分岐 | 常微分方程式論

1 分岐点

定義 1.1. $n\in\NN$ とし、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $\Lambda\subseteq\R$ を開区間、 $F:U\times\Lambda\to\R^n$ を連続写像とし、 $(x_0,\mu_0)\in U\times\Lambda$ が $F(x_0,\mu_0)=0$ を満たすとする。 $\mu_0$ を含む開区間 $\Lambda_0\subseteq\Lambda$ 、 $x_0$ の開近傍 $B\subseteq U$ と連続写像 $\xi:\Lambda_0\to B$ の組であって、 $(y,\mu)\in B\times\Lambda_0$ について $F(y,\mu)=0$ であることと $y=\xi(\mu)$ であることが同値になるものが存在しないとき、 $(x_0,\mu_0)$ を族 $x'=F(x,\mu)$ の分岐点 (bifurcation point) という。 $(x_0,\mu_0)$ が分岐点であるとき、族 $x'=F(x,\mu)$ の平衡点は $(x_0,\mu_0)$ で分岐 (bifurcation) するという。

注意 1.2.定義 1.1の分岐点は平衡点の集合だけで定まる変種であり、パラメータの変化による相図の位相的な型の変化で分岐を定める定式化とは一致しない。たとえば $n=2$ 、 $U=\R^2$ 、 $\Lambda=\R$ 、 $F(x,\mu)=A(\mu)x$ 、 $A(\mu)=\begin{pmatrix}\mu&-1\\1&\mu\end{pmatrix}$ とする。このとき、 $\det A(\mu)=\mu^2+1>0$ であるから、各 $\mu$ について平衡点は原点だけであり、 $\Lambda_0=\R$ 、 $B=\R^2$ 、 $\xi\equiv0$ の組により $(0,0)$ は定義 1.1の意味の分岐点でない。一方、 $A(\mu)$ の固有値は $\mu\pm i$ であるから、原点は $\mu<0$ で漸近安定、 $\mu>0$ で不安定である（ $F(\cdot,\mu)$ は $C^1$ 級であり、§E13.4 補題 4.2により局所 Lipschitz 連続であるから、§E13.16 定理 4.5 (1)と§E13.16 定理 4.5 (2)を $W=\R^2$ として適用する）。

2 $C^k$ 級の陰関数定理

補題 2.1. $n,m,k\in\NN$ とし、 $U\subseteq\R^n\times\R^m$ を開集合、 $F:U\to\R^m$ を $C^k$ 級の写像とする。 $(a,b)\in U$ が $F(a,b)=0$ を満たし、 $D_yF(a,b)$ が可逆であるとする。このとき、 $a$ の開近傍 $A\subseteq\R^n$ 、 $b$ の開近傍 $B\subseteq\R^m$ と $C^k$ 級の写像 $g:A\to B$ が存在して、次が成り立つ。

$(x,y)\in A\times B$ について、 $F(x,y)=0$ であることと $y=g(x)$ であることは同値である。特に $g(a)=b$ である。
$x\in A$ について $D_yF(x,g(x))$ は可逆であり、 $Dg(x)=-D_yF(x,g(x))^{-1}D_xF(x,g(x))$ である。

証明.§E4.8 定理 2.1により、 $A$ 、 $B$ と $C^1$ 級の写像 $g:A\to B$ で主張 (1)と主張 (2)を満たすものが存在する。 $k=1$ のときはこれで主張を得る。

$C^0$ 級は連続を意味する。§E4.4 定理 1.7により、 $j\ge0$ について、開集合の上の写像が $C^{j+1}$ 級であることは、その一階偏導関数がすべて存在して $C^j$ 級であることと同値である。この同値と、 $\partial_i(\varphi\psi)=\varphi\,\partial_i\psi+\psi\,\partial_i\varphi$ 、 $\partial_i(1/\varphi)=-\partial_i\varphi/\varphi^2$ から、 $j$ についての帰納法により、 $C^j$ 級の実数値関数の和と積、および零にならない $C^j$ 級の実数値関数の逆数は $C^j$ 級である。

$0\le j\le k-1$ について、 $U$ の上の任意の $C^j$ 級の実数値関数 $\Phi$ について $x\mapsto\Phi(x,g(x))$ が $A$ の上で $C^j$ 級であることを、 $(\mathrm C_j)$ と書く。 $j=0$ のとき、 $(\mathrm C_0)$ は $g$ の連続性と§E4.1 命題 4.1 (4)から従い、 $g$ は上で得たとおり $C^1$ 級である。 $1\le j\le k-1$ とし、 $(\mathrm C_{j-1})$ が成り立ち、 $g$ が $C^j$ 級であると仮定する。 $\Phi$ を $U$ の上の $C^j$ 級の実数値関数とする。連鎖律（§E4.3 定理 1.1）により

\partial_{x_i}\bigl(\Phi(x,g(x))\bigr)=(\partial_{x_i}\Phi)(x,g(x))+\sum_{l=1}^m(\partial_{y_l}\Phi)(x,g(x))\,\partial_{x_i}g_l(x)

である。 $\partial_{x_i}\Phi$ 、 $\partial_{y_l}\Phi$ は $C^{j-1}$ 級であるから、 $(\mathrm C_{j-1})$ により右辺の $(\partial_{x_i}\Phi)(x,g(x))$ 、 $(\partial_{y_l}\Phi)(x,g(x))$ は $C^{j-1}$ 級であり、 $g$ は $C^j$ 級であるから $\partial_{x_i}g_l$ は $C^{j-1}$ 級である。したがって $x\mapsto\Phi(x,g(x))$ の一階偏導関数は $C^{j-1}$ 級であり、 $x\mapsto\Phi(x,g(x))$ は $C^j$ 級である。これで $(\mathrm C_j)$ を得る。 $D_xF$ 、 $D_yF$ の成分は $U$ の上の $C^{k-1}$ 級、したがって $C^j$ 級の関数であるから、 $(\mathrm C_j)$ により $x\mapsto D_xF(x,g(x))$ 、 $x\mapsto D_yF(x,g(x))$ の成分は $C^j$ 級である。 $m=1$ のとき $D_yF(x,g(x))^{-1}=1/D_yF(x,g(x))$ であり、 $m\ge2$ のとき§D3.4 定理 7.4により $D_yF(x,g(x))^{-1}$ は余因子行列を行列式で割ったものである。余因子と行列式は成分の多項式であり、行列式は $A$ の上で $0$ でないから、 $D_yF(x,g(x))^{-1}$ の成分は $C^j$ 級である。主張 (2)により $g$ の一階偏導関数は $C^j$ 級であり、 $g$ は $C^{j+1}$ 級である。 $j$ についての帰納法により、 $0\le j\le k-1$ について $(\mathrm C_j)$ が成り立ち、 $g$ は $C^{j+1}$ 級である。 $j=k-1$ とすれば、 $g$ は $C^k$ 級である。▨

3 平衡点の持続

定義 3.1. $n\in\NN$ とし、 $A\in\C^{n\times n}$ の特性多項式を $\chi_A(z)=\det(zI_n-A)$ とする。 $\lambda\in\C$ が $A$ の固有値であることは $\chi_A(\lambda)=0$ と同値である（§E3.20 命題 3.1）。固有値 $\lambda$ の $\chi_A$ の根としての重複度を、 $\lambda$ の代数的重複度 (algebraic multiplicity) という。代数的重複度が $1$ である固有値を、代数的に単純 (algebraically simple) であるという。§D3.12 定理 1.3により、 $A$ は代数的重複度を込めてちょうど $n$ 個の固有値をもつ。実行列は複素行列とみなす。

補題 3.2. $n,p\in\NN$ とし、 $T\subseteq\R^p$ 、 $t_0\in T$ とし、 $A:T\to\R^{n\times n}$ は $t_0$ で連続であるとする。このとき、次が成り立つ。

$\Gamma\subseteq\C$ を辺が座標軸に平行な閉長方形とし、 $\partial\Gamma$ の上に $A(t_0)$ の固有値は無いとする。このとき、 $\delta>0$ が存在して、 $t\in T$ 、 $\lVert t-t_0\rVert<\delta$ ならば、 $\partial\Gamma$ の上に $A(t)$ の固有値は無く、 $\Gamma$ の内部にある $A(t)$ の固有値の個数（代数的重複度を込める）は $A(t_0)$ のそれに等しい。
$r\in\NN$ とし、 $\Gamma_1,\ldots,\Gamma_r\subseteq\C$ を辺が座標軸に平行な互いに素な閉長方形とする。 $A(t_0)$ の固有値はすべて $\Gamma_1,\ldots,\Gamma_r$ のいずれかの内部にあるとする。このとき、 $\delta>0$ が存在して、 $t\in T$ 、 $\lVert t-t_0\rVert<\delta$ ならば、 $A(t)$ の固有値はすべて $\Gamma_1,\ldots,\Gamma_r$ のいずれかの内部にあり、各 $j$ について $\Gamma_j$ の内部にある $A(t)$ の固有値の個数（代数的重複度を込める）は $A(t_0)$ のそれに等しい。
$\Gamma\subseteq\C$ を辺が座標軸に平行で実軸について対称な閉長方形とし、 $t\in T$ について、 $\Gamma$ の内部にある $A(t)$ の固有値の個数（代数的重複度を込める）は $1$ であるとする。このとき、その固有値は実数で代数的に単純である。特に、 $\partial\Gamma$ の上に $A(t_0)$ の固有値は無く、 $\Gamma$ の内部にある $A(t_0)$ の固有値の個数が $1$ であるならば、主張 (1)の $\delta$ について、 $t\in T$ 、 $\lVert t-t_0\rVert<\delta$ のとき、 $\Gamma$ の内部にある $A(t)$ の固有値はちょうど一個であり、それは実数で代数的に単純である。
$c\in\R$ とし、直線 $\{z\in\C:\Re z=c\}$ の上に $A(t_0)$ の固有値は無いとする。このとき、 $\delta>0$ が存在して、 $t\in T$ 、 $\lVert t-t_0\rVert<\delta$ ならば、直線 $\{z\in\C:\Re z=c\}$ の上に $A(t)$ の固有値は無く、 $\Re z<c$ にある $A(t)$ の固有値の個数と $\Re z>c$ にある $A(t)$ の固有値の個数（ともに代数的重複度を込める）は、それぞれ $A(t_0)$ のそれに等しい。

証明.主張 (1)を示す。 $f=\chi_{A(t_0)}$ 、 $g_t=\chi_{A(t)}-f$ とおく。 $B\in\R^{n\times n}$ について $\chi_B(z)=z^n+\sum_{j=0}^{n-1}c_j(B)z^j$ と書くと、 $c_j(B)$ は $B$ の成分の多項式であるから $c_j(A(t))\to c_j(A(t_0))$ （ $t\to t_0$ 、 $t\in T$ ）である。 $\partial\Gamma$ はコンパクトで $f$ は $\partial\Gamma$ の上で零点をもたない連続関数であるから、 $m=\min_{z\in\partial\Gamma}\lvert f(z)\rvert>0$ である。 $K=\max_{z\in\partial\Gamma}\max\{1,\lvert z\rvert\}^n$ とおくと、 $z\in\partial\Gamma$ について $\lvert g_t(z)\rvert\le K\sum_{j=0}^{n-1}\lvert c_j(A(t))-c_j(A(t_0))\rvert$ である。したがって $\delta>0$ が存在して、 $\lVert t-t_0\rVert<\delta$ ならば $\partial\Gamma$ の上で $\lvert g_t\rvert<m\le\lvert f\rvert$ である。このとき $\partial\Gamma$ の上で $\lvert f+g_t\rvert\ge\lvert f\rvert-\lvert g_t\rvert>0$ であるから、 $\partial\Gamma$ の上に $\chi_{A(t)}=f+g_t$ の零点は無い。§E5.14 系 3.3（ $D=\C$ ）により、 $f$ と $f+g_t$ は $\Gamma$ の内部に位数込みで同数の零点をもつ。零点の位数は固有値の代数的重複度である。

主張 (2)を示す。 $\Gamma_j$ は互いに素であり、 $A(t_0)$ の固有値はすべていずれかの $\Gamma_j$ の内部にあるから、 $\partial\Gamma_j$ の上に $A(t_0)$ の固有値は無く、 $\Gamma_j$ の内部にある $A(t_0)$ の固有値の個数の $j$ についての和は $n$ である。各 $\Gamma_j$ に主張 (1)を適用して $\delta_j>0$ を取り、 $\delta=\min_j\delta_j$ とおく。 $\lVert t-t_0\rVert<\delta$ ならば、 $\Gamma_j$ の内部にある $A(t)$ の固有値の個数は $A(t_0)$ のそれに等しく、その和は $n$ である。 $\Gamma_j$ の内部は互いに素であり、 $A(t)$ は代数的重複度を込めてちょうど $n$ 個の固有値をもつから、 $A(t)$ の固有値はすべていずれかの $\Gamma_j$ の内部にある。

主張 (3)を示す。 $\Gamma$ の内部にある $A(t)$ の固有値を $\lambda$ とすると、その代数的重複度は $1$ である。 $A(t)$ は実行列であるから $\chi_{A(t)}$ は実係数であり、 $\chi_{A(t)}(\bar\lambda)=\overline{\chi_{A(t)}(\lambda)}=0$ である。 $\Gamma$ は実軸について対称であるから $\bar\lambda$ も $\Gamma$ の内部にある。 $\lambda\notin\R$ ならば $\bar\lambda\ne\lambda$ は $\Gamma$ の内部にある第二の固有値であり、 $\Gamma$ の内部の固有値が一個であることに反する。したがって $\lambda\in\R$ である。後半は主張 (1)と前半から従う。

主張 (4)を示す。 $\eta=\min\{\lvert\Re\lambda-c\rvert:\lambda$ は $A(t_0)$ の固有値 $\}>0$ 、 $\rho=1+\lvert c\rvert+\eta+\max\{\lvert\lambda\rvert:\lambda$ は $A(t_0)$ の固有値 $\}$ とし、閉長方形

L_c=\{z\in\C:-\rho\le\Re z\le c-\eta/2,\ \lvert\Im z\rvert\le\rho\},\qquad R_c=\{z\in\C:c+\eta/2\le\Re z\le\rho,\ \lvert\Im z\rvert\le\rho\}

を取る。 $-\rho<c-\eta/2<c+\eta/2<\rho$ であるから、 $L_c$ と $R_c$ は互いに素である。 $A(t_0)$ の固有値 $\lambda$ は $\lvert\Re\lambda\rvert\le\lvert\lambda\rvert<\rho$ 、 $\lvert\Im\lambda\rvert<\rho$ を満たし、 $\Re\lambda\le c-\eta$ または $\Re\lambda\ge c+\eta$ であるから、 $\Re\lambda<c$ ならば $L_c$ の内部にあり、 $\Re\lambda>c$ ならば $R_c$ の内部にある。主張 (2)（ $r=2$ 、 $\Gamma_1=L_c$ 、 $\Gamma_2=R_c$ ）により、 $\delta>0$ が存在して、 $t\in T$ 、 $\lVert t-t_0\rVert<\delta$ ならば、 $A(t)$ の固有値はすべて $L_c$ または $R_c$ の内部にあり、 $L_c$ の内部にある $A(t)$ の固有値の個数と $R_c$ の内部にある $A(t)$ の固有値の個数は、それぞれ $A(t_0)$ のそれに等しい。 $L_c$ の内部の点の実部は $c$ より小さく、 $R_c$ の内部の点の実部は $c$ より大きいから、直線 $\{z\in\C:\Re z=c\}$ の上に $A(t)$ の固有値は無く、 $\Re z<c$ にある $A(t)$ の固有値は $L_c$ の内部にあるものであり、 $\Re z>c$ にある $A(t)$ の固有値は $R_c$ の内部にあるものである。 $t=t_0$ についても同じであるから、主張を得る。▨

定理 3.3. $n,k\in\NN$ とし、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $\Lambda\subseteq\R$ を開区間、 $F\in C^k(U\times\Lambda,\R^n)$ とする。 $(x_0,\mu_0)\in U\times\Lambda$ が $F(x_0,\mu_0)=0$ を満たし、 $D_xF(x_0,\mu_0)$ が可逆であるとする。このとき、次が成り立つ。

