§E13.40合流型超幾何方程式

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Gauss の超幾何方程式の解である超幾何級数は、三つのパラメータa,b,ca,b,cと変数zzに依存する。c∉Z≤0c\notin\Z_{\le0}とし、zzをz/bz/bに置き換えて実数bbを無限大に送ると、超幾何級数は Kummer 関数へ収束し、方程式も極限でzy′′+(c−z)y′−ay=0zy''+(c-z)y'-ay=0に移る。この極限の方程式を Kummer の方程式という。(a,c)≠(0,0)(a,c)\ne(0,0)のとき原点は確定特異点のままであるが、無限遠点は不確定特異点になる。本記事では、この極限と、Kummer の方程式の原点での解、および Kummer 関数で表される Laguerre 多項式、Hermite 多項式、第一種 Bessel 関数について解説する。

1 Kummer の方程式の原点での解

定義 1.1.a,c∈Ca,c\in\Cとする。C∖{0}\C\setminus\{0\}上の二階線形方程式

zy′′+(c−z)y′−ay=0zy''+(c-z)y'-ay=0

をKummer の方程式 (Kummer's equation) といい、合流型超幾何方程式ともいう。この方程式をzzで割ったy′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0の係数はp(z)=c−zzp(z)=\dfrac{c-z}{z}、q(z)=−azq(z)=-\dfrac azであり、zp(z)=c−zzp(z)=c-z、z2q(z)=−azz^2q(z)=-azはC\C上の正則関数である。したがって00は、(a,c)≠(0,0)(a,c)\ne(0,0)ならば§E13.38 定義 3.1の意味の確定特異点であり、(a,c)=(0,0)(a,c)=(0,0)ならば常点である。決定多項式はρ(ρ−1)+cρ=ρ(ρ+c−1)\rho(\rho-1)+c\rho=\rho(\rho+c-1)であり、指数は0, 1−c0,\,1-cである。

定義 1.2.a,c∈Ca,c\in\Cとし、c∉Z≤0c\notin\Z_{\le0}とする。§E13.39 定義 2.3の Pochhammer 記号について、冪級数

∑n≥0(a)n(c)n n!zn\sum_{n\ge0}\frac{(a)_n}{(c)_n\,n!}z^n

の和をM(a,c,z)M(a,c,z)と書き、Kummer 関数 (Kummer function) という。この級数はすべてのz∈Cz\in\Cで絶対収束する。実際、係数をfnf_nとすると、z≠0z\ne0について∣fn+1zn+1∣/∣fnzn∣=∣n+a∣∣n+c∣(n+1)∣z∣→0\lvert f_{n+1}z^{n+1}\rvert/\lvert f_nz^n\rvert=\dfrac{\lvert n+a\rvert}{\lvert n+c\rvert(n+1)}\lvert z\rvert\to0であり（a∈Z≤0a\in\Z_{\le0}ならば有限個を除いてfn=0f_n=0である）、§D1.21 定理 3.1を適用する。

定理 1.3.a,c∈Ca,c\in\C、c∉Z≤0c\notin\Z_{\le0}とし、n∈N≥0n\in\Nについてfn=(a)n(c)nn!f_n=\dfrac{(a)_n}{(c)_nn!}とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. ∑nfnzn\sum_nf_nz^nの収束半径は∞\inftyであり、M(a,c,⋅)M(a,c,\cdot)はC\C上の整関数である。
  2. M(a,c,⋅)M(a,c,\cdot)はC\C上でzy′′+(c−z)y′−ay=0zy''+(c-z)y'-ay=0を満たす。M(a,c,0)=1M(a,c,0)=1である。
  3. r>0r>0とし、yyをD(0,r)D(0,r)上の正則関数で、D(0,r)D(0,r)の空でない開部分集合の上でzy′′+(c−z)y′−ay=0zy''+(c-z)y'-ay=0を満たすものとする。このときD(0,r)D(0,r)上でy=y(0)M(a,c,⋅)y=y(0)M(a,c,\cdot)である。

証明. すべてのn∈N≥0n\in\Nについて(n+1)(n+c)fn+1=(n+a)fn(n+1)(n+c)f_{n+1}=(n+a)f_nである。c∉Z≤0c\notin\Z_{\le0}であるから、(c)n≠0(c)_n\ne0であり、(n+1)(n+c)≠0(n+1)(n+c)\ne0である。

主張 (1)を示す。定義 1.2により、級数はすべてのz∈Cz\in\Cで絶対収束する。収束半径をRRとすると、R<∞R<\inftyならばR<∣z∣R<\lvert z\rvertの点で§E5.7 定理 1.2 (2)により級数が収束しないから、R=∞R=\inftyである。

主張 (2)を示す。§E5.7 定理 1.5によりM′=∑n(n+1)fn+1znM'=\sum_n(n+1)f_{n+1}z^n、M′′=∑n(n+2)(n+1)fn+2znM''=\sum_n(n+2)(n+1)f_{n+2}z^nである。zM′′+(c−z)M′−aMzM''+(c-z)M'-aMのznz^nの係数は(n+1)nfn+1+c(n+1)fn+1−nfn−afn=(n+1)(n+c)fn+1−(n+a)fn=0(n+1)nf_{n+1}+c(n+1)f_{n+1}-nf_n-af_n=(n+1)(n+c)f_{n+1}-(n+a)f_n=0である。f0=1f_0=1であるからM(a,c,0)=1M(a,c,0)=1である。

主張 (3)を示す。E=zy′′+(c−z)y′−ayE=zy''+(c-z)y'-ayはD(0,r)D(0,r)上の正則関数であり、空でない開集合上で零であるから、§E5.8 定理 3.1によりD(0,r)D(0,r)上で零である。y=∑nynzny=\sum_ny_nz^nを00における Taylor 展開とすると（§E5.7 定理 2.1）、§E5.7 定理 1.5と上の係数の計算により、EEのznz^nの係数は(n+1)(n+c)yn+1−(n+a)yn(n+1)(n+c)y_{n+1}-(n+a)y_nであり、これが零であるからyn+1=n+a(n+1)(n+c)yny_{n+1}=\dfrac{n+a}{(n+1)(n+c)}y_nである。帰納法によりyn=y0fny_n=y_0f_nであり、D(0,r)D(0,r)上でy=y0M(a,c,⋅)y=y_0M(a,c,\cdot)、y0=y(0)y_0=y(0)である。▨

補題 1.4.a,c∈Ca,c\in\Cとし、U⊆C∖(−∞,0]U\subseteq\C\setminus(-\infty,0]を開集合、uuをUU上の正則関数とする。z1−c=exp⁡((1−c)Log⁡z)z^{1-c}=\exp\bigl((1-c)\operatorname{Log}z\bigr)は主値とする。

このとき、UU上でz1−cuz^{1-c}uが Kummer の方程式zy′′+(c−z)y′−ay=0zy''+(c-z)y'-ay=0を満たすための必要十分条件は、uuがUU上でa−c+1, 2−ca-c+1,\,2-cについての Kummer の方程式zu′′+(2−c−z)u′−(a−c+1)u=0zu''+(2-c-z)u'-(a-c+1)u=0を満たすことである。

証明.s=1−cs=1-cとし、y=zsuy=z^suとおく。y′=zs(u′+su/z)y'=z^s\bigl(u'+su/z\bigr)、y′′=zs(u′′+2su′/z+s(s−1)u/z2)y''=z^s\bigl(u''+2su'/z+s(s-1)u/z^2\bigr)であるから

zy′′+(c−z)y′−ay=zs(zu′′+(2s+c−z)u′+s(s−1)+cszu−(s+a)u)zy''+(c-z)y'-ay=z^s\Bigl(zu''+(2s+c-z)u'+\frac{s(s-1)+cs}{z}u-(s+a)u\Bigr)

である。s(s−1)+cs=s(s+c−1)=0s(s-1)+cs=s(s+c-1)=0、2s+c=2−c2s+c=2-c、s+a=a−c+1s+a=a-c+1であり、zs≠0z^s\ne0であるから主張が従う。▨

命題 1.5.a,c∈Ca,c\in\Cとし、r>0r>0、D∘=D(0,r)∖(−r,0]D^\circ=D(0,r)\setminus(-r,0]とする。このとき、次が成り立つ。

