絶対連続関数 | 常微分方程式論

1 絶対連続関数の定義と積分の絶対連続性

定義 1.1 (絶対連続関数). $a<b$ を実数、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $d\in\NN$ とする。関数 $F:[a,b]\to\mathbb K^d$ が絶対連続 (absolutely continuous) であるとは、任意の $\ep>0$ に対して、ある $\delta>0$ が存在し、 $a\leq s_j<t_j\leq b$ を満たし、内部が互いに交わらない有限個の部分区間 $[s_j,t_j]$ が

\sum_{j=1}^m(t_j-s_j)<\delta

を満たすならば、

\sum_{j=1}^m\|F(t_j)-F(s_j)\|<\ep

が成り立つことをいう。ノルムは Euclid ノルムとする。絶対連続関数全体を $AC([a,b];\mathbb K^d)$ と書く。

$I\subseteq\R$ を内部が空でない区間とする。関数 $F:I\to\mathbb K^d$ が局所絶対連続 (locally absolutely continuous) であるとは、任意の有限閉区間 $[a,b]\subseteq I$ への制限が絶対連続であることをいう。その全体を $AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)$ と書く。 $I$ が端点を含むかどうかによらず、任意の有限閉区間 $[a,b]\subseteq I$ 上でノルムが可積分である可測関数 $I\to\mathbb K^d$ の全体を、ほとんど至る所での一致によって同一視した空間を $L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)$ と書く。

補題 1.2. $a<b$ 、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $d\in\NN$ とする。このとき、次が成り立つ。

$F\in AC([a,b];\mathbb K^d)$ は一様連続である。
$F,G\in AC([a,b];\mathbb K^d)$ 、 $\alpha,\beta\in\mathbb K$ ならば、 $\alpha F+\beta G$ は絶対連続である。
$F:[a,b]\to\mathbb K^d$ が絶対連続であるための必要十分条件は、すべての実座標成分が絶対連続であることである。 $\mathbb K=\C$ の場合は各成分の実部と虚部を実座標成分とする。
$F:[a,b]\to\mathbb K^d$ が Lipschitz 連続ならば、 $F$ は絶対連続である。

証明. 絶対連続性の条件を一つの区間 $[s,t]$ に適用すると、 $|t-s|<\delta$ から $\|F(t)-F(s)\|<\ep$ が従う。従って主張 (1)が成り立つ。

任意の有限区間族に対して

\sum_j\|\alpha(F(t_j)-F(s_j))+\beta(G(t_j)-G(s_j))\| \leq |\alpha|\sum_j\|F(t_j)-F(s_j)\|+|\beta|\sum_j\|G(t_j)-G(s_j)\|

である。 $F,G$ のそれぞれに $\ep/(2(1+|\alpha|+|\beta|))$ を用いて得る二つの $\delta$ の小さい方を取ると、右辺は $\ep$ 未満となる。従って主張 (2)を得る。

実座標の数を $N$ とすると、任意の $z\in\mathbb K^d$ について、各実座標の絶対値は $\|z\|$ 以下であり、 $\|z\|$ は実座標の絶対値の和以下である。前者から $F$ の絶対連続性は各実座標成分の絶対連続性を含意する。逆に、各実座標成分の絶対連続性に $\ep/N$ を適用し、得られた有限個の $\delta$ の最小値を取ると、後者の評価から $F$ は絶対連続である。以上より主張 (3)が従う。

$L\geq0$ が $F$ の Lipschitz 定数ならば、増分のノルムの和は $L\sum_j(t_j-s_j)$ 以下である。 $\delta=\ep/(1+L)$ とすれば主張 (4)を得る。▨

補題 1.3. $a<b$ 、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $d\in\NN$ 、 $g\in L^1([a,b];\mathbb K^d)$ とする。このとき、次が成り立つ。

任意の $\ep>0$ に対して、ある $\delta>0$ が存在し、任意の Lebesgue 可測集合 $E\subseteq[a,b]$ について、 $\lambda_1(E)<\delta$ ならば $\int_E\|g(t)\|\,dt<\ep$ となる。
$\|\cdot\|_\ast$ を $\mathbb K^d$ 上の任意のノルムとする。このとき、 $t\mapsto\|g(t)\|_\ast$ は $[a,b]$ 上で可積分であり、任意の Lebesgue 可測集合 $E\subseteq[a,b]$ について、 $\|\int_Eg(t)\,dt\|_\ast\leq\int_E\|g(t)\|_\ast\,dt$ である。特に、Euclid ノルムについて $\|\int_Eg(t)\,dt\|\leq\int_E\|g(t)\|\,dt$ である。
$c\in\mathbb K^d$ とすると、 $F(t)=c+\int_a^tg(s)\,ds$ は $[a,b]$ 上で絶対連続である。

証明. 有限値の代表元 $g$ を取り、 $q(t)=\|g(t)\|$ とおく。関数列 $q\mathbf1_{\{q>n\}}$ は零へ点ごとに収束し、可積分関数 $q$ に支配される。§E10.11 定理 3.1により、 $M\in\NN$ を十分大きく取ると

\int_{\{q>M\}}q(t)\,dt<\frac\ep2

となる。 $\delta=\ep/(2M)$ とすれば、 $\lambda_1(E)<\delta$ に対して

\int_Eq\leq M\lambda_1(E)+\int_{\{q>M\}}q<\ep

であり、主張 (1)を得る。

$\mathbb K^d$ の実座標を $x_1,\ldots,x_N$ と書き、 $e_1,\ldots,e_d$ を $\mathbb K^d$ の標準基底として $C=\max_k\|e_k\|_\ast$ とおく。 $z\in\mathbb K^d$ に対して、三角不等式から $\|z\|_\ast\leq C\sum_{k=1}^d|z_k|\leq C\sum_{i=1}^N|x_i(z)|$ である。従って、 $z,w\in\mathbb K^d$ について

\bigl|\|z\|_\ast-\|w\|_\ast\bigr|\leq\|z-w\|_\ast\leq C\sum_{i=1}^N|x_i(z)-x_i(w)|

各 $i$ について、 $x_i\circ g$ の正部分と負部分のそれぞれに§E10.7 定理 7.3を適用し、得られた二つの非負単関数列の差を $g_{i,n}$ とする。 $g_{i,n}$ は有限個の値を取る可測関数であり、各点で $g_{i,n}\to x_i\circ g$ $(n\to\infty)$ かつ $|g_{i,n}|\leq|x_i\circ g|$ を満たす。実座標が $g_{1,n},\ldots,g_{N,n}$ である写像を $G_n:[a,b]\to\mathbb K^d$ とし、 $G_n$ の値の有限集合を $V_n$ とする。積分の線形性§E10.10 定理 2.3と三角不等式から