$\mu_0$ を含む開区間 $\Lambda_0\subseteq\Lambda$ 、 $x_0$ の開近傍 $B\subseteq U$ と $C^k$ 級の写像 $\xi:\Lambda_0\to B$ が存在して、 $(y,\mu)\in B\times\Lambda_0$ について $F(y,\mu)=0$ であることと $y=\xi(\mu)$ であることは同値である。 $\xi(\mu_0)=x_0$ であり、 $\mu\in\Lambda_0$ について $D_xF(\xi(\mu),\mu)$ は可逆で、 $\xi'(\mu)=-D_xF(\xi(\mu),\mu)^{-1}D_\mu F(\xi(\mu),\mu)$ である。
主張 (1)の $\Lambda_0$ と $\xi$ について、 $D_xF(x_0,\mu_0)$ が双曲型行列であるとする。このとき、 $\Lambda_0$ を縮めれば、すべての $\mu\in\Lambda_0$ について $D_xF(\xi(\mu),\mu)$ は双曲型行列であり、実部が負の固有値の個数と実部が正の固有値の個数（ともに代数的重複度を込める）は $\mu$ によらない。したがって、 $D_xF(\xi(\mu),\mu)$ で不変な部分空間 $E^s,E^u$ であって、 $\R^n=E^s\oplus E^u$ を満たし、 $D_xF(\xi(\mu),\mu)$ の $E^s$ への制限の固有値の実部がすべて負、 $E^u$ への制限の固有値の実部がすべて正であるもの（§E13.12 補題 6.7 (3)により存在する）について、 $\dim E^s$ と $\dim E^u$ は $\mu$ によらない。
$(x_0,\mu_0)$ は族 $x'=F(x,\mu)$ の分岐点でない。

証明.主張 (1)を示す。 $\tilde U=\{(\mu,y)\in\R\times\R^n:(y,\mu)\in U\times\Lambda\}$ は開集合であり、 $\tilde F(\mu,y)=F(y,\mu)$ は $\tilde U$ の上の $C^k$ 級の写像で、 $\tilde F(\mu_0,x_0)=0$ 、 $D_y\tilde F(\mu_0,x_0)=D_xF(x_0,\mu_0)$ は可逆である。補題 2.1（ $n=1$ 、 $m=n$ ）により、 $\mu_0$ の開近傍 $A$ 、 $x_0$ の開近傍 $B$ と $C^k$ 級の写像 $\xi:A\to B$ が存在して、補題 2.1 (1)と補題 2.1 (2)が成り立つ。 $A\cap\Lambda$ に含まれる $\mu_0$ を含む開区間を $\Lambda_0$ とし、 $\xi$ を $\Lambda_0$ へ制限すれば、主張を得る。

主張 (2)を示す。 $A_\mu=D_xF(\xi(\mu),\mu)$ とおく。 $D_xF$ は連続で $\xi$ は連続であるから、 $\mu\mapsto A_\mu$ は連続である。 $A_{\mu_0}$ の固有値のうち実部が負のものの個数を $n_s$ 、実部が正のものの個数を $n_u$ とする（代数的重複度を込める）。 $A_{\mu_0}$ は双曲型であるから、直線 $\{z\in\C:\Re z=0\}$ の上に $A_{\mu_0}$ の固有値は無い。補題 3.2 (4)（ $T=\Lambda_0$ 、 $t_0=\mu_0$ 、 $c=0$ ）により、 $\Lambda_0$ を縮めれば、すべての $\mu\in\Lambda_0$ について、実部が $0$ の $A_\mu$ の固有値は無く、実部が負の固有値の個数は $n_s$ 、実部が正の固有値の個数は $n_u$ である。したがって $A_\mu$ は双曲型であり、これらの個数は $\mu$ によらない。

$\mu\in\Lambda_0$ とし、 $E^s,E^u$ を、 $A_\mu$ で不変で $\R^n=E^s\oplus E^u$ を満たし、 $A_\mu|_{E^s}$ の固有値の実部がすべて負、 $A_\mu|_{E^u}$ の固有値の実部がすべて正である部分空間とする。そのような $E^s,E^u$ は、§E13.12 補題 6.7（ $\mathbb K=\R$ 、 $d=n$ ）を $A_\mu$ に適用したものとして存在する（§E13.12 補題 6.7 (3)）。 $\chi_{A_\mu}=\chi_{A_\mu|_{E^s}}\chi_{A_\mu|_{E^u}}$ であり、 $\chi_{A_\mu|_{E^s}}$ の根の実部はすべて負、 $\chi_{A_\mu|_{E^u}}$ の根の実部はすべて正であるから、 $\dim E^s=n_s$ 、 $\dim E^u=n_u$ である。

主張 (3)を示す。主張 (1)の $\Lambda_0$ 、 $B$ 、 $\xi$ について、 $\Lambda_0$ は $\mu_0$ を含む開区間、 $B$ は $x_0$ の開近傍、 $\xi:\Lambda_0\to B$ は $C^k$ 級であるから連続であり、 $(y,\mu)\in B\times\Lambda_0$ について $F(y,\mu)=0$ であることと $y=\xi(\mu)$ であることは同値である。 $F$ は連続であるから、定義 1.1により $(x_0,\mu_0)$ は分岐点でない。▨

4 単純固有値の摂動

補題 4.1. $n\in\NN$ とし、 $A\in\C^{n\times n}$ の固有値 $\lambda_0$ が代数的に単純であるとする。このとき、次が成り立つ。

$\ker(A-\lambda_0I_n)$ は一次元である。
$w^*(A-\lambda_0I_n)=0$ を満たす $w\in\C^n\setminus\{0\}$ が存在し、そのようなすべての $w$ とすべての $v_0\in\ker(A-\lambda_0I_n)\setminus\{0\}$ について $w^*v_0\ne0$ である。
$w$ を主張 (2)のものとするとき、 $\operatorname{im}(A-\lambda_0I_n)=\{y\in\C^n:w^*y=0\}$ である。
$A$ が実行列で $\lambda_0\in\R$ ならば、主張 (1)の核の生成元 $v_0$ と主張 (2)の $w$ を、実ベクトルに取ることができる。

証明. $\lambda_0$ は固有値であるから、 $v_0\in\ker(A-\lambda_0I_n)\setminus\{0\}$ が存在する。 $b_1=v_0$ を含む $\C^n$ の基底 $b_1,\ldots,b_n$ を取り、 $P=(b_1,\ldots,b_n)$ とすると、

T=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda_0&\beta^*\\0&A'\end{pmatrix}\qquad(\beta\in\C^{n-1},\ A'\in\C^{(n-1)\times(n-1)})

である。§E3.20 定理 2.2により $\chi_A=\chi_T=(z-\lambda_0)\chi_{A'}$ である。 $\lambda_0$ は $\chi_A$ の単根であるから $\chi_{A'}(\lambda_0)\ne0$ であり、 $A'-\lambda_0I_{n-1}$ は可逆である。

主張 (1)を示す。 $(a,c)\in\C\times\C^{n-1}$ について $(T-\lambda_0I_n)(a,c)=(\beta^*c,(A'-\lambda_0I_{n-1})c)$ であるから、これが $0$ であることから $c=0$ を得る。したがって $\ker(T-\lambda_0I_n)=\C e_1$ であり、 $\ker(A-\lambda_0I_n)=P\ker(T-\lambda_0I_n)=\C v_0$ である。

主張 (2)を示す。行ベクトル $u^*=(\alpha,c^*)$ について $u^*(T-\lambda_0I_n)=(0,\alpha\beta^*+c^*(A'-\lambda_0I_{n-1}))$ であるから、これが $0$ であることは $c^*=-\alpha\beta^*(A'-\lambda_0I_{n-1})^{-1}$ と同値である。したがって $u\ne0$ ならば $\alpha\ne0$ であり、このような $u^*$ が存在する。 $w^*=u^*P^{-1}$ とおくと、 $w^*(A-\lambda_0I_n)=u^*(T-\lambda_0I_n)P^{-1}$ であるから、 $w\ne0$ が $w^*(A-\lambda_0I_n)=0$ を満たすことと、 $u^*=w^*P\ne0$ が $u^*(T-\lambda_0I_n)=0$ を満たすことは同値である。このとき $w^*v_0=u^*P^{-1}Pe_1=\alpha\ne0$ である。

主張 (3)を示す。主張 (1)により $\operatorname{rank}(A-\lambda_0I_n)=n-1$ である。 $w^*(A-\lambda_0I_n)=0$ であるから $\operatorname{im}(A-\lambda_0I_n)\subseteq\{y:w^*y=0\}$ であり、右辺は $w\ne0$ により $n-1$ 次元であるから、両者は等しい。

主張 (4)を示す。 $A$ と $\lambda_0$ が実のとき、実行列 $A-\lambda_0I_n$ は特異であるから、実ベクトル $v_0\ne0$ で $(A-\lambda_0I_n)v_0=0$ を満たすものと、実ベクトル $w\ne0$ で $w^{\mathsf T}(A-\lambda_0I_n)=0$ を満たすものが存在する。これらは複素の条件も満たす。▨

補題 4.2. $n,k\in\NN$ とし、 $\Lambda\subseteq\R$ を開区間、 $A\in C^k(\Lambda,\R^{n\times n})$ 、 $\mu_0\in\Lambda$ とする。 $\lambda_0\in\C$ を $A(\mu_0)$ の代数的に単純な固有値とし、 $v_0\in\C^n\setminus\{0\}$ は $A(\mu_0)v_0=\lambda_0v_0$ を、 $w\in\C^n\setminus\{0\}$ は $w^*A(\mu_0)=\lambda_0w^*$ を満たすとする。このとき $w^*v_0\ne0$ であり、 $\mu_0$ を含む開区間 $\Lambda_0\subseteq\Lambda$ と $C^k$ 級の写像 $\lambda:\Lambda_0\to\C$ 、 $v:\Lambda_0\to\C^n$ が存在して、次が成り立つ。

$\lambda(\mu_0)=\lambda_0$ 、 $v(\mu_0)=v_0$ であり、 $\mu\in\Lambda_0$ について $A(\mu)v(\mu)=\lambda(\mu)v(\mu)$ である。
$\lambda'(\mu_0)=\dfrac{w^*A'(\mu_0)v_0}{w^*v_0}$ である。
$r>0$ が存在して、 $\Lambda_0$ を縮めれば、すべての $\mu\in\Lambda_0$ について、開正方形 $Q=\{z\in\C:\lvert\Re(z-\lambda_0)\rvert<r,\ \lvert\Im(z-\lambda_0)\rvert<r\}$ の中にある $A(\mu)$ の固有値は $\lambda(\mu)$ だけであり、 $\lambda(\mu)$ は代数的に単純である。
$\Lambda_0$ を主張 (3)のとおりに縮めたものとし、 $\lambda_0\in\R$ とする。このとき、すべての $\mu\in\Lambda_0$ について $\lambda(\mu)\in\R$ である。さらに $v_0\in\R^n$ ならば、 $\Lambda_0$ を縮めれば $v(\mu)\in\R^n$ である。

証明.補題 4.1 (2)により $w^*v_0\ne0$ である。 $\lambda_0\in\R$ かつ $v_0\in\R^n$ の場合には、補題 4.1 (1)と補題 4.1 (4)により、左零空間は一次元であって実ベクトル $w_R$ を含むから、 $w_R^{\mathsf T}v_0\ne0$ であり、 $\tilde w=w_R/(w_R^{\mathsf T}v_0)$ とおく。それ以外の場合は $\tilde w=w/\overline{w^*v_0}$ とおく。どちらの場合も $\tilde w^*A(\mu_0)=\lambda_0\tilde w^*$ 、 $\tilde w^*v_0=1$ である。

$G:\Lambda\times\C^n\times\C\to\C^n\times\C$ を $G(\mu,v,\lambda)=(A(\mu)v-\lambda v,\ \tilde w^*v-1)$ で定める。 $\C^n\times\C$ を $\R^{2n+2}$ とみなすと、 $G$ は $C^k$ 級であり、 $G(\mu_0,v_0,\lambda_0)=0$ である。 $(v,\lambda)$ についての微分は $\C$ 線形写像 $L(h,\nu)=((A(\mu_0)-\lambda_0I_n)h-\nu v_0,\ \tilde w^*h)$ である。 $L(h,\nu)=0$ とする。 $\tilde w^*(A(\mu_0)-\lambda_0I_n)=0$ であるから、第一成分に $\tilde w^*$ を掛けて $-\nu\tilde w^*v_0=-\nu=0$ を得る。したがって $(A(\mu_0)-\lambda_0I_n)h=0$ であり、補題 4.1 (1)により $h=cv_0$ （ $c\in\C$ ）である。 $0=\tilde w^*h=c$ であるから $h=0$ である。 $L$ は単射であるから、有限次元の $\R$ 線形空間の間の同型である。補題 2.1により、 $\mu_0$ を含む開区間 $\Lambda_0$ と $C^k$ 級の写像 $(v,\lambda):\Lambda_0\to\C^n\times\C$ が存在して $G(\mu,v(\mu),\lambda(\mu))=0$ 、 $(v(\mu_0),\lambda(\mu_0))=(v_0,\lambda_0)$ である。したがって主張 (1)が成り立つ。

主張 (2)を示す。 $A(\mu)v(\mu)=\lambda(\mu)v(\mu)$ を $\mu_0$ で微分すると $A'(\mu_0)v_0+A(\mu_0)v'(\mu_0)=\lambda'(\mu_0)v_0+\lambda_0v'(\mu_0)$ である。 $w^*$ を掛け、 $w^*A(\mu_0)=\lambda_0w^*$ を用いると $w^*A'(\mu_0)v_0=\lambda'(\mu_0)w^*v_0$ を得る。

主張 (3)を示す。 $A(\mu_0)$ の $\lambda_0$ 以外の固有値と $\lambda_0$ との距離の最小値を $d$ とし（他の固有値が無ければ $d=1$ ）、 $r=d/2$ とする。閉正方形 $\bar Q=\{z:\lvert\Re(z-\lambda_0)\rvert\le r,\ \lvert\Im(z-\lambda_0)\rvert\le r\}$ は $\lambda_0$ 以外の固有値を含まず、 $\lambda_0$ は $Q$ の内部にある。補題 3.2 (1)（ $T=\Lambda$ 、 $\Gamma=\bar Q$ ）により、 $\Lambda_0$ を縮めれば、すべての $\mu\in\Lambda_0$ について $Q$ の中にある $A(\mu)$ の固有値は代数的重複度を込めてちょうど $1$ 個である。 $\lambda$ は連続で $\lambda(\mu_0)=\lambda_0$ であるから、 $\Lambda_0$ を縮めれば $\lambda(\mu)\in Q$ であり、 $\lambda(\mu)$ は $A(\mu)$ の固有値であるから、これが $Q$ の中の唯一の固有値で、代数的に単純である。

主張 (4)を示す。 $\lambda_0\in\R$ とし、 $\mu\in\Lambda_0$ とする。 $\bar Q$ は実軸について対称であり、主張 (3)により、その内部 $Q$ にある $A(\mu)$ の固有値は代数的重複度を込めて $\lambda(\mu)$ の一個だけであるから、補題 3.2 (3)（ $T=\Lambda$ 、 $\Gamma=\bar Q$ ）により $\lambda(\mu)\in\R$ である。 $v_0\in\R^n$ とする。このとき $\tilde w$ は実ベクトルであり、 $\overline{v(\mu)}$ は $A(\mu)\overline{v(\mu)}=\lambda(\mu)\overline{v(\mu)}$ と $\tilde w^{\mathsf T}\overline{v(\mu)}=1$ を満たす。 $A(\mu)-\lambda(\mu)I_n$ の核は補題 4.1 (1)により一次元であるから、 $\overline{v(\mu)}=cv(\mu)$ と書くと、 $\tilde w^{\mathsf T}$ を掛けて $c=1$ を得る。したがって $v(\mu)\in\R^n$ である。▨

5 Lyapunov–Schmidt 還元

定理 5.1. $n,k\in\NN$ とし、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $\Lambda\subseteq\R$ を開区間、 $F\in C^k(U\times\Lambda,\R^n)$ とする。 $(x_0,\mu_0)\in U\times\Lambda$ が $F(x_0,\mu_0)=0$ を満たすとし、 $A_0=D_xF(x_0,\mu_0)$ 、 $N=\ker A_0$ 、 $m=\dim N$ 、 $R=\operatorname{im}A_0$ とおく。 $\R^n=N\oplus N'=R\oplus R'$ を満たす部分空間 $N',R'$ を取り、 $Q:\R^n\to\R^n$ を像が $R'$ 、核が $R$ である射影、 $P=I_n-Q$ とする。このとき、 $0\in N$ の開近傍 $Z$ 、 $\mu_0$ を含む開区間 $\Lambda_0\subseteq\Lambda$ 、 $0\in N'$ の開近傍 $Y$ と $C^k$ 級の写像 $W:Z\times\Lambda_0\to Y$ が存在して、 $x_0+Z+Y\subseteq U$ であり、 $b(z,\mu)=QF(x_0+z+W(z,\mu),\mu)$ （ $(z,\mu)\in Z\times\Lambda_0$ ）とおくと、次が成り立つ。

