§E13.30自己共役な実現

証明.§E13.26 補題 1.5により、基本解とその流束は$[c,d]$上で絶対連続である。$wf\in L^1(c,d)$は Cauchy–Schwarz の不等式による。

主張 (1)を示す。§E13.11 定理 2.1を流束系に適用すると、表示された$Kf$とその流束を得る。基本解とその流束は有界であるから、定数$C>0$が存在し、すべての$f\in H_{c,d}$について

が成り立つ。$\|Kf\|_{H_{c,d}}\le(\int_c^dw)^{1/2}\|Kf\|_\infty$であるから$K$は有界である。

主張 (2)を示す。$\varphi,\theta$の$H_{c,d}$における Gram 行列は正定値である。実際、線形結合の$H_{c,d}$ノルムが零ならば、$w>0$と連続性からその線形結合は全点で零となり、基本解の独立性により係数も零となる。この Gram 行列により、$M$の$\operatorname{span}\{\varphi,\theta\}$への制限は全射である。$d$における基本行列は可逆であるから、$Mf=0$であることは、$(Kf)(d)=(Kf)^{[1]}(d)=0$であるための必要十分条件である。初期状態$\xi$の同次解に$Kf$を加えても、初期状態は変わらない。一方、$M$は全射なので、終端状態を任意の$\eta$に指定することができる。

主張 (3)を示す。$h\in H_{c,d}$がすべての$Kf$、$f\in\ker M$に直交するとする。$v$を$\ell v=wh$、$v(d)=v^{[1]}(d)=0$の解とする。§E13.26 命題 1.3 (4)により$v,v^{[1]}\in AC[c,d]$である。§E13.26 定理 1.4を$Kf,v$に適用すると、$c$では$Kf$の状態が零、$d$では$v$の状態が零であるから

を得る。したがって$v\in(\ker M)^\perp=\operatorname{span}\{\varphi,\theta\}$である。最後の等号は、$\ker M=\operatorname{span}\{\varphi,\theta\}^{\perp}$と有限次元部分空間の閉性による。よって$\ell v=0$であり、$\ell v=wh$と$w>0$から$h=0$である。直交補が零であるから、所要の稠密性が従う。▨

証明.補題 1.3 (2)により、$[c,d]$上で$u_-$の$c$における状態と$u_+$の$d$における状態を結ぶ解$v$を取る。$u_-,v,u_+$を接合すると、関数と流束が接合点でともに一致するから、§E13.2 命題 2.8により$u,u^{[1]}$は局所絶対連続である。$[c,d]$上で$v$は有界であり、$w$は可積分であるから、接合した関数は$H$に属する。$\ell u/w$は両側で$T_{\max}u_-,T_{\max}u_+$、中央で$H_{c,d}$の外力に等しいので$H$に属する。▨

証明.主張 (1)を示す。$[c,d]\subset(a,b)$に補題 1.3 (3)を適用する。そこでの$Kf$、$f\in\ker M$は両端で関数値と流束が零であるから、区間外へ零延長した関数は$D(T_0)$に属する。$h\in H$が$D(T_0)$に直交するならば、$h|_{(c,d)}=0$である。内部の閉区間で$(a,b)$を尽くせば$h=0$となるので、$D(T_0)$は稠密である。$u,v\in D(T_0)$の台を含む内部の閉区間で§E13.26 定理 1.4を適用すると、境界項は零であり、$\langle T_0u,v\rangle_w=\langle u,T_0v\rangle_w$である。したがって$T_0\subseteq T_0^*$であり、$D(T_0^*)$も稠密である。§E12.12 命題 2.2 (5)により$T_0$は可閉である。

主張 (2)を示す。$v\in D(T_{\max})$と$u\in D(T_0)$に対し、$u$の台を含む内部の閉区間で Lagrange の恒等式を適用すると、$\langle T_0u,v\rangle_w=\langle u,T_{\max}v\rangle_w$である。したがって$T_{\max}\subseteq T_0^*$である。

