§E13.38確定特異点

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係数がa∈Ca\in\Cの穿孔近傍で正則な線形方程式では、解はaaの周りで一価とは限らず、aaを一周する接続は解空間の線形同型（局所モノドロミー）を定める。係数に条件を課さなければ、解はaaに近づくとき∣z−a∣\lvert z-a\rvertのどの負冪よりも速く増大することがある（例 6.3）。一方、二階方程式y′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0で、aaがppまたはqqの特異点であり、(z−a)p(z-a)pと(z−a)2q(z-a)^2qがaaの近傍で正則関数に延びるとき、aaを確定特異点という。確定特異点の近くの解は、(z−a)ρ(z-a)^{\rho}の形の冪、対数、aaで正則な関数の積と和によって表すことができる。最も簡単な例は Euler 型の方程式y′′+p0z−ay′+q0(z−a)2y=0y''+\dfrac{p_0}{z-a}y'+\dfrac{q_0}{(z-a)^2}y=0（p0,q0p_0,q_0は(p0,q0)≠(0,0)(p_0,q_0)\ne(0,0)をみたす定数）であり、ρ(ρ−1)+p0ρ+q0=0\rho(\rho-1)+p_0\rho+q_0=0の根ρ\rhoについて(z−a)ρ(z-a)^\rhoが解である。本記事では、確定特異点の基本的な性質と代表的な例について解説する。

1 孤立特異点と局所モノドロミー

補題 1.1.a∈Ca\in\C、r>0r>0とする。このとき、D(a,r)∖{a}D(a,r)\setminus\{a\}は領域である。

証明.D∗=D(a,r)∖{a}D^*=D(a,r)\setminus\{a\}は開集合である。z,z′∈D∗z,z'\in D^*について、線分[z,z′][z,z']がaaを通らなければ、[z,z′]⊆D(a,r)[z,z']\subseteq D(a,r)により[z,z′]⊆D∗[z,z']\subseteq D^*である。線分[z,z′][z,z']がaaを通るならば、z,z′z,z'のいずれでもなく直線zz′zz'上にない点u∈D∗u\in D^*を取ると、[z,u][z,u]と[u,z′][u,z']はaaを通らず、折れ線[z,u]∪[u,z′][z,u]\cup[u,z']はD∗D^*に含まれる。したがって§E5.1 命題 1.4によりD∗D^*は領域である。▨

定義 1.2.a∈Ca\in\C、r>0r>0、n∈N≥1n\in\NNとし、D∗=D(a,r)∖{a}D^*=D(a,r)\setminus\{a\}とおく。D∗D^*は領域である（補題 1.1）。正則写像A:D∗→Cn×nA:D^*\to\C^{n\times n}に対して、aaを線形系Y′=A(z)YY'=A(z)Yの孤立特異点 (isolated singular point) という。

θ∈R\theta\in\RについてDθ∘={a+seiφ:0<s<r, θ−π<φ<θ+π}D^\circ_\theta=\{a+se^{i\varphi}:0<s<r,\ \theta-\pi<\varphi<\theta+\pi\}とおき、D∘=D0∘D^\circ=D^\circ_0と書く。0<ε<r0<\varepsilon<rについてbε=a+ε∈D∘b_\varepsilon=a+\varepsilon\in D^\circ、γε(t)=a+εe2πit\gamma_\varepsilon(t)=a+\varepsilon e^{2\pi it}（0≤t≤10\le t\le1）とおく。γε\gamma_\varepsilonはD∗D^*内の閉曲線であり、§E13.37 定義 5.4の接続写像TγεT_{\gamma_\varepsilon}は線形同型SA,bε→SA,bε\mathcal S_{A,b_\varepsilon}\to\mathcal S_{A,b_\varepsilon}である。TγεT_{\gamma_\varepsilon}を、ε\varepsilonにおけるY′=A(z)YY'=A(z)Yの局所モノドロミー (local monodromy) という。SA,bε\mathcal S_{A,b_\varepsilon}の基底に関するTγεT_{\gamma_\varepsilon}の行列を、その基底に関する局所モノドロミー行列という。

Λ∈Cn×n\Lambda\in\C^{n\times n}とz∈D∘z\in D^\circについて(z−a)Λ=eΛLog⁡(z−a)(z-a)^\Lambda=e^{\Lambda\operatorname{Log}(z-a)}と書く。ρ∈C\rho\in\Cについても(z−a)ρ=eρLog⁡(z−a)(z-a)^\rho=e^{\rho\operatorname{Log}(z-a)}と書く。

補題 1.3.a,r,n,D∗,Aa,r,n,D^*,Aを定義 1.2のとおりとし、Π={w∈C:ℜw<log⁡r}\Pi=\{w\in\C:\Re w<\log r\}、E:Π→D∗E:\Pi\to D^*、E(w)=a+ewE(w)=a+e^wとおく。B(w)=ewA(E(w))B(w)=e^wA(E(w))はΠ\Pi上で正則である。S^\hat{\mathcal S}を、Π\Pi上でY^′=BY^\hat Y'=B\hat Yを満たす正則写像Y^:Π→Cn\hat Y:\Pi\to\C^nの全体とする。θ∈R\theta\in\RについてSθ={w∈Π:∣ℑw−θ∣<π}S_\theta=\{w\in\Pi:\lvert\Im w-\theta\rvert<\pi\}とおき、z∈Dθ∘z\in D^\circ_\thetaについてℓθ(z)=Log⁡(e−iθ(z−a))+iθ\ell_\theta(z)=\operatorname{Log}\bigl(e^{-i\theta}(z-a)\bigr)+i\thetaとおく。0<ε<r0<\varepsilon<rとし、b=bεb=b_\varepsilon、γ=γε\gamma=\gamma_\varepsilonとおく。Y^∈S^\hat Y\in\hat{\mathcal S}について(τY^)(w)=Y^(w+2πi)(\tau\hat Y)(w)=\hat Y(w+2\pi i)とおく。