$W(0,\mu_0)=0$ 、 $D_zW(0,\mu_0)=0$ 、 $b(0,\mu_0)=0$ 、 $D_zb(0,\mu_0)=0$ である。
$V=x_0+Z+Y$ は $x_0$ の開近傍であり、 $(x,\mu)\in V\times\Lambda_0$ について、 $F(x,\mu)=0$ であることと、 $z\in Z$ が存在して $x=x_0+z+W(z,\mu)$ かつ $b(z,\mu)=0$ であることは同値である。このとき $z$ は $x-x_0$ の $N$ 成分である。
$(z,\mu)\in Z\times\Lambda_0$ について $PF(x_0+z+W(z,\mu),\mu)=0$ であり、したがって $F(x_0+z+W(z,\mu),\mu)=b(z,\mu)\in R'$ である。

証明. $n=m$ のとき $A_0=0$ 、 $R=\{0\}$ 、 $N'=\{0\}$ 、 $Q=I_n$ であり、 $Z$ を $x_0+Z\subseteq U$ を満たす開近傍、 $Y=\{0\}$ 、 $W=0$ とすれば、 $b(z,\mu)=F(x_0+z,\mu)$ であって、主張は明らかである。以下 $m<n$ とする。

$A_0$ の $N'$ への制限 $A_0|_{N'}:N'\to R$ は、 $N'\cap\ker A_0=N'\cap N=\{0\}$ により単射であり、 $\dim N'=n-m=\dim R$ であるから同型である。 $N$ 、 $N'$ 、 $R$ を基底によって $\R^m$ 、 $\R^{n-m}$ 、 $\R^{n-m}$ と同一視する。 $H(z,\mu,y)=PF(x_0+z+y,\mu)\in R$ （ $z\in N$ 、 $y\in N'$ ）は $(z,\mu,y)$ の開集合の上の $C^k$ 級の写像であり、 $H(0,\mu_0,0)=PF(x_0,\mu_0)=0$ である。 $\eta\in N'$ について $D_yH(0,\mu_0,0)\eta=PA_0\eta=A_0\eta$ である（ $A_0\eta\in R$ であり $P$ は $R$ の上で恒等写像である）から、 $D_yH(0,\mu_0,0)=A_0|_{N'}$ は可逆である。補題 2.1（変数 $(z,\mu)\in N\times\R$ 、未知数 $y\in N'$ ）により、 $(0,\mu_0)$ の開近傍と $0$ の開近傍 $Y$ と $C^k$ 級の写像 $W$ が存在して、その開近傍の中で $H(z,\mu,y)=0$ であることと $y=W(z,\mu)$ であることは同値である。開近傍を、 $Z\times\Lambda_0$ の形の部分集合へ縮める。 $Z\times\Lambda_0\times Y$ は $H$ の定義域に含まれるから、 $x_0+Z+Y\subseteq U$ である。 $W$ は連続で $W(0,\mu_0)=0$ であるから、 $Z$ と $\Lambda_0$ を縮めて $W(Z\times\Lambda_0)\subseteq Y$ とする。これらの縮小の後も、 $(z,\mu,y)\in Z\times\Lambda_0\times Y$ について $H(z,\mu,y)=0$ であることと $y=W(z,\mu)$ であることは同値である。

主張 (3)は $H(z,\mu,W(z,\mu))=0$ から従う。

主張 (1)を示す。 $H(0,\mu_0,0)=0$ であるから $W(0,\mu_0)=0$ であり、 $b(0,\mu_0)=QF(x_0,\mu_0)=0$ である。 $H(z,\mu_0,W(z,\mu_0))=0$ を $z$ について $0$ で微分すると、 $h\in N$ について $PA_0(h+D_zW(0,\mu_0)h)=0$ である。 $A_0h=0$ であり $A_0D_zW(0,\mu_0)h\in R$ であるから $A_0D_zW(0,\mu_0)h=0$ であり、 $D_zW(0,\mu_0)h\in N'\cap N=\{0\}$ である。また $QA_0=0$ （ $\operatorname{im}A_0=R=\ker Q$ ）であるから、 $D_zb(0,\mu_0)h=QA_0(h+D_zW(0,\mu_0)h)=0$ である。

主張 (2)を示す。 $N\oplus N'\to\R^n$ は線形同型であるから、 $V$ は開集合であり、 $x\in V$ は $x=x_0+z+y$ （ $z\in Z$ 、 $y\in Y$ ）とただ一通りに書かれ、 $z$ は $x-x_0$ の $N$ 成分である。 $F(x,\mu)=0$ ならば $H(z,\mu,y)=PF(x,\mu)=0$ であるから $y=W(z,\mu)$ であり、 $b(z,\mu)=QF(x,\mu)=0$ である。逆に $x=x_0+z+W(z,\mu)$ かつ $b(z,\mu)=0$ ならば、 $F(x,\mu)=PF(x,\mu)+QF(x,\mu)=0+b(z,\mu)=0$ である。▨

定義 5.2. $n\in\NN$ とし、 $A\in\R^{n\times n}$ の固有値 $0$ が代数的に単純であるとする。 $v,w\in\R^n$ が $Av=0$ 、 $w^{\mathsf T}A=0$ 、 $w^{\mathsf T}v=1$ を満たすとき、組 $(v,w)$ を $A$ の零固有対 (zero eigenpair) という。零固有対は存在する（補題 4.1 (4)と補題 4.1 (2)）。

$U\subseteq\R^n$ を開集合、 $\Lambda\subseteq\R$ を開区間、 $F\in C^2(U\times\Lambda,\R^n)$ 、 $(x_0,\mu_0)\in U\times\Lambda$ とする。 $\xi_1,\xi_2\in\R^n$ について、 $D_x^2F(x_0,\mu_0)[\xi_1,\xi_2]=\partial_{\sigma_1}\partial_{\sigma_2}F(x_0+\sigma_1\xi_1+\sigma_2\xi_2,\mu_0)\big|_{\sigma_1=\sigma_2=0}$ と書く。 $v\in\R^n$ について $D_\mu D_xF(x_0,\mu_0)[v]=\dfrac{d}{d\mu}\bigl(D_xF(x_0,\mu)v\bigr)\Big|_{\mu=\mu_0}$ と書く。 $F\in C^3$ のとき、 $D_x^3F(x_0,\mu_0)[v,v,v]=\dfrac{d^3}{d\sigma^3}F(x_0+\sigma v,\mu_0)\Big|_{\sigma=0}$ と書く。

系 5.3. $n,k\in\NN$ とし、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $\Lambda\subseteq\R$ を開区間、 $F\in C^k(U\times\Lambda,\R^n)$ とし、 $F(x_0,\mu_0)=0$ を満たす $(x_0,\mu_0)\in U\times\Lambda$ について、 $A_0=D_xF(x_0,\mu_0)$ の固有値 $0$ が代数的に単純であるとする。 $(v,w)$ を $A_0$ の零固有対とする。このとき、 $\varepsilon_0>0$ 、 $\mu_0$ を含む開区間 $\Lambda_0\subseteq\Lambda$ 、 $x_0$ の開近傍 $V\subseteq U$ と、 $C^k$ 級の写像 $W:(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)\times\Lambda_0\to\ker w^{\mathsf T}$ が存在して、 $x(s,\mu)=x_0+sv+W(s,\mu)$ 、 $g(s,\mu)=w^{\mathsf T}F(x(s,\mu),\mu)$ とおくと、次が成り立つ。

$(s,\mu)\in(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)\times\Lambda_0$ について $x(s,\mu)\in V$ である。 $(y,\mu)\in V\times\Lambda_0$ について、 $F(y,\mu)=0$ であることと、 $s\in(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)$ が存在して $y=x(s,\mu)$ かつ $g(s,\mu)=0$ であることは同値である。このとき $s=w^{\mathsf T}(y-x_0)$ である。
$F(x(s,\mu),\mu)=g(s,\mu)v$ （ $(s,\mu)\in(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)\times\Lambda_0$ ）である。
$W(0,\mu_0)=0$ 、 $\partial_sW(0,\mu_0)=0$ 、 $g(0,\mu_0)=0$ 、 $\partial_sg(0,\mu_0)=0$ 、 $\partial_\mu g(0,\mu_0)=w^{\mathsf T}D_\mu F(x_0,\mu_0)$ である。
$k\ge2$ ならば、 $\partial_s^2g(0,\mu_0)=w^{\mathsf T}D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,v]$ である。さらに $\partial_s^2W(0,\mu_0)$ は、 $\xi\in\ker w^{\mathsf T}$ かつ $A_0\xi=-D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,v]+\bigl(w^{\mathsf T}D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,v]\bigr)v$ を満たす唯一の $\xi$ である。
$k\ge3$ ならば、 $\xi=\partial_s^2W(0,\mu_0)$ について $\partial_s^3g(0,\mu_0)=w^{\mathsf T}\bigl(D_x^3F(x_0,\mu_0)[v,v,v]+3D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,\xi]\bigr)$ である。
すべての $\mu\in\Lambda$ について $F(x_0,\mu)=0$ ならば、 $\mu\in\Lambda_0$ について $W(0,\mu)=0$ 、 $g(0,\mu)=0$ であり、 $k\ge2$ ならば $\partial_\mu g(0,\mu_0)=0$ 、 $\partial_s\partial_\mu g(0,\mu_0)=w^{\mathsf T}D_\mu D_xF(x_0,\mu_0)[v]$ である。

証明. $N=\R v=\ker A_0$ である（補題 4.1 (1)の実の核は $\C$ 上の核に含まれ、 $v$ を含む）。 $w^{\mathsf T}A_0=0$ であるから $R=\operatorname{im}A_0\subseteq\ker w^{\mathsf T}$ であり、 $\dim R=n-1=\dim\ker w^{\mathsf T}$ により $R=\ker w^{\mathsf T}$ である。 $w^{\mathsf T}v=1$ により $\R^n=\R v\oplus\ker w^{\mathsf T}$ であるから、定理 5.1を $N'=\ker w^{\mathsf T}$ 、 $R'=\R v$ について適用する。このとき $Qy=(w^{\mathsf T}y)v$ 、 $Py=y-(w^{\mathsf T}y)v$ である。 $Z=\{sv:\lvert s\rvert<\varepsilon_0\}$ となるように $\varepsilon_0$ を取り、 $z=sv$ と $s$ を同一視して $W(s,\mu)$ と書く。 $b(sv,\mu)=(w^{\mathsf T}F(x(s,\mu),\mu))v=g(s,\mu)v$ である。定理 5.1 (2)から主張 (1)が従い（ $w^{\mathsf T}(y-x_0)=s+w^{\mathsf T}W(s,\mu)=s$ による）、定理 5.1 (3)から主張 (2)が従う。定理 5.1 (1)から $W(0,\mu_0)=0$ 、 $\partial_sW(0,\mu_0)=0$ 、 $g(0,\mu_0)=0$ 、 $\partial_sg(0,\mu_0)=0$ を得る。

$g(s,\mu)=w^{\mathsf T}F(x(s,\mu),\mu)$ を微分し、 $w^{\mathsf T}A_0=0$ と $\partial_sx(0,\mu_0)=v+\partial_sW(0,\mu_0)=v$ を用いる。 $\partial_\mu g=w^{\mathsf T}(D_xF\,\partial_\mu x+D_\mu F)$ に $(0,\mu_0)$ を代入して $\partial_\mu g(0,\mu_0)=w^{\mathsf T}(A_0\partial_\mu W(0,\mu_0)+D_\mu F(x_0,\mu_0))=w^{\mathsf T}D_\mu F(x_0,\mu_0)$ を得る。これで主張 (3)は示された。

$k\ge2$ とする。 $\partial_s^2g=w^{\mathsf T}(D_x^2F[\partial_sx,\partial_sx]+D_xF\,\partial_s^2x)$ に $(0,\mu_0)$ を代入して $\partial_s^2g(0,\mu_0)=w^{\mathsf T}D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,v]$ を得る。主張 (2)を $s$ について二回微分して $(0,\mu_0)$ を代入すると、 $D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,v]+A_0\partial_s^2W(0,\mu_0)=\partial_s^2g(0,\mu_0)v$ である（ $\partial_sx(0,\mu_0)=v$ 、 $\partial_s^2x=\partial_s^2W$ ）。 $w^{\mathsf T}W=0$ であるから $\partial_s^2W(0,\mu_0)\in\ker w^{\mathsf T}$ であり、上の式は $\xi$ についての方程式を与える。 $A_0$ を $\ker w^{\mathsf T}$ へ制限した写像は、 $\ker A_0\cap\ker w^{\mathsf T}=\R v\cap\ker w^{\mathsf T}=\{0\}$ により単射であるから、 $\xi$ は唯一である。これで主張 (4)は示された。

$k\ge3$ とする。 $\partial_s^3g=w^{\mathsf T}(D_x^3F[\partial_sx,\partial_sx,\partial_sx]+3D_x^2F[\partial_sx,\partial_s^2x]+D_xF\,\partial_s^3x)$ に $(0,\mu_0)$ を代入すると、 $w^{\mathsf T}A_0=0$ により主張 (5)を得る。

主張 (6)を示す。 $\mu\in\Lambda_0$ について $F(x_0,\mu)=0$ であり $x_0\in V$ であるから、主張 (1)により $s\in(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)$ が存在して $x_0=x(s,\mu)$ 、 $g(s,\mu)=0$ である。 $s=w^{\mathsf T}(x_0-x_0)=0$ であるから、 $x_0=x_0+W(0,\mu)$ であり $W(0,\mu)=0$ 、 $g(0,\mu)=0$ である。したがって $\partial_\mu W(0,\mu_0)=0$ かつ $\partial_\mu g(0,\mu_0)=0$ である。 $k\ge2$ のとき、 $g=w^{\mathsf T}F(x(s,\mu),\mu)$ を $\mu$ 、 $s$ の順に微分すると

\partial_s\partial_\mu g=w^{\mathsf T}\bigl(D_x^2F[\partial_sx,\partial_\mu x]+D_\mu D_xF[\partial_sx]+D_xF\,\partial_s\partial_\mu x\bigr)

である。 $(0,\mu_0)$ では $\partial_sx=v$ 、 $\partial_\mu x=\partial_\mu W(0,\mu_0)=0$ であるから、 $\partial_s\partial_\mu g(0,\mu_0)=w^{\mathsf T}D_\mu D_xF(x_0,\mu_0)[v]$ である。▨

6 サドルノード分岐

補題 6.1. $\varepsilon_1>0$ とし、 $\hat\mu\in C^2((-\varepsilon_1,\varepsilon_1))$ が $\hat\mu(0)=\mu_0$ 、 $\hat\mu'(0)=0$ 、 $\hat\mu''(0)\ne0$ を満たすとする。 $\sigma=\operatorname{sgn}\hat\mu''(0)$ とおく。このとき、 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_1]$ が存在して、次が成り立つ。

$0<\lvert s\rvert<\varepsilon$ ならば $\sigma s\hat\mu'(s)>0$ である。
$\varepsilon'\in(0,\varepsilon]$ とする。このとき、 $\delta>0$ が存在して、 $\mu\in(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)$ について、 $\{s\in(-\varepsilon',\varepsilon'):\hat\mu(s)=\mu\}$ の元の個数は、 $\sigma(\mu-\mu_0)>0$ のとき $2$ （一方は負、他方は正）、 $\mu=\mu_0$ のとき $1$ （ $s=0$ ）、 $\sigma(\mu-\mu_0)<0$ のとき $0$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $\hat\mu''$ は連続であるから、 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_1)$ を、 $\sigma\hat\mu''>0$ （ $\lvert s\rvert<\varepsilon$ ）となるように取る。 $\hat\mu'(s)=\int_0^s\hat\mu''(t)\,dt$ であるから、 $0<s<\varepsilon$ ならば $\sigma\hat\mu'(s)>0$ 、 $-\varepsilon<s<0$ ならば $\sigma\hat\mu'(s)<0$ である。

主張 (2)を示す。 $\varepsilon'\in(0,\varepsilon]$ とする。主張 (1)により、 $h(s)=\sigma(\hat\mu(s)-\mu_0)$ は $[0,\varepsilon')$ の上で狭義単調増加、 $(-\varepsilon',0]$ の上で狭義単調減少であり、 $h(0)=0$ である。したがって $0<\lvert s\rvert<\varepsilon'$ ならば $h(s)>0$ である。 $L_+=\sup_{0\le s<\varepsilon'}h(s)>0$ 、 $L_-=\sup_{-\varepsilon'<s\le0}h(s)>0$ （ $+\infty$ であってもよい）とし、 $\delta=\min\{L_+,L_-,1\}$ とおく。 $0<t<\delta$ について、中間値の定理と狭義単調性により、 $h(s)=t$ を満たす $s\in(0,\varepsilon')$ がちょうど一つ、 $s\in(-\varepsilon',0)$ がちょうど一つ存在する。 $t=0$ のとき $h(s)=0$ を満たす $s$ は $0$ だけであり、 $t<0$ のとき $h(s)=t$ を満たす $s$ は無い。 $t=\sigma(\mu-\mu_0)$ とおけば、主張を得る。▨

