§E13.11非同次線形方程式

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外力を受ける振動や電気回路の応答は、非同次線形微分方程式によって記述されることがある。例えば、周期的な外力を受ける振動の方程式y′′+y=cos⁡ty''+y=\cos tでは、斉次方程式y′′+y=0y''+y=0の解だけでは外力を含む方程式を満たすことができない。非同次線形方程式では、一つの特解が得られれば、全解はその特解に斉次方程式の解をそれぞれ加えて得られるため、特解の構成が外力のある問題を解くうえで中心的な課題となる。定数変化法では、正規形の係数と外力がともに局所可積分である場合、方程式をほとんど至る所で満たす特解を構成することができる。未定係数法については、定数係数の方程式で外力が指数関数と多項式の積の有限和である場合を本記事で扱う。本記事では、非同次線形方程式の解の構造と特解の構成を考察する。

1 非同次解集合の構造

定理 1.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、n∈N≥1n\in\NNとし、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間、p0,…,pn−1,r∈Lloc1(I;K)p_0,\ldots,p_{n-1},r\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)とする。方程式

L[y]:=y(n)+∑j=0n−1pj(t)y(j)=r(t)ほとんど至る所L[y]:=y^{(n)}+\sum_{j=0}^{n-1}p_j(t)y^{(j)}=r(t) \quad\text{ほとんど至る所}(1.1.1)\text{(1.1.1)}

の解は、n≥2n\geq2ではy∈Cn−1(I;K)y\in C^{n-1}(I;\mathbb K)かつy(n−1)∈ACloc(I;K)y^{(n-1)}\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)、n=1n=1ではy∈ACloc(I;K)y\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)とし、S0(I)\mathcal S_0(I)を同じ正則性をもつ斉次解全体とする。このとき、式 (1.1.1)の全解集合は空でなく、任意の解ypy_pに対して

yp+S0(I)={yp+yh:yh∈S0(I)}y_p+\mathcal S_0(I)=\{y_p+y_h:y_h\in\mathcal S_0(I)\}

である。

また、d∈N≥1d\in\NN、A∈Lloc1(I;Kd×d)A\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^{d\times d})、b∈Lloc1(I;Kd)\boldsymbol b\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)とし、SA(I)\mathcal S_A(I)を同次系x′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xの絶対連続解空間とする。このとき、x′=Ax+b\boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol bの絶対連続解の全体は空でなく、その任意の元xp\boldsymbol x_pに対してxp+SA(I)\boldsymbol x_p+\mathcal S_A(I)に等しい。

証明. 解の存在は§E13.9 命題 4.1と§E13.9 定理 1.1により与えられるので、全解集合は空でない。解ypy_pとyh∈S0(I)y_h\in\mathcal S_0(I)を取る。解に課した正則性は和と差で保たれ、LLの線形性により

L[yp+yh]=L[yp]+L[yh]=rL[y_p+y_h]=L[y_p]+L[y_h]=r

がほとんど至る所で成り立つ。逆にL[y]=rL[y]=rならばL[y−yp]=0L[y-y_p]=0であり、y−yp∈S0(I)y-y_p\in\mathcal S_0(I)となる。従ってy=yp+(y−yp)y=y_p+(y-y_p)は表示した集合に属する。ベクトル系ではL[x]=x′−AxL[\boldsymbol x]=\boldsymbol x'-A\boldsymbol xとおけば同じ計算が成り立つ。▨

連続なa0,…,an,g:I→Ka_0,\ldots,a_n,g:I\to\mathbb Kが区間全体でan(t)≠0a_n(t)\ne0を満たす場合、any(n)+⋯+a0y=ga_ny^{(n)}+\cdots+a_0y=gを最高階係数で割ると、連続なpj=aj/anp_j=a_j/a_n、r=g/anr=g/a_nに対する式 (1.1.1)を得る。§E13.9 系 4.3により、この方程式の解はCnC^n級であって全点で方程式を満たし、逆に全点で方程式を満たすCnC^n級の関数は解である。従って古典解の全体も、一つの古典解と斉次方程式の古典解全体との和である。

2 絶対連続な基本行列による定数変化法

定理 2.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NN、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とし、

A∈Lloc1(I;Kd×d),b∈Lloc1(I;Kd)A\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^{d\times d}),\qquad \boldsymbol b\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)