このとき、次が成り立つ。

  1. Π\PiとSθS_\thetaは凸な開集合である。w,w′∈Cw,w'\in\Cについて、E(w)=E(w′)E(w)=E(w')であることとw−w′∈2πiZw-w'\in2\pi i\Zであることは同値である。ℓθ\ell_\thetaはDθ∘D^\circ_\thetaからSθS_\thetaへの正則写像であり、EEのSθS_\thetaへの制限の逆写像である。ℓ0(z)=Log⁡(z−a)\ell_0(z)=\operatorname{Log}(z-a)である。E−1(D∘)E^{-1}(D^\circ)は互いに交わらない開集合S0+2πikS_0+2\pi ik（k∈Zk\in\Z）の和であり、k∈Zk\in\Zとw∈S0+2πikw\in S_0+2\pi ikについてℓ0(E(w))=w−2πik\ell_0(E(w))=w-2\pi ikである。Dθ∘D^\circ_\thetaはa+εeiθa+\varepsilon e^{i\theta}に関して星形な領域であり、Π\Pi、SθS_\theta、Dθ∘D^\circ_\thetaは§E5.2 定義 4.6の意味で単連結である。
  2. U⊆D∗U\subseteq D^*を開集合、ℓ:U→C\ell:U\to\Cをeℓ(z)=z−ae^{\ell(z)}=z-aを満たす正則写像とする。このときℓ(U)⊆Π\ell(U)\subseteq\Piであり、すべてのY^∈S^\hat Y\in\hat{\mathcal S}についてY^∘ℓ∈SA(U)\hat Y\circ\ell\in\mathcal S_A(U)である。また、すべてのY^∈S^\hat Y\in\hat{\mathcal S}についてτY^∈S^\tau\hat Y\in\hat{\mathcal S}である。
  3. 各w0∈Πw_0\in\Piについて、Y^↦Y^(w0)\hat Y\mapsto\hat Y(w_0)はS^\hat{\mathcal S}からCn\C^nへの線形同型である。
  4. δ=min⁡{ε,r−ε}/2\delta=\min\{\varepsilon,r-\varepsilon\}/2とし、t∈[0,1]t\in[0,1]についてUt=D(γ(t),δ)U_t=D(\gamma(t),\delta)、wt(z)=log⁡ε+2πit+Log⁡(1+z−γ(t)γ(t)−a)w_t(z)=\log\varepsilon+2\pi it+\operatorname{Log}\Bigl(1+\dfrac{z-\gamma(t)}{\gamma(t)-a}\Bigr)（z∈Utz\in U_t）とおく。このときUt⊆D∗U_t\subseteq D^*であり、wtw_tはUtU_t上のz−az-aの対数の枝である。また、κ=δ/(2πε)\kappa=\delta/(2\pi\varepsilon)とすると、s,t∈[0,1]s,t\in[0,1]が∣s−t∣<κ\lvert s-t\rvert<\kappaを満たすならばγ(s)∈Ut\gamma(s)\in U_tであり、γ(s)\gamma(s)を含む開集合で、その上でws=wtw_s=w_tが成り立つものが存在する。さらに、U0U_0上でw0=ℓ0w_0=\ell_0であり、U1=U0U_1=U_0上でw1=w0+2πiw_1=w_0+2\pi iである。
  5. J(Y^)=[Y^∘ℓ0]bJ(\hat Y)=[\hat Y\circ\ell_0]_bはS^\hat{\mathcal S}からSA,b\mathcal S_{A,b}への線形同型であり、Tγ∘J=J∘τT_\gamma\circ J=J\circ\tauが成り立つ。
  6. k∈N≥1k\in\NNとし、f^:Π→Ck\hat f:\Pi\to\C^k（Ck\C^kは行列空間Cn×n\C^{n\times n}に置き換えてもよい）を正則写像で、すべてのw∈Πw\in\Piについてf^(w+2πi)=f^(w)\hat f(w+2\pi i)=\hat f(w)を満たすものとする。このとき、正則写像f:D∗→Ckf:D^*\to\C^kがただ一つ存在して、f^=f∘E\hat f=f\circ Eが成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。Π\Piは半平面であり、SθS_\thetaはΠ\Piと帯領域の共通部分であるから、ともに凸な開集合である。E(w)=E(w′)E(w)=E(w')はew=ew′e^w=e^{w'}と同値であり、§E5.3 命題 1.7 (3)によりw−w′∈2πiZw-w'\in2\pi i\Zと同値である。z∈Dθ∘z\in D^\circ_\thetaをz−a=seiφz-a=se^{i\varphi}（0<s<r0<s<r、θ−π<φ<θ+π\theta-\pi<\varphi<\theta+\pi）と書く。e−iθ(z−a)=sei(φ−θ)e^{-i\theta}(z-a)=se^{i(\varphi-\theta)}はC∖(−∞,0]\C\setminus(-\infty,0]に属し、その対数の主値はln⁡s+i(φ−θ)\ln s+i(\varphi-\theta)であるから、ℓθ(z)=ln⁡s+iφ\ell_\theta(z)=\ln s+i\varphiである。§E5.3 命題 2.10と§E5.2 命題 1.2 (4)によりℓθ\ell_\thetaはDθ∘D^\circ_\theta上で正則であり、ℓθ(z)∈Sθ\ell_\theta(z)\in S_\thetaかつE(ℓθ(z))=a+seiφ=zE(\ell_\theta(z))=a+se^{i\varphi}=zである。w=x+iy∈Sθw=x+iy\in S_\thetaについてE(w)=a+exeiy∈Dθ∘E(w)=a+e^xe^{iy}\in D^\circ_\thetaであり、∣y−θ∣<π\lvert y-\theta\rvert<\piであるからℓθ(E(w))=x+iy=w\ell_\theta(E(w))=x+iy=wである。したがってE∣Sθ:Sθ→Dθ∘E|_{S_\theta}:S_\theta\to D^\circ_\thetaは全単射であり、ℓθ\ell_\thetaはその逆写像である。ℓ0(z)=Log⁡(z−a)\ell_0(z)=\operatorname{Log}(z-a)は定義から従う。w=x+iy∈Πw=x+iy\in\PiについてE(w)=a+exeiyE(w)=a+e^xe^{iy}であるから、E(w)∈D∘E(w)\in D^\circであることはy∉π+2πZy\notin\pi+2\pi\Zと同値であり、E−1(D∘)E^{-1}(D^\circ)は互いに交わらない開集合S0+2πikS_0+2\pi ik（k∈Zk\in\Z）の和である。w∈S0+2πikw\in S_0+2\pi ikならばw−2πik∈S0w-2\pi ik\in S_0かつE(w)=E(w−2πik)E(w)=E(w-2\pi ik)であるから、ℓ0(E(w))=w−2πik\ell_0(E(w))=w-2\pi ikである。