$v\in D(T_0^*)$、$g=T_0^*v$とし、内部の閉区間$[c,d]$を取る。$\ell z=wg$の解$z$を$[c,d]$上に取る。$f\in\ker M$に対する局所試験解$u=Kf$を零延長すると$u\in D(T_0)$である。共役の等式と、$u$の両端状態が零であることを用いた Lagrange 恒等式から

を得る。よって$v-z\in(\ker M)^\perp=\operatorname{span}\{\varphi,\theta\}$である。このため$v$は$[c,d]$上で絶対連続な代表元と絶対連続な流束をもち、$\ell v=wg$を満たす。二つの区間の共通部分では、それぞれの区間で得た$v$の連続な代表元は、ほとんど至る所で一致するので全点で一致する。それぞれの流束の連続な代表元も、共通部分で$pv'$とほとんど至る所で一致する。したがって、二つの流束の代表元は共通部分の全点で一致する。よって$v\in D(T_{\max})$、$T_{\max}v=g$である。

§E12.12 命題 2.2 (5)により$T_{\min}=T_0^{**}$、$T_{\min}^*=T_0^*=T_{\max}$である。さらに$T_{\max}^*=T_0^{**}=T_{\min}$である。共役の閉性により両作用素は閉じている。▨

証明.主張 (1)を示す。§E13.26 定理 1.4により$[u,v]$は局所絶対連続であり、

がほとんど至る所で成り立つ。右辺は Cauchy–Schwarz の不等式により$(a,b)$上で可積分である。内点からの積分表示を両端へ延ばすと、有限な端点極限と等式を得る。

主張 (2)を示す。$T_{\max}^*=T_{\min}$と$T_{\min}\subseteq T_{\max}$により、$u\in D(T_{\max})$であり、すべての$v\in D(T_{\max})$に対して$[u,v](b)-[u,v](a)=0$が成り立つことは、$u\in D(T_{\min})$であるための必要十分条件である。$u$がこの条件を満たし、$v\in D(T_{\max})$とする。系 1.4により、$a$の近傍で$v$、$b$の近傍で零に等しい$v_a\in D(T_{\max})$を取る。$0=[u,v_a](b)-[u,v_a](a)=-[u,v](a)$である。$a$の近傍で零、$b$の近傍で$v$に等しい$v_b$を取ると$[u,v](b)=0$も得る。逆に各端の境界形式が零ならば、その差も零である。▨

証明.主張 (1)を示す。$f=T_{\max}u\in H$とすると、$\int_a^b|wf|\le(\int_a^bw)^{1/2}\|f\|_H<\infty$である。§E13.26 命題 1.3 (4)を$\ell u=wf$に適用し、両端での延長を接合すると結論を得る。

主張 (2)を示す。補題 1.3 (2)を$[a,b]$に適用すれば任意の二端状態をもつ解を得る。この解は有界であり、$w\in L^1$と外力の$H$所属から$D(T_{\max})$に属する。よって$\gamma$は全射である。定理 2.2 (2)により 任意の$u\in D(T_{\min})$と$v\in D(T_{\max})$に対して、各端の境界形式$[u,v](a),[u,v](b)$は零である。各端の二成分を任意に指定することができるので、四つの端点値が零であることは、すべての$v\in D(T_{\max})$に対して各端の境界形式が零であるための必要十分条件である。▨

証明.$y=(y_a,y_b)$に対し$x=(y_{a,0},y_{b,0})^{\mathsf T}$、$\nu=(y_{a,1},-y_{b,1})^{\mathsf T}$、$s=(x+i\nu)/\sqrt2$、$t=(x-i\nu)/\sqrt2$と置くと、$i\omega(y,y)=\|s\|^2-\|t\|^2$である。等方部分空間上では$\|s\|^2=\|t\|^2$なので、$s$座標への射影は単射であり、等方部分空間の次元は二以下である。任意の等方部分空間$L$に対し、$\C^2$の部分空間$S,T$と線形等長写像$V:S\to T$が存在し、$(s,t)$座標において$L$は$V$のグラフに一致する。両側の直交補から単位ベクトルを一つずつ取って等長写像を延長することにより、次元が二未満ならば等方部分空間を真に拡大することができる。よって$L$が二次元かつ等方であることは、$L$が最大等方であるための必要十分条件である。$\omega$は非退化なので$\dim L^{\perp_\omega}=4-\dim L$である。したがって、$L=L^{\perp_\omega}$であることは、$L$が二次元かつ等方であるための必要十分条件である。

