Hopf 分岐 | 常微分方程式論

1 Banach 空間の陰関数定理

補題 1.1. $X,Y$ を $\R$ 上の Banach 空間、 $(P,d)$ を距離空間とし、 $p_0\in P$ 、 $x_0\in X$ 、 $r>0$ とする。 $r'>0$ について $B(x_0,r')=\{x\in X:\lVert x-x_0\rVert<r'\}$ 、 $\overline B(x_0,r')=\{x\in X:\lVert x-x_0\rVert\le r'\}$ と書く。写像 $H:P\times B(x_0,r)\to Y$ は $H(p_0,x_0)=0$ を満たし、各 $x\in B(x_0,r)$ について $p\mapsto H(p,x)$ は連続であるとする。 $L:X\to Y$ は全単射な有界線形作用素で、逆写像 $L^{-1}:Y\to X$ も有界線形作用素であるとする。さらに、任意の $\eta>0$ に対して $\rho\in(0,r]$ が存在して、 $d(p,p_0)<\rho$ かつ $x,y\in B(x_0,\rho)$ ならば

\lVert H(p,x)-H(p,y)-L(x-y)\rVert\le\eta\lVert x-y\rVert

が成り立つとする。このとき、 $\rho_1>0$ と $\rho_2\in(0,r)$ が存在して、次が成り立つ。

$d(p,p_0)<\rho_1$ を満たす各 $p\in P$ について、 $H(p,x)=0$ を満たす $x\in\overline B(x_0,\rho_2)$ がただ一つ存在する。これを $x(p)$ と書く。
$x(p_0)=x_0$ であり、 $p\mapsto x(p)$ は $\{p\in P:d(p,p_0)<\rho_1\}$ の上で連続である。

証明. $\eta>0$ を $\lVert L^{-1}\rVert\eta\le1/2$ を満たすように取り、この $\eta$ に対する仮定の $\rho\in(0,r]$ を取る。 $\rho_2=\rho/2$ とおく。 $p\mapsto H(p,x_0)$ は $p_0$ で連続で $H(p_0,x_0)=0$ であるから、 $\rho_1\in(0,\rho]$ が存在して、 $d(p,p_0)<\rho_1$ ならば $\lVert L^{-1}\rVert\lVert H(p,x_0)\rVert\le\rho_2/2$ である。 $P_1=\{p\in P:d(p,p_0)<\rho_1\}$ とおき、 $P_1$ には $d$ の制限を距離として入れる。

$p\in P_1$ について、 $T_p:\overline B(x_0,\rho_2)\to X$ を $T_p(x)=x-L^{-1}H(p,x)$ で定める。 $\overline B(x_0,\rho_2)\subseteq B(x_0,\rho)$ であるから、 $x,y\in\overline B(x_0,\rho_2)$ について

\lVert T_p(x)-T_p(y)\rVert=\bigl\lVert L^{-1}\bigl(H(p,x)-H(p,y)-L(x-y)\bigr)\bigr\rVert\le\lVert L^{-1}\rVert\eta\lVert x-y\rVert\le\tfrac12\lVert x-y\rVert

である。 $T_p(x_0)-x_0=-L^{-1}H(p,x_0)$ であるから、 $x\in\overline B(x_0,\rho_2)$ について $\lVert T_p(x)-x_0\rVert\le\lVert T_p(x)-T_p(x_0)\rVert+\lVert L^{-1}H(p,x_0)\rVert\le\rho_2/2+\rho_2/2=\rho_2$ であり、 $T_p$ は $\overline B(x_0,\rho_2)$ をそれ自身へ写す。 $\overline B(x_0,\rho_2)$ は Banach 空間 $X$ の空でない閉集合であるから、§E2.5 定理 3.2により完備である。

主張 (1)を示す。§E13.20 補題 1.3 (1)（完備距離空間 $\overline B(x_0,\rho_2)$ 、パラメータの集合 $P_1$ 、 $\theta=\frac12$ ）により、各 $p\in P_1$ について $T_p$ は $\overline B(x_0,\rho_2)$ にただ一つの不動点をもつ。 $L^{-1}$ は単射であるから、 $x\in\overline B(x_0,\rho_2)$ が $T_p$ の不動点であることと $H(p,x)=0$ であることは同値である。

主張 (2)を示す。 $x_0\in\overline B(x_0,\rho_2)$ は $H(p_0,x_0)=0$ を満たすから、一意性により $x(p_0)=x_0$ である。 $q\in P_1$ とする。 $p\in P_1$ について $T_p(x(q))=x(q)-L^{-1}H(p,x(q))$ であり、 $p\mapsto H(p,x(q))$ は連続で $L^{-1}$ は有界であるから、 $p\mapsto T_p(x(q))$ は $q$ で連続である。§E13.20 補題 1.3 (2)により、 $p\mapsto x(p)$ は $q$ で連続である。▨

2 周期関数の空間の線形化作用素と最小周期

補題 2.1. $n\in\NN$ 、 $\omega_0>0$ とし、 $A_0\in\R^{n\times n}$ は $\pm i\omega_0$ を代数的に単純な固有値にもち、すべての $k\in\Z\setminus\{1,-1\}$ について $ik\omega_0$ を固有値にもたないとする。 $v,w\in\C^n$ は $A_0v=i\omega_0v$ 、 $w^*A_0=i\omega_0w^*$ 、 $w^*v=1$ を満たすとする。 $\R^n$ には Euclid ノルム $\lvert\cdot\rvert$ を、行列にはその作用素ノルムを用いる。

C_{2\pi}=\{u\in C(\R;\R^n):u(s+2\pi)=u(s)\ (s\in\R)\},\qquad\lVert u\rVert_\infty=\sup_{s\in\R}\lvert u(s)\rvert,

C^1_{2\pi}=C_{2\pi}\cap C^1(\R;\R^n),\qquad\lVert u\rVert_{C^1}=\lVert u\rVert_\infty+\lVert u'\rVert_\infty

とおき、 $s\in\R$ について

\phi_1(s)=\Re(e^{is}v),\qquad\phi_2(s)=\Im(e^{is}v),\qquad\psi_1(s)=\Re(e^{is}w),\qquad\psi_2(s)=\Im(e^{is}w)

とおく。 $L_0:C^1_{2\pi}\to C_{2\pi}$ を $L_0u=\omega_0u'-A_0u$ で定め、 $X_1=\{u\in C^1_{2\pi}:\int_0^{2\pi}\phi_j^{\mathsf T}u\,ds=0\ (j=1,2)\}$ とおく。このとき、次が成り立つ。

$\phi_1,\phi_2\in C^1_{2\pi}$ 、 $\phi_1'=-\phi_2$ 、 $\phi_2'=\phi_1$ であり、 $\phi_1,\phi_2$ は $\ker L_0$ の基底である。
$\psi_1,\psi_2$ は、 $\omega_0\psi'=-A_0^{\mathsf T}\psi$ を満たす $\psi\in C^1_{2\pi}$ の全体のなす $\R$ 線形空間の基底である。
すべての $B\in\R^{n\times n}$ について、 $\beta=w^*Bv$ とおくと $\int_0^{2\pi}\psi_1^{\mathsf T}B\phi_1\,ds=\int_0^{2\pi}\psi_2^{\mathsf T}B\phi_2\,ds=\pi\Re\beta,\qquad \int_0^{2\pi}\psi_1^{\mathsf T}B\phi_2\,ds=-\int_0^{2\pi}\psi_2^{\mathsf T}B\phi_1\,ds=\pi\Im\beta$ である。特に、 $i,j\in\{1,2\}$ について $\int_0^{2\pi}\psi_i^{\mathsf T}\phi_j\,ds=\pi\delta_{ij}$ である。
$\im L_0=\{h\in C_{2\pi}:\int_0^{2\pi}\psi_j^{\mathsf T}h\,ds=0\ (j=1,2)\}$ である。 $X_1$ は $C^1_{2\pi}$ の閉部分空間で、 $C^1_{2\pi}=\ker L_0\oplus X_1$ であり、 $L_0|_{X_1}:X_1\to\im L_0$ は全単射である。さらに、ある $C>0$ が存在して、すべての $u\in X_1$ で $\lVert u\rVert_{C^1}\le C\lVert L_0u\rVert_\infty$ である。
$X=X_1\times\R\times\R$ にノルム $\lVert(u,a,b)\rVert_X=\max\{\lVert u\rVert_{C^1},\lvert a\rvert,\lvert b\rvert\}$ を入れると、 $X$ は Banach 空間である。 $B\in\R^{n\times n}$ が $\Re(w^*Bv)\ne0$ を満たすとし、 $L_B:X\to C_{2\pi}$ を $L_B(u,a,b)=L_0u+a\phi_1'-bB\phi_1$ で定める。このとき、 $L_B$ は全単射な有界線形作用素であり、逆写像 $L_B^{-1}$ も有界線形作用素である。

証明. $A=A_0/\omega_0$ とおき、 $L_Fu=u'-Au$ とおく。 $L_0=\omega_0L_F$ であるから、 $\ker L_0=\ker L_F$ 、 $\im L_0=\im L_F$ である。 $A$ の固有値は $A_0$ の固有値を $\omega_0$ で割ったものであり、代数的重複度も等しいから、 $\pm i$ は $A$ の特性多項式の単根であり、 $A$ の固有値で $i\Z$ に属するものは $\pm i$ の他に無い。したがって§E13.13 命題 4.7 (4)（ $\mathbb K=\R$ 、 $T=2\pi$ 、 $\omega=1$ ）により、 $u'=Au$ の $2\pi$ 周期の実数値の局所絶対連続解の全体と、 $\psi'=-A^{\mathsf T}\psi$ の $2\pi$ 周期の実数値の局所絶対連続解の全体は、ともに二次元の $\R$ 線形空間である。