c=a+εeiθc=a+\varepsilon e^{i\theta}とし、z∈Dθ∘z\in D^\circ_\thetaとする。線分[c,z][c,z]は凸集合D(a,r)D(a,r)に含まれる。aaを通り方向eiθe^{i\theta}の直線をΛθ\Lambda_\thetaとすると、c∈Λθc\in\Lambda_\thetaはaaから方向eiθe^{i\theta}に距離ε>0\varepsilon>0の点である。z∉Λθz\notin\Lambda_\thetaならば、線分[c,z][c,z]とΛθ\Lambda_\thetaの交点はccだけである。z∈Λθz\in\Lambda_\thetaならば、z∈Dθ∘z\in D^\circ_\thetaによりz=a+teiθz=a+te^{i\theta}かつt>0t>0であり、[c,z][c,z]はaaから方向eiθe^{i\theta}への半直線に含まれる。いずれの場合も[c,z][c,z]は{a−teiθ:t≥0}\{a-te^{i\theta}:t\ge0\}と交わらないから、[c,z]⊆Dθ∘[c,z]\subseteq D^\circ_\thetaである。したがってDθ∘D^\circ_\thetaはccに関して星形であり、§E5.2 命題 4.5により領域である。Π\Pi、SθS_\theta、Dθ∘D^\circ_\thetaは、それぞれ凸または星形な領域VVであり、点cV∈Vc_V\in Vに関して星形である。VV内の閉曲線CCに対してH(s,t)=(1−s)C(t)+scVH(s,t)=(1-s)C(t)+sc_VはVVに値をとる連続写像であり、H(0,t)=C(t)H(0,t)=C(t)、H(1,t)=cV=H(1,0)H(1,t)=c_V=H(1,0)、H(s,0)=H(s,1)H(s,0)=H(s,1)を満たすから、VVは単連結である。

主張 (2)を示す。z∈Uz\in Uについてℜℓ(z)=ln⁡∣z−a∣<log⁡r\Re\ell(z)=\ln\lvert z-a\rvert<\log rであるからℓ(z)∈Π\ell(z)\in\Piである。eℓ=z−ae^{\ell}=z-aの両辺を微分するとeℓℓ′=1e^{\ell}\ell'=1であり、ℓ′(z)=1/(z−a)\ell'(z)=1/(z-a)である。E(ℓ(z))=a+eℓ(z)=zE(\ell(z))=a+e^{\ell(z)}=zであるから、Y^∈S^\hat Y\in\hat{\mathcal S}について

(Y^∘ℓ)′(z)=Y^′(ℓ(z)) ℓ′(z)=eℓ(z)A(z)Y^(ℓ(z))z−a=A(z) (Y^∘ℓ)(z)(\hat Y\circ\ell)'(z)=\hat Y'(\ell(z))\,\ell'(z)=\frac{e^{\ell(z)}A(z)\hat Y(\ell(z))}{z-a}=A(z)\,(\hat Y\circ\ell)(z)

である。B(w+2πi)=B(w)B(w+2\pi i)=B(w)でありΠ+2πi=Π\Pi+2\pi i=\Piであるから、τY^\tau\hat YはS^\hat{\mathcal S}に属する。

主張 (3)を示す。BBは凸な領域Π\Pi上で正則であり、Π\Piは主張 (1)により単連結であるから、§E13.37 系 6.4を線形系Y^′=BY^\hat Y'=B\hat Yに適用すると、Y^↦Y^(w0)\hat Y\mapsto\hat Y(w_0)は全単射である。この写像は線形である。

主張 (4)を示す。t∈[0,1]t\in[0,1]についてθ=2πt\theta=2\pi tとおくとγ(t)−a=εeiθ\gamma(t)-a=\varepsilon e^{i\theta}である。z∈Utz\in U_tについて∣z−γ(t)∣<δ≤ε/2\lvert z-\gamma(t)\rvert<\delta\le\varepsilon/2であるから、ε−δ<∣z−a∣<ε+δ<r\varepsilon-\delta<\lvert z-a\rvert<\varepsilon+\delta<rであり、u=1+z−γ(t)γ(t)−a=ε−1e−iθ(z−a)u=1+\frac{z-\gamma(t)}{\gamma(t)-a}=\varepsilon^{-1}e^{-i\theta}(z-a)はD(1,1/2)D(1,1/2)に属する。D(1,1/2)D(1,1/2)の点の偏角の主値の絶対値はπ/6\pi/6未満であるから、Ut⊆Dθ∘⊆D∗U_t\subseteq D^\circ_\theta\subseteq D^*であり、Log⁡u=Log⁡(e−iθ(z−a))−ln⁡ε\operatorname{Log}u=\operatorname{Log}\bigl(e^{-i\theta}(z-a)\bigr)-\ln\varepsilonによりwt=ℓθ∣Utw_t=\ell_\theta|_{U_t}である。主張 (1)によりℓθ\ell_\thetaはDθ∘D^\circ_\theta上で正則でありeℓθ(z)=E(ℓθ(z))−a=z−ae^{\ell_\theta(z)}=E(\ell_\theta(z))-a=z-aを満たすから、wtw_tはUtU_t上のz−az-aの対数の枝である。t=0t=0のときθ=0\theta=0であるから、U0U_0上でw0=ℓ0w_0=\ell_0である。γ(1)=γ(0)\gamma(1)=\gamma(0)であるからU1=U0U_1=U_0であり、定義からw1=w0+2πiw_1=w_0+2\pi iである。