\Bigl\|\int_EG_n(t)\,dt\Bigr\|_\ast =\Bigl\|\sum_{v\in V_n}\lambda_1\bigl(E\cap G_n^{-1}(v)\bigr)v\Bigr\|_\ast \leq\sum_{v\in V_n}\lambda_1\bigl(E\cap G_n^{-1}(v)\bigr)\|v\|_\ast =\int_E\|G_n(t)\|_\ast\,dt

内部が互いに交わらない $[s_j,t_j]\subseteq[a,b]$ に対して、積分の加法性と主張 (2)から

\sum_j\|F(t_j)-F(s_j)\| \leq\sum_j\int_{s_j}^{t_j}\|g(t)\|\,dt =\int_{\bigcup_j[s_j,t_j]}\|g(t)\|\,dt

である。共有する端点は零集合なので最後の等式を妨げない。和集合の測度は区間の長さの和に等しいため、主張 (1)を適用して主張 (3)を得る。▨

2 変動と積分表示

定義 2.1 (全変動). $a<b$ とし、 $F:[a,b]\to\R$ を関数とする。 $a\leq s<t\leq b$ に対して、 $[s,t]$ 上の $F$ の全変動 (total variation) を

\operatorname{Var}(F;[s,t]) =\sup_{s=x_0<x_1<\cdots<x_n=t} \sum_{k=1}^n|F(x_k)-F(x_{k-1})|

によって定める。上限はすべての有限分割について取る。 $\operatorname{Var}(F;[s,s])=0$ とする。 $\operatorname{Var}(F;[a,b])<\infty$ であるとき、 $F$ は有界変動 (of bounded variation) であるという。

補題 2.2. $a<b$ 、 $F\in AC([a,b];\R)$ とする。このとき、関数

V(t)=\operatorname{Var}(F;[a,t])\qquad(a\leq t\leq b)

は有限値で絶対連続であり、任意の $a\leq s\leq t\leq b$ に対して

V(t)-V(s)=\operatorname{Var}(F;[s,t])\geq|F(t)-F(s)|

を満たす。さらに、

P(t)=\frac{V(t)+F(t)-F(a)}2,\qquad Q(t)=\frac{V(t)-F(t)+F(a)}2

は単調非減少な絶対連続関数であり、 $P(a)=Q(a)=0$ 、 $F(t)=F(a)+P(t)-Q(t)$ が成り立つ。

証明. $F$ の絶対連続性に $\ep=1$ を用いて得る $\delta>0$ を取り、 $[a,b]$ を長さがすべて $\delta$ 未満の $m$ 個の閉区間に分割する。任意の有限分割へこの $m$ 個の区間の端点を加えると、三角不等式により増分の絶対値の和は減少しない。端点を加えた後の分割の各小区間を、固定した $m$ 個の区間ごとに集める。各集合の区間の長さの和は $\delta$ 未満なので、対応する増分の絶対値の和は $1$ 未満である。従って任意の有限分割の和は $m$ 以下であり、 $\operatorname{Var}(F;[a,b])\leq m<\infty$ となる。

$a\leq u<v<w\leq b$ とする。 $[u,w]$ の任意の分割へ $v$ を加えると、増分の和は $[u,v]$ 上の全変動と $[v,w]$ 上の全変動の和以下である。上限を取ると

\operatorname{Var}(F;[u,w])\leq \operatorname{Var}(F;[u,v])+\operatorname{Var}(F;[v,w])

を得る。逆に、任意の $\eta>0$ に対して、二つの区間の全変動をそれぞれ誤差 $\eta/2$ 未満で近似する有限分割を取り、併合する。併合した分割の増分の和は、二つの全変動の和から $\eta$ を引いた値より大きい。 $\eta\downarrow0$ とすれば反対向きの不等式を得る。端点が一致する場合は全変動零の規約から同じ加法性が成り立つ。 $u=a$ とすれば、主張の $V(t)-V(s)$ の等式を得る。分割 $\{s,t\}$ によって増分の絶対値の評価も従う。

$\ep>0$ に対して、 $F$ の絶対連続性に $\ep/2$ を用いて得る $\delta>0$ を取る。内部が互いに交わらない $[s_j,t_j]$ の長さの和が $\delta$ 未満であるとする。各 $[s_j,t_j]$ を任意に有限分割し、全小区間を合わせると、内部は互いに交わらず、長さの総和は変わらない。従って全増分の絶対値の和は $\ep/2$ 未満である。 $V$ は単調非減少であるから、 $|V(t_j)-V(s_j)|=\operatorname{Var}(F;[s_j,t_j])$ である。区間数は有限なので、各区間の分割について別々に上限を取ることができ、

\sum_j|V(t_j)-V(s_j)| =\sum_j\operatorname{Var}(F;[s_j,t_j]) \leq\frac\ep2<\ep

を得る。従って $V$ は絶対連続である。

補題 1.2 (2)により $P,Q$ は絶対連続である。 $s\leq t$ に対する $V(t)-V(s)\geq|F(t)-F(s)|$ から、 $P(t)-P(s)\geq0$ と $Q(t)-Q(s)\geq0$ を得る。定義式から $P(a)=Q(a)=0$ および $F(t)=F(a)+P(t)-Q(t)$ が成り立つ。▨

補題 2.3. $O\subseteq\R$ を開集合とする。このとき、互いに素な開区間からなる高々可算な集合 $\mathcal J$ が存在し、 $O=\bigcup_{J\in\mathcal J}J$ が成り立つ。

証明. 証明は演習とする（問題 4.5）。▨

補題 2.4. $a<b$ とし、 $H\in AC([a,b];\R)$ を単調非減少な関数とする。 $H$ を $(-\infty,a]$ 上では $H(a)$ 、 $[b,\infty)$ 上では $H(b)$ として実直線へ延長し、延長を $\widetilde H$ と書く。このとき、 $\widetilde H$ の Lebesgue–Stieltjes 測度 $\nu$ は有限であり、Lebesgue 測度に関して絶対連続である。また、非負可積分関数 $h:[a,b]\to\R$ が存在して、任意の $t\in[a,b]$ に対して

H(t)=H(a)+\int_a^th(s)\,ds

が成り立つ。

証明.補題 1.2 (1)により $H$ は連続であるから、 $\widetilde H$ は実直線上で連続かつ単調非減少である。§E10.9 定理 9.1により、任意の $s<t$ に対して

\nu((s,t])=\widetilde H(t)-\widetilde H(s)

を満たす Borel 測度 $\nu$ が存在する。十分大きい $n\in\NN$ に対して $[-n,n]$ は $[a,b]$ を含むので、測度の下からの連続性から