  1. c∉Zc\notin\Zならば、y2(z)=z1−cM(a−c+1,2−c,z)y_2(z)=z^{1-c}M(a-c+1,2-c,z)（z∈C∖(−∞,0]z\in\C\setminus(-\infty,0]、主値）は Kummer の方程式の解であり、M(a,c,⋅)M(a,c,\cdot)とy2y_2はD∘D^\circ上で一次独立である。
  2. c∈Zc\in\Zならば、c≥1c\ge1のときρ1=0\rho_1=0、ρ2=1−c\rho_2=1-c、y1=M(a,c,⋅)y_1=M(a,c,\cdot)、c≤0c\le0のときρ1=1−c\rho_1=1-c、ρ2=0\rho_2=0、y1(z)=z1−cM(a−c+1,2−c,z)y_1(z)=z^{1-c}M(a-c+1,2-c,z)とおく。このとき、§E13.38 定理 4.3 (3)が与えるγ∈C\gamma\in\CとD(0,r)D(0,r)上の正則関数φ2\varphi_2について、y2(z)=γ y1(z)Log⁡z+zρ2φ2(z)y_2(z)=\gamma\,y_1(z)\operatorname{Log}z+z^{\rho_2}\varphi_2(z)はD∘D^\circ上で Kummer の方程式を満たし、y1,y2y_1,y_2はD∘D^\circ上で一次独立である。c=1c=1ならばγ=1\gamma=1でありφ2(0)=0\varphi_2(0)=0であり、c≠1c\ne1ならばφ2(0)=1\varphi_2(0)=1である。
  3. c∈Zc\in\Z、c≥2c\ge2とし、γ\gammaを項目主張 (2)のものとする。このとき、γ=0\gamma=0であることとa∈{1,…,c−1}a\in\{1,\dots,c-1\}であることは同値である。

証明.p=(c−z)/zp=(c-z)/z、q=−a/zq=-a/zについてzpzp、z2qz^2qはC\C上の正則関数であり、決定多項式の指数は0,1−c0,1-cである（定義 1.1）。

(α)2−c∉Z≤02-c\notin\Z_{\le0}ならば、z1−cM(a−c+1,2−c,z)z^{1-c}M(a-c+1,2-c,z)はC∖(−∞,0]\C\setminus(-\infty,0]上の Kummer の方程式の解である。実際、M(a−c+1,2−c,⋅)M(a-c+1,2-c,\cdot)はC\C上でパラメータa−c+1, 2−ca-c+1,\,2-cの Kummer の方程式を満たし（定理 1.3 (2)）、補題 1.4をU=C∖(−∞,0]U=\C\setminus(-\infty,0]に適用する。

(β)§E13.38 定理 4.3の二つの解y1,y2y_1,y_2はD∘D^\circ上で一次独立である。実際、§E13.38 命題 5.1により、0<ε<r0<\varepsilon<rとしてb=ε∈D∘b=\varepsilon\in D^\circにおける芽[y1]b,[y2]b[y_1]_b,[y_2]_bは一次独立であり、κ1y1+κ2y2=0\kappa_1y_1+\kappa_2y_2=0ならば芽としてκ1[y1]b+κ2[y2]b=0\kappa_1[y_1]_b+\kappa_2[y_2]_b=0であるからκ1=κ2=0\kappa_1=\kappa_2=0である。

主張 (1)を示す。c∉Zc\notin\Zならばc∉Z≤0c\notin\Z_{\le0}かつ2−c∉Z≤02-c\notin\Z_{\le0}であり、00における指数の差1−c1-cは整数でない。§E13.38 定理 4.3を点00で適用する。ℜc≥1\Re c\ge1ならば(ρ1,ρ2)=(0,1−c)(\rho_1,\rho_2)=(0,1-c)、ℜc<1\Re c<1ならば(ρ1,ρ2)=(1−c,0)(\rho_1,\rho_2)=(1-c,0)である。§E13.38 定理 4.3 (1)、§E13.38 定理 4.3 (2)により、φ1(0)=φ2(0)=1\varphi_1(0)=\varphi_2(0)=1を満たすD(0,r)D(0,r)上の正則関数φ1,φ2\varphi_1,\varphi_2で、zρ1φ1z^{\rho_1}\varphi_1、zρ2φ2z^{\rho_2}\varphi_2がD∘D^\circ上の解になるものがある。指数00の側のφ\varphiは定理 1.3 (3)によりM(a,c,⋅)M(a,c,\cdot)に等しい。指数1−c1-cの側のφ\varphiは、補題 1.4によりD∘D^\circ上でパラメータa−c+1, 2−ca-c+1,\,2-cの Kummer の方程式を満たし、2−c∉Z≤02-c\notin\Z_{\le0}であるから定理 1.3 (3)によりM(a−c+1,2−c,⋅)M(a-c+1,2-c,\cdot)に等しい。したがって、§E13.38 定理 4.3の二つの解はM(a,c,⋅)M(a,c,\cdot)とy2(z)=z1−cM(a−c+1,2−c,z)y_2(z)=z^{1-c}M(a-c+1,2-c,z)であり、(α) によりy2y_2はC∖(−∞,0]\C\setminus(-\infty,0]上の解である。(β) により、M(a,c,⋅)M(a,c,\cdot)とy2y_2はD∘D^\circ上で一次独立である。

主張 (2)を示す。§E13.38 定理 4.3を点00で適用する。c≥1c\ge1のときρ1=0\rho_1=0、ρ2=1−c\rho_2=1-cであり、§E13.38 定理 4.3 (1)のφ1\varphi_1はD(0,r)D(0,r)上の正則関数でφ1(0)=1\varphi_1(0)=1を満たし、y1=φ1y_1=\varphi_1はD∘D^\circ上の解である。φ1\varphi_1はD(0,r)D(0,r)上の正則関数でD∘D^\circ上で方程式を満たすから、定理 1.3 (3)によりφ1=M(a,c,⋅)\varphi_1=M(a,c,\cdot)である。c≤0c\le0のときρ1=1−c\rho_1=1-c、ρ2=0\rho_2=0であり、z1−cφ1z^{1-c}\varphi_1が解であるから、補題 1.4によりφ1\varphi_1はD∘D^\circ上でパラメータa−c+1, 2−ca-c+1,\,2-cの Kummer の方程式の解であり、2−c≥22-c\ge2であるから定理 1.3 (3)によりφ1=M(a−c+1,2−c,⋅)\varphi_1=M(a-c+1,2-c,\cdot)である。いずれの場合もρ1−ρ2=∣c−1∣∈Z≥0\rho_1-\rho_2=\lvert c-1\rvert\in\Z_{\ge0}であるから、§E13.38 定理 4.3 (3)によりγ∈C\gamma\in\Cと正則関数φ2\varphi_2が定まり、y2=γy1Log⁡z+zρ2φ2y_2=\gamma y_1\operatorname{Log}z+z^{\rho_2}\varphi_2はD∘D^\circ上の解である。c=1c=1ならばN=0N=0であり、同じ項目によりγ=1\gamma=1、φ2(0)=0\varphi_2(0)=0である。c≠1c\ne1ならばN=∣c−1∣≥1N=\lvert c-1\rvert\ge1であり、同じ項目によりφ2(0)=1\varphi_2(0)=1である。y1,y2y_1,y_2は§E13.38 定理 4.3の二つの解であるから、(β) によりD∘D^\circ上で一次独立である。

主張 (3)を示す。c≥2c\ge2ならばρ1=0\rho_1=0、ρ2=1−c\rho_2=1-c、N=c−1≥1N=c-1\ge1であり、P=zp=c−zP=zp=c-z、Q=z2q=−azQ=z^2q=-azであるから、p0=cp_0=c、p1=−1p_1=-1、q1=−aq_1=-aであり、k≥2k\ge2についてpk=qk=0p_k=q_k=0であり、q0=0q_0=0である。決定多項式をF(ρ)=ρ(ρ+c−1)F(\rho)=\rho(\rho+c-1)とすると、F(m+ρ2)=m(m−c+1)F(m+\rho_2)=m(m-c+1)である。§E13.38 定理 4.3 (3)の漸化式は、1≤m≤c−21\le m\le c-2についてm(m−c+1)bm−(m−c+a)bm−1=0m(m-c+1)b_m-(m-c+a)b_{m-1}=0となる（p1(m−1+ρ2)+q1=−(m−c+a)p_1(m-1+\rho_2)+q_1=-(m-c+a)）。m−c+1≠0m-c+1\ne0であるからbm=m−c+am(m−c+1)bm−1b_m=\dfrac{m-c+a}{m(m-c+1)}b_{m-1}であり、b0=1b_0=1からbc−2=∏m=1c−2m−c+am(m−c+1)b_{c-2}=\displaystyle\prod_{m=1}^{c-2}\frac{m-c+a}{m(m-c+1)}である（c=2c=2のとき空積でb0=1b_0=1）。N−1+ρ2=−1N-1+\rho_2=-1であるからDN=(p1(N−1+ρ2)+q1)bN−1=(1−a) bc−2D_N=\bigl(p_1(N-1+\rho_2)+q_1\bigr)b_{N-1}=(1-a)\,b_{c-2}であり、γ=−DN/N\gamma=-D_N/Nである。分母は零でなく、分子の因子m−c+am-c+a（1≤m≤c−21\le m\le c-2）はa−ja-j（2≤j≤c−12\le j\le c-1）であるから、bc−2=0b_{c-2}=0であることとa∈{2,…,c−1}a\in\{2,\dots,c-1\}であることは同値である。したがってγ=0\gamma=0であることは、a=1a=1またはa∈{2,…,c−1}a\in\{2,\dots,c-1\}であること、すなわちa∈{1,…,c−1}a\in\{1,\dots,c-1\}であることと同値である。▨

例 1.6.

