§E13.19Liénard 系と極限閉軌道

証明.主張 (1)を示す。$\Phi$は奇関数であるから$\Phi(0)=0$であり、$\Phi'(0)<0$から十分小さい$x>0$で$\Phi(x)<0$である。$\Phi$は$(0,a)$に零点をもたないから、§E2.43 系 2.3により$(0,a)$上で$\Phi<0$である。$\Phi$は$[a,\infty)$上で狭義単調増加であるから$(a,\infty)$上で$\Phi>0$である。$F(x,y)=0$ならば$g(x)=0$であり、$xg(x)>0$（$x\ne0$）から$x=0$、$y=\Phi(0)=0$である。$\Phi,g$は奇関数であるから$F(-w)=-F(w)$である。$t\mapsto-\varphi_t(z)$は$I(z)$上で$(-\varphi_t(z))'=-F(\varphi_t(z))=F(-\varphi_t(z))$を満たす古典解であり、$t=0$で$-z$をとるから、§E13.15 補題 1.2により$I(z)\subseteq I(-z)$であり、$\varphi_t(-z)=-\varphi_t(z)$である。$z$を$-z$に取り替えて$I(-z)\subseteq I(z)$を得る。

主張 (2)を示す。$x_0>0$ならば連続性により、$x_0=0<y_0$ならば$x'(0)=y_0-\Phi(0)=y_0>0$により、十分小さい$t>0$で$x(t)>0$である。$T^*=\sup\{t\in I(z):t>0,\ 0<s\le t\text{ ならば }x(s)>0\}$とおき、$\beta^*=\sup I(z)$とおく。$0<t<T^*$で$x(t)>0$であるから$y'(t)=-g(x(t))<0$であり、$y$は$[0,T^*)$上で狭義単調減少である。$X>\max\{x_0,a\}$を$\Phi(X)>y_0$を満たすようにとる。$0\le t<T^*$ならば$x(t)<X$である。実際、$x(t_1)\ge X$を満たす$t_1\in(0,T^*)$があるとすると、$t_0=\min\{t\in[0,t_1]:x(t)\ge X\}$について$t_0>0$、$x(t_0)=X$、$[0,t_0)$上で$x<X$であるから$x'(t_0)\ge0$であり、一方$x'(t_0)=y(t_0)-\Phi(X)<y_0-\Phi(X)<0$である。$M=\max_{[0,X]}g$とおくと、$0\le t<T^*$で$y(t)\ge y_0-Mt$である。

主張 1.2.1により$T^*\in I(z)$である。$x$は$(0,T^*)$上で正であるから$x(T^*)\ge0$であり、$x(T^*)>0$ならば$T^*$の少し先まで$x>0$となって$T^*$の定義に反するから、$x(T^*)=0$である。$(0,T^*)$上で$x>0$であるから$x'(T^*)\le0$であり、$x'(T^*)=y(T^*)-\Phi(0)=y(T^*)$である。$y(T^*)=0$ならば$\varphi_{T^*}(z)=0$は平衡点であり、§E13.15 命題 4.3 (1)と§E13.15 命題 4.3 (2)により$z=0$となって仮定に反するから、$y(T^*)<0$である。$\sigma=T^*$は条件を満たし、条件を満たす$\sigma$は$x$の最初の正の零点であるから$T^*$に等しい。$(0,T^*)$上で$y'<0$であるから、$y$は$[0,T^*]$上で狭義単調減少である。