\nu(\R)=\lim_{n\to\infty}\nu((-n,n])=H(b)-H(a)<\infty

である。任意の $x\in\R$ について、測度の上からの連続性と $\widetilde H$ の連続性から

\nu(\{x\})=\lim_{n\to\infty}\nu((x-1/n,x]) =\lim_{n\to\infty}\bigl(\widetilde H(x)-\widetilde H(x-1/n)\bigr)=0

を得る。従って、 $s<t$ ならば $\nu((s,t))=\widetilde H(t)-\widetilde H(s)$ である。

$\ep>0$ に対して、 $H$ の絶対連続性に対応する $\delta>0$ を取る。写像 $r(x)=\min\{b,\max\{a,x\}\}$ によって $\widetilde H=H\circ r$ と書くことができる。内部が互いに交わらない有限区間族 $[s_j,t_j]\subset\R$ の長さの和が $\delta$ 未満ならば、 $[r(s_j),r(t_j)]$ から一点区間を除いた族も内部が互いに交わらず、長さの和は増えない。従って

\sum_j\bigl(\widetilde H(t_j)-\widetilde H(s_j)\bigr)<\ep

となる。

$N\subseteq\R$ を Lebesgue 測度零の Borel 集合とする。§E10.16 定理 8.2により、 $N\subseteq O$ 、 $\lambda_1(O)<\delta$ を満たす開集合 $O$ が存在する。補題 2.3により、 $O$ は互いに素な開区間の高々可算個の和集合である。 $\lambda_1(O)<\infty$ なので、これらの開区間はすべて有界であり、 $O=\bigcup_j(\alpha_j,\beta_j)$ と書くことができる。任意の有限部分族について、閉区間 $[\alpha_j,\beta_j]$ は内部が互いに交わらず、その長さの和は $\lambda_1(O)$ 以下であるから $\delta$ 未満である。 $\widetilde H$ に対する $\delta$ の性質から、任意の有限部分族について

\sum_j\nu((\alpha_j,\beta_j)) =\sum_j\bigl(\widetilde H(\beta_j)-\widetilde H(\alpha_j)\bigr)<\ep

となる。可算加法性から $\nu(N)\leq\nu(O)\leq\ep$ を得る。 $\ep>0$ は任意なので $\nu(N)=0$ である。従って $\nu$ は Borel 集合上の Lebesgue 測度に関して絶対連続である。

$[a,b]$ 上の Borel 集合族に制限した $\nu$ と Lebesgue 測度は、ともに有限正測度である。§E10.14 定理 1.3により、非負有限実数値可測関数 $h$ が存在し、任意の Borel 集合 $E\subseteq[a,b]$ に対して $\nu(E)=\int_Eh(s)\,ds$ となる。 $\int_a^bh(s)\,ds=\nu([a,b])<\infty$ なので $h$ は可積分である。 $a<t\leq b$ に対して $E=(a,t]$ とすると

H(t)-H(a)=\nu((a,t])=\int_a^th(s)\,ds

である。 $t=a$ では両辺が零なので、積分表示は $[a,b]$ のすべての点で成り立つ。▨

定理 2.5 (絶対連続関数の基本定理). $a<b$ 、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $d\in\NN$ とし、 $F:[a,b]\to\mathbb K^d$ を関数とする。このとき、次の条件は同値である。

$F$ は絶対連続である。
ある $g\in L^1([a,b];\mathbb K^d)$ が存在し、すべての $t\in[a,b]$ に対して $F(t)=F(a)+\int_a^tg(s)\,ds$ が成り立つ。
$F$ は連続であり、 $(a,b)$ 上でほとんど至る所微分可能である。その導関数は可積分であり、すべての $t\in[a,b]$ に対して $F(t)=F(a)+\int_a^tF'(s)\,ds$ が成り立つ。導関数が定まらない零集合上では値を零とする。

これらの条件が成り立つとき、積分表示の密度 $g$ はほとんど至る所で $F'$ に一致する。従って、密度はほとんど至る所の一致を除いて一意である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。実数値の絶対連続関数 $F$ に補題 2.2を適用し、 $F-F(a)=P-Q$ と書く。補題 2.4により、非負可積分関数 $p,q$ が存在して

P(t)=\int_a^tp(s)\,ds,\qquad Q(t)=\int_a^tq(s)\,ds

がすべての $t$ で成り立つ。 $g=p-q$ は可積分であり、積分の線形性から $F(t)=F(a)+\int_a^tg(s)\,ds$ を得る。一般の $F:[a,b]\to\mathbb K^d$ については、補題 1.2 (3)により各実座標成分が絶対連続である。各実座標成分に得られた密度を合わせて $g$ とすると、 $\|g\|$ は有限個の実成分の絶対値の和以下なので可積分であり、全点のベクトル値積分表示が成り立つ。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。 $g$ を $[a,b]$ の外で零に延長すると、実直線上の可積分関数となる。§E13.1 定理 4.1 (3)により、 $F$ は $(a,b)$ のほとんど至る所で微分可能であり、 $F'=g$ である。また、補題 1.3 (3)と補題 1.2 (1)により $F$ は連続である。導関数を例外零集合上で零とした関数は $g$ とほとんど至る所で一致し、Lebesgue 測度の完備性により可測である。§E10.10 定理 3.2により、 $F'$ は可積分であり、 $g$ の積分表示を $F'$ の積分表示へ替えることができる。

(3) $\Rightarrow$ (1)は、可積分関数 $F'$ に補題 1.3 (3)を適用すれば従う。

任意の積分表示の密度 $g$ に対して、既に用いた§E13.1 定理 4.1 (3)により $g=F'$ がほとんど至る所で与えられる。従って、任意の二つの積分表示の密度は、ほとんど至る所で一致する。▨

系 2.6. $I\subseteq\R$ を内部が空でない区間、 $t_0\in I$ 、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $d\in\NN$ とし、 $F:I\to\mathbb K^d$ を関数とする。このとき、 $F$ が局所絶対連続であるための必要十分条件は、ある $g\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)$ が存在して

F(t)=F(t_0)+\int_{t_0}^tg(s)\,ds\qquad(t\in I)

が成り立つことである。 $t<t_0$ では積分を $-\int_t^{t_0}g(s)\,ds$ とする。この積分表示が成り立つとき、 $F'=g$ が $I$ の内部のほとんど至る所で成り立つ。特に、 $F\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)$ が $F'=0$ をほとんど至る所で満たすならば、 $F$ は定数である。

証明. 必要性を示す。 $F$ を局所絶対連続とする。 $I$ の内部は、端点が有理数で $I$ の内部に含まれる有限閉区間の全体の和集合であり、これらの区間は可算個である。各区間へ定理 2.5を適用する。各区間の例外零集合の和集合も零集合であり、その外では $F'$ が定まる。 $g=F'$ とし、微分が定まらない点および $I$ に含まれる端点では $g=0$ とおく。