とする。Φ∈ACloc(I;Kd×d)\Phi\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^{d\times d})を同次系の基本行列、すなわちΦ′=AΦ\Phi'=A\Phiがほとんど至る所で成り立ち、すべてのt∈It\in IでΦ(t)\Phi(t)が可逆である行列とする。このとき、任意のt0∈It_0\in Iとη∈Kd\boldsymbol\eta\in\mathbb K^dに対し、初期値問題

x′=Ax+bほとんど至る所,x(t0)=η\boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol b\quad\text{ほとんど至る所},\qquad \boldsymbol x(t_0)=\boldsymbol\eta

の一意な絶対連続解は、全点で

x(t)=Φ(t)[Φ(t0)−1η+∫t0tΦ(s)−1b(s) ds]\boldsymbol x(t)=\Phi(t)\left[ \Phi(t_0)^{-1}\boldsymbol\eta+ \int_{t_0}^t\Phi(s)^{-1}\boldsymbol b(s)\,ds\right]

と表される。被積分関数Φ−1b\Phi^{-1}\boldsymbol bは局所可積分である。逆に、この表示で定める関数はII上で局所絶対連続であり、初期値問題を満たす。区間に含まれる端点も表示の対象とし、t<t0t<t_0では積分を−∫tt0-\int_t^{t_0}とする。

証明.§E13.2 系 3.2 (2)によりΦ−1\Phi^{-1}は局所絶対連続であり、

(Φ−1)′=−Φ−1Φ′Φ−1=−Φ−1Aほとんど至る所(\Phi^{-1})'=-\Phi^{-1}\Phi'\Phi^{-1}=-\Phi^{-1}A \quad\text{ほとんど至る所}

となる。任意の有限閉区間J⊆IJ\subseteq Iでは、Φ−1\Phi^{-1}は連続かつ有界である。従ってΦ−1b\Phi^{-1}\boldsymbol bは可測であり、

∫J∥Φ(s)−1b(s)∥ ds≤max⁡s∈J∥Φ(s)−1∥∫J∥b(s)∥ ds<∞\int_J\|\Phi(s)^{-1}\boldsymbol b(s)\|\,ds \leq\max_{s\in J}\|\Phi(s)^{-1}\|\int_J\|\boldsymbol b(s)\|\,ds<\infty

を満たす。

初期値問題の任意の絶対連続解x\boldsymbol xに対して、c=Φ−1x\boldsymbol c=\Phi^{-1}\boldsymbol xとおく。§E13.2 定理 3.1 (2)によりc\boldsymbol cは局所絶対連続であり、ほとんど至る所で

c′=−Φ−1Ax+Φ−1(Ax+b)=Φ−1b\boldsymbol c' =-\Phi^{-1}A\boldsymbol x+\Phi^{-1}(A\boldsymbol x+\boldsymbol b) =\Phi^{-1}\boldsymbol b

となる。§E13.2 系 2.6により、すべてのt∈It\in Iで

c(t)=Φ(t0)−1η+∫t0tΦ(s)−1b(s) ds\boldsymbol c(t)=\Phi(t_0)^{-1}\boldsymbol\eta+ \int_{t_0}^t\Phi(s)^{-1}\boldsymbol b(s)\,ds

である。左からΦ(t)\Phi(t)を掛けると、主張の表示式を得る。

逆に右辺の積分でc\boldsymbol cを定めると、被積分関数の局所可積分性と§E13.2 系 2.6によりc\boldsymbol cは局所絶対連続であり、c′=Φ−1b\boldsymbol c'=\Phi^{-1}\boldsymbol bがほとんど至る所で成り立つ。積x=Φc\boldsymbol x=\Phi\boldsymbol cも局所絶対連続で、

x′=AΦc+ΦΦ−1b=Ax+bほとんど至る所\boldsymbol x'=A\Phi\boldsymbol c+\Phi\Phi^{-1}\boldsymbol b =A\boldsymbol x+\boldsymbol b \quad\text{ほとんど至る所}

となる。t=t0t=t_0を代入すると初期値を得る。すべての解が同じ表示をもつので一意性も従う。▨

3 連続係数の古典公式

系 3.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、n∈N≥1n\in\NNとし、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間、A:I→Kn×nA:I\to\mathbb K^{n\times n}を連続とする。同次系

Y′=A(t)Y\boldsymbol Y'=A(t)\boldsymbol Y(3.1.1)\text{(3.1.1)}

と、行列値関数Φ:I→Kn×n\Phi:I\to\mathbb K^{n\times n}を考える。含まれる端点での微分は片側微分とする。このとき、次の二条件は同値である。

