Sturm の振動定理 | 常微分方程式論

定義 1.1. $a<b$ を実数とし、 $p,q,w:(a,b)\to\R$ を可測関数で、ほとんどすべての $x\in(a,b)$ で $p(x)>0$ かつ $w(x)>0$ を満たし、 $1/p,q,w$ が $(a,b)$ 上で可積分であるものとする。このとき、 $(a,b,p,q,w)$ を正則データ (regular data) という。正則データ $(a,b,p,q,w)$ は§E13.26 定義 1.1の仮定を満たし、 $a,b$ はともに正則端点である。 $\lambda\in\C$ に対する方程式 $\ell[y]=\lambda wy$ の解と流束 $y^{[1]}$ は§E13.26 定義 1.1による。

系 1.2. $(a,b,p,q,w)$ を正則データとし、 $\lambda\in\C$ とする。このとき、§E13.26 補題 1.5により次が成り立つ。

$\ell[y]=\lambda wy$ の任意の解 $y$ について、 $y$ と $y^{[1]}$ は $[a,b]$ 上の絶対連続関数に延びる。以下、解の $a,b$ での値 $y(a),y^{[1]}(a),y(b),y^{[1]}(b)$ はこの延長の値とする。
任意の $c\in[a,b]$ と $(\eta_0,\eta_1)\in\C^2$ に対して、 $y(c)=\eta_0$ かつ $y^{[1]}(c)=\eta_1$ を満たす解 $y$ がただ一つ存在する。 $\lambda,\eta_0,\eta_1$ が実数であるならば、この解は実数値である。
零でない解 $y$ について、すべての $x\in[a,b]$ で $(y(x),y^{[1]}(x))\ne(0,0)$ である。
解 $u,v$ について、 $W(u,v)=uv^{[1]}-u^{[1]}v$ は $[a,b]$ 上で定数であり、 $u,v$ が一次独立であることと $W(u,v)\ne0$ は同値である。

証明.定義 1.1により§E13.26 補題 1.5の仮定が満たされ、各項はそれぞれ§E13.26 補題 1.5 (2)、§E13.26 補題 1.5 (3)、§E13.26 補題 1.5 (4)、§E13.26 補題 1.5 (5)である。▨

定義 1.3. $(a,b,p,q,w)$ を正則データ、 $\lambda\in\R$ とし、 $y$ を $\ell[y]=\lambda wy$ の零でない実数値の解とする。連続関数 $r:[a,b]\to(0,\infty)$ が存在して、すべての $x\in[a,b]$ で $y(x)=r(x)\sin\vartheta(x)$ かつ $y^{[1]}(x)=r(x)\cos\vartheta(x)$ が成り立つような連続関数 $\vartheta:[a,b]\to\R$ を、 $y$ のPrüfer 角 (Prüfer angle) という。このとき $r=\sqrt{y^2+(y^{[1]})^2}$ である。

$p(x)=0$ の点では $1/p(x)=0$ と定める。 $\lambda\in\R$ に対して

F_\lambda(x,\vartheta)=\frac{1}{p(x)}\cos^2\vartheta+\bigl(\lambda w(x)-q(x)\bigr)\sin^2\vartheta\qquad(x\in(a,b),\ \vartheta\in\R)

とおき、 $[a,b]$ 上の絶対連続関数 $\vartheta$ がほとんど至る所で $\vartheta'=F_\lambda(x,\vartheta)$ を満たすとき、 $\vartheta$ はPrüfer 角の方程式 (Prüfer angle equation) の解であるという。

補題 1.4. $(a,b,p,q,w)$ を正則データ、 $\lambda\in\R$ とする。このとき、次が成り立つ。

$L_\lambda=\lvert\frac1p\rvert+\lvert\lambda w-q\rvert$ とおくと、 $L_\lambda$ は $(a,b)$ 上で可積分であり、すべての $x\in(a,b)$ と $\vartheta,\vartheta',\lambda'\in\R$ について $\lvert F_\lambda(x,\vartheta)\rvert\le L_\lambda(x),\qquad\lvert F_\lambda(x,\vartheta)-F_\lambda(x,\vartheta')\rvert\le L_\lambda(x)\lvert\vartheta-\vartheta'\rvert,\qquad\lvert F_\lambda(x,\vartheta)-F_{\lambda'}(x,\vartheta)\rvert\le\lvert\lambda-\lambda'\rvert\lvert w(x)\rvert$ が成り立つ。
任意の $c\in[a,b]$ と $\vartheta_0\in\R$ に対して、Prüfer 角の方程式の解 $\vartheta:[a,b]\to\R$ で $\vartheta(c)=\vartheta_0$ を満たすものがただ一つ存在する。 $y$ を $y(c)=\sin\vartheta_0$ 、 $y^{[1]}(c)=\cos\vartheta_0$ を満たす $\ell[y]=\lambda wy$ の実数値の解とすると、 $\vartheta$ は $y$ の Prüfer 角である。
$y$ を $\ell[y]=\lambda wy$ の零でない実数値の解とする。 $y$ の Prüfer 角が存在し、その任意の二つは $2\pi$ の整数倍の定数だけ異なる。 $y$ の任意の Prüfer 角 $\vartheta$ は Prüfer 角の方程式の解である。
$\vartheta$ を零でない実数値の解 $y$ の Prüfer 角、 $r=\sqrt{y^2+(y^{[1]})^2}$ とすると、 $\log r$ は $[a,b]$ 上で絶対連続であり、ほとんど至る所で $(\log r)'=\bigl(\frac1p-\lambda w+q\bigr)\sin\vartheta\cos\vartheta$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。 $\mu=\lambda w-q$ とおく。 $1/p,q,w$ は $(a,b)$ 上で可積分であるから、 $L_\lambda=\lvert\frac1p\rvert+\lvert\mu\rvert$ も可積分である。 $F_\lambda(x,\vartheta)=\frac1p\cos^2\vartheta+\mu\sin^2\vartheta$ であるから、 $\lvert F_\lambda\rvert\le\lvert\frac1p\rvert\cos^2\vartheta+\lvert\mu\rvert\sin^2\vartheta\le L_\lambda$ である。また $F_\lambda(x,\vartheta)=\frac1p+\bigl(\mu-\frac1p\bigr)\sin^2\vartheta$ 、 $\lvert\sin^2\vartheta-\sin^2\vartheta'\rvert\le\lvert\vartheta-\vartheta'\rvert$ 、 $\lvert\mu-\frac1p\rvert\le L_\lambda$ により第二の不等式が成り立つ。 $F_\lambda(x,\vartheta)-F_{\lambda'}(x,\vartheta)=(\lambda-\lambda')w(x)\sin^2\vartheta$ から、第三の不等式が成り立つ。

主張 (2)を示す。 $x\in\{a,b\}$ では $F_\lambda(x,\vartheta)=0$ 、 $L_\lambda(x)=0$ と定める。 $F_\lambda$ は各 $\vartheta$ について $x$ の可測関数、各 $x$ について $\vartheta$ の連続関数である。主張 (1)により、 $[a,b]$ に含まれる長さが正の各閉区間 $J$ と $\R$ の各閉区間 $B$ について、 $F_\lambda$ の $J\times B$ への制限は支配関数 $L_\lambda$ について Carathéodory 条件を満たし、時間について可積分な Lipschitz 係数 $L_\lambda$ をもち、すべての $x\in[a,b]$ と $\vartheta\in\R$ について $\lvert F_\lambda(x,\vartheta)\rvert\le L_\lambda(x)$ である。§E13.7 定理 4.1を $d=1$ 、 $I=[a,b]$ 、 $f=F_\lambda$ とし、同定理の $p,q$ を $L_\lambda,0$ とし、 $t_*=c$ 、 $\eta=\vartheta_0$ として適用すると、 $[a,b]$ 上の絶対連続関数 $\vartheta$ で、ほとんど至る所で $\vartheta'=F_\lambda(x,\vartheta)$ を満たし $\vartheta(c)=\vartheta_0$ を満たすものがただ一つ存在する。

$\vartheta$ を上で得た解とし、 $Z=y\cos\vartheta-y^{[1]}\sin\vartheta$ とおく。§E13.2 定理 3.1 (1)と§E13.2 定理 3.1 (2)により $Z$ は絶対連続である。ほとんど至る所で $y'=y^{[1]}/p$ 、 $(y^{[1]})'=-\mu y$ であるから

\begin{aligned} Z'&=\frac{y^{[1]}\cos\vartheta}{p}+\mu y\sin\vartheta-\Bigl(\frac{\cos^2\vartheta}{p}+\mu\sin^2\vartheta\Bigr)\bigl(y\sin\vartheta+y^{[1]}\cos\vartheta\bigr)\\ &=\frac{\sin\vartheta\cos\vartheta}{p}\bigl(y^{[1]}\sin\vartheta-y\cos\vartheta\bigr)+\mu\sin\vartheta\cos\vartheta\bigl(y\cos\vartheta-y^{[1]}\sin\vartheta\bigr)\\ &=k\,Z,\qquad k=\sin\vartheta\cos\vartheta\Bigl(\mu-\frac1p\Bigr) \end{aligned}

が成り立つ。 $k$ は実数値で $\lvert k\rvert\le L_\lambda$ を満たすから $k\in L^1(a,b)$ であり、 $Z(c)=\sin\vartheta_0\cos\vartheta_0-\cos\vartheta_0\sin\vartheta_0=0$ である。 $Z$ と零関数はともに、ほとんど至る所で $Z'-kZ=0$ を満たし $c$ で値 $0$ をとる $[a,b]$ 上の絶対連続関数であるから、§E13.3 定理 3.1を $I=[a,b]$ 、 $t_0=c$ 、 $P=-k$ 、 $Q=0$ 、 $y_0=0$ として適用すると、解の一意性により $Z=0$ である。 $\rho=y\sin\vartheta+y^{[1]}\cos\vartheta$ とおくと、 $y\cos\vartheta=y^{[1]}\sin\vartheta$ から $\rho\sin\vartheta=y$ かつ $\rho\cos\vartheta=y^{[1]}$ を得る。 $\rho$ は連続であり、 $\rho^2=y^2+(y^{[1]})^2$ は系 1.2 (3)により $[a,b]$ 上で正であるから、 $\rho$ は零点をもたず、 $\rho(c)=1$ により $\rho>0$ である。したがって $\vartheta$ は $y$ の Prüfer 角である。

主張 (3)を示す。 $y$ を零でない実数値の解、 $c\in[a,b]$ とし、 $(y(c),y^{[1]}(c))=r_0(\sin\vartheta_0,\cos\vartheta_0)$ を満たす $r_0>0$ と $\vartheta_0\in\R$ を取る。 $y/r_0$ は主張 (2)の仮定を満たす解であるから、上の $\vartheta$ は $y/r_0$ の Prüfer 角であり、したがって $y$ の Prüfer 角でもある。 $\tilde\vartheta$ を $y$ の任意の Prüfer 角とすると、すべての $x$ で $(\sin\tilde\vartheta,\cos\tilde\vartheta)=(y,y^{[1]})/\sqrt{y^2+(y^{[1]})^2}=(\sin\vartheta,\cos\vartheta)$ であるから、連続関数 $\tilde\vartheta-\vartheta$ は $2\pi\Z$ に値をもつ。区間 $[a,b]$ は連結であるから $\tilde\vartheta-\vartheta$ は定数である。 $F_\lambda$ は $\vartheta$ について $2\pi$ 周期的であるから、 $\tilde\vartheta$ も Prüfer 角の方程式の解である。

主張 (4)を示す。 $r^2=y^2+(y^{[1]})^2$ は絶対連続で正であるから、§E13.2 定理 3.1 (1)により $\log r=\frac12\log r^2$ は絶対連続であり、ほとんど至る所で $(\log r)'=\frac{yy'+y^{[1]}(y^{[1]})'}{r^2}=\frac{yy^{[1]}}{r^2}\bigl(\frac1p-\lambda w+q\bigr)=\sin\vartheta\cos\vartheta\bigl(\frac1p-\lambda w+q\bigr)$ が成り立つ。▨

補題 2.1. $(a,b,p,q,w)$ を正則データ、 $\lambda\in\R$ とし、 $y$ を $\ell[y]=\lambda wy$ の零でない実数値の解、 $\vartheta$ をその Prüfer 角とする。このとき、次が成り立つ。