任意の $[a,b]\subseteq I$ に定理 2.5を適用して得る可積分密度は、 $(a,b)$ のほとんど至る所で $g$ に一致する。従って $g$ は各有限閉区間で可測かつ可積分であり、可算個の区間と高々二つの端点によって $I$ を覆うと、 $I$ 上でも可測である。 $t_0,t$ を端点とする区間の全点積分表示から、主張の式を得る。

十分性を示す。主張の積分表示を仮定し、任意の $[a,b]\subseteq I$ を取る。積分の加法性から、 $t\in[a,b]$ に対して $F(t)=F(a)+\int_a^tg(s)\,ds$ となる。補題 1.3 (3)により $F|_{[a,b]}$ は絶対連続である。

積分表示が成り立つとき、任意の $[a,b]\subseteq I$ 上で $g$ は積分表示の密度であるから、定理 2.5により $(a,b)$ のほとんど至る所で $F'=g$ である。 $I$ の内部を可算個の区間 $(a,b)$ で覆うと、 $F'=g$ は $I$ の内部のほとんど至る所で成り立つ。 $F\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)$ がほとんど至る所で $F'=0$ を満たすならば、必要性の証明で得た密度 $g$ はほとんど至る所で零であり、§E10.10 定理 3.2により積分表示から $F(t)=F(t_0)$ がすべての $t\in I$ で成り立つ。▨

系 2.7. $I\subseteq\R$ を内部が空でない区間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $d\in\NN$ とし、 $F:I\to\mathbb K^d$ を関数とする。このとき、次が成り立つ。

$F\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)$ とし、連続写像 $g:I\to\mathbb K^d$ について、 $I$ の内部のほとんどすべての点 $t$ で $F$ が微分可能であり $F'(t)=g(t)$ が成り立つとする。このとき、 $F$ は $I$ の各点で微分可能であり（ $I$ に含まれる端点では片側微分可能であり）、すべての $t\in I$ で $F'(t)=g(t)$ が成り立つ。特に、 $F$ は $I$ 上で連続微分可能である。
$F$ が $I$ 上で連続微分可能である（ $I$ に含まれる端点では片側微分係数を用いる）ならば、 $F\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)$ であり、任意の $t_0,t\in I$ に対して $F(t)=F(t_0)+\int_{t_0}^tF'(s)\,ds$ が成り立つ。 $t<t_0$ では積分を $-\int_t^{t_0}F'(s)\,ds$ とする。

従って、 $F$ が $I$ 上で連続微分可能であるための必要十分条件は、 $F$ が局所絶対連続であり、 $I$ の内部のほとんど至る所で $F'$ に一致する連続写像が存在することである。

証明.主張 (1)を示す。 $t_0\in I$ を固定する。系 2.6により、 $F(t)=F(t_0)+\int_{t_0}^tk(s)\,ds$ をすべての $t\in I$ で満たす $k\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)$ が存在し、 $I$ の内部のほとんど至る所で $k=F'$ である。仮定から $k=g$ が $I$ のほとんど至る所で成り立つ。 $g$ は連続であるから可測であり、有限閉区間上で有界である。従って§E10.10 定理 3.2により、すべての $t\in I$ で $F(t)=F(t_0)+\int_{t_0}^tg(s)\,ds$ である。

$t\in I$ と、 $t+h\in I$ を満たす $h\neq0$ を取り、 $t$ と $t+h$ を端点とする閉区間を $E_h$ とする。補題 1.3 (2)により

\Bigl\|\frac{F(t+h)-F(t)}h-g(t)\Bigr\| =\frac1{|h|}\Bigl\|\int_{E_h}\bigl(g(s)-g(t)\bigr)\,ds\Bigr\| \leq\sup_{s\in E_h}\|g(s)-g(t)\|

である。 $g$ は $t$ で連続であるから、右辺は $h\to0$ のとき零へ収束する。従って、 $F$ は $t$ で微分可能であり（ $t$ が $I$ に含まれる端点ならば片側微分可能であり）、 $F'(t)=g(t)$ である。 $F'=g$ は $I$ 上で連続であるから、 $F$ は $I$ 上で連続微分可能である。

主張 (2)を示す。 $F$ を $I$ 上で連続微分可能とし、有限閉区間 $[a,b]\subseteq I$ を取る。 $F$ の $N$ 個の実座標成分を $x_1\circ F,\ldots,x_N\circ F$ と書く。各 $(x_i\circ F)'$ は $[a,b]$ 上で連続であるから、 $K_i=\max_{[a,b]}|(x_i\circ F)'|$ は有限である。 $a\leq s<t\leq b$ に対して§D1.14 定理 3.1を $x_i\circ F|_{[s,t]}$ に適用すると、 $|x_i(F(t))-x_i(F(s))|\leq K_i(t-s)$ を得る。Euclid ノルムは実座標の絶対値の和以下であるから、 $\|F(t)-F(s)\|\leq(K_1+\cdots+K_N)(t-s)$ であり、 $F|_{[a,b]}$ は Lipschitz 連続である。補題 1.2 (4)により $F|_{[a,b]}$ は絶対連続であり、従って $F\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)$ である。 $t_0\in I$ を任意に取る。系 2.6により、 $F(t)=F(t_0)+\int_{t_0}^tk(s)\,ds$ をすべての $t\in I$ で満たし、 $I$ の内部のほとんど至る所で $k=F'$ となる $k\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)$ が存在する。 $F'$ は連続であるから可測であり、有限閉区間上で有界である。§E10.10 定理 3.2により、積分表示の $k$ を $F'$ に替えることができる。▨

命題 2.8. $a_0<a_1<\cdots<a_m$ を実数、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $d\in\NN$ とする。各 $j\in\{1,\ldots,m\}$ に対して $F_j\in AC([a_{j-1},a_j];\mathbb K^d)$ とし、 $j<m$ ならば $F_j(a_j)=F_{j+1}(a_j)$ とする。このとき、各区間上で $F=F_j$ と定めた関数 $F:[a_0,a_m]\to\mathbb K^d$ は絶対連続である。

