§E13.31特異 Sturm–Liouville 問題

証明.§E13.26 命題 1.3 (2)により、指定された初期値をもつ基本解が存在する。流束系の係数行列の跡は零であるから、基本行列

は$\det F(x)=1$を満たす。$u=\theta+m\varphi$とすると、§E13.26 定理 1.4により

である。

主張 (1)を示す。非零の状態$(u(d),u^{[1]}(d))$について、二成分の一方が零であるか、両成分が非零でその比が実数であることは、$[u,u](d)=0$であるための必要十分条件である。したがって、この状態が満たす実分離型条件が存在することは、$[u,u](d)=0$であるための必要十分条件である。$\varphi$自身が$d$で実分離型条件を満たすならば、$[\varphi,\varphi](c)=[\varphi,\varphi](d)=0$と Lagrange 恒等式から$2i\eta\int_c^d|\varphi|^2w=0$を得る。これは$\varphi^{[1]}(c)=1$に反する。このため、各実分離型条件を満たす$\theta+m\varphi$の係数$m$は一意に定まる。

$J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$とし、$G_d=(2i)^{-1}F(d)^{\mathsf T}J\overline{F(d)}$と置く。$G_d$は Hermite 行列であり、$\det G_d=-1/4$である。$G_d=\begin{pmatrix}C&\overline B\\B&A\end{pmatrix}$と書くと、上の恒等式の右辺は

に等しい。平方完成により、この式が零以下となる集合は中心$-\overline B/A$、半径$\sqrt{|B|^2-AC}/A=1/(2A)$の閉円板である。

主張 (2)を示す。積分区間の増大によって左辺は増加するので、円板は入れ子になる。中心を$s_d$と書く。円板の包含から$|s_{d_2}-s_{d_1}|\le r_{d_1}-r_{d_2}$であり、$r_d$は非負で減少するから、$s_d$は$d\uparrow b$のときある$s_b$に収束する。極限半径を$r_b$とすると、共通部分は$\{m:|m-s_b|\le r_b\}$である。実際、共通部分の元については各円板の不等式の極限を取ればよく、逆に$|m-s_b|\le r_b$ならば$|s_b-s_d|\le r_d-r_b$から$|m-s_d|\le r_d$となる。各$m$の積分不等式に単調収束を適用して、二乗可積分性と表示された評価を得る。

主張 (3)を示す。極限半径が正ならば半径の公式から$\varphi\in L^2((c,b),w\,dx)$である。$m\in\mathcal D_b(z)$を取ると$\theta+m\varphi$も二乗可積分であるから、$\theta$も二乗可積分である。逆に$\varphi$が二乗可積分ならば半径の極限は正である。極限半径が零ならば$\varphi$は二乗可積分でない一方、$\mathcal D_b(z)$の一点から非零の二乗可積分解を得る。独立な二乗可積分解が二つあれば$\varphi$もその線形結合となって二乗可積分となるので、解空間の次元は一である。▨

証明.$e=b$とし、$\ell y=z_0wy$の基本解$\theta_0,\varphi_0$を$W(\theta_0,\varphi_0)=1$として取る。$c\in(a,b)$を固定し、$h=|\theta_0|+|\varphi_0|$と置く。基本行列の可逆性から$h(x)>0$であり、仮定から$\int_c^b h^2w<\infty$である。$\ell u=zwu$の任意の解を取る。§E13.11 定理 2.1を$\ell u-z_0wu=(z-z_0)wu$に適用すると、定数$C\ge0$が存在して

となる。§E13.7 定理 1.1を$|u|/h$に適用すると

であり、$u$は$b$の近傍で二乗可積分である。$e=a$の場合は$t=-x$とし、係数を$p(-t),q(-t),w(-t)$、流束を$-u^{[1]}(-t)$に替えて右端の場合へ帰着する。▨

証明.補題 1.4により、極限円型ならばすべてのパラメータで全解が二乗可積分である。極限点型ならば、どのパラメータでも全解が二乗可積分となることはない。右端と$\Im z>0$について定理 1.3 (3)を適用すると、極限半径は零であり、二乗可積分解の空間は一次元である。下半平面は実係数による複素共役で上半平面へ、左端は独立変数の反射で右端へ帰着する。実パラメータの判定は極限円型の場合の結論の対偶である。正則端点では§E13.26 補題 1.5によりすべての解が端点まで有界に延び、重みは端点まで可積分であるから、全解が二乗可積分である。▨