s,t∈[0,1]s,t\in[0,1]が∣s−t∣<κ\lvert s-t\rvert<\kappaを満たすとする。κ≤1/(4π)\kappa\le1/(4\pi)であり、∣γ(s)−γ(t)∣≤2πε∣s−t∣<δ\lvert\gamma(s)-\gamma(t)\rvert\le2\pi\varepsilon\lvert s-t\rvert<\deltaであるからγ(s)∈Ut\gamma(s)\in U_tである。δ′=δ−∣γ(s)−γ(t)∣\delta'=\delta-\lvert\gamma(s)-\gamma(t)\rvertとおくとΔ=D(γ(s),δ′)⊆Us∩Ut\Delta=D(\gamma(s),\delta')\subseteq U_s\cap U_tであり、z↦ws(z+a)z\mapsto w_s(z+a)とz↦wt(z+a)z\mapsto w_t(z+a)は領域Δ−a⊆C∖{0}\Delta-a\subseteq\C\setminus\{0\}の上の対数の枝であるから、§E5.3 命題 2.5によりws−wtw_s-w_tはΔ\Delta上で2πiZ2\pi i\Zに属する定数である。ws(γ(s))=log⁡ε+2πisw_s(\gamma(s))=\log\varepsilon+2\pi isであり、1+γ(s)−γ(t)γ(t)−a=e2πi(s−t)1+\frac{\gamma(s)-\gamma(t)}{\gamma(t)-a}=e^{2\pi i(s-t)}と∣2π(s−t)∣<π\lvert2\pi(s-t)\rvert<\piによりwt(γ(s))=log⁡ε+2πisw_t(\gamma(s))=\log\varepsilon+2\pi isであるから、その定数は00であり、Δ\Delta上でws=wtw_s=w_tである。

主張 (5)を示す。D∗D^*は補題 1.1により領域であり、Π\Piは凸な領域である。E′(w)=ewE'(w)=e^wであるから、h=Eh=E、G=IG=IとAA、BBは§E13.37 補題 8.1の仮定を満たす。同補題の線形同型をEw∗:SA,E(w)→SB,wE^*_w:\mathcal S_{A,E(w)}\to\mathcal S_{B,w}、線形系Y^′=BY^\hat Y'=B\hat Yの接続写像をTBT^Bと書き、w0=log⁡ε=ℓ0(b)w_0=\log\varepsilon=\ell_0(b)とおく。主張 (1)により、E−1(D∘)E^{-1}(D^\circ)のw0w_0とw0+2πiw_0+2\pi iを含む連結成分はそれぞれ凸な開集合S0S_0とS0+2πiS_0+2\pi iであり、その上でℓ0(E(w))\ell_0(E(w))はそれぞれwwとw−2πiw-2\pi iに等しい。Y^∈S^\hat Y\in\hat{\mathcal S}とすると、主張 (2)によりY^∘ℓ0∈SA(D∘)\hat Y\circ\ell_0\in\mathcal S_A(D^\circ)であるから、§E13.37 補題 8.1 (2)を領域U=D∘U=D^\circに適用して

Ew0∗J(Y^)=[Y^]w0,Ew0+2πi∗J(Y^)=[Y^(⋅−2πi)]w0+2πiE^*_{w_0}J(\hat Y)=[\hat Y]_{w_0},\qquad E^*_{w_0+2\pi i}J(\hat Y)=\bigl[\hat Y(\cdot-2\pi i)\bigr]_{w_0+2\pi i}

を得る。Y^↦[Y^]w0\hat Y\mapsto[\hat Y]_{w_0}は線形であり、ev⁡w0[Y^]w0=Y^(w0)\ev_{w_0}[\hat Y]_{w_0}=\hat Y(w_0)であるから、主張 (3)と§E13.37 定理 2.1 (4)によりS^\hat{\mathcal S}からSB,w0\mathcal S_{B,w_0}への線形同型である。したがってJ=(Ew0∗)−1∘(Y^↦[Y^]w0)J=(E^*_{w_0})^{-1}\circ\bigl(\hat Y\mapsto[\hat Y]_{w_0}\bigr)は線形同型である。δ(t)=w0+2πit\delta(t)=w_0+2\pi itとおくとE∘δ=γE\circ\delta=\gammaである。すべてのttに(Y^,Π)(\hat Y,\Pi)を対応させる族はδ\deltaに沿う解の接続であるから、§E13.37 定義 5.4によりTδB[Y^]w0=[Y^]w0+2πiT^B_\delta[\hat Y]_{w_0}=[\hat Y]_{w_0+2\pi i}である。§E13.37 補題 8.1 (3)により

Ew0+2πi∗(TγJ(Y^))=TδB(Ew0∗J(Y^))=[Y^]w0+2πi=Ew0+2πi∗(J(τY^))E^*_{w_0+2\pi i}\bigl(T_\gamma J(\hat Y)\bigr)=T^B_\delta\bigl(E^*_{w_0}J(\hat Y)\bigr)=[\hat Y]_{w_0+2\pi i}=E^*_{w_0+2\pi i}\bigl(J(\tau\hat Y)\bigr)

