§E13.20Hartman–Grobman の定理

証明.主張 (1)を示す。§E2.7 定理 2.2により、各$p\in P$について$T_p$はただ一つの不動点$x_p$をもつ。$p,p'\in P$について、$x_p=T_p(x_p)$、$x_{p'}=T_{p'}(x_{p'})$であるから

であり、$\theta<1$から主張の評価を得る。右辺の距離は$\sup_{x\in X}d(T_p(x),T_{p'}(x))$以下である。

主張 (2)を示す。$\varepsilon>0$とする。$T_{p'}(x_{p'})=x_{p'}$であり、$p\mapsto T_p(x_{p'})$は$p'$で連続であるから、$p'$の近傍$V$が存在して、$p\in V$ならば$d(T_p(x_{p'}),T_{p'}(x_{p'}))<(1-\theta)\varepsilon$である。主張 (1)により、$p\in V$ならば$d(x_p,x_{p'})<\varepsilon$である。▨

証明.§E10.1 系 2.3により$(\R^n,\lVert\cdot\rVert)$は完備である。$y\in\R^n$について$T_y:\R^n\to\R^n$を$T_y(x)=L^{-1}(y-\phi(x))$で定める。$x,x'\in\R^n$について$\lVert T_y(x)-T_y(x')\rVert\le\lVert L^{-1}\rVert\lVert\phi(x)-\phi(x')\rVert\le\delta\lVert L^{-1}\rVert\lVert x-x'\rVert$であり、$y,y'\in\R^n$について$T_y(x)-T_{y'}(x)=L^{-1}(y-y')$である。補題 1.3 (1)を$X=\R^n$、$P=\R^n$、$\theta=\delta\lVert L^{-1}\rVert$に適用すると、各$y$について$T_y$はただ一つの不動点$x_y$をもち、すべての$y,y'\in\R^n$について

である。$x=T_y(x)$は$(L+\phi)(x)=y$と同値であるから、$(L+\phi)(x)=y$を満たす$x$は$x_y$だけであり、$L+\phi$は全単射で$(L+\phi)^{-1}(y)=x_y$である。したがって逆写像は主張の評価を満たす。$L+\phi$は Lipschitz 連続な写像の和として連続であり、逆写像も Lipschitz 連続であるから連続である。したがって$L+\phi$は同相写像である。▨

証明.補題 1.4により$F$は$\R^n$の同相写像である。$L_s=L|_{E^s}:E^s\to E^s$、$L_u=L|_{E^u}:E^u\to E^u$は可逆な線形写像である。$x\in\R^n$について$Lx=LP_sx+LP_ux$で$LP_sx\in E^s$、$LP_ux\in E^u$であるから、$P_sL=LP_s$、$P_uL=LP_u$である。$\lVert\cdot\rVert$の定義により$\lVert P_sz\rVert_s\le\lVert z\rVert$、$\lVert P_uz\rVert_u\le\lVert z\rVert$（$z\in\R^n$）である。

§E13.4 補題 3.2を$T=\R^n$と$\R^n$のノルム$\lVert\cdot\rVert$に適用すると、$(C_b(\R^n;\R^n),\lVert\cdot\rVert_\infty)$は Banach 空間であり、空でない完備距離空間である。

$v\in C_b(\R^n;\R^n)$に対して$Q_v=\psi\circ(I+v)-\phi$とおき、

と定める。$F^{-1}$、$v$、$\phi$、$\psi$は連続であり、$v,\phi,\psi$は有界であるから、$T(v)\in C_b(\R^n;\R^n)$である。$T(v)$の第一項は$E^s$に、第二項は$E^u$に値をとる。

$v\in C_b(\R^n;\R^n)$が$(I+v)\circ F=G\circ(I+v)$を満たすことは、$F+v\circ F=L+Lv+\psi\circ(I+v)$、すなわち$v\circ F=Lv+Q_v$と同値である。$P_s$と$P_u$を施し、$P_sL=LP_s$、$P_uL=LP_u$を用いると、これは

の両方が成り立つことと同値である。$F$は全単射であるから、第一式は右から$F^{-1}$を合成した$P_sv=(LP_sv+P_sQ_v)\circ F^{-1}$と同値である。第二式は両辺が$E^u$に値をとるから、$L_u^{-1}$を施した$P_uv=L_u^{-1}P_u(v\circ F-Q_v)$と同値である。したがって$v$が共役方程式を満たすことは$P_sv=P_sT(v)$かつ$P_uv=P_uT(v)$、すなわち$T(v)=v$と同値である。

$v,w\in C_b(\R^n;\R^n)$、$x\in\R^n$とし、$y=F^{-1}(x)$とおく。$\psi$の Lipschitz 評価により、すべての$z\in\R^n$について$\lVert Q_v(z)-Q_w(z)\rVert\le\delta\lVert v(z)-w(z)\rVert\le\delta\lVert v-w\rVert_\infty$である。$\lVert L_s\rVert\le q$により