$L$を二次元の等方部分空間とし、$J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$と置く。$y_a$への射影が単射ならば、$L$は$y_b=My_a$というグラフである。$j(y,z)=y^{\mathsf T}J\overline z$であるから、$M^{\mathsf T}J\overline M=J$であることは、$L$が等方であるための必要十分条件である。複素共役を取ると$M^*JM=J$となり、$M$は可逆で$|\det M|=1$である。$e^{2i\eta}=\det M$を満たす$\eta\in[0,\pi)$を取り、$R=e^{-i\eta}M$と置くと、$\det R=1$、$R^*JR=J$である。一方、二行二列の行列について直接の乗算から$R^{\mathsf T}JR=(\det R)J=J$である。$J,R$は可逆であるから二つの等式より$R^*=R^{\mathsf T}$を得る。したがって$R$は実行列である。

$y_a$への射影が単射でないならば、$z_b\ne0$を満たす$z_b\in\C^2$が存在して、$(0,z_b)\in L$である。等方性から$j(z_b,z_b)=0$であり、任意の$(y_a,y_b)\in L$について$j(y_b,z_b)=0$である。$j$は非退化なので$\{y_b:j(y_b,z_b)=0\}$は一次元であり、$z_b$自身を含むから$\C z_b$に等しい。したがって$L$の$b$成分の像は$\C z_b$であり、その核も一次元である。核の非零元を$(z_a,0)$と取れば、$L=\C(z_a,0)\oplus\C(0,z_b)$であり、$j(z_a,z_a)=0$である。$z=(z_0,z_1)\ne0$について$j(z,z)=0$ならば、$z_0=0$の場合は直線$\C z$の条件は$y_0=0$である。$z_0\ne0$の場合は$z_1/z_0$が実数であり、条件は$y_1-(z_1/z_0)y_0=0$である。よって二つの直線は実係数の分離型条件で表される。

逆に、分離型の二つの直線はそれぞれ$j$に関して等方であり、直和は二次元である。結合型では実行列$R$の行列式が一であることから$j(Ry,Rz)=j(y,z)$であり、共通位相$e^{i\eta}$は$j$を変えない。したがって結合型も二次元の等方部分空間である。▨

証明.$A\subseteq T_{\max}$が自己共役ならば、共役の包含反転により$T_{\min}=T_{\max}^*\subseteq A^*=A$である。$T_{\min}\subseteq A\subseteq T_{\max}$とする。$L=\gamma D(A)$と置くと、$\ker\gamma=D(T_{\min})\subseteq D(A)$であるから$D(A)=\gamma^{-1}(L)$である。共役の包含反転と定理 2.1 (2)により$T_{\min}\subseteq A^*\subseteq T_{\max}$である。$v\in D(T_{\max})$について、Green の恒等式から

であり、そのとき$A^*v=T_{\max}v$である。よって$D(A^*)=\gamma^{-1}(L^{\perp_\omega})$である。$\gamma$は全射なので$L=L^{\perp_\omega}$であることは、$A=A^*$であるための必要十分条件である。補題 3.3を適用すると分類を得る。▨