主張 (3)を示す。 $\phi=\phi_1+i\phi_2$ 、 $\psi=\psi_1+i\psi_2$ とおくと $\phi(s)=e^{is}v$ 、 $\psi(s)=e^{is}w$ である。 $B\in\R^{n\times n}$ について $\psi^*B\phi=w^*Bv=\beta$ 、 $\psi^{\mathsf T}B\phi=e^{2is}w^{\mathsf T}Bv$ であり、 $\int_0^{2\pi}e^{2is}\,ds=0$ であるから

\int_0^{2\pi}\psi^*B\phi\,ds=2\pi\beta,\qquad\int_0^{2\pi}\psi^{\mathsf T}B\phi\,ds=0

である。 $a_{ij}=\int_0^{2\pi}\psi_i^{\mathsf T}B\phi_j\,ds$ とおくと、 $\psi^*=\psi_1^{\mathsf T}-i\psi_2^{\mathsf T}$ 、 $\psi^{\mathsf T}=\psi_1^{\mathsf T}+i\psi_2^{\mathsf T}$ であるから、二つの積分はそれぞれ $a_{11}+a_{22}+i(a_{12}-a_{21})$ と $a_{11}-a_{22}+i(a_{12}+a_{21})$ に等しい。実部と虚部を比べて $a_{11}=a_{22}=\pi\Re\beta$ 、 $a_{12}=-a_{21}=\pi\Im\beta$ を得る。 $B=I_n$ のとき $\beta=w^*v=1$ である。

主張 (1)を示す。 $\omega_0(e^{is}v)'=i\omega_0e^{is}v=A_0e^{is}v$ であり、 $A_0$ と $\omega_0$ は実であるから、実部と虚部を取って $\omega_0\phi_j'=A_0\phi_j$ （ $j=1,2$ ）を得る。 $\phi_j$ は $C^1$ 級で $2\pi$ 周期であるから $\phi_j\in\ker L_0$ である。 $\phi_1'+i\phi_2'=ie^{is}v=-\phi_2+i\phi_1$ である。 $c_1,c_2\in\R$ が $c_1\phi_1+c_2\phi_2=0$ を満たすならば、主張 (3)により $0=\int_0^{2\pi}\psi_i^{\mathsf T}(c_1\phi_1+c_2\phi_2)\,ds=\pi c_i$ （ $i=1,2$ ）であるから、 $\phi_1,\phi_2$ は一次独立である。 $\ker L_0$ の元は $u'=Au$ の $2\pi$ 周期の実数値の局所絶対連続解であるから、第一段により $\dim_\R\ker L_0\le2$ であり、 $\phi_1,\phi_2$ は $\ker L_0$ の基底である。

主張 (2)を示す。 $w^*A_0=i\omega_0w^*$ の共役転置を取ると、 $A_0$ は実行列であるから $A_0^{\mathsf T}w=-i\omega_0w$ である。したがって $\omega_0(e^{is}w)'=i\omega_0e^{is}w=-A_0^{\mathsf T}e^{is}w$ であり、実部と虚部を取って $\omega_0\psi_j'=-A_0^{\mathsf T}\psi_j$ を得る。 $c_1,c_2\in\R$ が $c_1\psi_1+c_2\psi_2=0$ を満たすならば、主張 (3)により $0=\int_0^{2\pi}(c_1\psi_1+c_2\psi_2)^{\mathsf T}\phi_j\,ds=\pi c_j$ （ $j=1,2$ ）である。 $\omega_0\psi'=-A_0^{\mathsf T}\psi$ は $\psi'=-A^{\mathsf T}\psi$ と同値であるから、第一段によりその解で $C^1_{2\pi}$ に属するものの全体の次元は $2$ 以下であり、 $\psi_1,\psi_2$ はその基底である。

主張 (4)を示す。 $A^{\mathsf T}=A^*$ であるから、 $\psi'=-A^{\mathsf T}\psi$ は $u'=Au$ の随伴系である。§E13.13 系 4.6を $\mathbb K=\R$ 、 $d=n$ 、 $T=2\pi$ 、定数係数 $A$ について $L_F$ に適用する。同系の $\mathcal N=\ker L_F$ は主張 (1)により $\phi_1,\phi_2$ で張られ、 $\mathcal N^*$ は主張 (2)により $\psi_1,\psi_2$ で張られる。したがって§E13.13 系 4.6 (3)により $\im L_0=\im L_F$ は主張の集合に等しく、§E13.13 系 4.6 (4)の $X_1$ は本補題の $X_1$ に一致する。§E13.13 系 4.6 (4)により $C^1_{2\pi}=\ker L_0\oplus X_1$ であり、 $L_0|_{X_1}=\omega_0L_F|_{X_1}$ は $X_1$ から $\im L_0$ への全単射であって、 $C_F>0$ が存在して、すべての $u\in X_1$ について $\lVert u\rVert_{C^1}\le C_F\lVert L_Fu\rVert_\infty=(C_F/\omega_0)\lVert L_0u\rVert_\infty$ である。 $\ell_j(u)=\int_0^{2\pi}\phi_j^{\mathsf T}u\,ds$ は Cauchy–Schwarz の不等式により $\lvert\ell_j(u)\rvert\le2\pi\lVert\phi_j\rVert_\infty\lVert u\rVert_{C^1}$ を満たす線形写像であるから連続であり、 $X_1=\ker\ell_1\cap\ker\ell_2$ は閉部分空間である。

主張 (5)を示す。 $\beta=w^*Bv$ とおく。§E13.13 系 4.6 (1)と主張 (4)と§E10.1 命題 1.4 (1)により $X_1$ は Banach 空間である。 $(u_m,a_m,b_m)$ が $X$ の Cauchy 列ならば、 $(u_m)$ 、 $(a_m)$ 、 $(b_m)$ はそれぞれ $X_1$ 、 $\R$ 、 $\R$ の Cauchy 列であって収束するから、 $(u_m,a_m,b_m)$ は $X$ で収束する。§E13.13 系 4.6 (1)により $L_0=\omega_0L_F$ は有界であり、 $\lVert L_B(u,a,b)\rVert_\infty\le(\lVert L_0\rVert+\lVert\phi_2\rVert_\infty+\lVert B\rVert\lVert\phi_1\rVert_\infty)\lVert(u,a,b)\rVert_X$ であるから、 $L_B$ は有界線形作用素である。

$h\in C_{2\pi}$ と $(u,a,b)\in X$ について、 $\phi_1'=-\phi_2$ であるから、 $L_B(u,a,b)=h$ であることは $L_0u=h+a\phi_2+bB\phi_1$ と同値である。主張 (4)により、これを満たす $u\in X_1$ が存在することは $h+a\phi_2+bB\phi_1\in\im L_0$ と同値であり、そのとき $u$ はただ一つである。 $h_j=\int_0^{2\pi}\psi_j^{\mathsf T}h\,ds$ とおくと、主張 (3)により、 $h+a\phi_2+bB\phi_1\in\im L_0$ は

h_1+\pi b\Re\beta=0,\qquad h_2+\pi a-\pi b\Im\beta=0

と同値である。 $\Re\beta\ne0$ であるから、この連立一次方程式はただ一つの解 $b=-h_1/(\pi\Re\beta)$ 、 $a=-h_2/\pi+b\Im\beta$ をもつ。したがって $L_B$ は全単射である。 $\lvert h_j\rvert\le2\pi\lVert\psi_j\rVert_\infty\lVert h\rVert_\infty$ であるから、 $h$ によらない $C_1>0$ が存在して、すべての $h\in C_{2\pi}$ について $\lvert a\rvert+\lvert b\rvert\le C_1\lVert h\rVert_\infty$ であり、主張 (4)の $C$ について $\lVert u\rVert_{C^1}\le C\bigl(1+C_1(\lVert\phi_2\rVert_\infty+\lVert B\rVert\lVert\phi_1\rVert_\infty)\bigr)\lVert h\rVert_\infty$ である。線形な全単射の逆写像は線形であるから、 $L_B^{-1}$ は有界線形作用素である。▨

補題 2.2. $n\in\NN$ とし、 $p\in C(\R;\R^n)$ はすべての $s\in\R$ で $p(s+2\pi)=p(s)$ を満たし、 $\int_0^{2\pi}e^{-is}v^*p(s)\,ds\ne0$ を満たす $v\in\C^n$ が存在するとする。このとき、 $2$ 以上のすべての整数 $m$ について、 $p(s+2\pi/m)\ne p(s)$ を満たす $s\in\R$ が存在する。特に $p$ は定数でない。

証明. $m\ge2$ を整数とし、 $c=2\pi/m$ がすべての $s\in\R$ で $p(s+c)=p(s)$ を満たすと仮定する。 $I_0=\int_0^ce^{-i\sigma}v^*p(\sigma)\,d\sigma$ とおく。 $j=0,\ldots,m-1$ について、 $s=jc+\sigma$ と置換し $p(jc+\sigma)=p(\sigma)$ を用いると $\int_{jc}^{(j+1)c}e^{-is}v^*p(s)\,ds=e^{-ijc}I_0$ である。 $\zeta=e^{-2\pi i/m}$ は $\zeta\ne1$ 、 $\zeta^m=1$ を満たすから

\int_0^{2\pi}e^{-is}v^*p(s)\,ds=I_0\sum_{j=0}^{m-1}\zeta^j=I_0\frac{1-\zeta^m}{1-\zeta}=0

である。これは $\int_0^{2\pi}e^{-is}v^*p(s)\,ds\ne0$ に反する。定数関数はすべての $s$ で $p(s+\pi)=p(s)$ を満たすから、 $m=2$ の場合により $p$ は定数でない。▨