であり、$\lVert L_u^{-1}\rVert\le q$により

である。したがって$\lVert T(v)-T(w)\rVert_\infty\le(q+\delta)\lVert v-w\rVert_\infty$であり、$T$は$C_b(\R^n;\R^n)$上の縮小比$q+\delta<1$の縮小写像である。§E2.7 定理 2.2により$T$はただ一つの不動点をもつ。これで補題 1.5は示された。▨

証明.補題 1.5を$(F,G)=(L+\phi,L)$に適用すると、条件を満たす$v$がただ一つ存在する。同じ補題を$(F,G)=(L,L+\phi)$に適用して、$(I+w)\circ L=(L+\phi)\circ(I+w)$を満たす有界な連続写像$w$を取る。

$(I+v)\circ(I+w)=I+u$とおくと、$u=w+v\circ(I+w)$は有界な連続写像であり、

である。補題 1.5を$(F,G)=(L,L)$に適用すると、この方程式を満たす有界な連続写像はただ一つであり、$0$はこの方程式を満たすから$u=0$である。$(I+w)\circ(I+v)=I+u'$とおくと、$u'=v+w\circ(I+v)$は有界な連続写像であり、

である。同じ補題を$(F,G)=(L+\phi,L+\phi)$に適用すると、$0$はこの方程式を満たすから$u'=0$である。したがって$I+v$は連続な逆写像$I+w$をもち、$h=I+v$は同相写像である。▨

証明.$A$は双曲型であるから、実部が$0$の複素固有値をもたない。§E13.16 補題 4.3を$A$と Euclid ノルム$\lVert\cdot\rVert$に適用する。§E13.16 補題 4.3 (1)により、$\lVert\cdot\rVert_s$、$\lVert\cdot\rVert_u$はそれぞれ$E^s$、$E^u$のノルムであり、すべての$x\in\R^n$について$\tfrac12\lVert x\rVert\le\lVert x\rVert_*\le Kp\lVert x\rVert$である。§E13.12 補題 6.7 (3)により$\R^n=E^s\oplus E^u$であり、§E13.12 補題 6.7 (2)により$P_s,P_u$はこの直和分解に対応する射影であるから、$\lVert\cdot\rVert_*$はこの分解と$\lVert\cdot\rVert_s,\lVert\cdot\rVert_u$から定義 1.1で定まる$\R^n$のノルムである。

§E13.12 定理 2.1により$e^Ae^{-A}=e^{-A}e^A=I$であるから、$e^A$は可逆な線形写像で$(e^A)^{-1}=e^{-A}$である。§E13.16 補題 4.3 (2)を$t=1$に適用すると、$e^A(E^s)=E^s$、$e^A(E^u)=E^u$であり、$y\in E^s$について$\lVert e^Ay\rVert_s\le e^{-\beta}\lVert y\rVert_s$、$y\in E^u$について$\lVert e^{-A}y\rVert_u\le e^{-\beta}\lVert y\rVert_u$である。$\beta>0$により$0<e^{-\beta}<1$であるから、$e^A$は定数$e^{-\beta}$の双曲型線形写像である。▨

証明. 行列には$\lVert\cdot\rVert$に対応する作用素ノルムを用いる。$P_s,P_u,E^s,E^u$を$A$に対する§E13.12 補題 6.7（$\mathbb K=\R$、$d=n$）の射影と部分空間とし、§E13.12 補題 6.7 (5)により、すべての$t\ge0$で$\lVert e^{tA}P_s\rVert\le Ke^{-\alpha t}$、すべての$t\le0$で$\lVert e^{tA}P_u\rVert\le Ke^{\alpha t}$を満たす$K\ge1$、$\alpha>0$を取る。$\beta=\alpha/2$、$q=e^{-\beta}$とする。系 2.1のノルム$\lVert\cdot\rVert_s,\lVert\cdot\rVert_u,\lVert\cdot\rVert_*$と定数$p$を取り、$c=Kp$とおき、$\lVert\cdot\rVert_*$に対応する作用素ノルムによる$e^{-A}$のノルムを$m$とする。

とおく。$g$を主張の写像とし、$M=\sup_x\lVert g(x)\rVert$とおく。

$F$は定数$\lVert A\rVert+\delta_0$について大域 Lipschitz 連続であるから、§E13.15 命題 3.2 (1)により$\varphi$は完備であり、すべての$s\in\R$、$x,y\in\R^n$について$\lVert\varphi_s(x)-\varphi_s(y)\rVert\le e^{(\lVert A\rVert+\delta_0)\lvert s\rvert}\lVert x-y\rVert$である。$x\in\R^n$を固定すると、$s\mapsto\varphi_s(x)$は$\R$上の$y'=F(y)$の古典解であるから、$b(s)=g(\varphi_s(x))$は$\R$上で連続であり、$s\mapsto\varphi_s(x)$は$\R$上の$C^1$級関数で$y'=Ay+b(s)$、$y(0)=x$を満たす。§E13.12 系 2.5（$I=\R$、$t_0=0$）により、すべての$t\in\R$について

