§E13.21安定多様体

最終更新

平衡点の近くで軌道がどのように平衡点へ近づくかを記述することは、常微分方程式の定性的な研究における基本的な課題の一つである。平衡点の開近傍NNを一つ定めたとき、時刻t≥0t\ge0のすべてでNNにとどまる軌道の初期値の全体を、NNにおける局所安定集合とよぶ。係数行列AAが双曲型である線形方程式x′=Axx'=Axでは、原点へ収束する解の初期値の全体はAAの安定部分空間であるが、非線形方程式の局所安定集合がどのような集合であるかは、定義からは明らかでない。たとえばF(x,y)=(x2,−y)F(x,y)=(x^2,-y)では、原点を中心とする開円板における原点の局所安定集合は、その開円板と閉半平面{x≤0}\{x\le0\}の共通部分であり、どの直線上のグラフでもない。これに対して、ベクトル場がC1C^1級で平衡点が原点であり双曲型であるときには、原点を中心とする十分小さい開球における局所安定集合は、原点の近くで、安定部分空間から不安定部分空間へのC1C^1級写像のグラフと一致する。このグラフは原点で安定部分空間に接する。このグラフの原点の近くの部分を局所安定多様体とよぶ。本記事では、局所安定多様体を積分方程式の不動点から構成し、局所不安定多様体、平衡点へ収束する軌道の初期値の全体である大域安定多様体の局所的な形、および中心多様体の例を扱う。

1 局所安定集合

定義 1.1.n∈N≥1n\in\NNとし、U⊆RnU\subseteq\R^nを開集合、F:U→RnF:U\to\R^nを局所 Lipschitz 連続な写像、φ\varphiをFFの流れ、I(x)I(x)を最大存在区間とする。x∗∈Ux_*\in UをFFの平衡点、N⊆UN\subseteq Uをx∗x_*の開近傍とし、

WNs={x∈N:[0,∞)⊆I(x), φt(x)∈N (t≥0)},WNu={x∈N:(−∞,0]⊆I(x), φt(x)∈N (t≤0)}W^s_N=\{x\in N:[0,\infty)\subseteq I(x),\ \varphi_t(x)\in N\ (t\ge0)\},\qquad W^u_N=\{x\in N:(-\infty,0]\subseteq I(x),\ \varphi_t(x)\in N\ (t\le0)\}

とおく。WNsW^s_NをNNにおけるx∗x_*の局所安定集合 (local stable set)、WNuW^u_NをNNにおけるx∗x_*の局所不安定集合 (local unstable set) という。ベクトル場を明示するときはWNs(F)W^s_N(F)、WNu(F)W^u_N(F)と書く。

補題 1.2.n∈N≥1n\in\NNとし、U,V⊆RnU,V\subseteq\R^nを開集合、F:U→RnF:U\to\R^n、G:V→RnG:V\to\R^nを局所 Lipschitz 連続な写像とする。N⊆U∩VN\subseteq U\cap Vを開集合でNN上でF=GF=Gであるものとし、x∗∈Nx_*\in NをF(x∗)=0F(x_*)=0を満たす点とする。このとき、NNにおけるx∗x_*の局所安定集合についてWNs(F)=WNs(G)W^s_N(F)=W^s_N(G)であり、x∈WNs(F)x\in W^s_N(F)、t≥0t\ge0ならばφtF(x)=φtG(x)\varphi^F_t(x)=\varphi^G_t(x)である。

証明.G(x∗)=F(x∗)=0G(x_*)=F(x_*)=0であるから、x∗x_*はGGの平衡点でもある。x∈WNs(F)x\in W^s_N(F)とし、00とσ\sigmaの間のすべてのssでφsF(x)∈N\varphi^F_s(x)\in Nが成り立つσ∈IF(x)\sigma\in I_F(x)の全体をJJとする。[0,∞)⊆IF(x)[0,\infty)\subseteq I_F(x)であり、s≥0s\ge0でφsF(x)∈N\varphi^F_s(x)\in Nであるから、[0,∞)⊆J[0,\infty)\subseteq Jである。N⊆U∩VN\subseteq U\cap VでありNN上でF=GF=Gであるから、§E13.15 補題 7.3 (2)によりJ⊆IG(x)J\subseteq I_G(x)であり、すべてのσ∈J\sigma\in JについてφσG(x)=φσF(x)\varphi^G_\sigma(x)=\varphi^F_\sigma(x)である。したがって[0,∞)⊆IG(x)[0,\infty)\subseteq I_G(x)であり、t≥0t\ge0でφtG(x)=φtF(x)∈N\varphi^G_t(x)=\varphi^F_t(x)\in Nであるから、x∈WNs(G)x\in W^s_N(G)である。FFとGGの役割を入れ替えるとWNs(G)⊆WNs(F)W^s_N(G)\subseteq W^s_N(F)を得る。▨

2 Lyapunov–Perron の積分方程式

補題 2.1.n∈N≥1n\in\NNとし、Rn\R^nに Euclid ノルム∥⋅∥\lVert\cdot\rVertを入れ、行列には対応する作用素ノルムを用いる。A∈Rn×nA\in\R^{n\times n}を双曲型行列とし、Ps,Pu,Es,EuP_s,P_u,E^s,E^uをAAに対する§E13.12 補題 6.7（K=R\mathbb K=\R、d=nd=n）の射影と部分空間とする。K≥1K\ge1、α>0\alpha>0は、すべてのt≥0t\ge0について∥etAPs∥≤Ke−αt\lVert e^{tA}P_s\rVert\le Ke^{-\alpha t}を満たし、すべてのt≤0t\le0について∥etAPu∥≤Keαt\lVert e^{tA}P_u\rVert\le Ke^{\alpha t}を満たすとする。0≤β<α0\le\beta<\alphaとし、

Xβ={u∈C([0,∞),Rn):∥u∥β=sup⁡t≥0eβt∥u(t)∥<∞},cβ=K(1α−β+1α+β)X_\beta=\Bigl\{u\in C([0,\infty),\R^n):\lVert u\rVert_\beta=\sup_{t\ge0}e^{\beta t}\lVert u(t)\rVert<\infty\Bigr\},\qquad c_\beta=K\Bigl(\frac1{\alpha-\beta}+\frac1{\alpha+\beta}\Bigr)

とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. (Xβ,∥⋅∥β)(X_\beta,\lVert\cdot\rVert_\beta)は Banach 空間である。
  2. w∈Xβw\in X_\beta、t≥0t\ge0について、積分∫t∞e(t−s)APuw(s) ds\int_t^\infty e^{(t-s)A}P_uw(s)\,dsは絶対収束し、 (Jw)(t)=∫0te(t−s)APsw(s) ds−∫t∞e(t−s)APuw(s) ds(t≥0)(\mathcal Jw)(t)=\int_0^te^{(t-s)A}P_sw(s)\,ds-\int_t^\infty e^{(t-s)A}P_uw(s)\,ds\qquad(t\ge0) で定まる関数Jw\mathcal JwはXβX_\betaに属する。J:Xβ→Xβ\mathcal J:X_\beta\to X_\betaは線形写像であり、すべてのw∈Xβw\in X_\betaについて∥Jw∥β≤cβ∥w∥β\lVert\mathcal Jw\rVert_\beta\le c_\beta\lVert w\rVert_\betaである。
  3. w∈Xβw\in X_\betaについて(Jw)(0)=−∫0∞e−sAPuw(s) ds(\mathcal Jw)(0)=-\int_0^\infty e^{-sA}P_uw(s)\,dsはEuE^uに属し、∥(Jw)(0)∥≤K(α+β)−1∥w∥β\lVert(\mathcal Jw)(0)\rVert\le K(\alpha+\beta)^{-1}\lVert w\rVert_\betaである。
  4. ξ∈Es\xi\in E^sについて、関数t↦etAξt\mapsto e^{tA}\xi（t≥0t\ge0）はXβX_\betaに属し、そのノルムはK∥ξ∥K\lVert\xi\rVert以下である。

証明.主張 (1)を示す。∥⋅∥\lVert\cdot\rVertがノルムであるから、∥⋅∥β\lVert\cdot\rVert_\betaはXβX_\betaのノルムである。Cb([0,∞);Rn)C_b([0,\infty);\R^n)を、Rn\R^nの Euclid ノルムについての§E13.4 補題 3.2の空間とし、u∈Xβu\in X_\betaに対して(Φu)(t)=eβtu(t)(\Phi u)(t)=e^{\beta t}u(t)（t≥0t\ge0）とおく。Φ\PhiはXβX_\betaからCb([0,∞);Rn)C_b([0,\infty);\R^n)への線形写像で、∥Φu∥∞=∥u∥β\lVert\Phi u\rVert_\infty=\lVert u\rVert_\betaを満たし、v↦(t↦e−βtv(t))v\mapsto\bigl(t\mapsto e^{-\beta t}v(t)\bigr)を逆写像にもつ。(um)(u_m)をXβX_\betaの Cauchy 列とすると、(Φum)(\Phi u_m)は Cauchy 列であり、§E13.4 補題 3.2によりv∈Cb([0,∞);Rn)v\in C_b([0,\infty);\R^n)に収束する。u=Φ−1v∈Xβu=\Phi^{-1}v\in X_\betaについて∥um−u∥β=∥Φum−v∥∞→0\lVert u_m-u\rVert_\beta=\lVert\Phi u_m-v\rVert_\infty\to0である。

主張 (2)を示す。w∈Xβw\in X_\betaとすると、s≥0s\ge0で∥w(s)∥≤e−βs∥w∥β\lVert w(s)\rVert\le e^{-\beta s}\lVert w\rVert_\betaである。K,αK,\alphaの評価により、0≤s≤t0\le s\le tで∥e(t−s)APsw(s)∥≤Ke−α(t−s)e−βs∥w∥β\lVert e^{(t-s)A}P_sw(s)\rVert\le Ke^{-\alpha(t-s)}e^{-\beta s}\lVert w\rVert_\betaであり、s≥ts\ge tで∥e(t−s)APuw(s)∥≤Keα(t−s)e−βs∥w∥β\lVert e^{(t-s)A}P_uw(s)\rVert\le Ke^{\alpha(t-s)}e^{-\beta s}\lVert w\rVert_\betaである。後者の右辺はssについて[t,∞)[t,\infty)上で可積分であるから、第二の積分は絶対収束する。

∫0tKe−α(t−s)e−βs ds=K(e−βt−e−αt)α−β≤Kα−βe−βt,∫t∞Keα(t−s)e−βs ds=Kα+βe−βt\int_0^tKe^{-\alpha(t-s)}e^{-\beta s}\,ds=\frac{K\bigl(e^{-\beta t}-e^{-\alpha t}\bigr)}{\alpha-\beta}\le\frac{K}{\alpha-\beta}e^{-\beta t},\qquad\int_t^\infty Ke^{\alpha(t-s)}e^{-\beta s}\,ds=\frac{K}{\alpha+\beta}e^{-\beta t}

であるから、∥(Jw)(t)∥≤cβe−βt∥w∥β\lVert(\mathcal Jw)(t)\rVert\le c_\beta e^{-\beta t}\lVert w\rVert_\betaである。K,αK,\alphaの評価によりs≥0s\ge0で∥e−sAPuw(s)∥≤Ke−(α+β)s∥w∥β\lVert e^{-sA}P_uw(s)\rVert\le Ke^{-(\alpha+\beta)s}\lVert w\rVert_\betaであるから、∫0∞e−sAPuw(s) ds\int_0^\infty e^{-sA}P_uw(s)\,dsは絶対収束する。§E13.12 定理 2.1によりe(t−s)A=etAe−sAe^{(t-s)A}=e^{tA}e^{-sA}であるから、

(Jw)(t)=etA(∫0te−sAPsw(s) ds+∫0te−sAPuw(s) ds−∫0∞e−sAPuw(s) ds)(\mathcal Jw)(t)=e^{tA}\Bigl(\int_0^te^{-sA}P_sw(s)\,ds+\int_0^te^{-sA}P_uw(s)\,ds-\int_0^\infty e^{-sA}P_uw(s)\,ds\Bigr)

である。右辺の二つの積分∫0t\int_0^tは連続な被積分関数の積分としてttについて連続であり、t↦etAt\mapsto e^{tA}は連続であるから、Jw\mathcal Jwは連続である。したがってJw∈Xβ\mathcal Jw\in X_\betaであり、∥Jw∥β≤cβ∥w∥β\lVert\mathcal Jw\rVert_\beta\le c_\beta\lVert w\rVert_\betaである。J\mathcal Jの線形性は積分の線形性による。

主張 (3)を示す。t=0t=0では第一の積分が00であるから、(Jw)(0)=−∫0∞e−sAPuw(s) ds(\mathcal Jw)(0)=-\int_0^\infty e^{-sA}P_uw(s)\,dsである。§E13.12 補題 6.7 (4)により被積分関数はPue−sAw(s)∈im⁡Pu=EuP_ue^{-sA}w(s)\in\operatorname{im}P_u=E^uであり、EuE^uはRn\R^nの閉部分空間であるから、積分はEuE^uに属する。上の評価により、そのノルムは∫0∞Ke−(α+β)s ds ∥w∥β=K(α+β)−1∥w∥β\int_0^\infty Ke^{-(\alpha+\beta)s}\,ds\,\lVert w\rVert_\beta=K(\alpha+\beta)^{-1}\lVert w\rVert_\beta以下である。

主張 (4)を示す。ξ∈Es\xi\in E^sについて、§E13.12 補題 6.7 (4)によりPsξ=ξP_s\xi=\xiであるから、K,αK,\alphaの評価によりt≥0t\ge0で∥etAξ∥=∥etAPsξ∥≤Ke−αt∥ξ∥≤Ke−βt∥ξ∥\lVert e^{tA}\xi\rVert=\lVert e^{tA}P_s\xi\rVert\le Ke^{-\alpha t}\lVert\xi\rVert\le Ke^{-\beta t}\lVert\xi\rVertである。§E13.12 定理 2.1によりt↦etAξt\mapsto e^{tA}\xiは連続である。▨

補題 2.2.n,∥⋅∥,A,Ps,Pu,Es,Eu,K,α,βn,\lVert\cdot\rVert,A,P_s,P_u,E^s,E^u,K,\alpha,\betaとXβX_\beta、∥⋅∥β\lVert\cdot\rVert_\beta、J\mathcal Jを補題 2.1のとおりとする。δ≥0\delta\ge0とし、g:Rn→Rng:\R^n\to\R^nはg(0)=0g(0)=0を満たし、すべてのx,y∈Rnx,y\in\R^nについて∥g(x)−g(y)∥≤δ∥x−y∥\lVert g(x)-g(y)\rVert\le\delta\lVert x-y\rVertを満たすとする。このとき、次が成り立つ。

