1 Legendre 族の周期 補題 1.1. λ ∈ C ∖ [ 1 , ∞ ) \lambda\in\C\setminus[1,\infty) λ ∈ C ∖ [ 1 , ∞ ) s ∈ R s\in\R s ∈ R w ∈ C ∖ ( − ∞ , 0 ] w\in\C\setminus(-\infty,0] w ∈ C ∖ ( − ∞ , 0 ] w s = e s Log w w^s=e^{s\operatorname{Log}w} w s = e s Log w
すべてのt ∈ [ 0 , 1 ] t\in[0,1] t ∈ [ 0 , 1 ] 1 − λ t ∈ C ∖ ( − ∞ , 0 ] 1-\lambda t\in\C\setminus(-\infty,0] 1 − λ t ∈ C ∖ ( − ∞ , 0 ] x > 1 x>1 x > 1 x − λ ∈ C ∖ ( − ∞ , 0 ] x-\lambda\in\C\setminus(-\infty,0] x − λ ∈ C ∖ ( − ∞ , 0 ]
( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) t ↦ t − 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( 1 − λ t ) s t\mapsto t^{-1/2}(1-t)^{-1/2}(1-\lambda t)^s t ↦ t − 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( 1 − λ t ) s u ↦ ( 1 − u 2 ) − 1 / 2 ( 1 − λ u 2 ) s u\mapsto(1-u^2)^{-1/2}(1-\lambda u^2)^s u ↦ ( 1 − u 2 ) − 1/2 ( 1 − λ u 2 ) s ∫ 0 1 t − 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( 1 − λ t ) s d t = 2 ∫ 0 1 ( 1 − u 2 ) − 1 / 2 ( 1 − λ u 2 ) s d u \int_0^1t^{-1/2}(1-t)^{-1/2}(1-\lambda t)^s\,dt=2\int_0^1(1-u^2)^{-1/2}(1-\lambda u^2)^s\,du ∫ 0 1 t − 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( 1 − λ t ) s d t = 2 ∫ 0 1 ( 1 − u 2 ) − 1/2 ( 1 − λ u 2 ) s d u ( 1 , ∞ ) (1,\infty) ( 1 , ∞ ) x ↦ x − 1 / 2 ( x − 1 ) − 1 / 2 ( x − λ ) − 1 / 2 x\mapsto x^{-1/2}(x-1)^{-1/2}(x-\lambda)^{-1/2} x ↦ x − 1/2 ( x − 1 ) − 1/2 ( x − λ ) − 1/2 ∫ 1 ∞ x − 1 / 2 ( x − 1 ) − 1 / 2 ( x − λ ) − 1 / 2 d x = ∫ 0 1 t − 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( 1 − λ t ) − 1 / 2 d t \int_1^\infty x^{-1/2}(x-1)^{-1/2}(x-\lambda)^{-1/2}\,dx=\int_0^1t^{-1/2}(1-t)^{-1/2}(1-\lambda t)^{-1/2}\,dt ∫ 1 ∞ x − 1/2 ( x − 1 ) − 1/2 ( x − λ ) − 1/2 d x = ∫ 0 1 t − 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( 1 − λ t ) − 1/2 d t 証明. 主張 (1) を示す。t ∈ [ 0 , 1 ] t\in[0,1] t ∈ [ 0 , 1 ] r ≥ 0 r\ge0 r ≥ 0 1 − λ t = − r 1-\lambda t=-r 1 − λ t = − r t ≠ 0 t\ne0 t = 0 λ = ( 1 + r ) / t ≥ 1 \lambda=(1+r)/t\ge1 λ = ( 1 + r ) / t ≥ 1 λ ∉ [ 1 , ∞ ) \lambda\notin[1,\infty) λ ∈ / [ 1 , ∞ ) x > 1 x>1 x > 1 r ≥ 0 r\ge0 r ≥ 0 x − λ = − r x-\lambda=-r x − λ = − r λ = x + r > 1 \lambda=x+r>1 λ = x + r > 1
主張 (2) を示す。g ( t ) = t − 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( 1 − λ t ) s g(t)=t^{-1/2}(1-t)^{-1/2}(1-\lambda t)^s g ( t ) = t − 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( 1 − λ t ) s ( a , b , c ) = ( − s , 1 2 , 1 ) (a,b,c)=(-s,\frac12,1) ( a , b , c ) = ( − s , 2 1 , 1 ) c > b > 0 c>b>0 c > b > 0 t b − 1 ( 1 − t ) c − b − 1 ( 1 − λ t ) − a = g ( t ) t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-\lambda t)^{-a}=g(t) t b − 1 ( 1 − t ) c − b − 1 ( 1 − λ t ) − a = g ( t ) §E13.39 定理 3.3 によりg g g Ψ ( u ) = u 2 \Psi(u)=u^2 Ψ ( u ) = u 2 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) C 1 C^1 C 1 ∣ Ψ ′ ( u ) ∣ = 2 u \lvert\Psi'(u)\rvert=2u ∣ Ψ ′ ( u )∣ = 2 u u ∈ ( 0 , 1 ) u\in(0,1) u ∈ ( 0 , 1 ) ( u 2 ) − 1 / 2 = u − 1 (u^2)^{-1/2}=u^{-1} ( u 2 ) − 1/2 = u − 1 g ( Ψ ( u ) ) ⋅ 2 u = 2 ( 1 − u 2 ) − 1 / 2 ( 1 − λ u 2 ) s g(\Psi(u))\cdot2u=2(1-u^2)^{-1/2}(1-\lambda u^2)^s g ( Ψ ( u )) ⋅ 2 u = 2 ( 1 − u 2 ) − 1/2 ( 1 − λ u 2 ) s §E10.44 定理 2.1 (4) をn = 1 n=1 n = 1
主張 (3) を示す。f ( x ) = x − 1 / 2 ( x − 1 ) − 1 / 2 ( x − λ ) − 1 / 2 f(x)=x^{-1/2}(x-1)^{-1/2}(x-\lambda)^{-1/2} f ( x ) = x − 1/2 ( x − 1 ) − 1/2 ( x − λ ) − 1/2 主張 (1) により( 1 , ∞ ) (1,\infty) ( 1 , ∞ ) Ψ ( t ) = 1 / t \Psi(t)=1/t Ψ ( t ) = 1/ t ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ( 1 , ∞ ) (1,\infty) ( 1 , ∞ ) C 1 C^1 C 1 ∣ Ψ ′ ( t ) ∣ = t − 2 \lvert\Psi'(t)\rvert=t^{-2} ∣ Ψ ′ ( t )∣ = t − 2 w ∈ C ∖ ( − ∞ , 0 ] w\in\C\setminus(-\infty,0] w ∈ C ∖ ( − ∞ , 0 ] t > 0 t>0 t > 0 ∣ w / t ∣ = ∣ w ∣ / t \lvert w/t\rvert=\lvert w\rvert/t ∣ w / t ∣ = ∣ w ∣ / t Arg ( w / t ) = Arg w \operatorname{Arg}(w/t)=\operatorname{Arg}w Arg ( w / t ) = Arg w Log ( w / t ) = Log w − ln t \operatorname{Log}(w/t)=\operatorname{Log}w-\ln t Log ( w / t ) = Log w − ln t ( w / t ) − 1 / 2 = t 1 / 2 w − 1 / 2 (w/t)^{-1/2}=t^{1/2}w^{-1/2} ( w / t ) − 1/2 = t 1/2 w − 1/2 t ∈ ( 0 , 1 ) t\in(0,1) t ∈ ( 0 , 1 )
f ( 1 / t ) t − 2 = t 1 / 2 ⋅ t 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ⋅ t 1 / 2 ( 1 − λ t ) − 1 / 2 ⋅ t − 2 = t − 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( 1 − λ t ) − 1 / 2 f(1/t)\,t^{-2}=t^{1/2}\cdot t^{1/2}(1-t)^{-1/2}\cdot t^{1/2}(1-\lambda t)^{-1/2}\cdot t^{-2}=t^{-1/2}(1-t)^{-1/2}(1-\lambda t)^{-1/2} f ( 1/ t ) t − 2 = t 1/2 ⋅ t 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ⋅ t 1/2 ( 1 − λ t ) − 1/2 ⋅ t − 2 = t − 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( 1 − λ t ) − 1/2 である。右辺は主張 (2) により可積分であるから、§E10.44 定理 2.1 (4) をn = 1 n=1 n = 1 ▨
定義 1.2. W 1 = C ∖ [ 1 , ∞ ) W_1=\C\setminus[1,\infty) W 1 = C ∖ [ 1 , ∞ ) W 0 = C ∖ ( − ∞ , 0 ] W_0=\C\setminus(-\infty,0] W 0 = C ∖ ( − ∞ , 0 ] Ω = W 0 ∩ W 1 = C ∖ ( ( − ∞ , 0 ] ∪ [ 1 , ∞ ) ) \Omega=W_0\cap W_1=\C\setminus\bigl((-\infty,0]\cup[1,\infty)\bigr) Ω = W 0 ∩ W 1 = C ∖ ( ( − ∞ , 0 ] ∪ [ 1 , ∞ ) ) w ∈ W 0 w\in W_0 w ∈ W 0 s ∈ R s\in\R s ∈ R w s = e s Log w w^s=e^{s\operatorname{Log}w} w s = e s Log w w = w 1 / 2 \sqrt w=w^{1/2} w = w 1/2 λ ∈ C ∖ { 0 , 1 } \lambda\in\C\setminus\{0,1\} λ ∈ C ∖ { 0 , 1 } y 2 = x ( x − 1 ) ( x − λ ) y^2=x(x-1)(x-\lambda) y 2 = x ( x − 1 ) ( x − λ ) Legendre 族 (Legendre family )λ ∈ W 1 \lambda\in W_1 λ ∈ W 1 補題 1.1 (3) により可積分な関数の Lebesgue 積分として
ω 1 ( λ ) = ∫ 1 ∞ d x x x − 1 x − λ \omega_1(\lambda)=\int_1^\infty\frac{dx}{\sqrt x\,\sqrt{x-1}\,\sqrt{x-\lambda}} ω 1 ( λ ) = ∫ 1 ∞ x x − 1 x − λ d x と定め、λ ∈ W 0 \lambda\in W_0 λ ∈ W 0 1 − λ ∈ W 1 1-\lambda\in W_1 1 − λ ∈ W 1 ω 2 ( λ ) = i ω 1 ( 1 − λ ) \omega_2(\lambda)=i\,\omega_1(1-\lambda) ω 2 ( λ ) = i ω 1 ( 1 − λ ) x > 1 x>1 x > 1 y = x x − 1 x − λ y=\sqrt x\sqrt{x-1}\sqrt{x-\lambda} y = x x − 1 x − λ y 2 = x ( x − 1 ) ( x − λ ) y^2=x(x-1)(x-\lambda) y 2 = x ( x − 1 ) ( x − λ ) ( x , y ) (x,y) ( x , y ) λ \lambda λ ω 1 \omega_1 ω 1 y y y ω 1 , ω 2 \omega_1,\omega_2 ω 1 , ω 2 Legendre 族の周期 (periods of the Legendre family )
C ∖ { 0 , 1 } \C\setminus\{0,1\} C ∖ { 0 , 1 }
λ ( 1 − λ ) ω ′ ′ + ( 1 − 2 λ ) ω ′ − 1 4 ω = 0 \lambda(1-\lambda)\omega''+(1-2\lambda)\omega'-\frac14\omega=0 λ ( 1 − λ ) ω ′′ + ( 1 − 2 λ ) ω ′ − 4 1 ω = 0 を Legendre 族のPicard–Fuchs 方程式 (Picard–Fuchs equation )§E13.39 定義 2.1 の超幾何方程式のa = b = 1 2 a=b=\frac12 a = b = 2 1 c = 1 c=1 c = 1 λ ( 1 − λ ) \lambda(1-\lambda) λ ( 1 − λ ) H ω H\omega H ω H = H 1 / 2 , 1 / 2 , 1 H=H_{1/2,1/2,1} H = H 1/2 , 1/2 , 1
命題 1.3. λ ∈ W 0 \lambda\in W_0 λ ∈ W 0 x < 0 x<0 x < 0 λ − x ∈ W 0 \lambda-x\in W_0 λ − x ∈ W 0 x < 0 x<0 x < 0 y = − i − x 1 − x λ − x y=-i\sqrt{-x}\,\sqrt{1-x}\,\sqrt{\lambda-x} y = − i − x 1 − x λ − x y 2 = x ( x − 1 ) ( x − λ ) y^2=x(x-1)(x-\lambda) y 2 = x ( x − 1 ) ( x − λ ) ( − ∞ , 0 ) (-\infty,0) ( − ∞ , 0 ) x ↦ 1 / y x\mapsto1/y x ↦ 1/ y
ω 2 ( λ ) = ∫ − ∞ 0 d x y = i ∫ − ∞ 0 d x − x 1 − x λ − x \omega_2(\lambda)=\int_{-\infty}^0\frac{dx}{y}=i\int_{-\infty}^0\frac{dx}{\sqrt{-x}\,\sqrt{1-x}\,\sqrt{\lambda-x}} ω 2 ( λ ) = ∫ − ∞ 0 y d x = i ∫ − ∞ 0 − x 1 − x λ − x d x が成り立つ。
