§E13.8パラメータに関する微分可能性

証明.主張 (1)を示す。$\R\times\R^n$の点の距離$\mathrm{dist}_\infty$と閉$\rho$近傍$L_\rho$を§E13.6 補題 3.1のとおりに定める。§E13.6 補題 3.1 (1)を$L$に適用して$\rho_L>0$を取り、$\varepsilon=\rho_L$とおく。$(t,\boldsymbol v)\in L$、$\lvert s-t\rvert\le\varepsilon$、$\lVert\boldsymbol w-\boldsymbol v\rVert\le\varepsilon$ならば$\mathrm{dist}_\infty((s,\boldsymbol w),L)\le\mathrm{dist}_\infty((s,\boldsymbol w),(t,\boldsymbol v))\le\varepsilon$であるから、$(s,\boldsymbol w)\in L_\varepsilon\subseteq\Omega$である。

主張 (2)を示す。$L=\{(t,\boldsymbol\gamma(t)):a\le t\le b\}$は連続写像によるコンパクト集合の像であるからコンパクトであり、$\Omega$に含まれる。主張 (1)の$\varepsilon$を取る。$\boldsymbol\gamma$は一様連続であるから、$\lvert s-t\rvert\le\delta$ならば$\lVert\boldsymbol\gamma(s)-\boldsymbol\gamma(t)\rVert\le\varepsilon$となる$\delta>0$が存在する。分点$a=s_0<s_1<\cdots<s_j=b$を$s_i-s_{i-1}\le\min\{\delta,\varepsilon\}$となるように取り、$J_i=[s_{i-1},s_i]$、$B_i=\{\boldsymbol w:\lVert\boldsymbol w-\boldsymbol\gamma(s_{i-1})\rVert\le\varepsilon\}$とおく。$(s_{i-1},\boldsymbol\gamma(s_{i-1}))\in L$であるから$J_i\times B_i\subseteq\Omega$であり、$\boldsymbol\gamma(J_i)\subseteq B_i$である。$g$の$J_i\times B_i$への制限は、$d=n$として§E13.4 補題 2.3の仮定を満たし、$\boldsymbol\gamma|_{J_i}$は$B_i$に値をとる連続写像であるから可測である。同補題により$t\mapsto g(t,\boldsymbol\gamma(t))$は各$J_i$上で可測であり、有限個の$J_i$の和である$[a,b]$上で可測である。▨

証明.$\R^d\times\R^p$にノルム$\lVert(\boldsymbol u,\lambda)\rVert=\max\{\lVert\boldsymbol u\rVert,\lVert\lambda\rVert\}$を入れる。このノルムの半径$r>0$の閉球は、半径$r$の閉球$B\subseteq\R^d$と$C\subseteq\R^p$の直積$B\times C$である。

主張 (1)を示す。$\Omega^\lambda$は連続写像$(t,\boldsymbol u)\mapsto(t,\boldsymbol u,\lambda)$による$\Omega$の逆像であるから開集合である。$\Omega^\lambda$に含まれる閉矩形$J\times B$を取る。$J\times B\times\{\lambda\}$はコンパクトで$\Omega$に含まれるから、補題 1.2 (1)の$\varepsilon$を取り$C=\{\lambda':\lVert\lambda'-\lambda\rVert\le\varepsilon\}$とおくと、$J\times B\times C\subseteq\Omega$である。この閉矩形に対する定義 1.1の$N,m,\ell$を取り、$\lambda$を固定すると、$(t,\boldsymbol u)\mapsto f(t,\boldsymbol u,\lambda)$は$J\times B$上で§E13.4 定義 2.1の条件と Lipschitz 係数$\ell$の条件を満たす。

主張 (2)を示す。上のノルムの閉球は$B\times C$の形であるから、$f$は$n=d+p$、$k=d$として補題 1.2 (2)の仮定を満たす。同補題から結論を得る。

主張 (3)を示す。$n=d+p$とし、$\R^n=\R^d\times\R^p$に上のノルムを入れ、距離$\mathrm{dist}_\infty$と閉$\rho$近傍を§E13.6 補題 3.1のとおりに定める。$L=\{(t,\boldsymbol y(t),\lambda_0):a\le t\le b\}$は連続写像によるコンパクト集合の像であるからコンパクトであり、$\Omega$に含まれる。§E13.6 補題 3.1 (1)を$L$に適用して$\rho=\rho_L>0$を取ると、$L_\rho\subseteq\Omega$である。$(t,\boldsymbol u,\lambda)\in K_\rho$ならば$\mathrm{dist}_\infty((t,\boldsymbol u,\lambda),(t,\boldsymbol y(t),\lambda_0))=\max\{\lVert\boldsymbol u-\boldsymbol y(t)\rVert,\lVert\lambda-\lambda_0\rVert\}\le\rho$であるから、$K_\rho\subseteq L_\rho\subseteq\Omega$である。