定理 6.2. $n\in\NN$ とし、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $\Lambda\subseteq\R$ を開区間、 $F\in C^2(U\times\Lambda,\R^n)$ とし、 $(x_0,\mu_0)\in U\times\Lambda$ が $F(x_0,\mu_0)=0$ を満たすとする。 $A_0=D_xF(x_0,\mu_0)$ の固有値 $0$ が代数的に単純であり、 $(v,w)$ を $A_0$ の零固有対とする。

\theta_\mu=w^{\mathsf T}D_\mu F(x_0,\mu_0)\ne0,\qquad \theta_{xx}=w^{\mathsf T}D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,v]\ne0

であるとする。 $x(s,\mu)$ 、 $g$ を系 5.3（ $k=2$ ）のものとする。このとき、 $\varepsilon>0$ 、 $x_0$ の開近傍 $V\subseteq U$ 、 $\delta>0$ と、 $C^2$ 級の写像 $\hat x:(-\varepsilon,\varepsilon)\to V$ 、 $\hat\mu:(-\varepsilon,\varepsilon)\to\Lambda$ が存在して、次が成り立つ。

$\hat x(s)=x(s,\hat\mu(s))$ かつ $g(s,\hat\mu(s))=0$ （ $\lvert s\rvert<\varepsilon$ ）であり、 $\hat x(0)=x_0$ 、 $\hat x'(0)=v$ 、 $\hat\mu(0)=\mu_0$ 、 $\hat\mu'(0)=0$ 、 $\hat\mu''(0)=-\theta_{xx}/\theta_\mu\ne0$ である。
$(y,\mu)\in V\times(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)$ について、 $F(y,\mu)=0$ であることと、 $s\in(-\varepsilon,\varepsilon)$ が存在して $(y,\mu)=(\hat x(s),\hat\mu(s))$ であることは同値である。
$\sigma=\operatorname{sgn}\hat\mu''(0)$ とする。 $\mu\in(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)$ について、 $V$ の中にある $F(\cdot,\mu)$ の平衡点の個数は、 $\sigma(\mu-\mu_0)>0$ のとき $2$ 、 $\mu=\mu_0$ のとき $1$ 、 $\sigma(\mu-\mu_0)<0$ のとき $0$ である。
$(x_0,\mu_0)$ は族 $x'=F(x,\mu)$ の分岐点である。

証明.系 5.3（ $k=2$ ）の $\varepsilon_0$ 、 $\Lambda_0$ 、 $V_0$ 、 $W$ 、 $x(s,\mu)$ 、 $g$ を取る。系 5.3 (3)と系 5.3 (4)により、 $g(0,\mu_0)=0$ 、 $\partial_sg(0,\mu_0)=0$ 、 $\partial_\mu g(0,\mu_0)=\theta_\mu\ne0$ 、 $\partial_s^2g(0,\mu_0)=\theta_{xx}$ である。補題 2.1（パラメータ $s$ 、未知数 $\mu$ ）により、 $\varepsilon_1\in(0,\varepsilon_0]$ 、 $\mu_0$ を含む開区間 $M\subseteq\Lambda_0$ と $C^2$ 級の写像 $\hat\mu:(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)\to M$ が存在して、 $(s,\mu)\in(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)\times M$ について $g(s,\mu)=0$ であることと $\mu=\hat\mu(s)$ であることは同値である。 $\hat\mu(0)=\mu_0$ であり、補題 2.1 (2)により $\hat\mu'(s)=-\partial_sg(s,\hat\mu(s))/\partial_\mu g(s,\hat\mu(s))$ であるから $\hat\mu'(0)=0$ である。 $g(s,\hat\mu(s))=0$ を二回微分して $s=0$ を代入すると、 $\partial_s^2g+2\partial_s\partial_\mu g\,\hat\mu'+\partial_\mu^2g\,\hat\mu'^2+\partial_\mu g\,\hat\mu''=0$ であり、 $\hat\mu'(0)=0$ により $\hat\mu''(0)=-\theta_{xx}/\theta_\mu\ne0$ を得る。

補題 6.1により、 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_1]$ を、その主張が成り立つように取り、 $\delta_1>0$ を補題 6.1 (2)（ $\varepsilon'=\varepsilon$ ）の $\delta$ とする。 $\delta>0$ を、 $\delta\le\delta_1$ かつ $(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)\subseteq M$ となるように取り、 $V=\{y\in V_0:\lvert w^{\mathsf T}(y-x_0)\rvert<\varepsilon\}$ 、 $\hat x(s)=x(s,\hat\mu(s))$ とおく。 $\hat x$ は $C^2$ 級であり、 $w^{\mathsf T}(\hat x(s)-x_0)=s$ であるから $\hat x(s)\in V$ である。 $\hat x(0)=x_0+W(0,\mu_0)=x_0$ 、 $\hat x'(0)=v+\partial_sW(0,\mu_0)+\partial_\mu W(0,\mu_0)\hat\mu'(0)=v$ である。これで主張 (1)は示された。

主張 (2)を示す。 $(y,\mu)\in V\times(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)$ が $F(y,\mu)=0$ を満たすとする。系 5.3 (1)により、 $s=w^{\mathsf T}(y-x_0)\in(-\varepsilon,\varepsilon)$ について $y=x(s,\mu)$ 、 $g(s,\mu)=0$ であり、 $\mu\in M$ であるから $\mu=\hat\mu(s)$ である。したがって $(y,\mu)=(\hat x(s),\hat\mu(s))$ である。逆に、 $(y,\mu)=(\hat x(s),\hat\mu(s))$ ならば、系 5.3 (2)により $F(y,\mu)=g(s,\hat\mu(s))v=0$ である。

主張 (3)を示す。主張 (2)により、 $V$ の中の $F(\cdot,\mu)$ の平衡点は $\hat x(s)$ （ $s\in(-\varepsilon,\varepsilon)$ 、 $\hat\mu(s)=\mu$ ）である。 $w^{\mathsf T}\hat x(s)=w^{\mathsf T}x_0+s$ により $s\mapsto\hat x(s)$ は単射であるから、平衡点の個数は $\{s\in(-\varepsilon,\varepsilon):\hat\mu(s)=\mu\}$ の元の個数に等しく、補題 6.1 (2)により主張を得る。

主張 (4)を示す。 $\mu_0$ を含む開区間 $\Lambda'\subseteq\Lambda$ 、 $x_0$ の開近傍 $B'\subseteq U$ と連続写像 $\xi:\Lambda'\to B'$ の組であって、 $(y,\mu)\in B'\times\Lambda'$ について $F(y,\mu)=0$ であることと $y=\xi(\mu)$ であることが同値になるものが存在すると仮定する。 $F(x_0,\mu_0)=0$ であるから $\xi(\mu_0)=x_0$ である。 $\xi$ は連続で $V$ は $x_0$ の開近傍であるから、 $\mu\in\Lambda'$ を、 $\lvert\mu-\mu_0\rvert<\delta$ 、 $\sigma(\mu-\mu_0)<0$ 、 $\xi(\mu)\in V$ を満たすように取ることができる。このとき $\xi(\mu)$ は $V$ の中にある $F(\cdot,\mu)$ の平衡点であり、主張 (3)の、 $\sigma(\mu-\mu_0)<0$ のとき $V$ の中の平衡点は零個であることと両立しない。したがって定義 1.1の組は存在せず、 $(x_0,\mu_0)$ は分岐点である。▨

7 自明な枝をもつ場合の還元

補題 7.1. $k,p,m\in\NN$ とし、 $J\subseteq\R$ を $0$ を含む開区間、 $\Lambda\subseteq\R^p$ を開集合、 $g\in C^k(J\times\Lambda,\R^m)$ とし、すべての $\mu\in\Lambda$ について $g(0,\mu)=0$ であるとする。 $G(s,\mu)=\displaystyle\int_0^1\partial_sg(\tau s,\mu)\,d\tau$ （ $(s,\mu)\in J\times\Lambda$ 。積分は成分ごとにとる）とおく。多重指数 $\beta=(\beta_1,\ldots,\beta_p)\in\Z_{\ge0}^p$ について $\lvert\beta\rvert=\beta_1+\cdots+\beta_p$ 、 $\partial_\mu^\beta=\partial_{\mu_1}^{\beta_1}\cdots\partial_{\mu_p}^{\beta_p}$ と書く。このとき、 $G$ は $C^{k-1}$ 級（ $k=1$ のときは連続）であり、次が成り立つ。

$g(s,\mu)=sG(s,\mu)$ である。
$i\in\Z_{\ge0}$ 、 $\beta\in\Z_{\ge0}^p$ 、 $i+\lvert\beta\rvert\le k-1$ について、 $\partial_s^i\partial_\mu^\beta G(s,\mu)=\displaystyle\int_0^1\tau^i\,\partial_s^{i+1}\partial_\mu^\beta g(\tau s,\mu)\,d\tau$ である。特に $\partial_s^i\partial_\mu^\beta G(0,\mu)=\dfrac{1}{i+1}\partial_s^{i+1}\partial_\mu^\beta g(0,\mu)$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $(s,\mu)\in J\times\Lambda$ を固定する。 $J$ は $0$ と $s$ を含む区間であるから、 $\{\tau\in\R:\tau s\in J\}$ は $[0,1]$ を含む開区間であり、その上で $g$ の各成分 $g_l$ について $\varphi_l(\tau)=g_l(\tau s,\mu)$ は $C^1$ 級である。§E4.5 補題 1.2（ $r=0$ ）により $\varphi_l(1)=\varphi_l(0)+\int_0^1\varphi_l'(\tau)\,d\tau$ である。 $\varphi_l(0)=g_l(0,\mu)=0$ 、 $\varphi_l'(\tau)=s\,\partial_sg_l(\tau s,\mu)$ であるから、 $g(s,\mu)=sG(s,\mu)$ である。

主張 (2)を示す。 $i+\lvert\beta\rvert\le k-1$ について $h_{i,\beta}(\tau,s,\mu)=\tau^i\partial_s^{i+1}\partial_\mu^\beta g(\tau s,\mu)$ とおく。 $g$ は $C^k$ 級であるから、 $h_{i,\beta}$ は $[0,1]\times J\times\Lambda$ の上で連続であり、 $J\times\Lambda$ の任意のコンパクト部分集合 $K$ について $[0,1]\times K$ の上で一様連続である。 $J\times\Lambda$ の各点はコンパクトな近傍をもつから、 $\int_0^1h_{i,\beta}\,d\tau$ は $J\times\Lambda$ の上で連続である。 $e_1,\ldots,e_p$ を $\Z_{\ge0}^p$ の標準的な単位ベクトルとする。 $i+\lvert\beta\rvert+1\le k-1$ のとき、 $h_{i,\beta}$ の $s$ についての偏導関数は $h_{i+1,\beta}$ 、 $\mu_q$ についての偏導関数は（§E4.4 定理 2.1により $g$ の $k$ 階までの偏導関数の順序を入れ替えて） $h_{i,\beta+e_q}$ であり、いずれも連続である。§D1.26 補題 2.1を、各成分について、 $\tau\in[0,1]$ を積分変数、 $s$ または $\mu_q$ を一つのパラメータ（他の変数は固定し、パラメータの区間には、固定した点におけるパラメータの値を含む有界な開区間であって、その閉包の上でパラメータを動かしても点が $J\times\Lambda$ にとどまるものを取る）として適用すると、 $\int_0^1h_{i,\beta}\,d\tau$ の $s$ についての偏導関数は $\int_0^1h_{i+1,\beta}\,d\tau$ 、 $\mu_q$ についての偏導関数は $\int_0^1h_{i,\beta+e_q}\,d\tau$ である。 $G=\int_0^1h_{0,0}\,d\tau$ から出発して、偏微分の回数についての帰納法により、 $G$ の $k-1$ 階までのすべての反復偏導関数は、偏微分の順序によらず、 $s$ についての回数 $i$ と $\mu$ についての回数を表す $\beta$ だけで定まる $\int_0^1h_{i,\beta}\,d\tau$ に等しく、連続である。したがって主張 (2)の積分表示が成り立ち、 $k\ge2$ ならば§E4.4 定理 1.7により $G$ は $C^{k-1}$ 級である。 $s=0$ を代入すると、 $\int_0^1\tau^i\,d\tau=1/(i+1)$ から特別な場合を得る。▨

補題 7.2. $n,k\in\NN$ 、 $k\ge2$ とし、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $\Lambda\subseteq\R$ を開区間、 $F\in C^k(U\times\Lambda,\R^n)$ とし、 $x_0\in U$ がすべての $\mu\in\Lambda$ について $F(x_0,\mu)=0$ を満たし、 $\mu_0\in\Lambda$ について $A_0=D_xF(x_0,\mu_0)$ の固有値 $0$ が代数的に単純であるとする。 $(v,w)$ を $A_0$ の零固有対とし、 $\theta_{x\mu}=w^{\mathsf T}D_\mu D_xF(x_0,\mu_0)[v]\ne0$ であるとする。 $\varepsilon_0$ 、 $\Lambda_0$ 、 $V_0$ 、 $W$ 、 $x(s,\mu)$ 、 $g$ を系 5.3（同じ $k$ ）の $\varepsilon_0$ 、 $\Lambda_0$ 、 $V$ 、 $W$ 、 $x(s,\mu)$ 、 $g$ とし、 $G(s,\mu)=\displaystyle\int_0^1\partial_sg(\tau s,\mu)\,d\tau$ （ $(s,\mu)\in(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)\times\Lambda_0$ ）とおく。このとき、 $G$ は $C^{k-1}$ 級であり、 $\varepsilon_1\in(0,\varepsilon_0]$ 、 $\mu_0$ を含む開区間 $M\subseteq\Lambda_0$ と $C^{k-1}$ 級の写像 $\hat\mu:(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)\to M$ が存在して、次が成り立つ。

$g(s,\mu)=sG(s,\mu)$ であり、 $G(0,\mu_0)=0$ 、 $\partial_\mu G(0,\mu_0)=\theta_{x\mu}$ 、 $\partial_sG(0,\mu_0)=\tfrac12w^{\mathsf T}D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,v]$ である。 $k\ge3$ ならば $\partial_s^2G(0,\mu_0)=\tfrac13\partial_s^3g(0,\mu_0)$ である。
$(s,\mu)\in(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)\times M$ について、 $G(s,\mu)=0$ であることと $\mu=\hat\mu(s)$ であることは同値である。 $\hat\mu(0)=\mu_0$ 、 $\hat\mu'(0)=-\partial_sG(0,\mu_0)/\theta_{x\mu}$ である。
$\varepsilon\in(0,\varepsilon_1]$ とし、 $V=\{y\in V_0:\lvert w^{\mathsf T}(y-x_0)\rvert<\varepsilon\}$ 、 $\hat x(s)=x(s,\hat\mu(s))$ （ $\lvert s\rvert<\varepsilon$ ）とおく。このとき、 $\hat x$ は $(-\varepsilon,\varepsilon)$ から $V$ への $C^{k-1}$ 級の単射であり、 $\hat x(0)=x_0$ 、 $\hat x'(0)=v$ 、 $g(s,\hat\mu(s))=0$ であり、 $s\ne0$ ならば $\hat x(s)\ne x_0$ である。さらに、 $(y,\mu)\in V\times M$ について、 $F(y,\mu)=0$ であることと、 $y=x_0$ であるか、または $s\in(-\varepsilon,\varepsilon)$ が存在して $(y,\mu)=(\hat x(s),\hat\mu(s))$ であることは同値である。
$\varepsilon'\in(0,\varepsilon_0]$ とし、 $\tilde\mu:(-\varepsilon',\varepsilon')\to\Lambda_0$ を、すべての $s\in(-\varepsilon',\varepsilon')$ について $g(s,\tilde\mu(s))=0$ を満たす $C^1$ 級の写像とする。このとき、 $\lvert s\rvert<\varepsilon'$ について $G(s,\tilde\mu(s))=0$ であり、 $\partial_sg(s,\tilde\mu(s))=s\,\partial_sG(s,\tilde\mu(s))=-s\,\partial_\mu G(s,\tilde\mu(s))\,\tilde\mu'(s)$ である。
$(x_0,\mu_0)$ は族 $x'=F(x,\mu)$ の分岐点である。