証明. x < 0 x<0 x < 0 r ≥ 0 r\ge0 r ≥ 0 λ − x = − r \lambda-x=-r λ − x = − r λ = x − r < 0 \lambda=x-r<0 λ = x − r < 0 λ ∈ W 0 \lambda\in W_0 λ ∈ W 0 λ − x ∈ W 0 \lambda-x\in W_0 λ − x ∈ W 0 w ∈ W 0 w\in W_0 w ∈ W 0 ( w ) 2 = e Log w = w (\sqrt w)^2=e^{\operatorname{Log}w}=w ( w ) 2 = e Log w = w x < 0 x<0 x < 0 y 2 = ( − i ) 2 ( − x ) ( 1 − x ) ( λ − x ) = x ( x − 1 ) ( x − λ ) y^2=(-i)^2(-x)(1-x)(\lambda-x)=x(x-1)(x-\lambda) y 2 = ( − i ) 2 ( − x ) ( 1 − x ) ( λ − x ) = x ( x − 1 ) ( x − λ ) 1 / y = i ( − x ) − 1 / 2 ( 1 − x ) − 1 / 2 ( λ − x ) − 1 / 2 1/y=i\,(-x)^{-1/2}(1-x)^{-1/2}(\lambda-x)^{-1/2} 1/ y = i ( − x ) − 1/2 ( 1 − x ) − 1/2 ( λ − x ) − 1/2 μ = 1 − λ \mu=1-\lambda μ = 1 − λ μ ∈ W 1 \mu\in W_1 μ ∈ W 1 補題 1.1 (3) により( 1 , ∞ ) (1,\infty) ( 1 , ∞ ) f ( u ) = u − 1 / 2 ( u − 1 ) − 1 / 2 ( u − μ ) − 1 / 2 f(u)=u^{-1/2}(u-1)^{-1/2}(u-\mu)^{-1/2} f ( u ) = u − 1/2 ( u − 1 ) − 1/2 ( u − μ ) − 1/2 ω 1 ( μ ) \omega_1(\mu) ω 1 ( μ ) Ψ ( x ) = 1 − x \Psi(x)=1-x Ψ ( x ) = 1 − x ( − ∞ , 0 ) (-\infty,0) ( − ∞ , 0 ) ( 1 , ∞ ) (1,\infty) ( 1 , ∞ ) C 1 C^1 C 1 ∣ Ψ ′ ( x ) ∣ = 1 \lvert\Psi'(x)\rvert=1 ∣ Ψ ′ ( x )∣ = 1 x < 0 x<0 x < 0 Ψ ( x ) − 1 = − x \Psi(x)-1=-x Ψ ( x ) − 1 = − x Ψ ( x ) − μ = λ − x \Psi(x)-\mu=\lambda-x Ψ ( x ) − μ = λ − x f ( Ψ ( x ) ) = ( 1 − x ) − 1 / 2 ( − x ) − 1 / 2 ( λ − x ) − 1 / 2 = − i / y f(\Psi(x))=(1-x)^{-1/2}(-x)^{-1/2}(\lambda-x)^{-1/2}=-i/y f ( Ψ ( x )) = ( 1 − x ) − 1/2 ( − x ) − 1/2 ( λ − x ) − 1/2 = − i / y §E10.44 定理 2.1 (4) をn = 1 n=1 n = 1 x ↦ − i / y x\mapsto-i/y x ↦ − i / y ( − ∞ , 0 ) (-\infty,0) ( − ∞ , 0 ) ω 1 ( μ ) \omega_1(\mu) ω 1 ( μ ) ω 2 ( λ ) = i ω 1 ( μ ) \omega_2(\lambda)=i\,\omega_1(\mu) ω 2 ( λ ) = i ω 1 ( μ ) ▨
命題 1.4. s ∈ R s\in\R s ∈ R λ ∈ W 1 \lambda\in W_1 λ ∈ W 1 補題 1.1 (2) により可積分な関数の積分として
Φ s ( λ ) = ∫ 0 1 t − 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( 1 − λ t ) s d t \Phi_s(\lambda)=\int_0^1t^{-1/2}(1-t)^{-1/2}(1-\lambda t)^s\,dt Φ s ( λ ) = ∫ 0 1 t − 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( 1 − λ t ) s d t とおき、η 1 = Φ 1 / 2 \eta_1=\Phi_{1/2} η 1 = Φ 1/2
Φ s \Phi_s Φ s W 1 W_1 W 1 λ ∈ W 1 \lambda\in W_1 λ ∈ W 1 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) t ↦ t 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( 1 − λ t ) s − 1 t\mapsto t^{1/2}(1-t)^{-1/2}(1-\lambda t)^{s-1} t ↦ t 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( 1 − λ t ) s − 1 Φ s ′ ( λ ) = − s ∫ 0 1 t 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( 1 − λ t ) s − 1 d t , λ Φ s ′ ( λ ) = s ( Φ s ( λ ) − Φ s − 1 ( λ ) ) \Phi_s'(\lambda)=-s\int_0^1t^{1/2}(1-t)^{-1/2}(1-\lambda t)^{s-1}\,dt,\qquad \lambda\Phi_s'(\lambda)=s\bigl(\Phi_s(\lambda)-\Phi_{s-1}(\lambda)\bigr) Φ s ′ ( λ ) = − s ∫ 0 1 t 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( 1 − λ t ) s − 1 d t , λ Φ s ′ ( λ ) = s ( Φ s ( λ ) − Φ s − 1 ( λ ) ) Φ s ( 0 ) = π \Phi_s(0)=\pi Φ s ( 0 ) = π λ ∈ W 1 \lambda\in W_1 λ ∈ W 1 Φ s ( λ ‾ ) = Φ s ( λ ) ‾ \Phi_s(\overline\lambda)=\overline{\Phi_s(\lambda)} Φ s ( λ ) = Φ s ( λ ) λ ∈ ( − ∞ , 1 ) \lambda\in(-\infty,1) λ ∈ ( − ∞ , 1 ) Φ s ( λ ) > 0 \Phi_s(\lambda)>0 Φ s ( λ ) > 0 W 1 W_1 W 1 ω 1 = Φ − 1 / 2 \omega_1=\Phi_{-1/2} ω 1 = Φ − 1/2 ω 1 \omega_1 ω 1 W 1 W_1 W 1 ω 1 ( 0 ) = π \omega_1(0)=\pi ω 1 ( 0 ) = π λ ∈ W 1 \lambda\in W_1 λ ∈ W 1 ω 1 ( λ ‾ ) = ω 1 ( λ ) ‾ \omega_1(\overline\lambda)=\overline{\omega_1(\lambda)} ω 1 ( λ ) = ω 1 ( λ ) λ ∈ ( − ∞ , 1 ) \lambda\in(-\infty,1) λ ∈ ( − ∞ , 1 ) ω 1 ( λ ) > 0 \omega_1(\lambda)>0 ω 1 ( λ ) > 0 ω 2 \omega_2 ω 2 W 0 W_0 W 0 証明. t ∈ ( 0 , 1 ) t\in(0,1) t ∈ ( 0 , 1 ) λ ∈ W 1 \lambda\in W_1 λ ∈ W 1 f ( t , λ ) = t − 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 e s Log ( 1 − λ t ) f(t,\lambda)=t^{-1/2}(1-t)^{-1/2}e^{s\operatorname{Log}(1-\lambda t)} f ( t , λ ) = t − 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 e s Log ( 1 − λ t )
主張 (1) を示す。補題 1.1 (1) と§E5.3 命題 2.10 により、各t ∈ ( 0 , 1 ) t\in(0,1) t ∈ ( 0 , 1 ) λ ↦ f ( t , λ ) \lambda\mapsto f(t,\lambda) λ ↦ f ( t , λ ) W 1 W_1 W 1 w ∈ W 0 w\in W_0 w ∈ W 0 e s Log w / w = e ( s − 1 ) Log w e^{s\operatorname{Log}w}/w=e^{(s-1)\operatorname{Log}w} e s Log w / w = e ( s − 1 ) Log w
∂ λ f ( t , λ ) = − s t 1 − λ t f ( t , λ ) = − s t 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( 1 − λ t ) s − 1 \partial_\lambda f(t,\lambda)=-\frac{st}{1-\lambda t}f(t,\lambda)=-s\,t^{1/2}(1-t)^{-1/2}(1-\lambda t)^{s-1} ∂ λ f ( t , λ ) = − 1 − λ t s t f ( t , λ ) = − s t 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( 1 − λ t ) s − 1 である。各λ \lambda λ t ↦ f ( t , λ ) t\mapsto f(t,\lambda) t ↦ f ( t , λ ) §E10.7 命題 1.3 により可測である。K ⊆ W 1 K\subseteq W_1 K ⊆ W 1 ( t , λ ) ↦ ∣ 1 − λ t ∣ (t,\lambda)\mapsto\lvert1-\lambda t\rvert ( t , λ ) ↦ ∣ 1 − λ t ∣ [ 0 , 1 ] × K [0,1]\times K [ 0 , 1 ] × K m K m_K m K M K M_K M K s s s ∣ e s Log w ∣ = ∣ w ∣ s \lvert e^{s\operatorname{Log}w}\rvert=\lvert w\rvert^s ∣ e s Log w ∣ = ∣ w ∣ s ∣ f ( t , λ ) ∣ ≤ max { m K s , M K s } t − 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 \lvert f(t,\lambda)\rvert\le\max\{m_K^s,M_K^s\}\,t^{-1/2}(1-t)^{-1/2} ∣ f ( t , λ )∣ ≤ max { m K s , M K s } t − 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 §E13.39 補題 3.2 により可積分であるから、§E13.37 補題 3.1 によりΦ s \Phi_s Φ s W 1 W_1 W 1 Φ s ′ ( λ ) = ∫ 0 1 ∂ λ f ( t , λ ) d t \Phi_s'(\lambda)=\int_0^1\partial_\lambda f(t,\lambda)\,dt Φ s ′ ( λ ) = ∫ 0 1 ∂ λ f ( t , λ ) d t ( a , b , c ) = ( 1 − s , 3 2 , 2 ) (a,b,c)=(1-s,\frac32,2) ( a , b , c ) = ( 1 − s , 2 3 , 2 ) c > b > 0 c>b>0 c > b > 0 t b − 1 ( 1 − t ) c − b − 1 ( 1 − λ t ) − a = t 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( 1 − λ t ) s − 1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-\lambda t)^{-a}=t^{1/2}(1-t)^{-1/2}(1-\lambda t)^{s-1} t b − 1 ( 1 − t ) c − b − 1 ( 1 − λ t ) − a = t 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( 1 − λ t ) s − 1 §E13.39 定理 3.3 によりt ↦ t 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( 1 − λ t ) s − 1 t\mapsto t^{1/2}(1-t)^{-1/2}(1-\lambda t)^{s-1} t ↦ t 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( 1 − λ t ) s − 1 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) Φ s ′ \Phi_s' Φ s ′ λ t = 1 − ( 1 − λ t ) \lambda t=1-(1-\lambda t) λ t = 1 − ( 1 − λ t )
λ ∂ λ f ( t , λ ) = − s t − 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( ( 1 − λ t ) s − 1 − ( 1 − λ t ) s ) \lambda\,\partial_\lambda f(t,\lambda)=-s\,t^{-1/2}(1-t)^{-1/2}\bigl((1-\lambda t)^{s-1}-(1-\lambda t)^s\bigr) λ ∂ λ f ( t , λ ) = − s t − 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( ( 1 − λ t ) s − 1 − ( 1 − λ t ) s ) であり、両辺を積分するとλ Φ s ′ ( λ ) = − s ( Φ s − 1 ( λ ) − Φ s ( λ ) ) \lambda\Phi_s'(\lambda)=-s(\Phi_{s-1}(\lambda)-\Phi_s(\lambda)) λ Φ s ′ ( λ ) = − s ( Φ s − 1 ( λ ) − Φ s ( λ ))