証明. 左端$a$が極限点型であるとし、$c\in(a,b)$を固定する。区間$(a,c)$上の最小作用素を$S$と書く。§E13.30 定理 2.1 (2)により$S^*$はこの区間の最大作用素である。$c$は正則であり、定理 1.5 (2)により$\ker(S^*\mp i)$はそれぞれ一次元である。§E12.12 定理 4.3により$S$の自己共役拡張$A$が存在し、その定義域は$D(S)$に一次元空間を加えたものである。$f\in D(S^*)$に対し、§E12.12 命題 3.3を用いて

と置くと、$f-h\in\ker(S^*-i)$である。したがって$D(S^*)/D(S)$の次元は二以下である。

内点$a<d<c$を取る。$c$は正則であり、最大域の外力について$wS^*f\in L^1(d,c)$であるから、§E13.26 命題 1.3 (4)により最大域の関数と流束は$c$まで絶対連続に延びる。§E13.30 補題 1.3 (2)により、$d$で零状態、$c$でそれぞれ$(1,0)$、$(0,1)$の状態をもつ非同次解を$[d,c]$に取り、$(a,d)$へ零延長する。その二元を$v,w$と書くと、$v,w\in D(S^*)$である。§E13.30 定理 2.2 (2)により、$r\in D(S)$は$[r,v](c)=[r,w](c)=0$を満たすから$r(c)=r^{[1]}(c)=0$である。よって$v,w$の$D(S^*)/D(S)$における類は独立であり、この商の基底をなす。任意の$f,g\in D(S^*)$は、$a$の近傍ではそれぞれ$D(S)$の元に一致する。最小域の境界形式の消滅により$[f,g](a)=0$となる。

元の区間の$D(T_{\max})$の元は$(a,c)$へ制限すると$D(S^*)$に属すので、所要の結論が従う。右端については独立変数の反射を用いる。▨

証明.§E13.30 定理 2.1 (2)により、欠損空間$\ker(T_{\min}^*\mp i)$は$\ell u=\pm iwu$の全区間で二乗可積分な解の空間である。両端が極限円型ならば全解が全区間で二乗可積分なので、各空間の次元は二である。一端だけが極限円型ならば、極限点型側で二乗可積分な解は一次元であり、その解は極限円型側でも二乗可積分なので、各空間の次元は一である。

両端が極限点型であるとする。$z\in\C\setminus\R$とし、$\ell u=zwu$の全区間で二乗可積分な解$u$を取る。この解は$D(T_{\max})$に属す。補題 2.1と§E13.30 定理 2.2 (1)により

であるから、$u=0$である。よって両欠損次元は零であり、§E12.12 定理 4.3 (2)と$T_{\min}^*=T_{\max}$により最後の結論を得る。▨

証明.主張 (1)を示す。極限円型端点$a$を取り、$a<c<d<b$とする。$\alpha_a,\beta_a$は$(a,c)$上で二乗可積分である。各解の$c$での状態を、§E13.30 補題 1.3 (2)の非同次解によって$d$で零の状態へ結び、$[d,b)$へ零延長する。この接合で得た二元は$D(T_{\max})$に属し、$a$の近傍で元の基準解に一致する。したがって§E13.30 定理 2.2 (1)により各成分の端点極限が存在する。右端でも接合の向きを替えればよい。線形性は境界形式の第一変数についての線形性による。

内点$x$で$W(\alpha_e,\beta_e)=1$を使って状態を展開すると

である。二つの状態の流束形式を計算すると表示された等式を内点で得る。各成分の極限を取れば端点でも成り立つ。正則端点では§E13.26 補題 1.5により指定された端点状態をもつ実基本解が存在し、境界形式へ端点状態を代入すると$\Gamma_eu=(u(e),u^{[1]}(e))$となる。

主張 (2)を示す。接合した基準解の$e$における境界値はそれぞれ$(1,0)$、$(0,1)$であり、他端では零である。各端の二成分を独立に指定することができるので$\Gamma$は全射である。$u\in D(T_{\min})$ならば§E13.30 定理 2.2 (2)により接合した基準解との境界形式も零なので$\Gamma u=0$である。逆に$\Gamma u=0$ならば、極限円型端点では第一項の表示により、極限点型端点では補題 2.1により、すべての$v\in D(T_{\max})$に対して各端の境界形式が零となる。§E13.30 定理 2.2 (2)により$u\in D(T_{\min})$である。▨

