§E13.33Hill 方程式

証明.$Q_\pm=\int_0^Tq_\pm(x)\,dx$と置く。長さ一の任意の区間は、高々$N_T=\lceil1/T\rceil+2$個の区間$[nT,(n+1)T]$に含まれる。周期性から各区間上の$q_\pm$の積分は$Q_\pm$なので、

である。§E13.31 補題 3.2を$r=q_+$に適用すると、すべての$u\in H^1(\R)$について$\int q_+|u|^2<\infty$となる。従って§E13.31 定理 3.5の自然形式域は$H^1(\R)$に等しい。同定理により$\mathfrak a_q$は稠密に定義された下に有界な閉形式である。§E13.31 定理 3.3により両端は極限点型であり、§E13.31 定理 3.6により形式に対応する自己共役作用素は$A_q$に一致する。

主張 (2)を示す。$|\rho|=1$の乗数が存在すると仮定し、対応する非零 Floquet 解を$u$とする。この解は

を満たす。$\rho=e^{i\eta}$、$0\le\eta<\pi$ならば$R=I$とし、$\rho=-e^{i\eta}$、$0\le\eta<\pi$ならば$R=-I$とする。いずれも§E13.30 定理 3.4の結合型条件である。$u$の$[0,T]$への制限はこの自己共役実現の域に属し、非実数$z$の固有関数となる。これは、自己共役作用素のスペクトルが実軸に含まれるという§E12.15 命題 3.1 (1)に反する。

§E13.13 命題 5.2 (2)により乗数の積は一であるから、一方だけが単位円の内側にある。重根ならば乗数は$1$または$-1$となるので、二根は相異なる。§E13.13 命題 5.2 (3)により、内側の乗数に対応する解とその導関数は右端で指数的に減衰する。外側の乗数に対応する解は左端で指数的に減衰する。各端点は極限点型であるから、§E13.32 補題 1.2により、これらはそれぞれの端点の Weyl 解である。$\Delta(z)\in[-2,2]$ならば乗数の二次方程式の根は単位円上にあるので、$\Delta(z)\notin[-2,2]$である。▨

証明. 非零解$u$の初期値を$v=(u(0),u'(0))^{\mathsf T}\ne0$と置く。初期値$(1,0)^{\mathsf T},(0,1)^{\mathsf T}$で標準化した基本解を$\theta,\varphi$とし、$\xi=(\xi_1,\xi_2)^{\mathsf T}\in\C^2$に対して

と定める。$Q(\xi)=0$ならば連続性によって被積分関数は区間全体で零となる。従って、その解の初期値$\xi$は零である。従って$Q$は正定値であり、定数$c>0$が存在して、すべての$\xi\in\C^2$に対し$Q(\xi)\ge c\|\xi\|^2$が成り立つ。§E13.13 補題 1.2 (3)により、すべての$n\in\Z$について

となる。

$|\Delta(\lambda)|<2$ならば、$M(\lambda)$は相異なる絶対値一の固有値をもつ。固有ベクトルを列とする可逆行列を$S$とすると、$S^{-1}M^nv$のノルムは$\|S^{-1}v\|>0$に等しい。従って$\|M^nv\|$は$n\in\Z$によらない正の下界をもつ。従って、一周期ごとの質量を$n\in\Z$について足した和は発散する。

$|\Delta(\lambda)|>2$ならば、乗数は実数$\rho,\rho^{-1}$で$|\rho|>1$としてよい。固有ベクトルの座標で$v$の第一成分が零でなければ、$\|M^nv\|$は$n\to+\infty$で指数的に増大する。第一成分が零ならば第二成分は零でなく、$n\to-\infty$で指数的に増大する。従ってこの場合も質量の和は発散する。

$\Delta(\lambda)=2\varepsilon$、$\varepsilon\in\{1,-1\}$ならば、二行二列の特性方程式から

と書くことができる。$Nv=0$ならば$\|M^nv\|=\|v\|>0$である。$Nv\ne0$ならば$\|v+nNv\|\ge |n|\|Nv\|-\|v\|$である。いずれの場合も一周期の質量の和は発散する。

