§E13.25非線形境界値問題

証明.$P=Q=0$、$(\alpha_a,\beta_a)=(\alpha_b,\beta_b)=(1,0)$の分離型二点境界値問題を考える。§E13.24 補題 3.2の$u,v$は$u(x)=a-x$、$v(x)=b-x$であり、$W=uv'-u'v=b-a\neq0$である。同補題の三条件の同値により、この問題の境界核は自明である。§E13.24 定義 3.3の Green 関数は上の$G$に一致し、§E13.24 定理 3.4により、$G$は連続であり、$x\neq s$に対して

である。同定理により、$y''=g$、$y(a)=y(b)=0$を満たす$y\in C^1([a,b];\C)$、$y'\in AC([a,b];\C)$はただ一つ存在し、すべての$x\in[a,b]$で

が成り立つ。$g$は実数値なので$y$は実数値である。

$x,s\in[a,b]$に対して、$x\leq s$ならば$(x-a)(b-s)\leq(s-a)(b-s)$、$s\leq x$ならば$(s-a)(b-x)\leq(s-a)(b-s)$であるから、$(s-a)(b-s)\leq\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^2$と合わせて

である。従って$\|y\|_\infty\leq\frac{b-a}4\|g\|_1$である。$x\neq s$では$0\leq b-s\leq b-a$、$0\leq s-a\leq b-a$により$|\partial_xG(x,s)|\leq1$であり、$\|y'\|_\infty\leq\|g\|_1$である。▨

証明.$F:[a,b]\times\R^2\to\R^2$を$F(x,u,v)=(v,f(x,u,v))$で定め、$\R^2$には定義 1.1のノルム$\|(u,v)\|=|u|+|v|$を用いる。$N$を$f$の Carathéodory 型の零集合とし、$N_0=N\cup N'$とおく。各$(u,v)\in\R^2$に対して$x\mapsto F(x,u,v)$は可測であり、$x\in[a,b]\setminus N_0$に対して$(u,v)\mapsto F(x,u,v)$は連続である。$\rho>0$、$x\in[a,b]\setminus N_0$、$(u,v),(\bar u,\bar v)\in B_\rho$に対して$\|F(x,u,v)\|\leq\rho+|m(x)|$であり、

である。$\R^2$の任意の閉球はある$B_\rho$に含まれるので、$[a,b]$に含まれる長さが正の各閉区間$J$と$\R^2$の各閉球$B$について、$F$の$J\times B$への制限は§E13.4 定義 2.1の Carathéodory 条件を満たし、時間について可積分な Lipschitz 係数をもつ。また、$x\in[a,b]\setminus N_0$とすべての$(u,v)\in\R^2$に対して$\|F(x,u,v)\|\leq|m(x)|+\|(u,v)\|$である。

$s\in\R$とし、$y\in C^1([a,b];\R)$、$y'\in AC([a,b])$が$y(a)=A$、$y'(a)=s$を満たす$y''=f(x,y,y')$の解であることと、$Y=(y,y')$が$[a,b]$上の絶対連続関数として$Y'=F(x,Y)$をほとんど至る所で満たし$Y(a)=(A,s)$を満たすことは同値である。実際、$Y=(u,v)$が後者を満たすならば、$u'=v$がほとんど至る所で成り立ち、§E13.2 系 2.6により$u(x)=A+\int_a^xv(t)\,dt$である。$v$は連続なので$u\in C^1$、$u'=v$が全点で成り立ち、$v=u'\in AC$、$u''=v'=f(x,u,u')$である。逆は、$y\in C^1([a,b];\R)$が Lipschitz 連続であり絶対連続であることから従う。

§E13.7 定理 4.1を$d=2$、$I=[a,b]$、$t_*=a$、初期値$(A,s)$、$p=|m|$、$q=1$に適用すると、$Y(a)=(A,s)$を満たし$[a,b]$のほとんど至る所で$Y'=F(x,Y)$を満たす$Y\in AC([a,b];\R^2)$がただ一つ存在する。前段の同値により、$y(a)=A$、$y'(a)=s$を満たす$y''=f(x,y,y')$の解$y(\cdot\,;s)$がただ一つ存在する。