  1. a=0a=0、c=1c=1とする。このとき、Kummer の方程式はzy′′+(1−z)y′=0zy''+(1-z)y'=0であり、y1=M(0,1,⋅)=1y_1=M(0,1,\cdot)=1である。y2(z)=Log⁡z+∑n≥1znn⋅n!y_2(z)=\operatorname{Log}z+\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{z^n}{n\cdot n!}とおくと、y2′=1z+∑n≥1zn−1n!=ezzy_2'=\dfrac1z+\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{z^{n-1}}{n!}=\dfrac{e^z}zであり、zy2′′+(1−z)y2′=z(ezz−ezz2)+(1−z)ezz=0zy_2''+(1-z)y_2'=z\Bigl(\dfrac{e^z}z-\dfrac{e^z}{z^2}\Bigr)+(1-z)\dfrac{e^z}z=0である。よってy2y_2はD∘D^\circ上の解であり、y2=γy1Log⁡z+φ2y_2=\gamma y_1\operatorname{Log}z+\varphi_2の形でγ=1\gamma=1、φ2(0)=0\varphi_2(0)=0である。y1=1y_1=1とy2y_2は一次独立であり、y2y_2は対数項を含む。
  2. a=1a=1、c=2c=2とする。このとき、y1=M(1,2,z)=ez−1zy_1=M(1,2,z)=\dfrac{e^z-1}zであり、z∈C∖{0}z\in\C\setminus\{0\}でy2(z)=1zy_2(z)=\dfrac1zはzy2′′+(2−z)y2′−y2=2z2−2−zz2−1z=0zy_2''+(2-z)y_2'-y_2=\dfrac2{z^2}-\dfrac{2-z}{z^2}-\dfrac1z=0を満たす。z→0z\to0でy1y_1は有界でありy2y_2は有界でないから、y1,y2y_1,y_2は一次独立である。a=1∈{1,…,c−1}={1}a=1\in\{1,\dots,c-1\}=\{1\}であるから、命題 1.5 (3)によりγ=0\gamma=0であり、y2=zρ2φ2y_2=z^{\rho_2}\varphi_2の形でφ2=1\varphi_2=1である。

2 超幾何方程式からの合流

定理 2.1.a,c∈Ca,c\in\C、c∉Z≤0c\notin\Z_{\le0}、R>0R>0とする。実数b>Rb>Rについて、∣z∣≤R\lvert z\rvert\le Rでyb(z)=F(a,b;c;z/b)y_b(z)=F(a,b;c;z/b)（§E13.39 定理 2.4）とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. b→∞b\to\inftyのとき、D‾(0,R)\overline D(0,R)上でyby_bはM(a,c,⋅)M(a,c,\cdot)へ一様に収束する。すなわち、M(a,c,z)=lim⁡b→∞F(a,b;c;z/b)M(a,c,z)=\lim_{b\to\infty}F(a,b;c;z/b)が∣z∣≤R\lvert z\rvert\le Rで一様に成り立つ。
  2. yby_bはD(0,R)D(0,R)上でz(1−zb)y′′+(c−(1+a+1b)z)y′−ay=0z\bigl(1-\frac zb\bigr)y''+\bigl(c-(1+\frac{a+1}b)z\bigr)y'-ay=0を満たし、b→∞b\to\inftyのときD(0,R)D(0,R)の任意のコンパクト集合上でyb′,yb′′y_b',y_b''はそれぞれM(a,c,⋅)′M(a,c,\cdot)'、M(a,c,⋅)′′M(a,c,\cdot)''へ一様に収束する。この方程式の係数はb→∞b\to\inftyで Kummer の方程式の係数に収束し、M(a,c,⋅)M(a,c,\cdot)は極限の方程式zy′′+(c−z)y′−ay=0zy''+(c-z)y'-ay=0をD(0,R)D(0,R)上で満たす。

証明.主張 (1)を示す。An=∣(a)n∣∣(c)n∣n!A_n=\dfrac{\lvert(a)_n\rvert}{\lvert(c)_n\rvert n!}、βn(b)=(b)nbn=∏k=0n−1(1+kb)\beta_n(b)=\dfrac{(b)_n}{b^n}=\prod_{k=0}^{n-1}\Bigl(1+\dfrac kb\Bigr)とおくと、yb(z)=∑n(a)n(c)nn!βn(b)zny_b(z)=\sum_n\dfrac{(a)_n}{(c)_nn!}\beta_n(b)z^nである。b∗=R+1b_*=R+1とする。b≥b∗b\ge b_*について1≤βn(b)≤βn(b∗)1\le\beta_n(b)\le\beta_n(b_*)であり、各nnについてb→∞b\to\inftyのときβn(b)→1\beta_n(b)\to1である。∣z∣≤R\lvert z\rvert\le Rのとき

∣yb(z)−M(a,c,z)∣≤∑n≥0AnRn(βn(b)−1)\lvert y_b(z)-M(a,c,z)\rvert\le\sum_{n\ge0}A_nR^n\bigl(\beta_n(b)-1\bigr)

であり、右辺の第nn項はAnRnβn(b∗)A_nR^n\beta_n(b_*)以下である。a∈Z≤0a\in\Z_{\le0}ならば有限個を除いてAn=0A_n=0であり、a∉Z≤0a\notin\Z_{\le0}ならばAn+1Rn+1βn+1(b∗)AnRnβn(b∗)=∣n+a∣∣n+c∣(n+1)R(1+nb∗)→Rb∗<1\dfrac{A_{n+1}R^{n+1}\beta_{n+1}(b_*)}{A_nR^n\beta_n(b_*)}=\dfrac{\lvert n+a\rvert}{\lvert n+c\rvert(n+1)}R\Bigl(1+\dfrac n{b_*}\Bigr)\to\dfrac R{b_*}<1であるから、§D1.21 定理 3.1により∑nAnRnβn(b∗)<∞\sum_nA_nR^n\beta_n(b_*)<\inftyである。数列bk→∞b_k\to\inftyを任意に取ると、計数測度を備えたN≥0\Nの上でn↦AnRn(βn(bk)−1)n\mapsto A_nR^n(\beta_n(b_k)-1)は各点で00に収束し、AnRnβn(b∗)A_nR^n\beta_n(b_*)で押さえられるから、§E10.11 定理 3.1により右辺は00に収束する。右辺はzzによらないから、収束は一様である。

主張 (2)を示す。b>Rb>Rならば∣z/b∣<1\lvert z/b\rvert<1であり、§E13.39 定理 2.4 (2)によりw=z/bw=z/bについてw(1−w)F′′+(c−(a+b+1)w)F′−abF=0w(1-w)F''+(c-(a+b+1)w)F'-abF=0である。yb(z)=F(w)y_b(z)=F(w)であるからF′=byb′F'=by_b'、F′′=b2yb′′F''=b^2y_b''であり、bbで割るとz(1−zb)yb′′+(c−(a+b+1)zb)yb′−ayb=0z\bigl(1-\frac zb\bigr)y_b''+\bigl(c-(a+b+1)\frac zb\bigr)y_b'-ay_b=0を得る。(a+b+1)/b=1+(a+1)/b(a+b+1)/b=1+(a+1)/bである。数列bk→∞b_k\to\inftyを取る。主張 (1)によりybky_{b_k}はD(0,R)D(0,R)上でM(a,c,⋅)M(a,c,\cdot)へ一様収束し、各ybky_{b_k}はD(0,R)D(0,R)上の正則関数（§E13.39 定理 2.4）であるから、§E5.17 定理 2.1 (2)によりybk′y_{b_k}'、ybk′′y_{b_k}''はD(0,R)D(0,R)の任意のコンパクト集合上でM(a,c,⋅)′M(a,c,\cdot)'、M(a,c,⋅)′′M(a,c,\cdot)''へ一様に収束する。z∈D(0,R)z\in D(0,R)を固定してk→∞k\to\inftyとすると、z(1−z/bk)→zz(1-z/b_k)\to z、c−(1+(a+1)/bk)z→c−zc-(1+(a+1)/b_k)z\to c-zであるから、方程式の左辺はzM′′+(c−z)M′−aMzM''+(c-z)M'-aMに収束し、これは零である。▨