証明.$A\subseteq T_{\max}$が自己共役ならば、共役の包含反転により$T_{\min}=T_{\max}^*\subseteq A^*=A$である。$T_{\min}\subseteq A\subseteq T_{\max}$とし、$L=\Gamma D(A)$と置く。$\ker\Gamma=D(T_{\min})$により$D(A)=\Gamma^{-1}(L)$である。境界空間に

を入れる。Green 恒等式と命題 2.3 (1)、極限点型端点の境界形式の消滅から

を得る。ここで$L^{\perp_\omega}=\{z:\omega(y,z)=0\ (y\in L)\}$である。$\Gamma$は全射なので、$L=L^{\perp_\omega}$であることは、$A$が自己共役であるための必要十分条件である。

境界空間が零ならば$T_{\min}=T_{\max}$であり、第一項を得る。一端だけが極限円型ならば、$\omega$は$\C^2$の非退化な流束形式に符号を掛けたものである。$L=L^{\perp_\omega}$ならば$\dim L=1$であり、非零元$(y_0,y_1)$は$y_0\overline{y_1}-y_1\overline{y_0}=0$を満たす。$y_0=0$の場合は$L=\{y:y_0=0\}$、$y_0\ne0$の場合は$y_1/y_0\in\R$であるから、$L$は実係数の一条件の核である。逆にそのような核は一次元かつ等方なので、自分自身の境界直交補に等しい。両端が極限円型ならば§E13.30 補題 3.3を適用して第三項を得る。▨

証明.$\delta=\varepsilon/(M+1)$と置く。各単位区間の制限に§E13.29 補題 2.1を適用すると

である。$M\delta\le\varepsilon$を使って全区間について足すと結論を得る。▨

証明.$-u''+Qu=0$の実数値解$u$が$+\infty$の近傍で二乗可積分であるとする。$c$を大きくして$u\in L^2(c,\infty)$としてよい。$R>c+3$に対し、$\chi_R$を$(c,c+1)$で零、$[c+1,c+2]$で線形に零から一へ増加、$[c+2,R]$で一、$[R,R+1]$で線形に一から零へ減少し、$R+1$より右で零となる関数とする。$u,u'\in AC_{\mathrm{loc}}$であるから、区分ごとの部分積分によって

を得る。補題 3.2を$r=Q_-$、$\varepsilon=1/2$に適用すると、$R$によらない$C$について

である。$\chi_R=1$の区間で積分し$R\to\infty$とすれば、$u'\in L^2(c+2,\infty)$を得る。

二つの独立な実解$u,v$がともに$+\infty$の近傍で二乗可積分であると仮定する。それぞれの導関数も尾部で二乗可積分なので、Cauchy–Schwarz の不等式によって$uv'$と$u'v$は尾部で可積分である。一方、$uv'-u'v$は非零定数であり、無限長の区間上で可積分ではない。これは矛盾である。したがって零パラメータの全解が二乗可積分となることはなく、定理 1.5により$+\infty$は極限点型である。左端については$x\mapsto-x$を用いる。▨

証明. 下界が成り立つ領域内の長さ一の区間では$\int_x^{x+1}Q_-\le C$である。定理 3.3を適用する。▨

証明.主張 (1)を示す。$V$の Cauchy 列$(u_n)$を取る。$u_n$と$u_n'$は$L^2(J)$でそれぞれ$u,g$に収束する。任意の有界部分区間では、§E13.29 定理 1.3により$u$は絶対連続な代表元をもち、その導関数は$g$である。重なる区間では連続な代表元が一致するので、$u\in H^1(J)$である。さらに§E13.29 定理 1.2により$u_n\to u$は各内部のコンパクト区間で一様に成り立つ。Fatou の補題により

右辺は$n\to\infty$で零へ近づくので、$\sqrt{Q_+}(u_n-u)\to0$は$L^2$で成り立ち、$u\in V$と$u_n\to u$の$V$収束を得る。半直線での端点評価は有界区間$(c,c+1)$の評価によって連続なので、$V_D$は$V$の閉部分空間である。