であり、Ew0+2πi∗E^*_{w_0+2\pi i}は単射であるからTγJ(Y^)=J(τY^)T_\gamma J(\hat Y)=J(\tau\hat Y)である。

主張 (6)を示す。z∈D∗z\in D^*について、E(w)=zE(w)=zを満たすw∈Πw\in\Piが存在し（z−a=seiφz-a=se^{i\varphi}に対してw=ln⁡s+iφw=\ln s+i\varphi）、そのようなwwは主張 (1)により2πiZ2\pi i\Zを法として一意である。f^\hat fは周期2πi2\pi iをもつから、f(z)=f^(w)f(z)=\hat f(w)はwwの選び方によらずに定まり、f^=f∘E\hat f=f\circ Eを満たす。z0∈D∗z_0\in D^*をz0−a=s0eiφ0z_0-a=s_0e^{i\varphi_0}と書き、θ=φ0\theta=\varphi_0とおくと、z0∈Dθ∘z_0\in D^\circ_\thetaであり、Dθ∘D^\circ_\theta上でf=f^∘ℓθf=\hat f\circ\ell_\thetaであるから、ffはz0z_0の近傍で正則である。一意性はEEが全射であることによる。▨

定理 1.4.aaを線形系Y′=A(z)YY'=A(z)Yの孤立特異点とし、Π,E,S^,τ,ℓ0\Pi,E,\hat{\mathcal S},\tau,\ell_0を補題 1.3のとおりとする。0<ε<r0<\varepsilon<r、b=bεb=b_\varepsilon、γ=γε\gamma=\gamma_\varepsilonとする。各列がS^\hat{\mathcal S}に属しΦ^(log⁡ε)=I\hat\Phi(\log\varepsilon)=Iを満たすΦ^:Π→Cn×n\hat\Phi:\Pi\to\C^{n\times n}は補題 1.3 (3)によりただ一つ存在する。Φ=Φ^∘ℓ0:D∘→Cn×n\Phi=\hat\Phi\circ\ell_0:D^\circ\to\C^{n\times n}とし、Φ\Phiの第kk列をΦk\Phi_kとする。M=Φ^(log⁡ε+2πi)M=\hat\Phi(\log\varepsilon+2\pi i)とおく。

このとき、次が成り立つ。

  1. Φk∈SA(D∘)\Phi_k\in\mathcal S_A(D^\circ)であり、[Φ1]b,…,[Φn]b[\Phi_1]_b,\dots,[\Phi_n]_bはSA,b\mathcal S_{A,b}の基底である。MMは可逆であり、この基底に関するTγT_\gammaの行列はMMである。
  2. e2πiΛ=Me^{2\pi i\Lambda}=Mを満たすΛ∈Cn×n\Lambda\in\C^{n\times n}が存在する。そのようなΛ\Lambdaについて、D∗D^*上の正則写像H:D∗→GL⁡n(C)H:D^*\to\GL_n(\C)がただ一つ存在して、D∘D^\circ上でΦ(z)=H(z)(z−a)Λ\Phi(z)=H(z)(z-a)^\Lambdaが成り立つ。
  3. 0<ε′<r0<\varepsilon'<rならば、ε′\varepsilon'における局所モノドロミーとε\varepsilonにおける局所モノドロミーは、線形同型SA,bε→SA,bε′\mathcal S_{A,b_{\varepsilon}}\to\mathcal S_{A,b_{\varepsilon'}}により共役である。

証明.主張 (1)を示す。Φk=Φ^k∘ℓ0\Phi_k=\hat\Phi_k\circ\ell_0は補題 1.3 (2)によりSA(D∘)\mathcal S_A(D^\circ)に属する。Φ^k(log⁡ε)=ek\hat\Phi_k(\log\varepsilon)=e_kはCn\C^nの基底であるから、補題 1.3 (3)によりΦ^1,…,Φ^n\hat\Phi_1,\dots,\hat\Phi_nはS^\hat{\mathcal S}の基底であり、補題 1.3 (5)の線形同型JJにより[Φk]b=J(Φ^k)[\Phi_k]_b=J(\hat\Phi_k)はSA,b\mathcal S_{A,b}の基底である。補題 1.3 (2)によりτΦ^k∈S^\tau\hat\Phi_k\in\hat{\mathcal S}であるから、τΦ^k=∑jcjkΦ^j\tau\hat\Phi_k=\sum_jc_{jk}\hat\Phi_jを満たすcjk∈Cc_{jk}\in\Cが存在する。w=log⁡εw=\log\varepsilonで評価するとΦ^k(log⁡ε+2πi)=∑jcjkej\hat\Phi_k(\log\varepsilon+2\pi i)=\sum_jc_{jk}e_jであるからcjk=Mjkc_{jk}=M_{jk}であり、τΦ^=Φ^M\tau\hat\Phi=\hat\Phi Mである。補題 1.3 (5)によりTγ[Φk]b=J(τΦ^k)=∑jMjk[Φj]bT_\gamma[\Phi_k]_b=J(\tau\hat\Phi_k)=\sum_jM_{jk}[\Phi_j]_bであるから、TγT_\gammaの行列はMMであり、TγT_\gammaが線形同型であるからMMは可逆である。