  1. u∈Xβu\in X_\betaならばg∘u∈Xβg\circ u\in X_\betaであり、u,v∈Xβu,v\in X_\betaについて∥g∘u−g∘v∥β≤δ∥u−v∥β\lVert g\circ u-g\circ v\rVert_\beta\le\delta\lVert u-v\rVert_\betaである。
  2. ξ∈Es\xi\in E^s、u∈Xβu\in X_\betaとする。uuが[0,∞)[0,\infty)上のu′=Au+g(u)u'=Au+g(u)の古典解であってPsu(0)=ξP_su(0)=\xiを満たすことは、すべてのt≥0t\ge0について u(t)=etAξ+(J(g∘u))(t)u(t)=e^{tA}\xi+\bigl(\mathcal J(g\circ u)\bigr)(t) が成り立つことと同値である。

証明.主張 (1)を示す。ggとuuは連続であるからg∘ug\circ uは連続である。t≥0t\ge0について∥g(u(t))∥=∥g(u(t))−g(0)∥≤δ∥u(t)∥\lVert g(u(t))\rVert=\lVert g(u(t))-g(0)\rVert\le\delta\lVert u(t)\rVert、∥g(u(t))−g(v(t))∥≤δ∥u(t)−v(t)∥\lVert g(u(t))-g(v(t))\rVert\le\delta\lVert u(t)-v(t)\rVertであり、両辺にeβte^{\beta t}を掛けて上限をとると結論を得る。

主張 (2)を示す。b=g∘ub=g\circ uとおくと、主張 (1)によりb∈Xβb\in X_\betaであり、bbは連続である。補題 2.1 (3)と§E13.12 定理 2.1により、t≥0t\ge0についてetA(Jb)(0)=−∫0∞e(t−s)APub(s) dse^{tA}(\mathcal Jb)(0)=-\int_0^\infty e^{(t-s)A}P_ub(s)\,dsであるから、§E13.12 補題 6.7 (2)のPs+Pu=IP_s+P_u=Iにより

(Jb)(t)=etA(Jb)(0)+∫0te(t−s)Ab(s) ds(t≥0)(\mathcal Jb)(t)=e^{tA}(\mathcal Jb)(0)+\int_0^te^{(t-s)A}b(s)\,ds\qquad(t\ge0)

である。したがって、主張の積分方程式は、すべてのt≥0t\ge0について

u(t)=etA(ξ+(Jb)(0))+∫0te(t−s)Ab(s) dsu(t)=e^{tA}\bigl(\xi+(\mathcal Jb)(0)\bigr)+\int_0^te^{(t-s)A}b(s)\,ds(2.2.1)\text{(2.2.1)}

が成り立つことと同値である。

uuが[0,∞)[0,\infty)上のu′=Au+g(u)u'=Au+g(u)の古典解でPsu(0)=ξP_su(0)=\xiを満たすとする。uuはC1C^1級であるから局所絶対連続であり、u′=Au+bu'=Au+bを満たす。§E13.12 定理 2.4（I=[0,∞)I=[0,\infty)、t0=0t_0=0）の一意性により、t≥0t\ge0についてu(t)=etAu(0)+∫0te(t−s)Ab(s) dsu(t)=e^{tA}u(0)+\int_0^te^{(t-s)A}b(s)\,dsである。§E13.12 補題 6.7 (4)によりPuP_uはetAe^{tA}（t∈Rt\in\R）と可換であり、§E13.12 定理 2.1によりe−tAetA=Ie^{-tA}e^{tA}=Iであるから、上の等式の両辺にe−tAPue^{-tA}P_uを施すと、

e−tAPuu(t)=Puu(0)+∫0te−sAPub(s) dse^{-tA}P_uu(t)=P_uu(0)+\int_0^te^{-sA}P_ub(s)\,ds

である。K,αK,\alphaの評価により∥e−tAPuu(t)∥≤Ke−αt∥u(t)∥≤Ke−(α+β)t∥u∥β\lVert e^{-tA}P_uu(t)\rVert\le Ke^{-\alpha t}\lVert u(t)\rVert\le Ke^{-(\alpha+\beta)t}\lVert u\rVert_\betaであるから、t→∞t\to\inftyとしてPuu(0)=−∫0∞e−sAPub(s) ds=(Jb)(0)P_uu(0)=-\int_0^\infty e^{-sA}P_ub(s)\,ds=(\mathcal Jb)(0)を得る。u(0)=Psu(0)+Puu(0)=ξ+(Jb)(0)u(0)=P_su(0)+P_uu(0)=\xi+(\mathcal Jb)(0)であるから、すべてのt≥0t\ge0について式 (2.2.1)が成り立つ。

逆に、すべてのt≥0t\ge0について式 (2.2.1)が成り立つとする。bbは連続であるから、§E13.12 定理 2.4により式 (2.2.1)の右辺は[0,∞)[0,\infty)上のx′=Ax+b(t)x'=Ax+b(t)のC1C^1級の解であり、微分方程式をすべての点で満たす。したがってuuは[0,∞)[0,\infty)上のu′=Au+g(u)u'=Au+g(u)の古典解である。補題 2.1 (3)により(Jb)(0)∈Eu(\mathcal Jb)(0)\in E^uであるから、§E13.12 補題 6.7 (4)によりPs(Jb)(0)=0P_s(\mathcal Jb)(0)=0、Psξ=ξP_s\xi=\xiであり、Psu(0)=Psξ+Ps(Jb)(0)=ξP_su(0)=P_s\xi+P_s(\mathcal Jb)(0)=\xiである。▨

定理 2.3.n,∥⋅∥,A,Ps,Pu,Es,Eu,K,α,βn,\lVert\cdot\rVert,A,P_s,P_u,E^s,E^u,K,\alpha,\betaとXβX_\beta、∥⋅∥β\lVert\cdot\rVert_\beta、J\mathcal J、cβc_\betaを補題 2.1のとおりとする。δ≥0\delta\ge0はθβ=δcβ<1\theta_\beta=\delta c_\beta<1を満たすとし、Γ:Xβ→Xβ\Gamma:X_\beta\to X_\betaを、Γ(0)=0\Gamma(0)=0を満たし、すべてのu,v∈Xβu,v\in X_\betaについて∥Γ(u)−Γ(v)∥β≤δ∥u−v∥β\lVert\Gamma(u)-\Gamma(v)\rVert_\beta\le\delta\lVert u-v\rVert_\betaを満たす写像とする。ξ∈Es\xi\in E^s、u∈Xβu\in X_\betaに対して

TξΓ(u)(t)=etAξ+(J(Γ(u)))(t)(t≥0)T^\Gamma_\xi(u)(t)=e^{tA}\xi+\bigl(\mathcal J(\Gamma(u))\bigr)(t)\qquad(t\ge0)

とおく。また、g:Rn→Rng:\R^n\to\R^nがg(0)=0g(0)=0を満たし、すべてのx,y∈Rnx,y\in\R^nについて∥g(x)−g(y)∥≤δ∥x−y∥\lVert g(x)-g(y)\rVert\le\delta\lVert x-y\rVertを満たすとき、ξ∈Es\xi\in E^s、u∈Xβu\in X_\betaに対して

Tξ(u)(t)=etAξ+(J(g∘u))(t)(t≥0)T_\xi(u)(t)=e^{tA}\xi+\bigl(\mathcal J(g\circ u)\bigr)(t)\qquad(t\ge0)

とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. TξΓT^\Gamma_\xiはXβX_\betaをそれ自身に写し、XβX_\beta上の縮小比θβ\theta_\betaの縮小写像であり、ただ一つの不動点uξΓ∈Xβu^\Gamma_\xi\in X_\betaをもつ。特に、ggが上の条件を満たすとき、TξT_\xiはXβX_\betaをそれ自身に写し、XβX_\beta上の縮小比θβ\theta_\betaの縮小写像であり、ただ一つの不動点uξ∈Xβu_\xi\in X_\betaをもつ。
  2. u0Γ=0u^\Gamma_0=0であり、ξ,η∈Es\xi,\eta\in E^sについて∥uξΓ−uηΓ∥β≤K(1−θβ)−1∥ξ−η∥\lVert u^\Gamma_\xi-u^\Gamma_\eta\rVert_\beta\le K(1-\theta_\beta)^{-1}\lVert\xi-\eta\rVertである。特に、ggが上の条件を満たすとき、u0=0u_0=0であり、ξ,η∈Es\xi,\eta\in E^sについて∥uξ−uη∥β≤K(1−θβ)−1∥ξ−η∥\lVert u_\xi-u_\eta\rVert_\beta\le K(1-\theta_\beta)^{-1}\lVert\xi-\eta\rVertである。
  3. ggが上の条件を満たし、0≤β′≤β0\le\beta'\le\betaならば、Xβ⊆Xβ′X_\beta\subseteq X_{\beta'}であり、θβ′=δcβ′≤θβ\theta_{\beta'}=\delta c_{\beta'}\le\theta_\betaである。さらに、Xβ′X_{\beta'}上で同じ式で定めたTξT_\xiのただ一つの不動点はuξu_\xiである。

証明.主張 (1)を示す。補題 2.1 (4)と補題 2.1 (2)によりTξΓ(u)∈XβT^\Gamma_\xi(u)\in X_\betaである。u,v∈Xβu,v\in X_\betaについて、J\mathcal Jの線形性、補題 2.1 (2)、Γ\Gammaの仮定により

∥TξΓ(u)−TξΓ(v)∥β=∥J(Γ(u)−Γ(v))∥β≤cβδ∥u−v∥β=θβ∥u−v∥β\lVert T^\Gamma_\xi(u)-T^\Gamma_\xi(v)\rVert_\beta=\lVert\mathcal J(\Gamma(u)-\Gamma(v))\rVert_\beta\le c_\beta\delta\lVert u-v\rVert_\beta=\theta_\beta\lVert u-v\rVert_\beta

である。補題 2.1 (1)によりXβX_\betaは空でない完備距離空間であるから、§E2.7 定理 2.2によりTξΓT^\Gamma_\xiはただ一つの不動点をもつ。ggが上の条件を満たすとき、Γ(u)=g∘u\Gamma(u)=g\circ uとおくと、g(0)=0g(0)=0と補題 2.2 (1)によりΓ\GammaはXβX_\betaからそれ自身への写像でΓ\Gammaの仮定を満たし、Tξ=TξΓT_\xi=T^\Gamma_\xiである。

主張 (2)を示す。Γ(0)=0\Gamma(0)=0であるからT0Γ(0)=J(0)=0T^\Gamma_0(0)=\mathcal J(0)=0であり、u0Γ=0u^\Gamma_0=0である。ξ,η∈Es\xi,\eta\in E^s、u∈Xβu\in X_\betaについてTξΓ(u)−TηΓ(u)=e⋅A(ξ−η)T^\Gamma_\xi(u)-T^\Gamma_\eta(u)=e^{\cdot A}(\xi-\eta)であるから、補題 2.1 (4)によりsup⁡u∈Xβ∥TξΓ(u)−TηΓ(u)∥β≤K∥ξ−η∥\sup_{u\in X_\beta}\lVert T^\Gamma_\xi(u)-T^\Gamma_\eta(u)\rVert_\beta\le K\lVert\xi-\eta\rVertである。主張 (1)により(TζΓ)ζ∈Es(T^\Gamma_\zeta)_{\zeta\in E^s}は空でない完備距離空間XβX_\beta上の縮小比θβ\theta_\betaの縮小写像の族であるから、§E13.20 補題 1.3 (1)により∥uξΓ−uηΓ∥β≤K(1−θβ)−1∥ξ−η∥\lVert u^\Gamma_\xi-u^\Gamma_\eta\rVert_\beta\le K(1-\theta_\beta)^{-1}\lVert\xi-\eta\rVertである。ggについての主張は、Γ(u)=g∘u\Gamma(u)=g\circ uとおくと得られる。

主張 (3)を示す。u∈Xβu\in X_\betaならばeβ′t∥u(t)∥≤eβt∥u(t)∥e^{\beta't}\lVert u(t)\rVert\le e^{\beta t}\lVert u(t)\rVertであるからu∈Xβ′u\in X_{\beta'}である。cβ=2Kα/(α2−β2)c_\beta=2K\alpha/(\alpha^2-\beta^2)はβ∈[0,α)\beta\in[0,\alpha)について単調増加であるからθβ′≤θβ<1\theta_{\beta'}\le\theta_\beta<1である。主張 (1)をβ′\beta'に適用すると、Xβ′X_{\beta'}上のTξT_\xiはただ一つの不動点をもつ。J\mathcal JはXβX_\betaとXβ′X_{\beta'}で同じ積分で定まるから、uξ∈Xβ′u_\xi\in X_{\beta'}はXβ′X_{\beta'}上のTξT_\xiの不動点であり、一意性により求める不動点である。▨

命題 2.4.n,∥⋅∥,A,Ps,Pu,Es,Eu,K,α,βn,\lVert\cdot\rVert,A,P_s,P_u,E^s,E^u,K,\alpha,\betaとXβX_\beta、∥⋅∥β\lVert\cdot\rVert_\beta、J\mathcal J、cβc_\betaを補題 2.1のとおりとする。δ\delta、gg、θβ\theta_\betaは定理 2.3の仮定を満たすとし、ξ∈Es\xi\in E^sに対してuξu_\xiをその定理の不動点とする。φ~\tilde\varphiをF~(x)=Ax+g(x)\tilde F(x)=Ax+g(x)の流れとし、h:Es→Euh:E^s\to E^uをh(ξ)=Puuξ(0)h(\xi)=P_uu_\xi(0)で定める。このとき、次が成り立つ。