注意 2.2.a,c∈Ca,c\in\C、b>0b>0とする。定理 2.1 (2)の方程式をC∖{0,b}\C\setminus\{0,b\}上でy′′y''の係数z(1−zb)z\bigl(1-\frac zb\bigr)で割ると、y′′+pb(z)y′+qb(z)y=0y''+p_b(z)y'+q_b(z)y=0、pb(z)=c−(1+a+1b)zz(1−zb)p_b(z)=\dfrac{c-(1+\frac{a+1}b)z}{z(1-\frac zb)}、qb(z)=−az(1−zb)q_b(z)=-\dfrac a{z(1-\frac zb)}を得る。(z−b)pb(z-b)p_bと(z−b)2qb(z-b)^2q_bはbbの近傍で正則であるから、bbは常点または確定特異点である。qbq_bがbbの近傍で正則であることはa=0a=0と同値であり、pbp_bの分子のz=bz=bでの値はc−b−a−1c-b-a-1であるから、bbが常点であることはa=0a=0かつb=c−1b=c-1であることと同値である。

R0>bR_0>bとすると、pb,qbp_b,q_bは{∣z∣>R0}\{\lvert z\rvert>R_0\}上で正則である。§E13.38 補題 7.1により、ζ=1/z\zeta=1/zによる反転後の係数は

p~b(ζ)=b(2−c)ζ+a+b−1ζ(bζ−1),q~b(ζ)=−abζ2(bζ−1)\widetilde p_b(\zeta)=\frac{b(2-c)\zeta+a+b-1}{\zeta(b\zeta-1)},\qquad \widetilde q_b(\zeta)=-\frac{ab}{\zeta^2(b\zeta-1)}

である。ζp~b\zeta\widetilde p_bとζ2q~b\zeta^2\widetilde q_bは原点の近傍で正則であるから、反転後の原点は常点または確定特異点である。q~b\widetilde q_bが原点の近傍で正則であることはab=0ab=0と同値であり、この条件の下でp~b\widetilde p_bが正則であることはa+b−1=0a+b-1=0と同値である。したがって、b>max⁡{1,∣c−1∣}b>\max\{1,\lvert c-1\rvert\}ならば、元の方程式のbbと∞\inftyはともに確定特異点である（§E13.38 定義 7.3）。この条件を満たしながらb→∞b\to\inftyとすると、確定特異点bbは確定特異点∞\inftyと合流する。極限の方程式では、∞\inftyは不確定特異点になる（命題 3.1 (1)）。二つの確定特異点の合流によって不確定特異点が生じることが、「合流型」の名の由来である。

3 無限遠点

命題 3.1.a,c∈Ca,c\in\Cとする。このとき、次が成り立つ。

  1. ∞\inftyは Kummer の方程式zy′′+(c−z)y′−ay=0zy''+(c-z)y'-ay=0の不確定特異点である。
  2. r>0r>0とし、D∘=D(0,r)∖(−r,0]D^\circ=D(0,r)\setminus(-r,0]とする。ζ=1/z\zeta=1/zによる§E13.38 定義 7.3の方程式（R0=1/rR_0=1/r）をu′′+p~u′+q~u=0u''+\tilde pu'+\tilde qu=0とする。このとき、ρ1,ρ2,γ∈C\rho_1,\rho_2,\gamma\in\CとD(0,r)D(0,r)上の正則関数φ1,φ2\varphi_1,\varphi_2によってy1=ζρ1φ1y_1=\zeta^{\rho_1}\varphi_1、y2=γ y1Log⁡ζ+ζρ2φ2y_2=\gamma\,y_1\operatorname{Log}\zeta+\zeta^{\rho_2}\varphi_2と書かれるD∘D^\circ上の二つの解y1,y2y_1,y_2で、D∘D^\circ上の方程式の任意の解がy1,y2y_1,y_2の一次結合になるものは存在しない。

証明.主張 (1)を示す。Kummer の方程式をzzで割った方程式の係数p(z)=(c−z)/zp(z)=(c-z)/z、q(z)=−a/zq(z)=-a/zはC∖{0}\C\setminus\{0\}上で正則である。R0>0R_0>0を取り、p~,q~\tilde p,\tilde qを§E13.38 定義 7.3のとおり0<∣ζ∣<1/R00<\lvert\zeta\rvert<1/R_0上で定める。zp(z)=c−zzp(z)=c-zはz→∞z\to\inftyで有界でないから、§E13.38 命題 7.2 (1)により、ζ=0\zeta=0はu′′+p~u′+q~u=0u''+\tilde pu'+\tilde qu=0の常点でも確定特異点でもない。p~,q~\tilde p,\tilde qは0<∣ζ∣<1/R00<\lvert\zeta\rvert<1/R_0上で正則であるから、ζ=0\zeta=0はこの方程式の孤立特異点であって不確定特異点であり（§E13.38 定義 6.1）、§E13.38 定義 7.3により∞\inftyは Kummer の方程式の不確定特異点である。

主張 (2)を示す。p~,q~\tilde p,\tilde qはD(0,r)∖{0}D(0,r)\setminus\{0\}上で正則であり、ζ=0\zeta=0はu′′+p~u′+q~u=0u''+\tilde pu'+\tilde qu=0の孤立特異点で、D∘D^\circは§E13.38 定義 1.2の点00、半径rrのD∘D^\circである。そのようなy1,y2y_1,y_2が存在するとする。§E13.38 補題 5.3を点00で適用すると、この方程式の全解は00で緩増加である。§E13.38 定理 5.6によりζ=0\zeta=0は常点または確定特異点であり、§E13.38 定義 7.3により∞\inftyは Kummer の方程式の常点または確定特異点である。これは主張 (1)と両立しない。▨

例 3.2.a∈Ca\in\Cとし、c=ac=aとする。r>0r>0、D∘=D(0,r)∖(−r,0]D^\circ=D(0,r)\setminus(-r,0]とし、u′′+p~u′+q~u=0u''+\tilde pu'+\tilde qu=0を命題 3.1 (2)の方程式とする。このとき、z(ez)′′+(a−z)(ez)′−aez=(z+a−z−a)ez=0z(e^z)''+(a-z)(e^z)'-ae^z=(z+a-z-a)e^z=0であるから、eze^zはC\C上の Kummer の方程式の解であり、§E13.38 定義 7.3によりu0(ζ)=e1/ζu_0(\zeta)=e^{1/\zeta}はD∘D^\circ上のu′′+p~u′+q~u=0u''+\tilde pu'+\tilde qu=0の解である。C,N≥0C,N\ge0とr1∈(0,r]r_1\in(0,r]を任意に取り、NN以上の整数N′N'を取る。0<s<min⁡{r1,1}0<s<\min\{r_1,1\}についてs−N′≥s−Ns^{-N'}\ge s^{-N}であり、u0(s)=e1/s≥s−N′−1(N′+1)!u_0(s)=e^{1/s}\ge\dfrac{s^{-N'-1}}{(N'+1)!}であるから、0<s<min⁡{r1, 1, 1/((C+1)(N′+1)!)}0<s<\min\{r_1,\,1,\,1/((C+1)(N'+1)!)\}ではs∈D∘s\in D^\circかつu0(s)≥s−N′(N′+1)! s>Cs−N′≥Cs−Nu_0(s)\ge\dfrac{s^{-N'}}{(N'+1)!\,s}>Cs^{-N'}\ge Cs^{-N}である。したがって、u0u_0は00で緩増加でない（§E13.38 定義 5.2）。

4 Laguerre 多項式

定義 4.1.α>−1\alpha>-1とし、n∈N≥0n\in\Nとする。α+1>0\alpha+1>0であるからα+1∉Z≤0\alpha+1\notin\Z_{\le0}であり、a=−na=-nの Kummer 関数は多項式である。二項係数(n+αn)=(α+1)nn!\binom{n+\alpha}n=\dfrac{(\alpha+1)_n}{n!}を用いて、多項式

Ln(α)(x)=(n+αn)M(−n,α+1,x)L_n^{(\alpha)}(x)=\binom{n+\alpha}{n}M(-n,\alpha+1,x)