主張 (2)を示す。§E3.31 定理 4.2によりeL=Me^{L}=Mを満たすL∈Cn×nL\in\C^{n\times n}が存在し、Λ=L/(2πi)\Lambda=L/(2\pi i)とおくとe2πiΛ=Me^{2\pi i\Lambda}=Mである。w↦e−Λww\mapsto e^{-\Lambda w}の各成分はwwのべき級数∑kwk((−Λ)k)jl/k!\sum_kw^k\bigl((-\Lambda)^k\bigr)_{jl}/k!の和であり、§E13.12 命題 1.1 (3)によりこの級数はすべてのw∈Cw\in\Cで収束するから、§E5.7 定理 1.2 (2)により収束半径は∞\inftyであり、§E5.7 定理 1.5によりw↦e−Λww\mapsto e^{-\Lambda w}はC\C上で正則である。§E13.12 命題 3.2によりe−Λ(w+2πi)=e−Λwe−2πiΛe^{-\Lambda(w+2\pi i)}=e^{-\Lambda w}e^{-2\pi i\Lambda}である。H^(w)=Φ^(w)e−Λw\hat H(w)=\hat\Phi(w)e^{-\Lambda w}とおくと、H^\hat HはΠ\Pi上で正則であり、τΦ^=Φ^M\tau\hat\Phi=\hat\Phi Mと、MMとe−Λwe^{-\Lambda w}がΛ\Lambdaのべき級数であることによる可換性から

H^(w+2πi)=Φ^(w)Me−Λwe−2πiΛ=Φ^(w)e−ΛwMe−2πiΛ=H^(w)\hat H(w+2\pi i)=\hat\Phi(w)Me^{-\Lambda w}e^{-2\pi i\Lambda}=\hat\Phi(w)e^{-\Lambda w}Me^{-2\pi i\Lambda}=\hat H(w)

である。補題 1.3 (6)により、D∗D^*上の正則なHHでH^=H∘E\hat H=H\circ Eを満たすものがただ一つ存在する。z∈D∘z\in D^\circについてH(z)=H^(ℓ0(z))=Φ(z)e−ΛLog⁡(z−a)=Φ(z)(z−a)−ΛH(z)=\hat H(\ell_0(z))=\Phi(z)e^{-\Lambda\operatorname{Log}(z-a)}=\Phi(z)(z-a)^{-\Lambda}であり、(z−a)Λ(z−a)−Λ=I(z-a)^{\Lambda}(z-a)^{-\Lambda}=IであるからΦ(z)=H(z)(z−a)Λ\Phi(z)=H(z)(z-a)^\Lambdaである。Φ^(w)c=0\hat\Phi(w)c=0ならば、Φ^c∈S^\hat\Phi c\in\hat{\mathcal S}がwwで00になり、補題 1.3 (3)によりΦ^c=0\hat\Phi c=0であるからc=Φ^(log⁡ε)c=0c=\hat\Phi(\log\varepsilon)c=0である。したがってΦ^(w)\hat\Phi(w)は可逆であり、e−Λwe^{-\Lambda w}も可逆であるから、H^(w)\hat H(w)は可逆でありHHはGL⁡n(C)\GL_n(\C)に値をとる。一意性は、D∘D^\circがD∗D^*で稠密でありHHが連続であることによる。

主張 (3)を示す。K(s,t)=a+((1−s)ε+sε′)e2πitK(s,t)=a+((1-s)\varepsilon+s\varepsilon')e^{2\pi it}は[0,1]2[0,1]^2からD∗D^*への連続写像であり、K(0,t)=γε(t)K(0,t)=\gamma_\varepsilon(t)、K(1,t)=γε′(t)K(1,t)=\gamma_{\varepsilon'}(t)、K(s,0)=K(s,1)K(s,0)=K(s,1)を満たす。δ(s)=K(s,0)=a+(1−s)ε+sε′\delta(s)=K(s,0)=a+(1-s)\varepsilon+s\varepsilon'とおくと、§E13.37 系 6.3によりTγε′=Tδ∘Tγε∘Tδ−1T_{\gamma_{\varepsilon'}}=T_\delta\circ T_{\gamma_\varepsilon}\circ T_\delta^{-1}であり、TδT_\deltaは線形同型SA,bε→SA,bε′\mathcal S_{A,b_\varepsilon}\to\mathcal S_{A,b_{\varepsilon'}}である。▨

注意 1.5. 記号を定理 1.4のとおりとし、e2πiΛ=Me^{2\pi i\Lambda}=Mを満たすΛ\Lambdaと定理 1.4 (2)のHHをとる。この分解は、§E13.13 Floquet 理論 の§E13.13 定理 2.3 (1)を円周∣z−a∣=ε\lvert z-a\rvert=\varepsilonに沿う周期系に当てはめたものと一致する。実際、Φ0(t)=Φ^(log⁡ε+it)\Phi_0(t)=\hat\Phi(\log\varepsilon+it)（t∈Rt\in\R）はΦ0′(t)=iΦ^′(log⁡ε+it)=iεeitA(a+εeit)Φ0(t)\Phi_0'(t)=i\hat\Phi'(\log\varepsilon+it)=i\varepsilon e^{it}A(a+\varepsilon e^{it})\Phi_0(t)とΦ0(0)=I\Phi_0(0)=Iを満たすから、2π2\pi周期の連続な係数をもつ線形系x′=iεeitA(a+εeit)x\boldsymbol x'=i\varepsilon e^{it}A(a+\varepsilon e^{it})\boldsymbol xの基本行列であり、そのモノドロミー行列はΦ0(2π)=M\Phi_0(2\pi)=Mである。補題 1.3 (1)によりw∈S0w\in S_0ならばℓ0(E(w))=w\ell_0(E(w))=wであるから、Π\Pi上の正則写像Φ^(w)\hat\Phi(w)とH(E(w))eΛwH(E(w))e^{\Lambda w}はS0S_0上で一致するから、§E5.8 定理 3.1によりΠ\Pi上で一致する。したがって、P(t)=H(a+εeit)eΛlog⁡εP(t)=H(a+\varepsilon e^{it})e^{\Lambda\log\varepsilon}とおくと、すべてのt∈Rt\in\RについてΦ0(t)=P(t)et(iΛ)\Phi_0(t)=P(t)e^{t(i\Lambda)}、P(t+2π)=P(t)P(t+2\pi)=P(t)、P(0)=IP(0)=I、e2π(iΛ)=Me^{2\pi(i\Lambda)}=Mが成り立つ。§E13.37 注意 7.4も、C∖{0}\C\setminus\{0\}上の系について、接続写像と周期系のモノドロミー行列の同じ対応を述べている。

