13.26 定義 3.2により、この固有空間は$p,q,w$の$(a,b)$への制限と同じ境界係数についての§E13.26 定義 1.6の固有空間であるから、§E13.26 命題 1.7 (3)により一次元である。▨

証明.$y_1(x)=\cos nx$、$y_2(x)=\sin nx$は$y''+n^2y=0$の解であり、$y_1y_2'-y_1'y_2=n\ne0$である。§E13.9 命題 5.5 (2)から§E13.9 命題 5.5 (1)が従うので、$y_1,y_2$は$\mathbb K=\C$の解空間の基本解系であり、解は$c_1y_1+c_2y_2$（$c_1,c_2\in\C$）に限る。$y_1(0)=y_1(2\pi)=1$、$y_1'(0)=y_1'(2\pi)=0$、$y_2(0)=y_2(2\pi)=0$、$y_2'(0)=y_2'(2\pi)=n$であるから、すべての解が周期境界条件を満たす。$y_1,y_2$は一次独立であるから、この空間は二次元である。▨

証明.$\kappa\geq\kappa_0$とする。定理 2.2により、$T_\kappa$はコンパクト自己共役かつ単射である。§E12.6 定理 4.1 (2)と$\ker T_\kappa=\{0\}$により、$H$は$T_\kappa$の非零固有値に対する固有空間の張る部分空間の閉包に等しい。補題 3.2と補題 3.3により、これらの固有値は正であり、固有空間はすべて一次元である。

$H$には互いに素な正の長さの区間の指示関数からなる無限の一次独立系が存在するので、$H$は無限次元である。したがって$T_\kappa$の非零固有値は無限個存在する。§E12.6 定理 4.1 (1)により、任意の$\varepsilon>0$に対して$\tau\geq\varepsilon$を満たす固有値$\tau$は有限個である。そのため固有値全体を狭義単調減少列$(\tau_n)_{n\in\NN}$として並べることができ、$\tau_n\to0$である。

$\lambda_n=\tau_n^{-1}-\kappa$とおくと、補題 3.2により$\lambda_n$は$A$の固有値を尽くし、狭義単調増加して正の無限大へ発散する。補題 3.1により、これらは正則 Sturm–Liouville 固有値問題の固有値全体であり、$\ker(A-\lambda_nI)$は$\lambda_n$の固有空間である。§E13.26 命題 1.7 (3)により、この固有空間は実数値の固有関数一つで張られる。それを$H$のノルムで正規化して$e_n$とする。$\{e_n\}$は$T_\kappa$の各固有空間の正規直交基底であるから、§E12.6 定理 4.1 (3)と$\ker T_\kappa=\{0\}$により、$(e_n)$は$H$の完全正規直交系である。補題 3.2は$\kappa_0$以上のすべての$\kappa$について成り立つから、$\kappa$を別の$\kappa'\geq\kappa_0$に替えても、$T_{\kappa'}$の非零固有値は$(\lambda_n+\kappa')^{-1}$で尽くされ、$T_{\kappa'}e_n=(\lambda_n+\kappa')^{-1}e_n$が成り立つ。▨

証明.定理 3.5の完全正規直交系へ§E10.3 定理 3.5 (3)と§E10.3 定理 3.5 (4)を適用する。▨

証明.$\kappa_0$を命題 1.3で定めた実数とし、$\kappa=\kappa_0$とする。$y\in D(A)$が$(A-zI)y=f$を満たすことは

と同値である。$y_n=\langle y,e_n\rangle_w$とおき、$T_\kappa$の自己共役性と$T_\kappa e_n=(\lambda_n+\kappa)^{-1}e_n$を用いて係数を比較すると、