  1. Φ\PhiはC1C^1級であり、すべてのt∈It\in IでΦ′(t)=A(t)Φ(t)\Phi'(t)=A(t)\Phi(t)とdet⁡Φ(t)≠0\det\Phi(t)\ne0が成り立つ。すなわちΦ\Phiの列は式 (3.1.1)のC1C^1級のK\mathbb K値解であり、Φ(t)\Phi(t)は全点で可逆である。
  2. Φ\Phiは§E13.9 定義 2.1の基本行列である。

また、式 (3.1.1)のC1C^1級のK\mathbb K値解を列にもつ行列Ψ\Psiについて、ある一点t0∈It_0\in Iでdet⁡Ψ(t0)≠0\det\Psi(t_0)\ne0ならば、すべてのt∈It\in Iでdet⁡Ψ(t)≠0\det\Psi(t)\ne0である。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。§E13.2 系 2.7 (2)によりΦ∈ACloc(I;Kn×n)\Phi\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^{n\times n})であり、Φ′=AΦ\Phi'=A\Phiは全点で、特にほとんど至る所で成り立つ。可逆性は仮定による。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。Φ\Phiの各列は式 (3.1.1)の絶対連続解であるから、b=0\boldsymbol b=0として§E13.9 系 1.2 (1)を適用すると、各列はC1C^1級であり、すべてのt∈It\in IでΦ′(t)=A(t)Φ(t)\Phi'(t)=A(t)\Phi(t)が成り立つ。可逆性は基本行列の定義による。

§E13.2 系 2.7 (2)により、Ψ\Psiの各列は式 (3.1.1)の絶対連続解である。AAは連続であるから局所可積分であり、§E13.9 定理 2.2 (2)と§E13.9 定理 2.2 (3)の同値により、det⁡Ψ(t0)≠0\det\Psi(t_0)\ne0から全点での可逆性を得る。▨

系 3.2 (線形連立系の定数変化公式).K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、n∈N≥1n\in\NNとし、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間、A:I→Kn×nA:I\to\mathbb K^{n\times n}とb:I→Kn\boldsymbol b:I\to\mathbb K^nを連続とする。Φ:I→Kn×n\Phi:I\to\mathbb K^{n\times n}を系 3.1 (1)の条件を満たす行列値関数とする。このとき、t0∈It_0\in Iとη∈Kn\boldsymbol\eta\in\mathbb K^nに対して、初期値問題

Y′=A(t)Y+b(t),Y(t0)=η\boldsymbol Y'=A(t)\boldsymbol Y+\boldsymbol b(t),\qquad \boldsymbol Y(t_0)=\boldsymbol\eta(3.2.1)\text{(3.2.1)}

の一意なC1C^1級の解は

Y(t)=Φ(t)[Φ(t0)−1η+∫t0tΦ(s)−1b(s) ds]\boldsymbol Y(t)=\Phi(t)\left[ \Phi(t_0)^{-1}\boldsymbol\eta+ \int_{t_0}^t\Phi(s)^{-1}\boldsymbol b(s)\,ds\right]

である。

証明.系 3.1 (2)により、Φ\Phiは絶対連続な基本行列である。§E13.9 系 1.2 (2)により、式 (3.2.1)のC1C^1級の解Y\boldsymbol Yは一意に存在する。C1C^1級の解は§E13.2 系 2.7 (2)により絶対連続解であるから、定理 2.1によりY\boldsymbol Yは表示式で与えられる。▨

4 高階方程式の定数変化法

系 4.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、n∈N≥1n\in\NN、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とし、p0,…,pn−1,r∈Lloc1(I;K)p_0,\ldots,p_{n-1},r\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)とする。解は、n≥2n\geq2ではCn−1C^{n-1}級で最高階の導関数y(n−1)y^{(n-1)}が局所絶対連続な関数、n=1n=1では局所絶対連続な関数とする。y1,…,yny_1,\ldots,y_nを対応する斉次nn階方程式の基本解系とし、

Φ(t)=(yj(i−1)(t))1≤i,j≤n\Phi(t)=\bigl(y_j^{(i-1)}(t)\bigr)_{1\leq i,j\leq n}

とおく。このとき、任意のt0∈It_0\in Iと初期値η=(η0,…,ηn−1)T∈Kn\boldsymbol\eta=(\eta_0,\ldots,\eta_{n-1})^{\mathsf T}\in\mathbb K^nに対し、

y(n)+∑j=0n−1pjy(j)=rほとんど至る所,y(j)(t0)=ηj(0≤j<n)y^{(n)}+\sum_{j=0}^{n-1}p_jy^{(j)}=r\quad\text{ほとんど至る所},\qquad y^{(j)}(t_0)=\eta_j\quad(0\leq j<n)

