§E13.17Lyapunov 関数

証明.主張 (1)を示す。§E10.1 命題 2.2により$\R^n$の二つのノルムは同値であるから、$\varphi_t(x)\to x_*$であるかどうかはノルムによらず、$\mathcal B(x_*)$はノルムによらない。残りの主張は§E13.16 補題 2.3である。

主張 (2)を示す。$\rho>0$について、$B(x_*,\rho)\cap U\subseteq\mathcal B(x_*)$であることは、$\mathcal B(x_*)$の定義により、$\lVert x-x_*\rVert<\rho$を満たす任意の$x\in U$について$[0,\infty)\subseteq I(x)$かつ$\varphi_t(x)\to x_*$$(t\to\infty)$であることと同じである。これは§E13.16 定義 2.2の漸近安定性の定義が$\rho$に課す条件である。▨

証明.$x_*$は平衡点であるから$I(x_*)=\R$であり$\varphi_t(x_*)=x_*$である（§E13.15 命題 4.3 (2)）。したがって$x_*\in\mathcal B(x_*)$である。注意 1.2 (2)により、$\rho>0$を$B(x_*,\rho)\cap U\subseteq\mathcal B(x_*)$を満たすように取る。

$x\in\mathcal B(x_*)$とする。$\varphi_t(x)\to x_*$であるから、$T\ge0$が存在して$\lVert\varphi_T(x)-x_*\rVert<\rho$である。§E13.15 定理 2.1 (2)により$U_T$は開集合で$\varphi_T:U_T\to U_{-T}$は連続であるから、$N=\{y\in U_T:\lVert\varphi_T(y)-x_*\rVert<\rho\}$は$x$を含む開集合である。$y\in N$とする。$\varphi_T(y)\in B(x_*,\rho)\cap U\subseteq\mathcal B(x_*)$であるから、§E13.15 定理 1.3により$[0,\infty)\subseteq I(\varphi_T(y))=I(y)-T$であり、$[T,\infty)\subseteq I(y)$である。$I(y)$は$0$と$T$を含む区間であるから$[0,\infty)\subseteq I(y)$である。$t\ge0$について$\varphi_t(y)=\varphi_{t-T}(\varphi_T(y))$であり、$t\to\infty$のとき$\varphi_{t-T}(\varphi_T(y))\to x_*$である。したがって$y\in\mathcal B(x_*)$であり、$N\subseteq\mathcal B(x_*)$である。よって$\mathcal B(x_*)$は開集合である。

$x\in\mathcal B(x_*)$、$t\in I(x)$とする。$I(x)\supseteq[0,\infty)\cup\{t\}$であるから、§E13.15 定理 1.3により$I(\varphi_t(x))=I(x)-t\supseteq[0,\infty)$である。$s\ge0$について$\varphi_s(\varphi_t(x))=\varphi_{s+t}(x)\to x_*$$(s\to\infty)$であるから、$\varphi_t(x)\in\mathcal B(x_*)$である。▨

証明.$t\mapsto\varphi_t(x)$は開区間$I(x)$上で連続であるから、開集合$W$の逆像$J$は開集合である。$t\mapsto\varphi_t(x)$は$C^1$級で導関数は$F(\varphi_t(x))$であるから、§E4.3 系 3.4により$\frac{d}{dt}V(\varphi_t(x))=DV(\varphi_t(x))F(\varphi_t(x))=\dot V(\varphi_t(x))$である。$\dot V$は連続であるから、この導関数は$J$上で連続である。▨

証明.主張 (1)を示す。球面$\{\lVert x-x_*\rVert=r\}$は空でないコンパクト集合であり、$V$はその上で連続で正であるから、§E2.19 定理 4.4により$m>0$である。$\Omega$は$\overline B(x_*,r)$の閉集合であるからコンパクトである。$\lVert x-x_*\rVert=r$ならば$V(x)\ge m>c$であるから$x\notin\Omega$であり、$\Omega\subseteq B(x_*,r)$である。

主張 (2)を示す。$V(x_*)=0<c$であり$V$は連続であるから、$\delta\in(0,r)$が存在して$B(x_*,\delta)$上で$V<c$である。したがって$B(x_*,\delta)\subseteq\Omega$である。