上のノルムの半径$r>0$の閉球は$B\times C$の形であるから、定義 1.1 条件 (b)と定義 1.1 条件 (c)により、$f$は$k=d$として§E13.6 補題 3.1 (2)の仮定と§E13.6 補題 3.1 (3)の仮定を満たし、閉矩形ごとの零集合と非負関数はパラメータ付き Carathéodory 条件の$N,m,\ell$である。§E13.6 補題 3.1 (3)を$L$と$\rho$に適用して、零集合$N_L\subseteq\R$と非負関数$m_L,\ell_L\in L^1(\R)$を取る。$N=N_L\cap[a,b]$、$m=m_L|_{[a,b]}$、$\ell=\ell_L|_{[a,b]}$とおく。$t\in[a,b]\setminus N$では、$K_\rho$の時刻$t$における切り口は$L_\rho$の時刻$t$における切り口に含まれるから、同補題の結論により、$(\boldsymbol u,\lambda)\mapsto f(t,\boldsymbol u,\lambda)$は$K_\rho$の切り口上で連続であり、$(t,\boldsymbol u,\lambda),(t,\boldsymbol v,\lambda)\in K_\rho$ならば$\lVert f(t,\boldsymbol u,\lambda)\rVert\le m(t)$、$\lVert f(t,\boldsymbol u,\lambda)-f(t,\boldsymbol v,\lambda)\rVert\le\ell(t)\lVert\boldsymbol u-\boldsymbol v\rVert$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$\boldsymbol y=\varphi(\cdot,t_0,\boldsymbol\eta,\lambda)|_{[a,b]}$とおく。補題 1.3 (3)を$\boldsymbol y$と$\lambda_0=\lambda$に適用し、$\rho>0$、零集合$N$、非負関数$m,\ell\in L^1([a,b])$と$K_\rho\subseteq\Omega$を取る。$\lVert\lambda'-\lambda\rVert\le\rho$を満たす$\lambda'$に対して、$t\in[a,b]\setminus N$では

とし、$t\in N$では$r_{\lambda'}(t)=0$とおく。補題 1.3 (2)により$r_{\lambda'}$は可測であり、$r_{\lambda'}\le2m$である。$t\in[a,b]\setminus N$では$K_\rho$の切り口上の連続性から、$\lambda'\to\lambda$のとき$r_{\lambda'}(t)\to0$である。$\lambda$へ収束する任意の点列に§E10.11 定理 3.1を適用すると、$\lambda'\to\lambda$のとき$\int_a^br_{\lambda'}\to0$である。

$E=\exp(\int_a^b\ell)$とおき、$(t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')\in\Omega$に対して

とおく（$a\le t_0'\le b$、$\lVert\lambda'-\lambda\rVert\le\rho$の範囲で）。$\lVert\boldsymbol\eta'-\boldsymbol y(t_0')\rVert\le\lVert\boldsymbol\eta'-\boldsymbol\eta\rVert+\lVert\boldsymbol y(t_0)-\boldsymbol y(t_0')\rVert$と$\boldsymbol y$の連続性と前段により、ある$\varepsilon\in(0,\rho]$が存在し、$V=\{(t_0',\boldsymbol\eta',\lambda'):\lvert t_0'-t_0\rvert<\varepsilon,\ \lVert\boldsymbol\eta'-\boldsymbol\eta\rVert<\varepsilon,\ \lVert\lambda'-\lambda\rVert<\varepsilon\}$の各点で$a<t_0'<b$かつ$Q(t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')<\rho$となり、$(t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')\to(t_0,\boldsymbol\eta,\lambda)$のとき$Q(t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')\to0$である。$(t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')\in V$ならば$\lVert\boldsymbol\eta'-\boldsymbol y(t_0')\rVert<\rho$であるから、$(t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')\in K_\rho\subseteq\Omega$である。