主張 (3)を示す。$\sigma=\sigma(\alpha)$とし、$k(t)=x'(t)=y(t)-\Phi(x(t))$とおく。$k(0)=\alpha>0$、$k(\sigma)=y(\sigma)<0$であり、$k(t')=0$、$t'\in(0,\sigma)$ならば$k'(t')=y'(t')-\Phi'(x(t'))x'(t')=-g(x(t'))<0$である。$t_m=\min\{t\in[0,\sigma]:k(t)=0\}$とおくと、$[0,t_m)$上で$k>0$であり、$k'(t_m)<0$から$t_m$の直後で$k<0$である。$(t_m,\sigma]$に$k(t)\ge0$を満たす点があるとし、その下限を$t^*$とすると、$t_m<t^*<\sigma$、$k(t^*)=0$で$(t_m,t^*)$上で$k<0$であるから$k'(t^*)\ge0$となり、$k'(t^*)<0$に反する。したがって$(t_m,\sigma]$上で$k<0$である。$y|_{[0,\sigma]}$は$[0,\sigma]$から$[-\beta(\alpha),\alpha]$への狭義単調減少な連続全単射であり、$x|_{[0,t_m]}$、$x|_{[t_m,\sigma]}$はそれぞれ$[0,x_{\max}(\alpha)]$への狭義単調な連続全単射である。§E2.19 定理 6.8によりこれらの逆写像は連続であり、$X_\alpha=x\circ(y|_{[0,\sigma]})^{-1}$、$Y^+_\alpha=y\circ(x|_{[0,t_m]})^{-1}$、$Y^-_\alpha=y\circ(x|_{[t_m,\sigma]})^{-1}$は連続である。$x|_{[0,t_m]}$の逆写像は狭義単調増加、$x|_{[t_m,\sigma]}$の逆写像は狭義単調減少で$y$は狭義単調減少であるから、$Y^+_\alpha$は狭義単調減少、$Y^-_\alpha$は狭義単調増加である。$0\le\xi<x_{\max}(\alpha)$ならば、$x(t)=\xi$となる$t$は$[0,t_m)$と$(t_m,\sigma]$にあり、$[0,t_m)$上で$k>0$、$(t_m,\sigma]$上で$k<0$であるから$Y^-_\alpha(\xi)<\Phi(\xi)<Y^+_\alpha(\xi)$である。

主張 (4)を示す。$\alpha_0>0$、$z_0=(0,\alpha_0)$、$\sigma_0=\sigma(\alpha_0)$、$\beta_0=\beta(\alpha_0)$とし、$\alpha>0$について$z_\alpha=(0,\alpha)$とおく。$e=(0,1)$とし、$\Sigma_0=\{(0,-\beta_0)+se:\lvert s\rvert\le\beta_0/2\}$とおくと、$(0,y)\in\Sigma_0$について$y<0$、$F(0,y)=(y,0)$、$\det(e,F(0,y))=-y\ne0$であるから、$\Sigma_0$は横断線分である。§E13.18 補題 1.4を$z_0$、$t_0=\sigma_0$、$\Sigma_0$に適用して$V,\eta,\tau$を得る。$0<\eta'<\min\{\eta,\sigma_0/2\}$について$V$を$\tau^{-1}((\sigma_0-\eta',\sigma_0+\eta'))$に縮めると§E13.18 補題 1.4 (1)は$\eta'$について成り立つから、$\eta<\sigma_0/2$としてよい。§E13.18 補題 1.4 (1)により、$z\in V$、$t\in(\sigma_0-\eta,\sigma_0+\eta)$について、$\varphi_t(z)$の第一座標が$0$であることは、$t=\tau(z)$であるための必要十分条件である。$\{(t,z)\in D:(\varphi_t(z))_2-\Phi((\varphi_t(z))_1)>0\}$は$(0,z_0)$を含む開集合であるから、$\eta_1\in(0,\sigma_0-\eta)$と$z_0$の開近傍$V_1$を、$[0,\eta_1]\times V_1$がこの集合に含まれるようにとることができる。$z\in V_1$について$x(t)=x(0)+\int_0^tx'(s)\,ds$であるから、$z=z_\alpha\in V_1$ならば$0<t\le\eta_1$で$x(t)>0$である。$m=\min\{x(t):t\in[\eta_1,\sigma_0-\eta]\}$（$z=z_0$）とおくと$m>0$である。$\R^2\times[\eta_1,\sigma_0-\eta]$の開集合$\{(z,t):(t,z)\in D,\ \lVert\varphi_t(z)-\varphi_t(z_0)\rVert<m\}$は$\{z_0\}\times[\eta_1,\sigma_0-\eta]$を含むから、§E2.19 補題 5.1により$z_0$の開近傍$V_2$で$z\in V_2$、$t\in[\eta_1,\sigma_0-\eta]$ならば$\lVert\varphi_t(z)-\varphi_t(z_0)\rVert<m$を満たすものが存在する。$z_\alpha\in V\cap V_1\cap V_2$ならば、$\varphi_t(z_\alpha)$の第一座標は$0<t\le\sigma_0-\eta$で正であり、$(\sigma_0-\eta,\sigma_0+\eta)$では$t=\tau(z_\alpha)$でだけ$0$になる。したがって$\sigma(\alpha)=\tau(z_\alpha)$であり、$\beta(\alpha)$は$\varphi_{\tau(z_\alpha)}(z_\alpha)$の第二座標の$-1$倍である。$\alpha\mapsto z_\alpha$と$\tau$と$\varphi$は連続であるから、$\sigma$と$\beta$は$\alpha_0$で連続である。▨