$x_0\in[a,b]$ と $k\in\Z$ が $\vartheta(x_0)=k\pi$ を満たすならば、ある $\delta>0$ が存在して、 $(x_0,x_0+\delta)\cap[a,b]$ で $\vartheta>k\pi$ であり、 $(x_0-\delta,x_0)\cap[a,b]$ で $\vartheta<k\pi$ である。
$y$ の零点は孤立しており、 $[a,b]$ における零点は有限個である。 $y(x_0)=0$ ならば $y^{[1]}(x_0)\ne0$ である。
各 $k\in\Z$ について、 $\vartheta(x)=k\pi$ を満たす $x\in[a,b]$ は高々一つである。
$a\le c<d\le b$ とする。 $(c,d]$ に含まれる $y$ の零点の個数は $\#\{k\in\Z:\vartheta(c)<k\pi\le\vartheta(d)\}$ であり、 $(c,d)$ に含まれる $y$ の零点の個数は $\#\{k\in\Z:\vartheta(c)<k\pi<\vartheta(d)\}$ である。
$\sin\vartheta(x)\ne0$ は有限個の $x\in[a,b]$ を除いて成り立つ。 $a\le c<d\le b$ とし、 $h\in L^1(c,d)$ がほとんど至る所で $h\ge0$ を満たし、 $\{x\in(c,d):h(x)>0\}$ が正の測度をもつとする。このとき、 $\int_c^dh\sin^2\vartheta\,dx>0$ である。

証明. $y=r\sin\vartheta$ 、 $y^{[1]}=r\cos\vartheta$ であり $r>0$ であるから、 $y(x)=0$ であることと $\vartheta(x)\in\pi\Z$ であることは同値である。

主張 (1)を示す。 $\sigma=(-1)^k$ とおくと、 $y(x_0)=0$ かつ $y^{[1]}(x_0)=\sigma r(x_0)$ である。 $y^{[1]}$ は連続であるから、 $\delta>0$ を、 $\lvert\vartheta-k\pi\rvert<\pi$ と $\sigma y^{[1]}\ge r(x_0)/2$ がともに $[x_0-\delta,x_0+\delta]\cap[a,b]$ で成り立つように取る。ほとんど至る所で $y'=y^{[1]}/p$ であり、 $y$ は絶対連続であるから、 $x>x_0$ のとき $\sigma y(x)=\int_{x_0}^x\sigma y^{[1]}/p\,ds\ge\frac{r(x_0)}2\int_{x_0}^x\frac{ds}{p}>0$ である。最後の不等号は $1/p>0$ がほとんど至る所で成り立つことによる。 $x<x_0$ のとき、同様に $\sigma y(x)<0$ である。 $\varphi=\vartheta-k\pi\in(-\pi,\pi)$ とおくと $\sigma\sin\vartheta=\sin\varphi$ であり、 $y=r\sin\vartheta$ から、 $x>x_0$ で $\sin\varphi(x)>0$ 、 $x<x_0$ で $\sin\varphi(x)<0$ を得る。 $\varphi\in(-\pi,\pi)$ であるから、これは $x>x_0$ で $\varphi>0$ 、 $x<x_0$ で $\varphi<0$ であることを意味する。

主張 (2)を示す。零点 $x_0$ では $y^{[1]}(x_0)=\pm r(x_0)\ne0$ である。 $\vartheta(x_0)=k\pi$ を満たす $k\in\Z$ を取る。 $\vartheta$ は連続であり、主張 (1)により、ある $\delta>0$ が存在して、 $x_0$ と異なる $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap[a,b]$ では $0<\lvert\vartheta(x)-k\pi\rvert<\pi$ であるから、 $y(x)\ne0$ である。したがって零点は孤立する。 $[a,b]$ はコンパクトであるから、零点は有限個である。

主張 (3)を示す。 $x_0<x_1$ が $\vartheta(x_0)=\vartheta(x_1)=k\pi$ を満たすとする。主張 (1)により $0<\delta<x_1-x_0$ を、 $(x_0,x_0+\delta]$ で $\vartheta>k\pi$ となるように取る。閉集合 $S=\{x\in[x_0+\delta,x_1]:\vartheta(x)\le k\pi\}$ は $x_1$ を含み、その最小元 $x_2$ について、 $[x_0+\delta,x_2)$ で $\vartheta>k\pi$ であり、連続性から $\vartheta(x_2)\ge k\pi$ であるから $\vartheta(x_2)=k\pi$ である。主張 (1)を $x_2$ に適用すると $x_2$ の直前で $\vartheta<k\pi$ となり、 $[x_0+\delta,x_2)$ で $\vartheta>k\pi$ であることに反する。

主張 (4)を示す。 $x\in(c,d]$ を $y$ の零点とし、 $\vartheta(x)=k\pi$ とする。主張 (1)により、 $x$ の直前に $x'\in(c,x)$ で $\vartheta(x')<k\pi$ を満たす点がある。 $\vartheta(c)\ge k\pi$ ならば、中間値の定理により $[c,x')$ に $\vartheta=k\pi$ を満たす点があり、主張 (3)に反する。したがって $\vartheta(c)<k\pi$ である。 $x<d$ ならば、 $x$ の直後に $\vartheta>k\pi$ を満たす点 $x''\in(x,d)$ があり、 $\vartheta(d)\le k\pi$ ならば $(x'',d]$ に $\vartheta=k\pi$ を満たす点があって主張 (3)に反するから、 $\vartheta(d)>k\pi$ である。 $x=d$ ならば $\vartheta(d)=k\pi$ である。いずれの場合も $\vartheta(c)<k\pi\le\vartheta(d)$ である。逆に $\vartheta(c)<k\pi\le\vartheta(d)$ を満たす $k$ に対して、中間値の定理により $x\in(c,d]$ で $\vartheta(x)=k\pi$ を満たす点がある。主張 (3)により、写像 $x\mapsto\vartheta(x)/\pi$ は $(c,d]$ の零点の集合から $\{k\in\Z:\vartheta(c)<k\pi\le\vartheta(d)\}$ への単射であり、以上により全射である。 $(c,d)$ の場合、 $y(d)=0$ ならば $d$ に対応する $k$ が一つ除かれ、 $y(d)\ne0$ ならば $\vartheta(d)\notin\pi\Z$ であるから、 $\le$ と $<$ は同じ集合を定める。

主張 (5)を示す。 $\sin\vartheta(x)=0$ であることと $y(x)=0$ であることは同値であり、主張 (2)により $y$ の零点は有限個である。したがって $h\sin^2\vartheta$ はほとんど至る所で非負であり、 $\{x\in(c,d):h(x)>0\}$ のほとんどすべての点で正であるから、その積分は正である。▨

定理 2.2. 次が成り立つ。

$c<d$ とし、 $P_1,P_2,Q_1,Q_2\in L^1(c,d)$ を実数値関数で、ほとんど至る所で $P_1\le P_2$ かつ $Q_1\le Q_2$ を満たすものとする。 $\vartheta_i:[c,d]\to\R$ （ $i=1,2$ ）を絶対連続関数で、ほとんど至る所で $\vartheta_i'=P_i\cos^2\vartheta_i+Q_i\sin^2\vartheta_i$ を満たし、 $\vartheta_1(c)\le\vartheta_2(c)$ を満たすものとする。このとき、 $[c,d]$ で $\vartheta_1\le\vartheta_2$ である。さらに $D=(P_2-P_1)\cos^2\vartheta_2+(Q_2-Q_1)\sin^2\vartheta_2$ とおくと、 $x\in(c,d]$ について、 $\vartheta_1(c)<\vartheta_2(c)$ であるか $\int_c^xD\,ds>0$ であるならば、 $\vartheta_1(x)<\vartheta_2(x)$ である。
$(c,d,p_1,q_1,w_1)$ と $(c,d,p_2,q_2,w_2)$ を正則データ、 $\lambda_1,\lambda_2\in\R$ とし、 $Q_i=\lambda_iw_i-q_i$ とおく。ほとんど至る所で $1/p_1\le1/p_2$ かつ $Q_1\le Q_2$ であるとする。 $y_1$ を $\ell_1[y]=\lambda_1w_1y$ の零でない実数値の解で、 $y_1(c)=y_1(d)=0$ を満たし $(c,d)$ に零点をもたないものとする。このとき、 $\ell_2[y]=\lambda_2w_2y$ の零でない任意の実数値の解 $y_2$ は $(c,d]$ に零点をもつ。さらに $\{x\in(c,d):Q_1(x)<Q_2(x)\}$ が正の測度をもつならば、 $y_2$ は $(c,d)$ に零点をもつ。

証明.主張 (1)を示す。 $g=\vartheta_2-\vartheta_1$ とおくと、 $g$ は絶対連続であり、ほとんど至る所で

g'=D+(Q_1-P_1)\bigl(\sin^2\vartheta_2-\sin^2\vartheta_1\bigr)

が成り立つ。実際、 $P_2\cos^2\vartheta_2-P_1\cos^2\vartheta_1=(P_2-P_1)\cos^2\vartheta_2+P_1(\cos^2\vartheta_2-\cos^2\vartheta_1)$ 、 $Q_2\sin^2\vartheta_2-Q_1\sin^2\vartheta_1=(Q_2-Q_1)\sin^2\vartheta_2+Q_1(\sin^2\vartheta_2-\sin^2\vartheta_1)$ であり、 $\cos^2=1-\sin^2$ である。 $h=(\sin^2\vartheta_2-\sin^2\vartheta_1)/g$ （ $g\ne0$ の点）、 $h=0$ （ $g=0$ の点）とおくと、 $h$ は可測で $\lvert h\rvert\le1$ であり、 $k=(Q_1-P_1)h\in L^1(c,d)$ について $g'=D+kg$ がほとんど至る所で成り立つ。 $K(x)=\int_c^xk\,ds$ とおくと、§E13.2 定理 3.1 (1)と§E13.2 定理 3.1 (2)により $ge^{-K}$ は絶対連続であり、ほとんど至る所で $(ge^{-K})'=e^{-K}D$ である。 $D\ge0$ であるから、§E13.2 定理 2.5により

g(x)e^{-K(x)}=g(c)+\int_c^xe^{-K}D\,ds\ge g(c)\ge0\qquad(x\in[c,d])

である。したがって $\vartheta_1\le\vartheta_2$ である。 $g(c)>0$ ならば右辺は正である。 $\int_c^xD>0$ ならば、 $e^{-K}>0$ であるから $\int_c^xe^{-K}D>0$ である。いずれの場合も $g(x)>0$ である。

主張 (2)を示す。 $y_1$ は $y_1(c)=0$ であるから、その Prüfer 角 $\vartheta_1$ は $\vartheta_1(c)\in\pi\Z$ を満たし、 $y_1$ を $-y_1$ に替えて $\vartheta_1$ に $\pi$ を加え、さらに $2\pi$ の整数倍を加えることにより $\vartheta_1(c)=0$ としてよい。補題 2.1 (4)により、 $(c,d]$ の $y_1$ の零点の個数は $\#\{k:0<k\pi\le\vartheta_1(d)\}$ であり、 $y_1$ の $(c,d]$ における零点は $d$ だけであるから、この個数は $1$ である。したがって $\pi\le\vartheta_1(d)<2\pi$ であり、 $y_1(d)=0$ から $\vartheta_1(d)\in\pi\Z$ であるから $\vartheta_1(d)=\pi$ である。 $y_2$ の Prüfer 角 $\vartheta_2$ は、 $y_2$ を $-y_2$ に替えることと $2\pi$ の整数倍を加えることにより $\vartheta_2(c)\in[0,\pi)$ としてよい。補題 1.4 (3)により $\vartheta_i$ は、 $P_i=1/p_i$ と $Q_i$ に対する主張 (1)の方程式を満たす。主張 (1)により $\vartheta_2(d)\ge\vartheta_1(d)=\pi>\vartheta_2(c)$ であるから、 $\vartheta_2(c)<\pi\le\vartheta_2(d)$ であり、補題 2.1 (4)により $y_2$ は $(c,d]$ に零点をもつ。

$\{x\in(c,d):Q_1(x)<Q_2(x)\}$ が正の測度をもつとする。 $\vartheta_2(c)>0$ ならば主張 (1)により $\vartheta_2(d)>\vartheta_1(d)=\pi$ である。 $\vartheta_2(c)=0$ ならば、 $D\ge(Q_2-Q_1)\sin^2\vartheta_2$ であるから、補題 2.1 (5)を $h=Q_2-Q_1$ として適用すると $\int_c^dD>0$ であり、主張 (1)により $\vartheta_2(d)>\pi$ である。どちらの場合も $\vartheta_2(c)<\pi<\vartheta_2(d)$ であり、補題 2.1 (4)により $y_2$ は $(c,d)$ に零点をもつ。▨

