§E13.7連続依存性

証明. すべての$t\in[a,b]$で$u(t)\leq A+\int_a^t(\ell u+r)(s)\,ds$が成り立つとし、

とおく。$u$は有界であり、$\ell u+r$は可積分であるから、§E13.2 定理 2.5により$v,H$は絶対連続である。$0\leq u\leq v$であり、ほとんど至る所で

となる。§E13.2 定理 3.1 (1)と§E13.2 定理 3.1 (2)により$e^{-H}v$は絶対連続であり、ほとんど至る所で

が成り立つ。§E13.2 定理 2.5の全点積分表示から

を得る。$e^{H(t)}$を掛け、$u(t)\leq v(t)$と$H(t)-H(s)=\int_s^t\ell(\tau)\,d\tau$を用いると、前半の評価を得る。

すべての$t\in[a,b]$で$u(t)\leq A+\int_t^b(\ell u+r)(s)\,ds$が成り立つとする。$t\in[a,b]$に対して

とおく。反転$s\mapsto a+b-s$は Lebesgue 測度を保つから、$\widetilde\ell,\widetilde r\in L^1([a,b])$は非負であり、$\widetilde u$は非負連続である。$t\in[a,b]$と$t'=a+b-t$について、積分変数を$s=a+b-\sigma$と置き換えると

である。前半の評価を$\widetilde u,\widetilde\ell,\widetilde r$に適用し、同じ置き換えで

を用いると、後半の評価が$t'$で成り立つ。$t$が$[a,b]$を動くとき$t'$も$[a,b]$を動くから、後半の評価はすべての点で成り立つ。▨

証明.定理 1.1に$\ell(t)=L$を代入する。連続関数$r$は有限閉区間上で可積分であり、$\int_s^t\ell(\tau)\,d\tau=L(t-s)$であるから、結論を得る。▨

証明.系 1.2で$r=0$と置けばよい。▨

証明.§E13.2 定理 2.5により、二つの解の差は全点で

と表される。$s\mapsto g(s,\boldsymbol z(s))$と$s\mapsto f(s,\boldsymbol y(s))$は、それぞれ$\boldsymbol z'$と$\boldsymbol y'$にほとんど至る所で一致するから可積分である。共通零集合$N$の外で

である。$u(t)=\|\boldsymbol z(t)-\boldsymbol y(t)\|$は非負連続であり、§E13.4 系 3.1により

を満たす。定理 1.1を$[t_0,b]$と$[a,t_0]$のうち長さが正の区間へ適用して、二つの評価を得る。$t=t_0$の評価は$u(t_0)=\delta$による。$\ell,r\geq0$なので、各部分区間の積分を$[a,b]$の積分で抑えれば最後の評価が従う。▨

証明.$K$は連続写像

によるコンパクト集合の像なのでコンパクトである。

$\delta\leq Q<\rho$より$(t_*,\boldsymbol\eta)\in K\subseteq\Omega$である。§E13.6 定理 2.1により、$\boldsymbol z(t_*)=\boldsymbol\eta$を満たす$g$の最大絶対連続解$\boldsymbol z:(\alpha,\beta)\to\R^d$を取る。$\alpha<t_*<\beta$である。

$\beta\leq b$と仮定する。任意の$t\in[t_*,\beta)$に対して$t<c<\beta$となる$c$を取ると、主張 3.1.1を$J'=[t_*,c]$と$\boldsymbol z|_{J'}$に適用して$(t,\boldsymbol z(t))\in K$を得る。$\beta$は有限で、$K\subseteq\Omega$はコンパクトであるから、これは§E13.6 系 4.3の右端点の結論に反する。従って$\beta>b$である。$\alpha\geq a$と仮定すると、任意の$t\in(\alpha,t_*]$に対して$\alpha<c<t$となる$c$を取り、主張 3.1.1を$J'=[c,t_*]$に適用して$(t,\boldsymbol z(t))\in K$を得る。これは同じ系の左端点の結論に反するので、$\alpha<a$である。従って$J\subseteq(\alpha,\beta)$であり、主張 3.1.1を$J'=J$と$\boldsymbol z|_J$に適用すると結論の不等式を得る。

$\widetilde{\boldsymbol z}$を、$\widetilde{\boldsymbol z}(t_*)=\boldsymbol\eta$を満たす$J$上の絶対連続解とする。主張 3.1.1により、$\widetilde{\boldsymbol z}$と$\boldsymbol z|_J$のグラフは$K$に含まれる。定理 2.1を$S=K$上の二つの右辺$g,g$、二解$\boldsymbol z|_J,\widetilde{\boldsymbol z}$、$t_0=t_*$、$r=0$に適用する。初期値の差は零であるから、$\widetilde{\boldsymbol z}=\boldsymbol z|_J$である。▨

証明.