証明. 証明は演習とする（問題 4.6）。▨

3 積・合成・正部分と部分積分

定理 3.1. $I\subseteq\R$ を内部が空でない区間、 $d,e,q\in\NN$ とする。このとき、次が成り立つ。

$U\subseteq\R^d$ を開集合、 $\Phi:U\to\R^q$ を $C^1$ 写像とし、 $F\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\R^d)$ が $F(I)\subseteq U$ を満たすとする。このとき $\Phi\circ F\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\R^q)$ であり、ほとんど至る所で $(\Phi\circ F)'(t)=D\Phi(F(t))F'(t)$ が成り立つ。複素座標をもつ場合も、実部と虚部によって実座標空間と同一視し、 $\Phi$ に実変数の $C^1$ 性を仮定すれば同じ結論が成り立つ。
$\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $B:\mathbb K^d\times\mathbb K^e\to\mathbb K^q$ を双線形写像とする。このとき、 $F\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)$ 、 $G\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^e)$ ならば $B(F,G)$ は局所絶対連続であり、ほとんど至る所で $\frac{d}{dt}B(F(t),G(t))=B(F'(t),G(t))+B(F(t),G'(t))$ が成り立つ。特に、実数値・複素数値の関数の積およびサイズの合う行列の積について積の微分公式が成り立つ。

$I=[a,b]$ が有限閉区間である場合、各結論の局所絶対連続性は $[a,b]$ 上の絶対連続性である。

証明.主張 (1)を示す。 $[a,b]\subseteq I$ を固定する。 $F$ は連続なので、 $K=F([a,b])$ は $U$ のコンパクト部分集合である。各点 $x\in K$ の周りに $\tpcl{B(x,2r_x)}\subseteq U$ を満たす球を取り、 $B(x,r_x)$ から $K$ の有限部分被覆を選ぶ。選んだ半径の最小値より小さい $\rho>0$ を取ると、 $K$ の閉 $\rho$ 近傍は $U$ に含まれる。この閉近傍は有界かつ閉であるからコンパクトである。従って、ある $M\geq0$ が存在し、この閉近傍上で $\|D\Phi\|\leq M$ となる。

$x,y\in K$ が $\|x-y\|<\rho$ を満たすならば、線分 $[x,y]$ はこの近傍に含まれる。§E4.3 定理 2.1により

\|\Phi(y)-\Phi(x)\|\leq M\|y-x\|

である。 $\ep>0$ に対し、 $F$ の絶対連続性に $\min\{\rho,\ep/(1+M)\}$ を適用して $\delta>0$ を取る。内部が互いに交わらず、長さの総和が $\delta$ 未満である有限個の区間 $[s_j,t_j]\subseteq[a,b]$ について、各 $\|F(t_j)-F(s_j)\|<\rho$ であり、

\sum_j\|\Phi(F(t_j))-\Phi(F(s_j))\| \leq M\sum_j\|F(t_j)-F(s_j)\|<\ep

を得る。従って $\Phi\circ F$ は $[a,b]$ 上で絶対連続である。 $F$ はほとんど至る所で微分可能なので、その各点で§E4.3 定理 1.1を適用すれば微分公式を得る。任意の有限閉区間でこの結論が成り立ち、内部を可算個の区間で覆うと $I$ 上の結論を得る。

主張 (2)を示す。有限次元の双線形写像 $B$ は座標表示が有限個の積の和なので、ある $C\geq0$ が存在して $\|B(x,y)\|\leq C\|x\|\|y\|$ がすべての $x,y$ で成り立つ。恒等式

B(x+h,y+k)-B(x,y)=B(h,y)+B(x,k)+B(h,k)

の最後の項は $C\|h\|\|k\|$ 以下であり、 $(h,k)$ のノルムについて二次の項である。従って $B$ は $C^1$ 写像であり、 $DB(x,y)(h,k)=B(h,y)+B(x,k)$ である。補題 1.2 (3)により $(F,G)$ は局所絶対連続なので、主張 (1)を $B$ と $(F,G)$ に適用して結論を得る。▨

系 3.2. $I\subseteq\R$ を内部が空でない区間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $n\in\NN$ とする。このとき、次が成り立つ。

$f\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)$ がすべての $t\in I$ で $f(t)\ne0$ を満たすならば、 $1/f$ は局所絶対連続であり、 $(1/f)'=-f'/f^2$ がほとんど至る所で成り立つ。
$A:I\to\mathbb K^{n\times n}$ の各成分が局所絶対連続であり、すべての $t\in I$ で $A(t)$ が可逆であるとする。このとき $A^{-1}$ の各成分も局所絶対連続であり、 $(A^{-1})'=-A^{-1}A'A^{-1}$ がほとんど至る所で成り立つ。
$A:I\to\mathbb K^{n\times n}$ の各成分が局所絶対連続ならば、 $\det A$ も局所絶対連続である。 $A_j$ を $A$ の第 $j$ 列とすると、ほとんど至る所で $(\det A)'=\sum_{j=1}^n\det(A_1,\ldots,A_{j-1},A_j',A_{j+1},\ldots,A_n)$ が成り立つ。さらに全点で可逆ならば、 $(\det A)'=(\det A)\operatorname{tr}(A^{-1}A')$ がほとんど至る所で成り立つ。

$I$ が有限閉区間である場合、各結論の局所絶対連続性は絶対連続性を意味する。

証明. 逆数写像 $z\mapsto1/z$ は $\mathbb K\setminus\{0\}$ 上で実変数の $C^1$ 写像である。逆行列の各成分は、余因子の多項式を行列式で割った関数なので、可逆行列の開集合上で $C^1$ である。行列式も成分の多項式であり $C^1$ である。従って定理 3.1 (1)から、逆数・逆行列・行列式の局所絶対連続性を得る。

$f(1/f)=1$ と $AA^{-1}=\id$ に定理 3.1 (2)を適用すると、ほとんど至る所で

f'\frac1f+f\left(\frac1f\right)'=0,\qquad A'A^{-1}+A(A^{-1})'=0

となる。それぞれ $f$ と $A$ の逆を用いて整理すると、主張 (1)と主張 (2)の公式を得る。

$A$ が微分可能な点 $t$ を取る。 $\det A(t+h)$ の各列へ $A_j(t+h)=A_j(t)+hA_j'(t)+o(h)$ を代入し、行列式の列に関する多重線形性によって展開すると、 $h$ について一次の項は、一つの列だけを $A_j'(t)$ に替えた行列式の和に $h$ を掛けたものとなる。二つ以上の列の増分を含む項は $o(h)$ である。従って主張 (3)の最初の公式が成り立つ。 $A(t)$ が可逆である点では、 $C=A(t)^{-1}A'(t)$ とおくと $A_j'(t)=\sum_kA_k(t)C_{kj}$ である。第 $j$ 列を $A_j'(t)$ に替えた行列式は、他の列と重複する項が消えるので $(\det A(t))C_{jj}$ に等しい。 $j$ について足すと、トレースを用いた公式を得る。▨