主張 (2) を示す。( a , b , c ) = ( − s , 1 2 , 1 ) (a,b,c)=(-s,\frac12,1) ( a , b , c ) = ( − s , 2 1 , 1 ) c > b > 0 c>b>0 c > b > 0 §E4.15 命題 5.1 と§E4.15 命題 3.1 のΓ ( 1 ) = 0 ! = 1 \Gamma(1)=0!=1 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 1 ) / Γ ( 1 2 ) 2 = 1 / π \Gamma(1)/\Gamma(\frac12)^2=1/\pi Γ ( 1 ) /Γ ( 2 1 ) 2 = 1/ π §E13.39 定理 3.3 によりD ( 0 , 1 ) D(0,1) D ( 0 , 1 ) Φ s = π F ( − s , 1 2 ; 1 ; ⋅ ) \Phi_s=\pi F(-s,\frac12;1;\cdot) Φ s = π F ( − s , 2 1 ; 1 ; ⋅ ) Φ s ( 0 ) = π \Phi_s(0)=\pi Φ s ( 0 ) = π w ∈ W 0 w\in W_0 w ∈ W 0 w ‾ ∈ W 0 \overline w\in W_0 w ∈ W 0 Arg w ‾ = − Arg w \operatorname{Arg}\overline w=-\operatorname{Arg}w Arg w = − Arg w Log w ‾ = Log w ‾ \overline{\operatorname{Log}w}=\operatorname{Log}\overline w Log w = Log w s s s f ( t , λ ) ‾ = f ( t , λ ‾ ) \overline{f(t,\lambda)}=f(t,\overline\lambda) f ( t , λ ) = f ( t , λ ) Φ s ( λ ) ‾ = Φ s ( λ ‾ ) \overline{\Phi_s(\lambda)}=\Phi_s(\overline\lambda) Φ s ( λ ) = Φ s ( λ ) λ ∈ ( − ∞ , 1 ) \lambda\in(-\infty,1) λ ∈ ( − ∞ , 1 ) t ∈ ( 0 , 1 ) t\in(0,1) t ∈ ( 0 , 1 ) 1 − λ t > 0 1-\lambda t>0 1 − λ t > 0 f ( t , λ ) > 0 f(t,\lambda)>0 f ( t , λ ) > 0 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) §E10.10 命題 3.4 によりΦ s ( λ ) > 0 \Phi_s(\lambda)>0 Φ s ( λ ) > 0
主張 (3) を示す。補題 1.1 (3) によりW 1 W_1 W 1 ω 1 = Φ − 1 / 2 \omega_1=\Phi_{-1/2} ω 1 = Φ − 1/2 ω 1 \omega_1 ω 1 主張 (1) と主張 (2) から従う。λ ↦ 1 − λ \lambda\mapsto1-\lambda λ ↦ 1 − λ W 0 W_0 W 0 W 1 W_1 W 1 ω 2 = i ω 1 ( 1 − ⋅ ) \omega_2=i\,\omega_1(1-\cdot) ω 2 = i ω 1 ( 1 − ⋅ ) W 0 W_0 W 0 ▨
2 Picard–Fuchs 方程式と超幾何関数による表示 補題 2.1. Φ s \Phi_s Φ s η 1 \eta_1 η 1 命題 1.4 のとおりとする。このとき、すべてのλ ∈ W 1 \lambda\in W_1 λ ∈ W 1
( 1 − λ ) Φ − 3 / 2 ( λ ) = η 1 ( λ ) (1-\lambda)\Phi_{-3/2}(\lambda)=\eta_1(\lambda) ( 1 − λ ) Φ − 3/2 ( λ ) = η 1 ( λ ) 2 λ ( 1 − λ ) ω 1 ′ ( λ ) = η 1 ( λ ) − ( 1 − λ ) ω 1 ( λ ) 2\lambda(1-\lambda)\omega_1'(\lambda)=\eta_1(\lambda)-(1-\lambda)\omega_1(\lambda) 2 λ ( 1 − λ ) ω 1 ′ ( λ ) = η 1 ( λ ) − ( 1 − λ ) ω 1 ( λ ) 2 λ η 1 ′ ( λ ) = η 1 ( λ ) − ω 1 ( λ ) 2\lambda\eta_1'(\lambda)=\eta_1(\lambda)-\omega_1(\lambda) 2 λ η 1 ′ ( λ ) = η 1 ( λ ) − ω 1 ( λ ) 証明. s ∈ R s\in\R s ∈ R t ∈ ( 0 , 1 ) t\in(0,1) t ∈ ( 0 , 1 ) g s ( t ) = t − 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( 1 − λ t ) s g_s(t)=t^{-1/2}(1-t)^{-1/2}(1-\lambda t)^s g s ( t ) = t − 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( 1 − λ t ) s
主張 (1) を示す。λ = 0 \lambda=0 λ = 0 命題 1.4 (2) により両辺はπ \pi π λ ≠ 0 \lambda\ne0 λ = 0 t ∈ [ 0 , 1 ] t\in[0,1] t ∈ [ 0 , 1 ] j ( t ) = t 1 / 2 ( 1 − t ) 1 / 2 ( 1 − λ t ) − 1 / 2 j(t)=t^{1/2}(1-t)^{1/2}(1-\lambda t)^{-1/2} j ( t ) = t 1/2 ( 1 − t ) 1/2 ( 1 − λ t ) − 1/2 j j j [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] j ( 0 ) = j ( 1 ) = 0 j(0)=j(1)=0 j ( 0 ) = j ( 1 ) = 0 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) j = t ( 1 − t ) g − 1 / 2 j=t(1-t)g_{-1/2} j = t ( 1 − t ) g − 1/2 §E5.3 命題 2.10 によりt ↦ Log ( 1 − λ t ) t\mapsto\operatorname{Log}(1-\lambda t) t ↦ Log ( 1 − λ t ) − λ / ( 1 − λ t ) -\lambda/(1-\lambda t) − λ / ( 1 − λ t ) j j j ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 )
j ′ ( t ) = j ( t ) ( 1 2 t − 1 2 ( 1 − t ) + λ 2 ( 1 − λ t ) ) = g − 1 / 2 ( t ) 1 − 2 t + λ t 2 2 ( 1 − λ t ) j'(t)=j(t)\Bigl(\frac1{2t}-\frac1{2(1-t)}+\frac{\lambda}{2(1-\lambda t)}\Bigr)=g_{-1/2}(t)\,\frac{1-2t+\lambda t^2}{2(1-\lambda t)} j ′ ( t ) = j ( t ) ( 2 t 1 − 2 ( 1 − t ) 1 + 2 ( 1 − λ t ) λ ) = g − 1/2 ( t ) 2 ( 1 − λ t ) 1 − 2 t + λ t 2 である。v = 1 − λ t v=1-\lambda t v = 1 − λ t λ ( 1 − 2 t + λ t 2 ) = λ − 2 ( 1 − v ) + ( 1 − v ) 2 = λ − 1 + v 2 \lambda(1-2t+\lambda t^2)=\lambda-2(1-v)+(1-v)^2=\lambda-1+v^2 λ ( 1 − 2 t + λ t 2 ) = λ − 2 ( 1 − v ) + ( 1 − v ) 2 = λ − 1 + v 2
j ′ ( t ) = 1 2 λ ( ( λ − 1 ) g − 3 / 2 ( t ) + g 1 / 2 ( t ) ) j'(t)=\frac1{2\lambda}\bigl((\lambda-1)g_{-3/2}(t)+g_{1/2}(t)\bigr) j ′ ( t ) = 2 λ 1 ( ( λ − 1 ) g − 3/2 ( t ) + g 1/2 ( t ) ) であり、補題 1.1 (2) によりj ′ j' j ′ ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) n ≥ 3 n\ge3 n ≥ 3 a n = 1 / n a_n=1/n a n = 1/ n b n = 1 − 1 / n b_n=1-1/n b n = 1 − 1/ n j ′ j' j ′ [ a n , b n ] [a_n,b_n] [ a n , b n ] §D1.17 定理 2.5 、§E10.17 命題 5.1 と§D1.19 定理 2.1 をj j j ∫ [ a n , b n ] j ′ ( t ) d t = j ( b n ) − j ( a n ) \int_{[a_n,b_n]}j'(t)\,dt=j(b_n)-j(a_n) ∫ [ a n , b n ] j ′ ( t ) d t = j ( b n ) − j ( a n ) n → ∞ n\to\infty n → ∞ j ′ 1 [ a n , b n ] j'\mathbf 1_{[a_n,b_n]} j ′ 1 [ a n , b n ] ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) j ′ j' j ′ ∣ j ′ ∣ \lvert j'\rvert ∣ j ′ ∣ §E10.11 定理 3.1 とj j j ∫ 0 1 j ′ ( t ) d t = j ( 1 ) − j ( 0 ) = 0 \int_0^1j'(t)\,dt=j(1)-j(0)=0 ∫ 0 1 j ′ ( t ) d t = j ( 1 ) − j ( 0 ) = 0 ( λ − 1 ) Φ − 3 / 2 ( λ ) + Φ 1 / 2 ( λ ) = 0 (\lambda-1)\Phi_{-3/2}(\lambda)+\Phi_{1/2}(\lambda)=0 ( λ − 1 ) Φ − 3/2 ( λ ) + Φ 1/2 ( λ ) = 0
主張 (2) を示す。命題 1.4 (1) をs = − 1 2 s=-\frac12 s = − 2 1 命題 1.4 (3) とあわせると、2 λ ω 1 ′ ( λ ) = Φ − 3 / 2 ( λ ) − ω 1 ( λ ) 2\lambda\omega_1'(\lambda)=\Phi_{-3/2}(\lambda)-\omega_1(\lambda) 2 λ ω 1 ′ ( λ ) = Φ − 3/2 ( λ ) − ω 1 ( λ ) 1 − λ 1-\lambda 1 − λ 主張 (1) を用いると主張を得る。
主張 (3) を示す。命題 1.4 (1) をs = 1 2 s=\frac12 s = 2 1 命題 1.4 (3) とあわせると、2 λ η 1 ′ ( λ ) = η 1 ( λ ) − ω 1 ( λ ) 2\lambda\eta_1'(\lambda)=\eta_1(\lambda)-\omega_1(\lambda) 2 λ η 1 ′ ( λ ) = η 1 ( λ ) − ω 1 ( λ ) ▨
系 2.2. η 1 \eta_1 η 1 命題 1.4 のとおりとし、λ ∈ W 1 \lambda\in W_1 λ ∈ W 1 Y ( λ ) = ( ω 1 ( λ ) , η 1 ( λ ) ) T Y(\lambda)=(\omega_1(\lambda),\eta_1(\lambda))^{\mathsf T} Y ( λ ) = ( ω 1 ( λ ) , η 1 ( λ ) ) T
A 0 = 1 2 ( − 1 1 − 1 1 ) , A 1 = 1 2 ( 0 − 1 0 0 ) A_0=\frac12\begin{pmatrix}-1&1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad A_1=\frac12\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix} A 0 = 2 1 ( − 1 − 1 1 1 ) , A 1 = 2 1 ( 0 0 − 1 0 ) とする。このときY Y Y W 1 ∖ { 0 } W_1\setminus\{0\} W 1 ∖ { 0 } §E13.38 定義 8.1 の Fuchs 系
Y ′ = ( A 0 λ + A 1 λ − 1 ) Y Y'=\Bigl(\frac{A_0}{\lambda}+\frac{A_1}{\lambda-1}\Bigr)Y Y ′ = ( λ A 0 + λ − 1 A 1 ) Y の解である。
証明. λ ∈ W 1 ∖ { 0 } \lambda\in W_1\setminus\{0\} λ ∈ W 1 ∖ { 0 } 1 ∉ W 1 1\notin W_1 1 ∈ / W 1 λ ( 1 − λ ) ≠ 0 \lambda(1-\lambda)\ne0 λ ( 1 − λ ) = 0 1 λ ( 1 − λ ) = 1 λ − 1 λ − 1 \frac1{\lambda(1-\lambda)}=\frac1\lambda-\frac1{\lambda-1} λ ( 1 − λ ) 1 = λ 1 − λ − 1 1 補題 2.1 (2) の両辺を2 λ ( 1 − λ ) 2\lambda(1-\lambda) 2 λ ( 1 − λ )
ω 1 ′ ( λ ) = − ω 1 ( λ ) 2 λ + η 1 ( λ ) 2 λ − η 1 ( λ ) 2 ( λ − 1 ) \omega_1'(\lambda)=-\frac{\omega_1(\lambda)}{2\lambda}+\frac{\eta_1(\lambda)}{2\lambda}-\frac{\eta_1(\lambda)}{2(\lambda-1)} ω 1 ′ ( λ ) = − 2 λ ω 1 ( λ ) + 2 λ η 1 ( λ ) − 2 ( λ − 1 ) η 1 ( λ ) であり、補題 2.1 (3) の両辺を2 λ 2\lambda 2 λ η 1 ′ ( λ ) = − ω 1 ( λ ) 2 λ + η 1 ( λ ) 2 λ \eta_1'(\lambda)=-\frac{\omega_1(\lambda)}{2\lambda}+\frac{\eta_1(\lambda)}{2\lambda} η 1 ′ ( λ ) = − 2 λ ω 1 ( λ ) + 2 λ η 1 ( λ ) Y ′ ( λ ) = ( A 0 / λ + A 1 / ( λ − 1 ) ) Y ( λ ) Y'(\lambda)=\bigl(A_0/\lambda+A_1/(\lambda-1)\bigr)Y(\lambda) Y ′ ( λ ) = ( A 0 / λ + A 1 / ( λ − 1 ) ) Y ( λ ) ▨
定理 2.3. ω 1 \omega_1 ω 1 W 1 W_1 W 1 ω 2 \omega_2 ω 2 W 0 W_0 W 0
λ ( 1 − λ ) ω ′ ′ + ( 1 − 2 λ ) ω ′ − 1 4 ω = 0 \lambda(1-\lambda)\omega''+(1-2\lambda)\omega'-\frac14\omega=0 λ ( 1 − λ ) ω ′′ + ( 1 − 2 λ ) ω ′ − 4 1 ω = 0 を満たす。とくにω 1 \omega_1 ω 1 W 1 ∖ { 0 } W_1\setminus\{0\} W 1 ∖ { 0 } S H ( W 1 ∖ { 0 } ) \mathcal S_H(W_1\setminus\{0\}) S H ( W 1 ∖ { 0 }) ω 2 \omega_2 ω 2 W 0 ∖ { 1 } W_0\setminus\{1\} W 0 ∖ { 1 } S H ( W 0 ∖ { 1 } ) \mathcal S_H(W_0\setminus\{1\}) S H ( W 0 ∖ { 1 })