3 Hopf 分岐定理

定理 3.1 (Hopf 分岐定理). $n\in\NN$ 、 $n\ge2$ とし、 $U\subseteq\R^n$ を開集合、 $\Lambda\subseteq\R$ を $0$ を含む開区間、 $F\in C^2(U\times\Lambda,\R^n)$ とする。 $x_0\in U$ は $F(x_0,0)=0$ を満たし、 $A_0=D_xF(x_0,0)$ と $\omega_0>0$ は次を満たすとする。

$\pm i\omega_0$ は $A_0$ の代数的に単純な固有値である。
すべての $k\in\Z\setminus\{1,-1\}$ について、 $ik\omega_0$ は $A_0$ の固有値でない。

$\Lambda_0\subseteq\Lambda$ を $0$ を含む開区間とし、 $\xi:\Lambda_0\to U$ を、 $\xi(0)=x_0$ とすべての $\mu\in\Lambda_0$ についての $F(\xi(\mu),\mu)=0$ を満たす $C^2$ 級の写像とする（条件 (b)の $k=0$ により $A_0$ は可逆であり、§E13.22 定理 3.3 (1)によりこのような $\Lambda_0$ と $\xi$ が存在する）。 $A(\mu)=D_xF(\xi(\mu),\mu)$ とおき、§E13.22 補題 4.2を $A$ 、 $\mu_0=0$ 、 $\lambda_0=i\omega_0$ に適用して得る固有値の分枝を $\lambda$ とする。さらに次を仮定する。

$\Re\lambda'(0)\ne0$ である。

$v\in\C^n\setminus\{0\}$ を $A_0v=i\omega_0v$ を満たすベクトルとし、 $\phi_1(s)=\Re(e^{is}v)$ 、 $\phi_2(s)=\Im(e^{is}v)$ とおく。 $\R^n$ には Euclid ノルム $\lvert\cdot\rvert$ を用い、 $C^1_{2\pi}$ を $2\pi$ 周期の $C^1$ 級写像 $u:\R\to\R^n$ の全体にノルム $\lVert u\rVert_{C^1}=\sup_s\lvert u(s)\rvert+\sup_s\lvert u'(s)\rvert$ を入れた空間とする。このとき、 $\varepsilon_0>0$ 、 $\rho>0$ と、連続写像 $(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)\ni\varepsilon\mapsto(\mu(\varepsilon),\omega(\varepsilon),u_\varepsilon)\in\Lambda_0\times(0,\infty)\times C^1_{2\pi}$ が存在して、次が成り立つ。

$\mu(0)=0$ 、 $\omega(0)=\omega_0$ 、 $u_0=0$ である。すべての $\varepsilon\in(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)$ について、 $\lvert\mu(\varepsilon)\rvert\le\rho$ 、 $\lvert\omega(\varepsilon)-\omega_0\rvert\le\rho$ 、 $\lVert u_\varepsilon-\varepsilon\phi_1\rVert_{C^1}\le\rho\lvert\varepsilon\rvert$ 、 $\int_0^{2\pi}\phi_j^{\mathsf T}(u_\varepsilon-\varepsilon\phi_1)\,ds=0$ （ $j=1,2$ ）であり、すべての $s\in\R$ で $\xi(\mu(\varepsilon))+u_\varepsilon(s)\in U$ かつ $\omega(\varepsilon)u_\varepsilon'(s)=F\bigl(\xi(\mu(\varepsilon))+u_\varepsilon(s),\mu(\varepsilon)\bigr)$ である。さらに、 $\varepsilon\to0$ （ $\varepsilon\ne0$ ）のとき $\lVert u_\varepsilon-\varepsilon\phi_1\rVert_{C^1}/\lvert\varepsilon\rvert\to0$ である。
$0<\lvert\varepsilon\rvert<\varepsilon_0$ とし、 $x_\varepsilon(t)=\xi(\mu(\varepsilon))+u_\varepsilon(\omega(\varepsilon)t)$ （ $t\in\R$ ）とおく。このとき、 $x_\varepsilon$ は $x'=F(x,\mu(\varepsilon))$ の $\R$ 上の古典解であり、 $x_\varepsilon(0)$ は $F(\cdot,\mu(\varepsilon))$ の流れの周期点で、その最小周期は $2\pi/\omega(\varepsilon)$ である。
$0<\lvert\varepsilon\rvert<\varepsilon_0$ とし、 $(\mu,\omega,u)\in\Lambda_0\times\R\times C^1_{2\pi}$ が $\lvert\mu\rvert\le\rho$ 、 $\lvert\omega-\omega_0\rvert\le\rho$ 、 $\lVert u-\varepsilon\phi_1\rVert_{C^1}\le\rho\lvert\varepsilon\rvert$ 、 $\int_0^{2\pi}\phi_j^{\mathsf T}(u-\varepsilon\phi_1)\,ds=0$ （ $j=1,2$ ）を満たし、すべての $s\in\R$ で $\xi(\mu)+u(s)\in U$ かつ $\omega u'(s)=F(\xi(\mu)+u(s),\mu)$ を満たすとする。このとき $(\mu,\omega,u)=(\mu(\varepsilon),\omega(\varepsilon),u_\varepsilon)$ である。

証明.§E13.22 補題 4.1 (2)により、 $w^*A_0=i\omega_0w^*$ と $w^*v\ne0$ を満たす $w\in\C^n$ が存在する。 $w$ を $\overline{w^*v}$ で割って、 $w^*v=1$ とする。 $D_xF$ と $\xi$ は $C^1$ 級であるから、 $A:\Lambda_0\to\R^{n\times n}$ は $C^1$ 級である。 $B_1=A'(0)$ とおく。§E13.22 補題 4.2 (2)により $\lambda'(0)=w^*B_1v$ であるから、条件 (c)により $\Re(w^*B_1v)\ne0$ である。補題 2.1を $A_0$ 、 $\omega_0$ 、 $v$ 、 $w$ に適用し、同補題の $C_{2\pi}$ 、 $\lVert\cdot\rVert_\infty$ 、 $L_0$ 、 $X_1$ を用いる。補題 2.1 (5)により、 $X=X_1\times\R\times\R$ はノルム $\lVert(z,\omega,\mu)\rVert_X=\max\{\lVert z\rVert_{C^1},\lvert\omega\rvert,\lvert\mu\rvert\}$ について Banach 空間であり、 $L=L_{B_1}$ 、すなわち $L(z,\omega,\mu)=L_0z+\omega\phi_1'-\mu B_1\phi_1$ は全単射な有界線形作用素で、 $L^{-1}$ も有界線形作用素である。

$W=\{(y,\mu)\in\R^n\times\Lambda_0:\xi(\mu)+y\in U\}$ は開集合であり、 $G(y,\mu)=F(\xi(\mu)+y,\mu)$ は $W$ 上の $C^2$ 級の写像で、すべての $\mu\in\Lambda_0$ について $G(0,\mu)=0$ 、 $D_yG(0,\mu)=A(\mu)$ である。 $\delta>0$ を $[-2\delta,2\delta]\subseteq\Lambda_0$ を満たすように取る。 $\{0\}\times[-2\delta,2\delta]$ は開集合 $W$ のコンパクト部分集合であるから、 $\{(y,\mu):\lvert y\rvert\le2r,\ \lvert\mu\rvert\le2\delta\}\subseteq W$ を満たす $r>0$ が存在する。そのような $r$ を一つ取る。 $R_1=\lVert\phi_1\rVert_\infty+1$ 、 $\varepsilon_1=r/R_1$ とし、

E=\{(a,\nu)\in\R^n\times\R:\lvert a\rvert<2R_1,\ \lvert\nu\rvert<2\delta\},\qquad D=(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)\times E

とおく。 $(\varepsilon,a,\nu)\in D$ ならば $\lvert\varepsilon a\rvert<2r$ かつ $\lvert\nu\rvert<2\delta$ であるから $(\varepsilon a,\nu)\in W$ であり、 $\tau\in[0,1]$ について $(\tau\varepsilon,a,\nu)\in D$ である。したがって、 $(\varepsilon,a,\nu)\in D$ について

k(\varepsilon,a,\nu)=\int_0^1D_yG(\tau\varepsilon a,\nu)\,a\,d\tau

が定まる。

主張 3.1.1. $(\varepsilon,a,\nu)\in D$ について、 $\varepsilon\ne0$ ならば $k(\varepsilon,a,\nu)=\varepsilon^{-1}G(\varepsilon a,\nu)$ であり、 $k(0,a,\nu)=A(\nu)a$ である。各 $\varepsilon\in(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)$ について、 $(a,\nu)\mapsto k(\varepsilon,a,\nu)$ は $E$ 上で $C^1$ 級であり、その $(a,\nu)\in E$ での導関数は

\Theta(\varepsilon,a,\nu)=\Bigl(D_yG(\varepsilon a,\nu),\ \int_0^1\partial_\mu D_yG(\tau\varepsilon a,\nu)\,a\,d\tau\Bigr)\in\R^{n\times(n+1)}