  1. ξ∈Es\xi\in E^sについてh(ξ)=−∫0∞e−sAPug(uξ(s)) dsh(\xi)=-\int_0^\infty e^{-sA}P_ug(u_\xi(s))\,dsであり、h(0)=0h(0)=0である。ξ,η∈Es\xi,\eta\in E^sについて∥h(ξ)−h(η)∥≤K2δ(α+β)−1(1−θβ)−1∥ξ−η∥\lVert h(\xi)-h(\eta)\rVert\le K^2\delta(\alpha+\beta)^{-1}(1-\theta_\beta)^{-1}\lVert\xi-\eta\rVertである。
  2. φ~\tilde\varphiは完備である。ξ∈Es\xi\in E^s、x=ξ+h(ξ)x=\xi+h(\xi)、t≥0t\ge0ならば、φ~t(x)=uξ(t)\tilde\varphi_t(x)=u_\xi(t)であり、∥φ~t(x)∥≤K(1−θβ)−1e−βt∥ξ∥\lVert\tilde\varphi_t(x)\rVert\le K(1-\theta_\beta)^{-1}e^{-\beta t}\lVert\xi\rVertである。
  3. 0≤β′≤β0\le\beta'\le\betaならば {x∈Rn:sup⁡t≥0eβ′t∥φ~t(x)∥<∞}={ξ+h(ξ):ξ∈Es}\Bigl\{x\in\R^n:\sup_{t\ge0}e^{\beta't}\lVert\tilde\varphi_t(x)\rVert<\infty\Bigr\}=\{\xi+h(\xi):\xi\in E^s\} である。

証明.主張 (1)を示す。ξ∈Es\xi\in E^sとする。uξ=Tξ(uξ)u_\xi=T_\xi(u_\xi)のt=0t=0での値はuξ(0)=ξ+(J(g∘uξ))(0)u_\xi(0)=\xi+(\mathcal J(g\circ u_\xi))(0)であり、補題 2.1 (3)により第二項はEuE^uに属する。§E13.12 補題 6.7 (4)によりPuξ=0P_u\xi=0であるから、Psuξ(0)=ξP_su_\xi(0)=\xiであり、

h(ξ)=(J(g∘uξ))(0)=−∫0∞e−sAPug(uξ(s)) dsh(\xi)=(\mathcal J(g\circ u_\xi))(0)=-\int_0^\infty e^{-sA}P_ug(u_\xi(s))\,ds

である。定理 2.3 (2)によりu0=0u_0=0であるからh(0)=0h(0)=0である。ξ,η∈Es\xi,\eta\in E^sについて、補題 2.1 (3)、補題 2.2 (1)、定理 2.3 (2)により

∥h(ξ)−h(η)∥=∥(J(g∘uξ−g∘uη))(0)∥≤Kδα+β∥uξ−uη∥β≤K2δ(α+β)(1−θβ)∥ξ−η∥\lVert h(\xi)-h(\eta)\rVert=\bigl\lVert\bigl(\mathcal J(g\circ u_\xi-g\circ u_\eta)\bigr)(0)\bigr\rVert\le\frac{K\delta}{\alpha+\beta}\lVert u_\xi-u_\eta\rVert_\beta\le\frac{K^2\delta}{(\alpha+\beta)(1-\theta_\beta)}\lVert\xi-\eta\rVert

である。

主張 (2)を示す。F~\tilde Fは定数∥A∥+δ\lVert A\rVert+\deltaについて大域 Lipschitz 連続であるから、§E13.15 命題 3.2 (1)によりφ~\tilde\varphiは完備である。ξ∈Es\xi\in E^s、x=ξ+h(ξ)x=\xi+h(\xi)とする。前段によりuξ(0)=Psuξ(0)+Puuξ(0)=ξ+h(ξ)=xu_\xi(0)=P_su_\xi(0)+P_uu_\xi(0)=\xi+h(\xi)=xである。補題 2.2 (2)によりuξu_\xiは[0,∞)[0,\infty)上のu′=F~(u)u'=\tilde F(u)の古典解であり、t↦φ~t(x)t\mapsto\tilde\varphi_t(x)も同じ方程式の古典解で、t=0t=0での値はxxである。b>0b>0とし、§E13.7 系 5.3をJ=[0,b]J=[0,b]、D=RnD=\R^n、f(t,u)=F~(u)f(t,u)=\tilde F(u)、L=∥A∥+δL=\lVert A\rVert+\deltaに適用すると、[0,b][0,b]上で∥uξ(t)−φ~t(x)∥≤eLt∥uξ(0)−x∥=0\lVert u_\xi(t)-\tilde\varphi_t(x)\rVert\le e^{Lt}\lVert u_\xi(0)-x\rVert=0である。b>0b>0は任意であるから、t≥0t\ge0でφ~t(x)=uξ(t)\tilde\varphi_t(x)=u_\xi(t)である。定理 2.3 (2)により∥uξ(t)∥≤e−βt∥uξ−u0∥β≤K(1−θβ)−1e−βt∥ξ∥\lVert u_\xi(t)\rVert\le e^{-\beta t}\lVert u_\xi-u_0\rVert_\beta\le K(1-\theta_\beta)^{-1}e^{-\beta t}\lVert\xi\rVertである。

主張 (3)を示す。ξ∈Es\xi\in E^sならば、主張 (2)によりeβ′t∥φ~t(ξ+h(ξ))∥≤eβt∥φ~t(ξ+h(ξ))∥≤K(1−θβ)−1∥ξ∥e^{\beta't}\lVert\tilde\varphi_t(\xi+h(\xi))\rVert\le e^{\beta t}\lVert\tilde\varphi_t(\xi+h(\xi))\rVert\le K(1-\theta_\beta)^{-1}\lVert\xi\rVertである。逆にx∈Rnx\in\R^nがsup⁡t≥0eβ′t∥φ~t(x)∥<∞\sup_{t\ge0}e^{\beta't}\lVert\tilde\varphi_t(x)\rVert<\inftyを満たすとし、u(t)=φ~t(x)u(t)=\tilde\varphi_t(x)（t≥0t\ge0）、ξ=Psx\xi=P_sxとおく。uuは連続であるからu∈Xβ′u\in X_{\beta'}であり、uuは[0,∞)[0,\infty)上のu′=F~(u)u'=\tilde F(u)の古典解でPsu(0)=ξP_su(0)=\xiを満たす。補題 2.2 (2)をβ′\beta'に適用するとuuはXβ′X_{\beta'}上のTξT_\xiの不動点であり、定理 2.3 (3)によりu=uξu=u_\xiである。したがってx=uξ(0)=ξ+h(ξ)x=u_\xi(0)=\xi+h(\xi)である。▨

例 2.5.n,∥⋅∥,A,Ps,Pu,Es,Eu,K,αn,\lVert\cdot\rVert,A,P_s,P_u,E^s,E^u,K,\alphaを補題 2.1のとおりとする。このとき

{x∈Rn:sup⁡t≥0∥etAx∥<∞}={x∈Rn:etAx→0 (t→∞)}=Es\Bigl\{x\in\R^n:\sup_{t\ge0}\lVert e^{tA}x\rVert<\infty\Bigr\}=\{x\in\R^n:e^{tA}x\to0\ (t\to\infty)\}=E^s

である。すなわち、線形方程式x′=Axx'=Axの解でt→∞t\to\inftyのとき原点へ収束するものの初期値の全体は、安定部分空間EsE^sである。

実際、β=α/2\beta=\alpha/2、δ=0\delta=0、g=0g=0とするとθβ=0<1\theta_\beta=0<1である。ξ∈Es\xi\in E^sについてTξ(u)=e⋅AξT_\xi(u)=e^{\cdot A}\xiはすべてのu∈Xβu\in X_\betaで同じであるからuξ=e⋅Aξu_\xi=e^{\cdot A}\xiであり、g=0g=0に対する命題 2.4の写像は、命題 2.4 (1)によりh(ξ)=−∫0∞e−sAPug(uξ(s)) ds=0h(\xi)=-\int_0^\infty e^{-sA}P_ug(u_\xi(s))\,ds=0である。§E13.12 定理 2.2によりt↦etAxt\mapsto e^{tA}xはR\R上のx′=Axx'=Axの古典解であるから、§E13.15 補題 1.2によりF~(x)=Ax\tilde F(x)=Axの流れはφ~t(x)=etAx\tilde\varphi_t(x)=e^{tA}xである。命題 2.4 (3)をβ′=0\beta'=0に適用すると、第一の集合は{ξ+0:ξ∈Es}=Es\{\xi+0:\xi\in E^s\}=E^sである。ξ∈Es\xi\in E^sならば、命題 2.4 (2)により∥etAξ∥≤Ke−βt∥ξ∥→0\lVert e^{tA}\xi\rVert\le Ke^{-\beta t}\lVert\xi\rVert\to0である。t→∞t\to\inftyで00に収束する連続関数t↦etAxt\mapsto e^{tA}xは[0,∞)[0,\infty)上で有界であるから、第二の集合は第一の集合に含まれる。

補題 2.6.n,∥⋅∥,A,Ps,Pu,Es,Eu,K,α,βn,\lVert\cdot\rVert,A,P_s,P_u,E^s,E^u,K,\alpha,\betaとXβX_\beta、∥⋅∥β\lVert\cdot\rVert_\beta、J\mathcal J、cβc_\betaを補題 2.1のとおりとする。δ≥0\delta\ge0はθβ=δcβ<1\theta_\beta=\delta c_\beta<1を満たすとし、g:Rn→Rng:\R^n\to\R^nをC1C^1級の写像で、g(0)=0g(0)=0、Dg(0)=0Dg(0)=0、すべてのx∈Rnx\in\R^nについて∥Dg(x)∥≤δ\lVert Dg(x)\rVert\le\deltaを満たし、Dg:Rn→Rn×nDg:\R^n\to\R^{n\times n}が一様連続であるものとする。§E4.3 定理 2.1により、ggは Lipschitz 定数δ\deltaの Lipschitz 写像である。ξ∈Es\xi\in E^sに対して、uξu_\xiを定理 2.3の不動点とする。C0=K(1−θβ)−1C_0=K(1-\theta_\beta)^{-1}とおき、τ≥0\tau\ge0に対してω(τ)=sup⁡{∥Dg(x)−Dg(y)∥:x,y∈Rn, ∥x−y∥≤τ}\omega(\tau)=\sup\{\lVert Dg(x)-Dg(y)\rVert:x,y\in\R^n,\ \lVert x-y\rVert\le\tau\}とおく。ξ,η∈Es\xi,\eta\in E^s、v∈Xβv\in X_\betaに対して

Sξ,η(v)(t)=etAη+(J(Mξv))(t),(Mξv)(s)=Dg(uξ(s))v(s)S_{\xi,\eta}(v)(t)=e^{tA}\eta+\bigl(\mathcal J(M_\xi v)\bigr)(t),\qquad(M_\xi v)(s)=Dg(u_\xi(s))v(s)

とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. ω\omegaは単調非減少でω(τ)≤2δ\omega(\tau)\le2\deltaを満たし、τ→0\tau\to0でω(τ)→0\omega(\tau)\to0である。ξ∈Es\xi\in E^s、v∈Xβv\in X_\betaならばMξv∈XβM_\xi v\in X_\betaであり、∥Mξv∥β≤δ∥v∥β\lVert M_\xi v\rVert_\beta\le\delta\lVert v\rVert_\betaである。v↦Mξvv\mapsto M_\xi vは線形写像である。
  2. Sξ,ηS_{\xi,\eta}はXβX_\beta上の縮小比θβ\theta_\betaの縮小写像であり、そのただ一つの不動点をΛ(ξ)η\Lambda(\xi)\etaと書くと、Λ(ξ):Es→Xβ\Lambda(\xi):E^s\to X_\betaは線形写像で、η∈Es\eta\in E^sについて∥Λ(ξ)η∥β≤K(1−θβ)−1∥η∥\lVert\Lambda(\xi)\eta\rVert_\beta\le K(1-\theta_\beta)^{-1}\lVert\eta\rVertである。
  3. 任意のε>0\varepsilon>0に対してσ>0\sigma>0が存在し、ξ,ξ′∈Es\xi,\xi'\in E^s、∥ξ−ξ′∥<σ\lVert\xi-\xi'\rVert<\sigmaならば、すべてのη∈Es\eta\in E^sについて∥Λ(ξ)η−Λ(ξ′)η∥β≤ε∥η∥\lVert\Lambda(\xi)\eta-\Lambda(\xi')\eta\rVert_\beta\le\varepsilon\lVert\eta\rVertである。

証明.主張 (1)を示す。∥Dg(x)−Dg(y)∥≤∥Dg(x)∥+∥Dg(y)∥≤2δ\lVert Dg(x)-Dg(y)\rVert\le\lVert Dg(x)\rVert+\lVert Dg(y)\rVert\le2\deltaであるからω(τ)≤2δ\omega(\tau)\le2\deltaである。τ≤τ′\tau\le\tau'ならば上限をとる集合が増えるからω(τ)≤ω(τ′)\omega(\tau)\le\omega(\tau')であり、DgDgの一様連続性によりτ→0\tau\to0でω(τ)→0\omega(\tau)\to0である。ξ∈Es\xi\in E^s、v∈Xβv\in X_\betaとすると、s↦Dg(uξ(s))v(s)s\mapsto Dg(u_\xi(s))v(s)は連続で∥Dg(uξ(s))v(s)∥≤δ∥v(s)∥\lVert Dg(u_\xi(s))v(s)\rVert\le\delta\lVert v(s)\rVertであるから、Mξv∈XβM_\xi v\in X_\betaであり、∥Mξv∥β≤δ∥v∥β\lVert M_\xi v\rVert_\beta\le\delta\lVert v\rVert_\betaである。線形性はDg(uξ(s))Dg(u_\xi(s))が線形写像であることによる。

主張 (2)を示す。ξ∈Es\xi\in E^sとし、Γ(v)=Mξv\Gamma(v)=M_\xi v（v∈Xβv\in X_\beta）とおく。主張 (1)によりΓ\GammaはXβX_\betaからそれ自身への線形写像であるから、Γ(0)=0\Gamma(0)=0であり、v,v′∈Xβv,v'\in X_\betaについて∥Γ(v)−Γ(v′)∥β=∥Mξ(v−v′)∥β≤δ∥v−v′∥β\lVert\Gamma(v)-\Gamma(v')\rVert_\beta=\lVert M_\xi(v-v')\rVert_\beta\le\delta\lVert v-v'\rVert_\betaである。η∈Es\eta\in E^sについてSξ,η=TηΓS_{\xi,\eta}=T^\Gamma_\etaであるから、定理 2.3 (1)によりSξ,ηS_{\xi,\eta}はXβX_\beta上の縮小比θβ\theta_\betaの縮小写像であり、ただ一つの不動点Λ(ξ)η=uηΓ\Lambda(\xi)\eta=u^\Gamma_\etaをもつ。定理 2.3 (2)によりu0Γ=0u^\Gamma_0=0であるから、∥Λ(ξ)η∥β=∥uηΓ−u0Γ∥β≤K(1−θβ)−1∥η∥\lVert\Lambda(\xi)\eta\rVert_\beta=\lVert u^\Gamma_\eta-u^\Gamma_0\rVert_\beta\le K(1-\theta_\beta)^{-1}\lVert\eta\rVertである。a,b∈Ra,b\in\R、η1,η2∈Es\eta_1,\eta_2\in E^sとし、v=aΛ(ξ)η1+bΛ(ξ)η2v=a\Lambda(\xi)\eta_1+b\Lambda(\xi)\eta_2とおくと、J\mathcal JとΓ\Gammaの線形性によりv=e⋅A(aη1+bη2)+J(Γ(v))=Sξ,aη1+bη2(v)v=e^{\cdot A}(a\eta_1+b\eta_2)+\mathcal J(\Gamma(v))=S_{\xi,a\eta_1+b\eta_2}(v)であるから、不動点の一意性によりv=Λ(ξ)(aη1+bη2)v=\Lambda(\xi)(a\eta_1+b\eta_2)である。