判別式の三つの場合のいずれでも一周期の質量の和は発散するので、$u\notin L^2(\R)$である。$A_q$の固有関数は定義域の条件により全直線上の二乗可積分解であり、自己共役性により固有値は実数なので、固有値は存在しない。▨

証明.$|\rho|<1$の乗数を$\rho$とし、$a=-T^{-1}\log|\rho|>0$と置く。§E13.13 命題 5.2 (3)により二解は一次独立であるから$W\ne0$である。同命題の指数評価と左向きの整数周期移動から、定数$C_0>0$が存在して、すべての$x\in\R$に対し

である。従って$C=C_0^2/|W|$とすると

各$x$について$G_\lambda(x,\cdot)\in L^2(\R)$なので、$f\in L^2(\R)$に対する核積分$Rf(x)=\int G_\lambda(x,t)f(t)dt$は絶対収束する。Cauchy–Schwarz の不等式により

$x$について積分し、非負関数の積分順序を交換すると、$\|Rf\|_2\le(2C/a)\|f\|_2$を得る。

$f\in L^2(\R)$がコンパクトな台をもつとする。核積分を

と書く。積分の被積分関数は局所可積分である。微分すると$f(x)$を含む二項が相殺され、二度目の微分では$u_-u_+'-u_-'u_+=W$によって

を得る。従って$Rf,(Rf)'\in AC_{\mathrm{loc}}(\R)$である。既に$Rf\in L^2$を示したので、$Rf\in D(A_q)$、$(A_q-\lambda I)Rf=f$となる。

一般の$f\in L^2$に対し、コンパクト台の$f_n$を$f$へ$L^2$収束させると、$Rf_n\to Rf$および$A_qRf_n=f_n+\lambda Rf_n\to f+\lambda Rf$が$L^2$で成り立つ。$A_q$は自己共役で閉作用素なので、$Rf\in D(A_q)$、$(A_q-\lambda I)Rf=f$である。補題 1.3により$A_q-\lambda I$は単射であるから、$R=(A_q-\lambda I)^{-1}$となる。▨

証明.$z\in\C\setminus\R$とし、$b(z)=0$と仮定する。解$\varphi(\cdot,z)$は$\varphi(0,z)=\varphi(T,z)=0$を満たすので、§E13.30 定理 3.4の Dirichlet 自己共役実現の非実固有関数となる。これは矛盾である。従って$b(z)\ne0$である。

定理 1.2 (2)により二つの乗数は相異なり、$\psi_\pm$は乗数$\rho_\pm$の Floquet 解である。初期値$(1,m_\pm)^{\mathsf T}$に対する固有ベクトルの第一行は$a+bm_\pm=\rho_\pm$なので、表示された$m_\pm$の式を得る。$\rho_++\rho_-=a+d$、$\rho_+\rho_-=ad-bc=1$より

§E13.32 定義 5.1の式へ代入すると、$\mathcal M$の表示を得る。

$g=\Delta^2-4$と置き、$g(z_0)\ne0$とする。§E13.13 系 5.4により$a,b,c,d,g$は整関数である。$r_0^2=g(z_0)$を満たす$r_0\ne0$を一つ取り、$z_0$の円板を$|g(z)/g(z_0)-1|<1/2$となるように取る。この円板上で

と置く。§E5.3 命題 2.10と§E5.3 命題 1.8により$r$は正則であり、$r^2=g$である。従って二次方程式の二根$(\Delta+r)/2$、$(\Delta-r)/2$は相異なる正則関数となる。非実点では絶対値が一より小さい根の選択が局所で一定なので、$\rho_\pm$は正則である。実点$\lambda$でも$\Delta(\lambda)^2-4\ne0$ならば、上半円板で選んだ二根を円板全体へ正則に延長することができる。$s$はこの円板を小さくすれば零にならず、$\mathcal M$の式には$b$による除算が残っていない。従って$\mathcal M$は円板全体へ正則に延長される。