$p=w=1$、$q=Q$の$D(T_0)$の元は、関数と導関数がコンパクトな台上で有界である。$Q_+$はその台の近傍で可積分なので、$D(T_0)\subseteq\mathcal V$である。§E13.30 定理 2.1 (1)により$D(T_0)$は$L^2(J)$で稠密であり、$\mathcal V$も稠密である。

主張 (2)を示す。非負の対称半双線型形式

は第一項により閉形式である。補題 3.2から、任意の$0<\varepsilon<1$に対し

を得る。重み付き Cauchy–Schwarz の不等式により$\int Q_-u\overline v$も定まり、対称半双線型形式である。§E12.13 定理 4.1に下界$0$、相対係数$\varepsilon$を代入して、$\mathfrak a=\mathfrak a_+-\int Q_-u\overline v$の閉性、下半有界性と形式ノルムの同値性を得る。▨

証明.$u\in D(A)$、$f=Au$とする。任意の内部のコンパクト台をもつ滑らかな$v$は$\mathcal V$に属すので、第一表現定理により

である。$u$は局所有界なので$Qu-f\in L^1_{\mathrm{loc}}(J)$であり、§E13.29 定理 3.4により$u'$は局所絶対連続な代表元をもち、$u''=Qu-f$を満たす。$u\in L^2$と$f\in L^2$により、$u\in D(T_{\max})$、$T_{\max}u=f$である。

単位分割の各積分が$M$以下ならば、任意の長さ一の区間は高々二つの分割区間に含まれるので、その上の$Q_-$の積分は$2M$以下である。定理 3.3により全無限遠端点は極限点型である。全直線では定理 2.2によって$T_{\max}$は自己共役であり、自己共役作用素の包含$A\subseteq T_{\max}$に§E12.12 補題 3.2 (2)を適用して$A=T_{\max}$を得る。

半直線の有限端点で$Q$が可積分ならば、$u\in H^1(c,c+1)$は端点まで有界であり、$u''=Qu-f\in L^1(c,c+1)$なので$u'$も端点まで絶対連続に延びる。$\mathcal V=V$の場合、有限端点を含むコンパクトな区間に台をもつ滑らかな$v$を取って部分積分すると

である。$v(c)$は任意なので$u'(c)=0$である。$\mathcal V=V_D$の場合は$u(c)=0$が定義域の条件として成り立つ。有限端点は正則であり、無限遠端点は極限点型であるから、定理 2.4 (2)によって、表示された Neumann 制限と Dirichlet 制限はいずれも自己共役である。$A$は該当する制限に含まれるので、自己共役性の最大性から一致する。▨

証明.$-u''+Qu=0$の実解$u$が無限遠で二乗可積分であるとする。$d$を大きくして$u\in L^2(d,\infty)$としてよい。$M$は各内部のコンパクト区間で正の下界をもち、$u,u',M$は局所絶対連続である。したがって積と商の微分、および部分積分から、$x>d$に対して

を得る。$H(x)=\int_d^x|u'|^2/M$と置く。$Q/M\ge-1$と$0\le M'/M^{3/2}\le C$により

もし$H(x)\to\infty$ならば、十分大きい$x$で右辺は正となり、$u(x)u'(x)>0$である。したがって$u^2$はその尾部で正で増加し、正の定数で下から抑えられる。これは$u\in L^2(d,\infty)$に反する。よって

である。

二つの独立な実解$u,v$がともに$+\infty$の近傍で二乗可積分であると仮定する。Wronskian$W=uv'-u'v$は非零定数である。$u'/\sqrt M$と$v'/\sqrt M$の二乗可積分性、および Cauchy–Schwarz の不等式により

となる。$1/\sqrt M$は内部のコンパクト区間で可積分なので、下端$d$を大きくしても積分の発散は変わらず、左辺は無限大である。これは矛盾であり、定理 1.5により端点は極限点型である。

最後の主張では、$C_1\ge\max\{C_0,1\}$とし、十分右で$M(x)=C_1(1+x^2)$と取る。これは正で非減少であり、$M'/M^{3/2}$は有界で、$\int^\infty M^{-1/2}dx=\infty$である。▨

証明. 零パラメータの二つの実関数を

と置く。$t=x^3/3$と書くと、直接微分により