定理 2.3. $(a,b,p,q,w)$ を正則データ、 $\lambda\in\R$ とし、 $u,v$ を $\ell[y]=\lambda wy$ の一次独立な実数値の解とする。このとき、 $u$ と $v$ は共通の零点をもたず、 $u$ の $[a,b]$ における相続く二つの零点 $x_1<x_2$ （ $(x_1,x_2)$ に $u$ の零点がない）の間の開区間 $(x_1,x_2)$ に、 $v$ の零点がちょうど一つ存在する。

証明. $W=W(u,v)$ とおくと、系 1.2 (4)により $W\ne0$ は定数である。 $x$ が $u$ と $v$ の共通の零点ならば $W=u(x)v^{[1]}(x)-u^{[1]}(x)v(x)=0$ となり、 $W\ne0$ に反する。

$x_1<x_2$ を $u$ の相続く零点とし、 $\vartheta$ を $u$ の Prüfer 角、 $\vartheta(x_1)=k\pi$ とする。補題 2.1 (4)により、 $(x_1,x_2]$ の $u$ の零点の個数 $\#\{j:k\pi<j\pi\le\vartheta(x_2)\}$ は $1$ であるから、 $(k+1)\pi\le\vartheta(x_2)<(k+2)\pi$ であり、 $u(x_2)=0$ から $\vartheta(x_2)=(k+1)\pi$ である。したがって $u^{[1]}(x_1)=(-1)^kr(x_1)$ と $u^{[1]}(x_2)=(-1)^{k+1}r(x_2)$ は異符号である。 $u(x_i)=0$ であるから $W=-u^{[1]}(x_i)v(x_i)$ であり、 $v(x_i)=-W/u^{[1]}(x_i)$ （ $i=1,2$ ）は零でなく異符号である。 $v$ は連続であるから、中間値の定理により $(x_1,x_2)$ に零点をもつ。 $v$ が $(x_1,x_2)$ に相続く二つの零点 $z_1<z_2$ をもつとすると、 $u$ と $v$ の役割を入れ替えた前段により $(z_1,z_2)\subseteq(x_1,x_2)$ に $u$ の零点があり、 $x_1,x_2$ が相続く零点であることに反する。 $v$ の零点は補題 2.1 (2)により有限個であるから、 $(x_1,x_2)$ の零点はちょうど一つである。▨

定義 3.1. $(a,b,p,q,w)$ を正則データとし、 $(\alpha_a,\beta_a),(\alpha_b,\beta_b)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$ とする。境界条件 $\alpha_ay(a)+\beta_ay^{[1]}(a)=0$ と $\alpha_by(b)+\beta_by^{[1]}(b)=0$ の下の固有値、固有関数、固有空間は§E13.26 定義 1.6の意味のものとする。 $\alpha_a\sin\gamma_a+\beta_a\cos\gamma_a=0$ を満たす $\gamma_a\in[0,\pi)$ と、 $\alpha_b\sin\gamma_b+\beta_b\cos\gamma_b=0$ を満たす $\gamma_b\in(0,\pi]$ を、それぞれ端点 $a$ 、 $b$ での境界条件の境界角 (boundary angle) という。 $e\in\{a,b\}$ について、零でない線形形式 $(z_0,z_1)\mapsto\alpha_ez_0+\beta_ez_1$ の $\R^2$ における核は一次元部分空間であり、その単位ベクトルは $\pm(\sin\gamma,\cos\gamma)$ の形で、 $\gamma$ は $\pi$ の整数倍を除いて一意に定まるから、 $\gamma_a,\gamma_b$ は一意に定まる。

補題 3.2. $(a,b,p,q,w)$ を正則データとし、 $(\vartheta_0,\lambda)\in\R^2$ に対して、 $\vartheta(\cdot;\vartheta_0,\lambda)$ を $\vartheta(a;\vartheta_0,\lambda)=\vartheta_0$ を満たす Prüfer 角の方程式の解とする。このとき、次が成り立つ。

$\Lambda_\lambda=\int_a^bL_\lambda(x)\,dx$ とすると、すべての $x\in[a,b]$ と $(\vartheta_0,\lambda),(\vartheta_0',\lambda')\in\R^2$ について $\lvert\vartheta(x;\vartheta_0,\lambda)-\vartheta(x;\vartheta_0',\lambda')\rvert\le e^{\Lambda_\lambda}\Bigl(\lvert\vartheta_0-\vartheta_0'\rvert+\lvert\lambda-\lambda'\rvert\int_a^bw\,dx\Bigr)$ が成り立つ。特に $(x,\vartheta_0,\lambda)\mapsto\vartheta(x;\vartheta_0,\lambda)$ は $[a,b]\times\R^2$ 上で連続である。
$x\in(a,b]$ とする。 $\vartheta_0<\vartheta_0'$ ならば $\vartheta(x;\vartheta_0,\lambda)<\vartheta(x;\vartheta_0',\lambda)$ であり、 $\lambda<\lambda'$ ならば $\vartheta(x;\vartheta_0,\lambda)<\vartheta(x;\vartheta_0,\lambda')$ である。また $\vartheta(x;\vartheta_0+\pi,\lambda)=\vartheta(x;\vartheta_0,\lambda)+\pi$ である。
$\vartheta_0\in[0,\pi)$ ならば、すべての $x\in(a,b]$ と $\lambda\in\R$ で $\vartheta(x;\vartheta_0,\lambda)>0$ である。
$\vartheta_0\in[0,\pi)$ ならば、すべての $x\in(a,b]$ で $\lim_{\lambda\to-\infty}\vartheta(x;\vartheta_0,\lambda)=0$ である。
$\vartheta_0\in[0,\pi)$ ならば $\lim_{\lambda\to+\infty}\vartheta(b;\vartheta_0,\lambda)=+\infty$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $u(x)=\lvert\vartheta(x;\vartheta_0,\lambda)-\vartheta(x;\vartheta_0',\lambda')\rvert$ とおくと、 $u$ は連続である。補題 1.4 (1)の二つの Lipschitz 評価から、

u(x)\le u(a)+\int_a^x\bigl(L_\lambda u+\lvert\lambda-\lambda'\rvert\lvert w\rvert\bigr)ds

が成り立つ。 $w>0$ はほとんど至る所で成り立つから $\int_a^b\lvert w\rvert\,dx=\int_a^bw\,dx$ である。§E13.7 定理 1.1により、 $u(a)=\lvert\vartheta_0-\vartheta_0'\rvert$ として主張の不等式を得る。この評価は固定した $(\vartheta_0,\lambda)$ に対して $x\in[a,b]$ について一様であり、 $x\mapsto\vartheta(x;\vartheta_0,\lambda)$ は連続であるから、三変数についての連続性も従う。

主張 (2)を示す。 $\vartheta_0<\vartheta_0'$ のとき、 $\vartheta_1=\vartheta(\cdot;\vartheta_0,\lambda)$ と $\vartheta_2=\vartheta(\cdot;\vartheta_0',\lambda)$ に定理 2.2 (1)を $P_1=P_2=1/p$ 、 $Q_1=Q_2=\lambda w-q$ として適用すると、 $\vartheta_1(a)<\vartheta_2(a)$ により $x\in(a,b]$ で $\vartheta_1(x)<\vartheta_2(x)$ である。 $\lambda<\lambda'$ のとき、 $\vartheta_1=\vartheta(\cdot;\vartheta_0,\lambda)$ と $\vartheta_2=\vartheta(\cdot;\vartheta_0,\lambda')$ に、 $Q_1=\lambda w-q$ 、 $Q_2=\lambda'w-q$ として適用する。 $\vartheta_2$ は補題 1.4 (2)により零でない実数値の解の Prüfer 角であり、 $w>0$ はほとんど至る所で成り立つから、 $x\in(a,b]$ について補題 2.1 (5)を $c=a$ 、 $d=x$ 、 $h=(\lambda'-\lambda)w$ として適用すると、 $D=(\lambda'-\lambda)w\sin^2\vartheta_2$ について $\int_a^xD>0$ であり、 $\vartheta_1(x)<\vartheta_2(x)$ である。 $F_\lambda$ は $\vartheta$ について $\pi$ 周期的であるから、 $\vartheta(\cdot;\vartheta_0,\lambda)+\pi$ は初期値 $\vartheta_0+\pi$ の解であり、補題 1.4 (2)の一意性により $\vartheta(\cdot;\vartheta_0+\pi,\lambda)$ に等しい。

主張 (3)を示す。 $\vartheta=\vartheta(\cdot;\vartheta_0,\lambda)$ は、補題 1.4 (2)により零でない実数値の解の Prüfer 角である。 $x_1\in(a,b]$ が $\vartheta(x_1)\le0$ を満たすとする。 $\vartheta_0>0$ ならば、中間値の定理により $x_2\in(a,x_1]$ で $\vartheta(x_2)=0$ を満たす点があり、補題 2.1 (1)により $x_2$ の直前で $\vartheta<0$ であるから、 $(a,x_2)$ にも $\vartheta=0$ を満たす点があって補題 2.1 (3)に反する。 $\vartheta_0=0$ ならば、 $\vartheta(a)=0$ であり、補題 2.1 (1)により $a$ の直後で $\vartheta>0$ であるから、 $\vartheta(x_1)\le0$ により $(a,x_1]$ にも $\vartheta=0$ を満たす点があって、同じく補題 2.1 (3)に反する。

主張 (4)を示す。 $\vartheta(x;\lambda)=\vartheta(x;\vartheta_0,\lambda)$ と書く。主張 (2)により、各 $x$ について $\lambda\mapsto\vartheta(x;\lambda)$ は狭義増加であり、主張 (3)により $x\in(a,b]$ で正であるから、極限 $\omega(x)=\lim_{\lambda\to-\infty}\vartheta(x;\lambda)\in[0,\infty)$ が存在し、 $\omega(a)=\vartheta_0$ である。 $\lambda<0$ ならば、 $F_\lambda$ の定義から $\vartheta(b;\lambda)-\vartheta_0=\int_a^b\bigl(\frac{\cos^2\vartheta}p+(\lambda w-q)\sin^2\vartheta\bigr)ds$ であり、 $\vartheta(b;\lambda)>0$ であるから、

\lvert\lambda\rvert\int_a^bw\sin^2\vartheta(s;\lambda)\,ds\le\int_a^b\Bigl(\frac1p+\lvert q\rvert\Bigr)ds+\vartheta_0=:C

が成り立つ。 $\lambda_n\to-\infty$ を任意の列とすると、 $\sin^2\vartheta(s;\lambda_n)\to\sin^2\omega(s)$ （ $s\in(a,b]$ ）であるから、Fatou の補題により $\int_a^bw\sin^2\omega\,ds\le\liminf C/\lvert\lambda_n\rvert=0$ である。 $w>0$ はほとんど至る所で成り立つから、 $Z=\{s\in(a,b]:\omega(s)\in\pi\Z\}$ の補集合は $(a,b]$ で零集合である。

$a\le x<x'\le b$ とする。 $\lambda<0$ ならば $F_\lambda(s,\vartheta)\le\frac{\cos^2\vartheta}p+\lvert q\rvert\sin^2\vartheta$ であるから、

\vartheta(x';\lambda_n)-\vartheta(x;\lambda_n)\le\int_x^{x'}\Bigl(\frac{\cos^2\vartheta(s;\lambda_n)}p+\lvert q\rvert\sin^2\vartheta(s;\lambda_n)\Bigr)ds

である。 $s\in Z$ で被積分関数は $1/p(s)$ へ収束し、 $1/p+\lvert q\rvert$ で押さえられるから、優収束定理により $\omega(x')-\omega(x)\le m(x,x')=\int_x^{x'}\frac{ds}p$ を得る。 $\eta>0$ を、 $x'-x<\eta$ ならば $m(x,x')<\pi-\vartheta_0$ となるように取る（ $1/p$ の積分の絶対連続性による）。 $z\in Z$ とし、 $a<z_1<\cdots<z_N=z$ を、 $z_1-a<\eta$ 、 $z_{i+1}-z_i<\eta$ を満たす $Z$ の点とする（ $Z$ は $(a,b]$ で稠密である）。 $\omega(z_1)\le\vartheta_0+m(a,z_1)<\pi$ であり、 $\omega(z_1)\in\pi\Z$ 、 $\omega\ge0$ であるから $\omega(z_1)=0$ である。 $\omega(z_i)=0$ ならば $\omega(z_{i+1})\le m(z_i,z_{i+1})<\pi$ であるから $\omega(z_{i+1})=0$ である。したがって $\omega(z)=0$ である。任意の $x\in(a,b]$ について、 $z\in Z$ 、 $z<x$ を $z\to x$ と取ると、 $0\le\omega(x)\le\omega(z)+m(z,x)=m(z,x)\to0$ であるから $\omega(x)=0$ である。