とおく。指数因子は$n$に依存しない有限な定数なので、$Q_n\to0$である。従って、ある$n_0\in\NN$が存在し、$n\geq n_0$ならば$Q_n<\rho$となる。各$n\geq n_0$に定理 3.1を$g=f_n$、$r=r_n$、$t_*=a$、$\boldsymbol\eta=\boldsymbol\eta_n$として適用すると、共通区間$J$上の一意な解と$Q_n$による評価を得る。▨

証明.$J$を、$t_*$を含み$I$に含まれる長さが正の有限閉区間とする。$\R\times\R^d$上の写像$f_J$を、$t\in J$では$f_J(t,\boldsymbol u)=f(t,\boldsymbol u)$、$t\notin J$では$f_J(t,\boldsymbol u)=\boldsymbol 0$と定める。

長さが正の有限閉区間$J'$と閉球$B$を取り、$E=J'\cap J$とおく。$E$の長さが正ならば、$E$は$I$に含まれる長さが正の有限閉区間であるから、$E\times B$上の Carathéodory 条件の零集合$N_E$、支配関数$m_E$、可積分な Lipschitz 係数$\ell_E$が存在する。各$\boldsymbol u\in B$について$t\mapsto f_J(t,\boldsymbol u)$は$E$上で$f(t,\boldsymbol u)$、$J'\setminus E$上で$\boldsymbol 0$であるから可測であり、$J'\times B$上で零集合$N_E$、支配関数$m_E\mathbf 1_E$、Lipschitz 係数$\ell_E\mathbf 1_E$について条件が成り立つ。$E$の長さが零ならば、$E$は空集合または一点であり、$J'\setminus E$上で$f_J=\boldsymbol 0$であるから、零集合$E$、支配関数$0$、Lipschitz 係数$0$について条件が成り立つ。従って$f_J$は$\R\times\R^d$上で Carathéodory 条件と時間について可積分な Lipschitz 係数の条件を局所的に満たす。また、$p_J=p\mathbf 1_J$、$q_J=q\mathbf 1_J$は$L^1(\R)$に属し、$t\notin N$ならばすべての$\boldsymbol u\in\R^d$について$\|f_J(t,\boldsymbol u)\|\leq p_J(t)+q_J(t)\|\boldsymbol u\|$である。

§E13.6 定理 2.1により、$\boldsymbol x(t_*)=\boldsymbol\eta$を満たす$f_J$の最大絶対連続解$\boldsymbol x:(\alpha,\beta)\to\R^d$を取る。$t_*<T<\beta$を取る。$\boldsymbol x$は$[t_*,T]$上で絶対連続であり、ほとんど至る所で$\boldsymbol x'=f_J(t,\boldsymbol x)$を満たすから、§E13.2 定理 2.5と§E13.4 系 3.1により、$t_*\leq t\leq T$で

である。定理 1.1の前半の評価を$[t_*,T]$上で$A=\|\boldsymbol\eta\|$、$\ell=q_J$、$r=p_J$として用い、$t_*\leq s\leq t$で$\exp(\int_s^tq_J)\leq\exp(\int_{t_*}^tq_J)$であることを用いると、

を得る。$T$は任意であるから、この評価は$t_*\leq t<\beta$で成り立つ。$\alpha<T<t_*$を取り、$T\leq t\leq t_*$で成り立つ

に定理 1.1の後半の評価を用いると、$\alpha<t\leq t_*$で積分の範囲を$[t,t_*]$に替えた同じ形の評価を得る。従って、$C=(\|\boldsymbol\eta\|+\int_Jp)\exp(\int_Jq)$とおくと、すべての$t\in(\alpha,\beta)$で$\|\boldsymbol x(t)\|\leq C$である。