証明.$i=1,2$について$z_i=(0,\alpha_i)$、$\sigma_i=\sigma(\alpha_i)$、$\beta_i=\beta(\alpha_i)$、$w_i=(0,-\beta_i)$、$A_i=A(\alpha_i)$とおく。補題 1.2 (2)により$A_i\cap\{x=0\}=\{z_i,w_i\}$であり、$-\beta_i<\eta<\alpha_i$ならば$X_{\alpha_i}(\eta)>0$、$X_{\alpha_i}(-\beta_i)=X_{\alpha_i}(\alpha_i)=0$である。

$A_1\cap A_2=\varnothing$である。実際、$\varphi_{t_1}(z_1)=\varphi_{t_2}(z_2)$、$t_i\in[0,\sigma_i]$とし、$t_1\le t_2$とすると、§E13.15 定理 1.3により$z_1=\varphi_{t_2-t_1}(z_2)$、$0\le t_2-t_1\le\sigma_2$である。$z_1$の第一座標は$0$であるから$t_2-t_1\in\{0,\sigma_2\}$であり、$t_2-t_1=0$ならば$z_1=z_2$、$t_2-t_1=\sigma_2$ならば$z_1=w_2$となって、いずれも$\alpha_1\ne\alpha_2$、$\alpha_1>0>-\beta_2$に反する。$t_1>t_2$の場合も$z_2=\varphi_{t_1-t_2}(z_1)$から同様である。

$I=[\max\{-\beta_1,-\beta_2\},\alpha_1]$とおき、$\eta\in I$について$d(\eta)=X_{\alpha_2}(\eta)-X_{\alpha_1}(\eta)$とおく。$I$は$X_{\alpha_1}$と$X_{\alpha_2}$の定義域に含まれ、$d$は$I$上で連続である。$d(\eta)=0$ならば$(X_{\alpha_1}(\eta),\eta)\in A_1\cap A_2$であるから、$d$は$I$上で零にならない。$\alpha_1\in(-\beta_2,\alpha_2)$であるから$d(\alpha_1)=X_{\alpha_2}(\alpha_1)>0$であり、§E2.43 系 2.3により$I$上で$d>0$である。

$\beta_1>\beta_2$と仮定すると、$-\beta_2\in(-\beta_1,\alpha_1)$であるから$-\beta_2\in I$であり、$d(-\beta_2)=-X_{\alpha_1}(-\beta_2)<0$となって$I$上で$d>0$であることに反する。$\beta_1=\beta_2$ならば$w_1=w_2\in A_1\cap A_2$となって$A_1\cap A_2=\varnothing$に反する。したがって$\beta_1<\beta_2$であり、$I=[-\beta_1,\alpha_1]$である。ゆえに$\eta\in[-\beta_1,\alpha_1]$ならば$X_{\alpha_1}(\eta)<X_{\alpha_2}(\eta)$である。$x_{\max}(\alpha_1)=X_{\alpha_1}(\eta_1)$を満たす$\eta_1\in[-\beta_1,\alpha_1]$をとると、$x_{\max}(\alpha_1)<X_{\alpha_2}(\eta_1)\le x_{\max}(\alpha_2)$である。

$0\le\xi<x_{\max}(\alpha_2)$について

である。実際、$\varphi_t(z_2)=(x(t),y(t))$と書き、$t_m$を補題 1.2 (3)のとおりとし、$x(t^+)=\xi$を満たす$t^+\in[0,t_m]$と$x(t^-)=\xi$を満たす$t^-\in[t_m,\sigma_2]$をとる。$x$は$[0,t_m]$上で狭義単調増加、$[t_m,\sigma_2]$上で狭義単調減少であるから、$t\in[0,\sigma_2]$について$x(t)>\xi$であることは、$t\in(t^+,t^-)$であるための必要十分条件である。$y$は$[0,\sigma_2]$から$[-\beta_2,\alpha_2]$への狭義単調減少な全単射で、$X_{\alpha_2}(y(t))=x(t)$であるから、左辺は$y((t^+,t^-))=(y(t^-),y(t^+))=(Y^-_{\alpha_2}(\xi),Y^+_{\alpha_2}(\xi))$に等しい。