補題 3.3. $a<b$ を実数とし、 $u\in AC([a,b];\R)$ とする。 $u^+=\max\{u,0\}$ とおく。このとき、次が成り立つ。

$u^+\in AC([a,b];\R)$ であり、 $(a,b)$ のほとんど至る所で $(u^+)'=\mathbf 1_{\{u>0\}}u'$ が成り立つ。
$(a,b)$ のほとんどすべての点 $t$ について、 $u(t)=0$ ならば $u'(t)=0$ である。
$v\in AC([a,b];\R)$ とすると、 $\max\{u,v\}\in AC([a,b];\R)$ であり、 $(a,b)$ のほとんど至る所で $\max\{u,v\}'=\mathbf 1_{\{u>v\}}u'+\mathbf 1_{\{u\le v\}}v'$ が成り立つ。

$t\in(a,b)\setminus Z$ を取る。 $u(t)>0$ ならば、 $u$ の連続性により $t$ のある近傍で $u^+=u$ であるから、 $(u^+)'(t)=u'(t)$ である。 $u(t)<0$ ならば、 $t$ のある近傍で $u^+=0$ であるから、 $(u^+)'(t)=0$ である。 $u(t)=0$ とする。 $s\in[a,b]\setminus\{t\}$ に対して $r(s)=u(s)/(s-t)$ とおくと、 $s\to t$ のとき $r(s)\to u'(t)$ である。 $s>t$ ならば $u^+(s)/(s-t)=\max\{r(s),0\}$ であり、 $s<t$ ならば $u^+(s)/(s-t)=\min\{r(s),0\}$ である。従って、 $u^+$ の $t$ における右側の差分商は $\max\{u'(t),0\}$ へ、左側の差分商は $\min\{u'(t),0\}$ へ収束する。 $u^+$ は $t$ で微分可能であるから二つの極限は一致し、 $u'(t)=0$ かつ $(u^+)'(t)=0$ である。三つの場合のいずれでも $(u^+)'(t)=\mathbf 1_{\{u>0\}}(t)u'(t)$ が成り立ち、 $u(t)=0$ ならば $u'(t)=0$ である。従って、主張 (1)と主張 (2)が成り立つ。

主張 (3)を示す。 $\max\{u,v\}=v+(u-v)^+$ である。補題 1.2 (2)により $u-v$ は絶対連続であり、主張 (1)により $(u-v)^+$ は絶対連続で、ほとんど至る所で $((u-v)^+)'=\mathbf 1_{\{u>v\}}(u'-v')$ である。再び補題 1.2 (2)により $\max\{u,v\}$ は絶対連続であり、ほとんど至る所で

\max\{u,v\}'=v'+\mathbf 1_{\{u>v\}}(u'-v')=\mathbf 1_{\{u>v\}}u'+\mathbf 1_{\{u\le v\}}v'

である。▨

定理 3.4. $a<b$ 、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $d,e,q\in\NN$ とし、 $B:\mathbb K^d\times\mathbb K^e\to\mathbb K^q$ を双線形写像とする。このとき、 $F\in AC([a,b];\mathbb K^d)$ 、 $G\in AC([a,b];\mathbb K^e)$ ならば、

\int_a^b B(F'(t),G(t))\,dt =B(F(b),G(b))-B(F(a),G(a)) -\int_a^b B(F(t),G'(t))\,dt

が成り立つ。特に、 $f,g\in AC([a,b];\C)$ について

\int_a^bf'(t)\overline{g(t)}\,dt =f(b)\overline{g(b)}-f(a)\overline{g(a)} -\int_a^bf(t)\overline{g'(t)}\,dt

が成り立つ。

証明. $F,G$ は有限閉区間上で連続なので有界であり、 $F',G'$ は可積分である。有限次元の双線形写像の評価 $\|B(x,y)\|\leq C\|x\|\|y\|$ により、二つの被積分関数は可積分である。定理 3.1 (2)により $B(F,G)$ は絶対連続であり、その導関数はほとんど至る所で $B(F',G)+B(F,G')$ に一致する。定理 2.5の全点積分表示を両端点に適用して整理すると、最初の等式を得る。複素共役は実線形写像なので、定理 3.1 (1)により $\overline g$ は絶対連続であり、 $(\overline g)'=\overline{g'}$ である。 $B(z,w)=zw$ と関数 $f,\overline g$ に最初の等式を適用して、複素共役を含む等式を得る。▨

4 例と演習

例 4.1. $F(t)=|t|$ を $[-1,1]$ 上で考える。このとき、不等式 $\bigl||t|-|s|\bigr|\leq|t-s|$ と補題 1.2 (4)により、 $F$ は絶対連続である。 $0$ における左微分係数は $-1$ 、右微分係数は $1$ なので、 $F$ は $0$ で微分可能でない。任意の $c\in\R$ に対して

g_c(t)= \begin{cases} -1,&t<0,\\ c,&t=0,\\ 1,&t>0 \end{cases}

とおくと、すべての $t\in[-1,1]$ に対して

F(t)=1+\int_{-1}^tg_c(s)\,ds

が成り立つ。実際、 $t\leq0$ ならば右辺は $1-(t+1)=-t$ 、 $t\geq0$ ならば $1-1+t=t$ である。一点の値 $c$ は積分を変えない。一方、 $F$ の値を $t=0$ だけ $1$ に替えた関数 $\widehat F$ は不連続である。従って $\widehat F$ は絶対連続でなく、上の全点積分表示も $t=0$ で成立しない。密度を零集合上で変えても積分表示は保たれるが、関数の値を一点で変えると積分表示は失われる。

例 4.2 (Cantor 関数). 連続で単調非減少な関数 $c:[0,1]\to\R$ と開集合 $U\subseteq(0,1)$ で、次の二条件を満たすものが存在する。 $c(0)=0$ 、 $c(1)=1$ である。 $\lambda_1(U)=1$ であり、各 $t\in U$ に対して、 $t$ を含み $c$ が定数となる開区間が存在する。このとき、 $c$ は定理 2.5 (3)の条件のうち、全点での積分表示を除くすべてを満たす。しかし $c$ は絶対連続でない。さらに、 $c$ は $(0,1)$ のほとんど至る所で $c'=0$ を満たすが定数でないので、系 2.6の最後の主張は、局所絶対連続性の仮定を連続性に替えると成り立たない。

証明. $c$ と $U$ の存在の証明は演習とする（問題 4.8）。

$t\in U$ ならば、 $c$ は $t$ の近傍で定数であるから、 $t$ で微分可能であり $c'(t)=0$ である。 $[0,1]\setminus U$ は零集合であるから、 $c$ は $(0,1)$ のほとんど至る所で微分可能であり、例外零集合上で値を零とした導関数は恒等的に零であって可積分である。一方、

c(1)-c(0)=1\neq0=\int_0^1c'(s)\,ds

であるから、全点での積分表示は $t=1$ で成立しない。定理 2.5により $c$ は絶対連続でない。▨

注意 4.3. $a<b$ とし、 $F:[a,b]\to\R$ を関数とする。 $F$ が Lusin の性質 $(\mathrm N)$ をもつとは、Lebesgue 測度零の任意の集合 $N\subseteq[a,b]$ について、 $F(N)$ が Lebesgue 測度零の集合であることをいう。Banach–Zarecki の定理によれば、 $F$ が絶対連続であるための必要十分条件は、 $F$ が連続かつ有界変動であり、性質 $(\mathrm N)$ をもつことである。