をLaguerre 多項式 (Laguerre polynomial) という。

命題 4.2.α>−1\alpha>-1、n∈N≥0n\in\Nとする。このとき、次が成り立つ。

  1. Ln(α)(x)=∑k=0n(−1)k(α+k+1)n−kk! (n−k)!xkL_n^{(\alpha)}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(\alpha+k+1)_{n-k}}{k!\,(n-k)!}x^kである。Ln(α)L_n^{(\alpha)}の次数はnnであり、xnx^nの係数は(−1)n/n!(-1)^n/n!である。
  2. Ln(α)L_n^{(\alpha)}はR\R上でxy′′+(α+1−x)y′+ny=0xy''+(\alpha+1-x)y'+ny=0を満たす。とくに、Ln(α)L_n^{(\alpha)}の(0,∞)(0,\infty)への制限は、§E13.26 命題 2.2 (4)のp(x)=xα+1e−xp(x)=x^{\alpha+1}e^{-x}、q=0q=0、w(x)=xαe−xw(x)=x^\alpha e^{-x}についてのℓ[y]=λwy\ell[y]=\lambda wyのλ=n\lambda=nの解である。

証明.主張 (1)を示す。k≤nk\le nについて(−n)k=(−1)kn!(n−k)!(-n)_k=(-1)^k\dfrac{n!}{(n-k)!}、(α+1)n(α+1)k=(α+k+1)n−k\dfrac{(\alpha+1)_n}{(\alpha+1)_k}=(\alpha+k+1)_{n-k}であるから、xkx^kの係数は(α+1)nn!⋅(−1)kn!(n−k)! (α+1)k k!=(−1)k(α+k+1)n−kk! (n−k)!\dfrac{(\alpha+1)_n}{n!}\cdot\dfrac{(-1)^kn!}{(n-k)!\,(\alpha+1)_k\,k!}=\dfrac{(-1)^k(\alpha+k+1)_{n-k}}{k!\,(n-k)!}である。k=nk=nのとき(α+n+1)0=1(\alpha+n+1)_0=1であるから、xnx^nの係数は(−1)n/n!≠0(-1)^n/n!\ne0である。

主張 (2)を示す。定理 1.3 (2)をa=−na=-n、c=α+1c=\alpha+1として適用すると、M(−n,α+1,⋅)M(-n,\alpha+1,\cdot)はxy′′+(α+1−x)y′+ny=0xy''+(\alpha+1-x)y'+ny=0を満たす。Ln(α)L_n^{(\alpha)}はM(−n,α+1,⋅)M(-n,\alpha+1,\cdot)の定数倍であるから、Ln(α)L_n^{(\alpha)}もR\R上でこの方程式を満たす。この方程式は§E13.26 命題 2.2 (4)の方程式xy′′+(α+1−x)y′+λy=0xy''+(\alpha+1-x)y'+\lambda y=0のλ=n\lambda=nの場合であり、Ln(α)L_n^{(\alpha)}はC∞C^\inftyであるから、その(0,∞)(0,\infty)への制限は、示したp,q,wp,q,wについてのℓ[y]=nwy\ell[y]=nwyの解である。▨

補題 4.3.JJを開区間（有界でなくてもよい）、n∈N≥0n\in\N、g∈Cn(J;R)g\in C^n(J;\R)とし、PPを実係数の多項式とする。0≤i≤n0\le i\le nについてP(i)g(n−i)P^{(i)}g^{(n-i)}がJJ上で広義積分可能であり（§D1.20 定義 1.1）、0≤i≤n−10\le i\le n-1についてP(i)g(n−1−i)P^{(i)}g^{(n-1-i)}がJJの両端点で00に収束するとする。

このとき、∫JPg(n) dx=(−1)n∫JP(n)g dx\displaystyle\int_JPg^{(n)}\,dx=(-1)^n\int_JP^{(n)}g\,dxである。

証明.J=(α0,β0)J=(\alpha_0,\beta_0)とし、α0<s<t<β0\alpha_0<s<t<\beta_0とする。0≤i≤n−10\le i\le n-1について§E4.5 補題 1.1により

∫stP(i)g(n−i) dx=[P(i)g(n−i−1)]st−∫stP(i+1)g(n−i−1) dx\int_s^tP^{(i)}g^{(n-i)}\,dx=\Bigl[P^{(i)}g^{(n-i-1)}\Bigr]_s^t-\int_s^tP^{(i+1)}g^{(n-i-1)}\,dx

である。s↓α0s\downarrow\alpha_0、t↑β0t\uparrow\beta_0とすると、仮定により左辺と右辺の積分はそれぞれ∫JP(i)g(n−i)\int_JP^{(i)}g^{(n-i)}、∫JP(i+1)g(n−i−1)\int_JP^{(i+1)}g^{(n-i-1)}に収束し、境界項は00に収束する。よって∫JP(i)g(n−i)=−∫JP(i+1)g(n−i−1)\int_JP^{(i)}g^{(n-i)}=-\int_JP^{(i+1)}g^{(n-i-1)}であり、i=0,…,n−1i=0,\dots,n-1について順に適用して主張を得る。▨

定理 4.4.α>−1\alpha>-1、n∈N≥0n\in\Nとする。このとき、すべてのx>0x>0について

Ln(α)(x)=x−αexn!dndxn(e−xxn+α)L_n^{(\alpha)}(x)=\frac{x^{-\alpha}e^{x}}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\bigl(e^{-x}x^{n+\alpha}\bigr)

である。

証明. Leibniz の公式によりdndxn(e−xxn+α)=∑k=0n(nk)(e−x)(n−k)(xn+α)(k)\dfrac{d^n}{dx^n}\bigl(e^{-x}x^{n+\alpha}\bigr)=\sum_{k=0}^n\binom nk\bigl(e^{-x}\bigr)^{(n-k)}\bigl(x^{n+\alpha}\bigr)^{(k)}であり、(e−x)(n−k)=(−1)n−ke−x\bigl(e^{-x}\bigr)^{(n-k)}=(-1)^{n-k}e^{-x}、(xn+α)(k)=(n+α)(n+α−1)⋯(n+α−k+1)xn+α−k\bigl(x^{n+\alpha}\bigr)^{(k)}=(n+\alpha)(n+\alpha-1)\cdots(n+\alpha-k+1)x^{n+\alpha-k}である。j=n−kj=n-kとおくと、(n+α)⋯(α+j+1)=(α+j+1)n−j(n+\alpha)\cdots(\alpha+j+1)=(\alpha+j+1)_{n-j}であるから

x−αexn!dndxn(e−xxn+α)=∑j=0n1n!(nj)(−1)j(α+j+1)n−jxj=∑j=0n(−1)j(α+j+1)n−jj! (n−j)!xj\frac{x^{-\alpha}e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\bigl(e^{-x}x^{n+\alpha}\bigr)=\sum_{j=0}^n\frac{1}{n!}\binom nj(-1)^j(\alpha+j+1)_{n-j}x^j=\sum_{j=0}^n\frac{(-1)^j(\alpha+j+1)_{n-j}}{j!\,(n-j)!}x^j

である。これは命題 4.2 (1)の右辺に等しい。▨

定理 4.5.α>−1\alpha>-1とし、m,n∈N≥0m,n\in\Nとする。このとき、広義積分∫0∞Lm(α)(x)Ln(α)(x) xαe−x dx\int_0^\infty L_m^{(\alpha)}(x)L_n^{(\alpha)}(x)\,x^\alpha e^{-x}\,dxは収束し、

∫0∞Lm(α)(x)Ln(α)(x) xαe−x dx=Γ(n+α+1)n! δmn\int_0^\infty L_m^{(\alpha)}(x)L_n^{(\alpha)}(x)\,x^\alpha e^{-x}\,dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\,\delta_{mn}