主張 (3)を示す。$x\in\Omega$、$I(x)=(\alpha,\beta)$とし、$A_0=\{t\in[0,\beta):\varphi_s(x)\in\Omega\ (0\le s\le t)\}$とおく。$0\in A_0$である。$\Omega$は閉集合で$s\mapsto\varphi_s(x)$は連続であるから、$A_0$は$[0,\beta)$の閉集合である。$t\in A_0$とする。$\varphi_t(x)\in\Omega\subseteq B(x_*,r)$であり$\varphi$は連続であるから、$\eta>0$が存在して$s\in[t,t+\eta]\cap[0,\beta)$で$\varphi_s(x)\in B(x_*,r)\subseteq W$である。補題 2.2により、$[t,t+\eta]\cap[0,\beta)$上で$s\mapsto V(\varphi_s(x))$は$C^1$級で導関数$\dot V(\varphi_s(x))\le0$をもつから、$V(\varphi_s(x))\le V(\varphi_t(x))\le c$である。したがって$\varphi_s(x)\in\Omega$であり、$[t,t+\eta]\cap[0,\beta)\subseteq A_0$である。よって$A_0$は$[0,\beta)$の開集合でもあり、$[0,\beta)$は連結であるから$A_0=[0,\beta)$である。すなわち$t\in I(x)$、$t\ge0$ならば$\varphi_t(x)\in\Omega$である。$\Omega$は$U$のコンパクト集合であるから、§E13.15 定理 5.3 (2)により$[0,\infty)\subseteq I(x)$である。

主張 (4)を示す。$\overline B(x_*,r_0)\subseteq W$を満たす$r_0>0$を取る。$\varepsilon>0$に対して$r'=\min\{\varepsilon,r_0\}$とし、$m'=\min\{V(x):\lVert x-x_*\rVert=r'\}$、$\Omega'=\{x\in\overline B(x_*,r'):V(x)\le m'/2\}$とおく。主張 (2)を$r',m'/2,\Omega'$に適用して$\delta>0$を取ると、$x\in U$、$\lVert x-x_*\rVert<\delta$ならば$x\in\Omega'$であり、主張 (1)と主張 (3)により$[0,\infty)\subseteq I(x)$であって、すべての$t\ge0$で$\varphi_t(x)\in\Omega'\subseteq B(x_*,r')\subseteq B(x_*,\varepsilon)$である。▨

証明.§E13.15 定理 5.3 (2)を$K\subseteq W\subseteq U$に適用すると、$[0,\infty)\subseteq I(x)$であり、$\omega(x)$は空でないコンパクト集合で$\omega(x)\subseteq K$であり、各$y\in\omega(x)$について$I(y)=\R$である。§E13.15 定理 5.3 (1)により、$y\in\omega(x)$、$t\in\R$ならば$\varphi_t(y)\in\omega(x)$であるから、$\omega(x)$は不変集合である。

$g(t)=V(\varphi_t(x))$（$t\ge0$）とおく。$\varphi_t(x)\in K\subseteq W$であるから、補題 2.2により$g'(t)=\dot V(\varphi_t(x))\le0$であり、$g$は単調非増加である。$V$は$K$上で下に有界であるから、$g(t)\to c$（$t\to\infty$）となる$c\in\R$が存在する。$y\in\omega(x)$、$t_m\to\infty$、$\varphi_{t_m}(x)\to y$とすると、$V$の連続性により$V(y)=\lim_mg(t_m)=c$である。したがって$V$は$\omega(x)$上で定数$c$である。

$y\in\omega(x)$とする。すべての$t\in\R$で$\varphi_t(y)\in\omega(x)\subseteq W$であり$V(\varphi_t(y))=c$であるから、補題 2.2により$0=\frac{d}{dt}V(\varphi_t(y))|_{t=0}=\dot V(y)$である。▨