例 4.2の関数 $c$ は、連続かつ単調非減少であるから有界変動であるが、性質 $(\mathrm N)$ をもたない。実際、同例の開集合 $U$ について、 $N=[0,1]\setminus U$ は零集合である。補題 2.3により、 $U$ は互いに素な開区間の高々可算個の和集合である。 $c$ は $U$ の各点の近傍で定数であるから、連結な各開区間の上で定数であり、 $c(U)$ は高々可算集合である。一方、 $c$ は連続で $c(0)=0$ 、 $c(1)=1$ を満たし単調非減少であるから、§D1.12 系 1.2により $c([0,1])=[0,1]$ である。 $[0,1]=c(U)\cup c(N)$ であり $c(U)$ は零集合であるから、 $c(N)$ の外測度は $1$ であり、 $c(N)$ は零集合でない。

例 4.4. $[0,1]$ 上の関数

F(t)= \begin{cases} t^4\sin^2(1/t^2),&t>0,\\ 0,&t=0, \end{cases} \qquad \Phi(s)=\sqrt{s}

は、ともに絶対連続であり、 $F([0,1])\subseteq[0,1]$ を満たす。しかし $\Phi\circ F$ は絶対連続でない。

証明. 証明は演習とする（問題 4.7）。▨

問題 4.5.補題 2.3を証明せよ。

解答.

$x\in O$ に対して、 $x$ を含み $O$ に含まれる開区間全体の和集合を $J(x)$ とする。 $O$ は開集合であるから、 $J(x)$ は空でない。 $x$ を共有する区間の和集合は区間であり、開集合の和集合は開集合であるから、 $J(x)$ は $x$ を含み $O$ に含まれる開区間である。 $x,y\in O$ について $J(x)\cap J(y)\neq\emptyset$ ならば、 $J(x)\cup J(y)$ は $x$ と $y$ をともに含み $O$ に含まれる開区間である。 $J(x)$ と $J(y)$ の定義により $J(x)\cup J(y)\subseteq J(x)$ かつ $J(x)\cup J(y)\subseteq J(y)$ であるから、 $J(x)=J(y)$ である。従って $\mathcal J=\{J(x):x\in O\}$ は互いに素な開区間からなる集合であり、その和集合は $O$ である。

全単射 $q:\N\to\Q$ を一つ固定する。空でない開区間は有理数を含むので、各 $J\in\mathcal J$ に対して $q(m)\in J$ を満たす最小の $m\in\N$ が定まる。 $\mathcal J$ の元は互いに素であるから、異なる元には異なる $m$ が対応する。従って $\mathcal J$ は高々可算である。▨

問題 4.6.命題 2.8を、各区間の積分表示を用いて証明せよ。

解答.

定理 2.5によって、各 $j$ について可積分な密度 $g_j$ を取り、

F_j(t)=F_j(a_{j-1})+\int_{a_{j-1}}^tg_j(s)\,ds \qquad(a_{j-1}\leq t\leq a_j)

と書く。開区間 $(a_{j-1},a_j)$ 上で $g=g_j$ とし、分点上で $g=0$ とすると、区間数が有限なので $g$ は $[a_0,a_m]$ 上で可積分である。端点での一致条件を用いて積分表示を順に足すと、 $t\in[a_{j-1},a_j]$ に対して

F(t)=F_1(a_0)+\sum_{k<j}\int_{a_{k-1}}^{a_k}g_k(s)\,ds +\int_{a_{j-1}}^tg_j(s)\,ds =F_1(a_0)+\int_{a_0}^tg(s)\,ds

となる。補題 1.3 (3)により $F$ は絶対連続である。▨

問題 4.7.例 4.4を証明せよ。合成の全変動を調べる際には、 $n\in\NN$ に対して

x_n=(n\pi)^{-1/2},\qquad y_n=((n+1/2)\pi)^{-1/2}

を用いよ。

解答.

$t>0$ において

F'(t)=4t^3\sin^2(1/t^2)-4t\sin(1/t^2)\cos(1/t^2)

である。 $|F(h)/h|\leq h^3\to0$ なので $F'(0)=0$ であり、表示した $F'(t)$ も $t\downarrow0$ で零に収束する。従って $F$ は $[0,1]$ 上で連続微分可能であり、系 2.7 (2)により $[0,1]$ 上で絶対連続である。また $0\leq F(t)\leq t^4\leq1$ である。

$h(s)=1/(2\sqrt{s})$ （ $s>0$ ）、 $h(0)=0$ とおく。任意の $u\in(0,1]$ に対して

\int_0^u h(s)\,ds =\lim_{\eta\downarrow0}\int_\eta^u\frac{ds}{2\sqrt{s}} =\lim_{\eta\downarrow0}(\sqrt{u}-\sqrt{\eta})=\sqrt{u}

である。最初の等号は非負関数に対する§E10.11 定理 1.1による。特に $h$ は $[0,1]$ 上で可積分であり、補題 1.3 (3)から $\Phi$ は絶対連続である。

$G=\Phi\circ F$ とおくと、 $G(t)=t^2|\sin(1/t^2)|$ である。 $x_{n+1}<y_n<x_n$ であり、

G(x_n)=0,\qquad G(y_n)=\frac1{(n+1/2)\pi}

となる。 $1\leq n\leq N$ の各 $x_{n+1},y_n,x_n$ を含む $[0,1]$ の有限分割を取ると、その増分の絶対値の和は

2\sum_{n=1}^N\frac1{(n+1/2)\pi}

以上である。この和は $N\to\infty$ で発散するので $G$ の全変動は無限である。補題 2.2により、 $G$ は絶対連続でない。外側の $\Phi$ は $s=0$ で微分可能でなく、定理 3.1 (1)の仮定を満たさない。▨

問題 4.8.例 4.2の関数 $c$ と開集合 $U$ が存在することを証明せよ。連続で単調非減少であり $f(0)=0$ 、 $f(1)=1$ を満たす関数 $f:[0,1]\to\R$ に対して

(Tf)(t)= \begin{cases} \tfrac12f(3t),&0\leq t\leq\tfrac13,\\ \tfrac12,&\tfrac13\leq t\leq\tfrac23,\\ \tfrac12+\tfrac12f(3t-2),&\tfrac23\leq t\leq1 \end{cases}

とおき、 $c_0(t)=t$ 、 $c_{n+1}=Tc_n$ で定まる関数列を用いよ。

解答.