証明. λ ∈ W 1 \lambda\in W_1 λ ∈ W 1 P ( λ ) = λ ( 1 − λ ) ω 1 ′ ′ ( λ ) + ( 1 − 2 λ ) ω 1 ′ ( λ ) − 1 4 ω 1 ( λ ) P(\lambda)=\lambda(1-\lambda)\omega_1''(\lambda)+(1-2\lambda)\omega_1'(\lambda)-\frac14\omega_1(\lambda) P ( λ ) = λ ( 1 − λ ) ω 1 ′′ ( λ ) + ( 1 − 2 λ ) ω 1 ′ ( λ ) − 4 1 ω 1 ( λ ) A 0 , A 1 A_0,A_1 A 0 , A 1 系 2.2 のとおりとし、A = A 0 / λ + A 1 / ( λ − 1 ) A=A_0/\lambda+A_1/(\lambda-1) A = A 0 / λ + A 1 / ( λ − 1 ) A A A
A 11 = − 1 2 λ , A 21 = − 1 2 λ , A 22 = 1 2 λ , α = A 12 = 1 2 λ − 1 2 ( λ − 1 ) = 1 2 λ ( 1 − λ ) A_{11}=-\frac1{2\lambda},\qquad A_{21}=-\frac1{2\lambda},\qquad A_{22}=\frac1{2\lambda},\qquad \alpha=A_{12}=\frac1{2\lambda}-\frac1{2(\lambda-1)}=\frac1{2\lambda(1-\lambda)} A 11 = − 2 λ 1 , A 21 = − 2 λ 1 , A 22 = 2 λ 1 , α = A 12 = 2 λ 1 − 2 ( λ − 1 ) 1 = 2 λ ( 1 − λ ) 1 であり、α \alpha α α ′ / α = − 1 − 2 λ λ ( 1 − λ ) \alpha'/\alpha=-\frac{1-2\lambda}{\lambda(1-\lambda)} α ′ / α = − λ ( 1 − λ ) 1 − 2 λ §E13.38 命題 8.4 (2) の係数は
p = 1 − 2 λ λ ( 1 − λ ) , q = − 1 2 λ 2 + 1 − 2 λ 2 λ 2 ( 1 − λ ) + 1 4 λ 2 ( 1 − λ ) − 1 4 λ 2 = − 1 4 λ ( 1 − λ ) p=\frac{1-2\lambda}{\lambda(1-\lambda)},\qquad q=-\frac1{2\lambda^2}+\frac{1-2\lambda}{2\lambda^2(1-\lambda)}+\frac1{4\lambda^2(1-\lambda)}-\frac1{4\lambda^2}=-\frac1{4\lambda(1-\lambda)} p = λ ( 1 − λ ) 1 − 2 λ , q = − 2 λ 2 1 + 2 λ 2 ( 1 − λ ) 1 − 2 λ + 4 λ 2 ( 1 − λ ) 1 − 4 λ 2 1 = − 4 λ ( 1 − λ ) 1 である。系 2.2 により( ω 1 , η 1 ) T (\omega_1,\eta_1)^{\mathsf T} ( ω 1 , η 1 ) T W 1 ∖ { 0 } W_1\setminus\{0\} W 1 ∖ { 0 } §E13.38 命題 8.4 (2) によりW 1 ∖ { 0 } W_1\setminus\{0\} W 1 ∖ { 0 } ω 1 ′ ′ + p ω 1 ′ + q ω 1 = 0 \omega_1''+p\,\omega_1'+q\,\omega_1=0 ω 1 ′′ + p ω 1 ′ + q ω 1 = 0 λ ( 1 − λ ) \lambda(1-\lambda) λ ( 1 − λ ) P = 0 P=0 P = 0 P P P W 1 W_1 W 1 P ( 0 ) = 0 P(0)=0 P ( 0 ) = 0 λ ∈ W 0 \lambda\in W_0 λ ∈ W 0 μ = 1 − λ ∈ W 1 \mu=1-\lambda\in W_1 μ = 1 − λ ∈ W 1 ω 2 ′ ( λ ) = − i ω 1 ′ ( μ ) \omega_2'(\lambda)=-i\,\omega_1'(\mu) ω 2 ′ ( λ ) = − i ω 1 ′ ( μ ) ω 2 ′ ′ ( λ ) = i ω 1 ′ ′ ( μ ) \omega_2''(\lambda)=i\,\omega_1''(\mu) ω 2 ′′ ( λ ) = i ω 1 ′′ ( μ ) λ ( 1 − λ ) = μ ( 1 − μ ) \lambda(1-\lambda)=\mu(1-\mu) λ ( 1 − λ ) = μ ( 1 − μ ) 1 − 2 λ = − ( 1 − 2 μ ) 1-2\lambda=-(1-2\mu) 1 − 2 λ = − ( 1 − 2 μ ) λ ( 1 − λ ) ω 2 ′ ′ ( λ ) + ( 1 − 2 λ ) ω 2 ′ ( λ ) − 1 4 ω 2 ( λ ) = i P ( μ ) = 0 \lambda(1-\lambda)\omega_2''(\lambda)+(1-2\lambda)\omega_2'(\lambda)-\frac14\omega_2(\lambda)=iP(\mu)=0 λ ( 1 − λ ) ω 2 ′′ ( λ ) + ( 1 − 2 λ ) ω 2 ′ ( λ ) − 4 1 ω 2 ( λ ) = i P ( μ ) = 0 W 1 ∖ { 0 } W_1\setminus\{0\} W 1 ∖ { 0 } W 0 ∖ { 1 } W_0\setminus\{1\} W 0 ∖ { 1 } C ∖ { 0 , 1 } \C\setminus\{0,1\} C ∖ { 0 , 1 } λ ( 1 − λ ) ≠ 0 \lambda(1-\lambda)\ne0 λ ( 1 − λ ) = 0 ▨
定理 2.4. F ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; ⋅ ) F(\frac12,\frac12;1;\cdot) F ( 2 1 , 2 1 ; 1 ; ⋅ ) §E13.39 定理 2.4 (1) の超幾何級数の和とする。このとき、次が成り立つ。
すべてのλ ∈ D ( 0 , 1 ) \lambda\in D(0,1) λ ∈ D ( 0 , 1 ) ω 1 ( λ ) = π F ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; λ ) \omega_1(\lambda)=\pi F(\frac12,\frac12;1;\lambda) ω 1 ( λ ) = π F ( 2 1 , 2 1 ; 1 ; λ )
すべてのλ ∈ D ( 1 , 1 ) \lambda\in D(1,1) λ ∈ D ( 1 , 1 ) ω 2 ( λ ) = i π F ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; 1 − λ ) \omega_2(\lambda)=i\pi F(\frac12,\frac12;1;1-\lambda) ω 2 ( λ ) = iπ F ( 2 1 , 2 1 ; 1 ; 1 − λ )
証明. 主張 (1) を示す。D ( 0 , 1 ) ⊆ W 1 D(0,1)\subseteq W_1 D ( 0 , 1 ) ⊆ W 1 命題 1.4 (3) によりω 1 \omega_1 ω 1 D ( 0 , 1 ) D(0,1) D ( 0 , 1 ) 定理 2.3 によりω 1 \omega_1 ω 1 D ( 0 , 1 ) ∖ { 0 } D(0,1)\setminus\{0\} D ( 0 , 1 ) ∖ { 0 } S H ( D ( 0 , 1 ) ∖ { 0 } ) \mathcal S_H(D(0,1)\setminus\{0\}) S H ( D ( 0 , 1 ) ∖ { 0 }) c = 1 ∉ Z ≤ 0 c=1\notin\Z_{\le0} c = 1 ∈ / Z ≤ 0 §E13.39 定理 2.4 (3) をr = 1 r=1 r = 1 D ( 0 , 1 ) D(0,1) D ( 0 , 1 ) ω 1 = ω 1 ( 0 ) F ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; ⋅ ) \omega_1=\omega_1(0)F(\frac12,\frac12;1;\cdot) ω 1 = ω 1 ( 0 ) F ( 2 1 , 2 1 ; 1 ; ⋅ ) 命題 1.4 (2) によりω 1 ( 0 ) = π \omega_1(0)=\pi ω 1 ( 0 ) = π
主張 (2) を示す。λ ∈ D ( 1 , 1 ) \lambda\in D(1,1) λ ∈ D ( 1 , 1 ) 1 − λ ∈ D ( 0 , 1 ) 1-\lambda\in D(0,1) 1 − λ ∈ D ( 0 , 1 ) ω 2 ( λ ) = i ω 1 ( 1 − λ ) \omega_2(\lambda)=i\,\omega_1(1-\lambda) ω 2 ( λ ) = i ω 1 ( 1 − λ ) 主張 (1) を用いると主張を得る。▨
3 完全楕円積分と Legendre の関係式 定義 3.1. 0 < k < 1 0<k<1 0 < k < 1 k ′ = 1 − k 2 k'=\sqrt{1-k^2} k ′ = 1 − k 2 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) u ↦ ( 1 − u 2 ) − 1 / 2 ( 1 − k 2 u 2 ) ∓ 1 / 2 u\mapsto(1-u^2)^{-1/2}(1-k^2u^2)^{\mp1/2} u ↦ ( 1 − u 2 ) − 1/2 ( 1 − k 2 u 2 ) ∓ 1/2 補題 1.1 (2) により可積分である。
K ( k ) = ∫ 0 1 d u 1 − u 2 1 − k 2 u 2 , E ( k ) = ∫ 0 1 1 − k 2 u 2 1 − u 2 d u K(k)=\int_0^1\frac{du}{\sqrt{1-u^2}\,\sqrt{1-k^2u^2}},\qquad E(k)=\int_0^1\frac{\sqrt{1-k^2u^2}}{\sqrt{1-u^2}}\,du K ( k ) = ∫ 0 1 1 − u 2 1 − k 2 u 2 d u , E ( k ) = ∫ 0 1 1 − u 2 1 − k 2 u 2 d u と定める。K K K 第一種完全楕円積分 (complete elliptic integral of the first kind )E E E 第二種完全楕円積分 (complete elliptic integral of the second kind )K ′ ( k ) = K ( k ′ ) K'(k)=K(k') K ′ ( k ) = K ( k ′ ) E ′ ( k ) = E ( k ′ ) E'(k)=E(k') E ′ ( k ) = E ( k ′ ) K ′ K' K ′ E ′ E' E ′
命題 3.2. 0 < λ < 1 0<\lambda<1 0 < λ < 1 k = λ k=\sqrt\lambda k = λ η 1 \eta_1 η 1 命題 1.4 のとおりとする。このとき
ω 1 ( λ ) = 2 K ( k ) , ω 2 ( λ ) = 2 i K ′ ( k ) , η 1 ( λ ) = 2 E ( k ) , η 1 ( 1 − λ ) = 2 E ′ ( k ) \omega_1(\lambda)=2K(k),\qquad\omega_2(\lambda)=2iK'(k),\qquad\eta_1(\lambda)=2E(k),\qquad\eta_1(1-\lambda)=2E'(k) ω 1 ( λ ) = 2 K ( k ) , ω 2 ( λ ) = 2 i K ′ ( k ) , η 1 ( λ ) = 2 E ( k ) , η 1 ( 1 − λ ) = 2 E ′ ( k ) が成り立つ。
証明. μ ∈ ( 0 , 1 ) \mu\in(0,1) μ ∈ ( 0 , 1 ) s = ∓ 1 2 s=\mp\frac12 s = ∓ 2 1 補題 1.1 (2) によりΦ s ( μ ) = 2 ∫ 0 1 ( 1 − u 2 ) − 1 / 2 ( 1 − μ u 2 ) s d u \Phi_s(\mu)=2\int_0^1(1-u^2)^{-1/2}(1-\mu u^2)^s\,du Φ s ( μ ) = 2 ∫ 0 1 ( 1 − u 2 ) − 1/2 ( 1 − μ u 2 ) s d u Φ − 1 / 2 ( μ ) = 2 K ( μ ) \Phi_{-1/2}(\mu)=2K(\sqrt\mu) Φ − 1/2 ( μ ) = 2 K ( μ ) Φ 1 / 2 ( μ ) = 2 E ( μ ) \Phi_{1/2}(\mu)=2E(\sqrt\mu) Φ 1/2 ( μ ) = 2 E ( μ ) μ = λ \mu=\lambda μ = λ 命題 1.4 (3) を用いるとω 1 ( λ ) = 2 K ( k ) \omega_1(\lambda)=2K(k) ω 1 ( λ ) = 2 K ( k ) η 1 ( λ ) = 2 E ( k ) \eta_1(\lambda)=2E(k) η 1 ( λ ) = 2 E ( k ) μ = 1 − λ \mu=1-\lambda μ = 1 − λ 1 − λ = k ′ \sqrt{1-\lambda}=k' 1 − λ = k ′ ω 1 ( 1 − λ ) = 2 K ′ ( k ) \omega_1(1-\lambda)=2K'(k) ω 1 ( 1 − λ ) = 2 K ′ ( k ) η 1 ( 1 − λ ) = 2 E ′ ( k ) \eta_1(1-\lambda)=2E'(k) η 1 ( 1 − λ ) = 2 E ′ ( k ) ω 2 ( λ ) = i ω 1 ( 1 − λ ) = 2 i K ′ ( k ) \omega_2(\lambda)=i\,\omega_1(1-\lambda)=2iK'(k) ω 2 ( λ ) = i ω 1 ( 1 − λ ) = 2 i K ′ ( k ) ▨
定理 3.3. 次が成り立つ。
すべてのλ ∈ Ω \lambda\in\Omega λ ∈ Ω λ ( 1 − λ ) ( ω 1 ( λ ) ω 2 ′ ( λ ) − ω 1 ′ ( λ ) ω 2 ( λ ) ) = − π i \lambda(1-\lambda)\bigl(\omega_1(\lambda)\omega_2'(\lambda)-\omega_1'(\lambda)\omega_2(\lambda)\bigr)=-\pi i λ ( 1 − λ ) ( ω 1 ( λ ) ω 2 ′ ( λ ) − ω 1 ′ ( λ ) ω 2 ( λ ) ) = − π i
すべてのk ∈ ( 0 , 1 ) k\in(0,1) k ∈ ( 0 , 1 ) E ( k ) K ′ ( k ) + E ′ ( k ) K ( k ) − K ( k ) K ′ ( k ) = π 2 E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\dfrac\pi2 E ( k ) K ′ ( k ) + E ′ ( k ) K ( k ) − K ( k ) K ′ ( k ) = 2 π