の一意な解は

y(t)=∑j=1nyj(t)[(Φ(t0)−1η)j+∫t0t(Φ(s)−1)jnr(s) ds]y(t)=\sum_{j=1}^n y_j(t)\left[ \bigl(\Phi(t_0)^{-1}\boldsymbol\eta\bigr)_j+ \int_{t_0}^t\bigl(\Phi(s)^{-1}\bigr)_{jn}r(s)\,ds\right]

である。係数と外力が連続ならば、解はCnC^n級であり、方程式は全点で成立する。

証明.§E13.9 命題 4.1により、各列(yj,yj′,…,yj(n−1))T(y_j,y_j',\ldots,y_j^{(n-1)})^{\mathsf T}は同じ伴随系の絶対連続解である。§E13.9 命題 5.5によりdet⁡Φ\det\Phiは全点で零でない。従ってΦ\Phiは伴随系の基本行列である。非同次方程式に対応する伴随系の外力はb=(0,…,0,r)T\boldsymbol b=(0,\ldots,0,r)^{\mathsf T}であるから、Φ−1b\Phi^{-1}\boldsymbol bの第jj成分は(Φ−1)jnr(\Phi^{-1})_{jn}rである。定理 2.1の第一成分を取ると、表示式を得る。正則性と高階方程式への双方向の対応も§E13.9 命題 4.1から従う。

係数と外力が連続ならば、§E13.9 系 4.3により、解はCnC^n級であり、方程式は含まれる端点での片側微分を含めて全点で成立する。▨

5 二階方程式の公式

系 5.1 (二階方程式の定数変化公式).K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とし、P,Q,R∈Lloc1(I;K)P,Q,R\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)とする。方程式

y′′+P(t)y′+Q(t)y=R(t)ほとんど至る所y''+P(t)y'+Q(t)y=R(t)\quad\text{ほとんど至る所}(5.1.1)\text{(5.1.1)}

に対応する斉次方程式の基本解系をy1,y2y_1,y_2とし、W=y1y2′−y1′y2W=y_1y_2'-y_1'y_2とおく。t0∈It_0\in Iに対して

u1(t)=−∫t0ty2(s)R(s)W(s) ds,u2(t)=−∫t0ty1(s)R(s)W(s) ds\begin{aligned} u_1(t)&=-\int_{t_0}^t\frac{y_2(s)R(s)}{W(s)}\,ds,\\ u_2(t)&=\phantom{-}\int_{t_0}^t\frac{y_1(s)R(s)}{W(s)}\,ds \end{aligned}

とおけば、

yp(t)=u1(t)y1(t)+u2(t)y2(t)y_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t)

はyp(t0)=yp′(t0)=0y_p(t_0)=y_p'(t_0)=0を満たす式 (5.1.1)の特解である。yp∈C1(I;K)y_p\in C^1(I;\mathbb K)、yp′∈ACloc(I;K)y_p'\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K)であり、P,Q,RP,Q,Rが連続ならばyp∈C2y_p\in C^2で方程式は全点で成立する。

証明. 伴随系の基本行列Φ\Phiと、Φ−1\Phi^{-1}と伴随系の外力の積は

Φ=(y1y2y1′y2′),Φ−1(0R)=1W(y2′−y2−y1′y1)(0R)=(−y2R/Wy1R/W)\Phi=\begin{pmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{pmatrix},\qquad \Phi^{-1}\begin{pmatrix}0\\R\end{pmatrix} =\frac1W\begin{pmatrix}y_2'&-y_2\\-y_1'&y_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\R\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-y_2R/W\\y_1R/W\end{pmatrix}

である。系 4.1をn=2n=2、初期ベクトルη=0\boldsymbol\eta=0として適用すると、表示式、初期値、正則性を得る。▨

例 5.2 (定数変化法). 方程式

y′′+y=ety''+y=e^t

を考える。斉次方程式の基本解系としてy1=cos⁡ty_1=\cos t、y2=sin⁡ty_2=\sin tを取るとW=1W=1である。定数変化公式により

u1′=−etsin⁡t,u2′=etcos⁡tu_1'=-e^t\sin t,\qquad u_2'=e^t\cos t

が与えられる。積分定数を変えるとypy_pは斉次解だけ変わるので、積分定数は零とし、

u1=−et2(sin⁡t−cos⁡t),u2=et2(sin⁡t+cos⁡t)u_1=-\frac{e^t}{2}(\sin t-\cos t),\qquad u_2=\frac{e^t}{2}(\sin t+\cos t)

と取る。したがって

yp=u1cos⁡t+u2sin⁡t=et2.y_p=u_1\cos t+u_2\sin t=\frac{e^t}{2}.