主張 (3)を示す。ξ,ξ′,η∈Es\xi,\xi',\eta\in E^sとし、v′=Λ(ξ′)ηv'=\Lambda(\xi')\etaとおく。主張 (2)により(Sζ,η)ζ∈Es(S_{\zeta,\eta})_{\zeta\in E^s}はXβX_\beta上の縮小比θβ\theta_\betaの縮小写像の族で、Sζ,ηS_{\zeta,\eta}の不動点はΛ(ζ)η\Lambda(\zeta)\etaであるから、§E13.20 補題 1.3 (1)と補題 2.1 (2)により

∥Λ(ξ)η−Λ(ξ′)η∥β≤∥Sξ,η(v′)−Sξ′,η(v′)∥β1−θβ=∥J((Mξ−Mξ′)v′)∥β1−θβ≤cβ1−θβ∥(Mξ−Mξ′)v′∥β\lVert\Lambda(\xi)\eta-\Lambda(\xi')\eta\rVert_\beta\le\frac{\lVert S_{\xi,\eta}(v')-S_{\xi',\eta}(v')\rVert_\beta}{1-\theta_\beta}=\frac{\lVert\mathcal J\bigl((M_\xi-M_{\xi'})v'\bigr)\rVert_\beta}{1-\theta_\beta}\le\frac{c_\beta}{1-\theta_\beta}\lVert(M_\xi-M_{\xi'})v'\rVert_\beta

である。s≥0s\ge0について定理 2.3 (2)により∥uξ(s)−uξ′(s)∥≤∥uξ−uξ′∥β≤C0∥ξ−ξ′∥\lVert u_\xi(s)-u_{\xi'}(s)\rVert\le\lVert u_\xi-u_{\xi'}\rVert_\beta\le C_0\lVert\xi-\xi'\rVertであるから、∥Dg(uξ(s))−Dg(uξ′(s))∥≤ω(C0∥ξ−ξ′∥)\lVert Dg(u_\xi(s))-Dg(u_{\xi'}(s))\rVert\le\omega(C_0\lVert\xi-\xi'\rVert)である。主張 (2)により∥v′∥β≤C0∥η∥\lVert v'\rVert_\beta\le C_0\lVert\eta\rVertであるから、

∥(Mξ−Mξ′)v′∥β≤ω(C0∥ξ−ξ′∥)∥v′∥β≤C0 ω(C0∥ξ−ξ′∥)∥η∥\lVert(M_\xi-M_{\xi'})v'\rVert_\beta\le\omega(C_0\lVert\xi-\xi'\rVert)\lVert v'\rVert_\beta\le C_0\,\omega(C_0\lVert\xi-\xi'\rVert)\lVert\eta\rVert

であり、

∥Λ(ξ)η−Λ(ξ′)η∥β≤cβC01−θβ ω(C0∥ξ−ξ′∥)∥η∥\lVert\Lambda(\xi)\eta-\Lambda(\xi')\eta\rVert_\beta\le\frac{c_\beta C_0}{1-\theta_\beta}\,\omega(C_0\lVert\xi-\xi'\rVert)\lVert\eta\rVert

である。ε>0\varepsilon>0に対してσ>0\sigma>0をcβC0(1−θβ)−1ω(C0σ)≤εc_\beta C_0(1-\theta_\beta)^{-1}\omega(C_0\sigma)\le\varepsilonとなるように取ると、ω\omegaの単調性により結論を得る。▨

命題 2.7.n,∥⋅∥,A,Ps,Pu,Es,Eu,K,α,βn,\lVert\cdot\rVert,A,P_s,P_u,E^s,E^u,K,\alpha,\betaとcβc_\betaを補題 2.1のとおりとし、δ\delta、θβ\theta_\beta、ggは補題 2.6の仮定を満たすとする。h:Es→Euh:E^s\to E^uをggに対する命題 2.4の写像、Λ\Lambdaを補題 2.6の線形写像とする。このときhhはC1C^1級であり、ξ,η∈Es\xi,\eta\in E^sについて

Dh(ξ)η=Pu(Λ(ξ)η)(0)Dh(\xi)\eta=P_u\bigl(\Lambda(\xi)\eta\bigr)(0)

であり、Dh(0)=0Dh(0)=0である。

証明.uξu_\xiとTξT_\xiを定理 2.3の不動点と写像、Sξ,ηS_{\xi,\eta}、MξM_\xi、C0C_0、ω\omegaを補題 2.6の写像・定数・関数とする。

ξ,η∈Es\xi,\eta\in E^sとし、w=uξ+η−uξw=u_{\xi+\eta}-u_\xi、q=w−Λ(ξ)ηq=w-\Lambda(\xi)\etaとおく。定理 2.3 (2)により∥w∥β≤C0∥η∥\lVert w\rVert_\beta\le C_0\lVert\eta\rVertである。uξ+η=Tξ+η(uξ+η)u_{\xi+\eta}=T_{\xi+\eta}(u_{\xi+\eta})、uξ=Tξ(uξ)u_\xi=T_\xi(u_\xi)、Λ(ξ)η=Sξ,η(Λ(ξ)η)\Lambda(\xi)\eta=S_{\xi,\eta}(\Lambda(\xi)\eta)の差をとると、

q=J(R)+J(Mξq),R(s)=g(uξ(s)+w(s))−g(uξ(s))−Dg(uξ(s))w(s)q=\mathcal J(R)+\mathcal J(M_\xi q),\qquad R(s)=g(u_\xi(s)+w(s))-g(u_\xi(s))-Dg(u_\xi(s))w(s)

である。s≥0s\ge0を固定し、Gs(z)=g(z)−Dg(uξ(s))zG_s(z)=g(z)-Dg(u_\xi(s))zとおくと、DGs(z)=Dg(z)−Dg(uξ(s))DG_s(z)=Dg(z)-Dg(u_\xi(s))であり、線分[uξ(s),uξ(s)+w(s)][u_\xi(s),u_\xi(s)+w(s)]上で∥DGs∥≤ω(∥w(s)∥)\lVert DG_s\rVert\le\omega(\lVert w(s)\rVert)である。§E4.3 定理 2.1により

∥R(s)∥=∥Gs(uξ(s)+w(s))−Gs(uξ(s))∥≤ω(∥w(s)∥)∥w(s)∥≤ω(∥w∥β)e−βs∥w∥β\lVert R(s)\rVert=\lVert G_s(u_\xi(s)+w(s))-G_s(u_\xi(s))\rVert\le\omega(\lVert w(s)\rVert)\lVert w(s)\rVert\le\omega(\lVert w\rVert_\beta)e^{-\beta s}\lVert w\rVert_\beta

である。RRは連続であるから、補題 2.6 (1)のω\omegaの単調性によりR∈XβR\in X_\betaであり、∥R∥β≤ω(C0∥η∥)C0∥η∥\lVert R\rVert_\beta\le\omega(C_0\lVert\eta\rVert)C_0\lVert\eta\rVertである。補題 2.1 (2)と補題 2.6 (1)により∥q∥β≤cβ∥R∥β+θβ∥q∥β\lVert q\rVert_\beta\le c_\beta\lVert R\rVert_\beta+\theta_\beta\lVert q\rVert_\betaであるから、

∥q∥β≤cβC01−θβ ω(C0∥η∥)∥η∥\lVert q\rVert_\beta\le\frac{c_\beta C_0}{1-\theta_\beta}\,\omega(C_0\lVert\eta\rVert)\lVert\eta\rVert

である。hhの定義によりh(ξ+η)−h(ξ)−Pu(Λ(ξ)η)(0)=Puq(0)h(\xi+\eta)-h(\xi)-P_u(\Lambda(\xi)\eta)(0)=P_uq(0)であり、∥Puq(0)∥≤∥Pu∥∥q∥β\lVert P_uq(0)\rVert\le\lVert P_u\rVert\lVert q\rVert_\betaである。補題 2.6 (1)によりη→0\eta\to0でω(C0∥η∥)→0\omega(C_0\lVert\eta\rVert)\to0であり、補題 2.6 (2)によりη↦Pu(Λ(ξ)η)(0)\eta\mapsto P_u(\Lambda(\xi)\eta)(0)は線形写像であるから、hhはξ\xiで全微分可能であり、Dh(ξ)η=Pu(Λ(ξ)η)(0)Dh(\xi)\eta=P_u(\Lambda(\xi)\eta)(0)である。

ξ,ξ′,η∈Es\xi,\xi',\eta\in E^sについて∥Dh(ξ)η−Dh(ξ′)η∥≤∥Pu∥∥Λ(ξ)η−Λ(ξ′)η∥β\lVert Dh(\xi)\eta-Dh(\xi')\eta\rVert\le\lVert P_u\rVert\lVert\Lambda(\xi)\eta-\Lambda(\xi')\eta\rVert_\betaであるから、補題 2.6 (3)によりξ↦Dh(ξ)\xi\mapsto Dh(\xi)は作用素ノルムについて連続である。したがってhhはC1C^1級である。

u0=0u_0=0であるからM0v=Dg(0)v=0M_0v=Dg(0)v=0であり、S0,η(v)=e⋅AηS_{0,\eta}(v)=e^{\cdot A}\etaである。したがってΛ(0)η=e⋅Aη\Lambda(0)\eta=e^{\cdot A}\etaであり、Dh(0)η=PuηDh(0)\eta=P_u\etaであり、§E13.12 補題 6.7 (4)によりPuη=0P_u\eta=0である。▨

3 局所安定多様体

定理 3.1.n∈N≥1n\in\NNとし、Rn\R^nに Euclid ノルム∥⋅∥\lVert\cdot\rVertを入れ、行列には対応する作用素ノルムを用いる。U⊆RnU\subseteq\R^nを00を含む開集合、F:U→RnF:U\to\R^nをC1C^1級の写像とし、00はFFの双曲型平衡点であるとする。φ\varphiをFFの流れ、A=DF(0)A=DF(0)とし、Ps,Pu,Es,EuP_s,P_u,E^s,E^uをAAに対する§E13.12 補題 6.7（K=R\mathbb K=\R、d=nd=n）の射影と部分空間とする。K≥1K\ge1、α>0\alpha>0は、すべてのt≥0t\ge0について∥etAPs∥≤Ke−αt\lVert e^{tA}P_s\rVert\le Ke^{-\alpha t}を満たし、すべてのt≤0t\le0について∥etAPu∥≤Keαt\lVert e^{tA}P_u\rVert\le Ke^{\alpha t}を満たすとする。0<β<α0<\beta<\alphaとし、δ>0\delta>0はθβ=Kδ(1α−β+1α+β)<1\theta_\beta=K\delta\bigl(\frac1{\alpha-\beta}+\frac1{\alpha+\beta}\bigr)<1を満たすとする。r>0r>0とg~:Rn→Rn\tilde g:\R^n\to\R^nを、§E13.20 補題 3.1の結論をFFとδ\deltaについて満たす半径と写像とし、h:Es→Euh:E^s\to E^uをg=g~g=\tilde gに対する命題 2.4の写像とする。C0=K(1−θβ)−1C_0=K(1-\theta_\beta)^{-1}、ρ=r/(C0(1+∥Ps∥))\rho=r/\bigl(C_0(1+\lVert P_s\rVert)\bigr)とおき、WB(0,r)sW^s_{B(0,r)}をB(0,r)B(0,r)におけるFFの00の局所安定集合とする。このとき、次が成り立つ。

  1. WB(0,r)s⊆{ξ+h(ξ):ξ∈Es}W^s_{B(0,r)}\subseteq\{\xi+h(\xi):\xi\in E^s\}であり、WB(0,r)s∩B(0,ρ)={ξ+h(ξ):ξ∈Es}∩B(0,ρ)W^s_{B(0,r)}\cap B(0,\rho)=\{\xi+h(\xi):\xi\in E^s\}\cap B(0,\rho)である。
  2. x∈WB(0,r)sx\in W^s_{B(0,r)}、t≥0t\ge0ならば∥φt(x)∥≤C0∥Ps∥e−βt∥x∥\lVert\varphi_t(x)\rVert\le C_0\lVert P_s\rVert e^{-\beta t}\lVert x\rVertである。
  3. hhはC1C^1級であり、h(0)=0h(0)=0、Dh(0)=0Dh(0)=0である。すなわち、グラフ{ξ+h(ξ):ξ∈Es}\{\xi+h(\xi):\xi\in E^s\}は原点を通り、原点でEsE^sに接する。

証明.g(x)=F(x)−Axg(x)=F(x)-Ax（x∈Ux\in U）とし、F~(x)=Ax+g~(x)\tilde F(x)=Ax+\tilde g(x)（x∈Rnx\in\R^n）とおき、φ~\tilde\varphiをF~\tilde Fの流れとする。§E13.20 補題 3.1 (1)によりB(0,r)⊆UB(0,r)\subseteq Uであり、B(0,r)B(0,r)上でg~=g\tilde g=g、すなわちF~=F\tilde F=Fである。§E13.20 補題 3.1 (2)と§E13.20 補題 3.1 (3)により、g~(0)=0\tilde g(0)=0であり、g~\tilde gは Lipschitz 定数δ\deltaの Lipschitz 写像である。したがってg=g~g=\tilde gについて命題 2.4の仮定が満たされ、命題 2.4 (2)によりφ~\tilde\varphiは完備である。補題 1.2をFF、F~\tilde F、N=B(0,r)N=B(0,r)、x∗=0x_*=0に適用すると、WB(0,r)s=WB(0,r)s(F~)W^s_{B(0,r)}=W^s_{B(0,r)}(\tilde F)であり、x∈WB(0,r)sx\in W^s_{B(0,r)}、t≥0t\ge0ならばφt(x)=φ~t(x)\varphi_t(x)=\tilde\varphi_t(x)である。

x∈WB(0,r)sx\in W^s_{B(0,r)}とする。t≥0t\ge0で∥φ~t(x)∥=∥φt(x)∥<r\lVert\tilde\varphi_t(x)\rVert=\lVert\varphi_t(x)\rVert<rであるから、命題 2.4 (3)をβ′=0\beta'=0に適用してx=ξ+h(ξ)x=\xi+h(\xi)（ξ∈Es\xi\in E^s）と書くことができる。h(ξ)∈Euh(\xi)\in E^uであるから、§E13.12 補題 6.7 (4)によりξ=Psx\xi=P_sxである。命題 2.4 (2)により、t≥0t\ge0で