$|\Delta(\lambda)|<2$とする。もし$b(\lambda)=0$ならば、実数$a,d$は$ad=1$を満たすので、$|a+d|\ge2$となる。従って$b(\lambda)\ne0$である。二つの乗数は互いに共役な非実数なので、$m_-(\lambda+i0)=\overline{m_+(\lambda+i0)}$であり、$\Im m_+(\lambda+i0)\ne0$である。上半平面での$\Im m_+>0$は§E13.32 命題 1.5によるから、連続な境界値の虚部は正である。$m_+=\alpha+i\beta$、$m_-=\alpha-i\beta$を§E13.32 定義 5.1へ代入すると、主張の虚部の式を得る。右辺の第一対角成分は$1/(2\beta)>0$、行列式は$1/4>0$なので、正定値である。▨

証明.命題 2.2により、$O$の各点の近傍で$\mathcal M$は上半平面から正則に延長され、その虚部は実軸を含めて連続である。§E13.32 命題 7.1を適用すると、主張の密度を得る。正定値性も命題 2.2による。$I$に含まれる非退化なコンパクト区間$J$と、非零の定数ベクトル$v\in\C^2$を取ると、

であり、$\Omega(I)\ne0$である。▨

証明.$\lambda\in\R$、$|\Delta(\lambda)|>2$ならば、補題 2.1により$\lambda\in\rho(A_q)$である。$A_q$は自己共役なので、

を得る。

$E$を$A_q$の射影値測度とする。§E13.32 定理 5.5により、$L^2(\R)$から$L^2(\Omega)$へのユニタリ写像$U$が存在して$UE(I)U^{-1}$は$\mathbf1_I$による乗算である。有界 Borel 集合$I$について、$\Omega(I)=0$ならばこの乗算は零である。逆に$\Omega(I)\ne0$ならば、非負行列$\Omega(I)$のある対角成分は正であるから、対応する座標ベクトルを$e_j$として$\mathbf1_Ie_j$は$L^2(\Omega)$の非零元となる。従って$E(I)\ne0$である。

$|\Delta(\lambda)|<2$とする。$\lambda$の任意の近傍は、$\{|\Delta|<2\}$に含まれる有界な空でない開区間$I$を含む。命題 2.4により$\Omega(I)\ne0$であり、従って$E(I)\ne0$である。§E12.15 命題 3.1 (1)により$\lambda\in\sigma(A_q)$となる。

§E13.28 定理 5.4と§E13.28 系 5.6 (1)を$p=w=1$に適用すると、主張の固有値の配列と閉区間の和を得る。§E13.28 系 5.6 (2)により各帯の内部では$|\Delta|<2$であり、配列の狭義不等号から各帯の長さは正である。従って各帯端は帯内部の点の極限である。スペクトルは閉集合なので、すべての帯端もスペクトルに属する。

§E13.13 系 5.4により$\Delta^2-4$は整関数である。定理 1.2 (2)により非実点では零にならないので、恒等的に零ではない。§E5.8 命題 2.2により零点は孤立している。実軸上の有界閉区間に無限個の零点があれば、その区間内の集積点も連続性によって零点となり、孤立性に反する。従って帯端は各有界区間に有限個しかなく、全体でも可算集合である。

補題 1.3により$A_q$は固有値をもたない。§E12.15 命題 3.1 (3)により、すべての$\lambda\in\R$で$E(\{\lambda\})=0$である。$UE(\{\lambda\})U^{-1}$が$\mathbf1_{\{\lambda\}}$による乗算であることから、$\Omega(\{\lambda\})=0$も成り立つ。ギャップでは§E12.15 命題 3.1 (1)により$E$が零であり、ユニタリ表示から$\Omega$も零である。帯内部では命題 2.4により$\Omega$は絶対連続である。残りの帯端は可算集合で、各点の測度が零なので、帯端全体の$\Omega$測度も零である。従って$\Omega$は実軸全体で絶対連続である。

Lebesgue 零 Borel 集合$N\subseteq\R$を取る。$\Omega(N\cap[-r,r])=0$なので、ユニタリ表示により$E(N\cap[-r,r])=0$である。$r\to\infty$とすると、任意の$f\in L^2(\R)$に対し$\langle E(N)f,f\rangle=0$を得る。従って$A_q$のスペクトルは純絶対連続である。▨