証明. Ω \Omega Ω λ ∈ Ω \lambda\in\Omega λ ∈ Ω 1 2 \frac12 2 1 λ \lambda λ Ω \Omega Ω λ ∉ R \lambda\notin\R λ ∈ / R 1 2 \frac12 2 1 λ ∈ ( 0 , 1 ) \lambda\in(0,1) λ ∈ ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) Ω \Omega Ω W ( λ ) = ω 1 ( λ ) ω 2 ′ ( λ ) − ω 1 ′ ( λ ) ω 2 ( λ ) W(\lambda)=\omega_1(\lambda)\omega_2'(\lambda)-\omega_1'(\lambda)\omega_2(\lambda) W ( λ ) = ω 1 ( λ ) ω 2 ′ ( λ ) − ω 1 ′ ( λ ) ω 2 ( λ ) 定理 2.3 によりω 1 , ω 2 \omega_1,\omega_2 ω 1 , ω 2 Ω \Omega Ω S H ( Ω ) \mathcal S_H(\Omega) S H ( Ω ) H H H 1 − 2 λ λ ( 1 − λ ) \frac{1-2\lambda}{\lambda(1-\lambda)} λ ( 1 − λ ) 1 − 2 λ §E13.37 定理 9.1 (3) によりΩ \Omega Ω λ ( 1 − λ ) W ′ = − ( 1 − 2 λ ) W \lambda(1-\lambda)W'=-(1-2\lambda)W λ ( 1 − λ ) W ′ = − ( 1 − 2 λ ) W ( λ ( 1 − λ ) W ) ′ = ( 1 − 2 λ ) W + λ ( 1 − λ ) W ′ = 0 (\lambda(1-\lambda)W)'=(1-2\lambda)W+\lambda(1-\lambda)W'=0 ( λ ( 1 − λ ) W ) ′ = ( 1 − 2 λ ) W + λ ( 1 − λ ) W ′ = 0 §E5.4 命題 4.3 により、Ω \Omega Ω λ ( 1 − λ ) W = C \lambda(1-\lambda)W=C λ ( 1 − λ ) W = C C ∈ C C\in\C C ∈ C
0 < λ < 1 0<\lambda<1 0 < λ < 1 k = λ k=\sqrt\lambda k = λ K , E , K ′ , E ′ K,E,K',E' K , E , K ′ , E ′ k k k 補題 2.1 (2) をλ \lambda λ 1 − λ 1-\lambda 1 − λ λ ( 1 − λ ) ω 1 ′ ( λ ) = 1 2 ( η 1 ( λ ) − ( 1 − λ ) ω 1 ( λ ) ) \lambda(1-\lambda)\omega_1'(\lambda)=\frac12\bigl(\eta_1(\lambda)-(1-\lambda)\omega_1(\lambda)\bigr) λ ( 1 − λ ) ω 1 ′ ( λ ) = 2 1 ( η 1 ( λ ) − ( 1 − λ ) ω 1 ( λ ) ) λ ( 1 − λ ) ω 1 ′ ( 1 − λ ) = 1 2 ( η 1 ( 1 − λ ) − λ ω 1 ( 1 − λ ) ) \lambda(1-\lambda)\omega_1'(1-\lambda)=\frac12\bigl(\eta_1(1-\lambda)-\lambda\,\omega_1(1-\lambda)\bigr) λ ( 1 − λ ) ω 1 ′ ( 1 − λ ) = 2 1 ( η 1 ( 1 − λ ) − λ ω 1 ( 1 − λ ) ) ω 2 ′ ( λ ) = − i ω 1 ′ ( 1 − λ ) \omega_2'(\lambda)=-i\,\omega_1'(1-\lambda) ω 2 ′ ( λ ) = − i ω 1 ′ ( 1 − λ ) 命題 3.2 により
C = 2 K ⋅ ( − i ) ( E ′ − λ K ′ ) − ( E − ( 1 − λ ) K ) ⋅ 2 i K ′ = − 2 i ( E K ′ + E ′ K − K K ′ ) C=2K\cdot(-i)(E'-\lambda K')-\bigl(E-(1-\lambda)K\bigr)\cdot2iK'=-2i\bigl(EK'+E'K-KK'\bigr) C = 2 K ⋅ ( − i ) ( E ′ − λ K ′ ) − ( E − ( 1 − λ ) K ) ⋅ 2 i K ′ = − 2 i ( E K ′ + E ′ K − K K ′ ) である。よってE K ′ + E ′ K − K K ′ EK'+E'K-KK' E K ′ + E ′ K − K K ′ k ∈ ( 0 , 1 ) k\in(0,1) k ∈ ( 0 , 1 ) i 2 C \frac i2C 2 i C
命題 1.4 (3) によりω 1 \omega_1 ω 1 0 0 0 ω 1 ( 0 ) = π \omega_1(0)=\pi ω 1 ( 0 ) = π λ → + 0 \lambda\to+0 λ → + 0 K = 1 2 ω 1 ( λ ) → π 2 K=\frac12\omega_1(\lambda)\to\frac\pi2 K = 2 1 ω 1 ( λ ) → 2 π μ ∈ ( 0 , 1 ) \mu\in(0,1) μ ∈ ( 0 , 1 ) t ∈ ( 0 , 1 ) t\in(0,1) t ∈ ( 0 , 1 ) 0 < 1 − μ t ≤ 1 0<1-\mu t\le1 0 < 1 − μ t ≤ 1 η 1 ( μ ) \eta_1(\mu) η 1 ( μ ) t − 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 t^{-1/2}(1-t)^{-1/2} t − 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 μ → 1 − 0 \mu\to1-0 μ → 1 − 0 t − 1 / 2 t^{-1/2} t − 1/2 §E10.11 定理 3.1 、§E13.39 補題 3.2 、§E4.16 定理 2.1 、§E4.15 命題 3.1 によりη 1 ( μ ) → B ( 1 2 , 1 ) = Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 ) / Γ ( 3 2 ) = 2 \eta_1(\mu)\to B(\frac12,1)=\Gamma(\frac12)\Gamma(1)/\Gamma(\frac32)=2 η 1 ( μ ) → B ( 2 1 , 1 ) = Γ ( 2 1 ) Γ ( 1 ) /Γ ( 2 3 ) = 2 E ′ = 1 2 η 1 ( 1 − λ ) → 1 E'=\frac12\eta_1(1-\lambda)\to1 E ′ = 2 1 η 1 ( 1 − λ ) → 1 補題 2.1 (3) によりE − K = 1 2 ( η 1 ( λ ) − ω 1 ( λ ) ) = λ η 1 ′ ( λ ) E-K=\frac12(\eta_1(\lambda)-\omega_1(\lambda))=\lambda\eta_1'(\lambda) E − K = 2 1 ( η 1 ( λ ) − ω 1 ( λ )) = λ η 1 ′ ( λ ) η 1 ′ \eta_1' η 1 ′ 0 0 0 0 < λ ≤ λ 1 0<\lambda\le\lambda_1 0 < λ ≤ λ 1 ∣ η 1 ′ ( λ ) ∣ ≤ N \lvert\eta_1'(\lambda)\rvert\le N ∣ η 1 ′ ( λ )∣ ≤ N λ 1 ∈ ( 0 , 1 ) \lambda_1\in(0,1) λ 1 ∈ ( 0 , 1 ) N ≥ 0 N\ge0 N ≥ 0 μ , t ∈ ( 0 , 1 ) \mu,t\in(0,1) μ , t ∈ ( 0 , 1 ) 1 − μ t ≥ 1 − μ 1-\mu t\ge1-\mu 1 − μ t ≥ 1 − μ 1 − μ t ≥ 1 − t 1-\mu t\ge1-t 1 − μ t ≥ 1 − t 1 − μ t ≥ ( 1 − μ ) 1 / 2 ( 1 − t ) 1 / 2 1-\mu t\ge(1-\mu)^{1/2}(1-t)^{1/2} 1 − μ t ≥ ( 1 − μ ) 1/2 ( 1 − t ) 1/2
ω 1 ( μ ) ≤ ( 1 − μ ) − 1 / 4 ∫ 0 1 t − 1 / 2 ( 1 − t ) − 3 / 4 d t = ( 1 − μ ) − 1 / 4 B ( 1 2 , 1 4 ) \omega_1(\mu)\le(1-\mu)^{-1/4}\int_0^1t^{-1/2}(1-t)^{-3/4}\,dt=(1-\mu)^{-1/4}B\Bigl(\frac12,\frac14\Bigr) ω 1 ( μ ) ≤ ( 1 − μ ) − 1/4 ∫ 0 1 t − 1/2 ( 1 − t ) − 3/4 d t = ( 1 − μ ) − 1/4 B ( 2 1 , 4 1 ) である（§E13.39 補題 3.2 ）。μ = 1 − λ \mu=1-\lambda μ = 1 − λ K ′ = 1 2 ω 1 ( 1 − λ ) ≤ 1 2 λ − 1 / 4 B ( 1 2 , 1 4 ) K'=\frac12\omega_1(1-\lambda)\le\frac12\lambda^{-1/4}B(\frac12,\frac14) K ′ = 2 1 ω 1 ( 1 − λ ) ≤ 2 1 λ − 1/4 B ( 2 1 , 4 1 ) 0 < λ ≤ λ 1 0<\lambda\le\lambda_1 0 < λ ≤ λ 1 ∣ ( E − K ) K ′ ∣ ≤ N 2 B ( 1 2 , 1 4 ) λ 3 / 4 \lvert(E-K)K'\rvert\le\frac N2B(\frac12,\frac14)\lambda^{3/4} ∣( E − K ) K ′ ∣ ≤ 2 N B ( 2 1 , 4 1 ) λ 3/4 λ → + 0 \lambda\to+0 λ → + 0 ( E − K ) K ′ → 0 (E-K)K'\to0 ( E − K ) K ′ → 0 E K ′ + E ′ K − K K ′ = ( E − K ) K ′ + E ′ K → π 2 EK'+E'K-KK'=(E-K)K'+E'K\to\frac\pi2 E K ′ + E ′ K − K K ′ = ( E − K ) K ′ + E ′ K → 2 π 主張 (2) が成り立つ。よってC = − 2 i ⋅ π 2 = − π i C=-2i\cdot\frac\pi2=-\pi i C = − 2 i ⋅ 2 π = − π i 主張 (1) が成り立つ。▨
4 モノドロミーと周期の比 定理 4.1. λ 0 ∈ ( 0 , 1 ) \lambda_0\in(0,1) λ 0 ∈ ( 0 , 1 ) γ 0 ( t ) = λ 0 e 2 π i t \gamma_0(t)=\lambda_0e^{2\pi it} γ 0 ( t ) = λ 0 e 2 π i t γ 1 ( t ) = 1 − ( 1 − λ 0 ) e 2 π i t \gamma_1(t)=1-(1-\lambda_0)e^{2\pi it} γ 1 ( t ) = 1 − ( 1 − λ 0 ) e 2 π i t 0 ≤ t ≤ 1 0\le t\le1 0 ≤ t ≤ 1 A = ( 1 2 0 1 ) A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} A = ( 1 0 2 1 ) B = ( 1 0 − 2 1 ) B=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix} B = ( 1 − 2 0 1 ) Γ ( 2 ) \Gamma(2) Γ ( 2 ) 1 1 1 M M M M − I M-I M − I
[ ω 1 ] λ 0 , [ ω 2 ] λ 0 [\omega_1]_{\lambda_0},[\omega_2]_{\lambda_0} [ ω 1 ] λ 0 , [ ω 2 ] λ 0 S H , λ 0 \mathcal S_{H,\lambda_0} S H , λ 0 この基底に関するT γ 0 H T^H_{\gamma_0} T γ 0 H A A A
この基底に関するT γ 1 H T^H_{\gamma_1} T γ 1 H B B B
Γ ( 2 ) \Gamma(2) Γ ( 2 ) M H , λ 0 M_{H,\lambda_0} M H , λ 0 A A A B B B GL 2 ( C ) \GL_2(\C) GL 2 ( C ) Γ ( 2 ) \Gamma(2) Γ ( 2 ) 証明. 主張 (1) を示す。定理 3.3 (1) によりω 1 ω 2 ′ − ω 1 ′ ω 2 \omega_1\omega_2'-\omega_1'\omega_2 ω 1 ω 2 ′ − ω 1 ′ ω 2 λ 0 \lambda_0 λ 0 − π i / ( λ 0 ( 1 − λ 0 ) ) ≠ 0 -\pi i/(\lambda_0(1-\lambda_0))\ne0 − π i / ( λ 0 ( 1 − λ 0 )) = 0 §E13.37 命題 4.1 (3) をΩ \Omega Ω
主張 (2) を示す。D ∘ = D ( 0 , 1 ) ∖ ( − 1 , 0 ] D^\circ=D(0,1)\setminus(-1,0] D ∘ = D ( 0 , 1 ) ∖ ( − 1 , 0 ] §E13.39 例 4.4 (2) を( a , b ) = ( 1 2 , 1 2 ) (a,b)=(\frac12,\frac12) ( a , b ) = ( 2 1 , 2 1 ) z 0 = λ 0 z_0=\lambda_0 z 0 = λ 0 0 0 0 0 , 0 0,0 0 , 0 §E13.38 定理 4.3 (3) のN = 0 N=0 N = 0 0 0 0 r = 1 r=1 r = 1 D ( 0 , 1 ) D(0,1) D ( 0 , 1 ) φ 1 , φ 2 \varphi_1,\varphi_2 φ 1 , φ 2 φ 1 ( 0 ) = 1 \varphi_1(0)=1 φ 1 ( 0 ) = 1 φ 2 ( 0 ) = 0 \varphi_2(0)=0 φ 2 ( 0 ) = 0 y 1 = φ 1 y_1=\varphi_1 y 1 = φ 1 y 2 ( λ ) = y 1 ( λ ) Log λ + φ 2 ( λ ) y_2(\lambda)=y_1(\lambda)\operatorname{Log}\lambda+\varphi_2(\lambda) y 2 ( λ ) = y 1 ( λ ) Log λ + φ 2 ( λ ) D ∘ D^\circ D ∘ S H ( D ∘ ) \mathcal S_H(D^\circ) S H ( D ∘ ) [ y 1 ] λ 0 , [ y 2 ] λ 0 [y_1]_{\lambda_0},[y_2]_{\lambda_0} [ y 1 ] λ 0 , [ y 2 ] λ 0 S H , λ 0 \mathcal S_{H,\lambda_0} S H , λ 0 T γ 0 H [ y 1 ] λ 0 = [ y 1 ] λ 0 T^H_{\gamma_0}[y_1]_{\lambda_0}=[y_1]_{\lambda_0} T γ 0 H [ y 1 ] λ 0 = [ y 1 ] λ 0 T γ 0 H [ y 2 ] λ 0 = [ y 2 ] λ 0 + 2 π i [ y 1 ] λ 0 T^H_{\gamma_0}[y_2]_{\lambda_0}=[y_2]_{\lambda_0}+2\pi i[y_1]_{\lambda_0} T γ 0 H [ y 2 ] λ 0 = [ y 2 ] λ 0 + 2 π i [ y 1 ] λ 0