証明.主張 (1)を示す。系 5.3 (6)により、 $\mu\in\Lambda_0$ について $W(0,\mu)=0$ 、 $g(0,\mu)=0$ であり、 $\partial_s\partial_\mu g(0,\mu_0)=\theta_{x\mu}$ である。補題 7.1（ $p=m=1$ 、 $J=(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)$ 、パラメータの集合 $\Lambda_0$ ）により、 $G$ は $C^{k-1}$ 級で $g=sG$ であり、 $G(0,\mu_0)=\partial_sg(0,\mu_0)$ 、 $\partial_\mu G(0,\mu_0)=\partial_s\partial_\mu g(0,\mu_0)$ 、 $\partial_sG(0,\mu_0)=\tfrac12\partial_s^2g(0,\mu_0)$ 、 $k\ge3$ ならば $\partial_s^2G(0,\mu_0)=\tfrac13\partial_s^3g(0,\mu_0)$ である。系 5.3 (3)により $\partial_sg(0,\mu_0)=0$ であり、系 5.3 (4)により $\partial_s^2g(0,\mu_0)=w^{\mathsf T}D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,v]$ である。

主張 (2)を示す。 $G$ は $C^{k-1}$ 級（ $k-1\ge1$ ）で、 $G(0,\mu_0)=0$ 、 $\partial_\mu G(0,\mu_0)=\theta_{x\mu}\ne0$ である。補題 2.1（ $C^{k-1}$ 級、パラメータ $s$ 、未知数 $\mu$ ）により、 $0$ の開近傍 $S$ 、 $\mu_0$ の開近傍 $B\subseteq\Lambda_0$ と $C^{k-1}$ 級の写像 $\hat\mu:S\to B$ が存在して、 $(s,\mu)\in S\times B$ について $G(s,\mu)=0$ であることと $\mu=\hat\mu(s)$ であることは同値であり、 $\hat\mu(0)=\mu_0$ である。 $M\subseteq B$ を $\mu_0$ を含む開区間とし、 $\hat\mu$ の連続性により $\varepsilon_1\in(0,\varepsilon_0]$ を、 $(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)\subseteq S$ かつ $\hat\mu((-\varepsilon_1,\varepsilon_1))\subseteq M$ となるように取る。 $(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)\times M\subseteq S\times B$ であるから、主張の同値が成り立つ。補題 2.1 (2)により $\hat\mu'(0)=-\partial_sG(0,\mu_0)/\partial_\mu G(0,\mu_0)=-\partial_sG(0,\mu_0)/\theta_{x\mu}$ である。

主張 (3)を示す。 $\lvert s\rvert<\varepsilon$ について $\hat\mu(s)\in M\subseteq\Lambda_0$ であるから、系 5.3 (1)により $\hat x(s)=x(s,\hat\mu(s))\in V_0$ であり、 $x$ は $C^k$ 級、 $\hat\mu$ は $C^{k-1}$ 級であるから、 $\hat x$ は $C^{k-1}$ 級である。 $W$ は $\ker w^{\mathsf T}$ に値をとり $w^{\mathsf T}v=1$ であるから、 $w^{\mathsf T}(\hat x(s)-x_0)=s$ である。したがって $\hat x(s)\in V$ であり、 $\hat x$ は単射であり、 $s\ne0$ ならば $\hat x(s)\ne x_0$ である。 $\hat x(0)=x_0+W(0,\mu_0)=x_0$ である。 $W(0,\mu)=0$ （ $\mu\in\Lambda_0$ ）から $\partial_\mu W(0,\mu_0)=0$ であり、系 5.3 (3)により $\partial_sW(0,\mu_0)=0$ であるから、 $\hat x'(0)=v+\partial_sW(0,\mu_0)+\partial_\mu W(0,\mu_0)\hat\mu'(0)=v$ である。主張 (2)により $G(s,\hat\mu(s))=0$ であり、 $g(s,\hat\mu(s))=sG(s,\hat\mu(s))=0$ である。

$(y,\mu)\in V\times M$ が $F(y,\mu)=0$ を満たすとする。系 5.3 (1)により、 $s=w^{\mathsf T}(y-x_0)\in(-\varepsilon,\varepsilon)$ について $y=x(s,\mu)$ 、 $g(s,\mu)=0$ である。 $s=0$ ならば $y=x_0+W(0,\mu)=x_0$ である。 $s\ne0$ ならば $G(s,\mu)=g(s,\mu)/s=0$ であり、 $(s,\mu)\in(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)\times M$ であるから、主張 (2)により $\mu=\hat\mu(s)$ 、 $y=x(s,\hat\mu(s))=\hat x(s)$ である。逆に、仮定により $F(x_0,\mu)=0$ であり、 $(y,\mu)=(\hat x(s),\hat\mu(s))$ ならば、系 5.3 (2)により $F(y,\mu)=g(s,\hat\mu(s))v=0$ である。

主張 (4)を示す。 $s\ne0$ ならば $G(s,\tilde\mu(s))=g(s,\tilde\mu(s))/s=0$ であり、 $G$ と $\tilde\mu$ は連続であるから、 $s=0$ でも $G(0,\tilde\mu(0))=0$ である。 $G$ は $C^1$ 級であるから、 $G(s,\tilde\mu(s))=0$ を $s$ について微分して $\partial_sG(s,\tilde\mu(s))+\partial_\mu G(s,\tilde\mu(s))\tilde\mu'(s)=0$ を得る。 $g=sG$ を $s$ について微分すると $\partial_sg=G+s\,\partial_sG$ であるから、 $\partial_sg(s,\tilde\mu(s))=s\,\partial_sG(s,\tilde\mu(s))=-s\,\partial_\mu G(s,\tilde\mu(s))\,\tilde\mu'(s)$ である。

主張 (5)を示す。 $\mu_0$ を含む開区間 $\Lambda'\subseteq\Lambda$ 、 $x_0$ の開近傍 $B'\subseteq U$ と連続写像 $\xi:\Lambda'\to B'$ の組であって、 $(y,\mu)\in B'\times\Lambda'$ について $F(y,\mu)=0$ であることと $y=\xi(\mu)$ であることが同値になるものが存在すると仮定する。 $x_0\in B'$ であり、すべての $\mu\in\Lambda'$ について $F(x_0,\mu)=0$ であるから、 $\xi(\mu)=x_0$ （ $\mu\in\Lambda'$ ）である。主張 (3)を $\varepsilon=\varepsilon_1$ について適用すると、 $\hat x$ と $\hat\mu$ は連続で $\hat x(0)=x_0$ 、 $\hat\mu(0)=\mu_0$ であるから、 $s\in(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)\setminus\{0\}$ を $\hat x(s)\in B'$ 、 $\hat\mu(s)\in\Lambda'$ となるように取ることができる。系 5.3 (2)により $F(\hat x(s),\hat\mu(s))=g(s,\hat\mu(s))v=0$ であるから、 $\hat x(s)=\xi(\hat\mu(s))=x_0$ である。一方、 $s\ne0$ であるから $\hat x(s)\ne x_0$ である。この二つは両立しないから、定義 1.1の組は存在せず、 $(x_0,\mu_0)$ は分岐点である。▨

8 トランスクリティカル分岐

定理 8.1. $n\in\NN$ とし、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $\Lambda\subseteq\R$ を開区間、 $F\in C^2(U\times\Lambda,\R^n)$ とし、 $x_0\in U$ がすべての $\mu\in\Lambda$ について $F(x_0,\mu)=0$ を満たし、 $\mu_0\in\Lambda$ について $A_0=D_xF(x_0,\mu_0)$ の固有値 $0$ が代数的に単純であるとする。 $(v,w)$ を $A_0$ の零固有対とする。

\theta_{x\mu}=w^{\mathsf T}D_\mu D_xF(x_0,\mu_0)[v]\ne0,\qquad \theta_{xx}=w^{\mathsf T}D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,v]\ne0

であるとする。 $x(s,\mu)$ 、 $g$ を系 5.3（ $k=2$ ）のものとする。このとき、 $\varepsilon>0$ 、 $x_0$ の開近傍 $V\subseteq U$ 、 $\delta>0$ と、 $C^1$ 級の写像 $\hat x:(-\varepsilon,\varepsilon)\to V$ 、 $\hat\mu:(-\varepsilon,\varepsilon)\to\Lambda$ が存在して、次が成り立つ。

$\hat x(s)=x(s,\hat\mu(s))$ かつ $g(s,\hat\mu(s))=0$ （ $\lvert s\rvert<\varepsilon$ ）であり、 $\hat x(0)=x_0$ 、 $\hat x'(0)=v$ 、 $\hat\mu(0)=\mu_0$ 、 $\hat\mu'(0)=-\theta_{xx}/(2\theta_{x\mu})\ne0$ であり、 $s\ne0$ ならば $\hat x(s)\ne x_0$ である。
$(y,\mu)\in V\times(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)$ について、 $F(y,\mu)=0$ であることと、 $y=x_0$ であるか、または $s\in(-\varepsilon,\varepsilon)$ が存在して $(y,\mu)=(\hat x(s),\hat\mu(s))$ であることは同値である。
$\mu\in(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)$ について、 $\mu\ne\mu_0$ ならば、 $V$ の中にある $F(\cdot,\mu)$ の平衡点はちょうど二個であり、そのうち一つは $x_0$ 、他の一つは $\hat\mu(s)=\mu$ を満たす $s\ne0$ について $\hat x(s)$ である。 $\mu=\mu_0$ ならば、 $V$ の中にある平衡点は $x_0$ だけである。
$(x_0,\mu_0)$ は族 $x'=F(x,\mu)$ の分岐点である。

証明.補題 7.2（ $k=2$ ）の $\varepsilon_0$ 、 $\Lambda_0$ 、 $V_0$ 、 $x(s,\mu)$ 、 $g$ 、 $G$ 、 $\varepsilon_1$ 、 $M$ 、 $\hat\mu$ を取る。補題 7.2 (1)と補題 7.2 (2)により、 $\hat\mu$ は $C^1$ 級であり、 $\hat\mu(0)=\mu_0$ 、 $\hat\mu'(0)=-\partial_sG(0,\mu_0)/\theta_{x\mu}=-\theta_{xx}/(2\theta_{x\mu})\ne0$ である。 $\hat\mu'$ は連続であるから、 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_1]$ を、 $\hat\mu'$ が $(-\varepsilon,\varepsilon)$ で零にならないように取る。このとき $\hat\mu$ は $(-\varepsilon,\varepsilon)$ の上で狭義単調であり、 $\hat\mu((-\varepsilon,\varepsilon))$ は $\mu_0$ を含む開区間である。 $\delta>0$ を、 $(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)\subseteq M\cap\hat\mu((-\varepsilon,\varepsilon))$ となるように取り、 $V$ 、 $\hat x$ を補題 7.2 (3)のもの（この $\varepsilon$ について）とする。同項により主張 (1)が成り立つ。

$(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)\subseteq M$ であるから、補題 7.2 (3)の同値から主張 (2)が従う。

主張 (3)を示す。 $\mu\in(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)$ は $\hat\mu((-\varepsilon,\varepsilon))$ に属し、 $\hat\mu$ は狭義単調であるから、 $\hat\mu(s)=\mu$ を満たす $s\in(-\varepsilon,\varepsilon)$ はただ一つである。 $\mu\ne\mu_0=\hat\mu(0)$ ならばこの $s$ は $0$ でなく、 $\hat x(s)\ne x_0$ であるから、平衡点は主張 (2)によりちょうど二個である。 $\mu=\mu_0$ ならば $s=0$ であり、 $\hat x(0)=x_0$ である。

本定理の仮定は補題 7.2（ $k=2$ ）の仮定を含むから、補題 7.2 (5)により主張 (4)が成り立つ。▨

9 ピッチフォーク分岐

定理 9.1. $n\in\NN$ とし、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $\Lambda\subseteq\R$ を開区間、 $F\in C^3(U\times\Lambda,\R^n)$ とし、 $x_0\in U$ がすべての $\mu\in\Lambda$ について $F(x_0,\mu)=0$ を満たし、 $\mu_0\in\Lambda$ について $A_0=D_xF(x_0,\mu_0)$ の固有値 $0$ が代数的に単純であるとする。 $(v,w)$ を $A_0$ の零固有対とし、 $w^{\mathsf T}D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,v]=0$ であるとする。 $\xi\in\ker w^{\mathsf T}$ を $A_0\xi=-D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,v]$ を満たす唯一の元とし（系 5.3 (4)）、

\theta_{x\mu}=w^{\mathsf T}D_\mu D_xF(x_0,\mu_0)[v],\qquad \theta_{xxx}=w^{\mathsf T}\bigl(D_x^3F(x_0,\mu_0)[v,v,v]+3D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,\xi]\bigr)

とおく。 $\theta_{x\mu}\ne0$ かつ $\theta_{xxx}\ne0$ であるとする。 $x(s,\mu)$ 、 $g$ を系 5.3（ $k=3$ ）のものとする。このとき、 $\varepsilon>0$ 、 $x_0$ の開近傍 $V\subseteq U$ 、 $\delta>0$ と、 $C^2$ 級の写像 $\hat x:(-\varepsilon,\varepsilon)\to V$ 、 $\hat\mu:(-\varepsilon,\varepsilon)\to\Lambda$ が存在して、次が成り立つ。

$\hat x(s)=x(s,\hat\mu(s))$ かつ $g(s,\hat\mu(s))=0$ （ $\lvert s\rvert<\varepsilon$ ）であり、 $\hat x(0)=x_0$ 、 $\hat x'(0)=v$ 、 $\hat\mu(0)=\mu_0$ 、 $\hat\mu'(0)=0$ 、 $\hat\mu''(0)=-\theta_{xxx}/(3\theta_{x\mu})$ であり、 $s\ne0$ ならば $\hat x(s)\ne x_0$ である。 $\hat\mu(s)=\mu_0+c_2s^2+o(s^2)$ （ $s\to0$ ）、 $c_2=-\theta_{xxx}/(6\theta_{x\mu})\ne0$ である。
$(y,\mu)\in V\times(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)$ について、 $F(y,\mu)=0$ であることと、 $y=x_0$ であるか、または $s\in(-\varepsilon,\varepsilon)$ が存在して $(y,\mu)=(\hat x(s),\hat\mu(s))$ であることは同値である。
$\tau=\operatorname{sgn}c_2$ とする。 $\mu\in(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)$ について、 $V$ の中にある $F(\cdot,\mu)$ の平衡点の個数は、 $\tau(\mu-\mu_0)>0$ のとき $3$ （ $x_0$ と、 $s<0$ と $s>0$ にそれぞれ対応する $\hat x(s)$ の二個）、 $\tau(\mu-\mu_0)\le0$ のとき $1$ （ $x_0$ ）である。
$(x_0,\mu_0)$ は族 $x'=F(x,\mu)$ の分岐点である。

証明.補題 7.2（ $k=3$ ）の $\varepsilon_0$ 、 $\Lambda_0$ 、 $V_0$ 、 $W$ 、 $x(s,\mu)$ 、 $g$ 、 $G$ 、 $\varepsilon_1$ 、 $M$ 、 $\hat\mu$ を取る。 $w^{\mathsf T}D_x^2F(x_0,\mu_0)[v,v]=0$ であるから、系 5.3 (4)により $\xi=\partial_s^2W(0,\mu_0)$ であり、系 5.3 (5)により $\partial_s^3g(0,\mu_0)=\theta_{xxx}$ である。補題 7.2 (1)により、 $G$ は $C^2$ 級であり、 $\partial_\mu G(0,\mu_0)=\theta_{x\mu}$ 、 $\partial_sG(0,\mu_0)=0$ 、 $\partial_s^2G(0,\mu_0)=\theta_{xxx}/3$ である。補題 7.2 (2)により、 $\hat\mu$ は $C^2$ 級であり、 $\hat\mu(0)=\mu_0$ 、 $\hat\mu'(0)=0$ 、 $\lvert s\rvert<\varepsilon_1$ について $G(s,\hat\mu(s))=0$ である。 $G(s,\hat\mu(s))=0$ を二回微分して $s=0$ を代入すると、 $\partial_s^2G+2\partial_s\partial_\mu G\,\hat\mu'+\partial_\mu^2G\,\hat\mu'^2+\partial_\mu G\,\hat\mu''=0$ であり、 $\hat\mu'(0)=0$ により $\hat\mu''(0)=-\partial_s^2G(0,\mu_0)/\partial_\mu G(0,\mu_0)=-\theta_{xxx}/(3\theta_{x\mu})$ である。 $\hat\mu$ は $C^2$ 級であるから、Taylor の定理により $\hat\mu(s)=\mu_0+\tfrac12\hat\mu''(0)s^2+o(s^2)$ である。