証明.§E13.13 例 5.6の$h=0$の基本解を$x=T$で評価すると、$\lambda=k^2>0$では$\Delta(\lambda)=2\cos(kT)$、$\lambda=0$では$\Delta(0)=2$、$\lambda=-\kappa^2<0$では$\Delta(\lambda)=2\cosh(\kappa T)>2$を得る。余弦の冪級数により、表示された$\Delta$の級数も得る。従って$\{|\Delta|\le2\}=[0,\infty)$であり、定理 3.2によりスペクトルは$[0,\infty)$である。

同じ基本解とその導関数を$x=T$で評価すると、$n\in\NN$に対して$M((n\pi/T)^2)=(-1)^nI$である。§E13.28 定理 5.4 (2)により、各正の帯端は二重であり、対応する二つの端点は一致する。従って正のギャップはすべて閉じる。$\lambda=0$の解$u=x$は非有界なので、閉じた帯の全点で全解が有界であるとは限らない。▨

証明.$L=\pi/2$とし、初期値

をもつ解を取る。一次系の係数行列は$(h,\lambda)$について滑らかであり、有界なパラメータ集合上の各偏導関数は$[0,\pi]$上で一様に有界である。§E13.8 定理 4.1を$r=2$で適用すると、

は$C^2$級である。$h=0$では両者とも$\cos(L\sqrt\lambda)$に等しいので、

§E4.8 系 3.1により、零点を与える$C^1$級の枝$a_e,a_o$が存在する。各枝は

を満たす。近傍を小さくすれば分母は零でなく、$F_j$は$C^2$級、$a_j$は$C^1$級なので、右辺は$C^1$級である。従って$a_e,a_o$は$C^2$級である。

$u_e(x,h)=\theta(x;h,a_e(h))$、$u_o(x,h)=\varphi(x;h,a_o(h))$と置く。ポテンシャルは$x=0$について偶であるから、初期値問題の一意性により$u_e$は偶、$u_o$は奇である。また$\cos(2(\pi-x))=\cos2x$であり、$u_e(L,h)=0$なので、$-u_e(\pi-x,h)$と$u_e(x,h)$は$x=L$で同じ値と導関数をもつ。従って両者は一致する。同様に$u_o'(L,h)=0$から$u_o(\pi-x,h)=u_o(x,h)$を得る。よって

であり、各$h\in(-\delta,\delta)$に対して、$a_e(h),a_o(h)$は反周期型固有値である。

$j\in\{e,o\}$を固定し、$u=u_j(\cdot,h)$、$\dot u=\partial_hu_j(\cdot,h)$と置く。§E13.8 定理 3.8のパラメータ微分の方程式から

である。$u$と$\dot u$は$[0,L]$の両端で同じ混合分離型条件を満たす。§E13.26 定理 1.4 (1)と§E13.26 定理 1.4 (2)により境界項は零となり、

を得る。$u_e(x,0)=\cos x$、$u_o(x,0)=\sin x$であり、

従って$a_e'(0)=1$、$a_o'(0)=-1$である。二階導関数は$0$の近傍で有界なので、積分剰余の表示から$a_e(h)=1+h+O(h^2)$、$a_o(h)=1-h+O(h^2)$を得る。特に、十分小さい$h\ne0$では二つの値は異なる。

$[0,\pi]$上の反周期自己共役実現の固有値を、重複度を込めて$\gamma_1(h)\le\gamma_2(h)\le\cdots$と並べる。§E13.30 定理 4.3に$X=\{(z,-z):z\in\C\}$、$B=0$を代入すると、対応する形式は

である。形式域は$h$に依存せず、

なので、§E13.30 定理 6.1により$|\gamma_n(h)-\gamma_n(0)|\le2|h|$である。自由方程式の反周期固有値は$1,1,9,9,\ldots$である。従って$h$が十分小さいとき、$1$の近傍にある反周期型固有値は重複度を込めて最初の二つだけである。$a_e(h),a_o(h)$は、$h\to0$のとき$1$に収束する。また、十分小さい$h\ne0$に対して相異なる反周期型固有値であるから、最初の二つの反周期型固有値に一致する。

§E13.28 定理 5.4 (4)と定理 3.2により、最初の二つの反周期型固有値の間は最初の有限ギャップである。その長さは

となる。▨