$\beta<\infty$と仮定すると、$[t_*,\beta)$上の$\boldsymbol x$のグラフはコンパクト集合$[t_*,\beta]\times\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u\|\leq C\}$に含まれる。これは§E13.6 系 4.3の右端点の結論に反する。$\alpha>-\infty$と仮定すると、$(\alpha,t_*]$上のグラフはコンパクト集合$[\alpha,t_*]\times\{\boldsymbol u:\|\boldsymbol u\|\leq C\}$に含まれる。これは同じ系の左端点の結論に反する。従って$(\alpha,\beta)=\R$である。$J$上で$f_J=f$であるから、$\boldsymbol x_J=\boldsymbol x|_J$は$J$上の絶対連続関数で、$J$のほとんど至る所で$\boldsymbol x_J'=f(t,\boldsymbol x_J)$、$\boldsymbol x_J(t_*)=\boldsymbol\eta$を満たし、$t\in J$で結論の評価を満たす。

$\boldsymbol w:J\to\R^d$を、$J$のほとんど至る所で$\boldsymbol w'=f(t,\boldsymbol w)$を満たし$\boldsymbol w(t_*)=\boldsymbol\eta$を満たす絶対連続関数とする。$\boldsymbol x_J$と$\boldsymbol w$は連続であるから、両者の値を含む原点中心の閉球$B$が存在する。$J\times B$上の可積分な Lipschitz 係数$\ell_B$と零集合$N_B$を取り、定理 2.1を$S=J\times B$上の二つの右辺$f,f$、二解$\boldsymbol x_J,\boldsymbol w$、$t_0=t_*$、$\ell=\ell_B$、$r=0$に適用する。初期値の差は零であるから、$\boldsymbol w=\boldsymbol x_J$である。

$t_*$を含み$I$に含まれる長さが正の有限閉区間の全体を$\mathcal J$とする。$J_1,J_2\in\mathcal J$ならば$J_1\cup J_2\in\mathcal J$であり、$\boldsymbol x_{J_1\cup J_2}$の$J_1$、$J_2$への制限は、前段の一意性によりそれぞれ$\boldsymbol x_{J_1}$、$\boldsymbol x_{J_2}$に等しい。従って、$t\in J\in\mathcal J$に対して$\boldsymbol x(t)=\boldsymbol x_J(t)$と定めると、写像$\boldsymbol x:I\to\R^d$が$J$の取り方によらず定まる。$I$に含まれる任意の有限閉区間は$\mathcal J$のある元に含まれるから、$\boldsymbol x\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\R^d)$であり、すべての$t\in I$で結論の評価が成り立つ。$I$は$\mathcal J$の可算個の元の和であるから、$\boldsymbol x'=f(t,\boldsymbol x)$は$I$のほとんど至る所で成り立つ。同じ条件を満たす$I$上の関数は、各$J\in\mathcal J$への制限が前段の一意性により$\boldsymbol x_J$に等しいから、$\boldsymbol x$に等しい。▨

証明.$\mathbb K=\C$のときは、$\C^d$を実部と虚部により$\R^{2d}$と同一視する。固定したノルムは$\R^{2d}$のノルムであり、各$t$について$\boldsymbol u\mapsto A(t)\boldsymbol u$は実線形である。$A,\boldsymbol b$の有限値の可測な代表元を取り、$f(t,\boldsymbol u)=A(t)\boldsymbol u+\boldsymbol b(t)$とおく。作用素ノルムは$\mathbb K^{d\times d}$のノルムであるから、$t\mapsto\|A(t)\|$は可測であり、§E10.1 命題 2.2により$I$に含まれる各有限閉区間上で可積分である。

$I$に含まれる長さが正の有限閉区間$J$と、中心$\boldsymbol c$、半径$\kappa$の閉球$B$を取る。各$\boldsymbol u$について$t\mapsto f(t,\boldsymbol u)$は可測であり、各$t$について$\boldsymbol u\mapsto f(t,\boldsymbol u)$は連続であって、$\boldsymbol u,\boldsymbol v\in B$ならば

である。右辺の係数は$J$上で可積分であるから、$f$の$J\times B$への制限は Carathéodory 条件を満たし、時間について可積分な Lipschitz 係数$\|A\|$をもつ。すべての$t\in I$と$\boldsymbol u$について$\|f(t,\boldsymbol u)\|\leq\|\boldsymbol b(t)\|+\|A(t)\|\|\boldsymbol u\|$である。定理 4.1を$p=\|\boldsymbol b\|$、$q=\|A\|$、$N=\varnothing$として適用すると、解の存在、一意性、ノルムの評価を得る。$\boldsymbol x$は局所絶対連続で、その導関数はほとんど至る所で$A\boldsymbol x+\boldsymbol b$に等しいから、§E13.2 系 2.6により積分表示が成り立つ。▨