∥φt(x)∥=∥φ~t(x)∥≤C0e−βt∥Psx∥≤C0∥Ps∥e−βt∥x∥\lVert\varphi_t(x)\rVert=\lVert\tilde\varphi_t(x)\rVert\le C_0e^{-\beta t}\lVert P_sx\rVert\le C_0\lVert P_s\rVert e^{-\beta t}\lVert x\rVert

である。

ξ∈Es\xi\in E^s、x=ξ+h(ξ)∈B(0,ρ)x=\xi+h(\xi)\in B(0,\rho)とする。ξ=Psx\xi=P_sxであるから∥ξ∥≤∥Ps∥ρ\lVert\xi\rVert\le\lVert P_s\rVert\rhoであり、命題 2.4 (2)により、t≥0t\ge0で

∥φ~t(x)∥≤C0∥Ps∥ρ=∥Ps∥1+∥Ps∥r<r\lVert\tilde\varphi_t(x)\rVert\le C_0\lVert P_s\rVert\rho=\frac{\lVert P_s\rVert}{1+\lVert P_s\rVert}r<r

である。θβ<1\theta_\beta<1とK≥1K\ge1によりC0≥1C_0\ge1であるからρ≤r\rho\le rであり、x∈B(0,r)x\in B(0,r)である。φ~\tilde\varphiは完備であるから、x∈WB(0,r)s(F~)=WB(0,r)sx\in W^s_{B(0,r)}(\tilde F)=W^s_{B(0,r)}である。したがって{ξ+h(ξ):ξ∈Es}∩B(0,ρ)⊆WB(0,r)s∩B(0,ρ)\{\xi+h(\xi):\xi\in E^s\}\cap B(0,\rho)\subseteq W^s_{B(0,r)}\cap B(0,\rho)であり、逆の包含は第一の包含から従う。

主張 (3)を示す。§E13.20 補題 3.1によりg~\tilde gはC1C^1級で、g~(0)=0\tilde g(0)=0、Dg~(0)=0D\tilde g(0)=0、∥Dg~∥≤δ\lVert D\tilde g\rVert\le\deltaを満たし、Dg~D\tilde gは一様連続である。θβ<1\theta_\beta<1であるから、g=g~g=\tilde gは補題 2.6の仮定を満たし、命題 2.7によりhhはC1C^1級でDh(0)=0Dh(0)=0である。命題 2.4 (1)によりh(0)=0h(0)=0である。▨

系 3.2.n∈N≥1n\in\NNとし、Rn\R^nに Euclid ノルム∥⋅∥\lVert\cdot\rVertを入れ、行列には対応する作用素ノルムを用いる。U⊆RnU\subseteq\R^nを00を含む開集合、F:U→RnF:U\to\R^nをC1C^1級の写像とし、00はFFの双曲型平衡点であるとする。φ\varphiをFFの流れ、A=DF(0)A=DF(0)とし、Ps,Pu,Es,EuP_s,P_u,E^s,E^uをAAに対する§E13.12 補題 6.7（K=R\mathbb K=\R、d=nd=n）の射影と部分空間とする。K≥1K\ge1、α>0\alpha>0は、すべてのt≥0t\ge0について∥etAPs∥≤Ke−αt\lVert e^{tA}P_s\rVert\le Ke^{-\alpha t}を満たし、すべてのt≤0t\le0について∥etAPu∥≤Keαt\lVert e^{tA}P_u\rVert\le Ke^{\alpha t}を満たすとする。0<β<α0<\beta<\alpha、δ>0\delta>0、θβ=Kδ(1α−β+1α+β)<1\theta_\beta=K\delta\bigl(\frac1{\alpha-\beta}+\frac1{\alpha+\beta}\bigr)<1とし、C0=K(1−θβ)−1C_0=K(1-\theta_\beta)^{-1}とおく。このときr>0r>0とC1C^1級写像hu:Eu→Esh^u:E^u\to E^sでhu(0)=0h^u(0)=0、Dhu(0)=0Dh^u(0)=0を満たすものが存在し、ρ=r/(C0(1+∥Pu∥))\rho=r/\bigl(C_0(1+\lVert P_u\rVert)\bigr)とおくと、B(0,r)B(0,r)におけるFFの00の局所不安定集合WB(0,r)uW^u_{B(0,r)}について次が成り立つ。

  1. WB(0,r)u⊆{η+hu(η):η∈Eu}W^u_{B(0,r)}\subseteq\{\eta+h^u(\eta):\eta\in E^u\}であり、WB(0,r)u∩B(0,ρ)={η+hu(η):η∈Eu}∩B(0,ρ)W^u_{B(0,r)}\cap B(0,\rho)=\{\eta+h^u(\eta):\eta\in E^u\}\cap B(0,\rho)である。
  2. x∈WB(0,r)ux\in W^u_{B(0,r)}、t≤0t\le0ならば∥φt(x)∥≤C0∥Pu∥eβt∥x∥\lVert\varphi_t(x)\rVert\le C_0\lVert P_u\rVert e^{\beta t}\lVert x\rVertである。

証明.−F-FはC1C^1級で−F(0)=0-F(0)=0、D(−F)(0)=−AD(-F)(0)=-Aである。λ∈C\lambda\in\Cについて(−A−(−λ)I)n=(−1)n(A−λI)n(-A-(-\lambda)I)^n=(-1)^n(A-\lambda I)^nであるから、−A-Aの固有値はAAの固有値の−1-1倍であり、λ∈σ(A)\lambda\in\sigma(A)についてG−λ(−A)=Gλ(A)G_{-\lambda}(-A)=G_\lambda(A)、π−λ(−A)=πλ(A)\pi_{-\lambda}(-A)=\pi_\lambda(A)である。したがって00は−F-Fの双曲型平衡点であり、−A-Aに対する§E13.12 補題 6.7の射影と部分空間は、実部が負の固有値の側がPu,EuP_u,E^u、実部が正の固有値の側がPs,EsP_s,E^sである。t≥0t\ge0で∥et(−A)Pu∥=∥e(−t)APu∥≤Ke−αt\lVert e^{t(-A)}P_u\rVert=\lVert e^{(-t)A}P_u\rVert\le Ke^{-\alpha t}であり、t≤0t\le0で∥et(−A)Ps∥≤Keαt\lVert e^{t(-A)}P_s\rVert\le Ke^{\alpha t}である。

§E13.20 補題 3.1を−F-Fとδ\deltaに適用してrrとg~\tilde gを取り、hu:Eu→Esh^u:E^u\to E^sをg=g~g=\tilde gと−A-Aに対する命題 2.4の写像とする。定理 3.1を−F-Fとこれらの射影・部分空間・定数に適用すると、定理 3.1 (3)によりhuh^uはC1C^1級でhu(0)=0h^u(0)=0、Dhu(0)=0Dh^u(0)=0を満たし、−F-F、WB(0,r)s(−F)W^s_{B(0,r)}(-F)、huh^u、PuP_uについて定理 3.1 (1)と定理 3.1 (2)の結論が成り立つ。§E13.15 補題 1.4によりI−F(x)=−IF(x)I_{-F}(x)=-I_F(x)、φt−F(x)=φ−t(x)\varphi^{-F}_t(x)=\varphi_{-t}(x)であるから、WB(0,r)s(−F)=WB(0,r)u(F)W^s_{B(0,r)}(-F)=W^u_{B(0,r)}(F)であり、x∈WB(0,r)ux\in W^u_{B(0,r)}、t≤0t\le0について∥φt(x)∥=∥φ−t−F(x)∥≤C0∥Pu∥eβt∥x∥\lVert\varphi_t(x)\rVert=\lVert\varphi^{-F}_{-t}(x)\rVert\le C_0\lVert P_u\rVert e^{\beta t}\lVert x\rVertである。▨

定義 3.3.n∈N≥1n\in\NNとし、Rn\R^nに Euclid ノルムを入れる。U⊆RnU\subseteq\R^nを開集合、F:U→RnF:U\to\R^nをC1C^1級の写像、x∗∈Ux_*\in UをFFの双曲型平衡点とする。x∗=0x_*=0のとき、定理 3.1の仮定を満たすK,α,β,δ,r,g~K,\alpha,\beta,\delta,r,\tilde gを一組選び、その定理のρ\rhoについて、WB(0,r)s∩B(0,ρ)W^s_{B(0,r)}\cap B(0,\rho)を00の局所安定多様体 (local stable manifold) という。系 3.2の仮定を満たすK,α,β,δK,\alpha,\beta,\deltaと、その系の結論を満たすrrを一組選び、その系のρ\rhoについて、WB(0,r)u∩B(0,ρ)W^u_{B(0,r)}\cap B(0,\rho)を00の局所不安定多様体 (local unstable manifold) という。一般のx∗x_*については、y↦F(x∗+y)y\mapsto F(x_*+y)（y∈U−x∗y\in U-x_*）の00の局所安定多様体と局所不安定多様体をx∗x_*だけ平行移動した集合を、x∗x_*の局所安定多様体と局所不安定多様体という。局所安定多様体と局所不安定多様体はrrとρ\rhoで定まり、rrとρ\rhoは選んだ定数と写像に依存する。

注意 3.4.定理 3.1の設定で、O={ξ∈Es:ξ+h(ξ)∈B(0,ρ)}O=\{\xi\in E^s:\xi+h(\xi)\in B(0,\rho)\}とおく。定理 3.1 (3)によりι(ξ)=ξ+h(ξ)\iota(\xi)=\xi+h(\xi)はOO上のC1C^1級写像であり、η∈Es\eta\in E^sについてDι(ξ)η=η+Dh(ξ)ηD\iota(\xi)\eta=\eta+Dh(\xi)\eta、PsDι(ξ)η=ηP_sD\iota(\xi)\eta=\etaであるから、Dι(ξ)D\iota(\xi)は単射である。ι\iotaはOOからWB(0,r)s∩B(0,ρ)W^s_{B(0,r)}\cap B(0,\rho)への全単射であり、その逆写像は連続なPsP_sの制限である。したがって00の局所安定多様体WB(0,r)s∩B(0,ρ)W^s_{B(0,r)}\cap B(0,\rho)はRn\R^nのdim⁡Es\dim E^s次元のC1C^1級部分多様体であり、原点での接空間はEsE^sである。同じく00の局所不安定多様体WB(0,r)u∩B(0,ρ)W^u_{B(0,r)}\cap B(0,\rho)は、Rn\R^nのdim⁡Eu\dim E^u次元のC1C^1級部分多様体であり、原点での接空間はEuE^uである。平衡点x∗∈Ux_*\in Uについては、F(x∗+⋅)F(x_*+\cdot)にこれらの結果を適用し、得られた集合をx∗x_*だけ平行移動する。

安定多様体の構成には、Hadamard による写像のグラフの変換を反復する方法と、Perron による積分方程式の不動点として得る方法があり、本記事の構成は後者である。§E13.20 定理 3.3により双曲型平衡点の近くの流れは線形化の流れと局所位相共役であるが、§E13.20 例 4.2のとおりその共役は平衡点で微分可能とは限らない。一方、局所安定集合が原点の近くでC1C^1級写像のグラフに一致し、そのグラフがEsE^sに接することは、共役の微分可能性を用いずに、定理 3.1により積分方程式から得られる。

例 3.5.F:R2→R2F:\R^2\to\R^2、F(x,y)=(x2,−y)F(x,y)=(x^2,-y)とする。F(0)=0F(0)=0、DF(0)=diag⁡(0,−1)DF(0)=\operatorname{diag}(0,-1)であり、DF(0)DF(0)は固有値00をもつから、00は双曲型でない平衡点である。このとき、すべてのr>0r>0について

WB(0,r)s={(x,y)∈B(0,r):x≤0}W^s_{B(0,r)}=\{(x,y)\in B(0,r):x\le0\}

であり、どの一次元部分空間E⊆R2E\subseteq\R^2、R2=E⊕E′\R^2=E\oplus E'を満たす部分空間E′E'、集合Z⊆EZ\subseteq E、写像γ:Z→E′\gamma:Z\to E'についてもWB(0,r)s≠{e+γ(e):e∈Z}W^s_{B(0,r)}\ne\{e+\gamma(e):e\in Z\}である。特にWB(0,r)sW^s_{B(0,r)}は固有値−1-1の固有空間{0}×R\{0\}\times\R上のグラフでない。さらに、x0<0x_0<0ならばφt(x0,0)→0\varphi_t(x_0,0)\to0（t→∞t\to\infty）であるが、どのβ>0\beta>0についてもeβt∥φt(x0,0)∥→∞e^{\beta t}\lVert\varphi_t(x_0,0)\rVert\to\inftyである。

実際、p=(x0,y0)∈R2p=(x_0,y_0)\in\R^2とする。x0≤0x_0\le0とし、J={t∈R:1−x0t>0}J=\{t\in\R:1-x_0t>0\}とおく。JJは[0,∞)[0,\infty)を含む開区間であり、z(t)=(x0/(1−x0t), y0e−t)z(t)=\bigl(x_0/(1-x_0t),\,y_0e^{-t}\bigr)はJJ上の古典解でz(0)=pz(0)=pであるから、§E13.15 補題 1.2によりJ⊆I(p)J\subseteq I(p)、JJ上でφt(p)=z(t)\varphi_t(p)=z(t)である。t≥0t\ge0で∣x0/(1−x0t)∣≤∣x0∣\lvert x_0/(1-x_0t)\rvert\le\lvert x_0\rvert、∣y0e−t∣≤∣y0∣\lvert y_0e^{-t}\rvert\le\lvert y_0\rvertであるから∥φt(p)∥≤∥p∥\lVert\varphi_t(p)\rVert\le\lVert p\rVertであり、p∈B(0,r)p\in B(0,r)ならばp∈WB(0,r)sp\in W^s_{B(0,r)}である。x0>0x_0>0ならば、同じ式で定めたzzは(−∞,1/x0)(-\infty,1/x_0)上の古典解であり、§E13.15 補題 1.2により(−∞,1/x0)⊆I(p)(-\infty,1/x_0)\subseteq I(p)でφt(p)=z(t)\varphi_t(p)=z(t)である。t→1/x0t\to1/x_0で∥z(t)∥→∞\lVert z(t)\rVert\to\inftyであるから、1/x0∈I(p)1/x_0\in I(p)とするとt↦φt(p)t\mapsto\varphi_t(p)の1/x01/x_0での連続性に反する。したがってI(p)⊆(−∞,1/x0)I(p)\subseteq(-\infty,1/x_0)であり、p∉WB(0,r)sp\notin W^s_{B(0,r)}である。