$\xi\in[0,x_{\max}(\alpha_1)]$とすると、$\xi<x_{\max}(\alpha_2)$である。$\eta^\pm=Y^\pm_{\alpha_1}(\xi)$は$[-\beta_1,\alpha_1]$に属し、$X_{\alpha_1}(\eta^\pm)=\xi$を満たすから、$X_{\alpha_2}(\eta^\pm)>X_{\alpha_1}(\eta^\pm)=\xi$である。$X_{\alpha_2}(\eta)>\xi$を満たす$\eta$の集合の表示により、$\eta^\pm\in(Y^-_{\alpha_2}(\xi),Y^+_{\alpha_2}(\xi))$である。したがって、$Y^-_{\alpha_2}(\xi)<Y^-_{\alpha_1}(\xi)$かつ$Y^+_{\alpha_1}(\xi)<Y^+_{\alpha_2}(\xi)$である。▨

証明.主張 (1)を示す。§D1.19 定理 1.1により$G'=g$であり、§E4.3 定理 1.1により$\tfrac{d}{dt}E(\varphi_t(z))=y\,y'+g(x)\,x'=-g(x)y+g(x)(y-\Phi(x))=k(x)$である。$\delta$の連続性は補題 1.2 (4)による。$\alpha\in M$とし、$z=(0,\alpha)$、$\sigma=\sigma(\alpha)$、$t_m$を補題 1.2 (3)のとおりとする。$x_{\max}(\alpha)>a$であるから、$x(t_a)=a$を満たす$t_a\in(0,t_m)$と$x(t_b)=a$を満たす$t_b\in(t_m,\sigma)$がただ一つずつ存在する。§D1.19 定理 2.1により

である。$[0,t_a]$上で$y(t)=Y^+_\alpha(x(t))$であり、$x'(t)=Y^+_\alpha(x(t))-\Phi(x(t))>0$であるから、$f_1(\xi)=k(\xi)/(Y^+_\alpha(\xi)-\Phi(\xi))$は$[0,a]$上で連続で$k(x(t))=f_1(x(t))x'(t)$である。§E4.18 補題 3.1により第一項は$\int_0^af_1=I_1(\alpha)$である。$[t_b,\sigma]$上で$y(t)=Y^-_\alpha(x(t))$、$x'(t)=Y^-_\alpha(x(t))-\Phi(x(t))<0$であるから、同じ置換により第三項は$\int_a^0k(\xi)/(Y^-_\alpha(\xi)-\Phi(\xi))\,d\xi=I_3(\alpha)$である。$[t_a,t_b]$上で$k(x(t))=\Phi(x(t))y'(t)$、$x(t)=X_\alpha(y(t))$であり、$y(t_a)=Y^+_\alpha(a)$、$y(t_b)=Y^-_\alpha(a)$であるから、§E4.18 補題 3.1により第二項は$\int_{Y^+_\alpha(a)}^{Y^-_\alpha(a)}\Phi(X_\alpha(\eta))\,d\eta=I_2(\alpha)$である。

主張 (2)を示す。補題 1.2 (1)により$0<\xi<a$で$g(\xi)>0$、$\Phi(\xi)<0$であるから$k(\xi)>0$であり、$k(0)=k(a)=0$である。$x_{\max}(\alpha)\le a$ならば、$0\le t\le\sigma(\alpha)$で$0\le x(t)\le a$であるから$k(x(t))\ge0$であり、$0<t<t_m$で$0<x(t)<x_{\max}(\alpha)\le a$であるから$k(x(t))>0$である。$t_m/2$を含む閉区間で、その上で連続関数$k(x(\cdot))$が正の定数以上となるものが存在するから、§D1.17 命題 4.4により$\delta(\alpha)=\int_0^{\sigma(\alpha)}k(x(t))\,dt>0$である。