$X$ を、連続で単調非減少であり $f(0)=0$ 、 $f(1)=1$ を満たす関数 $f:[0,1]\to\R$ の全体とする。 $f\in X$ ならば、 $t=1/3$ では $\tfrac12f(1)=\tfrac12$ 、 $t=2/3$ では $\tfrac12+\tfrac12f(0)=\tfrac12$ であるから、 $Tf$ の三つの式は分点で一致し、 $Tf$ は矛盾なく定まる連続関数である。第一の式の値は $[0,1/2]$ に、第三の式の値は $[1/2,1]$ に属し、各式は単調非減少であるから、 $Tf$ は単調非減少である。 $(Tf)(0)=0$ 、 $(Tf)(1)=1$ であるから $Tf\in X$ である。さらに、 $f,g\in X$ について

\sup_{t\in[0,1]}|(Tf)(t)-(Tg)(t)|\leq\frac12\sup_{t\in[0,1]}|f(t)-g(t)|

である。

$c_0\in X$ であるから、すべての $n$ について $c_n\in X$ である。 $|c_1-c_0|\leq1$ と上の評価から $\sup|c_{n+1}-c_n|\leq2^{-n}$ である。従って、各 $t$ で $(c_n(t))$ は Cauchy 列であり、その極限を $c(t)$ とすると、 $\sup|c-c_n|\leq\sum_{k\geq n}2^{-k}=2^{1-n}$ である。 $c_n$ は $c$ へ一様収束するので、§D1.22 定理 2.1により $c$ は連続である。単調非減少性と $c(0)=0$ 、 $c(1)=1$ は極限で保たれる。上の評価から $\sup|Tc_n-Tc|\leq\frac12\sup|c_n-c|\to0$ であり、 $Tc_n=c_{n+1}\to c$ であるから $Tc=c$ である。 $\varphi_0(t)=t/3$ 、 $\varphi_2(t)=(t+2)/3$ とおくと、 $Tc=c$ は、すべての $t\in[0,1]$ について

c(\varphi_0(t))=\tfrac12c(t),\qquad c(\varphi_2(t))=\tfrac12+\tfrac12c(t)

が成り立ち、 $[1/3,2/3]$ 上で $c=1/2$ であることを意味する。

$K_0=[0,1]$ 、 $K_{n+1}=\varphi_0(K_n)\cup\varphi_2(K_n)$ とおく。 $\varphi_0,\varphi_2$ は長さ $\ell$ の閉区間を長さ $\ell/3$ の閉区間へ写すので、帰納法により $K_n$ は長さ $3^{-n}$ の $2^n$ 個の閉区間の和集合である。従って $K_n$ は閉集合であり、 $\lambda_1(K_n)\leq(2/3)^n$ である。また $0=\varphi_0(0)$ 、 $1=\varphi_2(1)$ であるから、帰納法により $0,1\in K_n$ である。 $U_n=(0,1)\setminus K_n$ とおくと、 $U_n$ は開集合である。

各 $n$ について、任意の $t\in U_n$ に対し、 $t$ を含み $(0,1)$ に含まれる開区間で $c$ が定数となるものが存在することを、 $n$ についての帰納法で確かめる。 $U_0=\emptyset$ であるから、 $n=0$ では成り立つ。 $n$ で成り立つとし、 $t\in U_{n+1}$ を取る。 $1/3=\varphi_0(1)$ と $2/3=\varphi_2(0)$ は $K_{n+1}$ に属するので、 $t\in(0,1/3)$ 、 $t\in(1/3,2/3)$ 、 $t\in(2/3,1)$ のいずれかである。 $t\in(1/3,2/3)$ ならば、 $c$ は開区間 $(1/3,2/3)$ 上で定数 $1/2$ である。 $t\in(0,1/3)$ ならば、 $t\notin K_{n+1}$ から $t\notin\varphi_0(K_n)$ であり、 $3t\in(0,1)\setminus K_n=U_n$ である。帰納法の仮定により、 $3t$ を含み $(0,1)$ に含まれる開区間 $J$ で $c$ が定数となるものが存在する。 $\varphi_0(J)$ は $t$ を含み $(0,1)$ に含まれる開区間であり、 $s\in\varphi_0(J)$ ならば $3s\in J$ であるから、 $c(s)=\tfrac12c(3s)$ は $\varphi_0(J)$ 上で一定である。 $t\in(2/3,1)$ ならば、 $t\notin\varphi_2(K_n)$ から $3t-2\in U_n$ である。帰納法の仮定により、 $3t-2$ を含み $(0,1)$ に含まれる開区間 $J$ で $c$ が定数となるものが存在する。 $\varphi_2(J)$ は $t$ を含み $(0,1)$ に含まれる開区間であり、 $s\in\varphi_2(J)$ ならば $3s-2\in J$ であるから、 $c(s)=\tfrac12+\tfrac12c(3s-2)$ は $\varphi_2(J)$ 上で一定である。

$U=\bigcup_nU_n$ とおくと、 $U\subseteq(0,1)$ は開集合であり、 $U$ の各点は $c$ が定数となる開区間に含まれる。すべての $n$ について $(0,1)\setminus U\subseteq K_n$ であるから、 $\lambda_1((0,1)\setminus U)\leq(2/3)^n$ である。 $n\to\infty$ として $\lambda_1((0,1)\setminus U)=0$ 、すなわち $\lambda_1(U)=1$ を得る。▨

問題 4.9. $F(t)=\log t$ を $I=(0,1]$ 上で考える。 $F\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\R)$ を示し、 $F$ と $(0,1]$ 上で一致する絶対連続関数を $[0,1]$ 上へ定めることはできないことを示せ。

解答.

$F$ は $(0,1]$ 上で連続微分可能であり、 $F'(t)=1/t$ である。系 2.7 (2)により $F\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\R)$ である。

絶対連続な延長 $\widetilde F:[0,1]\to\R$ が存在すると仮定する。 $n\in\NN$ に対し、区間 $[1/(2n),1/n]$ の長さは $1/(2n)$ であり零へ収束するが、

\left|\widetilde F(1/n)-\widetilde F(1/(2n))\right|=\log2

である。絶対連続性の条件を $\ep=(\log2)/2$ と一つの区間に適用すると、十分大きい $n$ において左辺は $\ep$ 未満でなければならない。 $\log2>\ep$ であるから、そのような延長は存在しない。▨

§E13.2絶対連続関数

1 絶対連続関数の定義と積分の絶対連続性

2 変動と積分表示

3 積・合成・正部分と部分積分

4 例と演習

前提記事