λ ( 1 − λ ) φ 1 ′ ′ + ( 1 − 2 λ ) φ 1 ′ − 1 4 φ 1 \lambda(1-\lambda)\varphi_1''+(1-2\lambda)\varphi_1'-\frac14\varphi_1 λ ( 1 − λ ) φ 1 ′′ + ( 1 − 2 λ ) φ 1 ′ − 4 1 φ 1 D ( 0 , 1 ) D(0,1) D ( 0 , 1 ) D ∘ D^\circ D ∘ D ( 0 , 1 ) D(0,1) D ( 0 , 1 ) §E13.39 定理 2.4 (3) と定理 2.4 (1) によりD ( 0 , 1 ) D(0,1) D ( 0 , 1 ) π φ 1 = ω 1 \pi\varphi_1=\omega_1 π φ 1 = ω 1 D ∘ D^\circ D ∘ 1 2 \frac12 2 1 D ∘ ⊆ Ω D^\circ\subseteq\Omega D ∘ ⊆ Ω 定理 2.3 によりω 2 \omega_2 ω 2 D ∘ D^\circ D ∘ S H ( D ∘ ) \mathcal S_H(D^\circ) S H ( D ∘ ) [ ω 2 ] λ 0 = α [ y 1 ] λ 0 + β [ y 2 ] λ 0 [\omega_2]_{\lambda_0}=\alpha[y_1]_{\lambda_0}+\beta[y_2]_{\lambda_0} [ ω 2 ] λ 0 = α [ y 1 ] λ 0 + β [ y 2 ] λ 0 α , β ∈ C \alpha,\beta\in\C α , β ∈ C §E5.8 定理 3.1 によりD ∘ D^\circ D ∘ ω 2 = α y 1 + β y 2 \omega_2=\alpha y_1+\beta y_2 ω 2 = α y 1 + β y 2 D ∘ D^\circ D ∘ ω 1 ω 2 ′ − ω 1 ′ ω 2 = π β ( y 1 y 2 ′ − y 1 ′ y 2 ) \omega_1\omega_2'-\omega_1'\omega_2=\pi\beta(y_1y_2'-y_1'y_2) ω 1 ω 2 ′ − ω 1 ′ ω 2 = π β ( y 1 y 2 ′ − y 1 ′ y 2 ) s ∈ ( 0 , 1 ) s\in(0,1) s ∈ ( 0 , 1 ) y 2 ′ ( s ) = y 1 ′ ( s ) ln s + y 1 ( s ) / s + φ 2 ′ ( s ) y_2'(s)=y_1'(s)\ln s+y_1(s)/s+\varphi_2'(s) y 2 ′ ( s ) = y 1 ′ ( s ) ln s + y 1 ( s ) / s + φ 2 ′ ( s )
s ( y 1 y 2 ′ − y 1 ′ y 2 ) ( s ) = y 1 ( s ) 2 + s ( y 1 ( s ) φ 2 ′ ( s ) − y 1 ′ ( s ) φ 2 ( s ) ) s\bigl(y_1y_2'-y_1'y_2\bigr)(s)=y_1(s)^2+s\bigl(y_1(s)\varphi_2'(s)-y_1'(s)\varphi_2(s)\bigr) s ( y 1 y 2 ′ − y 1 ′ y 2 ) ( s ) = y 1 ( s ) 2 + s ( y 1 ( s ) φ 2 ′ ( s ) − y 1 ′ ( s ) φ 2 ( s ) ) であり、s → + 0 s\to+0 s → + 0 y 1 ( 0 ) 2 = 1 y_1(0)^2=1 y 1 ( 0 ) 2 = 1 定理 3.3 (1) によりs ( ω 1 ω 2 ′ − ω 1 ′ ω 2 ) ( s ) = − π i / ( 1 − s ) → − π i s(\omega_1\omega_2'-\omega_1'\omega_2)(s)=-\pi i/(1-s)\to-\pi i s ( ω 1 ω 2 ′ − ω 1 ′ ω 2 ) ( s ) = − π i / ( 1 − s ) → − π i π β = − π i \pi\beta=-\pi i π β = − π i β = − i \beta=-i β = − i
T γ 0 H [ ω 1 ] λ 0 = π [ y 1 ] λ 0 = [ ω 1 ] λ 0 , T γ 0 H [ ω 2 ] λ 0 = [ ω 2 ] λ 0 + 2 π i β [ y 1 ] λ 0 = [ ω 2 ] λ 0 + 2 [ ω 1 ] λ 0 T^H_{\gamma_0}[\omega_1]_{\lambda_0}=\pi[y_1]_{\lambda_0}=[\omega_1]_{\lambda_0},\qquad T^H_{\gamma_0}[\omega_2]_{\lambda_0}=[\omega_2]_{\lambda_0}+2\pi i\beta[y_1]_{\lambda_0}=[\omega_2]_{\lambda_0}+2[\omega_1]_{\lambda_0} T γ 0 H [ ω 1 ] λ 0 = π [ y 1 ] λ 0 = [ ω 1 ] λ 0 , T γ 0 H [ ω 2 ] λ 0 = [ ω 2 ] λ 0 + 2 π i β [ y 1 ] λ 0 = [ ω 2 ] λ 0 + 2 [ ω 1 ] λ 0 であり、行列はA A A ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 )
主張 (3) を示す。ι ( λ ) = 1 − λ \iota(\lambda)=1-\lambda ι ( λ ) = 1 − λ ( a , b , c ) = ( 1 2 , 1 2 , 1 ) (a,b,c)=(\frac12,\frac12,1) ( a , b , c ) = ( 2 1 , 2 1 , 1 ) a + b + 1 = 2 c a+b+1=2c a + b + 1 = 2 c §E13.39 補題 2.5 (4) により§E13.39 補題 2.5 のH ~ \tilde H H ~ H H H w ∈ C ∖ { 0 , 1 } w\in\C\setminus\{0,1\} w ∈ C ∖ { 0 , 1 } R w R_w R w §E13.39 補題 2.5 (2) のS H , w \mathcal S_{H,w} S H , w S H , 1 − w \mathcal S_{H,1-w} S H , 1 − w w w w V ⊆ C ∖ { 0 , 1 } V\subseteq\C\setminus\{0,1\} V ⊆ C ∖ { 0 , 1 } y ∈ S H ( V ) y\in\mathcal S_H(V) y ∈ S H ( V ) R w [ y ] w = [ y ∘ ι ] 1 − w R_w[y]_w=[y\circ\iota]_{1-w} R w [ y ] w = [ y ∘ ι ] 1 − w
主張 4.1.1. γ : [ 0 , 1 ] → C ∖ { 0 , 1 } \gamma:[0,1]\to\C\setminus\{0,1\} γ : [ 0 , 1 ] → C ∖ { 0 , 1 } R γ ( 1 ) ∘ T γ H = T ι ∘ γ H ∘ R γ ( 0 ) R_{\gamma(1)}\circ T^H_\gamma=T^H_{\iota\circ\gamma}\circ R_{\gamma(0)} R γ ( 1 ) ∘ T γ H = T ι ∘ γ H ∘ R γ ( 0 )
証明. ( a , b , c ) = ( 1 2 , 1 2 , 1 ) (a,b,c)=(\frac12,\frac12,1) ( a , b , c ) = ( 2 1 , 2 1 , 1 ) §E13.39 補題 2.5 (4) によりH ~ = H \tilde H=H H ~ = H §E13.39 補題 2.5 (3) を( a , b , c ) = ( 1 2 , 1 2 , 1 ) (a,b,c)=(\frac12,\frac12,1) ( a , b , c ) = ( 2 1 , 2 1 , 1 ) ▨
ι ∘ γ 1 ( t ) = ( 1 − λ 0 ) e 2 π i t \iota\circ\gamma_1(t)=(1-\lambda_0)e^{2\pi it} ι ∘ γ 1 ( t ) = ( 1 − λ 0 ) e 2 π i t 1 − λ 0 ∈ ( 0 , 1 ) 1-\lambda_0\in(0,1) 1 − λ 0 ∈ ( 0 , 1 ) 主張 (2) を基点1 − λ 0 1-\lambda_0 1 − λ 0 T ι ∘ γ 1 H [ ω 1 ] 1 − λ 0 = [ ω 1 ] 1 − λ 0 T^H_{\iota\circ\gamma_1}[\omega_1]_{1-\lambda_0}=[\omega_1]_{1-\lambda_0} T ι ∘ γ 1 H [ ω 1 ] 1 − λ 0 = [ ω 1 ] 1 − λ 0 T ι ∘ γ 1 H [ ω 2 ] 1 − λ 0 = [ ω 2 ] 1 − λ 0 + 2 [ ω 1 ] 1 − λ 0 T^H_{\iota\circ\gamma_1}[\omega_2]_{1-\lambda_0}=[\omega_2]_{1-\lambda_0}+2[\omega_1]_{1-\lambda_0} T ι ∘ γ 1 H [ ω 2 ] 1 − λ 0 = [ ω 2 ] 1 − λ 0 + 2 [ ω 1 ] 1 − λ 0 Ω \Omega Ω ω 1 ∘ ι = − i ω 2 \omega_1\circ\iota=-i\,\omega_2 ω 1 ∘ ι = − i ω 2 ω 2 ∘ ι = i ω 1 \omega_2\circ\iota=i\,\omega_1 ω 2 ∘ ι = i ω 1 R λ 0 [ ω 1 ] λ 0 = − i [ ω 2 ] 1 − λ 0 R_{\lambda_0}[\omega_1]_{\lambda_0}=-i[\omega_2]_{1-\lambda_0} R λ 0 [ ω 1 ] λ 0 = − i [ ω 2 ] 1 − λ 0 R λ 0 [ ω 2 ] λ 0 = i [ ω 1 ] 1 − λ 0 R_{\lambda_0}[\omega_2]_{\lambda_0}=i[\omega_1]_{1-\lambda_0} R λ 0 [ ω 2 ] λ 0 = i [ ω 1 ] 1 − λ 0 主張 4.1.1 により
R λ 0 T γ 1 H [ ω 1 ] λ 0 = − i [ ω 2 ] 1 − λ 0 − 2 i [ ω 1 ] 1 − λ 0 = R λ 0 ( [ ω 1 ] λ 0 − 2 [ ω 2 ] λ 0 ) , R λ 0 T γ 1 H [ ω 2 ] λ 0 = i [ ω 1 ] 1 − λ 0 = R λ 0 [ ω 2 ] λ 0 R_{\lambda_0}T^H_{\gamma_1}[\omega_1]_{\lambda_0}=-i[\omega_2]_{1-\lambda_0}-2i[\omega_1]_{1-\lambda_0}=R_{\lambda_0}\bigl([\omega_1]_{\lambda_0}-2[\omega_2]_{\lambda_0}\bigr),\qquad R_{\lambda_0}T^H_{\gamma_1}[\omega_2]_{\lambda_0}=i[\omega_1]_{1-\lambda_0}=R_{\lambda_0}[\omega_2]_{\lambda_0} R λ 0 T γ 1 H [ ω 1 ] λ 0 = − i [ ω 2 ] 1 − λ 0 − 2 i [ ω 1 ] 1 − λ 0 = R λ 0 ( [ ω 1 ] λ 0 − 2 [ ω 2 ] λ 0 ) , R λ 0 T γ 1 H [ ω 2 ] λ 0 = i [ ω 1 ] 1 − λ 0 = R λ 0 [ ω 2 ] λ 0 であり、R λ 0 R_{\lambda_0} R λ 0 T γ 1 H [ ω 1 ] λ 0 = [ ω 1 ] λ 0 − 2 [ ω 2 ] λ 0 T^H_{\gamma_1}[\omega_1]_{\lambda_0}=[\omega_1]_{\lambda_0}-2[\omega_2]_{\lambda_0} T γ 1 H [ ω 1 ] λ 0 = [ ω 1 ] λ 0 − 2 [ ω 2 ] λ 0 T γ 1 H [ ω 2 ] λ 0 = [ ω 2 ] λ 0 T^H_{\gamma_1}[\omega_2]_{\lambda_0}=[\omega_2]_{\lambda_0} T γ 1 H [ ω 2 ] λ 0 = [ ω 2 ] λ 0 B B B
主張 (4) を示す。Γ ( 2 ) \Gamma(2) Γ ( 2 ) I + 2 X I+2X I + 2 X I + 2 Y I+2Y I + 2 Y X , Y X,Y X , Y ( I + 2 X ) ( I + 2 Y ) = I + 2 ( X + Y + 2 X Y ) (I+2X)(I+2Y)=I+2(X+Y+2XY) ( I + 2 X ) ( I + 2 Y ) = I + 2 ( X + Y + 2 X Y ) M = ( a b c d ) ∈ Γ ( 2 ) M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\Gamma(2) M = ( a c b d ) ∈ Γ ( 2 ) ( d − b − c a ) \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} ( d − c − b a ) Γ ( 2 ) \Gamma(2) Γ ( 2 ) Γ ( 2 ) \Gamma(2) Γ ( 2 ) γ 0 , γ 1 \gamma_0,\gamma_1 γ 0 , γ 1 §E13.39 補題 4.2 の閉曲線でz 0 = λ 0 z_0=\lambda_0 z 0 = λ 0 M H , λ 0 M_{H,\lambda_0} M H , λ 0 T γ 0 H , T γ 1 H T^H_{\gamma_0},T^H_{\gamma_1} T γ 0 H , T γ 1 H [ ω 1 ] λ 0 , [ ω 2 ] λ 0 [\omega_1]_{\lambda_0},[\omega_2]_{\lambda_0} [ ω 1 ] λ 0 , [ ω 2 ] λ 0 GL ( S H , λ 0 ) \GL(\mathcal S_{H,\lambda_0}) GL ( S H , λ 0 ) GL 2 ( C ) \GL_2(\C) GL 2 ( C ) M H , λ 0 M_{H,\lambda_0} M H , λ 0 A A A B B B A , B ∈ Γ ( 2 ) A,B\in\Gamma(2) A , B ∈ Γ ( 2 ) Γ ( 2 ) \Gamma(2) Γ ( 2 ) ▨
定理 4.3. H = { τ ∈ C : ℑ τ > 0 } \mathbb H=\{\tau\in\C:\Im\tau>0\} H = { τ ∈ C : ℑ τ > 0 } λ ∈ Ω \lambda\in\Omega λ ∈ Ω ω 1 ( λ ) ≠ 0 \omega_1(\lambda)\ne0 ω 1 ( λ ) = 0 ℑ ( ω 1 ( λ ) ‾ ω 2 ( λ ) ) > 0 \Im\bigl(\overline{\omega_1(\lambda)}\,\omega_2(\lambda)\bigr)>0 ℑ ( ω 1 ( λ ) ω 2 ( λ ) ) > 0 τ ( λ ) = ω 2 ( λ ) / ω 1 ( λ ) \tau(\lambda)=\omega_2(\lambda)/\omega_1(\lambda) τ ( λ ) = ω 2 ( λ ) / ω 1 ( λ ) Ω \Omega Ω H \mathbb H H 0 < λ < 1 0<\lambda<1 0 < λ < 1 τ ( λ ) = i K ′ ( λ ) / K ( λ ) \tau(\lambda)=iK'(\sqrt\lambda)/K(\sqrt\lambda) τ ( λ ) = i K ′ ( λ ) / K ( λ )
証明.
