§E13.10定数係数線形方程式

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定数係数線形方程式は、振動や減衰を記述する微分方程式の基本的な模型である。解空間が有限次元であることが分かっていても、その事実だけでは計算に用いる基本解系の具体的な形は定まらない。

指数関数は微分によって定数倍される。そのため、λ∈C\lambda\in\Cに対して指数関数eλte^{\lambda t}を定数係数線形方程式へ代入すると、λ\lambdaに関する多項式方程式が得られる。この多項式を特性多項式と呼び、その根から基本解系を構成する。たとえば、方程式y′′−3y′+2y=0y''-3y'+2y=0の特性多項式の根1,21,2から、二つの解et,e2te^t,e^{2t}が得られる。指数関数eλte^{\lambda t}が解であることとλ\lambdaが特性多項式の根であることのこの対応は、定数係数線形方程式を具体的に解くための基本である。この対応は、§E13.11 非同次線形方程式 の未定係数法でも用いる。

本記事では、特性根から定数係数線形方程式の基本解系を構成し、実一般解を求める方法を解説する。

1 特性多項式

定義 1.1. 実定数a0,…,ana_0,\ldots,a_nがan≠0a_n\ne0を満たすとし、

any(n)+an−1y(n−1)+⋯+a1y′+a0y=0a_n y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0(1.1.1)\text{(1.1.1)}

を考える。微分作用素をD=d/dtD=d/dtと書き、

P(λ)=anλn+an−1λn−1+⋯+a1λ+a0P(\lambda) =a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0

を式 (1.1.1)の特性多項式 (characteristic polynomial) という。式 (1.1.1)はP(D)y=0P(D)y=0と書くことができる。

指数関数y=eλty=e^{\lambda t}に対して

P(D)eλt=P(λ)eλtP(D)e^{\lambda t}=P(\lambda)e^{\lambda t}

である。したがって、P(λ)=0P(\lambda)=0ならばeλte^{\lambda t}は複素数値解である。重根の場合を扱うため、この計算を指数関数と多項式の積へ拡張する。

補題 1.2.P∈C[z]P\in\C[z]、λ∈C\lambda\in\C、q∈C[t]q\in\C[t]とする。このとき

P(D)(eλtq(t))=eλtP(D+λ)q(t)P(D)\bigl(e^{\lambda t}q(t)\bigr) =e^{\lambda t}P(D+\lambda)q(t)

である。

証明. 積の微分公式により

D(eλtq(t))=eλt(D+λ)q(t)D\bigl(e^{\lambda t}q(t)\bigr) =e^{\lambda t}(D+\lambda)q(t)

である。帰納法により

Dk(eλtq(t))=eλt(D+λ)kq(t)D^k\bigl(e^{\lambda t}q(t)\bigr) =e^{\lambda t}(D+\lambda)^kq(t)

が任意のk∈N≥0k\in\Nについて成り立つ。P(D)P(D)の各項へこの式を適用して加えると、主張の恒等式を得る。

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補題 1.3.d∈N≥0d\in\Nとし、VdV_dを次数がdd以下の複素係数多項式全体がなすベクトル空間とする。P∈C[z]P\in\C[z]、λ∈C\lambda\in\Cに対して、線形作用素

P(D+λ) ⁣:Vd⟶VdP(D+\lambda)\colon V_d\longrightarrow V_d

が可逆であることとP(λ)≠0P(\lambda)\ne0であることは同値である。

証明.VdV_dの基底1,t,…,td1,t,\ldots,t^dをこの順に取る。この基底に関するDDの行列表現は対角成分がすべて00である三角行列なので、D+λD+\lambdaの行列表現は対角成分がすべてλ\lambdaである三角行列である。したがってP(D+λ)P(D+\lambda)の行列表現も三角行列であり、その対角成分はすべてP(λ)P(\lambda)である。ゆえに、その行列式はP(λ)d+1P(\lambda)^{d+1}である。したがってP(D+λ)P(D+\lambda)が可逆であることとP(λ)≠0P(\lambda)\ne0であることは同値である。

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補題 1.4.μ∈C\mu\in\C、m∈N≥1m\in\NNとし、Q∈C[z]Q\in\C[z]は(z−μ)m(z-\mu)^mで割り切れるとする。qqを次数がmm未満の複素係数多項式（q=0q=0を含む）とする。このとき