が成り立つ。

証明.m≤nm\le nとしてよい（m,nm,nについて対称である）。g(x)=e−xxn+αg(x)=e^{-x}x^{n+\alpha}（x>0x>0）とおく。0≤k≤n0\le k\le nについて、g(k)(x)=e−xxn+α−kQk(x)g^{(k)}(x)=e^{-x}x^{n+\alpha-k}Q_k(x)を満たす多項式QkQ_kが存在する。実際Q0=1Q_0=1であり、(e−xxsQ)′=e−xxs−1((s−x)Q+xQ′)\bigl(e^{-x}x^{s}Q\bigr)'=e^{-x}x^{s-1}\bigl((s-x)Q+xQ'\bigr)であるから、帰納法でQk+1=(n+α−k−x)Qk+xQk′Q_{k+1}=(n+\alpha-k-x)Q_k+xQ_k'と取ることができる。P=Lm(α)P=L_m^{(\alpha)}とする。J=(0,∞)J=(0,\infty)で補題 4.3の仮定が成り立つ。実際、0≤i≤n0\le i\le nについてP(i)g(n−i)=e−xxα+iP(i)Qn−iP^{(i)}g^{(n-i)}=e^{-x}x^{\alpha+i}P^{(i)}Q_{n-i}は、α+i>−1\alpha+i>-1であるからxα+ix^{\alpha+i}が00の近くで可積分であり、e−xe^{-x}の因子により∞\inftyの近くでも可積分であるから、広義積分可能である（§E4.15 命題 1.2）。0≤i≤n−10\le i\le n-1についてP(i)g(n−1−i)=e−xxα+i+1P(i)Qn−1−iP^{(i)}g^{(n-1-i)}=e^{-x}x^{\alpha+i+1}P^{(i)}Q_{n-1-i}は、α+i+1>0\alpha+i+1>0によりx→0+x\to0+で、e−xe^{-x}によりx→∞x\to\inftyで00に収束する。定理 4.4によりLn(α)(x)xαe−x=1n!g(n)(x)L_n^{(\alpha)}(x)x^\alpha e^{-x}=\dfrac1{n!}g^{(n)}(x)であるから、補題 4.3により

∫0∞Lm(α)Ln(α)xαe−x dx=(−1)nn!∫0∞(Lm(α))(n)(x) e−xxn+α dx\int_0^\infty L_m^{(\alpha)}L_n^{(\alpha)}x^\alpha e^{-x}\,dx=\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^\infty\bigl(L_m^{(\alpha)}\bigr)^{(n)}(x)\,e^{-x}x^{n+\alpha}\,dx

である。m<nm<nならば命題 4.2 (1)によりLm(α)L_m^{(\alpha)}は次数m<nm<nの多項式であるから(Lm(α))(n)=0\bigl(L_m^{(\alpha)}\bigr)^{(n)}=0であり、積分は零である。m=nm=nならば、xnx^nの係数が(−1)n/n!(-1)^n/n!であるから(Ln(α))(n)=(−1)n\bigl(L_n^{(\alpha)}\bigr)^{(n)}=(-1)^nであり、積分は1n!∫0∞e−xxn+α dx=Γ(n+α+1)n!\dfrac1{n!}\int_0^\infty e^{-x}x^{n+\alpha}\,dx=\dfrac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}である（§E4.15 定義 1.1）。▨

5 Hermite 多項式

定義 5.1.12,32∉Z≤0\tfrac12,\tfrac32\notin\Z_{\le0}であり、a=−ma=-m（m∈N≥0m\in\N）の Kummer 関数M(−m,12,⋅)M(-m,\tfrac12,\cdot)、M(−m,32,⋅)M(-m,\tfrac32,\cdot)は多項式である。m∈N≥0m\in\Nについて

H2m(x)=(−1)m(2m)!m!M(−m,12,x2),H2m+1(x)=(−1)m(2m+1)!m! 2x M(−m,32,x2)H_{2m}(x)=(-1)^m\frac{(2m)!}{m!}M\Bigl(-m,\frac12,x^2\Bigr),\qquad H_{2m+1}(x)=(-1)^m\frac{(2m+1)!}{m!}\,2x\,M\Bigl(-m,\frac32,x^2\Bigr)

で定める。多項式HnH_n（n∈N≥0n\in\N）をHermite 多項式 (Hermite polynomial) という。

命題 5.2.n∈N≥0n\in\Nとする。このとき、次が成り立つ。

  1. HnH_nは次数nn、xnx^nの係数2n2^nの多項式であり、すべてのx∈Rx\in\RについてHn(−x)=(−1)nHn(x)H_n(-x)=(-1)^nH_n(x)である。
  2. 多項式yyがR\R上でy′′−2xy′+2ny=0y''-2xy'+2ny=0を満たすための必要十分条件は、yyがHnH_nの定数倍であることである。
  3. HnH_nは§E13.26 命題 2.2 (5)の Hermite の方程式y′′−2xy′+λy=0y''-2xy'+\lambda y=0のλ=2n\lambda=2nの解であり、u=e−x2/2Hnu=e^{-x^2/2}H_nは−u′′+(x2−1)u=2nu-u''+(x^2-1)u=2nuを満たす。

証明.主張 (1)を示す。(1/2)m=(2m)!4mm!(1/2)_m=\dfrac{(2m)!}{4^mm!}、(3/2)m=(2m+1)!4mm!(3/2)_m=\dfrac{(2m+1)!}{4^mm!}である（(1/2)m=∏k<m2k+12(1/2)_m=\prod_{k<m}\frac{2k+1}2、(3/2)m=∏k<m2k+32(3/2)_m=\prod_{k<m}\frac{2k+3}2と、(2m)!=∏k<m(2k+1)⋅2mm!(2m)!=\prod_{k<m}(2k+1)\cdot2^mm!、(2m+1)!=∏k<m(2k+3)⋅2mm!(2m+1)!=\prod_{k<m}(2k+3)\cdot2^mm!による）。M(−m,c,z)M(-m,c,z)のzmz^mの係数は(−m)m(c)mm!=(−1)m(c)m\dfrac{(-m)_m}{(c)_mm!}=\dfrac{(-1)^m}{(c)_m}であり、zkz^k（k>mk>m）の係数は零である。n=2mn=2mのとき、HnH_nはx2x^2の次数mmの多項式であり、x2mx^{2m}の係数は(−1)m(2m)!m!⋅(−1)m4mm!(2m)!=4m=2n(-1)^m\dfrac{(2m)!}{m!}\cdot\dfrac{(-1)^m4^mm!}{(2m)!}=4^m=2^nである。n=2m+1n=2m+1のとき、HnH_nはxxとx2x^2の次数mmの多項式の積の定数倍であり、x2m+1x^{2m+1}の係数は2(−1)m(2m+1)!m!⋅(−1)m4mm!(2m+1)!=22m+1=2n2(-1)^m\dfrac{(2m+1)!}{m!}\cdot\dfrac{(-1)^m4^mm!}{(2m+1)!}=2^{2m+1}=2^nである。偶数次のH2mH_{2m}はx2x^2の多項式、H2m+1H_{2m+1}はxxとx2x^2の多項式の積であるから、偶奇性が従う。

主張 (2)を示す。十分性を示す。n=2mn=2mとし、w=M(−m,12,⋅)w=M(-m,\frac12,\cdot)、y(x)=w(x2)y(x)=w(x^2)とおくと、y′=2xw′(x2)y'=2xw'(x^2)、y′′=2w′(x2)+4x2w′′(x2)y''=2w'(x^2)+4x^2w''(x^2)であり、z=x2z=x^2について

y′′−2xy′+2ny=4(zw′′+(12−z)w′+mw)=0y''-2xy'+2ny=4\Bigl(zw''+\bigl(\tfrac12-z\bigr)w'+mw\Bigr)=0

である（定理 1.3 (2)をa=−ma=-m、c=12c=\frac12として適用）。n=2m+1n=2m+1とし、w=M(−m,32,⋅)w=M(-m,\frac32,\cdot)、y(x)=xw(x2)y(x)=xw(x^2)とおくと、y′=w+2x2w′y'=w+2x^2w'、y′′=6xw′+4x3w′′y''=6xw'+4x^3w''であり、

y′′−2xy′+2ny=4x(zw′′+(32−z)w′+mw)=0y''-2xy'+2ny=4x\Bigl(zw''+\bigl(\tfrac32-z\bigr)w'+mw\Bigr)=0

である（a=−ma=-m、c=32c=\frac32）。HnH_nはこれらの定数倍であるから、HnH_nの定数倍は方程式を満たす。必要性を示す。y=∑kckxk≠0y=\sum_kc_kx^k\ne0を方程式を満たす多項式とし、ddをその次数とする。xkx^kの係数は(k+2)(k+1)ck+2=2(k−n)ck(k+2)(k+1)c_{k+2}=2(k-n)c_k（k≥0k\ge0）である。k=dk=dではcd+2=0c_{d+2}=0により2(d−n)cd=02(d-n)c_d=0であるからd=nd=nである。κ=cn/2n\kappa=c_n/2^nとおくと、y−κHny-\kappa H_nは方程式を満たす多項式であり（十分性）、主張 (1)によりxnx^nの係数が零であるから、次数はnnでなく、零多項式でなければ上の議論と矛盾する。よってy=κHny=\kappa H_nである。