§E13.2 系 2.6により、$a\leq x\leq b$に対して

であるから、$|y'(x;s)-s|\leq\|m\|_1$、$|y(x;s)|\leq|A|+(|s|+\|m\|_1)(b-a)$である。特に

である。

$s_0\in\R$とし、$\rho_0=|A|+(|s_0|+1+\|m\|_1)(b-a+1)$とおく。$|s-s_0|\leq1$ならば、前段の評価により$Y_s=(y(\cdot\,;s),y'(\cdot\,;s))$はすべての$x\in[a,b]$で$\|Y_s(x)\|\leq\rho_0$を満たす。$|s-s_0|\leq1$とし、§E13.7 定理 2.1を$d=2$、$S=[a,b]\times B_{\rho_0}$、二つの右辺$F,F$、二解$Y_{s_0},Y_s$、$t_0=a$、$\ell=1+\ell_{\rho_0}$、$r=0$に適用すると、$\Lambda=\exp\bigl(\int_a^b(1+\ell_{\rho_0}(x))\,dx\bigr)$に対して

である。従って$|y(b;s)-y(b;s_0)|\leq\Lambda|s-s_0|$であり、$s\mapsto y(b;s)$は$s_0$で連続である。

$B\in\R$とし、$C=(b-a)\|m\|_1$、$s_1=\frac{B-A+C}{b-a}$、$s_2=\frac{B-A-C}{b-a}$とおく。上の評価から$y(b;s_1)\geq A+s_1(b-a)-C=B$、$y(b;s_2)\leq A+s_2(b-a)+C=B$である。$C=0$のときは$s_1=s_2$であり、$y(b;s_1)=B$である。$C>0$のとき、$s\mapsto y(b;s)$は$[s_2,s_1]$上で連続なので、§D1.12 系 1.2により$y(b;s)=B$となる$s\in[s_2,s_1]$が存在する。$y(\cdot\,;s)$は求める解である。▨

証明.$X=C^1([a,b];\R)$に、ノルム

を入れる。$(y_n)$が$\|\cdot\|_*$について Cauchy 列ならば、$y_n$と$y_n'$は$[a,b]$上で一様収束し、極限を$y$、$v$とすると、$y_n(x)=y_n(a)+\int_a^xy_n'(t)\,dt$の極限から$y(x)=y(a)+\int_a^xv(t)\,dt$を得る。従って$y\in C^1$、$y'=v$であり、$y_n\to y$である。以上より、$X$は完備である。

$h(x)=A+\frac{B-A}{b-a}(x-a)$とおく。$y\in X$に対して$g_y(s)=f(s,y(s),y'(s))$とおく。$\rho=\|y\|_\infty+\|y'\|_\infty+1$とし、§E13.4 補題 2.3を$d=2$、$J=[a,b]$、閉球$B_\rho$と、可測写像$s\mapsto(y(s),y'(s))$に適用すると、$g_y$は可測であり、$|g_y|\leq m_\rho$なので$g_y\in L^1(a,b)$である。

と定める。補題 1.2により、$Ty\in X$、$(Ty)'\in AC$、$(Ty)''=g_y$がほとんど至る所で成り立ち、$(Ty)(a)=A$、$(Ty)(b)=B$である。

$y$が境界値問題の解であることと、$Ty=y$であることは同値である。実際、$y$が解ならば$g_y\in L^1$であり、$y-h$は$(y-h)''=g_y$、$(y-h)(a)=(y-h)(b)=0$を満たすので、補題 1.2の一意性により$y-h=\int G g_y$、すなわち$Ty=y$である。逆は、$Ty=y$ならば$y''=g_y$がほとんど至る所で成り立ち、$y(a)=A$、$y(b)=B$であることから従う。

$y,z\in X$とし、$w=y-z$とおく。$s\notin N'$について$|g_y(s)-g_z(s)|\leq\ell_0(s)|w(s)|+\ell_1(s)|w'(s)|$である。$\|w\|_\infty\leq\frac{b-a}4\|w\|_*$、$\|w'\|_\infty\leq\|w\|_*$により

である。補題 1.2を$g=g_y-g_z$に適用すると、$Ty-Tz$は$g_y-g_z$に対応する Dirichlet 問題の解であるから、$\|Ty-Tz\|_\infty\leq\frac{b-a}4\|g_y-g_z\|_1$、$\|(Ty-Tz)'\|_\infty\leq\|g_y-g_z\|_1$であり、$\|Ty-Tz\|_*\leq\kappa\|y-z\|_*$を得る。$\kappa<1$なので、§E2.7 定理 2.2により$T$はただ一つの不動点をもつ。▨