実際、yp′′+yp=ety_p''+y_p=e^tである。一般解は

y=C1cos⁡t+C2sin⁡t+et2y=C_1\cos t+C_2\sin t+\frac{e^t}{2}

となる。

例 5.3. 区間I=(0,∞)I=(0,\infty)上の方程式

t2y′′−2ty′+2y=t3t^2y''-2ty'+2y=t^3

を考える。両辺をt2t^2で割ると、P=−2/tP=-2/t、Q=2/t2Q=2/t^2、R=tR=tに対する式 (5.1.1)を得る。係数と外力はII上で連続である。y1=ty_1=t、y2=t2y_2=t^2は斉次方程式の解であり、W=y1y2′−y1′y2=t2W=y_1y_2'-y_1'y_2=t^2はIIのすべての点で零でないから、§E13.9 命題 5.5により基本解系である。基点の取り方に応じた積分定数は斉次解へ移るので、

u1′=−y2RW=−t,u2′=y1RW=1u_1'=-\frac{y_2R}{W}=-t,\qquad u_2'=\frac{y_1R}{W}=1

からu1=−t2/2u_1=-t^2/2、u2=tu_2=tと取ると、

yp=u1y1+u2y2=−t32+t3=t32y_p=u_1y_1+u_2y_2=-\frac{t^3}{2}+t^3=\frac{t^3}{2}

である。実際、t2⋅3t−2t⋅3t22+2⋅t32=t3t^2\cdot3t-2t\cdot\frac{3t^2}{2}+2\cdot\frac{t^3}{2}=t^3である。一般解は

y=C1t+C2t2+t32y=C_1t+C_2t^2+\frac{t^3}{2}

である。本記事で証明する未定係数法は、定数係数の方程式に対する方法である。

6 未定係数法と共鳴

未定係数法では、λ∈C\lambda\in\Cと非負整数kkに対して、eλte^{\lambda t}と次数kk以下の多項式との積の全体がなす有限次元空間を、定数係数微分作用素P(D)P(D)が自身へ写すことを用いる。

定理 6.1.PPを零でない複素係数多項式とし、

P(D)y=eλtq(t)P(D)y=e^{\lambda t}q(t)(6.1.1)\text{(6.1.1)}

を考える。ここでλ∈C\lambda\in\C、qqは次数dd以下の複素係数多項式とする。λ\lambdaがPPの重複度m≥0m\ge0の根であるとする。m=0m=0はP(λ)≠0P(\lambda)\ne0を意味する。

このとき、次数がdd以下の多項式ssが存在して

yp(t)=eλttms(t)y_p(t)=e^{\lambda t}t^m s(t)(6.1.2)\text{(6.1.2)}

が式 (6.1.1)の特解になる。

証明.

P(z)=(z−λ)mR(z),R(λ)≠0P(z)=(z-\lambda)^mR(z),\qquad R(\lambda)\ne0

と書く。任意の多項式uuに対して、移動公式§E13.10 補題 1.2により

P(D)(eλtu(t))=eλtDmR(D+λ)u(t).P(D)\bigl(e^{\lambda t}u(t)\bigr) =e^{\lambda t}D^mR(D+\lambda)u(t).

§E13.10 補題 1.3を多項式RRに適用すると、R(λ)≠0R(\lambda)\ne0であることから、R(D+λ)R(D+\lambda)は次数がdd以下の複素係数多項式全体がなす空間上で可逆である。したがって

R(D+λ)v=qR(D+\lambda)v=q

を満たす次数dd以下の多項式vvが存在する。

m=0m=0ならばu=vu=vと置く。m≥1m\ge1ならば、v(t)=∑k=0daktkv(t)=\sum_{k=0}^d a_kt^kと書き、各項をmm回積分して各積分定数を零と取ることにより、

u(t)=∑k=0dakk!(k+m)!tk+mu(t)=\sum_{k=0}^d\frac{a_kk!}{(k+m)!}t^{k+m}

とおく。したがって、いずれの場合にもDmu=vD^mu=vを満たす多項式u=tmsu=t^msが得られ、deg⁡s≤d\deg s\le dである。定数係数微分作用素DmD^mとR(D+λ)R(D+\lambda)は可換であるから、このuuについて

DmR(D+λ)u=R(D+λ)Dmu=R(D+λ)v=qD^mR(D+\lambda)u =R(D+\lambda)D^mu =R(D+\lambda)v =q