主張 4.3.1. μ ∈ C \mu\in\C μ ∈ C ℑ μ > 0 \Im\mu>0 ℑ μ > 0 θ = − Arg ( 1 − μ ) \theta=-\operatorname{Arg}(1-\mu) θ = − Arg ( 1 − μ ) 0 < θ < π 0<\theta<\pi 0 < θ < π r > 0 r>0 r > 0 0 < ψ < θ / 2 0<\psi<\theta/2 0 < ψ < θ /2 ψ \psi ψ ω 1 ( μ ) = r e i ψ \omega_1(\mu)=re^{i\psi} ω 1 ( μ ) = r e i ψ
証明. ℑ ( 1 − μ ) < 0 \Im(1-\mu)<0 ℑ ( 1 − μ ) < 0 0 < θ < π 0<\theta<\pi 0 < θ < π e i θ ( 1 − μ ) = ∣ 1 − μ ∣ e^{i\theta}(1-\mu)=\lvert1-\mu\rvert e i θ ( 1 − μ ) = ∣ 1 − μ ∣ t ∈ ( 0 , 1 ) t\in(0,1) t ∈ ( 0 , 1 ) ℑ ( 1 − μ t ) = − t ℑ μ < 0 \Im(1-\mu t)=-t\Im\mu<0 ℑ ( 1 − μ t ) = − t ℑ μ < 0 e i θ ( 1 − μ t ) = ( 1 − t ) e i θ + t ∣ 1 − μ ∣ e^{i\theta}(1-\mu t)=(1-t)e^{i\theta}+t\lvert1-\mu\rvert e i θ ( 1 − μ t ) = ( 1 − t ) e i θ + t ∣ 1 − μ ∣ ℑ ( e i θ ( 1 − μ t ) ) = ( 1 − t ) sin θ > 0 \Im\bigl(e^{i\theta}(1-\mu t)\bigr)=(1-t)\sin\theta>0 ℑ ( e i θ ( 1 − μ t ) ) = ( 1 − t ) sin θ > 0 φ = Arg ( 1 − μ t ) \varphi=\operatorname{Arg}(1-\mu t) φ = Arg ( 1 − μ t ) − π < φ < 0 -\pi<\varphi<0 − π < φ < 0 φ + θ ∈ ( θ − π , θ ) ⊆ ( − π , π ) \varphi+\theta\in(\theta-\pi,\theta)\subseteq(-\pi,\pi) φ + θ ∈ ( θ − π , θ ) ⊆ ( − π , π ) sin ( φ + θ ) > 0 \sin(\varphi+\theta)>0 sin ( φ + θ ) > 0 φ + θ > 0 \varphi+\theta>0 φ + θ > 0 g ( t ) = t − 1 / 2 ( 1 − t ) − 1 / 2 ( 1 − μ t ) − 1 / 2 = ∣ g ( t ) ∣ e − i φ / 2 g(t)=t^{-1/2}(1-t)^{-1/2}(1-\mu t)^{-1/2}=\lvert g(t)\rvert e^{-i\varphi/2} g ( t ) = t − 1/2 ( 1 − t ) − 1/2 ( 1 − μ t ) − 1/2 = ∣ g ( t )∣ e − i φ /2 − φ / 2 -\varphi/2 − φ /2 ( 0 , θ / 2 ) (0,\theta/2) ( 0 , θ /2 ) ℑ g ( t ) > 0 \Im g(t)>0 ℑ g ( t ) > 0 ℑ ( e − i θ / 2 g ( t ) ) < 0 \Im\bigl(e^{-i\theta/2}g(t)\bigr)<0 ℑ ( e − i θ /2 g ( t ) ) < 0 命題 1.4 (3) によりω 1 ( μ ) = ∫ 0 1 g ( t ) d t \omega_1(\mu)=\int_0^1g(t)\,dt ω 1 ( μ ) = ∫ 0 1 g ( t ) d t ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) §E10.10 命題 3.4 によりℑ ω 1 ( μ ) > 0 \Im\omega_1(\mu)>0 ℑ ω 1 ( μ ) > 0 ℑ ( e − i θ / 2 ω 1 ( μ ) ) < 0 \Im\bigl(e^{-i\theta/2}\omega_1(\mu)\bigr)<0 ℑ ( e − i θ /2 ω 1 ( μ ) ) < 0 ω 1 ( μ ) = r e i ψ \omega_1(\mu)=re^{i\psi} ω 1 ( μ ) = r e i ψ r > 0 r>0 r > 0 ψ = Arg ω 1 ( μ ) \psi=\operatorname{Arg}\omega_1(\mu) ψ = Arg ω 1 ( μ ) 0 < ψ < π 0<\psi<\pi 0 < ψ < π ψ − θ / 2 ∈ ( − π , π ) \psi-\theta/2\in(-\pi,\pi) ψ − θ /2 ∈ ( − π , π ) sin ( ψ − θ / 2 ) < 0 \sin(\psi-\theta/2)<0 sin ( ψ − θ /2 ) < 0 ψ < θ / 2 \psi<\theta/2 ψ < θ /2 ▨
λ ∈ Ω \lambda\in\Omega λ ∈ Ω Q ( λ ) = ω 1 ( λ ) ‾ ω 2 ( λ ) = i ω 1 ( λ ) ‾ ω 1 ( 1 − λ ) Q(\lambda)=\overline{\omega_1(\lambda)}\,\omega_2(\lambda)=i\,\overline{\omega_1(\lambda)}\,\omega_1(1-\lambda) Q ( λ ) = ω 1 ( λ ) ω 2 ( λ ) = i ω 1 ( λ ) ω 1 ( 1 − λ )
ℑ λ > 0 \Im\lambda>0 ℑ λ > 0 α = Arg λ \alpha=\operatorname{Arg}\lambda α = Arg λ θ = − Arg ( 1 − λ ) \theta=-\operatorname{Arg}(1-\lambda) θ = − Arg ( 1 − λ ) α , θ ∈ ( 0 , π ) \alpha,\theta\in(0,\pi) α , θ ∈ ( 0 , π ) 主張 4.3.1 によりω 1 ( λ ) = r 1 e i ψ 1 \omega_1(\lambda)=r_1e^{i\psi_1} ω 1 ( λ ) = r 1 e i ψ 1 r 1 > 0 r_1>0 r 1 > 0 0 < ψ 1 < θ / 2 0<\psi_1<\theta/2 0 < ψ 1 < θ /2 μ = 1 − λ ‾ \mu=1-\overline\lambda μ = 1 − λ ℑ μ = ℑ λ > 0 \Im\mu=\Im\lambda>0 ℑ μ = ℑ λ > 0 1 − μ = λ ‾ = ∣ λ ∣ e − i α 1-\mu=\overline\lambda=\lvert\lambda\rvert e^{-i\alpha} 1 − μ = λ = ∣ λ ∣ e − i α 主張 4.3.1 によりω 1 ( 1 − λ ‾ ) = r 2 e i ψ 2 \omega_1(1-\overline\lambda)=r_2e^{i\psi_2} ω 1 ( 1 − λ ) = r 2 e i ψ 2 r 2 > 0 r_2>0 r 2 > 0 0 < ψ 2 < α / 2 0<\psi_2<\alpha/2 0 < ψ 2 < α /2 命題 1.4 (3) によりω 1 ( 1 − λ ) = r 2 e − i ψ 2 \omega_1(1-\lambda)=r_2e^{-i\psi_2} ω 1 ( 1 − λ ) = r 2 e − i ψ 2 Q ( λ ) = i r 1 r 2 e − i ( ψ 1 + ψ 2 ) Q(\lambda)=ir_1r_2e^{-i(\psi_1+\psi_2)} Q ( λ ) = i r 1 r 2 e − i ( ψ 1 + ψ 2 ) ℑ Q ( λ ) = r 1 r 2 cos ( ψ 1 + ψ 2 ) \Im Q(\lambda)=r_1r_2\cos(\psi_1+\psi_2) ℑ Q ( λ ) = r 1 r 2 cos ( ψ 1 + ψ 2 ) λ − 1 = ∣ λ − 1 ∣ e i ( π − θ ) \lambda-1=\lvert\lambda-1\rvert e^{i(\pi-\theta)} λ − 1 = ∣ λ − 1 ∣ e i ( π − θ ) λ ( λ − 1 ) ‾ = ∣ λ ∣ ∣ λ − 1 ∣ e i ( α + θ − π ) \lambda\overline{(\lambda-1)}=\lvert\lambda\rvert\lvert\lambda-1\rvert e^{i(\alpha+\theta-\pi)} λ ( λ − 1 ) = ∣ λ ∣ ∣ λ − 1 ∣ e i ( α + θ − π ) α + θ − π ∈ ( − π , π ) \alpha+\theta-\pi\in(-\pi,\pi) α + θ − π ∈ ( − π , π ) ℑ ( λ ( λ − 1 ) ‾ ) = ℑ ( ∣ λ ∣ 2 − λ ) = − ℑ λ < 0 \Im\bigl(\lambda\overline{(\lambda-1)}\bigr)=\Im(\lvert\lambda\rvert^2-\lambda)=-\Im\lambda<0 ℑ ( λ ( λ − 1 ) ) = ℑ (∣ λ ∣ 2 − λ ) = − ℑ λ < 0 α + θ < π \alpha+\theta<\pi α + θ < π 0 < ψ 1 + ψ 2 < ( α + θ ) / 2 < π / 2 0<\psi_1+\psi_2<(\alpha+\theta)/2<\pi/2 0 < ψ 1 + ψ 2 < ( α + θ ) /2 < π /2 ℑ Q ( λ ) > 0 \Im Q(\lambda)>0 ℑ Q ( λ ) > 0
ℑ λ < 0 \Im\lambda<0 ℑ λ < 0 命題 1.4 (3) によりQ ( λ ) = i ω 1 ( λ ‾ ) ω 1 ( 1 − λ ‾ ) ‾ = i z ‾ Q(\lambda)=i\,\omega_1(\overline\lambda)\,\overline{\omega_1(1-\overline\lambda)}=i\,\overline{z} Q ( λ ) = i ω 1 ( λ ) ω 1 ( 1 − λ ) = i z z = ω 1 ( λ ‾ ) ‾ ω 1 ( 1 − λ ‾ ) z=\overline{\omega_1(\overline\lambda)}\,\omega_1(1-\overline\lambda) z = ω 1 ( λ ) ω 1 ( 1 − λ ) ℑ Q ( λ ‾ ) = ℑ ( i z ) = ℜ z > 0 \Im Q(\overline\lambda)=\Im(iz)=\Re z>0 ℑ Q ( λ ) = ℑ ( i z ) = ℜ z > 0 ℑ Q ( λ ) = ℜ z ‾ = ℜ z > 0 \Im Q(\lambda)=\Re\overline z=\Re z>0 ℑ Q ( λ ) = ℜ z = ℜ z > 0
λ ∈ Ω ∩ R = ( 0 , 1 ) \lambda\in\Omega\cap\R=(0,1) λ ∈ Ω ∩ R = ( 0 , 1 ) 命題 1.4 (3) によりω 1 ( λ ) > 0 \omega_1(\lambda)>0 ω 1 ( λ ) > 0 ω 1 ( 1 − λ ) > 0 \omega_1(1-\lambda)>0 ω 1 ( 1 − λ ) > 0 ℑ Q ( λ ) = ω 1 ( λ ) ω 1 ( 1 − λ ) > 0 \Im Q(\lambda)=\omega_1(\lambda)\omega_1(1-\lambda)>0 ℑ Q ( λ ) = ω 1 ( λ ) ω 1 ( 1 − λ ) > 0