補題 6.1により、 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_1]$ を、その主張が成り立つように取り（ $\sigma=\tau$ ）、 $\delta_1>0$ を補題 6.1 (2)（ $\varepsilon'=\varepsilon$ ）の $\delta$ とする。 $\delta>0$ を、 $\delta\le\delta_1$ 、 $(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)\subseteq M$ となるように取り、 $V$ 、 $\hat x$ を補題 7.2 (3)のもの（この $\varepsilon$ について）とする。同項により、 $\hat x$ は $C^2$ 級であり、 $\hat x(s)=x(s,\hat\mu(s))$ 、 $g(s,\hat\mu(s))=0$ 、 $\hat x(0)=x_0$ 、 $\hat x'(0)=v$ であり、 $s\ne0$ ならば $\hat x(s)\ne x_0$ である。これで主張 (1)は示された。

$(\mu_0-\delta,\mu_0+\delta)\subseteq M$ であるから、補題 7.2 (3)の同値から主張 (2)が従う。

主張 (3)を示す。補題 7.2 (3)により $\hat x$ は単射で、 $s\ne0$ ならば $\hat x(s)\ne x_0$ であるから、 $V$ の中の平衡点の個数は、 $1+\#\{s\in(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus\{0\}:\hat\mu(s)=\mu\}$ である。補題 6.1 (2)により、この個数は $\tau(\mu-\mu_0)>0$ のとき $1+2=3$ 、 $\tau(\mu-\mu_0)\le0$ のとき $1$ である。

本定理の仮定は補題 7.2（ $k=3$ ）の仮定を含むから、補題 7.2 (5)により主張 (4)が成り立つ。▨

10 安定性の交代

補題 10.1. $n\in\NN$ とし、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $\Lambda\subseteq\R$ を開区間、 $F\in C^2(U\times\Lambda,\R^n)$ とし、 $F(x_0,\mu_0)=0$ を満たす $(x_0,\mu_0)\in U\times\Lambda$ について、 $A_0=D_xF(x_0,\mu_0)$ の固有値 $0$ は代数的に単純であり、 $0$ 以外の固有値の実部はすべて負であるとする。 $(v,w)$ を $A_0$ の零固有対とし、 $\varepsilon_0$ 、 $\Lambda_0$ 、 $W$ 、 $x(s,\mu)$ 、 $g$ を系 5.3（ $k=2$ ）のものとして、 $A(s,\mu)=D_xF(x(s,\mu),\mu)$ とおく。このとき、 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$ 、 $\mu_0$ を含む開区間 $\Lambda_1\subseteq\Lambda_0$ と $r>0$ が存在して、 $(s,\mu)\in(-\varepsilon,\varepsilon)\times\Lambda_1$ について、次が成り立つ。

$A(s,\mu)$ の固有値のうち、開正方形 $\{z\in\C:\lvert\Re z\rvert<r,\ \lvert\Im z\rvert<r\}$ の中にあるものはちょうど一つ（これを $\lambda(s,\mu)$ とする）であり、 $\lambda(s,\mu)$ は実数で代数的に単純である。他の $n-1$ 個の固有値（代数的重複度を込める）の実部は $-r$ より小さい。
$\lambda(s,\mu)$ の符号は $\partial_sg(s,\mu)$ の符号に等しい。すなわち、 $\lambda(s,\mu)$ が正、零、負であることは、それぞれ $\partial_sg(s,\mu)$ が正、零、負であることと同値である。

証明. $a=\min\{-\Re\lambda:\lambda$ は $A_0$ の固有値で $\lambda\ne0\}>0$ （他の固有値が無ければ $a=1$ ）、 $r=\min\{a,1\}/2$ とする。 $A_0$ の固有値は $0$ と、実部が $-a$ 以下のもの（ $-a\le-2r<-r$ ）であるから、直線 $\{z\in\C:\Re z=-r\}$ と $\{z\in\C:\Re z=r\}$ の上に $A_0$ の固有値は無く、 $\Re z>-r$ にある $A_0$ の固有値の個数は $1$ 、 $\Re z>r$ にある $A_0$ の固有値の個数は $0$ である（代数的重複度を込める）。 $A(s,\mu)$ は $(0,\mu_0)$ で連続であるから、補題 3.2 (4)（ $T=(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)\times\Lambda_0$ 、 $t_0=(0,\mu_0)$ ）を $c=-r$ と $c=r$ に適用し、得られる二つの $\delta$ の小さい方を $\delta_*$ とする。 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$ と $\mu_0$ を含む開区間 $\Lambda_1\subseteq\Lambda_0$ を、 $(s,\mu)\in(-\varepsilon,\varepsilon)\times\Lambda_1$ ならば $\lVert(s,\mu)-(0,\mu_0)\rVert<\delta_*$ となるように取る。このとき、 $(s,\mu)\in(-\varepsilon,\varepsilon)\times\Lambda_1$ について、 $A(s,\mu)$ の固有値のうち、実部が $-r$ より大きいものは代数的重複度を込めてちょうど $1$ 個であり、実部が $r$ 以上のものは無く、他の $n-1$ 個の実部は $-r$ より小さい。実部が $-r$ より大きい固有値を $\lambda(s,\mu)$ とする。 $A(s,\mu)$ は実行列であるから、 $\overline{\lambda(s,\mu)}$ も $A(s,\mu)$ の固有値であり、その実部は $\lambda(s,\mu)$ の実部に等しい。実部が $-r$ より大きい固有値は一個であるから $\overline{\lambda(s,\mu)}=\lambda(s,\mu)$ であり、 $\lambda(s,\mu)$ は実数で代数的に単純である。 $-r<\lambda(s,\mu)<r$ であるから、 $\lambda(s,\mu)$ は開正方形 $\{z\in\C:\lvert\Re z\rvert<r,\ \lvert\Im z\rvert<r\}$ の中にあり、他の固有値の実部は $-r$ より小さいから、この開正方形の中にある他の固有値は無い。これで主張 (1)は示された。

主張 (2)を示す。

主張 10.1.1. $d\in\Z_{\ge0}$ とし、実係数の多項式 $p(z)=\prod_{j=1}^d(z-\lambda_j)$ の根 $\lambda_1,\ldots,\lambda_d$ の実部がすべて負であるとする。このとき、 $\lambda_1\cdots\lambda_d$ は実数であり、その符号は $(-1)^d$ である。

証明. $\overline{p(\bar z)}=p(z)$ であるから、実でない根はその共役と同じ重複度をもち、共役な二根の積 $\lambda\bar\lambda=\lvert\lambda\rvert^2$ は正である。実の根は負であり、その個数（重複度を込める）は $d$ から偶数を引いたものである。▨

$n=1$ のとき、 $\ker w^{\mathsf T}=\{0\}$ であるから $W=0$ 、 $x(s,\mu)=x_0+sv$ であり、 $wv=1$ により $\partial_sg(s,\mu)=w\,D_xF(x_0+sv,\mu)\,v=A(s,\mu)$ である。 $A(s,\mu)$ の固有値は $A(s,\mu)$ 自身であるから、 $\lambda(s,\mu)=\partial_sg(s,\mu)$ である。

$n\ge2$ とする。 $e_2,\ldots,e_n$ を $\ker w^{\mathsf T}$ の基底とし、 $E=(e_2,\ldots,e_n)\in\R^{n\times(n-1)}$ とおく。 $w^{\mathsf T}v=1$ により $v\notin\ker w^{\mathsf T}$ であるから、 $n$ 次正方行列 $(v,E)$ は可逆である。 $w^{\mathsf T}A_0=0$ であるから $A_0E$ の列は $\ker w^{\mathsf T}$ に属し、 $A_0E=EB$ を満たす $B\in\R^{(n-1)\times(n-1)}$ が存在する。 $A_0v=0$ であるから $A_0(v,E)=(v,E)\begin{pmatrix}0&0\\0&B\end{pmatrix}$ であり、§E3.20 定理 2.2により $\chi_{A_0}(z)=z\,\chi_B(z)$ である。 $0$ は $\chi_{A_0}$ の単根であるから、 $\chi_B$ の根は $A_0$ の $0$ 以外の固有値（代数的重複度を込める）であり、その実部はすべて負である。 $\det B=(-1)^{n-1}\chi_B(0)$ は $\chi_B$ の根の積であるから、主張 10.1.1により $\det B$ の符号は $(-1)^{n-1}$ である。

系 5.3 (2)を $s$ について微分すると、 $u(s,\mu)=v+\partial_sW(s,\mu)$ について $A(s,\mu)u(s,\mu)=\partial_sg(s,\mu)v$ である。 $W$ は $\ker w^{\mathsf T}$ に値をとるから $\partial_sW(s,\mu)\in\ker w^{\mathsf T}$ であり、 $\det(u(s,\mu),E)=\det(v,E)$ である。したがって

\det A(s,\mu)\,\det(v,E)=\det\bigl(A(s,\mu)u(s,\mu),A(s,\mu)E\bigr)=\partial_sg(s,\mu)\,\det\bigl(v,A(s,\mu)E\bigr)

である。 $\beta(s,\mu)=\det(v,A(s,\mu)E)/\det(v,E)$ は連続であり、 $(v,A_0E)=(v,E)\begin{pmatrix}1&0\\0&B\end{pmatrix}$ により $\beta(0,\mu_0)=\det B$ である。 $\varepsilon$ と $\Lambda_1$ を縮めて、 $(s,\mu)\in(-\varepsilon,\varepsilon)\times\Lambda_1$ について $\beta(s,\mu)$ の符号が $(-1)^{n-1}$ であるとする。一方、 $\det A(s,\mu)$ は $A(s,\mu)$ の固有値の積であり、主張 (1)により $\det A(s,\mu)=\lambda(s,\mu)\,\pi(s,\mu)$ と書かれる。ここで $\pi(s,\mu)$ は実係数の多項式 $\chi_{A(s,\mu)}(z)/(z-\lambda(s,\mu))$ の根の積であり、その根の実部はすべて $-r$ より小さいから、主張 10.1.1により $\pi(s,\mu)$ の符号は $(-1)^{n-1}$ である。 $\det A(s,\mu)=\partial_sg(s,\mu)\,\beta(s,\mu)$ であるから、 $\lambda(s,\mu)\,\pi(s,\mu)=\partial_sg(s,\mu)\,\beta(s,\mu)$ であり、 $\pi(s,\mu)$ と $\beta(s,\mu)$ の符号は等しく零でないから、 $\lambda(s,\mu)$ と $\partial_sg(s,\mu)$ の符号は一致する。▨

系 10.2. $n\in\NN$ とし、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $\Lambda\subseteq\R$ を開区間、 $F\in C^2(U\times\Lambda,\R^n)$ とし、 $F(x_0,\mu_0)=0$ を満たす $(x_0,\mu_0)\in U\times\Lambda$ について、 $A_0=D_xF(x_0,\mu_0)$ の固有値 $0$ は代数的に単純であり、 $0$ 以外の固有値の実部はすべて負であるとする。 $(v,w)$ を $A_0$ の零固有対とし、 $\varepsilon_0$ 、 $\Lambda_0$ 、 $x(s,\mu)$ 、 $g$ を系 5.3（ $k=2$ ）のものとする。ただし主張 (5)では、定理 9.1の仮定により $F\in C^3(U\times\Lambda,\R^n)$ であるから、 $\varepsilon_0$ 、 $\Lambda_0$ 、 $x(s,\mu)$ 、 $g$ を系 5.3（ $k=3$ ）のものとする。これらは $k=2$ の場合の結論も満たす。 $\varepsilon_1$ 、 $\Lambda_1$ を補題 10.1の $\varepsilon$ 、 $\Lambda_1$ とする。このとき、次が成り立つ。

$(s,\mu)\in(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)\times\Lambda_1$ が $g(s,\mu)=0$ を満たすとき、 $x(s,\mu)$ は $F(\cdot,\mu)$ の平衡点である。 $\partial_sg(s,\mu)<0$ ならばこの平衡点は漸近安定であり、 $\partial_sg(s,\mu)>0$ ならば不安定である。
定理 6.2の仮定が成り立つとし、同定理の $\hat x$ 、 $\hat\mu$ 、 $\varepsilon$ 、 $V$ を取り、 $\sigma=\operatorname{sgn}\hat\mu''(0)$ とする。このとき、 $\varepsilon'\in(0,\min\{\varepsilon,\varepsilon_1\}]$ が存在して、 $0<\lvert s\rvert<\varepsilon'$ について、 $\hat x(s)$ は $F(\cdot,\hat\mu(s))$ の平衡点であり、 $s\theta_{xx}<0$ ならば漸近安定、 $s\theta_{xx}>0$ ならば不安定である。さらに、 $\delta'>0$ が存在して、 $0<\sigma(\mu-\mu_0)<\delta'$ を満たすすべての $\mu$ について、 $V$ の中にある $F(\cdot,\mu)$ の二個の平衡点の一方は漸近安定であり、他方は不安定である。
すべての $\mu\in\Lambda$ について $F(x_0,\mu)=0$ であり、 $\theta_{x\mu}=w^{\mathsf T}D_\mu D_xF(x_0,\mu_0)[v]\ne0$ であるとする。このとき、 $\delta_0>0$ が存在して、 $0<\lvert\mu-\mu_0\rvert<\delta_0$ を満たすすべての $\mu$ について、 $x_0$ は、 $\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0)<0$ ならば $F(\cdot,\mu)$ の漸近安定な平衡点、 $\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0)>0$ ならば不安定な平衡点である。
定理 8.1の仮定が成り立つとし、同定理の $\hat x$ 、 $\hat\mu$ 、 $\varepsilon$ 、 $\delta$ 、 $V$ を取る。このとき、 $\delta'\in(0,\delta]$ が存在して、 $0<\lvert\mu-\mu_0\rvert<\delta'$ を満たすすべての $\mu$ について、 $x_0$ は、 $\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0)<0$ ならば $F(\cdot,\mu)$ の漸近安定な平衡点、 $\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0)>0$ ならば不安定な平衡点である。 $V$ の中にある $F(\cdot,\mu)$ の他方の平衡点 $\hat x(s)$ （ $s\in(-\varepsilon,\varepsilon)$ 、 $\hat\mu(s)=\mu$ ）は、 $\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0)>0$ ならば漸近安定、 $\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0)<0$ ならば不安定である。
定理 9.1の仮定が成り立つとし、同定理の $\hat x$ 、 $\hat\mu$ 、 $\varepsilon$ 、 $\delta$ 、 $V$ 、 $\tau$ を取る。このとき、 $\varepsilon'\in(0,\min\{\varepsilon,\varepsilon_1\}]$ と $\delta'\in(0,\delta]$ が存在して、次が成り立つ。 $0<\lvert\mu-\mu_0\rvert<\delta'$ について、 $x_0$ は、 $\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0)<0$ ならば $F(\cdot,\mu)$ の漸近安定な平衡点、 $\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0)>0$ ならば不安定な平衡点である。 $0<\lvert s\rvert<\varepsilon'$ について、 $\hat x(s)$ は、 $\theta_{xxx}<0$ ならば $F(\cdot,\hat\mu(s))$ の漸近安定な平衡点、 $\theta_{xxx}>0$ ならば不安定な平衡点である。さらに、 $0<\tau(\mu-\mu_0)<\delta'$ を満たすすべての $\mu$ について、 $V$ の中にある $F(\cdot,\mu)$ の平衡点は、 $x_0$ と、 $0<\lvert s\rvert<\varepsilon'$ かつ $\hat\mu(s)=\mu$ を満たす二つの $s$ についての $\hat x(s)$ であり、 $\theta_{xxx}>0$ ならば $x_0$ は漸近安定、二つの $\hat x(s)$ は不安定であり、 $\theta_{xxx}<0$ ならば $x_0$ は不安定、二つの $\hat x(s)$ は漸近安定である。

証明.主張 (1)を示す。 $r$ を補題 10.1の $r$ とする。系 5.3 (2)により $F(x(s,\mu),\mu)=g(s,\mu)v=0$ である。 $D_xF(x(s,\mu),\mu)=A(s,\mu)$ の固有値は、補題 10.1 (1)により、実数 $\lambda(s,\mu)$ と実部が $-r$ より小さい固有値である。 $F(\cdot,\mu)$ は $U$ 上の $C^1$ 級の写像であるから、§E13.4 補題 4.2（ $\Omega=\R\times U$ 、 $f(t,y)=F(y,\mu)$ ）により局所 Lipschitz 連続であり、§E13.16 定理 4.5を $W=U$ として適用することができる。 $\partial_sg(s,\mu)<0$ ならば、補題 10.1 (2)により $\lambda(s,\mu)<0$ であり、すべての固有値の実部が負であるから、§E13.16 定理 4.5 (1)により $x(s,\mu)$ は漸近安定である。 $\partial_sg(s,\mu)>0$ ならば $\lambda(s,\mu)>0$ は実部が正の固有値であるから、§E13.16 定理 4.5 (2)により $x(s,\mu)$ は不安定である。