証明.命題 3.1 (1)により$D(T_{\max})=\{u:u,u'\in AC[0,L],\ u''\in L^2(0,L)\}$であり、命題 3.1 (2)により最小域はさらに$u(0)=u'(0)=u(L)=u'(L)=0$を満たす元の全体である。定数関数$1$は最大域に属するが、最小域には属さないので、$T_{\min}^*=T_{\max}\ne T_{\min}$である。対称性は$T_{\min}\subseteq T_{\min}^*$による。$\ker(T_{\min}^*\mp i)$は$-u''=\pm iu$の解空間である。各方程式の解空間は初期値$(u(0),u'(0))$によって$\C^2$と同型であり、すべての解が有限区間で二乗可積分である。したがって両欠損空間の次元は二である。▨

証明.主張 (1)を示す。絶対連続関数の積分表示と Cauchy–Schwarz の不等式から

である。$\delta>0$を取る。$s(x)=\int_a^xp^{-1}\,dt$は$[a,b]$上で連続かつ狭義増加であるから、有限分割$a=x_0<\cdots<x_m=b$を、各$I_j=[x_{j-1},x_j]$について$\int_{I_j}p^{-1}\le\delta$となるように取ることができる。$\mu_j=\int_{I_j}w>0$と置く。$x,y\in I_j$に対し

である。この不等式を$w(y)\,dy$で積分し$\mu_j$で割ると

となる。$\delta=\varepsilon/2$、$C_\varepsilon=2/\min_j\mu_j$と取れば所要の評価を得る。

主張 (2)を示す。$\mathcal E$ノルムで Cauchy な列$(u_n)$を取る。主張 (1)により$(u_n)$は一様 Cauchy であり、ある連続関数$u$へ一様に収束する。また$(\sqrt p\,u_n')$は$L^2(a,b;dx)$の Cauchy 列であり、ある$g$へ収束する。$1/p\in L^1$により

したがって$u(y)-u(x)=\int_x^yg/\sqrt p\,dt$であり、$u\in AC[a,b]$、$\sqrt p\,u'=g$となる。$w\in L^1$と一様収束から$u_n\to u$は$H$でも成り立ち、$\mathcal E$での収束を得る。端点評価の連続性は主張 (1)の一様ノルム評価による。

$u\in D(T_{\max})$ならば、正則端点への延長により$u^{[1]}$は有界であり、

である。よって$D(T_{\max})\subseteq\mathcal E$である。コンパクト台の元は両端で零なので$D(T_0)\subseteq\mathcal E_0$であり、$D(T_0)$の$H$における稠密性から$\mathcal E_0$も$H$で稠密である。$\mathcal E_0$は二つの連続な端点評価の核の共通部分なので閉じている。端点値の全射性は$D(T_{\max})\subseteq\mathcal E$と命題 3.1 (2)による。

主張 (3)を示す。主張 (1)により$\mathcal E$の単位球は一様有界であり、$1/p$の積分の絶対連続性と差の評価により同程度連続である。複素数の有界集合は全有界であるから、§E2.31 定理 3.1により、この単位球は一様距離に関して全有界である。$\|u\|_H\le(\int_a^bw)^{1/2}\|u\|_\infty$であるので、その像は$H$においても全有界である。$H$は完備であるから像の閉包はコンパクトである。

主張 (4)を示す。$p,w$の最大値は有限であり、最小値は正である。したがって$\|u\|_H^2+\int p|u'|^2$は$\int(|u|^2+|u'|^2)$の正の定数倍で上下から挟まれる。絶対連続な代表元による$H^1(a,b)$の定義から、集合の一致とノルムの同値性を得る。▨

証明.主張 (1)を示す。$u,v\in\mathcal E$は有界であるから$qu\overline v$は可積分である。端点評価の連続性により$\mathcal E_X$は$\mathcal E$の閉部分空間であり、$\mathcal E_0$を含むので$H$で稠密である。$Q=\int_a^b|q|dx$と置くと

ここで$X=\{0\}$の場合は$\|B\|=0$とする。命題 4.2 (1)により、任意の$\delta>0$に対して$C_\delta\ge0$が存在し、すべての$u\in\mathcal E_X$について右辺は$\delta\int p|u'|^2+C_\delta\|u\|_H^2$以下である。$\delta=1/2$と取り、$\kappa=C_{1/2}+1$と置けば