主張 (5)を示す。 $\sup_{\lambda}\vartheta(b;\lambda)=M_b<\infty$ と仮定する。主張 (2)により $\lambda\mapsto\vartheta(x;\lambda)$ は増加する。 $\lambda\ge0$ ならば $F_\lambda(s,\vartheta)\ge\frac{\cos^2\vartheta}p-\lvert q\rvert\sin^2\vartheta\ge-\lvert q\rvert$ であるから、 $x\in[a,b]$ について $\vartheta(x;\lambda)\le\vartheta(b;\lambda)+\int_x^b\lvert q\rvert\le M_b+\int_a^b\lvert q\rvert=:K$ であり、主張 (3)により $x>a$ で $\vartheta(x;\lambda)>0$ である。 $F_\lambda$ の定義から

\lambda\int_a^bw\sin^2\vartheta(s;\lambda)\,ds=\vartheta(b;\lambda)-\vartheta_0-\int_a^b\frac{\cos^2\vartheta}p\,ds+\int_a^bq\sin^2\vartheta\,ds\le K+\int_a^b\lvert q\rvert\,ds

である。極限 $\omega(x)=\lim_{\lambda\to+\infty}\vartheta(x;\lambda)\in(0,K]$ （ $x\in(a,b]$ ）が存在し、前段と同じく Fatou の補題により、 $Z=\{s\in(a,b]:\omega(s)\in\pi\Z\}$ の補集合は零集合である。 $x<x'$ を $(a,b]$ の点とすると、 $\lambda\ge0$ で $\vartheta(x';\lambda)-\vartheta(x;\lambda)\ge\int_x^{x'}\bigl(\frac{\cos^2\vartheta}p-\lvert q\rvert\sin^2\vartheta\bigr)ds$ であり、優収束定理により $\omega(x')-\omega(x)\ge\int_x^{x'}\frac{ds}p>0$ である。 $Z$ の点 $z_0<z_1<\cdots<z_N$ を取ると、各 $i$ で $\omega(z_{i+1})-\omega(z_i)$ は $\pi\Z$ の正の元であるから $\pi$ 以上であり、 $\omega(z_N)>N\pi$ となる。 $N\pi\ge K$ とすると $\omega\le K$ に反する。したがって $\sup_\lambda\vartheta(b;\lambda)=\infty$ であり、単調性により $\lim_{\lambda\to+\infty}\vartheta(b;\lambda)=+\infty$ である。▨

定理 3.3. $(a,b,p,q,w)$ を正則データ、 $(\alpha_a,\beta_a),(\alpha_b,\beta_b)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$ とし、 $\gamma_a,\gamma_b$ を定義 3.1の境界角、 $\vartheta(\cdot;\vartheta_0,\lambda)$ を補題 3.2のとおりとする。固有値と固有関数は定義 3.1の意味のものとする。このとき、次が成り立つ。

すべての固有値は実数であり、各固有値の固有関数の全体に零を加えたものは一次元の複素ベクトル空間である。各 $n\in\NN$ について、方程式 $\vartheta(b;\gamma_a,\lambda)=\gamma_b+(n-1)\pi$ はただ一つの解 $\lambda_n\in\R$ をもち、固有値の全体は $\lambda_1<\lambda_2<\cdots$ と並び、 $\lambda_n\to+\infty$ である。
$\lambda_n$ の実数値の固有関数は $(a,b)$ にちょうど $n-1$ 個の零点をもち、零点はすべて単純である（零点で $y^{[1]}\ne0$ である）。

証明.主張 (1)を示す。固有値が実数であることは§E13.26 命題 1.7 (1)により、各固有値の固有空間が一次元であることは§E13.26 命題 1.7 (3)による。

$\lambda\in\R$ とし、 $y_\lambda$ を $(y_\lambda,y_\lambda^{[1]})(a)=(\sin\gamma_a,\cos\gamma_a)$ を満たす実数値の解とする（系 1.2 (2)）。 $(\sin\gamma_a,\cos\gamma_a)$ は線形形式 $(z_0,z_1)\mapsto\alpha_az_0+\beta_az_1$ の $\C^2$ における一次元の核を張るから、 $a$ での境界条件を満たす解 $y$ について $(y,y^{[1]})(a)=k(\sin\gamma_a,\cos\gamma_a)$ （ $k\in\C$ ）であり、系 1.2 (2)の一意性により $y=ky_\lambda$ である。したがって $\lambda$ が固有値であることと $y_\lambda$ が $b$ での境界条件を満たすことは同値である。 $\vartheta=\vartheta(\cdot;\gamma_a,\lambda)$ は補題 1.4 (2)により $y_\lambda$ の Prüfer 角であり、 $y_\lambda(b)=r\sin\vartheta(b)$ 、 $y_\lambda^{[1]}(b)=r\cos\vartheta(b)$ （ $r>0$ ）であるから、 $y_\lambda$ が $b$ での境界条件を満たすことは $(\sin\vartheta(b),\cos\vartheta(b))\in\R(\sin\gamma_b,\cos\gamma_b)$ 、すなわち $\vartheta(b)\in\gamma_b+\pi\Z$ と同値である。したがって、実数 $\lambda$ が固有値であることと $\vartheta(b;\gamma_a,\lambda)\in\gamma_b+\pi\Z$ であることは同値である。補題 3.2 (3)により $\vartheta(b;\gamma_a,\lambda)>0$ であり、 $\gamma_b\in(0,\pi]$ であるから、 $\gamma_b+\pi\Z$ の正の元は $\gamma_b+(n-1)\pi$ （ $n\in\NN$ ）である。 $\Theta(\lambda)=\vartheta(b;\gamma_a,\lambda)$ は、補題 3.2 (1)、補題 3.2 (2)、補題 3.2 (4)、補題 3.2 (5)により、 $\R$ から $(0,\infty)$ への連続な狭義増加全単射であるから、各 $n$ について $\Theta(\lambda_n)=\gamma_b+(n-1)\pi$ を満たす $\lambda_n$ がただ一つ存在し、 $\lambda_1<\lambda_2<\cdots$ である。 $\lambda_n\le\Lambda$ がすべての $n$ で成り立つとすると、 $\Theta(\lambda_n)\le\Theta(\Lambda)$ であるが $\Theta(\lambda_n)\ge(n-1)\pi\to\infty$ であるから矛盾する。したがって $\lambda_n\to+\infty$ である。

主張 (2)を示す。 $y=y_{\lambda_n}$ の Prüfer 角 $\vartheta=\vartheta(\cdot;\gamma_a,\lambda_n)$ は $\vartheta(a)=\gamma_a\in[0,\pi)$ 、 $\vartheta(b)=\gamma_b+(n-1)\pi$ を満たす。補題 2.1 (4)により、 $(a,b)$ の零点の個数は $\#\{k:\gamma_a<k\pi<\gamma_b+(n-1)\pi\}$ である。 $0\le\gamma_a<\pi$ であるから $k\ge1$ であり、 $0<\gamma_b/\pi\le1$ であるから $k<n-1+\gamma_b/\pi$ は $k\le n-1$ と同値である。したがって零点の個数は $n-1$ である。零点が単純であることは補題 2.1 (2)による。 $\lambda_n$ の実数値の固有関数は $y_{\lambda_n}$ の実数倍である。▨

系 3.4. $(a,b,p_1,q_1,w)$ と $(a,b,p_2,q_2,w)$ を正則データとし、ほとんど至る所で $1/p_2\le1/p_1$ かつ $q_1\le q_2$ であるとする。 $(\alpha_a,\beta_a),(\alpha_b,\beta_b)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$ とし、この境界条件の下の定理 3.3 (1)の固有値列を、 $i=1,2$ についてそれぞれ $(\lambda_n^{(i)})_{n\in\NN}$ とする。このとき、すべての $n\in\NN$ で $\lambda_n^{(1)}\le\lambda_n^{(2)}$ である。さらに $\{x\in(a,b):q_1(x)<q_2(x)\}$ が正の測度をもつならば、すべての $n\in\NN$ で $\lambda_n^{(1)}<\lambda_n^{(2)}$ である。

証明. $\gamma_a,\gamma_b$ を境界角とし、 $i=1,2$ と $\lambda\in\R$ について、 $\vartheta_i(\cdot;\lambda)$ を正則データ $(a,b,p_i,q_i,w)$ の Prüfer 角の方程式の解で $\vartheta_i(a;\lambda)=\gamma_a$ を満たすものとする。 $\lambda=\lambda_n^{(1)}$ とし、定理 2.2 (1)を、 $c=a$ 、 $d=b$ とし、同項の $(\vartheta_1,P_1,Q_1)$ を $(\vartheta_2(\cdot;\lambda),1/p_2,\lambda w-q_2)$ 、 $(\vartheta_2,P_2,Q_2)$ を $(\vartheta_1(\cdot;\lambda),1/p_1,\lambda w-q_1)$ として適用する。初期値はともに $\gamma_a$ であるから $\vartheta_2(b;\lambda)\le\vartheta_1(b;\lambda)$ であり、定理 3.3 (1)により

\vartheta_2(b;\lambda_n^{(1)})\le\vartheta_1(b;\lambda_n^{(1)})=\gamma_b+(n-1)\pi=\vartheta_2(b;\lambda_n^{(2)})

である。補題 3.2 (2)により $\lambda\mapsto\vartheta_2(b;\lambda)$ は狭義増加であるから、 $\lambda_n^{(1)}\le\lambda_n^{(2)}$ である。

$\{x\in(a,b):q_1(x)<q_2(x)\}$ が正の測度をもつとする。定理 2.2 (1)の関数 $D$ は $D=(1/p_1-1/p_2)\cos^2\vartheta_1+(q_2-q_1)\sin^2\vartheta_1\ge(q_2-q_1)\sin^2\vartheta_1$ を満たす。 $\vartheta_1(\cdot;\lambda)$ は補題 1.4 (2)により零でない実数値の解の Prüfer 角であるから、補題 2.1 (5)を $c=a$ 、 $d=b$ 、 $h=q_2-q_1$ として適用すると $\int_a^bD\,dx>0$ であり、定理 2.2 (1)により $\vartheta_2(b;\lambda_n^{(1)})<\vartheta_1(b;\lambda_n^{(1)})=\vartheta_2(b;\lambda_n^{(2)})$ であるから、狭義増加性により $\lambda_n^{(1)}<\lambda_n^{(2)}$ である。▨

注意 3.5. $p\in C^1([a,b])$ 、 $q,w\in C([a,b])$ が実数値で、 $p,w$ が $[a,b]$ 上で正であるとする。このとき $(a,b,p,q,w)$ は正則データであり、§E13.26 命題 1.3 (5)により、 $\lambda\in\C$ と $\ell[y]=\lambda wy$ の任意の解 $y$ について $y^{[1]}=py'$ が成り立つ。実係数の斉次分離型境界条件の下で、定理 3.3の固有値列 $(\lambda_n)$ は§E13.27 定理 3.5の固有値列に一致し、同定理の完全正規直交系の第 $n$ 項 $e_n$ は $(a,b)$ にちょうど $n-1$ 個の零点をもつ。実際、二つの列はともに、同じ境界条件の下で方程式 $\ell[y]=\lambda wy$ が零でない解をもつ $\lambda$ の全体を狭義増加に並べた列であり、 $e_n$ は $\lambda_n$ の実数値の固有関数である。