主張 (2)を示す。定理 6.2 (1)により、 $\hat x(s)=x(s,\hat\mu(s))$ 、 $g(s,\hat\mu(s))=0$ 、 $\hat\mu(0)=\mu_0$ 、 $\hat\mu''(0)=-\theta_{xx}/\theta_\mu\ne0$ であるから、 $\sigma=-\operatorname{sgn}(\theta_{xx})\operatorname{sgn}(\theta_\mu)$ である。系 5.3 (3)により $\partial_\mu g(0,\mu_0)=\theta_\mu\ne0$ であり、 $\partial_\mu g$ と $\hat\mu$ は連続である。補題 6.1を $\hat\mu$ （同補題の $\varepsilon_1$ を同定理の $\varepsilon$ とする）に適用し、同補題の $\varepsilon$ を $\varepsilon_2$ とする。 $\varepsilon'\in(0,\min\{\varepsilon_2,\varepsilon_1\}]$ を、 $\lvert s\rvert<\varepsilon'$ について $\hat\mu(s)\in\Lambda_1$ かつ $\operatorname{sgn}\partial_\mu g(s,\hat\mu(s))=\operatorname{sgn}\theta_\mu$ となるように取る。補題 6.1 (1)により、 $0<\lvert s\rvert<\varepsilon'$ について $\sigma s\hat\mu'(s)>0$ である。 $g(s,\hat\mu(s))=0$ を微分して $\partial_sg(s,\hat\mu(s))=-\partial_\mu g(s,\hat\mu(s))\hat\mu'(s)$ であるから、 $0<\lvert s\rvert<\varepsilon'$ について

\operatorname{sgn}\partial_sg(s,\hat\mu(s))=-\operatorname{sgn}(\theta_\mu)\,\sigma\operatorname{sgn}(s)=\operatorname{sgn}(s)\operatorname{sgn}(\theta_{xx})

である。主張 (1)により、 $0<\lvert s\rvert<\varepsilon'$ についての主張を得る。 $\varepsilon'\le\varepsilon_2$ であるから、 $\delta''>0$ を補題 6.1 (2)（この $\varepsilon'$ ）の $\delta$ とし、 $\delta$ を定理 6.2の $\delta$ として $\delta'=\min\{\delta,\delta''\}$ とおく。 $0<\sigma(\mu-\mu_0)<\delta'$ とする。補題 6.1 (2)により、 $\hat\mu(s)=\mu$ を満たす $s\in(-\varepsilon',\varepsilon')$ は、負の $s_-$ と正の $s_+$ の二つである。定理 6.2 (2)により $\hat x(s_\pm)$ は $V$ の中にある $F(\cdot,\mu)$ の平衡点であり、系 5.3 (1)により $w^{\mathsf T}(\hat x(s_\pm)-x_0)=s_\pm$ であるから $\hat x(s_-)\ne\hat x(s_+)$ である。定理 6.2 (3)により、 $V$ の中にある $F(\cdot,\mu)$ の平衡点は $\hat x(s_-)$ と $\hat x(s_+)$ だけである。 $s_-\theta_{xx}$ と $s_+\theta_{xx}$ の符号は反対であるから、一方は漸近安定であり、他方は不安定である。

主張 (3)を示す。 $h(\mu)=\partial_sg(0,\mu)$ （ $\mu\in\Lambda_0$ ）とおく。 $g$ は $C^2$ 級であるから $h$ は $C^1$ 級であり、系 5.3 (3)により $h(\mu_0)=0$ である。§E4.4 定理 2.1と系 5.3 (6)により $h'(\mu_0)=\partial_s\partial_\mu g(0,\mu_0)=\theta_{x\mu}\ne0$ である。したがって $\delta_0>0$ が存在して、 $0<\lvert\mu-\mu_0\rvert<\delta_0$ ならば $\mu\in\Lambda_1$ かつ $\operatorname{sgn}h(\mu)=\operatorname{sgn}(\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0))$ である。このような $\mu$ について、系 5.3 (6)により $x(0,\mu)=x_0+W(0,\mu)=x_0$ 、 $g(0,\mu)=0$ であるから、主張 (1)（ $s=0$ ）により、 $x_0$ は $\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0)<0$ ならば漸近安定、 $\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0)>0$ ならば不安定である。

主張 (4)を示す。定理 8.1の仮定は主張 (3)の仮定を含むから、同項の $\delta_0$ について、 $0<\lvert\mu-\mu_0\rvert<\delta_0$ ならば $x_0$ についての主張が成り立つ。他方の平衡点について、 $G$ を補題 7.2（ $k=2$ ）の関数とする。定理 8.1 (1)により、 $\hat\mu$ は $C^1$ 級であり、 $\lvert s\rvert<\varepsilon$ について $g(s,\hat\mu(s))=0$ であるから、補題 7.2 (4)により $\partial_sg(s,\hat\mu(s))=-s\,\partial_\mu G(s,\hat\mu(s))\,\hat\mu'(s)$ である。補題 7.2 (1)により $\partial_\mu G(0,\mu_0)=\theta_{x\mu}$ であり、定理 8.1 (1)により $\hat\mu'(0)=-\theta_{xx}/(2\theta_{x\mu})\ne0$ である。 $\varepsilon'\in(0,\min\{\varepsilon,\varepsilon_1\}]$ を、 $\lvert s\rvert<\varepsilon'$ について $\hat\mu(s)\in\Lambda_1$ 、 $\operatorname{sgn}\partial_\mu G(s,\hat\mu(s))=\operatorname{sgn}\theta_{x\mu}$ 、 $\operatorname{sgn}\hat\mu'(s)=\operatorname{sgn}\hat\mu'(0)$ となるように取る。このとき $\hat\mu$ は $(-\varepsilon',\varepsilon')$ の上で狭義単調であり、 $\operatorname{sgn}(\hat\mu(s)-\mu_0)=\operatorname{sgn}(s)\operatorname{sgn}\hat\mu'(0)$ であるから、 $0<\lvert s\rvert<\varepsilon'$ について

\operatorname{sgn}\partial_sg(s,\hat\mu(s))=-\operatorname{sgn}(s)\operatorname{sgn}(\theta_{x\mu})\operatorname{sgn}\hat\mu'(0)=-\operatorname{sgn}\bigl(\theta_{x\mu}(\hat\mu(s)-\mu_0)\bigr)

である。 $\hat\mu((-\varepsilon',\varepsilon'))$ は $\mu_0$ を含む開区間であるから、 $\delta'\in(0,\min\{\delta,\delta_0\}]$ を、 $(\mu_0-\delta',\mu_0+\delta')\subseteq\hat\mu((-\varepsilon',\varepsilon'))$ となるように取る。 $0<\lvert\mu-\mu_0\rvert<\delta'$ とすると、 $\hat\mu(s')=\mu$ を満たす $s'\in(-\varepsilon',\varepsilon')$ が存在し、 $\mu\ne\mu_0=\hat\mu(0)$ により $s'\ne0$ である。定理 8.1 (1)と定理 8.1 (2)により $\hat x(s')$ は $V$ の中にある $x_0$ と異なる $F(\cdot,\mu)$ の平衡点であるから、定理 8.1 (3)により、他方の平衡点は $\hat x(s')$ である。主張 (1)により、 $\hat x(s')$ は $\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0)>0$ ならば漸近安定、 $\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0)<0$ ならば不安定である。

主張 (5)を示す。定理 9.1の仮定は主張 (3)の仮定を含むから、同項の $\delta_0$ について、 $0<\lvert\mu-\mu_0\rvert<\delta_0$ ならば $x_0$ についての主張が成り立つ。

$\hat x(s)$ について、 $G$ を補題 7.2（ $k=3$ ）の関数とする。定理 9.1 (1)により、 $\hat\mu$ は $C^2$ 級であり、 $\lvert s\rvert<\varepsilon$ について $g(s,\hat\mu(s))=0$ であり、 $\hat\mu'(0)=0$ 、 $\hat\mu''(0)=-\theta_{xxx}/(3\theta_{x\mu})=2c_2$ であるから、 $\tau=\operatorname{sgn}\hat\mu''(0)=-\operatorname{sgn}(\theta_{xxx})\operatorname{sgn}(\theta_{x\mu})$ である。補題 7.2 (4)により $\partial_sg(s,\hat\mu(s))=-s\,\partial_\mu G(s,\hat\mu(s))\,\hat\mu'(s)$ であり、補題 7.2 (1)により $\partial_\mu G(0,\mu_0)=\theta_{x\mu}$ である。補題 6.1を $\hat\mu$ （同補題の $\varepsilon_1$ を同定理の $\varepsilon$ とし、 $\sigma=\tau$ ）に適用し、同補題の $\varepsilon$ を $\varepsilon_2$ とする。 $\varepsilon'\in(0,\min\{\varepsilon_2,\varepsilon_1\}]$ を、 $\lvert s\rvert<\varepsilon'$ について $\hat\mu(s)\in\Lambda_1$ かつ $\operatorname{sgn}\partial_\mu G(s,\hat\mu(s))=\operatorname{sgn}\theta_{x\mu}$ となるように取る。補題 6.1 (1)により、 $0<\lvert s\rvert<\varepsilon'$ について $\tau s\hat\mu'(s)>0$ であるから、

\operatorname{sgn}\partial_sg(s,\hat\mu(s))=-\operatorname{sgn}(s)\operatorname{sgn}(\theta_{x\mu})\,\tau\operatorname{sgn}(s)=-\tau\operatorname{sgn}(\theta_{x\mu})=\operatorname{sgn}(\theta_{xxx})

であり、主張 (1)により、 $\hat x(s)$ は $\theta_{xxx}<0$ ならば漸近安定、 $\theta_{xxx}>0$ ならば不安定である。

$\varepsilon'\le\varepsilon_2$ であるから、 $\delta''>0$ を補題 6.1 (2)（この $\varepsilon'$ ）の $\delta$ とし、 $\delta'=\min\{\delta,\delta_0,\delta''\}$ とおく。 $0<\tau(\mu-\mu_0)<\delta'$ とする。補題 6.1 (2)により、 $\hat\mu(s)=\mu$ を満たす $s\in(-\varepsilon',\varepsilon')$ は負と正の二つであり、系 5.3 (1)により $w^{\mathsf T}(\hat x(s)-x_0)=s$ であるから、二つの $\hat x(s)$ は互いに異なり、 $x_0$ とも異なる。定理 9.1 (2)によりこれらは $V$ の中にある $F(\cdot,\mu)$ の平衡点であり、定理 9.1 (3)により、 $V$ の中にある平衡点は $x_0$ とこれら二つだけである。 $\operatorname{sgn}(\theta_{x\mu}(\mu-\mu_0))=\tau\operatorname{sgn}(\theta_{x\mu})=-\operatorname{sgn}\theta_{xxx}$ であるから、 $\theta_{xxx}>0$ ならば $x_0$ は漸近安定、二つの $\hat x(s)$ は不安定であり、 $\theta_{xxx}<0$ ならば $x_0$ は不安定、二つの $\hat x(s)$ は漸近安定である。▨

注意 10.3.系 10.2 (3)の仮定の下で、 $A(\mu)=D_xF(x_0,\mu)$ （ $\mu\in\Lambda$ ）とおく。 $F$ は $C^2$ 級であるから $A\in C^1(\Lambda,\R^{n\times n})$ であり、 $A(\mu_0)=A_0$ の固有値 $0$ は代数的に単純で、 $A_0v=0$ 、 $w^{\mathsf T}A_0=0$ 、 $w^{\mathsf T}v=1$ である。補題 4.2（ $k=1$ 、 $\lambda_0=0$ 、 $v_0=v$ 、 $w$ ）の $\lambda$ について、補題 4.2 (4)により $\lambda(\mu)$ は実数であり、補題 4.2 (2)と $A'(\mu_0)v=D_\mu D_xF(x_0,\mu_0)[v]$ により $\lambda'(\mu_0)=w^{\mathsf T}A'(\mu_0)v=\theta_{x\mu}$ である。したがって、横断条件 $\theta_{x\mu}\ne0$ は、自明な平衡点 $x_0$ における線形化の代数的に単純な実固有値 $\lambda(\mu)$ の $\mu_0$ での微分係数が零でないという条件である。代数的に単純な非実固有値 $\lambda(\mu)$ が $\mu=\mu_0$ で虚軸の上にある場合に、これに対応する条件は $\Re\lambda'(\mu_0)\ne0$ である（問題 12.2）。

11 例

例 11.1. $n=1$ 、 $U=\Lambda=\R$ 、 $(x_0,\mu_0)=(0,0)$ とする。このとき、以下のいずれでも $D_xF(0,0)=0$ であり、 $0$ は代数的に単純な固有値で、零固有対は $(v,w)=(1,1)$ である。

$F(x,\mu)=\mu-x^2$ のとき、 $\theta_\mu=1$ 、 $\theta_{xx}=-2$ であり、定理 6.2の仮定が成り立つ。平衡点の集合は $\mu=x^2$ であり、 $\hat x(s)=s$ 、 $\hat\mu(s)=s^2$ 、 $\hat\mu''(0)=2=-\theta_{xx}/\theta_\mu$ である。 $\mu>0$ に平衡点が二個（ $\pm\sqrt\mu$ ）、 $\mu<0$ に零個ある。定理 6.2 (4)により $(0,0)$ は分岐点である。 $D_xF(x,\mu)=-2x$ であるから、 $\sqrt\mu$ は漸近安定、 $-\sqrt\mu$ は不安定であり、系 10.2 (2)の符号 $s\theta_{xx}<0$ と一致する。
$F(x,\mu)=\mu x-x^2$ のとき、 $F(0,\mu)=0$ 、 $\theta_{x\mu}=1$ 、 $\theta_{xx}=-2$ であり、定理 8.1の仮定が成り立つ。平衡点は $x=0$ と $x=\mu$ であり、 $\hat x(s)=s$ 、 $\hat\mu(s)=s$ 、 $\hat\mu'(0)=1=-\theta_{xx}/(2\theta_{x\mu})$ である。定理 8.1 (4)により $(0,0)$ は分岐点である。 $D_xF(x,\mu)=\mu-2x$ であるから、 $x=0$ での値は $\mu$ 、 $x=\mu$ での値は $-\mu$ であり、 $\mu$ が $0$ を通過するとき二つの平衡点の安定性が入れ替わる。
$F(x,\mu)=\mu x-x^3$ のとき、 $F(0,\mu)=0$ 、 $D_x^2F(0,0)=0$ であるから $\xi=0$ 、 $\theta_{x\mu}=1$ 、 $\theta_{xxx}=-6$ 、 $c_2=1$ であり、定理 9.1の仮定が成り立つ。平衡点は $x=0$ と、 $\mu>0$ のとき $x=\pm\sqrt\mu$ である。定理 9.1 (4)により $(0,0)$ は分岐点である。 $D_xF(x,\mu)=\mu-3x^2$ であるから、 $\pm\sqrt\mu$ での値は $-2\mu<0$ であり漸近安定、 $x=0$ は $\mu>0$ で不安定、 $\mu<0$ で漸近安定である。 $F(x,\mu)=\mu x+x^3$ のときは $\theta_{xxx}=6$ 、 $c_2=-1$ であり、 $x=\pm\sqrt{-\mu}$ （ $\mu<0$ ）での $D_xF$ の値は $-2\mu>0$ であるから不安定、 $x=0$ は $\mu<0$ で漸近安定、 $\mu>0$ で不安定である。系 10.2 (5)の符号と一致する。

例 11.2. $n=1$ 、 $U=\Lambda=\R$ 、 $(x_0,\mu_0)=(0,0)$ とする。このとき、以下のいずれでも $F(0,\mu)=0$ （ $\mu\in\R$ ）、 $D_xF(0,0)=0$ であり、 $0$ は代数的に単純な固有値で、零固有対は $(v,w)=(1,1)$ である。