となり、式 (6.1.2)は特解である。▨

系 6.2.PPを零でない実係数多項式とし、α,β∈R\alpha,\beta\in\R、q1,q2q_1,q_2を次数dd以下の実係数多項式とする。m≥0m\ge0を、複素数α+iβ\alpha+i\betaのPPの根としての重複度とする。このとき、次数dd以下の実係数多項式s1,s2s_1,s_2が存在して

yp(t)=eαttm(s1(t)cos⁡(βt)+s2(t)sin⁡(βt))y_p(t)=e^{\alpha t}t^m\bigl(s_1(t)\cos(\beta t)+s_2(t)\sin(\beta t)\bigr)

は、実方程式

P(D)y=eαt(q1(t)cos⁡(βt)+q2(t)sin⁡(βt))P(D)y=e^{\alpha t}\bigl(q_1(t)\cos(\beta t)+q_2(t)\sin(\beta t)\bigr)

の特解である。

証明.λ=α+iβ\lambda=\alpha+i\beta、q=q1−iq2q=q_1-iq_2とおく。定理 6.1により、次数dd以下の複素係数多項式ssが存在してy=eλttmsy=e^{\lambda t}t^msがP(D)y=eλtqP(D)y=e^{\lambda t}qの特解になる。s=a+ibs=a+ib（a,ba,bは次数dd以下の実係数多項式）と書くと、

ℜy=eαttm(acos⁡(βt)−bsin⁡(βt)),ℜ(eλtq)=eαt(q1cos⁡(βt)+q2sin⁡(βt))\Re y=e^{\alpha t}t^m\bigl(a\cos(\beta t)-b\sin(\beta t)\bigr),\qquad \Re\bigl(e^{\lambda t}q\bigr)=e^{\alpha t}\bigl(q_1\cos(\beta t)+q_2\sin(\beta t)\bigr)

である。PPの係数は実数であるから、複素数値関数yyについてP(D)ℜy=ℜ(P(D)y)P(D)\Re y=\Re\bigl(P(D)y\bigr)が成り立つ。従ってℜy\Re yは実方程式の特解である。s1=as_1=a、s2=−bs_2=-bとおけばよい。▨

例 6.3. 方程式

y′′−y=e2ty''-y=e^{2t}

の特性多項式はP(λ)=λ2−1P(\lambda)=\lambda^2-1であり、22は特性根でない。そこでyp=Ae2ty_p=Ae^{2t}と置くと

yp′′−yp=(4A−A)e2t=3Ae2ty_p''-y_p=(4A-A)e^{2t}=3Ae^{2t}

である。A=1/3A=1/3とすれば特解

yp=13e2ty_p=\frac13e^{2t}

を得る。一般解は

y=C1et+C2e−t+13e2ty=C_1e^t+C_2e^{-t}+\frac13e^{2t}

である。

例 6.4. 方程式

y′′−3y′+2y=ety''-3y'+2y=e^t

では、特性多項式

P(z)=(z−1)(z−2)P(z)=(z-1)(z-2)

が右辺の指数11を単根にもつ。ete^tは斉次解であるため、AetAe^tを代入しても左辺は零になる。重複度m=1m=1に従ってyp=Atety_p=At e^tと置く。移動公式により

P(D)(Atet)=AetP(D+1)t=AetD(D−1)t=−Aet.P(D)(At e^t) =Ae^tP(D+1)t =Ae^tD(D-1)t =-Ae^t.

したがってA=−1A=-1と取れば

yp=−tety_p=-te^t

が特解になる。直接代入してもyp′′−3yp′+2yp=ety_p''-3y_p'+2y_p=e^tを確認することができる。

7 演習

問題 7.1 (定数変化法の転用). 方程式

y′′+y=ty''+y=t

に対して、斉次方程式の基本解系y1=cos⁡ty_1=\cos t、y2=sin⁡ty_2=\sin tと基点t0=0t_0=0を用い、定数変化法で特解を求めよ。得られた特解を直接代入して検算し、一般解を記せ。

解答.