である。 $k$ と $\Theta$ は $D$ 上で連続である。

証明. $(\varepsilon,(a,\nu))\in(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)\times E$ について $g(\varepsilon,(a,\nu))=G(\varepsilon a,\nu)$ とおく。§E4.3 定理 1.1により $g$ は $C^2$ 級であり、 $\partial_\varepsilon g(\varepsilon,(a,\nu))=D_yG(\varepsilon a,\nu)a$ 、 $\partial_\nu g(\varepsilon,(a,\nu))=\partial_\mu G(\varepsilon a,\nu)$ である。すべての $(a,\nu)\in E$ について $g(0,(a,\nu))=G(0,\nu)=0$ であるから、§E13.22 補題 7.1を、滑らかさの指数 $2$ 、 $p=n+1$ 、 $m=n$ 、同補題の区間 $J$ と開集合 $\Lambda$ をそれぞれ $(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)$ と $E$ として、 $g$ に適用することができる。 $\partial_\varepsilon g(\tau\varepsilon,(a,\nu))=D_yG(\tau\varepsilon a,\nu)a$ であるから、同補題で $g$ から定まる関数は $k$ に等しく、同補題により $k$ は $D$ 上で $C^1$ 級である。§E13.22 補題 7.1 (1)により、 $\varepsilon\ne0$ ならば $k(\varepsilon,a,\nu)=\varepsilon^{-1}G(\varepsilon a,\nu)$ である。§E13.22 補題 7.1 (2)の $i=0$ 、 $\beta=0$ の場合により $k(0,a,\nu)=\partial_\varepsilon g(0,(a,\nu))=D_yG(0,\nu)a=A(\nu)a$ である。

$k$ は $D$ 上で $C^1$ 級であるから、各 $\varepsilon$ について $(a,\nu)\mapsto k(\varepsilon,a,\nu)$ は $E$ 上で $C^1$ 級であり、その導関数は $D$ 上で連続である。 $\varepsilon\ne0$ のとき、 $k(\varepsilon,a,\nu)=\varepsilon^{-1}G(\varepsilon a,\nu)$ と§E4.3 定理 1.1により $a$ についての導関数は $D_yG(\varepsilon a,\nu)$ であり、 $\varepsilon=0$ のとき、 $k(0,a,\nu)=A(\nu)a$ の $a$ についての導関数は $A(\nu)=D_yG(0,\nu)$ である。§E13.22 補題 7.1 (2)の $i=0$ で $\beta$ を $\nu$ の座標の単位多重指数とする場合により

\partial_\nu k(\varepsilon,a,\nu)=\int_0^1\partial_\varepsilon\partial_\nu g(\tau\varepsilon,(a,\nu))\,d\tau=\int_0^1D_y\partial_\mu G(\tau\varepsilon a,\nu)\,a\,d\tau

であり、 $G$ は $C^2$ 級であるから§E4.4 定理 2.1により $D_y\partial_\mu G=\partial_\mu D_yG$ である。したがって導関数は $\Theta(\varepsilon,a,\nu)$ であり、 $k$ と $\Theta$ は $D$ 上で連続である。▨

$x_*=(0,\omega_0,0)\in X$ 、 $r_X=\min\{1,\delta,\omega_0/2\}$ 、 $P=(-\varepsilon_1/2,\varepsilon_1/2)$ とし、 $P$ には $\R$ の距離を入れる。 $B_X(x_*,r')$ 、 $\overline B_X(x_*,r')$ を $X$ の開球・閉球とする。 $(z,\omega,\mu)\in B_X(x_*,r_X)$ 、 $\varepsilon\in P$ 、 $s\in\R$ について $\lvert\phi_1(s)+z(s)\rvert<R_1$ 、 $\lvert\mu\rvert<\delta$ であるから、 $(\varepsilon,\phi_1(s)+z(s),\mu)$ はコンパクト集合 $D'=[-\varepsilon_1/2,\varepsilon_1/2]\times\{a\in\R^n:\lvert a\rvert\le R_1\}\times[-\delta,\delta]\subseteq D$ に属する。 $H:P\times B_X(x_*,r_X)\to C_{2\pi}$ を

H(\varepsilon;z,\omega,\mu)(s)=\omega\bigl(\phi_1'(s)+z'(s)\bigr)-k\bigl(\varepsilon,\phi_1(s)+z(s),\mu\bigr)\qquad(s\in\R)

で定める。右辺は $s$ について連続で $2\pi$ 周期である。 $k$ は $D'$ 上で一様連続であるから、 $H$ は連続である。 $k(0,a,0)=A_0a$ であるから、補題 2.1 (1)により $H(0;x_*)=\omega_0\phi_1'-A_0\phi_1=L_0\phi_1=0$ である。

主張 3.1.2. 任意の $\eta>0$ に対して $\sigma\in(0,r_X]$ が存在して、 $\lvert\varepsilon\rvert<\sigma$ かつ $x=(z,\omega,\mu),\ \tilde x=(\tilde z,\tilde\omega,\tilde\mu)\in B_X(x_*,\sigma)$ ならば、 $\lVert H(\varepsilon;x)-H(\varepsilon;\tilde x)-L(x-\tilde x)\rVert_\infty\le4\eta\lVert x-\tilde x\rVert_X$ である。

証明. $\eta>0$ とする。主張 3.1.1により $\Theta$ はコンパクト集合 $D'$ 上で一様連続であるから、 $\sigma'>0$ が存在して、 $D'$ の二点の Euclid 距離が $\sigma'$ 未満ならば、その二点での $\Theta$ の値の差の作用素ノルムは $\eta$ 以下である。 $\sigma=\min\{r_X,\varepsilon_1/2,\sigma'/3,\eta\}$ とおき、 $\varepsilon$ 、 $x$ 、 $\tilde x$ を主張のとおりに取る。 $p=\phi_1+z$ 、 $\tilde p=\phi_1+\tilde z$ とおく。 $L(x-\tilde x)=\omega_0(z-\tilde z)'-A_0(z-\tilde z)+(\omega-\tilde\omega)\phi_1'-(\mu-\tilde\mu)B_1\phi_1$ であるから、 $H(\varepsilon;x)-H(\varepsilon;\tilde x)-L(x-\tilde x)=I_1-I_2$ であり、ここで

I_1=\omega p'-\tilde\omega\tilde p'-\omega_0(z-\tilde z)'-(\omega-\tilde\omega)\phi_1'=(\omega-\omega_0)(z-\tilde z)'+(\omega-\tilde\omega)\tilde z',

I_2(s)=k(\varepsilon,p(s),\mu)-k(\varepsilon,\tilde p(s),\tilde\mu)-A_0\bigl(z(s)-\tilde z(s)\bigr)-(\mu-\tilde\mu)B_1\phi_1(s)

である。 $\lvert\omega-\omega_0\rvert<\sigma$ 、 $\lVert\tilde z\rVert_{C^1}<\sigma$ であるから、 $\lVert I_1\rVert_\infty\le2\sigma\lVert x-\tilde x\rVert_X\le2\eta\lVert x-\tilde x\rVert_X$ である。

$s\in\R$ を固定し、 $E$ 上で $f_s(a,\nu)=k(\varepsilon,a,\nu)-A_0a-\nu B_1\phi_1(s)$ とおく。 $I_2(s)=f_s(p(s),\mu)-f_s(\tilde p(s),\tilde\mu)$ である。 $\Theta(0,\phi_1(s),0)=(A_0,B_1\phi_1(s))$ であるから、主張 3.1.1により $f_s$ は $E$ 上で $C^1$ 級で、 $(a,\nu)$ での導関数は $\Theta(\varepsilon,a,\nu)-\Theta(0,\phi_1(s),0)$ である。 $(\tilde p(s),\tilde\mu)$ と $(p(s),\mu)$ を結ぶ線分の点は、 $\lvert a'\rvert<\sigma$ 、 $\lvert\nu'\rvert<\sigma$ を満たす $(\phi_1(s)+a',\nu')$ の形であり、 $E$ に属する。 $(\varepsilon,\phi_1(s)+a',\nu')$ と $(0,\phi_1(s),0)$ はともに $D'$ に属し、その Euclid 距離は $\lvert\varepsilon\rvert+\lvert a'\rvert+\lvert\nu'\rvert$ 以下であり、 $\lvert\varepsilon\rvert+\lvert a'\rvert+\lvert\nu'\rvert<3\sigma\le\sigma'$ であるから、線分上で $f_s$ の導関数の作用素ノルムは $\eta$ 以下である。§E4.3 定理 2.1（ $\R^{n+1}$ の Euclid ノルム）により

\lvert I_2(s)\rvert\le\eta\bigl(\lvert z(s)-\tilde z(s)\rvert^2+\lvert\mu-\tilde\mu\rvert^2\bigr)^{1/2}\le2\eta\lVert x-\tilde x\rVert_X

である。 $s$ は任意であるから $\lVert I_1-I_2\rVert_\infty\le4\eta\lVert x-\tilde x\rVert_X$ である。▨

任意の $\eta>0$ について主張 3.1.2を $\eta/4$ に適用すると、補題 1.1の剰余の条件が $\eta$ について成り立つ。したがって、同補題の仮定は $X$ 、 $Y=C_{2\pi}$ 、 $P$ 、 $p_0=0$ 、 $x_*$ 、 $r_X$ 、 $H$ 、 $L$ について成り立つ。同補題の $\rho_1$ 、 $\rho_2\in(0,r_X)$ を取り、 $\varepsilon_0=\min\{\rho_1,\varepsilon_1/2\}$ 、 $\rho=\rho_2$ とおく。 $\varepsilon\in(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)$ について、 $H(\varepsilon;x)=0$ を満たす $x\in\overline B_X(x_*,\rho)$ をただ一つ取り、 $x=(z_\varepsilon,\omega(\varepsilon),\mu(\varepsilon))$ と書く。補題 1.1 (2)により $\varepsilon\mapsto(z_\varepsilon,\omega(\varepsilon),\mu(\varepsilon))$ は連続で、 $(z_0,\omega(0),\mu(0))=x_*$ である。 $u_\varepsilon=\varepsilon(\phi_1+z_\varepsilon)$ とおく。