Q(D)(eμtq(t))=0Q(D)\bigl(e^{\mu t}q(t)\bigr)=0

である。

証明.Q(z)=(z−μ)mS(z)Q(z)=(z-\mu)^mS(z)と書く。補題 1.2により

Q(D)(eμtq(t))=eμtQ(D+μ)q(t)=eμtS(D+μ)Dmq(t)Q(D)\bigl(e^{\mu t}q(t)\bigr) =e^{\mu t}Q(D+\mu)q(t) =e^{\mu t}S(D+\mu)D^mq(t)

である。deg⁡q<m\deg q<mであるからDmq=0D^mq=0であり、右辺は零である。

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2 特性根と基本解系

定理 2.1.式 (1.1.1)の特性多項式PPを複素数上で

P(λ)=an∏j=1r(λ−λj)mj,λj∈C,mj∈N≥1,λj≠λℓ (j≠ℓ),∑j=1rmj=nP(\lambda) =a_n\prod_{j=1}^{r}(\lambda-\lambda_j)^{m_j}, \qquad \lambda_j\in\C,\quad m_j\in\NN, \qquad \lambda_j\ne\lambda_\ell\ (j\ne\ell), \qquad \sum_{j=1}^{r}m_j=n

と因数分解する。このとき、

tkeλjt,1≤j≤r,0≤k<mjt^k e^{\lambda_j t}, \qquad 1\le j\le r,\quad 0\le k<m_j(2.1.1)\text{(2.1.1)}

は、式 (1.1.1)を満たすR\R上のCnC^n級の複素数値関数全体がなす複素ベクトル空間SC\mathcal S_{\C}の基底をなす。

証明.PPは(z−λj)mj(z-\lambda_j)^{m_j}で割り切れるから、0≤k<mj0\le k<m_jに対して補題 1.4をQ=PQ=P、μ=λj\mu=\lambda_j、q=tkq=t^kに適用するとP(D)(tkeλjt)=0P(D)(t^ke^{\lambda_jt})=0である。したがって、式 (2.1.1)の各関数はSC\mathcal S_{\C}に属する。

次数がmjm_j未満の多項式qjq_jを用いて

∑j=1reλjtqj(t)=0\sum_{j=1}^{r}e^{\lambda_jt}q_j(t)=0(2.1.2)\text{(2.1.2)}

と仮定する。jjを一つ固定し、空積を11と定めて

Rj(z)=∏ℓ≠j(z−λℓ)mℓR_j(z)=\prod_{\ell\ne j}(z-\lambda_\ell)^{m_\ell}

と置き、Rj(D)R_j(D)を式 (2.1.2)の両辺へ作用させる。ℓ≠j\ell\ne jに対して、RjR_jは(z−λℓ)mℓ(z-\lambda_\ell)^{m_\ell}で割り切れdeg⁡qℓ<mℓ\deg q_\ell<m_\ellであるから、補題 1.4によりRj(D)(eλℓtqℓ(t))=0R_j(D)(e^{\lambda_\ell t}q_\ell(t))=0である。したがって、式 (2.1.2)からRj(D)(eλjtqj(t))=0R_j(D)(e^{\lambda_jt}q_j(t))=0を得る。補題 1.2により

eλjtRj(D+λj)qj(t)=0e^{\lambda_jt}R_j(D+\lambda_j)q_j(t)=0

である。

根は相異なるため

Rj(λj)=∏ℓ≠j(λj−λℓ)mℓ≠0R_j(\lambda_j) =\prod_{\ell\ne j}(\lambda_j-\lambda_\ell)^{m_\ell} \ne0

である。補題 1.3をd=mj−1d=m_j-1、多項式RjR_j、λ=λj\lambda=\lambda_jに適用すると、Rj(D+λj)R_j(D+\lambda_j)は次数がmj−1m_j-1以下の多項式の空間上で可逆である。指数関数は零にならないためRj(D+λj)qj=0R_j(D+\lambda_j)q_j=0であり、可逆性からqj=0q_j=0を得る。固定したjjは任意であるから、すべてのqjq_jは零であり、式 (2.1.1)の関数は線形独立である。

pk=ak/anp_k=a_k/a_n(0≤k≤n−1)(0\le k\le n-1)は定数であり、§E13.9 命題 4.2により式 (1.1.1)は方程式y(n)+∑k=0n−1pky(k)=0y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}p_ky^{(k)}=0と同値である。係数は連続であるから、§E13.9 系 5.3により、K=C\mathbb K=\C、I=RI=\Rの解空間S(R)\mathcal S(\R)はSC\mathcal S_{\C}に等しい。§E13.9 定理 5.2によりdim⁡CSC=n\dim_{\C}\mathcal S_{\C}=nである。式 (2.1.1)の関数の総数は∑jmj=n\sum_jm_j=nであり、線形独立であるから、SC\mathcal S_{\C}の基底をなす。