Q={(x,y)∈B(0,r):x<0}Q=\{(x,y)\in B(0,r):x<0\}は空でない開集合でWB(0,r)sW^s_{B(0,r)}に含まれる。E,E′,Z,γE,E',Z,\gammaを上のとおりとし、WB(0,r)s={e+γ(e):e∈Z}W^s_{B(0,r)}=\{e+\gamma(e):e\in Z\}と仮定する。πE\pi_EをR2=E⊕E′\R^2=E\oplus E'に対応するEEへの射影とすると、πE(e+γ(e))=e\pi_E(e+\gamma(e))=eであるから、πE\pi_EはWB(0,r)sW^s_{B(0,r)}上で単射である。一方d∈E′∖{0}d\in E'\setminus\{0\}、p∈Qp\in Qを取ると、ε>0\varepsilon>0を小さく取ってp+εd∈Qp+\varepsilon d\in Qとすることができ、πE(p+εd)=πE(p)\pi_E(p+\varepsilon d)=\pi_E(p)、p+εd≠pp+\varepsilon d\ne pである。πE\pi_EがWB(0,r)sW^s_{B(0,r)}上で単射であることと、WB(0,r)sW^s_{B(0,r)}の相異なる二点p,p+εdp,p+\varepsilon dの像が一致することは両立しない。

x0<0x_0<0ならば∥φt(x0,0)∥=∣x0∣/(1+∣x0∣t)→0\lVert\varphi_t(x_0,0)\rVert=\lvert x_0\rvert/(1+\lvert x_0\rvert t)\to0であり、β>0\beta>0についてeβt∣x0∣/(1+∣x0∣t)→∞e^{\beta t}\lvert x_0\rvert/(1+\lvert x_0\rvert t)\to\inftyである。

4 大域安定多様体

定義 4.1.n∈N≥1n\in\NNとし、U⊆RnU\subseteq\R^nを開集合、F:U→RnF:U\to\R^nをC1C^1級の写像、φ\varphiをFFの流れ、I(x)I(x)を最大存在区間とし、x∗∈Ux_*\in UをFFの双曲型平衡点とする。

Ws(x∗)={x∈U:[0,∞)⊆I(x), φt(x)→x∗ (t→∞)},Wu(x∗)={x∈U:(−∞,0]⊆I(x), φt(x)→x∗ (t→−∞)}W^s(x_*)=\{x\in U:[0,\infty)\subseteq I(x),\ \varphi_t(x)\to x_*\ (t\to\infty)\},\qquad W^u(x_*)=\{x\in U:(-\infty,0]\subseteq I(x),\ \varphi_t(x)\to x_*\ (t\to-\infty)\}

とおく。Ws(x∗)W^s(x_*)をx∗x_*の大域安定多様体 (global stable manifold)、Wu(x∗)W^u(x_*)をx∗x_*の大域不安定多様体 (global unstable manifold) という。Ws(x∗)W^s(x_*)は集合としてx∗x_*の引き込み領域B(x∗)\mathcal B(x_*)に等しい。

定理 3.1 (2)により、00の局所安定多様体はWs(0)W^s(0)に含まれる。

命題 4.2.n∈N≥1n\in\NNとし、Rn\R^nに Euclid ノルム∥⋅∥\lVert\cdot\rVertを入れる。U⊆RnU\subseteq\R^nを00を含む開集合、F:U→RnF:U\to\R^nをC1C^1級の写像とし、00はFFの双曲型平衡点であるとする。φ\varphiをFFの流れ、I(x)I(x)を最大存在区間とし、t∈Rt\in\Rに対してUt={x∈U:t∈I(x)}U_t=\{x\in U:t\in I(x)\}とおく。A,Es,Eu,Ps,Pu,K,α,β,δ,r,g~,h,C0,ρA,E^s,E^u,P_s,P_u,K,\alpha,\beta,\delta,r,\tilde g,h,C_0,\rhoを定理 3.1のとおりとし、WB(0,r)sW^s_{B(0,r)}をB(0,r)B(0,r)におけるFFの00の局所安定集合とする。このとき、次が成り立つ。

  1. Ws(0)=⋃T≥0φ−T(WB(0,r)s∩U−T)W^s(0)=\bigcup_{T\ge0}\varphi_{-T}\bigl(W^s_{B(0,r)}\cap U_{-T}\bigr)である。
  2. x∈Ws(0)x\in W^s(0)ならば、C>0C>0が存在して、すべてのt≥0t\ge0について∥φt(x)∥≤Ce−βt\lVert\varphi_t(x)\rVert\le Ce^{-\beta t}である。
  3. x∈Ws(0)x\in W^s(0)ならば、T≥0T\ge0、WB(0,r)sW^s_{B(0,r)}の相対開集合DDでφT(x)∈D⊆U−T\varphi_T(x)\in D\subseteq U_{-T}を満たすもの、dim⁡E=dim⁡Es\dim E=\dim E^sを満たす部分空間E⊆RnE\subseteq\R^n、Rn=E⊕E′\R^n=E\oplus E'を満たす部分空間E′E'、EEの開集合ZZ、C1C^1級写像γ:Z→E′\gamma:Z\to E'が存在して、 φ−T(D)={e+γ(e):e∈Z}\varphi_{-T}(D)=\{e+\gamma(e):e\in Z\} が成り立つ。

証明.x∈Ws(0)x\in W^s(0)、T≥0T\ge0とし、すべてのt≥Tt\ge Tについてφt(x)∈B(0,r)\varphi_t(x)\in B(0,r)であるとする。y=φT(x)y=\varphi_T(x)とおくと、§E13.15 定理 1.3によりI(y)=I(x)−TI(y)=I(x)-Tは[−T,∞)[-T,\infty)を含み、s≥0s\ge0でφs(y)=φs+T(x)∈B(0,r)\varphi_s(y)=\varphi_{s+T}(x)\in B(0,r)、φ−T(y)=x\varphi_{-T}(y)=xである。したがってy∈WB(0,r)s∩U−Ty\in W^s_{B(0,r)}\cap U_{-T}、φ−T(y)=x\varphi_{-T}(y)=xである。φt(x)→0\varphi_t(x)\to0であるから、このようなTTが存在する。

主張 (1)を示す。x∈Ws(0)x\in W^s(0)ならば、前段によりxxは右辺に属する。逆にT≥0T\ge0、y∈WB(0,r)s∩U−Ty\in W^s_{B(0,r)}\cap U_{-T}、x=φ−T(y)x=\varphi_{-T}(y)とする。I(y)I(y)は−T-Tと[0,∞)[0,\infty)を含む区間であるから[−T,∞)[-T,\infty)を含み、§E13.15 定理 1.3によりI(x)=I(y)+T⊇[0,∞)I(x)=I(y)+T\supseteq[0,\infty)である。t≥Tt\ge Tでφt(x)=φt−T(y)\varphi_t(x)=\varphi_{t-T}(y)であり、定理 3.1 (2)により∥φt−T(y)∥≤C0∥Ps∥e−β(t−T)∥y∥→0\lVert\varphi_{t-T}(y)\rVert\le C_0\lVert P_s\rVert e^{-\beta(t-T)}\lVert y\rVert\to0である。したがってx∈Ws(0)x\in W^s(0)である。

主張 (2)を示す。x∈Ws(0)x\in W^s(0)とし、TT、yyを第一段のとおり取る。t≥Tt\ge Tで∥φt(x)∥≤C0∥Ps∥eβT∥y∥e−βt\lVert\varphi_t(x)\rVert\le C_0\lVert P_s\rVert e^{\beta T}\lVert y\rVert e^{-\beta t}である。t↦φt(x)t\mapsto\varphi_t(x)は[0,T][0,T]上で連続であるから、M=max⁡0≤t≤T∥φt(x)∥M=\max_{0\le t\le T}\lVert\varphi_t(x)\rVertが存在する。C=max⁡{MeβT, C0∥Ps∥eβT∥y∥}+1C=\max\{Me^{\beta T},\,C_0\lVert P_s\rVert e^{\beta T}\lVert y\rVert\}+1とおくと結論を得る。

主張 (3)を示す。x∈Ws(0)x\in W^s(0)とし、T≥0T\ge0をすべてのt≥Tt\ge Tでφt(x)∈B(0,ρ)\varphi_t(x)\in B(0,\rho)となるように取る。C0≥K≥1C_0\ge K\ge1によりρ≤r\rho\le rであるから、第一段によりy=φT(x)∈WB(0,r)s∩B(0,ρ)∩U−Ty=\varphi_T(x)\in W^s_{B(0,r)}\cap B(0,\rho)\cap U_{-T}である。定理 3.1 (1)によりξ0=Psy\xi_0=P_syについてy=ξ0+h(ξ0)y=\xi_0+h(\xi_0)である。

dim⁡Es=0\dim E^s=0とする。Es={0}E^s=\{0\}であるから{ξ+h(ξ):ξ∈Es}={0}\{\xi+h(\xi):\xi\in E^s\}=\{0\}であり、定理 3.1 (1)によりWB(0,r)s∩B(0,ρ)={0}W^s_{B(0,r)}\cap B(0,\rho)=\{0\}、y=0y=0である。D={0}D=\{0\}はWB(0,r)sW^s_{B(0,r)}の相対開集合であり、φ−T(0)=0\varphi_{-T}(0)=0であるから、E={0}E=\{0\}、E′=RnE'=\R^n、Z={0}Z=\{0\}、γ(0)=0\gamma(0)=0が結論を満たす。

dim⁡Es≥1\dim E^s\ge1とする。定理 3.1 (3)によりhhはC1C^1級である。§E13.15 定理 2.1 (2)によりU−TU_{-T}は開集合であるから、O={ξ∈Es:ξ+h(ξ)∈B(0,ρ)∩U−T}O=\{\xi\in E^s:\xi+h(\xi)\in B(0,\rho)\cap U_{-T}\}はξ0\xi_0を含むEsE^sの開集合である。Ψ(ξ)=φ−T(ξ+h(ξ))\Psi(\xi)=\varphi_{-T}(\xi+h(\xi))（ξ∈O\xi\in O）とおく。§E13.15 系 2.2 (3)と§E4.3 定理 1.1によりΨ\PsiはC1C^1級であり、DΨ(ξ0)η=Dφ−T(y)(η+Dh(ξ0)η)D\Psi(\xi_0)\eta=D\varphi_{-T}(y)\bigl(\eta+Dh(\xi_0)\eta\bigr)である。Dφ−T(y)D\varphi_{-T}(y)は可逆であり、Ps(η+Dh(ξ0)η)=ηP_s(\eta+Dh(\xi_0)\eta)=\etaであるから、DΨ(ξ0):Es→RnD\Psi(\xi_0):E^s\to\R^nは単射である。E=DΨ(ξ0)(Es)E=D\Psi(\xi_0)(E^s)とおくとdim⁡E=dim⁡Es\dim E=\dim E^sであり、Rn=E⊕E′\R^n=E\oplus E'を満たす部分空間E′E'を取り、πE,πE′\pi_E,\pi_{E'}を対応する射影とする。

EsE^sとEEを基底によりRdim⁡Es\R^{\dim E^s}と同一視し、Φ(e,ξ)=πEΨ(ξ)−e\Phi(e,\xi)=\pi_E\Psi(\xi)-e（e∈Ee\in E、ξ∈O\xi\in O）とおく。Φ\PhiはC1C^1級であり、e0=πExe_0=\pi_ExについてΨ(ξ0)=x\Psi(\xi_0)=xであるからΦ(e0,ξ0)=0\Phi(e_0,\xi_0)=0である。DξΦ(e0,ξ0)=πEDΨ(ξ0)D_\xi\Phi(e_0,\xi_0)=\pi_ED\Psi(\xi_0)は、DΨ(ξ0)D\Psi(\xi_0)がEsE^sからEEへの全単射でπE\pi_EがEE上で恒等写像であるから、可逆である。§E4.8 定理 2.1 (2)により、e0e_0のEEにおける開近傍ZZ、ξ0\xi_0のEsE^sにおける開近傍YYでZ×Y⊆E×OZ\times Y\subseteq E\times Oを満たすものと、C1C^1級写像κ:Z→Y\kappa:Z\to Yが存在して、(e,ξ)∈Z×Y(e,\xi)\in Z\times YについてΦ(e,ξ)=0\Phi(e,\xi)=0とξ=κ(e)\xi=\kappa(e)は同値である。

D={ξ+h(ξ):ξ∈Y, πEΨ(ξ)∈Z},γ(e)=πE′Ψ(κ(e))(e∈Z)D=\{\xi+h(\xi):\xi\in Y,\ \pi_E\Psi(\xi)\in Z\},\qquad\gamma(e)=\pi_{E'}\Psi(\kappa(e))\quad(e\in Z)

とおく。γ\gammaはC1C^1級である。ξ0∈Y\xi_0\in Y、πEΨ(ξ0)=e0∈Z\pi_E\Psi(\xi_0)=e_0\in Zであるからy∈Dy\in Dであり、Y⊆OY\subseteq OであるからD⊆U−TD\subseteq U_{-T}である。

ξ∈Y\xi\in Y、πEΨ(ξ)∈Z\pi_E\Psi(\xi)\in Zとし、e=πEΨ(ξ)e=\pi_E\Psi(\xi)とおくと、Φ(e,ξ)=0\Phi(e,\xi)=0であるからξ=κ(e)\xi=\kappa(e)であり、φ−T(ξ+h(ξ))=Ψ(κ(e))=e+γ(e)\varphi_{-T}(\xi+h(\xi))=\Psi(\kappa(e))=e+\gamma(e)である。逆にe∈Ze\in Zとし、ξ=κ(e)∈Y\xi=\kappa(e)\in Yとおくと、Φ(e,ξ)=0\Phi(e,\xi)=0であるからπEΨ(ξ)=e∈Z\pi_E\Psi(\xi)=e\in Zであり、ξ+h(ξ)∈D\xi+h(\xi)\in D、φ−T(ξ+h(ξ))=e+γ(e)\varphi_{-T}(\xi+h(\xi))=e+\gamma(e)である。したがってφ−T(D)={e+γ(e):e∈Z}\varphi_{-T}(D)=\{e+\gamma(e):e\in Z\}である。