主張 (1)を示す。 $\varepsilon\mapsto u_\varepsilon$ は $C^1_{2\pi}$ への連続写像であり、 $\mu(0)=0$ 、 $\omega(0)=\omega_0$ 、 $u_0=0$ である。 $\lvert\mu(\varepsilon)\rvert\le\rho<\delta$ であるから $\mu(\varepsilon)\in\Lambda_0$ であり、 $\omega(\varepsilon)\ge\omega_0-\rho>\omega_0/2>0$ である。 $\lVert u_\varepsilon-\varepsilon\phi_1\rVert_{C^1}=\lvert\varepsilon\rvert\lVert z_\varepsilon\rVert_{C^1}\le\rho\lvert\varepsilon\rvert$ であり、 $z_\varepsilon\in X_1$ であるから $\int_0^{2\pi}\phi_j^{\mathsf T}(u_\varepsilon-\varepsilon\phi_1)\,ds=\varepsilon\int_0^{2\pi}\phi_j^{\mathsf T}z_\varepsilon\,ds=0$ である。 $\lvert u_\varepsilon(s)\rvert<(\varepsilon_1/2)R_1=r/2$ であるから $(u_\varepsilon(s),\mu(\varepsilon))\in W$ 、すなわち $\xi(\mu(\varepsilon))+u_\varepsilon(s)\in U$ である。 $\varepsilon\ne0$ のとき、主張 3.1.1により $\varepsilon k(\varepsilon,\phi_1(s)+z_\varepsilon(s),\mu(\varepsilon))=G(u_\varepsilon(s),\mu(\varepsilon))$ であるから、 $H(\varepsilon;z_\varepsilon,\omega(\varepsilon),\mu(\varepsilon))=0$ の両辺に $\varepsilon$ を掛けると

\omega(\varepsilon)u_\varepsilon'(s)=G(u_\varepsilon(s),\mu(\varepsilon))=F\bigl(\xi(\mu(\varepsilon))+u_\varepsilon(s),\mu(\varepsilon)\bigr)\qquad(s\in\R)

を得る。 $\varepsilon=0$ のときは $u_0=0$ と $F(\xi(0),0)=F(x_0,0)=0$ により両辺は $0$ である。 $\varepsilon\ne0$ について $\lVert u_\varepsilon-\varepsilon\phi_1\rVert_{C^1}/\lvert\varepsilon\rvert=\lVert z_\varepsilon\rVert_{C^1}$ であり、 $\varepsilon\to0$ のとき $z_\varepsilon\to z_0=0$ である。

主張 (3)を示す。 $\varepsilon$ と $(\mu,\omega,u)$ を主張のとおりに取り、 $z=(u-\varepsilon\phi_1)/\varepsilon$ とおく。 $z\in C^1_{2\pi}$ 、 $\int_0^{2\pi}\phi_j^{\mathsf T}z\,ds=0$ であるから $z\in X_1$ であり、 $\lVert z\rVert_{C^1}\le\rho$ 、 $\lvert\omega-\omega_0\rvert\le\rho$ 、 $\lvert\mu\rvert\le\rho$ であるから $(z,\omega,\mu)\in\overline B_X(x_*,\rho)$ である。 $\rho<r_X$ により、すべての $s$ で $(\varepsilon,\phi_1(s)+z(s),\mu)\in D$ であり、 $\xi(\mu)+u(s)\in U$ により $(u(s),\mu)\in W$ 、 $G(u(s),\mu)=F(\xi(\mu)+u(s),\mu)$ である。主張 3.1.1により $k(\varepsilon,\phi_1(s)+z(s),\mu)=\varepsilon^{-1}G(u(s),\mu)=\varepsilon^{-1}\omega u'(s)=\omega(\phi_1'(s)+z'(s))$ であるから、 $H(\varepsilon;z,\omega,\mu)=0$ である。補題 1.1 (1)の一意性により $(z,\omega,\mu)=(z_\varepsilon,\omega(\varepsilon),\mu(\varepsilon))$ であり、 $u=\varepsilon(\phi_1+z_\varepsilon)=u_\varepsilon$ である。

主張 (2)を示す。 $0<\lvert\varepsilon\rvert<\varepsilon_0$ とし、 $\mu=\mu(\varepsilon)$ 、 $\omega=\omega(\varepsilon)$ と書く。 $F(\cdot,\mu)$ は $U$ 上の $C^1$ 級の写像であるから、§E13.4 補題 4.2（ $\Omega=\R\times U$ 、 $f(t,y)=F(y,\mu)$ ）により局所 Lipschitz 連続である。 $F(\cdot,\mu)$ の流れを $\varphi$ とする。 $x_\varepsilon$ は $C^1$ 級であり、主張 (1)により $x_\varepsilon'(t)=\omega u_\varepsilon'(\omega t)=F(x_\varepsilon(t),\mu)$ であるから、 $x_\varepsilon$ は $\R$ 上の古典解である。 $q=x_\varepsilon(0)$ とおくと、§E13.15 補題 1.2（ $J=\R$ 、 $\tau=0$ ）により $I(q)=\R$ であり、すべての $t\in\R$ で $\varphi_t(q)=x_\varepsilon(t)$ である。

$e^{-is}v^*=\phi_1(s)^{\mathsf T}-i\phi_2(s)^{\mathsf T}$ であり、 $z_\varepsilon\in X_1$ であるから $\int_0^{2\pi}e^{-is}v^*z_\varepsilon(s)\,ds=0$ である。 $\phi_1(s)=\frac12(e^{is}v+e^{-is}\bar v)$ と $\int_0^{2\pi}e^{-2is}\,ds=0$ により

\int_0^{2\pi}e^{-is}v^*u_\varepsilon(s)\,ds=\varepsilon\int_0^{2\pi}\tfrac12\bigl(v^*v+e^{-2is}v^*\bar v\bigr)\,ds=\pi\varepsilon\,v^*v\ne0

である。補題 2.2により $u_\varepsilon$ は定数でなく、したがって $x_\varepsilon$ は定数でない。 $F(q,\mu)=0$ ならば、§E13.15 命題 4.3 (2)により $\gamma(q)=\{q\}$ であり、 $x_\varepsilon$ は定数となるから、 $F(q,\mu)\ne0$ である。 $\varphi_{2\pi/\omega}(q)=\xi(\mu)+u_\varepsilon(2\pi)=q$ であるから、 $q$ は周期点である。§E13.15 命題 4.3 (3)により、 $\{t\in\R:\varphi_t(q)=q\}=T_*\Z$ を満たす $T_*>0$ が存在し、 $2\pi/\omega\in T_*\Z$ であるから、 $2\pi/\omega=mT_*$ を満たす整数 $m\ge1$ が存在する。§E13.15 定理 1.3により、すべての $t$ で $x_\varepsilon(t+T_*)=\varphi_t(\varphi_{T_*}(q))=x_\varepsilon(t)$ であるから、すべての $s$ で $u_\varepsilon(s+2\pi/m)=u_\varepsilon(s)$ である。補題 2.2により $m=1$ であり、 $q$ の最小周期は $2\pi/\omega$ である。▨

4 分岐の向きと安定性

命題 4.1.定理 3.1の仮定と記号の下で、さらに $A_0$ の $\pm i\omega_0$ 以外の固有値の実部がすべて負であるとする。このとき、 $\delta>0$ が存在して $(-\delta,\delta)\subseteq\Lambda_0$ であり、 $0<\lvert\mu\rvert<\delta$ を満たすすべての $\mu$ について、 $F(\cdot,\mu)$ の平衡点 $\xi(\mu)$ は、 $\mu\Re\lambda'(0)<0$ ならば漸近安定であり、 $\mu\Re\lambda'(0)>0$ ならば不安定である。

証明. $\lambda$ の定義域を $\Lambda_\lambda$ とする。 $D_xF$ と $\xi$ は $C^1$ 級であるから $A$ は $C^1$ 級であり、§E13.22 補題 4.2により $\Lambda_\lambda\subseteq\Lambda_0$ は $0$ を含む開区間で、 $\lambda$ は $C^1$ 級であり、§E13.22 補題 4.2 (1)により $\lambda(0)=i\omega_0$ であって、 $\mu\in\Lambda_\lambda$ について $\lambda(\mu)$ は $A(\mu)$ の固有値である。 $a=\min\{-\Re\nu:\nu$ は $A_0$ の固有値で $\nu\ne\pm i\omega_0\}$ （そのような固有値が無ければ $a=1$ ）とする。 $A_0$ の固有値は $\pm i\omega_0$ と実部が $-a$ 以下の固有値であるから、直線 $\{z\in\C:\Re z=-a/2\}$ の上に $A_0$ の固有値は無く、定理 3.1 条件 (a)により、 $\Re z>-a/2$ にある $A_0$ の固有値の個数（代数的重複度を込める）は $2$ である。 $A$ は $0$ で連続であるから、§E13.22 補題 3.2 (4)（ $T=\Lambda_0$ 、 $t_0=0$ 、 $c=-a/2$ ）により、 $\delta_1>0$ が存在して、 $\mu\in\Lambda_0$ 、 $\lvert\mu\rvert<\delta_1$ ならば、 $\Re z>-a/2$ にある $A(\mu)$ の固有値の個数（代数的重複度を込める）は $2$ であり、 $A(\mu)$ のその他の固有値の実部は $-a/2$ より小さい。 $\lambda$ は連続で $\lambda(0)=i\omega_0$ であるから、 $\delta_2\in(0,\delta_1]$ が存在して、 $(-\delta_2,\delta_2)\subseteq\Lambda_\lambda$ であり、 $\lvert\mu\rvert<\delta_2$ ならば $\lvert\lambda(\mu)-i\omega_0\rvert<\min\{a/2,\omega_0\}$ 、したがって $\Re\lambda(\mu)>-a/2$ かつ $\Im\lambda(\mu)>0$ である。 $A(\mu)$ は実行列であるから $\overline{\lambda(\mu)}$ も $A(\mu)$ の固有値であり、 $\Im\lambda(\mu)>0$ により $\overline{\lambda(\mu)}\ne\lambda(\mu)$ である。したがって $\lvert\mu\rvert<\delta_2$ ならば、 $\Re z>-a/2$ にある $A(\mu)$ の固有値は $\lambda(\mu)$ と $\overline{\lambda(\mu)}$ であり、 $A(\mu)$ のその他の固有値の実部は $-a/2$ より小さい。