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系 2.2.式 (1.1.1)について、次の関数の全体は、R\R上のCnC^n級の実数値解全体がなす実ベクトル空間SR\mathcal S_{\R}の基底をなす。

  1. 重複度mmの各実特性根ρ\rhoに対するtkeρtt^ke^{\rho t}(0≤k<m)(0\le k<m)。
  2. 重複度mmの各非実特性根α+iβ\alpha+i\betaでβ>0\beta>0を満たすものに対するtkeαtcos⁡(βt)t^ke^{\alpha t}\cos(\beta t)とtkeαtsin⁡(βt)t^ke^{\alpha t}\sin(\beta t)(0≤k<m)(0\le k<m)。

証明.PPの係数は実数であるから、すべてのz∈Cz\in\Cに対してP(zˉ)=P(z)‾P(\bar z)=\overline{P(z)}である。したがって、非実根λ\lambdaの重複度とλˉ\bar\lambdaの重複度は等しい。実際、P(z)=an∏j(z−λj)mjP(z)=a_n\prod_j(z-\lambda_j)^{m_j}の両辺の共役を取ると、PPの係数が実数であることからP(z)=P(zˉ)‾=an∏j(z−λˉj)mjP(z)=\overline{P(\bar z)}=a_n\prod_j(z-\bar\lambda_j)^{m_j}であり、C[z]\C[z]での因数分解の一意性によりλˉj\bar\lambda_jの重複度はλj\lambda_jの重複度に等しい。β>0\beta>0を満たす非実根λ=α+iβ\lambda=\alpha+i\betaについて、fk=tkeλtf_k=t^ke^{\lambda t}とおくと、fˉk=tkeλˉt\bar f_k=t^ke^{\bar\lambda t}であり、

tkeαtcos⁡(βt)=fk+fˉk2,tkeαtsin⁡(βt)=fk−fˉk2it^ke^{\alpha t}\cos(\beta t)=\frac{f_k+\bar f_k}{2}, \qquad t^ke^{\alpha t}\sin(\beta t)=\frac{f_k-\bar f_k}{2i}

である。定理 2.1の基底において、各共役対(fk,fˉk)(f_k,\bar f_k)をこの二つの関数へ取り替える変換は可逆な複素線形変換であるから、得られたnn個の関数はSC\mathcal S_{\C}の基底をなす。これらは実数値のCnC^n級解であり、複素係数で線形独立であるから実係数でも線形独立である。§E13.9 定理 5.2をK=R\mathbb K=\R、I=RI=\Rに適用し、§E13.9 系 5.3と合わせるとdim⁡RSR=n\dim_{\R}\mathcal S_{\R}=nである。したがって、nn個の関数はSR\mathcal S_{\R}の基底をなす。

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例 2.3. 方程式

(D−1)3(D2+4)y=0(D-1)^3(D^2+4)y=0

の特性根は、重複度三の11と、重複度一の2i,−2i2i,-2iである。したがって実一般解は

y(t)=et(C0+C1t+C2t2)+C3cos⁡(2t)+C4sin⁡(2t)y(t) =e^t(C_0+C_1t+C_2t^2) +C_3\cos(2t)+C_4\sin(2t)

である。五つの関数は五階方程式の基本解系をなす。

3 二階方程式の三分類

定義 3.1. 実数a,ba,bに対して、式 (1.1.1)でn=2n=2、a2=1a_2=1、a1=aa_1=a、a0=ba_0=bとおいた方程式

y′′+ay′+by=0y''+ay'+by=0(3.1.1)\text{(3.1.1)}

を二階定数係数線形方程式 (second-order linear equation with constant coefficients) という。

注意 3.2.定義 3.1の方程式式 (3.1.1)の特性多項式は

P(λ)=λ2+aλ+bP(\lambda)=\lambda^2+a\lambda+b

であり、定義 1.1の特殊化である。

定理 3.3.a,b∈Ra,b\in\Rとし、Δ=a2−4b\Delta=a^2-4bとする。このとき、式 (3.1.1)のR\R上のC2C^2級の実数値解は、任意定数C1,C2∈RC_1,C_2\in\Rを用いて次の形に表される。

  1. Δ>0\Delta>0のとき、相異なる実根λ1,2=(−a±Δ)/2\lambda_{1,2}=(-a\pm\sqrt\Delta)/2に対して y=C1eλ1t+C2eλ2t.y=C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}.
  2. Δ=0\Delta=0のとき、重根λ=−a/2\lambda=-a/2に対して y=(C1+C2t)eλt.y=(C_1+C_2t)e^{\lambda t}.
  3. Δ<0\Delta<0のとき、α=−a/2\alpha=-a/2、β=−Δ/2>0\beta=\sqrt{-\Delta}/2>0に対して y=eαt(C1cos⁡(βt)+C2sin⁡(βt)).y=e^{\alpha t} \bigl(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\bigr).