証明. 不変集合の和集合は不変集合であるから、$M$は不変集合である。$x\in K$とする。$K$は前方不変であるから、すべての$t\in I(x)$、$t\ge0$で$\varphi_t(x)\in K$である。補題 2.4により$[0,\infty)\subseteq I(x)$であり、$\omega(x)\subseteq K$で$\omega(x)$上で$\dot V=0$であるから、$\omega(x)\subseteq E$である。$\omega(x)$は不変集合であるから$\omega(x)\subseteq M$である。$\omega(x)\ne\varnothing$であるから$M\ne\varnothing$であり、§E13.15 定理 5.3 (2)により$\operatorname{dist}(\varphi_t(x),M)\le\operatorname{dist}(\varphi_t(x),\omega(x))\to0$である。▨

証明.$x_*$は補題 2.3 (4)により Lyapunov 安定である。$r,m,c,\Omega$を主張のとおりとすると、これらは補題 2.3の仮定と定めを満たす。補題 2.3 (1)と補題 2.3 (3)により$\Omega\subseteq W$は前方不変なコンパクト集合であり、$\Omega$上で$\dot V\le0$である。$E=\{y\in\Omega:\dot V(y)=0\}$とし、$M$を$E$に含まれる不変集合すべての和集合とする。$y\in M$ならば$\gamma(y)\subseteq M\subseteq E\subseteq\{y'\in W:\dot V(y')=0\}$であるから、仮定により$y=x_*$である。したがって$M\subseteq\{x_*\}$である。$x\in\Omega$とすると、定理 3.1により$[0,\infty)\subseteq I(x)$、$\varnothing\ne\omega(x)\subseteq M\subseteq\{x_*\}$であり、$\operatorname{dist}(\varphi_t(x),\{x_*\})=\lVert\varphi_t(x)-x_*\rVert\to0$である。すなわち$x\in\mathcal B(x_*)$であり、$\Omega\subseteq\mathcal B(x_*)$である。補題 2.3 (2)により$B(x_*,\delta)\subseteq\Omega\subseteq\mathcal B(x_*)$となる$\delta>0$が存在するから、注意 1.2 (2)により$x_*$は漸近安定である。▨

証明.主張 (1)は、Euclid ノルムについては補題 2.3 (4)であり、§E13.16 補題 2.3により任意のノルムについて成り立つ。

主張 (2)を示す。$V$が狭義であるとし、$x\in U$が$\gamma(x)\subseteq\{y\in W:\dot V(y)=0\}$を満たすとする。$x\in\gamma(x)$であるから$x\in W$かつ$\dot V(x)=0$であり、狭義性により$x=x_*$である。系 3.2により$x_*$は漸近安定である。▨

証明.$x_*$が Lyapunov 安定であると仮定する。$\overline B(x_*,r)\subseteq W$を満たす$r>0$を取る。$\varepsilon=r$に対応する$\delta>0$を取る。$x_*\in\partial W_+$であるから$x_0\in W_+$で$\lVert x_0-x_*\rVert<\delta$を満たすものが存在する。$\delta$の取り方により、$[0,\infty)\subseteq I(x_0)$であり、すべての$t\ge0$で$\varphi_t(x_0)\in B(x_*,r)\subseteq W$である。$g(t)=V(\varphi_t(x_0))$（$t\ge0$）とおくと、補題 2.2により$g$は$C^1$級で$g'(t)=\dot V(\varphi_t(x_0))$である。

$\varphi_t(x_0)\notin W_+$を満たす$t\ge0$が存在するとする。$W_+$は開集合であるから$\{t\ge0:\varphi_t(x_0)\notin W_+\}$は閉集合であり、$x_0\in W_+$であるから$0$を含まず、最小元$t_1>0$をもつ。$0\le t<t_1$で$\varphi_t(x_0)\in W_+$であるから、$\varphi_{t_1}(x_0)\in\overline{W_+}\setminus W_+=\partial W_+$であり、$\varphi_{t_1}(x_0)\in W$であるから$g(t_1)=V(\varphi_{t_1}(x_0))=0$である。一方$0\le t<t_1$で$g'(t)=\dot V(\varphi_t(x_0))>0$であるから$g$は$[0,t_1]$上で狭義増加であり、$g(t_1)>g(0)=V(x_0)>0$である。これは$g(t_1)=0$に反する。