2 単純極の系

定義 2.1.aaを線形系Y′=A(z)YY'=A(z)Yの孤立特異点とする。(z−a)A(z)(z-a)A(z)がD(a,r)D(a,r)上の正則写像A~\tilde Aに延びるとき、aaを単純極 (simple pole) といい、R=A~(a)R=\tilde A(a)をその留数行列 (residue matrix) という。A~\tilde Aの Taylor 展開をA~(z)=∑k≥0Rk(z−a)k\tilde A(z)=\sum_{k\ge0}R_k(z-a)^k（R0=RR_0=R）とおく。§E5.7 定理 2.1により、この級数の収束半径はrr以上であり、0<∣z−a∣<r0<\lvert z-a\rvert<rでA(z)=∑k≥0Rk(z−a)k−1A(z)=\sum_{k\ge0}R_k(z-a)^{k-1}である。

補題 2.2.P,Q∈Cn×nP,Q\in\C^{n\times n}が共通の固有値をもたないとする。このとき、X↦PX−XQX\mapsto PX-XQはCn×n\C^{n\times n}からCn×n\C^{n\times n}への線形同型である。

証明.§E5.9 系 4.2によりC\C上で特性多項式は一次因子の積に分解するから、§E3.27 系 2.2により、可逆行列V,UV,Uと上三角行列S,TS,TでP=VSV−1P=VSV^{-1}、Q=UTU−1Q=UTU^{-1}を満たすものが存在する。SSとTTの対角成分s1,…,sns_1,\dots,s_nとt1,…,tnt_1,\dots,t_nはそれぞれPPとQQの固有値であり（§E3.27 系 2.3）、仮定によりsi≠tjs_i\ne t_jがすべてのi,ji,jで成り立つ。PX=XQPX=XQを満たすXXに対してZ=V−1XUZ=V^{-1}XUとおくとSZ=ZTSZ=ZTであり、SSとTTが上三角であることから、各(i,j)(i,j)について

(si−tj)Zij=∑k<jZikTkj−∑k>iSikZkj(s_i-t_j)Z_{ij}=\sum_{k<j}Z_{ik}T_{kj}-\sum_{k>i}S_{ik}Z_{kj}

が成り立つ。i=n,n−1,…,1i=n,n-1,\dots,1の順に、各iiについてj=1,…,nj=1,\dots,nの順に、Zij=0Z_{ij}=0を得る。実際、右辺にはZikZ_{ik}（k<jk<j）とZkjZ_{kj}（k>ik>i）だけが現れ、これらは先に零であると得られており、si−tj≠0s_i-t_j\ne0である。よってZ=0Z=0でありX=0X=0である。したがって線形写像X↦PX−XQX\mapsto PX-XQは単射であり、定義域と終域の次元が等しいから線形同型である。▨

定理 2.3.aaを線形系Y′=A(z)YY'=A(z)Yの単純極とし、RRをその留数行列とする。RRの固有値λ,μ\lambda,\muのすべての組についてλ−μ∉N≥1\lambda-\mu\notin\NNであるとする。このとき、H(a)=IH(a)=Iを満たす正則写像H:D(a,r)→Cn×nH:D(a,r)\to\C^{n\times n}が存在して、ΦR(z)=H(z)(z−a)R\Phi_R(z)=H(z)(z-a)^R（z∈D∘z\in D^\circ）の各列ΦR,k\Phi_{R,k}はSA(D∘)\mathcal S_A(D^\circ)に属し、0<ε<r0<\varepsilon<rとb=bεb=b_\varepsilonについて[ΦR,1]b,…,[ΦR,n]b[\Phi_{R,1}]_b,\dots,[\Phi_{R,n}]_bはSA,b\mathcal S_{A,b}の基底である。HHの Taylor 係数HkH_kは、H0=IH_0=Iと、k∈N≥1k\in\NNについての

kHk−RHk+HkR=∑j=1kRjHk−jkH_k-RH_k+H_kR=\sum_{j=1}^kR_jH_{k-j}

により定まる。

証明.Cn×n\C^{n\times n}に作用素ノルムを入れ、線形写像Sk:X↦kX−RX+XRS_k:X\mapsto kX-RX+XRを考える。Sk(X)=−((R−k)X−XR)S_k(X)=-\bigl((R-k)X-XR\bigr)であり、R−kR-kの固有値はλ−k\lambda-k（λ\lambdaはRRの固有値）であるから、R−kR-kとRRが共通の固有値をもつことはλ−k=μ\lambda-k=\muを満たす固有値λ,μ\lambda,\muが存在することを意味し、k∈N≥1k\in\NNについて仮定に反する。したがって補題 2.2により、各k∈N≥1k\in\NNについてSkS_kは可逆である。

主張 2.3.1. あるC0≥1C_0\ge1が存在して、すべてのk∈N≥1k\in\NNとY∈Cn×nY\in\C^{n\times n}について∥Sk−1Y∥≤C0k∥Y∥\lVert S_k^{-1}Y\rVert\le\frac{C_0}k\lVert Y\rVertが成り立つ。

証明.K0=2∥R∥K_0=2\lVert R\rVertとおく。∥XR−RX∥≤K0∥X∥\lVert XR-RX\rVert\le K_0\lVert X\rVertである。k≥2K0k\ge2K_0としSkX=YS_kX=Yとすると、kX=Y−XR+RXkX=Y-XR+RXからk∥X∥≤∥Y∥+K0∥X∥k\lVert X\rVert\le\lVert Y\rVert+K_0\lVert X\rVertであり、k−K0≥k/2k-K_0\ge k/2により∥X∥≤2∥Y∥/k\lVert X\rVert\le2\lVert Y\rVert/kである。1≤k<2K01\le k<2K_0を満たすkkは有限個であり、各Sk−1S_k^{-1}は有限次元空間上の線形写像として有界であるから、C0C_0を22とこれらのk∥Sk−1∥k\lVert S_k^{-1}\rVertの最大値として取ればよい。▨