証明.Δ>0\Delta>0のとき、特性多項式は相異なる二実根λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2をもち、Δ=0\Delta=0のとき、重複度二の実根−a/2-a/2をもち、Δ<0\Delta<0のとき、β>0\beta>0を用いて共役な非実根α±iβ\alpha\pm i\betaをもつ。いずれの場合も系 2.2をn=2n=2に適用すると、表示した二関数はSR\mathcal S_{\R}の基底をなす。したがって、任意の実数値解はこの二関数の実係数の一次結合として一意に表される。

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例 3.4. 初期値問題

y′′−3y′+2y=0,y(0)=1,y′(0)=0y''-3y'+2y=0,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0

を考える。このとき、特性多項式は

λ2−3λ+2=(λ−1)(λ−2)\lambda^2-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2)

であるから、一般解は

y=C1et+C2e2ty=C_1e^t+C_2e^{2t}

である。初期条件から

C1+C2=1,C1+2C2=0C_1+C_2=1,\qquad C_1+2C_2=0

となり、C1=2C_1=2、C2=−1C_2=-1を得る。したがって

y(t)=2et−e2t.y(t)=2e^t-e^{2t}.

直接微分すると

y′′−3y′+2y=(2et−4e2t)−3(2et−2e2t)+2(2et−e2t)=0y''-3y'+2y =(2e^t-4e^{2t})-3(2e^t-2e^{2t})+2(2e^t-e^{2t}) =0

である。また、y(0)=2−1=1y(0)=2-1=1、y′(0)=2−2=0y'(0)=2-2=0であるから、yyは二つの初期条件も満たす。

例 3.5. 方程式y′′+2y′+5y=0y''+2y'+5y=0ではa=2a=2、b=5b=5、Δ=4−20=−16<0\Delta=4-20=-16<0である。したがって、特性根は−1±2i-1\pm2iである。よって、α=−1\alpha=-1、β=2\beta=2として、実一般解は

y=e−t(C1cos⁡(2t)+C2sin⁡(2t))y=e^{-t}\bigl(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\bigr)

である。初期条件y(0)=1y(0)=1、y′(0)=0y'(0)=0を課すと、y(0)=C1=1y(0)=C_1=1とy′(0)=−C1+2C2=0y'(0)=-C_1+2C_2=0からC1=1C_1=1、C2=1/2C_2=1/2を得る。この解は

∣y(t)∣≤e−t(∣C1∣+∣C2∣)=32e−t|y(t)|\le e^{-t}\bigl(|C_1|+|C_2|\bigr)=\tfrac32e^{-t}

を満たすので、t→∞t\to\inftyで振動しながら零へ減衰する。指数因子eαte^{\alpha t}の減衰率は−α=a/2-\alpha=a/2であり、三角関数の角振動数はβ\betaである。

4 演習

問題 4.1 (重根と複素根からの基本解系). 四階方程式

(D−1)2(D2+4)y=0(D-1)^2(D^2+4)y=0

の実一般解を求めよ。tette^tはD−1D-1では消えないが(D−1)2(D-1)^2で消えることを補題 1.2によって示し、各因子に対応する関数が元の微分作用素で消えることを確認せよ。

解答.

特性根は重複度二の11と、重複度一の2i,−2i2i,-2iである。したがって実一般解は

y(t)=et(C0+C1t)+C2cos⁡(2t)+C3sin⁡(2t)y(t)=e^t(C_0+C_1t)+C_2\cos(2t)+C_3\sin(2t)

である。根11の重複度は二であるから、系 2.2により、根11に対応する基底の関数はete^tとtette^tの二つである。恒等式補題 1.2から

(D−1)2(etq(t))=etD2q(t)(D-1)^2\bigl(e^tq(t)\bigr)=e^tD^2q(t)