例 3.6. $[0,2\pi]$ 上で、 $p=1$ 、 $q=0$ 、 $x\in(0,\pi)$ で $w(x)=1$ 、 $x\in[\pi,2\pi)$ で $w(x)=-1$ とする。このとき、 $1/p,q,w$ は可積分であるが、 $w$ は符号を変え、定義 1.1の条件 $w>0$ を満たさない。この例では、流束、方程式 $\ell[y]=\lambda wy$ の解、両端 Dirichlet 条件 $y(0)=y(2\pi)=0$ の下の固有値を、§E13.26 定義 1.1と§E13.26 定義 1.6の式から $w>0$ の仮定を除いたもので定める。すなわち $\lambda\in\C$ が固有値であるとは、 $y\in C^1([0,2\pi])$ で $y'$ が絶対連続であり、ほとんど至る所で $-y''=\lambda wy$ を満たし、 $y(0)=y(2\pi)=0$ を満たす零でない $y$ が存在することである。 $\lambda=k^2$ （ $k>0$ ）とし、 $y$ を $y(0)=0$ を満たす解とする。 $(0,\pi)$ で $-y''=k^2y$ であるから、 $c\in\C$ が存在して $[0,\pi]$ で $y=c\sin kx$ であり、流束 $y^{[1]}=y'$ が $x=\pi$ で連続であることから、 $[\pi,2\pi]$ では $y(x)=c\bigl(\sin k\pi\cosh k(x-\pi)+\cos k\pi\sinh k(x-\pi)\bigr)$ である。 $c=0$ ならば $y=0$ であるから、 $\lambda$ が固有値であることと $g(k\pi)=0$ （ $g(s)=\sin s\cosh s+\cos s\sinh s$ ）であることは同値である。 $g(n\pi)=(-1)^n\sinh n\pi$ 、 $g(n\pi+\pi/2)=(-1)^n\cosh(n\pi+\pi/2)$ 、 $g((n+1)\pi)=(-1)^{n+1}\sinh(n+1)\pi$ （ $n\in\NN$ ）であるから、 $g$ は各 $(n\pi+\pi/2,(n+1)\pi)$ に零点をもち、正の固有値は無限個ある。 $z(x)=y(2\pi-x)$ は $w(2\pi-x)=-w(x)$ （ほとんどすべての $x$ ）から $-z''=-\lambda wz$ を満たし、境界条件も保つから、 $\lambda$ が固有値ならば $-\lambda$ も固有値である。よって固有値の全体は上にも下にも有界でなく、最小の固有値は存在しない。定理 3.3の結論である、固有値の全体が最小元をもつ狭義増加列であることは、 $w>0$ を外すと成り立たない。

補題 4.1. $L>0$ とし、 $V\in L^1(0,L)$ を実数値関数、 $k>0$ とする。 $u\in C^1([0,L];\R)$ を、 $u'\in AC([0,L];\R)$ で、ほとんど至る所で $-u''+Vu=k^2u$ を満たし、零でないものとする。 $(0,L,1/k,(V-k^2)/k,1)$ を正則データとみなし、これを $D_k$ と書く。このとき、 $u$ は $D_k$ の $\lambda=0$ の方程式の解であり、 $u$ の $D_k$ に関する Prüfer 角が存在する。 $u$ の $D_k$ に関する任意の Prüfer 角 $\psi$ について、連続関数 $\rho:[0,L]\to(0,\infty)$ が存在して $u=\rho\sin\psi$ 、 $u'=k\rho\cos\psi$ が成り立ち、ほとんど至る所で $\psi'=k-\frac Vk\sin^2\psi$ であり、

\lvert\psi(L)-\psi(0)-kL\rvert\le\frac{\lVert V\rVert_1}{k}

が成り立つ。

証明. $D_k$ では $p=1/k$ であり、流束は $u^{[1]}=u'/k$ である。 $u'/k$ は絶対連続であり、 $-(u^{[1]})'+\frac{V-k^2}ku=\frac1k(-u''+Vu-k^2u)=0$ がほとんど至る所で成り立つから、 $u$ は $D_k$ の $\lambda=0$ の方程式の解である。補題 1.4 (3)により Prüfer 角 $\psi$ が存在し、 $u=\rho\sin\psi$ 、 $u^{[1]}=\rho\cos\psi$ すなわち $u'=k\rho\cos\psi$ である。 $\psi$ は補題 1.4 (3)により Prüfer 角の方程式

\psi'=k\cos^2\psi+\frac{k^2-V}{k}\sin^2\psi=k-\frac Vk\sin^2\psi

を満たす。したがって $\psi(L)-\psi(0)-kL=-\int_0^L\frac Vk\sin^2\psi\,ds$ であり、絶対値は $\lVert V\rVert_1/k$ 以下である。▨

定理 4.2. $a<b$ を実数、 $p,w\in C^2([a,b])$ を $[a,b]$ 上で正の実数値関数、 $q\in L^1(a,b)$ を実数値関数とし、 $(\alpha_a,\beta_a),(\alpha_b,\beta_b)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$ とする。 $(\lambda_n)$ を定理 3.3の固有値列とし、 $\kappa=\#\{e\in\{a,b\}:\beta_e\ne0\}$ 、 $L=\int_a^b\sqrt{w/p}\,dx$ とおく。このとき、ある $C\ge0$ が存在して、すべての $n\in\NN$ で

\Bigl\lvert\lambda_n-\Bigl(\frac{(n-\kappa/2)\pi}{L}\Bigr)^2\Bigr\rvert\le C

が成り立つ。特に、 $\beta_a=\beta_b=0$ （両端 Dirichlet 条件）ならば $\lambda_n=(n\pi/L)^2+O(1)$ である。

証明. $1/p$ と $w$ は $[a,b]$ 上で連続で正であり、 $q$ は可積分であるから、 $(a,b,p,q,w)$ は正則データである。 $t(x)=\int_a^x\sqrt{w/p}\,d\xi$ とすると、 $t_a=0$ 、 $t_b=L$ である。 $\sqrt{w/p}$ は $[a,b]$ 上で $C^2$ 級で正であるから、 $t$ は $[a,b]$ 上で $C^3$ 級で $t'>0$ であり、逆写像 $x:[0,L]\to[a,b]$ は $C^3$ 級である。 $m=(pw)^{1/4}\circ x$ は $[0,L]$ 上の正の $C^2$ 級関数であり、 $V=\frac qw\circ x+\frac{m''}m$ とおく。 $V$ は§E13.26 定理 2.1 (1)により $(0,L)$ 上で局所可積分である。 $p,w$ は $[a,b]$ 上の正の $C^2$ 級関数、 $q\in L^1(a,b)$ であるから、§E13.26 定理 2.1 (4)により、 $e=a,b$ について $t_e\in\{0,L\}$ は $1,V,1$ について正則端点であり、 $V$ は $t_e$ の近くで可積分である。したがって $V\in L^1(0,L)$ であり、 $(0,L,1,V,1)$ は正則データである。

§E13.26 定理 2.1 (3)により、 $y$ が $\ell[y]=\lambda wy$ の解であることと、 $u=Uy$ が $u\in C^1$ 、 $u'\in AC_{\mathrm{loc}}$ を満たし $-u''+Vu=\lambda u$ をほとんど至る所で満たすことは同値であり、後者は $(0,L,1,V,1)$ の方程式の解の条件（流束は $u'$ ）である。したがって、 $y\mapsto Uy$ は $\ell[y]=\lambda wy$ の解の全体から $(0,L,1,V,1)$ の方程式 $-u''+Vu=\lambda u$ の解の全体への線形な全単射である。 $e\in\{a,b\}$ に対して、 $p,w$ は $[a,b]$ 上の正の $C^2$ 級関数、 $q$ は $e$ の近くで可積分であるから、§E13.26 定理 2.1 (4)により、 $\alpha_ey(e)+\beta_ey^{[1]}(e)=0$ と $\tilde\alpha_eu(t_e)+\tilde\beta_eu'(t_e)=0$ は同値であり、 $(\tilde\alpha_e,\tilde\beta_e)=\bigl(\frac{\alpha_e}{m(t_e)}-\beta_em'(t_e),\beta_em(t_e)\bigr)\ne(0,0)$ 、 $\tilde\beta_e\ne0\iff\beta_e\ne0$ である。したがって、 $(a,b,p,q,w)$ の境界条件 $(\alpha_e,\beta_e)$ の固有値の全体と、 $(0,L,1,V,1)$ の境界条件 $(\tilde\alpha_e,\tilde\beta_e)$ の固有値の全体は一致し、定理 3.3により、どちらも同じ狭義増加列 $(\lambda_n)$ である。

$\lambda_n\to\infty$ であるから、 $\lambda_n\ge1$ を満たす $n$ について示せばよい（残りは有限個であり、それらの $\lvert\lambda_n-((n-\kappa/2)\pi/L)^2\rvert$ の最大値と以下の定数の大きい方を $C$ とする）。 $k=\sqrt{\lambda_n}\ge1$ とし、 $u$ を $\lambda_n$ の実数値の固有関数とする。 $u$ は定理 3.3 (2)により $(0,L)$ にちょうど $n-1$ 個の零点をもつ。補題 4.1の $D_k$ に関して、境界条件は $\tilde\alpha_eu+k\tilde\beta_eu^{[1]}=0$ と書かれる。 $\psi_0\in[0,\pi)$ 、 $\psi_L\in(0,\pi]$ を $\tilde\alpha_0\sin\psi_0+k\tilde\beta_0\cos\psi_0=0$ 、 $\tilde\alpha_L\sin\psi_L+k\tilde\beta_L\cos\psi_L=0$ で定める（ $\tilde\alpha_0,\tilde\beta_0$ は $e=a$ 、 $\tilde\alpha_L,\tilde\beta_L$ は $e=b$ の係数）。 $u$ を $-u$ に替えることと $2\pi$ の整数倍を加えることにより、 $u$ の Prüfer 角 $\psi$ は $\psi(0)=\psi_0$ を満たすとしてよい。 $b$ での境界条件から $\psi(L)\in\psi_L+\pi\Z$ であり、補題 3.2 (3)により $\psi(L)>0$ である。補題 2.1 (4)により $(0,L)$ の零点の個数は $\#\{j:\psi_0<j\pi<\psi(L)\}$ であり、 $\psi_0\in[0,\pi)$ であるから $\#\{j\ge1:j\pi<\psi(L)\}=n-1$ である。 $\psi(L)>0$ であるから、これは $(n-1)\pi<\psi(L)\le n\pi$ を意味する。 $(n-1)\pi<\psi(L)\le n\pi$ を満たす $\psi_L+\pi\Z$ の元は $\psi_L+(n-1)\pi$ だけであるから、 $\psi(L)=\psi_L+(n-1)\pi$ である。

補題 4.1により $\lvert\psi_L+(n-1)\pi-\psi_0-kL\rvert\le\lVert V\rVert_1/k$ である。 $\tilde\beta_0=0$ ならば $\tilde\alpha_0\ne0$ であり $\sin\psi_0=0$ から $\psi_0=0$ である。 $\tilde\beta_0\ne0$ ならば $\sin\psi_0\ne0$ であり $\cot\psi_0=-\tilde\alpha_0/(k\tilde\beta_0)$ であるから、 $\psi_0\in(0,\pi)$ について $\pi/2-\psi_0=\arctan\cot\psi_0$ により $\lvert\psi_0-\pi/2\rvert\le\lvert\tilde\alpha_0\rvert/(k\lvert\tilde\beta_0\rvert)$ である。同様に、 $\tilde\beta_L=0$ ならば $\psi_L=\pi$ であり、 $\tilde\beta_L\ne0$ ならば $\lvert\psi_L-\pi/2\rvert\le\lvert\tilde\alpha_L\rvert/(k\lvert\tilde\beta_L\rvert)$ である。 $\tilde\beta_0\ne0$ のとき $\kappa_0=1$ 、そうでないとき $\kappa_0=0$ とし、 $\tilde\beta_L\ne0$ のとき $\kappa_L=1$ 、そうでないとき $\kappa_L=0$ とおくと $\kappa=\kappa_0+\kappa_L$ であり、 $\psi_L-\psi_0=\pi-\frac{\kappa\pi}2+\varepsilon_1$ 、 $\lvert\varepsilon_1\rvert\le E_1/k$ （ $E_1$ は $n$ によらない定数）である。したがって $\lvert kL-(n-\kappa/2)\pi\rvert\le E/k$ （ $E=\lVert V\rVert_1+E_1$ ）である。 $k_0=(n-\kappa/2)\pi/L$ とおくと $\lvert k-k_0\rvert\le E/(kL)$ であり、 $k\ge1$ から

\lvert\lambda_n-k_0^2\rvert=\lvert k-k_0\rvert(k+k_0)\le\frac{E}{kL}\Bigl(2k+\frac{E}{kL}\Bigr)\le\frac{2E}L+\frac{E^2}{L^2}

である。▨

例 4.3. $L>0$ とし、 $[0,L]$ 上の正則データ $p=w=1$ 、 $q=0$ の方程式 $-y''=\lambda y$ を考える。このとき、定理 3.3により、第 $n$ 固有値は、 $(0,L)$ にちょうど $n-1$ 個の零点をもつ実数値の固有関数の固有値である。次の表が得られる。

境界条件	$\lambda_n$	固有関数	$\kappa$
$y(0)=y(L)=0$	$(n\pi/L)^2$	$\sin(n\pi x/L)$	$0$
$y(0)=0$ 、 $y'(L)=0$	$((n-\frac12)\pi/L)^2$	$\sin((n-\frac12)\pi x/L)$	$1$
$y'(0)=0$ 、 $y(L)=0$	$((n-\frac12)\pi/L)^2$	$\cos((n-\frac12)\pi x/L)$	$1$
$y'(0)=y'(L)=0$	$((n-1)\pi/L)^2$	$\cos((n-1)\pi x/L)$	$2$