G={z∈B(0,ρ)∩U−T:Psz∈Y, πEφ−T(z)∈Z}G=\{z\in B(0,\rho)\cap U_{-T}:P_sz\in Y,\ \pi_E\varphi_{-T}(z)\in Z\}は開集合である。z∈WB(0,r)s∩Gz\in W^s_{B(0,r)}\cap Gならば、定理 3.1 (1)によりz=Psz+h(Psz)z=P_sz+h(P_sz)であり、Psz∈YP_sz\in Y、πEΨ(Psz)=πEφ−T(z)∈Z\pi_E\Psi(P_sz)=\pi_E\varphi_{-T}(z)\in Zであるからz∈Dz\in Dである。逆にz=ξ+h(ξ)∈Dz=\xi+h(\xi)\in Dならば、ξ∈Y⊆O\xi\in Y\subseteq Oからz∈B(0,ρ)∩U−Tz\in B(0,\rho)\cap U_{-T}であり、定理 3.1 (1)によりz∈WB(0,r)sz\in W^s_{B(0,r)}であって、Psz=ξP_sz=\xiからz∈Gz\in Gである。したがってD=WB(0,r)s∩GD=W^s_{B(0,r)}\cap GはWB(0,r)sW^s_{B(0,r)}の相対開集合である。▨

例 4.3.F:R2→R2F:\R^2\to\R^2、F(x,y)=(y, x−x2)F(x,y)=(y,\,x-x^2)とする。F(0)=0F(0)=0であり、DF(0)=(0110)DF(0)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}の固有値は±1\pm1であるから、00はFFの双曲型平衡点である。このとき、00のどの開近傍VVについても、一次元部分空間E⊆R2E\subseteq\R^2、R2=E⊕E′\R^2=E\oplus E'を満たす部分空間E′E'、集合Z⊆EZ\subseteq E、写像γ:Z→E′\gamma:Z\to E'で

Ws(0)∩V={e+γ(e):e∈Z}W^s(0)\cap V=\{e+\gamma(e):e\in Z\}

を満たすものは存在しない。

実際、t∈Rt\in\Rに対してS(t)=sech⁡2(t/2)S(t)=\operatorname{sech}^2(t/2)、Θ(t)=tanh⁡(t/2)\Theta(t)=\tanh(t/2)とおくと、S′=−SΘS'=-S\Theta、Θ′=S/2\Theta'=S/2、Θ2=1−S\Theta^2=1-Sである。p(t)=(32S(t), −32S(t)Θ(t))p(t)=\bigl(\tfrac32S(t),\,-\tfrac32S(t)\Theta(t)\bigr)とおくと、第一成分p1=32Sp_1=\tfrac32Sについてp1′=−32SΘp_1'=-\tfrac32S\Thetaであり、

p1′′=−32(S′Θ+SΘ′)=32(SΘ2−12S2)=32S−94S2=p1−p12p_1''=-\tfrac32(S'\Theta+S\Theta')=\tfrac32\bigl(S\Theta^2-\tfrac12S^2\bigr)=\tfrac32S-\tfrac94S^2=p_1-p_1^2

であるから、ppはR\R上の古典解である。t>0t>0に対してS^(t)=csch⁡2(t/2)\hat S(t)=\operatorname{csch}^2(t/2)、Θ^(t)=coth⁡(t/2)\hat\Theta(t)=\coth(t/2)とおくと、S^′=−S^Θ^\hat S'=-\hat S\hat\Theta、Θ^′=−S^/2\hat\Theta'=-\hat S/2、Θ^2=1+S^\hat\Theta^2=1+\hat Sである。q(t)=(−32S^(t), 32S^(t)Θ^(t))q(t)=\bigl(-\tfrac32\hat S(t),\,\tfrac32\hat S(t)\hat\Theta(t)\bigr)とおくと、q1=−32S^q_1=-\tfrac32\hat Sについてq1′=32S^Θ^q_1'=\tfrac32\hat S\hat\Thetaであり、

q1′′=32(S^′Θ^+S^Θ^′)=−32(S^Θ^2+12S^2)=−32S^−94S^2=q1−q12q_1''=\tfrac32(\hat S'\hat\Theta+\hat S\hat\Theta')=-\tfrac32\bigl(\hat S\hat\Theta^2+\tfrac12\hat S^2\bigr)=-\tfrac32\hat S-\tfrac94\hat S^2=q_1-q_1^2

であるから、qqは(0,∞)(0,\infty)上の古典解である。t→∞t\to\inftyでS(t)→0S(t)\to0、Θ(t)→1\Theta(t)\to1、S^(t)→0\hat S(t)\to0、Θ^(t)→1\hat\Theta(t)\to1であり、t→−∞t\to-\inftyでS(t)→0S(t)\to0、Θ(t)→−1\Theta(t)\to-1である。

t0∈Rt_0\in\Rとし、z(s)=p(t0+s)z(s)=p(t_0+s)（s∈Rs\in\R）に§E13.15 補題 1.2を適用すると、I(p(t0))=RI(p(t_0))=\Rでありφs(p(t0))=p(t0+s)→0\varphi_s(p(t_0))=p(t_0+s)\to0（s→∞s\to\infty）であるから、p(t0)∈Ws(0)p(t_0)\in W^s(0)である。t0>0t_0>0とし、z(s)=q(t0+s)z(s)=q(t_0+s)（s>−t0s>-t_0）に同じ補題を適用すると、[0,∞)⊆I(q(t0))[0,\infty)\subseteq I(q(t_0))でありφs(q(t0))=q(t0+s)→0\varphi_s(q(t_0))=q(t_0+s)\to0であるから、q(t0)∈Ws(0)q(t_0)\in W^s(0)である。t>0t>0に対してσ1(t)=p(t)\sigma_1(t)=p(t)、σ2(t)=p(−t)\sigma_2(t)=p(-t)、σ3(t)=q(t)\sigma_3(t)=q(t)とおくと、σ1(t)\sigma_1(t)は{x>0, y<0}\{x>0,\,y<0\}、σ2(t)\sigma_2(t)は{x>0, y>0}\{x>0,\,y>0\}、σ3(t)\sigma_3(t)は{x<0, y>0}\{x<0,\,y>0\}に属し、i=1,2,3i=1,2,3についてt→∞t\to\inftyでσi(t)→0\sigma_i(t)\to0である。

V,E,E′,Z,γV,E,E',Z,\gammaが上の等式を満たすと仮定する。E′E'は一次元であるから、ker⁡ℓ=E′\ker\ell=E'を満たす線形写像ℓ:R2→R\ell:\R^2\to\Rが存在する。πE\pi_EをR2=E⊕E′\R^2=E\oplus E'に対応するEEへの射影とすると、z,z′∈R2z,z'\in\R^2についてℓ(z)=ℓ(z′)\ell(z)=\ell(z')はz−z′∈E′z-z'\in E'、すなわちπEz=πEz′\pi_Ez=\pi_Ez'と同値である。πE(e+γ(e))=e\pi_E(e+\gamma(e))=eであるから、ℓ\ellはWs(0)∩VW^s(0)\cap V上で単射である。VVは00の開近傍であるから、t1>0t_1>0が存在して、t≥t1t\ge t_1、i=1,2,3i=1,2,3についてσi(t)∈V\sigma_i(t)\in Vである。0∈Ws(0)∩V0\in W^s(0)\cap V、ℓ(0)=0\ell(0)=0でありσi(t)≠0\sigma_i(t)\ne0であるから、fi(t)=ℓ(σi(t))f_i(t)=\ell(\sigma_i(t))は[t1,∞)[t_1,\infty)上で00にならない連続関数であり、中間値の定理により一定の符号をもつ。三つのfif_iのうち二つfi,fjf_i,f_j（i≠ji\ne j）は同じ符号ϵ∈{1,−1}\epsilon\in\{1,-1\}をもつ。ϵfi([t1,∞))\epsilon f_i([t_1,\infty))とϵfj([t1,∞))\epsilon f_j([t_1,\infty))は(0,∞)(0,\infty)に含まれる区間で、t→∞t\to\inftyでfi(t),fj(t)→0f_i(t),f_j(t)\to0であるから、m=min⁡{ϵfi(t1),ϵfj(t1)}m=\min\{\epsilon f_i(t_1),\epsilon f_j(t_1)\}について両者は(0,m](0,m]を含む。したがってs,s′≥t1s,s'\ge t_1が存在してfi(s)=fj(s′)f_i(s)=f_j(s')である。σi(s)\sigma_i(s)とσj(s′)\sigma_j(s')は異なる象限に属するから相異なる。ℓ\ellがWs(0)∩VW^s(0)\cap V上で単射であることと、その相異なる二点σi(s),σj(s′)\sigma_i(s),\sigma_j(s')でℓ\ellの値が一致することは両立しない。

5 高階の滑らかさと中心多様体

定理 5.1.n,k∈N≥1n,k\in\NNとし、Rn\R^nに Euclid ノルム∥⋅∥\lVert\cdot\rVertを入れる。U⊆RnU\subseteq\R^nを00を含む開集合、F:U→RnF:U\to\R^nをCkC^k級の写像とし、00はFFの双曲型平衡点であるとする。A=DF(0)A=DF(0)とし、Es,EuE^s,E^uをAAに対する§E13.12 補題 6.7（K=R\mathbb K=\R、d=nd=n）の部分空間とする。このときr>0r>0、ρ>0\rho>0と、h(0)=0h(0)=0、Dh(0)=0Dh(0)=0を満たすCkC^k級写像h:Es→Euh:E^s\to E^uが存在して、B(0,r)B(0,r)におけるFFの00の局所安定集合WB(0,r)sW^s_{B(0,r)}について

WB(0,r)s⊆{ξ+h(ξ):ξ∈Es},WB(0,r)s∩B(0,ρ)={ξ+h(ξ):ξ∈Es}∩B(0,ρ)W^s_{B(0,r)}\subseteq\{\xi+h(\xi):\xi\in E^s\},\qquad W^s_{B(0,r)}\cap B(0,\rho)=\{\xi+h(\xi):\xi\in E^s\}\cap B(0,\rho)

が成り立つ。

定理 5.2 (中心多様体定理).n,k∈N≥1n,k\in\NNとし、U⊆RnU\subseteq\R^nを00を含む開集合、F:U→RnF:U\to\R^nをF(0)=0F(0)=0を満たすCkC^k級の写像、φ\varphiをFFの流れ、I(x)I(x)を最大存在区間とし、A=DF(0)A=DF(0)とおく。Ec,Eh⊆RnE^c,E^h\subseteq\R^nをAAで不変な部分空間で、Rn=Ec⊕Eh\R^n=E^c\oplus E^hであり、A∣EcA|_{E^c}の固有値の実部はすべて00、A∣EhA|_{E^h}の固有値の実部はすべて00でないものとする。このとき、00の開近傍W⊆UW\subseteq Uと、ψ(0)=0\psi(0)=0、Dψ(0)=0D\psi(0)=0を満たすCkC^k級写像ψ:Ec→Eh\psi:E^c\to E^hが存在して、M={ξ+ψ(ξ):ξ∈Ec}M=\{\xi+\psi(\xi):\xi\in E^c\}は次の条件を満たす。x∈M∩Wx\in M\cap W、t∈I(x)t\in I(x)について、00とttの間のすべてのssでφs(x)∈W\varphi_s(x)\in Wならば、φt(x)∈M\varphi_t(x)\in Mである。

注意 5.3.定理 5.1と定理 5.2には証明を与えず、本記事の他の主張の根拠に用いない。

定理 5.2の写像ψ\psiは一般に一意でない。例 3.5のF(x,y)=(x2,−y)F(x,y)=(x^2,-y)ではEc=R×{0}E^c=\R\times\{0\}、Eh={0}×RE^h=\{0\}\times\Rを取ることができ、c∈Rc\in\Rに対して

ψc(x)=ce1/x(x<0),ψc(x)=0(x≥0)\psi_c(x)=ce^{1/x}\quad(x<0),\qquad\psi_c(x)=0\quad(x\ge0)

とおくと、どのccについてもψc\psi_cはC∞C^\infty級でψc(0)=0\psi_c(0)=0、ψc′(0)=0\psi_c'(0)=0であり、Mc={(x,ψc(x)):x∈R}M_c=\{(x,\psi_c(x)):x\in\R\}はW=R2W=\R^2について定理 5.2の結論の条件を満たす。実際、P0(v)=1P_0(v)=1、Pj+1(v)=−v2(Pj′(v)+Pj(v))P_{j+1}(v)=-v^2(P_j'(v)+P_j(v))で多項式PjP_jを定めると、x<0x<0でψc(j)(x)=c Pj(1/x)e1/x\psi_c^{(j)}(x)=c\,P_j(1/x)e^{1/x}である。多項式PPについて、u=−1/xu=-1/xとおくとu→∞u\to\infty（x→0−x\to0-）であり、ume−u→0u^me^{-u}\to0であるからP(1/x)e1/x→0P(1/x)e^{1/x}\to0である。ψc(j)\psi_c^{(j)}が(−∞,0](-\infty,0]上で存在しψc(j)(0)=0\psi_c^{(j)}(0)=0であるとすると、左側の差分商ψc(j)(x)/x=c (1/x)Pj(1/x)e1/x\psi_c^{(j)}(x)/x=c\,(1/x)P_j(1/x)e^{1/x}とψc(j+1)(x)\psi_c^{(j+1)}(x)はx→0−x\to0-で00に収束し、x>0x>0でψc=0\psi_c=0であるから、ψc(j+1)(0)=0\psi_c^{(j+1)}(0)=0であってψc(j+1)\psi_c^{(j+1)}は00で連続である。帰納法によりψc\psi_cはC∞C^\infty級で、すべてのjjについてψc(j)(0)=0\psi_c^{(j)}(0)=0である。x0<0x_0<0ならばφt(x0,ce1/x0)=(x0/(1−x0t), ce1/x0−t)\varphi_t(x_0,ce^{1/x_0})=\bigl(x_0/(1-x_0t),\,ce^{1/x_0-t}\bigr)であり、1/(x0/(1−x0t))=1/x0−t1/(x_0/(1-x_0t))=1/x_0-tであるから、この点はMcM_cに属する。x0≥0x_0\ge0ならばφt(x0,0)=(x0/(1−x0t),0)\varphi_t(x_0,0)=(x_0/(1-x_0t),0)の第一成分は非負であるから、この点もMcM_cに属する。