証明.$k=\pi/L$、$\varphi(x)=\sin k(x-a)$とおく。$k^2$は、§E13.24 例 2.2の第一固有値$\lambda_1$（長さ$L$の区間、$n=1$）であり、$\varphi$はその固有関数である。$x\in(a,b)$ならば$0<k(x-a)<\pi$であるから$\varphi(x)>0$であり、$g=\varphi'/\varphi$は$(a,b)$上で$C^1$級である。$\varphi''=-k^2\varphi$により

であるから、$(a,b)$上で

が成り立つ。

$M=\max_{[a,b]}|z'|$とおく。$z(a)=z(b)=0$と平均値の定理により、$x\in[a,b]$に対して$|z(x)|\leq M(x-a)$、$|z(x)|\leq M(b-x)$である。$\varphi(a)=0$、$\varphi'(a)=k>0$であるから、ある$\delta\in(0,L/2)$が存在し、$a<x\leq a+\delta$ならば$\varphi(x)\geq\frac k2(x-a)$である。$\varphi(x)=\sin k(b-x)$でもあるから、同じ$\delta$について$b-\delta\leq x<b$ならば$\varphi(x)\geq\frac k2(b-x)$である。$|\varphi'|\leq k$と合わせると、$a<x\leq a+\delta$ならば

であり、$b-\delta\leq x<b$ならば$|g(x)z(x)^2|\leq2M^2(b-x)$である。

$0<\varepsilon\leq\delta$とする。$gz^2$は$[a+\varepsilon,b-\varepsilon]$上で$C^1$級であり、従って Lipschitz 連続で絶対連続であるから、§E13.2 系 2.6により

である。$z'^2-k^2z^2$は$[a,b]$上で連続であるから、$\varepsilon\to0$とすると$\int_a^b\bigl(z'^2-k^2z^2\bigr)\,dx\geq0$を得る。$k^{-2}=(L/\pi)^2$であるから、これは主張の不等式である。▨

証明.$y,\bar y$を二つの解とし、$z=y-\bar y$とおく。$z\in C^1$、$z'\in AC$、$z(a)=z(b)=0$であり、ほとんど至る所で$z''=f(x,y)-f(x,\bar y)$である。§E13.2 定理 3.4を$z'$と$z$に適用すると、$z(a)=z(b)=0$により

である。仮定により、ほとんどすべての$x$で$z''(x)z(x)\geq-Kz(x)^2$であるから、$K_+=\max\{K,0\}$とおくと

である。補題 4.1により右辺は$K_+\bigl(\frac{b-a}\pi\bigr)^2\int_a^bz'^2\,dx$以下であり、$K_+\bigl(\frac{b-a}\pi\bigr)^2<1$なので$\int_a^bz'^2\,dx=0$である。$z'$は連続なので$z'=0$であり、$z(a)=0$により$z=0$である。▨

証明.§E13.2 系 2.6により、$\alpha\leq s<t\leq\beta$に対して$w'(t)-w'(s)=\int_s^tw''(r)\,dr\leq0$である。従って$w'$は単調非増加である。$w(x)<0$となる$x\in(\alpha,\beta)$が存在すると仮定する。平均値の定理により、$\xi_1\in(\alpha,x)$と$\xi_2\in(x,\beta)$が存在して

となる。$\xi_1<\xi_2$なので$w'(\xi_1)\geq w'(\xi_2)$でなければならないが、これは$w'(\xi_1)<0<w'(\xi_2)$と両立しない。▨

証明.$U=\{x\in[a,b]:w(x)<0\}$が空でないと仮定する。$w(a),w(b)\geq0$なので$U\subseteq(a,b)$であり、$U$は開集合である。$U$の連結成分$(\alpha,\beta)$を取る。$\alpha\notin U$なので$w(\alpha)\geq0$であり、$w$は連続で$(\alpha,\beta)$上で$w<0$なので$w(\alpha)\leq0$である。従って$w(\alpha)=0$であり、同様に$w(\beta)=0$である。ほとんどすべての$x\in(\alpha,\beta)$で$w''(x)\leq0$なので、補題 5.1により$[\alpha,\beta]$上で$w\geq0$である。これは$(\alpha,\beta)$上で$w<0$であることと両立しない。▨