各行の関数は方程式と境界条件を満たし、 $(0,L)$ の零点の個数は、それぞれ $x=jL/n$ （ $1\le j\le n-1$ ）、 $x=jL/(n-\frac12)$ （ $1\le j\le n-1$ ）、 $x=(j+\frac12)L/(n-\frac12)$ （ $0\le j\le n-2$ ）、 $x=(j+\frac12)L/(n-1)$ （ $0\le j\le n-2$ ）の $n-1$ 個である。主要項 $((n-\kappa/2)\pi/L)^2$ は境界条件の型 $\kappa$ によって変わる。 $\kappa\ge1$ では $\lambda_n-(n\pi/L)^2$ が有界でなく、 $\lambda_n=(n\pi/L)^2+O(1)$ は両端 Dirichlet 条件に限る。

定義 5.1. $T>0$ とし、 $p,q,w:\R\to\R$ を可測関数で、ほとんどすべての $x$ で $p(x+T)=p(x)$ 、 $q(x+T)=q(x)$ 、 $w(x+T)=w(x)$ 、 $p(x)>0$ 、 $w(x)>0$ を満たし、 $1/p,q,w\in L^1_{\mathrm{loc}}(\R)$ であるものとする。 $(0,T,p,q,w)$ は正則データである。 $\lambda\in\C$ について、 $\ell[y]=\lambda wy$ の解 $\theta(\cdot,\lambda)$ 、 $\varphi(\cdot,\lambda)$ を $(\theta,\theta^{[1]})(0)=(1,0)$ 、 $(\varphi,\varphi^{[1]})(0)=(0,1)$ により定め、

M(\lambda)=\begin{pmatrix}\theta(T,\lambda)&\varphi(T,\lambda)\\ \theta^{[1]}(T,\lambda)&\varphi^{[1]}(T,\lambda)\end{pmatrix},\qquad\Delta(\lambda)=\theta(T,\lambda)+\varphi^{[1]}(T,\lambda)

とおく。 $\Delta$ を判別式という。 $p=w=1$ の場合、§E13.26 命題 1.3 (5)により流束は $y^{[1]}=y'$ であり、 $\ell[y]=\lambda y$ の解は Hill 方程式 $-y''+qy=\lambda y$ （§E13.13 定義 5.1）の解であるから、 $\theta,\varphi,M,\Delta$ は同定義の記号と一致し、 $\Delta$ は Hill 方程式の判別式§E13.13 判別式である。 $\ell[y]=\lambda wy$ の解 $y$ について、 $Y=(y,y^{[1]})^{\mathsf T}$ は $Y(T)=M(\lambda)Y(0)$ を満たす。 $\varepsilon\in\{1,-1\}$ について、 $\ell[y]=\lambda wy$ の零でない解 $y:\R\to\C$ で $(y,y^{[1]})(T)=\varepsilon(y,y^{[1]})(0)$ を満たすものが存在するとき、 $\lambda$ を $\varepsilon=1$ のとき周期型固有値 (periodic eigenvalue)、 $\varepsilon=-1$ のとき反周期型固有値 (antiperiodic eigenvalue) という。これらの条件を満たす解の全体は複素ベクトル空間であり、その次元を固有値の重複度という。

補題 5.2. $p,q,w,T$ を定義 5.1のとおりとし、 $\lambda\in\R$ とする。 $\theta=\theta(\cdot,\lambda)$ 、 $\varphi=\varphi(\cdot,\lambda)$ 、 $M=M(\lambda)=(m_{ij})$ とおき、実二次形式 $Q(X,Y)=m_{12}X^2+(m_{22}-m_{11})XY-m_{21}Y^2$ を考える。このとき、 $\Delta$ は $\R$ 上で $C^1$ 級であり、 $\theta,\varphi$ は実数値で $\det M=1$ 、 $Q$ の判別式は $\Delta(\lambda)^2-4$ であって、

\Delta'(\lambda)=-\int_0^Tw(s)\,Q\bigl(\theta(s),\varphi(s)\bigr)\,ds

が成り立つ。さらに、次が成り立つ。

$\lvert\Delta(\lambda)\rvert<2$ ならば $\Delta'(\lambda)\ne0$ である。
$\lvert\Delta(\lambda)\rvert=2$ のとき、 $\Delta'(\lambda)=0$ であることと $M(\lambda)=\frac{\Delta(\lambda)}2I$ であることは同値である。

証明. $A_0=\begin{pmatrix}0&1/p\\q&0\end{pmatrix}$ 、 $A_1=\begin{pmatrix}0&0\\-w&0\end{pmatrix}$ とおくと、 $\ell[y]=\lambda wy$ の解 $y$ について $(y,y^{[1]})^{\mathsf T}$ は $\boldsymbol x'=(A_0+\lambda A_1)\boldsymbol x$ の解であり、 $A_0,A_1\in L^1_{\mathrm{loc}}(\R;\C^{2\times2})$ は実数値である。 $\Phi(t,\lambda)=\begin{pmatrix}\theta&\varphi\\\theta^{[1]}&\varphi^{[1]}\end{pmatrix}$ の列は、§E13.8 命題 5.1の $\boldsymbol b_0=\boldsymbol b_1=\boldsymbol 0$ 、 $t_0=0$ 、 $\boldsymbol\eta=(1,0)^{\mathsf T},(0,1)^{\mathsf T}$ の解であるから、§E13.8 命題 5.1 (5)により $\lambda\in\R$ で実数値であり、§E13.8 命題 5.1 (3)により $\lambda$ の整関数である。したがって $\Delta$ は整関数であり、 $\R$ 上で $C^1$ 級である。§E13.26 命題 1.3 (3)により $\theta\varphi^{[1]}-\theta^{[1]}\varphi$ は定数で $t=0$ で $1$ であるから、 $\det\Phi=1$ 、 $\det M=1$ である。 $p=w=1$ の場合、 $\theta,\varphi$ の実数値性と整関数性は§E13.13 系 5.4の主張であり、 $\det\Phi=\det M=1$ は§E13.13 命題 5.2 (1)の主張である。 $Q$ の判別式は $(m_{22}-m_{11})^2+4m_{12}m_{21}=(m_{11}+m_{22})^2-4(m_{11}m_{22}-m_{12}m_{21})=\Delta^2-4$ である。

§E13.8 命題 5.1 (2)により、 $\partial_\lambda\Phi$ の各列 $\boldsymbol z_j$ は $\boldsymbol z_j'=(A_0+\lambda A_1)\boldsymbol z_j+A_1\Phi\boldsymbol e_j$ 、 $\boldsymbol z_j(0)=\boldsymbol0$ を満たす。§E13.11 定理 2.1により、 $\boldsymbol z_j(t)=\Phi(t)\int_0^t\Phi(s)^{-1}A_1(s)\Phi(s)\boldsymbol e_j\,ds$ であり、 $\partial_\lambda\Phi(t)=\Phi(t)\int_0^t\Phi^{-1}A_1\Phi\,ds$ である。 $t=T$ として $\Delta'=\operatorname{tr}\partial_\lambda M=\int_0^T\operatorname{tr}(M\Phi^{-1}A_1\Phi)\,ds$ である。 $\Phi^{-1}=\begin{pmatrix}\varphi^{[1]}&-\varphi\\-\theta^{[1]}&\theta\end{pmatrix}$ であるから、 $A_1=-wE_{21}$ に対して $\Phi^{-1}E_{21}\Phi=\begin{pmatrix}-\theta\varphi&-\varphi^2\\\theta^2&\theta\varphi\end{pmatrix}$ であり、 $\operatorname{tr}(M\Phi^{-1}A_1\Phi)=-w\bigl(m_{12}\theta^2+(m_{22}-m_{11})\theta\varphi-m_{21}\varphi^2\bigr)$ である。以上より、主張の等式が成り立つ。

第一段の $\det\Phi=1$ と系 1.2 (4)により、 $\theta,\varphi$ は一次独立であり、すべての $s\in[0,T]$ で $(\theta(s),\varphi(s))\ne(0,0)$ である。

主張 (1)を示す。 $\lvert\Delta\rvert<2$ ならば $Q$ の判別式は負であり、 $m_{12}m_{21}<0$ から $m_{12}\ne0$ である。 $Y=0$ 、 $X\ne0$ では $Q=m_{12}X^2\ne0$ であり、 $Y\ne0$ では $Q=Y^2(m_{12}z^2+(m_{22}-m_{11})z-m_{21})$ （ $z=X/Y$ ）で、この $z$ の二次式は判別式が負であるから実根をもたない。したがって $s\mapsto Q(\theta(s),\varphi(s))$ は $[0,T]$ 上の零点をもたない連続関数であり、符号は一定である。 $w>0$ がほとんど至る所で成り立つから、 $\Delta'(\lambda)\ne0$ である。

主張 (2)を示す。 $\lvert\Delta\rvert=2$ とし、 $\varepsilon=\Delta/2$ とおく。 $M=\varepsilon I$ ならば $m_{12}=m_{21}=0$ 、 $m_{11}=m_{22}$ であり $Q=0$ であるから $\Delta'=0$ である。 $M\ne\varepsilon I$ とする。 $Q$ の判別式は零である。 $m_{12}\ne0$ ならば $Q=m_{12}\bigl(X+\frac{m_{22}-m_{11}}{2m_{12}}Y\bigr)^2$ である。 $m_{12}=0$ ならば $m_{22}=m_{11}$ であり、 $\det M=1$ から $m_{11}=m_{22}=\pm1$ 、 $\operatorname{tr}M=2\varepsilon$ から $m_{11}=m_{22}=\varepsilon$ であり、 $M\ne\varepsilon I$ から $m_{21}\ne0$ で、 $Q=-m_{21}Y^2$ である。いずれの場合も、 $Q=c(\alpha X+\beta Y)^2$ （ $c\in\R\setminus\{0\}$ 、 $(\alpha,\beta)\ne(0,0)$ ）である。 $z=\alpha\theta+\beta\varphi$ は零でない実数値の解であり、零点は補題 2.1 (2)により有限個であるから、 $Q(\theta,\varphi)=cz^2$ は符号が一定でほとんど至る所で零でなく、 $\Delta'(\lambda)\ne0$ である。▨

補題 5.3. $p,q,w,T$ を定義 5.1のとおりとし、 $\lambda\in\R$ とする。 $P_\lambda(\vartheta_0)=\vartheta(T;\vartheta_0,\lambda)$ （正則データ $(0,T,p,q,w)$ に対する補題 3.2の記号）、 $G_\lambda(\vartheta_0)=P_\lambda(\vartheta_0)-\vartheta_0$ とし、 $v(\vartheta_0)=(\sin\vartheta_0,\cos\vartheta_0)^{\mathsf T}$ とおく。このとき、次が成り立つ。

$P_\lambda$ は $\R$ 上で連続な狭義増加関数で $P_\lambda(\vartheta_0+\pi)=P_\lambda(\vartheta_0)+\pi$ を満たす。 $G_\lambda$ は連続で周期 $\pi$ をもち、 $g_{-}(\lambda)=\min G_\lambda$ 、 $g_{+}(\lambda)=\max G_\lambda$ は $-\pi<g_{-}(\lambda)\le g_{+}(\lambda)<g_{-}(\lambda)+\pi$ と $g_{+}(\lambda)>0$ を満たす。
$\vartheta_0\in\R$ について、 $G_\lambda(\vartheta_0)\in\pi\Z$ であることと、 $v(\vartheta_0)$ が $M(\lambda)$ の実固有値の固有ベクトルであることは同値である。 $G_\lambda(\vartheta_0)=j\pi$ （ $j\in\Z$ ）ならば、対応する固有値の符号は $(-1)^j$ である。
$g_{-},g_{+}$ は $\lambda$ の連続な狭義増加関数であり、 $\lambda\to\infty$ で $g_{-}(\lambda)\to\infty$ 、 $g_{+}(\lambda)\to\infty$ であり、 $g_{-}(\lambda)<0$ を満たす $\lambda\in\R$ が存在する。