$\Re\lambda(0)=0$ であり、 $\lambda$ は $0$ で微分可能であるから、 $\mu\to0$ （ $\mu\ne0$ ）のとき $\Re\lambda(\mu)/\mu\to\Re\lambda'(0)$ である。定理 3.1 条件 (c)により $\Re\lambda'(0)\ne0$ であるから、 $\delta\in(0,\delta_2]$ が存在して、 $0<\lvert\mu\rvert<\delta$ ならば $\Re\lambda(\mu)/\mu$ と $\Re\lambda'(0)$ の符号は等しく、 $\Re\lambda(\mu)$ の符号は $\mu\Re\lambda'(0)$ の符号に等しい。

$0<\lvert\mu\rvert<\delta$ とする。 $F(\xi(\mu),\mu)=0$ であるから、 $\xi(\mu)$ は $F(\cdot,\mu)$ の平衡点である。 $F(\cdot,\mu)$ は $U$ 上の $C^1$ 級の写像であるから、§E13.4 補題 4.2（ $\Omega=\R\times U$ 、 $f(t,y)=F(y,\mu)$ ）により局所 Lipschitz 連続であり、§E13.16 定理 4.5を $W=U$ として適用することができる。 $D_xF(\xi(\mu),\mu)=A(\mu)$ である。 $\mu\Re\lambda'(0)<0$ ならば、 $\Re\overline{\lambda(\mu)}=\Re\lambda(\mu)<0$ であり、 $A(\mu)$ の固有値の実部はすべて負であるから、§E13.16 定理 4.5 (1)により $\xi(\mu)$ は漸近安定である。 $\mu\Re\lambda'(0)>0$ ならば、 $\lambda(\mu)$ は実部が正の固有値であるから、§E13.16 定理 4.5 (2)により $\xi(\mu)$ は不安定である。▨

定理 4.2.定理 3.1の仮定と記号の下で、さらに $F\in C^3(U\times\Lambda,\R^n)$ とし、 $q,p\in\C^n$ を $A_0q=i\omega_0q$ 、 $q^*q=1$ 、 $p^*A_0=i\omega_0p^*$ 、 $p^*q=1$ を満たすベクトルとする。 $y_1,y_2,y_3\in\C^n$ について

b(y_1,y_2)=\sum_{j,k=1}^n\partial_{x_j}\partial_{x_k}F(x_0,0)\,y_{1,j}y_{2,k},\qquad c(y_1,y_2,y_3)=\sum_{j,k,l=1}^n\partial_{x_j}\partial_{x_k}\partial_{x_l}F(x_0,0)\,y_{1,j}y_{2,k}y_{3,l}

とおき（ $y_{i,j}$ は $y_i$ の第 $j$ 成分）、

\ell_1=\frac1{2\omega_0}\Re\Bigl(p^*c(q,q,\bar q)-2p^*b\bigl(q,A_0^{-1}b(q,\bar q)\bigr)+p^*b\bigl(\bar q,(2i\omega_0I_n-A_0)^{-1}b(q,q)\bigr)\Bigr)

とおく（定理 3.1 条件 (b)により $A_0$ と $2i\omega_0I_n-A_0$ は可逆である）。定理 3.1 条件 (a)により、 $A_0q=i\omega_0q$ を満たす $q$ の全体と $p^*A_0=i\omega_0p^*$ を満たす $p$ の全体はともに一次元の複素線形空間であるから、 $q$ は絶対値 $1$ の複素数 $\kappa$ 倍を除いて定まり、 $q$ を $\kappa q$ に替えると $p$ は $\kappa p$ に替わる。このとき右辺の三つの項はいずれも $\lvert\kappa\rvert^4=1$ 倍になるから、 $\ell_1$ は $q,p$ の選び方によらない。 $\ell_1$ を $(x_0,0)$ における第一 Lyapunov 係数 (first Lyapunov coefficient) という。 $0<\lvert\varepsilon\rvert<\varepsilon_0$ について、 $\Gamma_\varepsilon$ を定理 3.1 (2)の $x_\varepsilon(0)$ を通る周期軌道、 $\varphi^\varepsilon$ を $F(\cdot,\mu(\varepsilon))$ の流れ、 $I_\varepsilon(y)$ を $y$ の最大存在区間とする。このとき、次が成り立つ。

$\ell_1\ne0$ ならば、 $\varepsilon_0$ を縮めると、 $0<\lvert\varepsilon\rvert<\varepsilon_0$ のとき $\mu(\varepsilon)\ne0$ であり、 $\mu(\varepsilon)$ の符号は $-\ell_1\Re\lambda'(0)$ の符号に等しい。
$\ell_1<0$ であり、 $A_0$ の $\pm i\omega_0$ 以外の固有値の実部がすべて負であるとする。このとき、 $\varepsilon_0$ を縮めると、 $0<\lvert\varepsilon\rvert<\varepsilon_0$ について次の二つが成り立つ。 $\Gamma_\varepsilon$ の任意の開近傍 $V'$ に対して $\Gamma_\varepsilon$ の開近傍 $V''$ が存在して、 $y\in V''$ ならば $[0,\infty)\subseteq I_\varepsilon(y)$ かつ $\varphi^\varepsilon_t(y)\in V'$ （ $t\ge0$ ）である。 $\Gamma_\varepsilon$ の開近傍 $V$ が存在して、 $y\in V$ ならば $[0,\infty)\subseteq I_\varepsilon(y)$ であり、 $t\to\infty$ のとき $\operatorname{dist}(\varphi^\varepsilon_t(y),\Gamma_\varepsilon)\to0$ である。
$\ell_1>0$ ならば、 $\varepsilon_0$ を縮めると、 $0<\lvert\varepsilon\rvert<\varepsilon_0$ について、 $\Gamma_\varepsilon$ の開近傍 $V'$ で次を満たすものが存在する。 $\Gamma_\varepsilon$ のすべての開近傍 $V''$ は、 $t\in I_\varepsilon(y)$ 、 $t\ge0$ 、 $\varphi^\varepsilon_t(y)\notin V'$ を満たす $t$ をもつ点 $y$ を含む。

注意 4.3.定理 4.2の証明は本記事では与えない。 $A_0$ の $\pm i\omega_0$ 以外の固有値の実部がすべて $0$ でない場合には、パラメータを変数に加えた系 $(x,\mu)'=(F(x,\mu),0)$ に $(x_0,0)$ で§E13.21 定理 5.2を適用すると、同定理の $E^c$ は三次元であり、得られる中心多様体の各 $\mu$ での切り口は二次元である。この場合の証明には、その二次元の切り口への制限と、制限した系の三次までの標準形の計算を用いる。定理 4.2 (2)だけが $A_0$ の $\pm i\omega_0$ 以外の固有値の実部がすべて負であることを仮定し、定理 4.2 (1)と定理 4.2 (3)は定理 3.1の仮定と $F\in C^3(U\times\Lambda,\R^n)$ だけを仮定するので、 $\pm i\omega_0$ 以外に $A_0$ の純虚数の固有値がある場合も含む。この場合には中心多様体の切り口は二次元でなく、二つの項の証明には、定理 3.1の証明の方程式 $H(\varepsilon;z,\omega,\mu)=0$ の解 $(z_\varepsilon,\omega(\varepsilon),\mu(\varepsilon))$ の $\varepsilon$ についての二次までの展開と、周期軌道 $\Gamma_\varepsilon$ の Floquet 乗数のうち $1$ の近くにある自明でないものの $\varepsilon$ についての展開を用いる。

5 例

例 5.1. $\sigma\in\{1,-1\}$ とし、 $U=\R^2$ 、 $\Lambda=\R$ 、 $x=(x_1,x_2)$ について

F(x,\mu)=\begin{pmatrix}\mu x_1-x_2-\sigma x_1(x_1^2+x_2^2)\\x_1+\mu x_2-\sigma x_2(x_1^2+x_2^2)\end{pmatrix}

とする。 $\R^2$ を $\C$ と同一視して $\zeta=x_1+ix_2$ と書くと、 $x'=F(x,\mu)$ は $\zeta'=(\mu+i)\zeta-\sigma\lvert\zeta\rvert^2\zeta$ である。

$F(0,\mu)=0$ であるから $\Lambda_0=\R$ 、 $\xi=0$ とすることができ、 $A(\mu)=\begin{pmatrix}\mu&-1\\1&\mu\end{pmatrix}$ の固有値は $\mu\pm i$ である。 $\omega_0=1$ について定理 3.1 条件 (a)と定理 3.1 条件 (b)が成り立ち、§E13.22 補題 4.2 (3)により固有値の分枝は $\lambda(\mu)=\mu+i$ であるから、 $\Re\lambda'(0)=1$ である。 $v=(1,-i)^{\mathsf T}$ は $A_0v=iv$ を満たし、 $\phi_1(s)=(\cos s,\sin s)^{\mathsf T}$ である。 $\varepsilon\in\R$ について、 $\zeta$ の表示で $u(s)=\varepsilon e^{is}$ とおくと、 $u=\varepsilon\phi_1$ であり、

(\sigma\varepsilon^2+i)\varepsilon e^{is}-\sigma\varepsilon^2\cdot\varepsilon e^{is}=i\varepsilon e^{is}=u'(s)