である。q(t)=1,tq(t)=1,tでは右辺が零になるため、ete^tとtette^tは(D−1)2(D-1)^2で消える。一方、同じ恒等式により(D−1)(tet)=etD(t)=et≠0(D-1)(te^t)=e^tD(t)=e^t\ne0であるから、tette^tはD−1D-1では消えない。また、

(D2+4)cos⁡(2t)=0,(D2+4)sin⁡(2t)=0(D^2+4)\cos(2t)=0,\qquad (D^2+4)\sin(2t)=0

であるから、余弦関数と正弦関数はD2+4D^2+4で消える。定数係数の作用素は可換であり(D−1)2(D2+4)=(D2+4)(D−1)2(D-1)^2(D^2+4)=(D^2+4)(D-1)^2であるから、et,tete^t,te^tは元の作用素でも消え、(D−1)2(D2+4)(D-1)^2(D^2+4)の余弦関数と正弦関数への作用は(D−1)2(D-1)^2を後から作用させた結果として零になる。これら四つの実解は特性根の重複度から得られる基本解系である。四階方程式の解空間は四次元であるため、上の線形結合がすべての実解を与える。▨

問題 4.2 (特性根の合流と重根).λ∈R\lambda\in\Rを固定し、ε∈R∖{0}\varepsilon\in\R\setminus\{0\}に対して

uε(t)=e(λ+ε)t−eλtεu_\varepsilon(t) =\frac{e^{(\lambda+\varepsilon)t}-e^{\lambda t}}{\varepsilon}

と置く。任意の固定したt∈Rt\in\Rに対して

lim⁡ε→0uε(t)=teλt\lim_{\varepsilon\to0}u_\varepsilon(t)=te^{\lambda t}

であることを示せ。uεu_\varepsilonが満たす二階方程式はε\varepsilonに依存することを確認したうえで、極限として得た関数teλtte^{\lambda t}を重根の方程式

(D−λ)2y=0(D-\lambda)^2y=0

へ直接代入せよ。さらに、eλte^{\lambda t}とteλtte^{\lambda t}の Wronskian を計算し、この二関数が基本解系をなすことを示せ。

解答.

固定したt∈Rt\in\Rに対して、関数s↦ests\mapsto e^{st}のs=λs=\lambdaにおける微分係数から

lim⁡ε→0e(λ+ε)t−eλtε=eλtlim⁡ε→0eεt−1ε=teλt\lim_{\varepsilon\to0} \frac{e^{(\lambda+\varepsilon)t}-e^{\lambda t}}{\varepsilon} =e^{\lambda t}\lim_{\varepsilon\to0}\frac{e^{\varepsilon t}-1}{\varepsilon} =te^{\lambda t}

である。

eλte^{\lambda t}とe(λ+ε)te^{(\lambda+\varepsilon)t}は、それぞれ(D−λ)y=0(D-\lambda)y=0と(D−λ−ε)y=0(D-\lambda-\varepsilon)y=0の解であり、二つの因子は可換であるから、uεu_\varepsilonは線形性により

(D−λ)(D−λ−ε)uε=0(D-\lambda)(D-\lambda-\varepsilon)u_\varepsilon=0

を満たす。この方程式はε\varepsilonに依存するので、上の点ごとの極限だけから極限関数が(D−λ)2y=0(D-\lambda)^2y=0を満たすと結論することはできない。

y(t)=teλty(t)=te^{\lambda t}と置くと

(D−λ)y=eλt,(D−λ)2y=(D−λ)eλt=0(D-\lambda)y=e^{\lambda t}, \qquad (D-\lambda)^2y=(D-\lambda)e^{\lambda t}=0

である。したがってteλtte^{\lambda t}は重根の方程式の解である。また、

W(eλt,teλt)(t)=∣eλtteλtλeλt(1+λt)eλt∣=e2λt≠0W(e^{\lambda t},te^{\lambda t})(t) = \begin{vmatrix} e^{\lambda t}&te^{\lambda t}\\ \lambda e^{\lambda t}&(1+\lambda t)e^{\lambda t} \end{vmatrix} =e^{2\lambda t}\ne0

が任意のt∈Rt\in\Rで成り立つ。よってeλte^{\lambda t}とteλtte^{\lambda t}は線形独立である。重根の方程式の実解空間は二次元であるから、この二関数は基本解系をなす。▨

参考文献

  1. Earl A. Coddington, An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1989, originally published 1961.定数係数線形方程式の特性多項式と重根に対応する解を参考にした。
  2. Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2012.定係数作用素、複素基本解、実基本解への変換を参考にした。

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