証明.主張 (1)を示す。連続性と狭義単調性と $\pi$ の平行移動との可換性は補題 3.2 (1)と補題 3.2 (2)による。 $G_\lambda$ は連続で周期 $\pi$ をもつから、 $[0,\pi]$ 上の最小値 $g_{-}=g_{-}(\lambda)$ と最大値 $g_{+}=g_{+}(\lambda)$ をとる。 $\vartheta_a,\vartheta_b\in[0,\pi]$ を最小点、最大点とする。 $\vartheta_a\le\vartheta_b$ ならば、 $0\le\vartheta_b-\vartheta_a\le\pi$ であり、 $P_\lambda$ の単調性と平行移動との可換性から $0\le P_\lambda(\vartheta_b)-P_\lambda(\vartheta_a)\le\pi$ で、 $g_{+}-g_{-}=P_\lambda(\vartheta_b)-P_\lambda(\vartheta_a)-(\vartheta_b-\vartheta_a)$ である。 $\vartheta_b-\vartheta_a<\pi$ のとき $P_\lambda(\vartheta_b)-P_\lambda(\vartheta_a)<P_\lambda(\vartheta_a+\pi)-P_\lambda(\vartheta_a)=\pi$ であるから $g_{+}-g_{-}<\pi$ であり、 $\vartheta_b-\vartheta_a=\pi$ のとき $G_\lambda(\vartheta_b)=G_\lambda(\vartheta_a)$ であるから $g_{+}=g_{-}$ である。 $\vartheta_b<\vartheta_a$ ならば $P_\lambda(\vartheta_b)-P_\lambda(\vartheta_a)<0$ であり、 $g_{+}-g_{-}<\vartheta_a-\vartheta_b\le\pi$ である。 $\vartheta_0\in[0,\pi)$ について、補題 3.2 (3)により $P_\lambda(\vartheta_0)>0$ であり、 $G_\lambda(\vartheta_0)>-\vartheta_0>-\pi$ である。 $G_\lambda(\pi)=G_\lambda(0)$ であるから $g_{-}>-\pi$ である。 $G_\lambda(0)=P_\lambda(0)>0$ であるから $g_{+}>0$ である。

主張 (2)を示す。 $y$ を $(y,y^{[1]})(0)=v(\vartheta_0)$ を満たす実数値の解とすると、 $\vartheta=\vartheta(\cdot;\vartheta_0,\lambda)$ はその Prüfer 角であり（補題 1.4 (2)）、 $M(\lambda)v(\vartheta_0)=(y,y^{[1]})(T)=r(T)v(P_\lambda(\vartheta_0))$ （ $r(T)>0$ ）である。 $G_\lambda(\vartheta_0)=j\pi$ ならば $v(P_\lambda(\vartheta_0))=(-1)^jv(\vartheta_0)$ であるから、 $v(\vartheta_0)$ は固有値 $(-1)^jr(T)$ の固有ベクトルである。逆に $v(\vartheta_0)$ が実固有値 $\rho'$ の固有ベクトルならば、 $r(T)v(P_\lambda(\vartheta_0))=\rho'v(\vartheta_0)$ であり、 $v$ が単位ベクトルであるから $v(P_\lambda(\vartheta_0))=\pm v(\vartheta_0)$ であり、 $G_\lambda(\vartheta_0)\in\pi\Z$ である。

主張 (3)を示す。 $\lambda,\lambda'$ が有界な範囲を動くとき、補題 3.2 (1)の評価は $\vartheta_0$ について一様であるから、 $g_{-},g_{+}$ は連続である。 $\lambda<\lambda'$ ならば、補題 3.2 (2)により、すべての $\vartheta_0$ で $G_\lambda(\vartheta_0)<G_{\lambda'}(\vartheta_0)$ である。 $G_{\lambda'}$ の最小点を $\vartheta_a'$ とすると $g_{-}(\lambda')=G_{\lambda'}(\vartheta_a')>G_\lambda(\vartheta_a')\ge g_{-}(\lambda)$ であり、 $G_\lambda$ の最大点を $\vartheta_b$ とすると $g_{+}(\lambda)=G_\lambda(\vartheta_b)<G_{\lambda'}(\vartheta_b)\le g_{+}(\lambda')$ である。 $\vartheta_0\in[0,\pi]$ について $P_\lambda(\vartheta_0)\ge P_\lambda(0)$ であるから、 $g_{-}(\lambda)\ge P_\lambda(0)-\pi=\vartheta(T;0,\lambda)-\pi$ であり、補題 3.2 (5)により $\lambda\to\infty$ で $g_{-}(\lambda)\to\infty$ であり、 $g_{+}\ge g_{-}$ から $g_{+}(\lambda)\to\infty$ である。補題 3.2 (4)により $\lambda\to-\infty$ で $P_\lambda(\pi/2)\to0$ であるから、 $g_{-}(\lambda)\le G_\lambda(\pi/2)=P_\lambda(\pi/2)-\pi/2\to-\pi/2$ であり、十分小さい $\lambda$ で $g_{-}(\lambda)<0$ である。▨

定理 5.4. $p,q,w,T$ を定義 5.1のとおりとする。このとき、実数列

\lambda_0<\lambda'_0\le\lambda'_1<\lambda_1\le\lambda_2<\lambda'_2\le\lambda'_3<\lambda_3\le\lambda_4<\cdots

で、次を満たすものが存在する。

周期型固有値の全体は $\{\lambda_n:n\ge0\}$ であり、反周期型固有値の全体は $\{\lambda'_n:n\ge0\}$ である。実数 $\lambda$ の周期型固有値としての重複度は列 $(\lambda_n)$ に $\lambda$ が現れる回数に等しく、反周期型固有値としての重複度は列 $(\lambda'_n)$ に $\lambda$ が現れる回数に等しい。固有値は高々二重であり、 $\lambda_n,\lambda'_n\to+\infty$ である。
$\Delta(\lambda_n)=2$ 、 $\Delta(\lambda'_n)=-2$ である。 $\lambda_{2m+1}=\lambda_{2m+2}$ であることと $M(\lambda_{2m+1})=I$ であることは同値であり、 $\lambda'_{2m}=\lambda'_{2m+1}$ であることと $M(\lambda'_{2m})=-I$ であることは同値である（ $m\ge0$ ）。
$\lambda_0$ の実数値の固有関数は $[0,T)$ に零点をもたない。 $m\ge0$ について、 $\lambda_{2m+1},\lambda_{2m+2}$ の実数値の固有関数は $[0,T)$ にちょうど $2m+2$ 個の零点をもち、 $\lambda'_{2m},\lambda'_{2m+1}$ の実数値の固有関数は $[0,T)$ にちょうど $2m+1$ 個の零点をもつ。
$\{\lambda\in\R:\lvert\Delta(\lambda)\rvert\ge2\}$ は、閉区間 $(-\infty,\lambda_0]$ 、 $[\lambda'_{2m},\lambda'_{2m+1}]$ 、 $[\lambda_{2m+1},\lambda_{2m+2}]$ （ $m\ge0$ ）の和集合であり、これらの区間の内部で $\lvert\Delta\rvert>2$ であり、 $\Delta>2$ は $(-\infty,\lambda_0)$ と $(\lambda_{2m+1},\lambda_{2m+2})$ で、 $\Delta<-2$ は $(\lambda'_{2m},\lambda'_{2m+1})$ で成り立つ。

証明. $g_{-},g_{+}$ を補題 5.3のとおりとする。 $I_j=\{\lambda\in\R:g_{-}(\lambda)\le j\pi\le g_{+}(\lambda)\}$ （ $j\in\Z$ ）とおく。

実数 $\lambda$ について、 $M(\lambda)$ が実固有値をもつことと、 $\lvert\Delta(\lambda)\rvert\ge2$ であること（特性多項式 $\rho^2-\Delta\rho+1$ が実根をもつこと）は同値である。補題 5.3 (2)により、実固有ベクトルが存在することは、 $G_\lambda(\vartheta_0)=j\pi$ を満たす $\vartheta_0\in\R$ と $j\in\Z$ が存在することと同値であり、 $G_\lambda$ の値域は $[g_{-}(\lambda),g_{+}(\lambda)]$ であるから、これは $\lambda\in I_j$ と同値である。 $g_{-}>-\pi$ により $j\ge0$ である。 $\lambda\in I_j$ のとき、実固有値の符号は $(-1)^j$ であり、 $\Delta=\rho+\rho^{-1}$ から $\Delta$ の符号は $(-1)^j$ である。 $g_{+}>0$ により $0\in[g_{-},g_{+}]$ となるための条件は $g_{-}(\lambda)\le0$ だけである。

補題 5.3 (3)により、 $g_{-}$ は連続な狭義増加関数で、ある値が負であり $+\infty$ へ発散するから、 $j\ge0$ に対して $g_{-}(\alpha_j)=j\pi$ を満たす $\alpha_j$ がただ一つ存在する。 $g_{+}$ は連続な狭義増加関数で $+\infty$ へ発散し、 $g_{-}(\nu)<0$ を満たす $\nu\in\R$ で $g_{+}(\nu)<g_{-}(\nu)+\pi<\pi$ であるから、 $j\ge1$ に対して $g_{+}(\beta_j)=j\pi$ を満たす $\beta_j$ がただ一つ存在する。 $I_0=(-\infty,\alpha_0]$ 、 $I_j=[\beta_j,\alpha_j]$ （ $j\ge1$ ）であり、 $g_{-}(\beta_j)\le g_{+}(\beta_j)=j\pi=g_{-}(\alpha_j)$ から $\beta_j\le\alpha_j$ である。 $\beta_{j+1}\le\alpha_j$ ならば、 $\lambda=\beta_{j+1}$ で $g_{+}(\lambda)=(j+1)\pi$ 、 $g_{-}(\lambda)\le g_{-}(\alpha_j)=j\pi$ となり $g_{+}-g_{-}\ge\pi$ であって補題 5.3 (1)に反する。したがって $\alpha_j<\beta_{j+1}$ であり、 $I_0<I_1<I_2<\cdots$ （区間の順序）である。

$\beta_j<\lambda<\alpha_j$ とする。 $g_{-}(\lambda)<j\pi<g_{+}(\lambda)$ であり、 $G_\lambda-j\pi$ は連続で周期 $\pi$ をもち、最小値が負、最大値が正であるから、 $[0,\pi)$ に相異なる零点 $\vartheta_0,\vartheta_0'$ をもつ。 $v(\vartheta_0),v(\vartheta_0')$ は一次独立であり、ともに符号 $(-1)^j$ の実固有値の固有ベクトルである。二つの固有値が等しければ $M(\lambda)$ はスカラー行列であり $G_\lambda$ は定数となるが、 $g_{-}(\lambda)<g_{+}(\lambda)$ に反する。したがって固有値は相異なる実数であり、 $\Delta^2-4>0$ である。すなわち $I_j$ の内部（ $I_0$ では $(-\infty,\alpha_0)$ ）で $\lvert\Delta\rvert>2$ である。

$\lambda_*\in\{\beta_j,\alpha_j\}$ が $\lvert\Delta(\lambda_*)\rvert>2$ を満たすとする。 $\Delta$ は連続であるから、 $\lambda_*$ の近傍で $\lvert\Delta\rvert>2$ であり、その各点 $\lambda$ について、 $\lambda\in I_i$ を満たす $i\ge0$ が存在する。 $\lambda_*=\beta_j$ （ $j\ge1$ ）ならば、区間 $(\alpha_{j-1},\beta_j)$ の点は $I_j$ に属さず（ $\lambda<\beta_j$ では $g_{+}(\lambda)<j\pi$ である）、 $I_i$ （ $i<j$ ）は $(-\infty,\alpha_i]\subseteq(-\infty,\alpha_{j-1}]$ に含まれ、 $I_i$ （ $i>j$ ）は $[\beta_i,\infty)$ （ $\beta_i>\beta_j$ ）に含まれるから、 $\lambda_*$ の直前の点はどの $I_i$ にも属さない。これは、 $\lambda_*$ の近傍の各点がいずれかの $I_i$ に属することに反する。 $\lambda_*=\alpha_j$ の場合も、直後の点について同様である。したがって端点では $\lvert\Delta\rvert=2$ であり、固有値の符号は $(-1)^j$ であるから $\Delta=2(-1)^j$ である。

$\lambda\in\C$ が $\varepsilon$ 型固有値で $y$ がその解であるとする。§E13.26 定理 1.4を $c=0$ 、 $d=T$ 、 $u=v=y$ に適用すると、§E13.26 定理 1.4 (3)により $H(T)-H(0)=0$ であり、§E13.26 定理 1.4 (1)により $(\lambda-\bar\lambda)\int_0^Tw\lvert y\rvert^2\,dx=0$ である。 $y$ は連続で零でないから $\int_0^Tw\lvert y\rvert^2>0$ であり、 $\lambda\in\R$ である。