であるから、 $(\mu,\omega,u)=(\sigma\varepsilon^2,1,\varepsilon\phi_1)$ は $\omega u'=F(u,\mu)$ を満たす。 $u-\varepsilon\phi_1=0$ であるから、 $0<\lvert\varepsilon\rvert<\varepsilon_0$ 、 $\varepsilon^2\le\rho$ ならば、定理 3.1 (3)により $\mu(\varepsilon)=\sigma\varepsilon^2$ 、 $\omega(\varepsilon)=1$ 、 $u_\varepsilon=\varepsilon\phi_1$ である。

$\zeta_0\in\C\setminus\{0\}$ を初期値とする最大解を $\zeta$ 、その最大存在区間を $I$ とし、 $R(t)=\lvert\zeta(t)\rvert^2$ とおくと、 $R'=2\Re(\bar\zeta\zeta')=2R(\mu-\sigma R)$ である。 $\zeta=0$ は解であるから、一意性により $I$ 上で $R>0$ である。 $h=\sqrt R/\lvert\zeta_0\rvert$ は $h'=(\mu-\sigma R)h$ を満たすから、 $\eta(t)=e^{it}h(t)\zeta_0$ は $\lvert\eta\rvert^2=R$ により $\eta'=i\eta+(\mu-\sigma R)\eta=(\mu+i)\eta-\sigma\lvert\eta\rvert^2\eta$ を満たし、 $\eta(0)=\zeta_0$ である。一意性により $I$ 上で $\zeta(t)=e^{it}h(t)\zeta_0$ である。 $R$ は一次元の自律系 $R'=2R(\mu-\sigma R)$ の解であり、 $R'(t_1)=0$ を満たす $t_1$ があれば $R(t_1)$ は平衡点で、一意性により $R$ は定数である。したがって $R$ は定数であるか狭義単調である。周期解の上で $R$ は周期的であるから定数であり、 $R>0$ により $R=\sigma\mu$ である。

$\sigma=1$ とする。 $\mu\le0$ ならば、 $R>0$ で $R'<0$ であるから、原点以外に周期解は存在しない。 $\mu>0$ ならば、円周 $\Gamma_\mu=\{\lvert\zeta\rvert=\sqrt\mu\}$ は唯一の周期軌道である。 $R=\mu$ は $R'=2R(\mu-R)$ の定常解であるから、 $R(0)<\mu$ ならば $I$ 上で $R<\mu$ かつ $R'>0$ であり、 $R(0)>\mu$ ならば $I$ 上で $R>\mu$ かつ $R'<0$ である。いずれの場合も $t\ge0$ で $R(t)$ は $R(0)$ と $\mu$ の間にあるから、§E13.15 補題 3.1 (1)により $[0,\infty)\subseteq I$ であり、単調で有界な $R$ の極限 $R_\infty>0$ は $2R_\infty(\mu-R_\infty)=0$ を満たすから $R_\infty=\mu$ である。したがって $t\to\infty$ のとき $\operatorname{dist}(\zeta(t),\Gamma_\mu)=\lvert\sqrt{R(t)}-\sqrt\mu\rvert\to0$ である。さらに $\theta\in\R$ について $\zeta(2\pi j+\theta)=e^{i\theta}h(2\pi j+\theta)\zeta_0\to e^{i\theta}\sqrt\mu\,\zeta_0/\lvert\zeta_0\rvert$ （ $j\to\infty$ ）であるから、 $\zeta_0\notin\Gamma_\mu$ の $\omega$ 極限集合は $\Gamma_\mu$ に等しく、 $\Gamma_\mu$ は極限閉軌道である。

$\sigma=-1$ とする。 $\mu\ge0$ ならば $R>0$ で $R'>0$ であるから、原点以外に周期解は存在しない。 $\mu<0$ ならば $\Gamma_\mu=\{\lvert\zeta\rvert=\sqrt{-\mu}\}$ は唯一の周期軌道である。 $0<R(0)<-\mu$ ならば、 $t\ge0$ で $R$ は狭義単調減少で $0<R<-\mu$ にとどまり、同じ議論により $R(t)\to0$ （ $t\to\infty$ ）である。したがって $\Gamma_\mu$ のすべての開近傍は、前方軌道が原点へ近づく点を含む。

$q=p=\frac1{\sqrt2}(1,-i)^{\mathsf T}$ は $A_0q=iq$ 、 $q^*q=1$ 、 $p^*A_0=ip^*$ 、 $p^*q=1$ を満たす。 $b=0$ であり、 $c(y_1,y_2,y_3)=-2\sigma\bigl(y_1(y_2^{\mathsf T}y_3)+y_2(y_1^{\mathsf T}y_3)+y_3(y_1^{\mathsf T}y_2)\bigr)$ であるから、 $q^{\mathsf T}q=0$ 、 $q^{\mathsf T}\bar q=1$ により $c(q,q,\bar q)=-4\sigma q$ 、 $\ell_1=-2\sigma$ である。 $\mu(\varepsilon)=\sigma\varepsilon^2$ の符号と、 $\sigma=1$ の周期軌道の吸引と $\sigma=-1$ の周期軌道の不安定性は、定理 4.2の主張と一致する。

例 5.2. $U=\R^2$ 、 $\Lambda=\R$ 、 $x=(x_1,x_2)$ について

F(x,\mu)=\begin{pmatrix}\mu x_1-x_2+x_1^2\\x_1+\mu x_2+x_1^2\end{pmatrix}

とする。このとき、 $F$ は $C^\infty$ 級で $F(0,\mu)=0$ であるから、 $\Lambda_0=\R$ 、 $\xi=0$ とすることができ、 $A(\mu)=\begin{pmatrix}\mu&-1\\1&\mu\end{pmatrix}$ は例 5.1の $A(\mu)$ と同じである。したがって $\omega_0=1$ について定理 3.1 条件 (a)、定理 3.1 条件 (b)、定理 3.1 条件 (c)が成り立ち、 $\Re\lambda'(0)=1$ である。 $q=p=\frac1{\sqrt2}(1,-i)^{\mathsf T}$ は定理 4.2の $q,p$ の条件を満たす。

$F(\cdot,0)$ の二階偏導関数のうち $0$ でないものは $\partial_{x_1}\partial_{x_1}F(0,0)=(2,2)^{\mathsf T}$ だけであり、三階偏導関数はすべて $0$ である。したがって、 $e_1=(1,0)^{\mathsf T}$ とおくと、 $y,z\in\C^2$ について $b(y,z)=2(e_1^{\mathsf T}y)(e_1^{\mathsf T}z)(1,1)^{\mathsf T}$ であり、 $c=0$ である。 $e_1^{\mathsf T}q=e_1^{\mathsf T}\bar q=1/\sqrt2$ 、 $p^*(1,1)^{\mathsf T}=(1+i)/\sqrt2$ であり、

A_0^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\qquad(2iI_2-A_0)^{-1}=-\frac13\begin{pmatrix}2i&-1\\1&2i\end{pmatrix}

である。 $b(q,\bar q)=(1,1)^{\mathsf T}$ 、 $A_0^{-1}(1,1)^{\mathsf T}=(1,-1)^{\mathsf T}$ 、 $b\bigl(q,(1,-1)^{\mathsf T}\bigr)=\sqrt2(1,1)^{\mathsf T}$ であるから、 $p^*b\bigl(q,A_0^{-1}b(q,\bar q)\bigr)=1+i$ である。 $b(q,q)=(1,1)^{\mathsf T}$ 、 $(2iI_2-A_0)^{-1}(1,1)^{\mathsf T}=\frac13(1-2i,-1-2i)^{\mathsf T}$ 、 $b\bigl(\bar q,\frac13(1-2i,-1-2i)^{\mathsf T}\bigr)=\frac{\sqrt2}3(1-2i)(1,1)^{\mathsf T}$ であるから、 $p^*b\bigl(\bar q,(2iI_2-A_0)^{-1}b(q,q)\bigr)=\frac13(1-2i)(1+i)=1-\frac i3$ である。したがって

\ell_1=\frac12\Re\Bigl(0-2(1+i)+1-\frac i3\Bigr)=-\frac12

である。

$\ell_1<0$ 、 $\Re\lambda'(0)=1$ であり、 $A_0$ の固有値は $\pm i$ だけである。本記事で証明を与えていない定理 4.2を認めると、定理 4.2 (1)と定理 4.2 (2)により、 $\varepsilon_0$ を縮めると、 $0<\lvert\varepsilon\rvert<\varepsilon_0$ について $\mu(\varepsilon)>0$ であり、周期軌道 $\Gamma_\varepsilon$ は定理 4.2 (2)の二つの性質をもつ。一方、命題 4.1により、 $\delta>0$ が存在して、 $0<\mu<\delta$ ならば原点は $F(\cdot,\mu)$ の不安定な平衡点であり、 $-\delta<\mu<0$ ならば漸近安定な平衡点である。したがって、定理 4.2を認めると、この例の周期軌道は、原点が不安定である側の $\mu$ に現れる。

例 5.3. $\sigma\in\{1,-1\}$ とし、 $U=\R^2$ 、 $\Lambda=\R$ とする。 $\R^2$ を $\C$ と同一視し、 $\zeta=x_1+ix_2$ について $F$ を $\zeta'=(\mu^2+i)\zeta+\sigma\lvert\zeta\rvert^2\zeta$ が $x'=F(x,\mu)$ を表すように定める。このとき、 $F(0,\mu)=0$ であり、 $A(\mu)=D_xF(0,\mu)=\begin{pmatrix}\mu^2&-1\\1&\mu^2\end{pmatrix}$ の固有値は $\mu^2\pm i$ である。 $\omega_0=1$ について定理 3.1 条件 (a)と定理 3.1 条件 (b)が成り立つが、固有値の分枝は $\lambda(\mu)=\mu^2+i$ であり、 $\Re\lambda'(0)=0$ であるから定理 3.1 条件 (c)は成り立たない。 $R=\lvert\zeta\rvert^2$ は $R'=2R(\mu^2+\sigma R)$ を満たす。