Wronskian はW=1W=1である。定数変化公式から

u1(t)=−∫0tssin⁡s ds=tcos⁡t−sin⁡t,u2(t)=∫0tscos⁡s ds=tsin⁡t+cos⁡t−1\begin{aligned} u_1(t) &=-\int_0^t s\sin s\,ds =t\cos t-\sin t,\\ u_2(t) &=\int_0^t s\cos s\,ds =t\sin t+\cos t-1 \end{aligned}

を得る。したがって、

yp(t)=u1(t)cos⁡t+u2(t)sin⁡t=t−sin⁡ty_p(t)=u_1(t)\cos t+u_2(t)\sin t=t-\sin t

である。実際、yp′′+yp=ty_p''+y_p=tとなる。−sin⁡t-\sin tは斉次解であるため、この特解はより簡単な特解ttと斉次解だけ異なる。よって一般解は

y(t)=C1cos⁡t+C2sin⁡t+ty(t)=C_1\cos t+C_2\sin t+t

である。▨

問題 7.2. 方程式

y′′+y=r(t),r(t)={0(t<0),1(t≥0)y''+y=r(t),\qquad r(t)=\begin{cases}0&(t<0),\\1&(t\ge0)\end{cases}

をI=RI=\R上で考える。基点t0=0t_0=0、初期条件y(0)=y′(0)=0y(0)=y'(0)=0で系 5.1のypy_pを求めよ。また、yp′y_p'が絶対連続であるがC1C^1級でないことと、ypy_pがt=0t=0で二階微分可能でないことを示せ。

解答.

y1=cos⁡ty_1=\cos t、y2=sin⁡ty_2=\sin t、W=1W=1である。r∈Lloc1(R)r\in L^1_{\mathrm{loc}}(\R)であるから、系 5.1により

u1(t)=−∫0tr(s)sin⁡s ds,u2(t)=∫0tr(s)cos⁡s dsu_1(t)=-\int_0^t r(s)\sin s\,ds,\qquad u_2(t)=\int_0^t r(s)\cos s\,ds

が定めるyp=u1cos⁡t+u2sin⁡ty_p=u_1\cos t+u_2\sin tはyp(0)=yp′(0)=0y_p(0)=y_p'(0)=0を満たす特解であり、yp′∈ACloc(R)y_p'\in AC_{\mathrm{loc}}(\R)である。t<0t<0では被積分関数が零であるからu1=u2=0u_1=u_2=0であり、yp=0y_p=0である。t≥0t\ge0では

u1(t)=cos⁡t−1,u2(t)=sin⁡tu_1(t)=\cos t-1,\qquad u_2(t)=\sin t

であるから、

yp(t)=(cos⁡t−1)cos⁡t+sin⁡2t=1−cos⁡ty_p(t)=(\cos t-1)\cos t+\sin^2t=1-\cos t

である。

従ってyp′(t)=0y_p'(t)=0（t<0t<0）、yp′(t)=sin⁡ty_p'(t)=\sin t（t≥0t\ge0）であり、yp′y_p'は連続であり、先に述べたとおり局所絶対連続である。yp′y_p'のt=0t=0での左微分係数は00、右微分係数はcos⁡0=1\cos0=1であるから、yp′y_p'はt=0t=0で微分可能でない。すなわちypy_pはt=0t=0で二階微分可能でなく、方程式はt≠0t\ne0でのみ成り立つ。rrがt=0t=0で不連続であるため、系 5.1のC2C^2級の結論は適用することができず、局所可積分係数と外力を扱う枠組みが必要になる。▨

問題 7.3 (重複度二の共鳴補正). 方程式

(D−1)2y=et(D-1)^2y=e^t

に未定係数法を適用し、一般解を求めよ。試行関数AetAe^tにより特解が与えられない理由と、必要な共鳴補正の次数を説明し、得られた特解を移動公式により検算せよ。

解答.

11は特性多項式(λ−1)2(\lambda-1)^2の重複度二の根であり、ete^tとtette^tはともに斉次解である。したがってAetAe^tを代入すると左辺は零になり、特解を得ることができない。共鳴補正としてyp=At2ety_p=At^2e^tと置く。移動公式から

(D−1)2(At2et)=etD2(At2)=2Aet(D-1)^2(At^2e^t) =e^tD^2(At^2) =2Ae^t

であるため、A=1/2A=1/2と定めればよい。特解はyp=t2et/2y_p=t^2e^t/2であり、一般解は

y(t)=(C1+C2t+12t2)ety(t)=\left(C_1+C_2t+\frac12t^2\right)e^t

である。▨

問題 7.4 (余弦外力との共鳴). 方程式

y′′+y=cos⁡ty''+y=\cos t

に未定係数法を適用して一般解を求めよ。得られた特解ypy_pについて、t≥0t\ge0における上界∣yp(t)∣≤t/2|y_p(t)|\le t/2が等号となる点の存在と、∣yp∣|y_p|の単調性を区別して述べよ。

解答.