$(t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')\in V$を固定する。$\Omega'=\Omega^\lambda\cap\Omega^{\lambda'}$は開集合であり、補題 1.3 (1)により$f(\cdot,\cdot,\lambda')$は$\Omega'$上で Carathéodory 条件と時間について可積分な Lipschitz 係数の条件を局所的に満たす。$K'=\{(t,\boldsymbol u):a\le t\le b,\ \lVert\boldsymbol u-\boldsymbol y(t)\rVert\le\rho\}$は、$K_\rho\subseteq\Omega$により$\Omega'$に含まれるコンパクト集合である。$t\in[a,b]\setminus N$と$(t,\boldsymbol u),(t,\boldsymbol v)\in K'$について$\lVert f(t,\boldsymbol u,\lambda')-f(t,\boldsymbol v,\lambda')\rVert\le\ell(t)\lVert\boldsymbol u-\boldsymbol v\rVert$である。§E13.7 定理 3.1を$\Omega'$上の写像$f(\cdot,\cdot,\lambda)$と$g=f(\cdot,\cdot,\lambda')$、$K=K'$、$r=r_{\lambda'}$、$t_*=t_0'$、初期値$\boldsymbol\eta'$に適用すると、$\boldsymbol z'=f(t,\boldsymbol z,\lambda')$、$\boldsymbol z(t_0')=\boldsymbol\eta'$の$[a,b]$上の絶対連続解$\boldsymbol z$が存在し、$\max_{[a,b]}\lVert\boldsymbol z-\boldsymbol y\rVert\le Q(t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')<\rho$である。

$(\alpha',\beta')=I(t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')$とし、$\boldsymbol\psi=\varphi(\cdot,t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')$とする。$\boldsymbol z|_{(a,b)}$は$t_0'$を含む開区間上の絶対連続解であるから、$\Omega^{\lambda'}$上で§E13.6 定理 2.1を適用すると$(a,b)\subseteq(\alpha',\beta')$かつ$(a,b)$上で$\boldsymbol\psi=\boldsymbol z$である。$\beta'=b$ならば、$[t_0',b)$上の$\boldsymbol\psi$のグラフはコンパクト集合$K'\subseteq\Omega^{\lambda'}$に含まれる。これは§E13.6 系 4.3に反する。従って$\beta'>b$であり、同様に$\alpha'<a$である。$[a,b]\subseteq I(t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')$であり、連続性により$[a,b]$上で$\boldsymbol\psi=\boldsymbol z$であるから、

であり、右辺は$(t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')\to(t_0,\boldsymbol\eta,\lambda)$のとき零へ収束する。

主張 (2)を示す。$(t,t_0,\boldsymbol\eta,\lambda)\in W$を取る。$I(t_0,\boldsymbol\eta,\lambda)$は$t,t_0$を含む開区間であるから、$a<\min\{t,t_0\}$、$\max\{t,t_0\}<b$、$[a,b]\subseteq I(t_0,\boldsymbol\eta,\lambda)$を満たす$a,b$が存在する。主張 (1)の$V$を取ると、開集合$(a,b)\times V$は$(t,t_0,\boldsymbol\eta,\lambda)$を含み$W$に含まれる。$(t',t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')\in(a,b)\times V$について

であり、右辺の第一項は主張 (1)により、第二項は$\varphi(\cdot,t_0,\boldsymbol\eta,\lambda)$の連続性により、$(t',t_0',\boldsymbol\eta',\lambda')\to(t,t_0,\boldsymbol\eta,\lambda)$のとき零へ収束する。▨

証明.主張 (3)を示す。§E13.7 系 4.2を$I$、$A$、$\boldsymbol b$、$t_*$、$\boldsymbol\eta=\boldsymbol\xi$に適用すると、結論を得る。

主張 (1)を示す。$L^1(J)$の関数は$J$上で局所可積分であるから、主張 (3)を$I=J$に適用すると、$J$のほとんど至る所で方程式を満たし$\boldsymbol x(t_*)=\boldsymbol\xi$を満たす$\boldsymbol x\in AC_{\mathrm{loc}}(J;\mathbb K^k)$が一意に存在する。$J$は有限閉区間であるから、$AC_{\mathrm{loc}}(J;\mathbb K^k)$は$J$上の絶対連続関数の全体である。

主張 (2)を示す。$\mathbb K=\C$のときは、$\C^k$を実部と虚部により$\R^{2k}$と同一視する。固定したノルムは$\R^{2k}$のノルムであり、各$t$について$\boldsymbol u\mapsto A(t)\boldsymbol u$は実線形であり、絶対連続性は実座標成分ごとに判定される（§E13.2 補題 1.2 (3)）。$n\in\NN$を固定し、§E13.7 定理 2.1を$S=J\times\mathbb K^k$、二つの写像$(t,\boldsymbol u)\mapsto A(t)\boldsymbol u+\boldsymbol b(t)$と$(t,\boldsymbol u)\mapsto A_n(t)\boldsymbol u+\boldsymbol b_n(t)$、二つの解$\boldsymbol x,\boldsymbol x_n$、時刻$t_n$、