主張 (3)を示す。主張 (2)の十分性によりHnH_nはy′′−2xy′+2ny=0y''-2xy'+2ny=0を満たし、これは§E13.26 命題 2.2 (5)の方程式のλ=2n\lambda=2nの場合である。その項目により、u=e−x2/2Hnu=e^{-x^2/2}H_nは−u′′+(x2−1)u=2nu-u''+(x^2-1)u=2nuを満たす。▨

補題 5.3.n∈N≥0n\in\NについてRn(x)=(−1)nex2dndxne−x2R_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\dfrac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}（x∈Rx\in\R）とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. Rn+1=2xRn−Rn′R_{n+1}=2xR_n-R_n'であり、RnR_nは次数nn、xnx^nの係数2n2^nの多項式である。
  2. Rn′′−2xRn′+2nRn=0R_n''-2xR_n'+2nR_n=0である。

証明.u=e−x2u=e^{-x^2}とおくと、u(n)=(−1)nRne−x2u^{(n)}=(-1)^nR_ne^{-x^2}である。

主張 (1)を示す。u(n)=(−1)nRnuu^{(n)}=(-1)^nR_nuを微分するとu(n+1)=(−1)n(Rn′−2xRn)uu^{(n+1)}=(-1)^n(R_n'-2xR_n)uであり、u(n+1)=(−1)n+1Rn+1uu^{(n+1)}=(-1)^{n+1}R_{n+1}uであるからRn+1=2xRn−Rn′R_{n+1}=2xR_n-R_n'である。R0=1R_0=1であるから、帰納法によりRnR_nは多項式であり、Rn′R_n'の次数はnn未満であるからRn+1R_{n+1}の次数はn+1n+1、xn+1x^{n+1}の係数は2⋅2n2\cdot2^nである。

主張 (2)を示す。u′=−2xuu'=-2xuに Leibniz の公式を適用するとu(n+2)=−2xu(n+1)−2(n+1)u(n)u^{(n+2)}=-2xu^{(n+1)}-2(n+1)u^{(n)}であり、u(k)=(−1)kRkuu^{(k)}=(-1)^kR_kuを代入してuuで割るとRn+2=2xRn+1−2(n+1)RnR_{n+2}=2xR_{n+1}-2(n+1)R_nを得る。主張 (1)によりRn+2=2xRn+1−Rn+1′R_{n+2}=2xR_{n+1}-R_{n+1}'であるからRn+1′=2(n+1)RnR_{n+1}'=2(n+1)R_nである。主張 (1)のRn+1=2xRn−Rn′R_{n+1}=2xR_n-R_n'を微分するとRn+1′=2Rn+2xRn′−Rn′′R_{n+1}'=2R_n+2xR_n'-R_n''であり、2(n+1)Rn=2Rn+2xRn′−Rn′′2(n+1)R_n=2R_n+2xR_n'-R_n''、すなわちRn′′−2xRn′+2nRn=0R_n''-2xR_n'+2nR_n=0である。▨

定理 5.4.n∈N≥0n\in\Nとする。このとき、すべてのx∈Rx\in\Rについて

Hn(x)=(−1)nex2dndxne−x2H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}

である。

証明.RnR_nを補題 5.3のとおりとする。補題 5.3 (2)によりRnR_nはy′′−2xy′+2ny=0y''-2xy'+2ny=0を満たす多項式であるから、命題 5.2 (2)によりRn=κHnR_n=\kappa H_nを満たすκ∈C\kappa\in\Cが存在する。補題 5.3 (1)と命題 5.2 (1)によりRnR_nとHnH_nのxnx^nの係数はともに2n2^nであるからκ=1\kappa=1である。

§E13.32 補題 8.2の Rodrigues 公式は、すべてのn∈N≥0n\in\N、x∈Rx\in\Rについて同じ右辺を与える。したがって、Kummer 関数から定めたHnH_nは、§E13.32 Weyl–Titchmarsh の展開定理 で漸化式から定めた Hermite 多項式と一致する。▨

定理 5.5.m,n∈N≥0m,n\in\Nとする。このとき、広義積分∫−∞∞Hm(x)Hn(x)e−x2 dx\int_{-\infty}^\infty H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}\,dxは収束し、

∫−∞∞Hm(x)Hn(x) e−x2 dx=2nn!π δmn\int_{-\infty}^\infty H_m(x)H_n(x)\,e^{-x^2}\,dx=2^nn!\sqrt\pi\,\delta_{mn}

が成り立つ。

証明.m≤nm\le nとしてよい。g(x)=e−x2g(x)=e^{-x^2}とおく。g(k)=(−1)kHke−x2g^{(k)}=(-1)^kH_ke^{-x^2}であり（定理 5.4）、HkH_kは多項式であるから、多項式PPについてP(i)g(n−i)P^{(i)}g^{(n-i)}とP(i)g(n−1−i)P^{(i)}g^{(n-1-i)}は多項式とe−x2e^{-x^2}の積である。e−x2=e−x2/2⋅e−x2/2e^{-x^2}=e^{-x^2/2}\cdot e^{-x^2/2}であり、多項式SSについてS(x)e−x2/2S(x)e^{-x^2/2}は有界でx→±∞x\to\pm\inftyで00に収束する。∣x∣≥1\lvert x\rvert\ge1でe−x2/2≤e−∣x∣/2e^{-x^2/2}\le e^{-\lvert x\rvert/2}であり∫1∞e−x/2dx=2e−1/2<∞\int_1^\infty e^{-x/2}dx=2e^{-1/2}<\inftyであるから、∫−∞∞e−x2/2dx<∞\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx<\inftyである。以上より、P(i)g(n−i)P^{(i)}g^{(n-i)}とP(i)g(n−1−i)P^{(i)}g^{(n-1-i)}はR\R上で広義積分可能であり、x→±∞x\to\pm\inftyで00に収束する。定理 5.4によりHn(x)e−x2=(−1)ng(n)(x)H_n(x)e^{-x^2}=(-1)^ng^{(n)}(x)であるから、P=HmP=H_mについて補題 4.3により

∫−∞∞HmHne−x2 dx=(−1)n∫−∞∞Hmg(n) dx=∫−∞∞Hm(n)(x)e−x2 dx\int_{-\infty}^\infty H_mH_ne^{-x^2}\,dx=(-1)^n\int_{-\infty}^\infty H_mg^{(n)}\,dx=\int_{-\infty}^\infty H_m^{(n)}(x)e^{-x^2}\,dx

である。m<nm<nならばHm(n)=0H_m^{(n)}=0であり、積分は零である。m=nm=nならば、HnH_nのxnx^nの係数が2n2^nであるから（命題 5.2 (1)）Hn(n)=2nn!H_n^{(n)}=2^nn!であり、積分は2nn!∫−∞∞e−x2dx2^nn!\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dxである。∫−∞∞e−x2dx=2∫0∞e−x2dx\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=2\int_0^\infty e^{-x^2}dxは、t=x2t=x^2として∫0∞t−1/2e−t dt=Γ(12)\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}\,dt=\Gamma(\tfrac12)に等しく、§E4.15 命題 5.1によりπ\sqrt\piである。▨

6 Bessel 関数との関係

命題 6.1.ν∈R\nu\in\Rとし、2ν+1∉Z≤02\nu+1\notin\Z_{\le0}とする。qqを§E4.15 定義 4.1の逆 Gamma 関数の実数延長とする。このとき、すべてのx>0x>0について

Jν(x)=q(ν+1)(x2)νe−ixM(ν+12, 2ν+1, 2ix)J_\nu(x)=q(\nu+1)\Bigl(\frac x2\Bigr)^\nu e^{-ix}M\Bigl(\nu+\frac12,\,2\nu+1,\,2ix\Bigr)

である。ここでJνJ_\nuは§E13.36 定義 3.1の第一種 Bessel 関数である。

証明.dk=(−1)kq(k+ν+1)k! 22kd_k=\dfrac{(-1)^kq(k+\nu+1)}{k!\,2^{2k}}とおき、h(x)=∑k≥0dkx2kh(x)=\sum_{k\ge0}d_kx^{2k}とする。§E13.36 定理 3.3により、すべてのx>0x>0で∑k∣dk∣x2k<∞\sum_k\lvert d_k\rvert x^{2k}<\inftyであるから、hhの収束半径は∞\inftyであり、hhはC\C上の整関数である。Jν(x)=(x/2)νh(x)=2−νxνh(x)J_\nu(x)=(x/2)^\nu h(x)=2^{-\nu}x^\nu h(x)（x>0x>0）である。