例 5.4.F:R2→R2F:\R^2\to\R^2、F(x,y)=(xy, −y−x2)F(x,y)=(xy,\,-y-x^2)とする。F(0)=0F(0)=0、DF(0)=diag⁡(0,−1)DF(0)=\operatorname{diag}(0,-1)であり、Ec=R×{0}E^c=\R\times\{0\}、Eh={0}×RE^h=\{0\}\times\Rは定理 5.2の部分空間の条件を満たす。ψ:R→R\psi:\R\to\Rをψ(0)=ψ′(0)=0\psi(0)=\psi'(0)=0を満たすC2C^2級関数とし、M={(x,ψ(x))}M=\{(x,\psi(x))\}と00の開近傍WWが定理 5.2の条件を満たすとする。このときx→0x\to0で

ψ(x)=−x2+o(x2)\psi(x)=-x^2+o(x^2)

であり、M∩WM\cap Wの点を初期値とする解の第一成分は、M∩WM\cap Wに留まる間x′=xψ(x)=−x3+o(x3)x'=x\psi(x)=-x^3+o(x^3)を満たす。また、00は一次元の方程式x′=xψ(x)x'=x\psi(x)の漸近安定な平衡点であり、FFの漸近安定な平衡点でもある。

実際、(x0,ψ(x0))∈M∩W(x_0,\psi(x_0))\in M\cap Wとし、(x(t),y(t))=φt(x0,ψ(x0))(x(t),y(t))=\varphi_t(x_0,\psi(x_0))とおく。WWは開集合でありφ\varphiは連続であるから、00を含む開区間上でφt(x0,ψ(x0))∈W\varphi_t(x_0,\psi(x_0))\in Wであり、条件によりy(t)=ψ(x(t))y(t)=\psi(x(t))である。t=0t=0で微分すると−ψ(x0)−x02=ψ′(x0) x0ψ(x0)-\psi(x_0)-x_0^2=\psi'(x_0)\,x_0\psi(x_0)である。ψ\psiはC2C^2級でψ(0)=ψ′(0)=0\psi(0)=\psi'(0)=0であるから、x0→0x_0\to0でψ(x0)=12ψ′′(0)x02+o(x02)\psi(x_0)=\tfrac12\psi''(0)x_0^2+o(x_0^2)、ψ′(x0)=O(x0)\psi'(x_0)=O(x_0)であり、右辺はO(x04)O(x_0^4)である。したがって12ψ′′(0)+1=0\tfrac12\psi''(0)+1=0であり、ψ(x)=−x2+o(x2)\psi(x)=-x^2+o(x^2)である。M∩WM\cap Wに留まる解についてはx′=xy=xψ(x)=−x3+o(x3)x'=xy=x\psi(x)=-x^3+o(x^3)である。

ψ(x)=−x2+o(x2)\psi(x)=-x^2+o(x^2)であるから、ε0>0\varepsilon_0>0が存在して0<∣x∣<ε00<\lvert x\rvert<\varepsilon_0でψ(x)<0\psi(x)<0である。x↦xψ(x)x\mapsto x\psi(x)はC2C^2級であるから局所 Lipschitz 連続であり、v(x)=x2v(x)=x^2のx′=xψ(x)x'=x\psi(x)に関する軌道微分は2x2ψ(x)2x^2\psi(x)であって、0<∣x∣<ε00<\lvert x\rvert<\varepsilon_0で負である。したがってvvは00の(−ε0,ε0)(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)上の狭義 Lyapunov 関数であり、§E13.17 定理 4.1 (2)により00はx′=xψ(x)x'=x\psi(x)の漸近安定な平衡点である。

V(x,y)=x2+y2V(x,y)=x^2+y^2とおくと、V˙=2x⋅xy+2y(−y−x2)=−2y2≤0\dot V=2x\cdot xy+2y(-y-x^2)=-2y^2\le0であるから、VVは00のR2\R^2上の Lyapunov 関数である。γ(p)⊆{V˙=0}={y=0}\gamma(p)\subseteq\{\dot V=0\}=\{y=0\}ならば、ppを初期値とする解はy≡0y\equiv0を満たし、0=y′=−y−x2=−x20=y'=-y-x^2=-x^2であるからx≡0x\equiv0、p=0p=0である。§E13.17 系 3.2により00は漸近安定である。DF(0)DF(0)は固有値00をもつから、線形化からはこの結論は得られない。

6 演習

問題 6.1.F:R2→R2F:\R^2\to\R^2、F(x,y)=(−x, y+x2)F(x,y)=(-x,\,y+x^2)とする。A=DF(0)=diag⁡(−1,1)A=DF(0)=\operatorname{diag}(-1,1)、Es=R×{0}E^s=\R\times\{0\}、Eu={0}×RE^u=\{0\}\times\R、Ps(x,y)=(x,0)P_s(x,y)=(x,0)、Pu(x,y)=(0,y)P_u(x,y)=(0,y)、g(x,y)=(0,x2)g(x,y)=(0,x^2)とする。

  1. Ws(0)={(x,−x2/3):x∈R}W^s(0)=\{(x,-x^2/3):x\in\R\}、Wu(0)={(0,y):y∈R}W^u(0)=\{(0,y):y\in\R\}であることを示せ。
  2. a∈Ra\in\R、ξ=(a,0)\xi=(a,0)、u(t)=(ae−t, −13a2e−2t)u(t)=\bigl(ae^{-t},\,-\tfrac13a^2e^{-2t}\bigr)（t≥0t\ge0）とする。すべてのt≥0t\ge0について u(t)=etAξ+∫0te(t−s)APsg(u(s)) ds−∫t∞e(t−s)APug(u(s)) dsu(t)=e^{tA}\xi+\int_0^te^{(t-s)A}P_sg(u(s))\,ds-\int_t^\infty e^{(t-s)A}P_ug(u(s))\,ds が成り立ち、Puu(0)=−∫0∞e−sAPug(esAξ) dsP_uu(0)=-\int_0^\infty e^{-sA}P_ug(e^{sA}\xi)\,dsであることを示せ。
解答.

(1)を示す。§E13.20 例 4.1のF(x1,x2)=(−x1, x2+x12)F(x_1,x_2)=(-x_1,\,x_2+x_1^2)は、(x1,x2)(x_1,x_2)を(x,y)(x,y)と書くと本問のFFであり、同じ例により00はFFの双曲型平衡点である。同じ例のhhはFFの流れとy↦Ayy\mapsto Ayの流れの位相共役であり、§E13.12 定理 2.2により後者の流れは(t,y)↦etAy(t,y)\mapsto e^{tA}yで、すべての最大存在区間はR\Rであるから、すべてのp∈R2p\in\R^2についてI(p)=RI(p)=\Rである。したがってWs(0)W^s(0)はt→∞t\to\inftyでφt(p)→0\varphi_t(p)\to0となるppの全体、Wu(0)W^u(0)はt→−∞t\to-\inftyでφt(p)→0\varphi_t(p)\to0となるppの全体であり、同じ例により、それぞれ放物線{(x,−x2/3):x∈R}\{(x,-x^2/3):x\in\R\}と直線{(0,y):y∈R}\{(0,y):y\in\R\}である。

(2)を示す。etA=diag⁡(e−t,et)e^{tA}=\operatorname{diag}(e^{-t},e^t)であり、g(u(s))=(0,a2e−2s)g(u(s))=(0,a^2e^{-2s})であるからPsg(u(s))=0P_sg(u(s))=0であり、

∫t∞e(t−s)APug(u(s)) ds=(0, ∫t∞et−sa2e−2s ds)=(0, 13a2e−2t)\int_t^\infty e^{(t-s)A}P_ug(u(s))\,ds=\Bigl(0,\ \int_t^\infty e^{t-s}a^2e^{-2s}\,ds\Bigr)=\bigl(0,\ \tfrac13a^2e^{-2t}\bigr)

である。etAξ=(ae−t,0)e^{tA}\xi=(ae^{-t},0)であるから、右辺は(ae−t,−13a2e−2t)=u(t)\bigl(ae^{-t},-\tfrac13a^2e^{-2t}\bigr)=u(t)に等しい。esAξ=(ae−s,0)e^{sA}\xi=(ae^{-s},0)であるからg(esAξ)=(0,a2e−2s)=g(u(s))g(e^{sA}\xi)=(0,a^2e^{-2s})=g(u(s))であり、

−∫0∞e−sAPug(esAξ) ds=−(0, ∫0∞e−sa2e−2s ds)=(0,−13a2)=Puu(0)-\int_0^\infty e^{-sA}P_ug(e^{sA}\xi)\,ds=-\Bigl(0,\ \int_0^\infty e^{-s}a^2e^{-2s}\,ds\Bigr)=\bigl(0,-\tfrac13a^2\bigr)=P_uu(0)

である。uuの式でt∈Rt\in\Rに対して定めた関数はu1′=−u1u_1'=-u_1、u2′=23a2e−2t=u2+u12u_2'=\tfrac23a^2e^{-2t}=u_2+u_1^2を満たすR\R上の古典解であるから、§E13.15 補題 1.2によりt≥0t\ge0でu(t)=φt(u(0))u(t)=\varphi_t(u(0))であり、u(0)=(a,−a2/3)u(0)=(a,-a^2/3)は(1)のWs(0)W^s(0)の点である。▨

問題 6.2.n∈N≥1n\in\NNとし、Rn\R^nに Euclid ノルム∥⋅∥\lVert\cdot\rVertを入れる。U⊆RnU\subseteq\R^nを00を含む開集合、F:U→RnF:U\to\R^nをC1C^1級の写像とし、00はFFの双曲型平衡点であるとする。φ\varphiをFFの流れ、A=DF(0)A=DF(0)とし、Ps,Pu,Es,EuP_s,P_u,E^s,E^uをAAに対する§E13.12 補題 6.7（K=R\mathbb K=\R、d=nd=n）の射影と部分空間とする。x∈Ws(0)∖{0}x\in W^s(0)\setminus\{0\}ならば、すべてのt≥0t\ge0についてφt(x)≠0\varphi_t(x)\ne0であり、

lim⁡t→∞∥Puφt(x)∥∥φt(x)∥=0\lim_{t\to\infty}\frac{\lVert P_u\varphi_t(x)\rVert}{\lVert\varphi_t(x)\rVert}=0

であることを示せ。

解答.

§E13.12 補題 6.7 (5)により、すべてのt≥0t\ge0について∥etAPs∥≤Ke−αt\lVert e^{tA}P_s\rVert\le Ke^{-\alpha t}を満たし、すべてのt≤0t\le0について∥etAPu∥≤Keαt\lVert e^{tA}P_u\rVert\le Ke^{\alpha t}を満たすK≥1K\ge1、α>0\alpha>0を取り、β=α/2\beta=\alpha/2、cβ=K(1α−β+1α+β)c_\beta=K\bigl(\frac1{\alpha-\beta}+\frac1{\alpha+\beta}\bigr)、δ=1/(2cβ)\delta=1/(2c_\beta)とおくと、θβ=δcβ=12<1\theta_\beta=\delta c_\beta=\tfrac12<1である。r,g~,h,ρr,\tilde g,h,\rhoを定理 3.1のとおり取ると、定理 3.1 (3)によりhhはC1C^1級でh(0)=0h(0)=0、Dh(0)=0Dh(0)=0である。

t≥0t\ge0でφt(x)=0\varphi_t(x)=0とすると、00は平衡点であるから§E13.15 系 2.2 (4)と§E13.15 定理 1.3によりx=φ−t(0)=0x=\varphi_{-t}(0)=0となり、x≠0x\ne0に反する。したがってφt(x)≠0\varphi_t(x)\ne0である。

φt(x)→0\varphi_t(x)\to0であるから、T≥0T\ge0が存在してt≥Tt\ge Tでφt(x)∈B(0,ρ)\varphi_t(x)\in B(0,\rho)である。t≥Tt\ge Tとし、yt=φt(x)y_t=\varphi_t(x)とおく。§E13.15 定理 1.3によりI(yt)=I(x)−t⊇[0,∞)I(y_t)=I(x)-t\supseteq[0,\infty)であり、s≥0s\ge0でφs(yt)=φs+t(x)∈B(0,ρ)\varphi_s(y_t)=\varphi_{s+t}(x)\in B(0,\rho)であり、C0≥K≥1C_0\ge K\ge1によりB(0,ρ)⊆B(0,r)B(0,\rho)\subseteq B(0,r)であるから、yt∈WB(0,r)s∩B(0,ρ)y_t\in W^s_{B(0,r)}\cap B(0,\rho)である。定理 3.1 (1)によりξt=Psyt\xi_t=P_sy_tについてyt=ξt+h(ξt)y_t=\xi_t+h(\xi_t)であり、Puyt=h(ξt)P_uy_t=h(\xi_t)である。

ε>0\varepsilon>0とする。hhは00で全微分可能でh(0)=0h(0)=0、Dh(0)=0Dh(0)=0であるから、σ>0\sigma>0が存在して、∥ξ∥<σ\lVert\xi\rVert<\sigmaならば∥h(ξ)∥≤ε∥ξ∥\lVert h(\xi)\rVert\le\varepsilon\lVert\xi\rVertである。∥ξt∥≤∥Ps∥∥yt∥→0\lVert\xi_t\rVert\le\lVert P_s\rVert\lVert y_t\rVert\to0であるから、T′≥TT'\ge Tが存在してt≥T′t\ge T'で∥ξt∥<σ\lVert\xi_t\rVert<\sigmaである。t≥T′t\ge T'で

∥Puφt(x)∥=∥h(ξt)∥≤ε∥ξt∥≤ε∥Ps∥∥φt(x)∥\lVert P_u\varphi_t(x)\rVert=\lVert h(\xi_t)\rVert\le\varepsilon\lVert\xi_t\rVert\le\varepsilon\lVert P_s\rVert\lVert\varphi_t(x)\rVert

である。ε>0\varepsilon>0は任意であるから結論を得る。▨

参考文献

  1. Philip Hartman, Ordinary Differential Equations, 2nd ed., Classics in Applied Mathematics, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 2002.双曲型平衡点の安定多様体の積分方程式による構成と滑らかさを参考にした。
  2. Earl A. Coddington and Norman Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw Hill, 1955.指数的に減衰する解の積分方程式による特徴づけと安定多様体の構成を参考にした。
  3. Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2012.切断による局所化と安定多様体の接空間の扱いを参考にした。
  4. Lawrence Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, 3rd ed., Texts in Applied Mathematics 7, Springer, New York, 2001.大域安定多様体の定義と中心多様体の例を参考にした。

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