に適用すると、

を得る。$\int_J\lVert A_n\rVert\le\int_J\lVert A\rVert+\int_J\lVert A_n-A\rVert$は有界であり、$\lVert\boldsymbol\xi_n-\boldsymbol x(t_n)\rVert\le\lVert\boldsymbol\xi_n-\boldsymbol\xi\rVert+\lVert\boldsymbol x(t_*)-\boldsymbol x(t_n)\rVert\to0$、$\int_Jr_n\to0$であるから、右辺は零へ収束する。

行列値の方程式$X'=A(t)X+B(t)$は、$X$と$B$の各列についての方程式$\boldsymbol x_j'=A(t)\boldsymbol x_j+B(t)\boldsymbol e_j$の組であるから、各列に以上の結論を適用すればよい。▨

証明.主張 (1)を示す。$\Omega$に含まれる閉矩形$R=J\times B\times C$を取る。$R$はコンパクトである。各$(\boldsymbol u,\lambda)\in B\times C$について$J\subseteq\{t:(t,\boldsymbol u,\lambda)\in\Omega\}$であるから、定義 3.2 条件 (a)により$t\mapsto f(t,\boldsymbol u,\lambda)$は$J$上で可測である。$t\in J\setminus N$では$f(t,\cdot)$は$C^r$級であり、特に$B\times C$上で連続である。定義 3.2 条件 (c)を$K=R$に適用すると、$t\in J\setminus N$と$(\boldsymbol u,\lambda)\in B\times C$について$\lVert f(t,\boldsymbol u,\lambda)\rVert\le m_R(t)$である。Euclid ノルムを$\lvert\cdot\rvert$と書き、すべての$\boldsymbol x\in\R^d$で$\lvert\boldsymbol x\rvert\le c_1\lVert\boldsymbol x\rVert$かつ$\lVert\boldsymbol x\rVert\le c_1\lvert\boldsymbol x\rvert$を満たす$c_1\ge1$を取る。$t\in J\setminus N$、$\lambda\in C$、$\boldsymbol u,\boldsymbol v\in B$とする。開集合$U=\{\boldsymbol u':(t,\boldsymbol u',\lambda)\in\Omega\}$は凸集合$B$を含み、$\Phi(\boldsymbol u')=f(t,\boldsymbol u',\lambda)$は$U$上で$C^1$級である。$\boldsymbol u'\in B$では、$d\times d$行列$M$の Euclid ノルムに関する作用素ノルムが$\sum_i\lvert M\boldsymbol e_i\rvert$以下であることから

である。§E4.3 定理 2.1により$\lvert\Phi(\boldsymbol u)-\Phi(\boldsymbol v)\rvert\le c_1d\,m_R(t)\lvert\boldsymbol u-\boldsymbol v\rvert$であり、$c=c_1^3d$とおくと$\lVert f(t,\boldsymbol u,\lambda)-f(t,\boldsymbol v,\lambda)\rVert\le c\,m_R(t)\lVert\boldsymbol u-\boldsymbol v\rVert$を得る。

主張 (2)を示す。$1\le j\le r$とし、$g=\partial_{i_{j-1}}\cdots\partial_{i_1}f$（$j=1$では$g=f$）について、各$\boldsymbol w'$で$t\mapsto g(t,\boldsymbol w')$が$O_{\boldsymbol w'}=\{t:(t,\boldsymbol w')\in\Omega\}$上で可測であると仮定する。$j=1$ではこの仮定は定義 3.2 条件 (a)である。$\boldsymbol w$を固定し、$\boldsymbol e$を$w_{i_j}$方向の単位ベクトルとする。$n\in\NN$に対して$O_{\boldsymbol w}$上の関数$h_n$を、$t\in(O_{\boldsymbol w}\cap O_{\boldsymbol w+\boldsymbol e/n})\setminus N$では

とし、その他の$t$では$h_n(t)=0$と定める。$O_{\boldsymbol w+\boldsymbol e/n}$は開集合であるから$h_n$は可測である。$t\in O_{\boldsymbol w}\setminus N$ならば、$\Omega$が開集合であることから十分大きい$n$で$t\in O_{\boldsymbol w+\boldsymbol e/n}$であり、$g(t,\cdot)$は$\Omega_t$上で$C^{r-j+1}$級であるから$h_n(t)\to\partial_{i_j}g(t,\boldsymbol w)$である。$t\in N$では$h_n(t)=0$である。従って$h_n$は$O_{\boldsymbol w}$の全点で$\partial_{i_j}g(\cdot,\boldsymbol w)$へ収束し、§E10.7 定理 5.1を各成分に適用すると、極限は可測である。$j=1,2,\ldots,r$の順にこの議論を適用して結論を得る。