$\lambda\in\R$ とする。 $\varepsilon$ 型固有値であることは、 $\varepsilon$ が $M(\lambda)$ の固有値であることと同値であり、 $\det M=1$ から、特性多項式 $\rho^2-\Delta\rho+1$ が $\rho=\varepsilon$ で零となること、すなわち $\Delta(\lambda)=2\varepsilon$ と同値である。 $\Delta(\lambda)=2\varepsilon$ ならば、前段により $\lambda\in I_j$ を満たす $j\ge0$ が存在し、内部では $\lvert\Delta\rvert>2$ であるから $\lambda$ は端点であり、符号から $(-1)^j=\varepsilon$ である。逆に、 $(-1)^j=\varepsilon$ を満たす $j$ の端点は $\Delta=2\varepsilon$ を満たす。したがって、周期型固有値の全体は $j$ が偶数の端点の全体であり、反周期型固有値の全体は $j$ が奇数の端点の全体である。

$\lambda_0=\alpha_0$ 、 $\lambda_{2m-1}=\beta_{2m}$ 、 $\lambda_{2m}=\alpha_{2m}$ （ $m\ge1$ ）、 $\lambda'_{2m}=\beta_{2m+1}$ 、 $\lambda'_{2m+1}=\alpha_{2m+1}$ （ $m\ge0$ ）とおく。 $\alpha_0<\beta_1\le\alpha_1<\beta_2\le\alpha_2<\cdots$ から、主張の不等式の列を得る。

端点 $\lambda$ における $\varepsilon$ 型固有値の重複度は $\dim\ker(M(\lambda)-\varepsilon I)\in\{1,2\}$ であり、 $2$ となるのは $M(\lambda)=\varepsilon I$ のときに限る。 $M(\lambda)=\varepsilon I$ 、 $\varepsilon=(-1)^j$ ならば、すべての $v(\vartheta_0)$ が固有ベクトルであり、補題 5.3 (2)により $G_\lambda$ は $\pi\Z$ に値をもつ連続関数で、定数であり、 $g_{-}(\lambda)=g_{+}(\lambda)=j\pi$ であるから、 $\lambda=\beta_j=\alpha_j$ である（ $j=0$ では $g_{+}>0$ により不可能である）。逆に $\beta_j=\alpha_j=\lambda$ ならば $g_{-}(\lambda)=g_{+}(\lambda)=j\pi$ であり、 $G_\lambda\equiv j\pi$ から、すべての $v(\vartheta_0)$ が固有ベクトルであって $M(\lambda)$ はスカラー行列 $cI$ であり、 $\det M=1$ と符号 $(-1)^j$ から $M(\lambda)=(-1)^jI$ である。したがって、 $\beta_j=\alpha_j$ のとき、その値は列に二回現れ重複度は $2$ であり、 $\beta_j<\alpha_j$ のとき、 $\beta_j$ と $\alpha_j$ は列に一回ずつ現れ重複度は $1$ である。 $\alpha_0$ は一重である。以上により主張 (1)の前半と主張 (2)を得る。 $\beta_j,\alpha_j\to\infty$ は、 $g_{+}(\beta_j)=j\pi$ 、 $g_{-}(\alpha_j)=j\pi$ と $g_{-},g_{+}$ の有限性による。

主張 (3)を示す。 $\lambda$ を $j$ に対応する端点とし、 $y$ を $\lambda$ の実数値の固有関数とする。 $(y,y^{[1]})(0)=r_0v(\vartheta_0)$ とすると、 $v(\vartheta_0)$ は固有ベクトルであり、 $g_{-}(\lambda)=j\pi$ （ $\lambda=\alpha_j$ ）または $g_{+}(\lambda)=j\pi$ （ $\lambda=\beta_j$ ）であるから、 $[g_{-}(\lambda),g_{+}(\lambda)]\cap\pi\Z=\{j\pi\}$ （ $g_{+}-g_{-}<\pi$ による）であり、 $G_\lambda(\vartheta_0)=j\pi$ である。 $y$ の Prüfer 角 $\vartheta$ は $\vartheta(0)=\vartheta_0$ 、 $\vartheta(T)=\vartheta_0+j\pi$ を満たす。補題 2.1 (4)により $(0,T]$ の零点の個数は $\#\{k:\vartheta_0<k\pi\le\vartheta_0+j\pi\}=j$ である。 $y(T)=\pm y(0)$ であるから、 $y(0)=0$ と $y(T)=0$ は同値であり、 $[0,T)$ の零点の個数も $j$ である。 $\lambda_0=\alpha_0$ は $j=0$ 、 $\lambda_{2m+1},\lambda_{2m+2}$ は $j=2m+2$ 、 $\lambda'_{2m},\lambda'_{2m+1}$ は $j=2m+1$ である。

主張 (4)は、 $I_j$ の内部での $\lvert\Delta\rvert>2$ と $\Delta$ の符号 $(-1)^j$ による。 $I_0=(-\infty,\lambda_0]$ 、 $I_{2m+1}=[\lambda'_{2m},\lambda'_{2m+1}]$ 、 $I_{2m+2}=[\lambda_{2m+1},\lambda_{2m+2}]$ である。▨

定義 5.5. $p,q,w,T$ を定義 5.1のとおりとし、 $(\lambda_n),(\lambda'_n)$ を定理 5.4の列とする。閉区間 $[\lambda_{2m},\lambda'_{2m}]$ と $[\lambda'_{2m+1},\lambda_{2m+1}]$ （ $m\ge0$ ）を帯 (band) という。開区間 $(-\infty,\lambda_0)$ 、 $(\lambda'_{2m},\lambda'_{2m+1})$ 、 $(\lambda_{2m+1},\lambda_{2m+2})$ （ $m\ge0$ ）のうち空でないものをギャップ (gap) という。

系 5.6. $p,q,w,T$ を定義 5.1のとおりとし、帯とギャップを定義 5.5のとおりとする。このとき、次が成り立つ。

$\{\lambda\in\R:\lvert\Delta(\lambda)\rvert\le2\}$ は帯の和集合であり、 $\{\lambda\in\R:\lvert\Delta(\lambda)\rvert>2\}$ はギャップの和集合である。
各帯の内部で $\lvert\Delta\rvert<2$ であり、 $\Delta$ は各帯の上で狭義単調である。 $\Delta$ は $[\lambda_{2m},\lambda'_{2m}]$ で $2$ から $-2$ へ狭義減少し、 $[\lambda'_{2m+1},\lambda_{2m+1}]$ で $-2$ から $2$ へ狭義増加する。

証明.定理 5.4 (4)により、 $\{\lvert\Delta\rvert\ge2\}$ は区間 $I_0=(-\infty,\lambda_0]$ 、 $I_{2m+1}=[\lambda'_{2m},\lambda'_{2m+1}]$ 、 $I_{2m+2}=[\lambda_{2m+1},\lambda_{2m+2}]$ の和集合であり、内部で $\lvert\Delta\rvert>2$ 、端点で $\lvert\Delta\rvert=2$ である。これらの内部が定義 5.5のギャップであり、補集合 $\{\lvert\Delta\rvert<2\}$ は $I_j$ の間の開区間 $(\lambda_{2m},\lambda'_{2m})$ 、 $(\lambda'_{2m+1},\lambda_{2m+1})$ の和集合で、これらは帯の内部である。端点で $\lvert\Delta\rvert=2$ であるから、帯の和集合は $\{\lvert\Delta\rvert\le2\}$ であり、 $\{\lvert\Delta\rvert>2\}$ はギャップの和集合である。これで主張 (1)は示された。

帯の内部で $\lvert\Delta\rvert<2$ であるから、補題 5.2 (1)により $\Delta'\ne0$ であり、 $\Delta'$ は連続であるから符号が一定で、 $\Delta$ は狭義単調である。端点での値は定理 5.4 (2)により $\Delta(\lambda_n)=2$ 、 $\Delta(\lambda'_n)=-2$ であるから、 $[\lambda_{2m},\lambda'_{2m}]$ では $2$ から $-2$ へ狭義減少し、 $[\lambda'_{2m+1},\lambda_{2m+1}]$ では $-2$ から $2$ へ狭義増加する。▨

注意 5.7. $p,q,w,T$ を定義 5.1のとおりとし、 $(\lambda_n)$ を定理 5.4の列とする。 $m\ge0$ について、 $\Delta(\lambda_{2m+1})=2$ であるから、補題 5.2 (2)と定理 5.4 (2)により、 $\Delta'(\lambda_{2m+1})=0$ であることと $\lambda_{2m+1}=\lambda_{2m+2}$ 、すなわちギャップ $(\lambda_{2m+1},\lambda_{2m+2})$ が空であることは同値である。 $p=w=1$ とし、 $q$ を実数値とする。このとき、 $\lambda$ が帯の内部にあれば Hill 方程式 $-y''+qy=\lambda y$ のすべての解は $\R$ 上で有界であり（§E13.13 定理 5.3 (1)）、 $\lambda$ がギャップにあれば Hill 方程式の零でない解は $\R$ 上で有界でない（§E13.13 定理 5.3 (2)）。

例 5.8. $T=\pi$ 、 $p=w=1$ 、 $q=0$ の定義 5.1を考える。このとき、 $\theta,\varphi,M,\Delta$ は§E13.13 例 5.6の $h=0$ の場合のものであり、同例により、 $\lambda>0$ で $\Delta(\lambda)=2\cos\pi\sqrt\lambda$ 、 $\Delta(0)=2$ 、 $\lambda<0$ で $\Delta(\lambda)>2$ であり、 $n\in\NN$ について $M(n^2)=(-1)^nI$ 、 $M(0)\ne I$ である。固有値は定理 5.4 (1)により実数であり、周期型固有値・反周期型固有値はそれぞれ $\Delta=2$ 、 $\Delta=-2$ の実根であるから、周期型固有値は $\lambda=0$ と $\lambda=(2m)^2$ （ $m\in\NN$ ）であり、反周期型固有値は $\lambda=(2m+1)^2$ （ $m\in\N$ ）である。 $\lambda=n^2$ （ $n\in\NN$ ）では $M(\lambda)=(-1)^nI$ であるから、条件 $(y,y^{[1]})(\pi)=(-1)^n(y,y^{[1]})(0)$ を満たす解の空間は解の全体であり、固有値 $n^2$ は二重である（固有空間は $\cos nx,\sin nx$ で張られる）。 $\lambda=0$ は $M(0)\ne I$ であるから一重である。定理 5.4の列は $\lambda_0=0$ 、 $\lambda'_0=\lambda'_1=1$ 、 $\lambda_1=\lambda_2=4$ 、 $\lambda'_2=\lambda'_3=9,\dots$ であり、二つの項の間の $\le$ はすべて等号である。定理 3.3 (1)の分離型境界条件では固有値はすべて一重であり、周期型・反周期型の条件ではこの一重性が成り立たない。

問題 6.1. $(a,b,p,q,w)$ を正則データとし、 $(\alpha_b,\beta_b)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$ とする。 $(\alpha_a,\beta_a),(\alpha_a',\beta_a')\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$ の端点 $a$ での境界角を $\gamma_a,\gamma_a'$ とし、 $\gamma_a<\gamma_a'$ とする。端点 $a$ で $(\alpha_a,\beta_a)$ 、端点 $b$ で $(\alpha_b,\beta_b)$ の境界条件の下の定理 3.3 (1)の固有値列を $(\lambda_n)$ 、端点 $a$ で $(\alpha_a',\beta_a')$ 、端点 $b$ で $(\alpha_b,\beta_b)$ の境界条件の下の固有値列を $(\lambda_n')$ とする。このとき、すべての $n\in\NN$ で $\lambda_n'<\lambda_n$ であることを証明せよ。また、 $p=w=1$ 、 $q=0$ 、 $[a,b]=[0,\pi]$ 、端点 $b$ で Dirichlet 条件 $y(\pi)=0$ の場合に、端点 $a=0$ での Dirichlet 条件 $y(0)=0$ と Neumann 条件 $y'(0)=0$ の固有値列を求め、この不等式を確かめよ。

問題 6.2. $q\in L^1(0,\pi)$ を実数値関数とし、ほとんど至る所で $\lvert q\rvert\le K$ （ $K\ge0$ ）とする。正則データ $(0,\pi,1,q,1)$ の両端 Dirichlet 条件 $y(0)=y(\pi)=0$ の固有値列を $(\lambda_n)$ とする。このとき、すべての $n\in\NN$ で $n^2-K\le\lambda_n\le n^2+K$ であることを証明せよ。

§E13.28Sturm の振動定理

1 正則データと Prüfer 角

2 零点の個数と比較定理

3 固有値の振動定理

4 固有値の漸近挙動

5 周期型・反周期型の固有値

6 演習

参考文献

前提記事