$\sigma=1$ とする。すべての $\mu\in\R$ について、 $\zeta(0)\ne0$ の解の $R$ は狭義単調増加であり、周期解は存在しない。したがって、定理 3.1 (2)の結論は、 $\mu(\varepsilon)$ をどのように選んでも成り立たない。

$\sigma=-1$ とする。 $\mu\ne0$ について円周 $\{\lvert\zeta\rvert=\lvert\mu\rvert\}$ は周期軌道である。 $\varepsilon\in\R$ について $\mu(\varepsilon)=\varepsilon$ 、 $\omega(\varepsilon)=1$ 、 $u_\varepsilon=\varepsilon\phi_1$ （ $\phi_1(s)=(\cos s,\sin s)^{\mathsf T}$ ）とおくと、 $\zeta$ の表示で $(\varepsilon^2+i)\varepsilon e^{is}-\varepsilon^2\cdot\varepsilon e^{is}=i\varepsilon e^{is}$ であるから、 $\omega(\varepsilon)u_\varepsilon'=F(u_\varepsilon,\mu(\varepsilon))$ であり、 $\varepsilon\ne0$ について $x_\varepsilon(t)=u_\varepsilon(t)$ は $x'=F(x,\varepsilon)$ の最小周期 $2\pi$ の周期解である。この族は定理 3.1 (2)の結論を満たす。定理 3.1 条件 (a)と定理 3.1 条件 (b)の下で、定理 3.1 条件 (c)は周期解の族が存在するための十分条件であるが、必要条件ではない。この例では、族の存否は三次の項の符号 $\sigma$ で決まる。

6 演習

問題 6.1.定理 3.1の $\varepsilon_0$ 、 $\rho$ と $(\mu(\varepsilon),\omega(\varepsilon),u_\varepsilon)$ について、 $0<\lvert\varepsilon\rvert<\varepsilon_0$ ならば $\mu(-\varepsilon)=\mu(\varepsilon)$ 、 $\omega(-\varepsilon)=\omega(\varepsilon)$ であり、すべての $s\in\R$ で $u_{-\varepsilon}(s)=u_\varepsilon(s+\pi)$ であることを証明せよ。さらに、定理 3.1 (2)の $x_{-\varepsilon}(0)$ と $x_\varepsilon(0)$ が $F(\cdot,\mu(\varepsilon))$ の同じ周期軌道に属することを証明せよ。

解答.

$0<\lvert\varepsilon\rvert<\varepsilon_0$ とし、 $\tilde u(s)=u_\varepsilon(s+\pi)$ とおく。 $e^{i(s+\pi)}=-e^{is}$ であるから $\phi_j(s+\pi)=-\phi_j(s)$ （ $j=1,2$ ）であり、 $\tilde u(s)-(-\varepsilon)\phi_1(s)=(u_\varepsilon-\varepsilon\phi_1)(s+\pi)$ である。したがって $\tilde u\in C^1_{2\pi}$ 、 $\lVert\tilde u-(-\varepsilon)\phi_1\rVert_{C^1}=\lVert u_\varepsilon-\varepsilon\phi_1\rVert_{C^1}\le\rho\lvert-\varepsilon\rvert$ であり、被積分関数の周期性により

\int_0^{2\pi}\phi_j(s)^{\mathsf T}\bigl(\tilde u(s)+\varepsilon\phi_1(s)\bigr)\,ds=-\int_0^{2\pi}\phi_j(s+\pi)^{\mathsf T}(u_\varepsilon-\varepsilon\phi_1)(s+\pi)\,ds=-\int_0^{2\pi}\phi_j^{\mathsf T}(u_\varepsilon-\varepsilon\phi_1)\,ds=0

である。定理 3.1 (1)の等式を $s+\pi$ で用いると、すべての $s$ で $\xi(\mu(\varepsilon))+\tilde u(s)\in U$ かつ $\omega(\varepsilon)\tilde u'(s)=F(\xi(\mu(\varepsilon))+\tilde u(s),\mu(\varepsilon))$ である。 $\lvert\mu(\varepsilon)\rvert\le\rho$ 、 $\lvert\omega(\varepsilon)-\omega_0\rvert\le\rho$ であるから、 $(\mu(\varepsilon),\omega(\varepsilon),\tilde u)$ は $-\varepsilon$ について定理 3.1 (3)の仮定を満たし、 $(\mu(\varepsilon),\omega(\varepsilon),\tilde u)=(\mu(-\varepsilon),\omega(-\varepsilon),u_{-\varepsilon})$ である。

$\varphi$ を $F(\cdot,\mu(\varepsilon))$ の流れとする。前段により、すべての $t$ で $x_{-\varepsilon}(t)=\xi(\mu(\varepsilon))+u_\varepsilon(\omega(\varepsilon)t+\pi)=x_\varepsilon\bigl(t+\pi/\omega(\varepsilon)\bigr)$ である。 $x_\varepsilon$ は $\R$ 上の古典解であるから、§E13.15 補題 1.2により $x_\varepsilon(t)=\varphi_t(x_\varepsilon(0))$ であり、 $x_{-\varepsilon}(0)=\varphi_{\pi/\omega(\varepsilon)}(x_\varepsilon(0))\in\gamma(x_\varepsilon(0))$ である。§E13.15 命題 4.3 (1)により $\gamma(x_{-\varepsilon}(0))=\gamma(x_\varepsilon(0))$ である。▨

問題 6.2. $J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 、 $A_0=\begin{pmatrix}J&0\\0&2J\end{pmatrix}\in\R^{4\times4}$ 、 $\omega_0=1$ とする。 $\pm i$ が $A_0$ の代数的に単純な固有値であり、 $2i$ が $A_0$ の固有値であることを確かめよ。 $v=(1,-i,0,0)^{\mathsf T}$ とし、 $C_{2\pi}$ 、 $C^1_{2\pi}$ 、 $\phi_1,\phi_2$ 、 $L_0$ 、 $X_1$ を補題 2.1と同じ式で定めるとき、 $\ker L_0$ が四次元であること、および、すべての $B\in\R^{4\times4}$ について $X_1\times\R\times\R\ni(u,a,b)\mapsto L_0u+a\phi_1'-bB\phi_1\in C_{2\pi}$ が単射でないことを証明せよ。

解答.

$\det(zI_2-J)=z^2+1$ 、 $\det(zI_2-2J)=z^2+4$ であるから、 $A_0$ の特性多項式は $(z^2+1)(z^2+4)$ であり、根 $\pm i$ 、 $\pm2i$ はすべて単根である。したがって $\pm i$ は代数的に単純な固有値であり、 $2i$ は固有値である。

$\phi_1(s)=\Re(e^{is}v)=(\cos s,\sin s,0,0)^{\mathsf T}$ 、 $\phi_2(s)=(\sin s,-\cos s,0,0)^{\mathsf T}$ である。 $e_1=\phi_1$ 、 $e_2=\phi_2$ 、 $e_3(s)=(0,0,\cos2s,\sin2s)^{\mathsf T}$ 、 $e_4(s)=(0,0,\sin2s,-\cos2s)^{\mathsf T}$ とおくと

\begin{aligned} e_1'&=(-\sin s,\cos s,0,0)^{\mathsf T}=A_0e_1,&\quad e_2'&=(\cos s,\sin s,0,0)^{\mathsf T}=A_0e_2,\\ e_3'&=(0,0,-2\sin2s,2\cos2s)^{\mathsf T}=A_0e_3,&\quad e_4'&=(0,0,2\cos2s,2\sin2s)^{\mathsf T}=A_0e_4 \end{aligned}

であるから、 $e_1,\ldots,e_4\in\ker L_0$ である。 $e_1(0)=(1,0,0,0)^{\mathsf T}$ 、 $e_2(0)=(0,-1,0,0)^{\mathsf T}$ 、 $e_3(0)=(0,0,1,0)^{\mathsf T}$ 、 $e_4(0)=(0,0,0,-1)^{\mathsf T}$ は一次独立であるから、 $e_1,\ldots,e_4$ は一次独立である。§E13.13 命題 4.7を $A_0$ 、 $T=2\pi$ 、 $\omega=1$ に適用すると、 $\ker(A_0-inI)\ne\{0\}$ となる $n$ は $\pm1,\pm2$ であり、各核は§E13.22 補題 4.1 (1)により一次元であるから、§E13.13 命題 4.7 (1)と§E13.13 命題 4.7 (3)により $u'=A_0u$ の $2\pi$ 周期の実数値の局所絶対連続解の全体は四次元である。 $\ker L_0$ はその部分空間であり、四つの一次独立な元を含むから、 $\ker L_0$ は四次元である。

$e_3$ と $\phi_1,\phi_2$ は各 $s$ で直交するから $\int_0^{2\pi}\phi_j^{\mathsf T}e_3\,ds=0$ であり、 $e_3\in X_1$ である。 $B\in\R^{4\times4}$ について、 $(e_3,0,0)\ne0$ は $L_0e_3+0\cdot\phi_1'-0\cdot B\phi_1=0$ を満たすから、写像は単射でない。補題 2.1の仮定のうち、 $k\in\Z\setminus\{1,-1\}$ について $ik\omega_0$ が固有値でないという条件を外すと、補題 2.1 (5)の結論が成り立たない $A_0$ が存在する。▨

§E13.23Hopf 分岐

1 Banach 空間の陰関数定理

2 周期関数の空間の線形化作用素と最小周期

3 Hopf 分岐定理

4 分岐の向きと安定性

5 例

6 演習

参考文献

前提記事