いずれの場合もQ ( λ ) ≠ 0 Q(\lambda)\ne0 Q ( λ ) = 0 ω 1 ( λ ) ≠ 0 \omega_1(\lambda)\ne0 ω 1 ( λ ) = 0 ℑ τ ( λ ) = ℑ Q ( λ ) / ∣ ω 1 ( λ ) ∣ 2 > 0 \Im\tau(\lambda)=\Im Q(\lambda)/\lvert\omega_1(\lambda)\rvert^2>0 ℑ τ ( λ ) = ℑ Q ( λ ) / ∣ ω 1 ( λ ) ∣ 2 > 0 ω 1 , ω 2 \omega_1,\omega_2 ω 1 , ω 2 Ω \Omega Ω τ \tau τ Ω \Omega Ω 命題 3.2 による。▨
5 演習 問題 5.1. λ = 1 2 \lambda=\frac12 λ = 2 1
τ ( 1 2 ) = i \tau(\frac12)=i τ ( 2 1 ) = i K ( 1 2 ) = 1 2 2 B ( 1 4 , 1 2 ) K(\frac1{\sqrt2})=\dfrac{1}{2\sqrt2}B\Bigl(\dfrac14,\dfrac12\Bigr) K ( 2 1 ) = 2 2 1 B ( 4 1 , 2 1 ) E ( 1 2 ) = 1 2 K ( 1 2 ) + π 4 K ( 1 2 ) E(\frac1{\sqrt2})=\dfrac12K(\frac1{\sqrt2})+\dfrac{\pi}{4K(\frac1{\sqrt2})} E ( 2 1 ) = 2 1 K ( 2 1 ) + 4 K ( 2 1 ) π 解答. (1) を示す。ω 2 ( 1 2 ) = i ω 1 ( 1 − 1 2 ) = i ω 1 ( 1 2 ) \omega_2(\frac12)=i\,\omega_1(1-\frac12)=i\,\omega_1(\frac12) ω 2 ( 2 1 ) = i ω 1 ( 1 − 2 1 ) = i ω 1 ( 2 1 ) 定理 4.3 によりω 1 ( 1 2 ) ≠ 0 \omega_1(\frac12)\ne0 ω 1 ( 2 1 ) = 0 τ ( 1 2 ) = i \tau(\frac12)=i τ ( 2 1 ) = i
(2) を示す。Ψ ( s ) = 1 + s 2 2 s 2 = 1 2 + 1 2 s 2 \Psi(s)=\frac{1+s^2}{2s^2}=\frac12+\frac1{2s^2} Ψ ( s ) = 2 s 2 1 + s 2 = 2 1 + 2 s 2 1 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ( 1 , ∞ ) (1,\infty) ( 1 , ∞ ) C 1 C^1 C 1 ∣ Ψ ′ ( s ) ∣ = s − 3 \lvert\Psi'(s)\rvert=s^{-3} ∣ Ψ ′ ( s )∣ = s − 3 x = Ψ ( s ) x=\Psi(s) x = Ψ ( s ) x − 1 = 1 − s 2 2 s 2 x-1=\frac{1-s^2}{2s^2} x − 1 = 2 s 2 1 − s 2 x − 1 2 = 1 2 s 2 x-\frac12=\frac1{2s^2} x − 2 1 = 2 s 2 1 x ( x − 1 ) ( x − 1 2 ) = 1 − s 4 8 s 6 x(x-1)(x-\frac12)=\frac{1-s^4}{8s^6} x ( x − 1 ) ( x − 2 1 ) = 8 s 6 1 − s 4
∣ Ψ ′ ( s ) ∣ x x − 1 x − 1 2 = s − 3 ⋅ 2 2 s 3 1 − s 4 = 2 2 1 − s 4 \frac{\lvert\Psi'(s)\rvert}{\sqrt x\sqrt{x-1}\sqrt{x-\frac12}}=s^{-3}\cdot\frac{2\sqrt2\,s^3}{\sqrt{1-s^4}}=\frac{2\sqrt2}{\sqrt{1-s^4}} x x − 1 x − 2 1 ∣ Ψ ′ ( s )∣ = s − 3 ⋅ 1 − s 4 2 2 s 3 = 1 − s 4 2 2 である。§E10.44 定理 2.1 (4) をn = 1 n=1 n = 1 ω 1 ( 1 2 ) = 2 2 ∫ 0 1 ( 1 − s 4 ) − 1 / 2 d s \omega_1(\frac12)=2\sqrt2\int_0^1(1-s^4)^{-1/2}\,ds ω 1 ( 2 1 ) = 2 2 ∫ 0 1 ( 1 − s 4 ) − 1/2 d s Ψ 2 ( r ) = r 1 / 4 \Psi_2(r)=r^{1/4} Ψ 2 ( r ) = r 1/4 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) C 1 C^1 C 1 ∣ Ψ 2 ′ ( r ) ∣ = 1 4 r − 3 / 4 \lvert\Psi_2'(r)\rvert=\frac14r^{-3/4} ∣ Ψ 2 ′ ( r )∣ = 4 1 r − 3/4 §E10.44 定理 2.1 (4) と§E13.39 補題 3.2 により∫ 0 1 ( 1 − s 4 ) − 1 / 2 d s = 1 4 ∫ 0 1 r − 3 / 4 ( 1 − r ) − 1 / 2 d r = 1 4 B ( 1 4 , 1 2 ) \int_0^1(1-s^4)^{-1/2}\,ds=\frac14\int_0^1r^{-3/4}(1-r)^{-1/2}\,dr=\frac14B(\frac14,\frac12) ∫ 0 1 ( 1 − s 4 ) − 1/2 d s = 4 1 ∫ 0 1 r − 3/4 ( 1 − r ) − 1/2 d r = 4 1 B ( 4 1 , 2 1 ) 命題 3.2 によりK ( 1 2 ) = 1 2 ω 1 ( 1 2 ) = 2 ⋅ 1 4 B ( 1 4 , 1 2 ) = 1 2 2 B ( 1 4 , 1 2 ) K(\frac1{\sqrt2})=\frac12\omega_1(\frac12)=\sqrt2\cdot\frac14B(\frac14,\frac12)=\frac1{2\sqrt2}B(\frac14,\frac12) K ( 2 1 ) = 2 1 ω 1 ( 2 1 ) = 2 ⋅ 4 1 B ( 4 1 , 2 1 ) = 2 2 1 B ( 4 1 , 2 1 )
(3) を示す。k = 1 2 k=\frac1{\sqrt2} k = 2 1 k ′ = 1 2 = k k'=\frac1{\sqrt2}=k k ′ = 2 1 = k K ′ ( k ) = K ( k ) K'(k)=K(k) K ′ ( k ) = K ( k ) E ′ ( k ) = E ( k ) E'(k)=E(k) E ′ ( k ) = E ( k ) 定理 3.3 (2) により2 E ( k ) K ( k ) − K ( k ) 2 = π 2 2E(k)K(k)-K(k)^2=\frac\pi2 2 E ( k ) K ( k ) − K ( k ) 2 = 2 π K ( k ) > 0 K(k)>0 K ( k ) > 0 ▨
問題 5.2. λ 0 ∈ ( 0 , 1 ) \lambda_0\in(0,1) λ 0 ∈ ( 0 , 1 ) γ \gamma γ γ ( 0 ) = γ ( 1 ) = λ 0 \gamma(0)=\gamma(1)=\lambda_0 γ ( 0 ) = γ ( 1 ) = λ 0 C ∖ { 0 , 1 } \C\setminus\{0,1\} C ∖ { 0 , 1 } a , b , c , d ∈ C a,b,c,d\in\C a , b , c , d ∈ C T γ H [ ω 1 ] λ 0 = a [ ω 1 ] λ 0 + c [ ω 2 ] λ 0 T^H_\gamma[\omega_1]_{\lambda_0}=a[\omega_1]_{\lambda_0}+c[\omega_2]_{\lambda_0} T γ H [ ω 1 ] λ 0 = a [ ω 1 ] λ 0 + c [ ω 2 ] λ 0 T γ H [ ω 2 ] λ 0 = b [ ω 1 ] λ 0 + d [ ω 2 ] λ 0 T^H_\gamma[\omega_2]_{\lambda_0}=b[\omega_1]_{\lambda_0}+d[\omega_2]_{\lambda_0} T γ H [ ω 2 ] λ 0 = b [ ω 1 ] λ 0 + d [ ω 2 ] λ 0 τ 0 = τ ( λ 0 ) \tau_0=\tau(\lambda_0) τ 0 = τ ( λ 0 ) a ω 1 ( λ 0 ) + c ω 2 ( λ 0 ) ≠ 0 a\,\omega_1(\lambda_0)+c\,\omega_2(\lambda_0)\ne0 a ω 1 ( λ 0 ) + c ω 2 ( λ 0 ) = 0
b ω 1 ( λ 0 ) + d ω 2 ( λ 0 ) a ω 1 ( λ 0 ) + c ω 2 ( λ 0 ) = d τ 0 + b c τ 0 + a ∈ H \frac{b\,\omega_1(\lambda_0)+d\,\omega_2(\lambda_0)}{a\,\omega_1(\lambda_0)+c\,\omega_2(\lambda_0)}=\frac{d\tau_0+b}{c\tau_0+a}\in\mathbb H a ω 1 ( λ 0 ) + c ω 2 ( λ 0 ) b ω 1 ( λ 0 ) + d ω 2 ( λ 0 ) = c τ 0 + a d τ 0 + b ∈ H が成り立つことを示せ。
解答. M = ( a b c d ) M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} M = ( a c b d ) [ ω 1 ] λ 0 , [ ω 2 ] λ 0 [\omega_1]_{\lambda_0},[\omega_2]_{\lambda_0} [ ω 1 ] λ 0 , [ ω 2 ] λ 0 T γ H T^H_\gamma T γ H 定理 4.1 (4) によりM ∈ Γ ( 2 ) M\in\Gamma(2) M ∈ Γ ( 2 ) a , b , c , d a,b,c,d a , b , c , d a d − b c = 1 ad-bc=1 a d − b c = 1 a ω 1 ( λ 0 ) + c ω 2 ( λ 0 ) = ω 1 ( λ 0 ) ( c τ 0 + a ) a\,\omega_1(\lambda_0)+c\,\omega_2(\lambda_0)=\omega_1(\lambda_0)(c\tau_0+a) a ω 1 ( λ 0 ) + c ω 2 ( λ 0 ) = ω 1 ( λ 0 ) ( c τ 0 + a ) 定理 4.3 によりω 1 ( λ 0 ) ≠ 0 \omega_1(\lambda_0)\ne0 ω 1 ( λ 0 ) = 0 ℑ τ 0 > 0 \Im\tau_0>0 ℑ τ 0 > 0 c τ 0 + a = 0 c\tau_0+a=0 c τ 0 + a = 0 c = 0 c=0 c = 0 a = 0 a=0 a = 0 a d − b c = 1 ad-bc=1 a d − b c = 1 c τ 0 + a ≠ 0 c\tau_0+a\ne0 c τ 0 + a = 0 ω 1 ( λ 0 ) \omega_1(\lambda_0) ω 1 ( λ 0 )
( d τ 0 + b ) ( c τ 0 ‾ + a ) = c d ∣ τ 0 ∣ 2 + a d τ 0 + b c τ 0 ‾ + a b (d\tau_0+b)(c\overline{\tau_0}+a)=cd\lvert\tau_0\rvert^2+ad\,\tau_0+bc\,\overline{\tau_0}+ab ( d τ 0 + b ) ( c τ 0 + a ) = c d ∣ τ 0 ∣ 2 + a d τ 0 + b c τ 0 + ab の虚部は( a d − b c ) ℑ τ 0 = ℑ τ 0 > 0 (ad-bc)\Im\tau_0=\Im\tau_0>0 ( a d − b c ) ℑ τ 0 = ℑ τ 0 > 0 ℑ d τ 0 + b c τ 0 + a = ℑ τ 0 ∣ c τ 0 + a ∣ 2 > 0 \Im\dfrac{d\tau_0+b}{c\tau_0+a}=\dfrac{\Im\tau_0}{\lvert c\tau_0+a\rvert^2}>0 ℑ c τ 0 + a d τ 0 + b = ∣ c τ 0 + a ∣ 2 ℑ τ 0 > 0 ▨