§E13.36 定理 3.3によりJνJ_\nuはx>0x>0で§E13.36 式 (1.1.1)を満たす。y=xνhy=x^\nu hとしてy′=xν(h′+νh/x)y'=x^\nu(h'+\nu h/x)、y′′=xν(h′′+2νh′/x+ν(ν−1)h/x2)y''=x^\nu\bigl(h''+2\nu h'/x+\nu(\nu-1)h/x^2\bigr)を代入すると、ν(ν−1)+ν−ν2=0\nu(\nu-1)+\nu-\nu^2=0により

x2y′′+xy′+(x2−ν2)y=xν+1(xh′′+(2ν+1)h′+xh)x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=x^{\nu+1}\bigl(xh''+(2\nu+1)h'+xh\bigr)

である。したがってxh′′+(2ν+1)h′+xhxh''+(2\nu+1)h'+xhはx>0x>0で零であり、整関数であるから、§E5.8 定理 3.1によりC\C上で零である。

a=ν+12a=\nu+\frac12、c=2ν+1c=2\nu+1とし、w(z)=ez/2h(−iz/2)w(z)=e^{z/2}h(-iz/2)（z∈Cz\in\C）とおく。wwは整関数であり、x=z/(2i)x=z/(2i)についてh(x)=e−ixw(2ix)h(x)=e^{-ix}w(2ix)である。h′=e−ix(−iw+2iw′)h'=e^{-ix}(-iw+2iw')、h′′=e−ix(−w+4w′−4w′′)h''=e^{-ix}(-w+4w'-4w'')（wwとその導関数は2ix2ixでの値）であるから、

xh′′+(2ν+1)h′+xh=e−ix(4x(w′−w′′)+c(2iw′−iw))=2i e−ix(zw′′+(c−z)w′−aw)∣z=2ixxh''+(2\nu+1)h'+xh=e^{-ix}\Bigl(4x(w'-w'')+c(2iw'-iw)\Bigr)=2i\,e^{-ix}\bigl(zw''+(c-z)w'-aw\bigr)\Big|_{z=2ix}

である（4x=−2iz4x=-2iz）。これが零でありe−ix≠0e^{-ix}\ne0、x↦2ixx\mapsto2ixはC\CからC\Cへの全単射であるから、wwはC\C上でパラメータa,ca,cの Kummer の方程式を満たす。c∉Z≤0c\notin\Z_{\le0}であるから、定理 1.3 (3)によりw=w(0)M(a,c,⋅)w=w(0)M(a,c,\cdot)であり、w(0)=h(0)=d0=q(ν+1)w(0)=h(0)=d_0=q(\nu+1)である。よってh(x)=q(ν+1)e−ixM(a,c,2ix)h(x)=q(\nu+1)e^{-ix}M(a,c,2ix)であり、Jν(x)=(x/2)νh(x)J_\nu(x)=(x/2)^\nu h(x)から主張が従う。▨

7 演習

問題 7.1.a,c∈Ca,c\in\C、c∉Z≤0c\notin\Z_{\le0}とする。このときM(a,c,z)=ezM(c−a,c,−z)M(a,c,z)=e^zM(c-a,c,-z)（z∈Cz\in\C）を、定理 1.3 (3)を用いて示せ。

解答.

m(ζ)=M(c−a,c,ζ)m(\zeta)=M(c-a,c,\zeta)、w(z)=m(−z)w(z)=m(-z)、y(z)=ezw(z)y(z)=e^zw(z)とおく。定理 1.3 (2)によりζm′′+(c−ζ)m′−(c−a)m=0\zeta m''+(c-\zeta)m'-(c-a)m=0であり、w′(z)=−m′(−z)w'(z)=-m'(-z)、w′′(z)=m′′(−z)w''(z)=m''(-z)であるから、ζ=−z\zeta=-zとして−zw′′+(c+z)(−w′)−(c−a)w=0-zw''+(c+z)(-w')-(c-a)w=0、すなわちzw′′+(c+z)w′+(c−a)w=0zw''+(c+z)w'+(c-a)w=0である。y′=ez(w+w′)y'=e^z(w+w')、y′′=ez(w+2w′+w′′)y''=e^z(w+2w'+w'')であるから

zy′′+(c−z)y′−ay=ez(zw′′+(2z+c−z)w′+(z+c−z−a)w)=ez(zw′′+(c+z)w′+(c−a)w)=0zy''+(c-z)y'-ay=e^z\bigl(zw''+(2z+c-z)w'+(z+c-z-a)w\bigr)=e^z\bigl(zw''+(c+z)w'+(c-a)w\bigr)=0

である。yyはC\C上の整関数でy(0)=1y(0)=1を満たすから、定理 1.3 (3)によりy=M(a,c,⋅)y=M(a,c,\cdot)であり、M(a,c,z)=ezM(c−a,c,−z)M(a,c,z)=e^zM(c-a,c,-z)である。▨

問題 7.2.m∈N≥0m\in\Nとする。次を示せ。

  1. H2m(x)=(−1)m4mm! Lm(−1/2)(x2)H_{2m}(x)=(-1)^m4^mm!\,L_m^{(-1/2)}(x^2)、H2m+1(x)=(−1)m22m+1m! x Lm(1/2)(x2)H_{2m+1}(x)=(-1)^m2^{2m+1}m!\,x\,L_m^{(1/2)}(x^2)である。
  2. 1 と定理 4.5から∫−∞∞H2m2e−x2dx=4m(2m)!π\int_{-\infty}^\infty H_{2m}^2e^{-x^2}dx=4^m(2m)!\sqrt\piを導け。
解答.
  1. α=−12>−1\alpha=-\frac12>-1についてLm(−1/2)(t)=(1/2)mm!M(−m,12,t)L_m^{(-1/2)}(t)=\dfrac{(1/2)_m}{m!}M(-m,\tfrac12,t)であり、(1/2)m=(2m)!4mm!(1/2)_m=\dfrac{(2m)!}{4^mm!}であるから(2m)!m!M(−m,12,t)=4m m! Lm(−1/2)(t)\dfrac{(2m)!}{m!}M(-m,\tfrac12,t)=4^m\,m!\,L_m^{(-1/2)}(t)である。t=x2t=x^2として定義 5.1から第一式を得る。α=12\alpha=\frac12についてLm(1/2)(t)=(3/2)mm!M(−m,32,t)L_m^{(1/2)}(t)=\dfrac{(3/2)_m}{m!}M(-m,\tfrac32,t)、(3/2)m=(2m+1)!4mm!(3/2)_m=\dfrac{(2m+1)!}{4^mm!}であるから(2m+1)!m!M(−m,32,t)=4m m! Lm(1/2)(t)\dfrac{(2m+1)!}{m!}M(-m,\tfrac32,t)=4^m\,m!\,L_m^{(1/2)}(t)であり、定義 5.1の2x2xの因子と合わせて第二式を得る。
  2. H2m2e−x2H_{2m}^2e^{-x^2}は偶関数であるから、∫−∞∞H2m2e−x2dx=2∫0∞H2m(x)2e−x2dx\int_{-\infty}^\infty H_{2m}^2e^{-x^2}dx=2\int_0^\infty H_{2m}(x)^2e^{-x^2}dxである。1 によりH2m(x)2=16m(m!)2Lm(−1/2)(x2)2H_{2m}(x)^2=16^m(m!)^2L_m^{(-1/2)}(x^2)^2であり、t=x2t=x^2、dx=dt/(2t)dx=dt/(2\sqrt t)とすると 2∫0∞H2m2e−x2dx=16m(m!)2∫0∞Lm(−1/2)(t)2t−1/2e−t dt=16m(m!)2Γ(m+12)m!2\int_0^\infty H_{2m}^2e^{-x^2}dx=16^m(m!)^2\int_0^\infty L_m^{(-1/2)}(t)^2t^{-1/2}e^{-t}\,dt=16^m(m!)^2\frac{\Gamma(m+\frac12)}{m!} である（定理 4.5をα=−12\alpha=-\frac12として適用）。Γ(m+12)=(1/2)mΓ(12)=(2m)!4mm!π\Gamma(m+\tfrac12)=(1/2)_m\Gamma(\tfrac12)=\dfrac{(2m)!}{4^mm!}\sqrt\pi（§E4.15 命題 3.1、§E4.15 命題 5.1）であるから、右辺は16mm!⋅(2m)!π4mm!=4m(2m)!π16^mm!\cdot\dfrac{(2m)!\sqrt\pi}{4^mm!}=4^m(2m)!\sqrt\piである。

▨

参考文献

  1. E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, 5th ed., Cambridge University Press, 2021.Kummer の方程式と合流型超幾何関数を参考にした。
  2. Gábor Szegő, Orthogonal Polynomials, 4th ed., Colloquium Publications 23, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1975.Laguerre 多項式と Hermite 多項式の Rodrigues の公式と直交性を参考にした。

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