である。

$\Phi=\varphi_1-e^A$とおく。§E13.12 命題 1.1を$\tau A$に適用すると$\lVert e^{\tau A}\rVert\le e^{\lvert\tau\rvert\lVert A\rVert}$であるから、$x,y\in\R^n$について

である。系 2.1の評価により

である。以上より$\Phi$は有界であり、$\lVert\cdot\rVert_*$について Lipschitz 定数$\delta_1$の Lipschitz 写像である。

系 2.1により$L=e^A$は$(E^s,E^u,\lVert\cdot\rVert_s,\lVert\cdot\rVert_u)$について定数$q$の双曲型線形写像であり、$\delta_1\lVert L^{-1}\rVert_*=\delta_1m\le\frac12$、$q+\delta_1\le\frac{1+q}2<1$である。同じ補題の評価$\tfrac12\lVert x\rVert\le\lVert x\rVert_*\le c\lVert x\rVert$により、写像が$\lVert\cdot\rVert_*$について有界であることは$\lVert\cdot\rVert$について有界であることと同値である。定理 1.6を$L=e^A$、$\phi=\Phi$、$\delta=\delta_1$に適用すると、有界な連続写像$v$で$h=I+v$が$h\circ\varphi_1=e^A\circ h$を満たすものがただ一つ存在し、$h$は$\R^n$の同相写像である。

$s\in\R$を固定し、$h_s=e^{-sA}\circ h\circ\varphi_s$とおく。上の積分表示と§E13.12 定理 2.1により

であるから、$v_s=h_s-I$は$\lVert v_s(x)\rVert\le e^{\lvert s\rvert\lVert A\rVert}(\lvert s\rvert M+\sup_z\lVert v(z)\rVert)$を満たし、$v_s(x)=e^{-sA}\varphi_s(x)-x+e^{-sA}v(\varphi_s(x))$は$x$について連続である。$\varphi$は完備であるから§E13.15 定理 1.3により$\varphi_s\circ\varphi_1=\varphi_{s+1}=\varphi_1\circ\varphi_s$であり、

である。$h_s=I+v_s$は$h$と同じ方程式を満たすから、一意性により$h_s=h$であり、$h\circ\varphi_s=e^{sA}\circ h$である。すべての$t$についてこの等式を満たす$I+v'$（$v'$は有界な連続写像）は$t=1$の等式を満たすから$h$に等しい。

§E13.12 定理 2.2により$y\mapsto Ay$の流れは$(t,y)\mapsto e^{tA}y$であり完備である。$F$の流れも完備であり、$h$は同相写像であるから、$h$は$F$と$y\mapsto Ay$の流れの位相共役である。

$g(0)=0$とする。$F(0)=0$であるから$\R$上の定数関数$0$は$y'=F(y)$の古典解であり、§E13.15 補題 1.2により$\varphi_t(0)=0$（$t\in\R$）である。したがって$h(0)=h(\varphi_t(0))=e^{tA}h(0)$がすべての$t$で成り立つ。§E13.12 定理 2.1により$t=0$で微分すると$Ah(0)=0$を得る。$A$は双曲型であるから$0$を固有値にもたず、$h(0)=0$である。▨

証明.$g$は$C^1$級で$g(0)=0$、$Dg(0)=DF(0)-A=0$であり、$Dg$は連続である。$\eta=\delta/5$とし、$r>0$を$\overline B(0,2r)\subseteq U$かつ$\overline B(0,2r)$上で$\lVert Dg\rVert\le\eta$となるように取る。$\lVert x\rVert\le2r$ならば線分$[0,x]$は$\overline B(0,2r)$に含まれるから、§E4.3 定理 2.1により$\lVert g(x)\rVert=\lVert g(x)-g(0)\rVert\le\eta\lVert x\rVert$である。

$b=b_{0,r}$を§E4.19 補題 1.3の$C^1$級関数とし、$x\in U$で$\tilde g(x)=b(x)g(x)$、$x\notin U$で$\tilde g(x)=0$と定める。$\R^n\setminus\overline B(0,2r)$上で$b=0$であるから$\tilde g$はこの開集合上で$0$であり、$U$上では$C^1$級の関数の積である。二つの開集合$U$と$\R^n\setminus\overline B(0,2r)$は$\R^n$を覆い、$\tilde g$はそれぞれの上で$C^1$級であるから、$\tilde g$は$\R^n$上で$C^1$級であり、その台は$\overline B(0,2r)$に含まれる。