したがってすべての$t\ge0$で$\varphi_t(x_0)\in W_+$であり、$g$は$[0,\infty)$上で狭義増加で$g(t)\ge a=V(x_0)>0$である。$K'=\{x\in\overline B(x_*,r)\cap\overline{W_+}:V(x)\ge a\}$とおく。$K'$は$\overline B(x_*,r)$の閉集合であるからコンパクトである。$x\in K'\cap\partial W_+$ならば$x\in W$であり$V(x)=0<a$となるから、$K'\subseteq W_+$である。$\varphi_t(x_0)\in K'$（$t\ge0$）であるから$K'\ne\varnothing$であり、$\dot V$は連続で$K'$上で正であるから、§E2.19 定理 4.4により$\mu=\min_{K'}\dot V>0$である。したがって$g'(t)\ge\mu$であり、$g(t)\ge a+\mu t$（$t\ge0$）である。一方$V$はコンパクト集合$\overline B(x_*,r)$上で有界であるから、$g$は$[0,\infty)$上で有界である。$g(t)\ge a+\mu t$（$t\ge0$）と$g$の有界性は両立しない。▨

証明.§E13.12 補題 6.7を$\mathbb K=\R$、$d=n$と対応する作用素ノルムに適用すればよい。そこでの$\Sigma_s\ne\varnothing$であることは、$A$が実部負の固有値をもつための必要十分条件である。$\Sigma_u\ne\varnothing$であることは、$A$が実部正の固有値をもつための必要十分条件である。▨

証明.主張 (1)を示す。§E13.16 補題 3.2により$M\ge1$、$\gamma>0$が存在して$\lVert e^{tA}\rVert\le Me^{-\gamma t}$（$t\ge0$）である。$e^{tA^{\mathsf T}}=(e^{tA})^{\mathsf T}$であり、Euclid ノルムに関する作用素ノルムは転置で不変であるから、$\lVert e^{tA^{\mathsf T}}Qe^{tA}\rVert\le M^2\lVert Q\rVert e^{-2\gamma t}$である。したがって$G(t)=e^{tA^{\mathsf T}}Qe^{tA}$の各成分は$[0,\infty)$上で絶対可積分であり、$P=\int_0^\infty G(t)\,dt$と$P_T=\int_0^TG(t)\,dt$が定まって$P_T\to P$（$T\to\infty$）である。$G(t)^{\mathsf T}=G(t)$であるから$P$は対称である。

§E13.12 定理 2.1と積の微分により$G'(t)=A^{\mathsf T}G(t)+G(t)A$であるから、$G(T)-Q=A^{\mathsf T}P_T+P_TA$である。$\lVert G(T)\rVert\le M^2\lVert Q\rVert e^{-2\gamma T}\to0$であるから、$T\to\infty$として$-Q=A^{\mathsf T}P+PA$を得る。

$P'\in\R^{n\times n}$が$A^{\mathsf T}P'+P'A=-Q$を満たすとする。$H(t)=e^{tA^{\mathsf T}}P'e^{tA}$とおくと、$H'(t)=e^{tA^{\mathsf T}}(A^{\mathsf T}P'+P'A)e^{tA}=-G(t)$であるから、$H(T)-P'=-P_T$である。$\lVert H(T)\rVert\le M^2\lVert P'\rVert e^{-2\gamma T}\to0$であるから、$T\to\infty$として$P'=P$を得る。

$x\ne0$とする。$x^{\mathsf T}Px=\int_0^\infty(e^{tA}x)^{\mathsf T}Q(e^{tA}x)\,dt$である。$e^{tA}$は可逆であるから$e^{tA}x\ne0$であり、$Q$の正定値性により被積分関数はすべての$t\ge0$で正である。被積分関数は$t$の連続関数であるから$x^{\mathsf T}Px>0$であり、$P$は正定値である（§E3.41 定義 2.1）。

主張 (2)を示す。$\lambda\in\C$を$A$の固有値、$v\in\C^n\setminus\{0\}$を対応する固有ベクトルとし、$v^*=\bar v^{\mathsf T}$と書く。$A,P,Q$が実数行列であるから$A^{\mathsf T}=A^*$であり、

である。$v=a+ib$（$a,b\in\R^n$）と書くと、$P$が実対称であるから$v^*Pv=a^{\mathsf T}Pa+b^{\mathsf T}Pb>0$であり、$Q$についても同様に$v^*Qv>0$である。したがって$\Re\lambda<0$である。▨