$F(x,\mu)=\mu x-x^3$ のとき、 $\theta_{x\mu}=1\ne0$ であるが、 $\theta_{xx}=D_x^2F(0,0)=0$ である。 $\mu>0$ の平衡点は $0$ 、 $\pm\sqrt\mu$ の三個である。 $0$ の任意の開近傍 $V$ と任意の $\delta>0$ について、 $0<\mu<\delta$ かつ $\pm\sqrt\mu\in V$ を満たす $\mu$ が存在するから、定理 8.1 (3)の結論（ $\mu\ne\mu_0$ で平衡点はちょうど二個）は $\theta_{xx}\ne0$ を外すと成り立たない。
$F(x,\mu)=-x^2$ のとき、 $\theta_{xx}=-2\ne0$ であるが、 $\theta_{x\mu}=0$ である。すべての $\mu$ について平衡点は $0$ だけであるから、定理 8.1 (3)の結論は $\theta_{x\mu}\ne0$ を外すと成り立たない。
$F(x,\mu)=\mu^2x-x^2$ のとき、 $\theta_{xx}=-2\ne0$ であるが、 $\theta_{x\mu}=\partial_\mu(\mu^2)\big|_{\mu=0}=0$ である。 $\mu\ne0$ の平衡点は $0$ と $\mu^2$ の二個であり、平衡点の個数については定理 8.1 (3)と同じ結論が成り立つ。しかし $D_xF(x,\mu)=\mu^2-2x$ であるから、 $D_xF(0,\mu)=\mu^2>0$ 、 $D_xF(\mu^2,\mu)=-\mu^2<0$ であり、 $\mu$ の符号によらず $0$ は不安定、 $\mu^2$ は漸近安定である（ $F(\cdot,\mu)$ は $\R$ 上の $C^1$ 級の写像であり、§E13.4 補題 4.2により局所 Lipschitz 連続であるから、§E13.16 定理 4.5 (2)と§E13.16 定理 4.5 (1)を $W=\R$ として適用する）。したがって、系 10.2 (4)の安定性の交代は $\theta_{x\mu}\ne0$ を外すと成り立たない。

例 11.3. $n=1$ 、 $U=\Lambda=\R$ 、 $F(x,\mu)=\mu-x^3$ 、 $(x_0,\mu_0)=(0,0)$ とする。このとき、 $D_xF(0,0)=0$ であり、零固有対は $(1,1)$ で、 $\theta_\mu=1\ne0$ であるが、 $\theta_{xx}=D_x^2F(0,0)=0$ である。平衡点は $x=\mu^{1/3}$ であり、すべての $\mu\in\R$ についてちょうど一個である。したがって、定理 6.2 (3)の結論（一方の側に二個、他方の側に零個）は $\theta_{xx}\ne0$ を外すと成り立たない。また、 $\mu\mapsto\mu^{1/3}$ は $\mu=0$ で微分可能でなく、定理 3.3 (1)の $C^1$ 級の枝は、 $D_xF(0,0)$ の可逆性を外すと存在しない。一方、 $\xi(\mu)=\mu^{1/3}$ は連続であり、 $(y,\mu)\in\R\times\R$ について $F(y,\mu)=0$ であることと $y=\xi(\mu)$ であることは同値であるから、 $(0,0)$ は分岐点でない。したがって、定理 3.3 (3)の逆は成り立たず、 $D_xF(x_0,\mu_0)$ が可逆でなくても $(x_0,\mu_0)$ が分岐点であるとは限らない。 $\mu\ne0$ では $D_xF(\mu^{1/3},\mu)=-3\mu^{2/3}<0$ であるから平衡点は漸近安定であり（§E13.4 補題 4.2により $F(\cdot,\mu)$ は局所 Lipschitz 連続であるから、§E13.16 定理 4.5 (1)を $W=\R$ として適用する）、 $\mu=0$ でも、 $x'=-x^3$ の原点は漸近安定である（§E13.17 例 7.5 (1)）。

例 11.4. $n=1$ 、 $U=\Lambda=\R$ 、 $\varepsilon>0$ とし、 $F(x,\mu)=\mu x-x^3+\varepsilon$ とする。 $c=(\varepsilon/2)^{1/3}$ とおく。このとき、 $x=0$ は平衡点でなく、 $F(x,\mu)=0$ は $x\ne0$ かつ $\mu=\rho(x)=x^2-\varepsilon/x$ と同値である。 $\rho'(x)=(2x^3+\varepsilon)/x^2$ である。

$x>0$ では $\rho'>0$ であり、 $\rho$ は $(0,\infty)$ から $\R$ への全単射である。したがって各 $\mu\in\R$ について $x>0$ の平衡点がちょうど一個ある。 $D_xF(x,\rho(x))=\rho(x)-3x^2=-2x^2-\varepsilon/x<0$ であるから、これらは漸近安定である。

$x<0$ では、 $\rho'(x)<0$ （ $x<-c$ ）、 $\rho'(x)>0$ （ $-c<x<0$ ）であり、 $\rho(x)\to+\infty$ （ $x\to-\infty$ または $x\to0^-$ ）、 $\rho(-c)=c^2+\varepsilon/c=3c^2$ である（ $\varepsilon=2c^3$ ）。したがって $x<0$ の平衡点は、 $\mu<3c^2$ で零個、 $\mu=3c^2$ で一個、 $\mu>3c^2$ で二個である。 $(x_1,\mu_1)=(-c,3c^2)$ では $D_xF(x_1,\mu_1)=\mu_1-3x_1^2=0$ であり、 $\theta_\mu=D_\mu F=x_1=-c\ne0$ 、 $\theta_{xx}=D_x^2F=-6x_1=6c\ne0$ であるから、定理 6.2の仮定が成り立ち、 $\hat\mu''(0)=-\theta_{xx}/\theta_\mu=6>0$ である。 $\varepsilon=0$ のとき $F$ は例 11.1 (3)の $\mu x-x^3$ に一致し、 $F(-x,\mu)=-F(x,\mu)$ が成り立つ。 $\varepsilon>0$ のときこの等式は成り立たず、平衡点の集合は、すべての $\mu$ について平衡点を一個もつ $x>0$ の部分と、 $(-c,3c^2)$ でサドルノード分岐の仮定を満たす $x<0$ の部分からなる。全体の平衡点の個数は、 $\mu<3c^2$ で一個、 $\mu=3c^2$ で二個、 $\mu>3c^2$ で三個である。

12 演習

問題 12.1. $a\in\R$ とし、 $U=\R^2$ 、 $\Lambda=\R$ 、 $F(x,y,\mu)=(\mu x-x^3+axy,\ -y+x^2)$ とする。 $(x_0,\mu_0)=(0,0)$ で定理 9.1の仮定を確かめ、 $a\ne1$ のとき、分岐する平衡点の枝の $\mu-\mu_0$ の $s^2$ の係数 $c_2$ を $a$ で表し、枝上の平衡点が漸近安定になるための $a$ の条件を求めよ。

解答.

$F(0,0,\mu)=0$ である。 $D_xF(x,y,\mu)=\begin{pmatrix}\mu-3x^2+ay&ax\\2x&-1\end{pmatrix}$ であるから、 $A_0=\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}$ であり、固有値は $0$ （代数的に単純）と $-1$ である。 $v=w=(1,0)^{\mathsf T}$ は零固有対である。

二階微分は $D_x^2F(0)[v,v]=(\partial_x^2F_1,\partial_x^2F_2)=(-6x,2)|_0=(0,2)$ であり、 $w^{\mathsf T}D_x^2F(0)[v,v]=0$ である。 $\xi=(0,\eta)\in\ker w^{\mathsf T}$ について $A_0\xi=(0,-\eta)$ であり、 $A_0\xi=-(0,2)$ から $\xi=(0,2)$ を得る。 $D_\mu D_xF(0)[v]=\partial_\mu(\mu-3x^2+ay,\,2x)|_0=(1,0)$ であるから $\theta_{x\mu}=1\ne0$ である。三階微分は $D_x^3F(0)[v,v,v]=(-6,0)$ であり、 $D_x^2F(0)[v,\xi]$ の第一成分は $\partial_x\partial_yF_1\,v_x\xi_y=a\cdot1\cdot2=2a$ 、第二成分は $\partial_x\partial_yF_2=0$ により $0$ である。したがって $\theta_{xxx}=-6+3\cdot2a=6(a-1)$ であり、 $a\ne1$ ならば $\theta_{xxx}\ne0$ である。定理 9.1の仮定が成り立ち、 $c_2=-\theta_{xxx}/(6\theta_{x\mu})=1-a$ である。

$A_0$ の零でない固有値 $-1$ の実部は負であるから、系 10.2 (5)により、分岐する枝上の平衡点は $\theta_{xxx}<0$ 、すなわち $a<1$ のとき漸近安定であり、 $a>1$ のとき不安定である。 $a<1$ のとき枝は $\mu>\mu_0$ の側に存在する（ $c_2>0$ ）。 $a>1$ のとき枝は $\mu<\mu_0$ の側に存在する（ $c_2<0$ ）。▨

問題 12.2. $A(\mu)=\begin{pmatrix}\mu&-1\\1&\mu\end{pmatrix}$ （ $\mu\in\R$ ）とする。 $\mu_0=0$ における $A(0)$ の固有値 $\lambda_0=i$ について、補題 4.2の $\lambda'(0)$ を同補題の公式で求め、 $A(\mu)$ の固有値を直接求めて結果を確かめよ。また、 $\Re\lambda'(0)>0$ であることから、 $\lvert\mu\rvert$ が小さいとき $\Re\lambda(\mu)$ の符号が $\mu$ の符号に等しいことを証明せよ。

解答.

$A(0)=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ の特性多項式は $z^2+1$ であり、 $\lambda_0=i$ は単根であるから代数的に単純である。 $v_0=(1,-i)^{\mathsf T}$ は $A(0)v_0=(i,1)^{\mathsf T}=iv_0$ を満たす。行ベクトル $w^*=(1,i)$ は $w^*A(0)=(i,-1)=i\,w^*$ を満たし、 $w=(1,-i)^{\mathsf T}$ である。 $w^*v_0=1+1=2\ne0$ である。 $A'(\mu)=I_2$ であるから、 $\lambda'(0)=w^*A'(0)v_0/(w^*v_0)=w^*v_0/(w^*v_0)=1$ である。

$A(\mu)$ の特性多項式は $(z-\mu)^2+1$ であり、固有値は $\mu\pm i$ である。 $\lambda_0=i$ から連続な枝は $\lambda(\mu)=\mu+i$ であり、 $\lambda'(0)=1$ は公式の値と一致する。 $\Re\lambda'(0)=1>0$ である。 $\lambda$ は $C^1$ 級で $\Re\lambda(0)=0$ であるから、 $\Re\lambda(\mu)=\Re\lambda'(0)\,\mu+o(\mu)$ であり、 $\Re\lambda'(0)>0$ ならば、 $\lvert\mu\rvert$ が小さいとき $\Re\lambda(\mu)$ の符号は $\mu$ の符号に等しい。この例では $\Re\lambda(\mu)=\mu$ である。▨

問題 12.3. $U=\Lambda=\R$ 、 $F(x,\mu)=\mu^2-x^2$ 、 $(x_0,\mu_0)=(0,0)$ とする。 $(0,0)$ で定理 6.2の仮定のうち成り立たないものを挙げよ。次に、 $\tilde F(y,\mu)=F(y+\mu,\mu)$ とおき、族 $y'=\tilde F(y,\mu)$ が $(0,0)$ で定理 8.1の仮定を満たすことを確かめ、 $(0,0)$ が族 $x'=F(x,\mu)$ の分岐点であることを、族 $y'=\tilde F(y,\mu)$ についての定理 8.1 (4)から導け。さらに、 $\lvert\mu\rvert$ が小さく $\mu\ne0$ のとき、 $F(\cdot,\mu)$ の平衡点 $x=\mu$ 、 $x=-\mu$ の安定性を系 10.2 (4)から求め、 $D_xF$ の値と照合せよ。

解答.

$D_xF(x,\mu)=-2x$ であるから $D_xF(0,0)=0$ であり、 $0$ は代数的に単純な固有値で、零固有対は $(1,1)$ である。 $\theta_{xx}=D_x^2F(0,0)=-2\ne0$ であるが、 $\theta_\mu=D_\mu F(0,0)=2\mu|_{\mu=0}=0$ である。したがって、成り立たない仮定は $\theta_\mu\ne0$ である。

$\tilde F(y,\mu)=\mu^2-(y+\mu)^2=-y^2-2\mu y$ であるから、すべての $\mu$ について $\tilde F(0,\mu)=0$ である。 $D_y\tilde F(y,\mu)=-2y-2\mu$ であるから $D_y\tilde F(0,0)=0$ であり、零固有対は $(1,1)$ である。 $\theta_{x\mu}=\dfrac{d}{d\mu}D_y\tilde F(0,\mu)\Big|_{\mu=0}=-2\ne0$ 、 $\theta_{xx}=D_y^2\tilde F(0,0)=-2\ne0$ であるから、定理 8.1の仮定が成り立ち、定理 8.1 (4)により $(0,0)$ は族 $y'=\tilde F(y,\mu)$ の分岐点である。

$(0,0)$ が族 $x'=F(x,\mu)$ の分岐点でないと仮定し、定義 1.1の組 $(\Lambda',B',\xi)$ を取る。 $F(0,0)=0$ であるから $\xi(0)=0$ である。 $r>0$ を $(-2r,2r)\subseteq B'$ となるように取り、 $B''=(-r,r)$ とおく。 $\xi$ の連続性により、 $0$ を含む開区間 $\Lambda''\subseteq\Lambda'\cap(-r,r)$ を、 $\mu\in\Lambda''$ について $\xi(\mu)-\mu\in B''$ となるように取る。 $\tilde\xi(\mu)=\xi(\mu)-\mu$ は $\Lambda''$ から $B''$ への連続写像である。 $(y,\mu)\in B''\times\Lambda''$ ならば $y+\mu\in(-2r,2r)\subseteq B'$ であるから、 $\tilde F(y,\mu)=0$ であることは $F(y+\mu,\mu)=0$ 、すなわち $y+\mu=\xi(\mu)$ であることと同値であり、 $y=\tilde\xi(\mu)$ であることと同値である。したがって $(\Lambda'',B'',\tilde\xi)$ は族 $y'=\tilde F(y,\mu)$ についての定義 1.1の組であり、 $(0,0)$ がこの族の分岐点であることと両立しない。よって $(0,0)$ は族 $x'=F(x,\mu)$ の分岐点である。

$\mu$ を固定すると、 $x$ が $x'=F(x,\mu)$ の解であることと、 $y=x-\mu$ が $y'=\tilde F(y,\mu)$ の解であることは同値である。 $\tilde F(\cdot,\mu)$ の流れ $\tilde\varphi$ と $F(\cdot,\mu)$ の流れ $\varphi$ は $\varphi_t(x)=\tilde\varphi_t(x-\mu)+\mu$ を満たし、 $\lvert\varphi_t(x)-x_*\rvert=\lvert\tilde\varphi_t(x-\mu)-(x_*-\mu)\rvert$ であるから、§E13.16 定義 2.2により、 $x_*$ が $F(\cdot,\mu)$ の漸近安定な平衡点、または不安定な平衡点であることは、 $x_*-\mu$ が $\tilde F(\cdot,\mu)$ のそれであることと同値である。 $\tilde F(\cdot,\mu)$ の平衡点は $y=0$ と $y=-2\mu$ であり、それぞれ $x=\mu$ と $x=-\mu$ に対応する。 $n=1$ であるから $A_0$ に $0$ 以外の固有値は無く、系 10.2 (4)を族 $y'=\tilde F(y,\mu)$ に適用すると、 $\theta_{x\mu}\mu=-2\mu$ により、 $\lvert\mu\rvert$ が小さく $\mu\ne0$ のとき、 $y=0$ は $\mu>0$ で漸近安定、 $\mu<0$ で不安定であり、他方の平衡点 $y=-2\mu$ は $\mu<0$ で漸近安定、 $\mu>0$ で不安定である。したがって、 $x=\mu$ は $\mu>0$ で漸近安定、 $\mu<0$ で不安定であり、 $x=-\mu$ は $\mu<0$ で漸近安定、 $\mu>0$ で不安定である。 $D_xF(\mu,\mu)=-2\mu$ 、 $D_xF(-\mu,\mu)=2\mu$ であるから、§E13.16 定理 4.5 (1)と§E13.16 定理 4.5 (2)（ $W=\R$ 。 $F(\cdot,\mu)$ は§E13.4 補題 4.2により局所 Lipschitz 連続である）から得られる結論と一致する。▨

§E13.22分岐

1 分岐点

2 $C^k$ 級の陰関数定理

3 平衡点の持続

4 単純固有値の摂動

5 Lyapunov–Schmidt 還元

6 サドルノード分岐

7 自明な枝をもつ場合の還元

8 トランスクリティカル分岐

9 ピッチフォーク分岐

10 安定性の交代

11 例

12 演習

参考文献

前提記事

§E13.22分岐

1 分岐点

2 CkC^kCk級の陰関数定理

3 平衡点の持続

4 単純固有値の摂動

5 Lyapunov–Schmidt 還元

6 サドルノード分岐

7 自明な枝をもつ場合の還元

8 トランスクリティカル分岐

9 ピッチフォーク分岐

10 安定性の交代

11 例

12 演習

参考文献

前提記事

2 $C^k$ 級の陰関数定理