特性多項式はP(λ)=λ2+1P(\lambda)=\lambda^2+1であり、iiは単根である。右辺cos⁡t\cos tは系 6.2でα=0\alpha=0、β=1\beta=1、q1=1q_1=1、q2=0q_2=0、d=0d=0、m=1m=1とした場合であるから、

yp=t(acos⁡t+bsin⁡t)y_p=t(a\cos t+b\sin t)

と置くことができる。微分すると

yp′=acos⁡t+bsin⁡t+t(−asin⁡t+bcos⁡t),yp′′=2(−asin⁡t+bcos⁡t)−t(acos⁡t+bsin⁡t)y_p'=a\cos t+b\sin t+t(-a\sin t+b\cos t), \qquad y_p''=2(-a\sin t+b\cos t)-t(a\cos t+b\sin t)

であるから、

yp′′+yp=2(−asin⁡t+bcos⁡t)y_p''+y_p=2(-a\sin t+b\cos t)

となる。これがcos⁡t\cos tに等しいのでa=0a=0、b=1/2b=1/2であり、yp=t2sin⁡ty_p=\tfrac t2\sin t、一般解は

y(t)=C1cos⁡t+C2sin⁡t+t2sin⁡ty(t)=C_1\cos t+C_2\sin t+\frac{t}{2}\sin t

である。

t≥0t\ge0では特解の絶対値は

∣yp(t)∣=t2∣sin⁡t∣≤t2|y_p(t)|=\frac{t}{2}|\sin t|\le\frac{t}{2}

を満たし、t=π/2+kπt=\pi/2+k\pi（k=0,1,2,…k=0,1,2,\ldots）では等号が成り立つ。従って上界t/2t/2は実際に到達され、ttとともに増大する。一方、∣yp(π/2)∣=π/4|y_p(\pi/2)|=\pi/4であるが∣yp(π)∣=0|y_p(\pi)|=0であるから、∣yp(t)∣|y_p(t)|自身は[0,∞)[0,\infty)上で単調増加ではない。▨

問題 7.5 (正割外力と定数変化法). 区間I=(−π/2,π/2)I=(-\pi/2,\pi/2)上の方程式

y′′+y=sec⁡ty''+y=\sec t

に定数変化法を適用して一般解を求めよ。また、未定係数法をこの外力へ適用することができない理由を、有限個の指数関数、多項式、正弦関数および余弦関数から作られる外力との比較によって説明せよ。

解答.

斉次方程式の基本解系としてy1=cos⁡ty_1=\cos t、y2=sin⁡ty_2=\sin tを取り、基点を00とする。Wronskian はW=1W=1である。定数変化公式から

u1(t)=−∫0tsin⁡ssec⁡s ds=−∫0ttan⁡s ds=log⁡(cos⁡t),u2(t)=∫0tcos⁡ssec⁡s ds=∫0t1 ds=t\begin{aligned} u_1(t) &=-\int_0^t \sin s\sec s\,ds =-\int_0^t\tan s\,ds =\log(\cos t),\\ u_2(t) &=\int_0^t \cos s\sec s\,ds =\int_0^t1\,ds =t \end{aligned}

を得る。II上ではcos⁡t>0\cos t>0であるため、log⁡(cos⁡t)\log(\cos t)は実数として定義される。したがって

yp(t)=cos⁡tlog⁡(cos⁡t)+tsin⁡ty_p(t)=\cos t\log(\cos t)+t\sin t

は特解である。実際、二回微分して整理すると

yp′′+yp=sin⁡2tcos⁡t+cos⁡t=sec⁡ty_p''+y_p =\frac{\sin^2 t}{\cos t}+\cos t =\sec t

となる。よって一般解は

y(t)=C1cos⁡t+C2sin⁡t+cos⁡tlog⁡(cos⁡t)+tsin⁡ty(t)=C_1\cos t+C_2\sin t+\cos t\log(\cos t)+t\sin t

である。

未定係数法が扱う外力の有限和は、指数関数、多項式、正弦関数および余弦関数の積からなり、R\R全体で連続であり、とくにt→±π/2t\to\pm\pi/2で有限の極限をもつ。これに対してsec⁡t\sec tはIIの両端へ近づくと発散するため、そのような有限和ではない。したがって未定係数法の試行関数は適用することができないが、II上でsec⁡t\sec tは連続であるため定数変化法は適用することができる。▨

参考文献

  1. Earl A. Coddington, An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1989, originally published 1961.非同次線形方程式の解集合、定数変化法、未定係数法を参考にした。
  2. Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2012.基本行列による定数変化公式と共鳴時の試行関数を参考にした。

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