H0=IH_0=Iとし、k∈N≥1k\in\NNについてHk=Sk−1(∑j=1kRjHk−j)H_k=S_k^{-1}\bigl(\sum_{j=1}^kR_jH_{k-j}\bigr)と帰納的に定める。0<s<r0<s<rとする。∑jRjsj\sum_jR_js^jは絶対収束するから、Cs=sup⁡j∥Rj∥sj<∞C_s=\sup_j\lVert R_j\rVert s^j<\inftyである。主張 2.3.1により、k∈N≥1k\in\NNについて

∥Hk∥≤C0k∑j=1kCss−j∥Hk−j∥\lVert H_k\rVert\le\frac{C_0}k\sum_{j=1}^kC_ss^{-j}\lVert H_{k-j}\rVert

であり、uk=∥Hk∥sku_k=\lVert H_k\rVert s^kとおくとuk≤C0Csk∑i=0k−1uiu_k\le\frac{C_0C_s}k\sum_{i=0}^{k-1}u_iである。§E13.34 補題 3.4によりlim sup⁡∥Hk∥1/k≤1/s\limsup\lVert H_k\rVert^{1/k}\le1/sであり、s<rs<rは任意であるから、H(z)=∑k≥0Hk(z−a)kH(z)=\sum_{k\ge0}H_k(z-a)^kの収束半径はrr以上である。HHはD(a,r)D(a,r)上で正則でありH(a)=IH(a)=Iである。

漸化式をkHk=RHk−HkR+∑j=1kRjHk−jkH_k=RH_k-H_kR+\sum_{j=1}^kR_jH_{k-j}と書き直すと、(z−a)k(z-a)^kの係数について、(z−a)H′(z)=∑kkHk(z−a)k(z-a)H'(z)=\sum_kkH_k(z-a)^kとA~(z)H(z)−H(z)R=∑k(∑j=0kRjHk−j−HkR)(z−a)k\tilde A(z)H(z)-H(z)R=\sum_k\bigl(\sum_{j=0}^kR_jH_{k-j}-H_kR\bigr)(z-a)^kは一致する。したがってD(a,r)D(a,r)上で(z−a)H′(z)=A~(z)H(z)−H(z)R(z-a)H'(z)=\tilde A(z)H(z)-H(z)Rである。z∈D∘z\in D^\circについて、((z−a)R)′=R(z−a)R/(z−a)\bigl((z-a)^R\bigr)'=R(z-a)^R/(z-a)であり（§E5.2 命題 1.2 (4)、§E5.7 定理 1.5）、RRと(z−a)R(z-a)^Rは可換であるから

ΦR′=H′(z−a)R+HR(z−a)Rz−a=A~H(z−a)Rz−a=AΦR\Phi_R'=H'(z-a)^R+\frac{HR(z-a)^R}{z-a}=\frac{\tilde AH(z-a)^R}{z-a}=A\Phi_R

である。したがって各列はSA(D∘)\mathcal S_A(D^\circ)に属する。c∈Cnc\in\C^nが∑kck[ΦR,k]b=0\sum_kc_k[\Phi_{R,k}]_b=0を満たすとする。ΦRc\Phi_Rcはbbのある近傍で00であるから、§E13.37 定理 2.1 (2)によりD∘D^\circ上でΦRc=0\Phi_Rc=0である。H(a)=IH(a)=IとHHの連続性により、aaに十分近いz∈D∘z\in D^\circでH(z)H(z)は可逆であり、(z−a)R(z-a)^Rも可逆であるからc=0c=0である。したがってnn個の芽は一次独立であり、dim⁡CSA,b=n\dim_\C\mathcal S_{A,b}=nであるから基底である。▨

系 2.4.aaを線形系Y′=A(z)YY'=A(z)Yの単純極とし、留数行列RRの固有値λ,μ\lambda,\muのすべての組についてλ−μ∉N≥1\lambda-\mu\notin\NNであるとする。定理 2.3のΦR,k\Phi_{R,k}、0<ε<r0<\varepsilon<r、b=bεb=b_\varepsilon、γ=γε\gamma=\gamma_\varepsilonをとる。

このとき、次が成り立つ。

  1. 基底[ΦR,1]b,…,[ΦR,n]b[\Phi_{R,1}]_b,\dots,[\Phi_{R,n}]_bに関するTγT_\gammaの行列はe2πiRe^{2\pi iR}である。とくに、SA,b\mathcal S_{A,b}の任意の基底に関する局所モノドロミー行列はe2πiRe^{2\pi iR}と共役である。
  2. TγT_\gammaが対角化可能であることと、RRが対角化可能であることは同値である。

証明.主張 (1)を示す。Φ^R(w)=H(E(w))eRw\hat\Phi_R(w)=H(E(w))e^{Rw}（w∈Πw\in\Pi）とおく。Φ^R\hat\Phi_RはΠ\Pi上で正則であり、z=E(w)z=E(w)で(z−a)H′(z)=A~(z)H(z)−H(z)R(z-a)H'(z)=\tilde A(z)H(z)-H(z)Rを用いると、ewH′(E(w))=A~(E(w))H(E(w))−H(E(w))Re^wH'(E(w))=\tilde A(E(w))H(E(w))-H(E(w))Rであるから

Φ^R′(w)=ewH′(E(w))eRw+H(E(w))ReRw=A~(E(w))H(E(w))eRw=ewA(E(w))Φ^R(w)\hat\Phi_R'(w)=e^wH'(E(w))e^{Rw}+H(E(w))Re^{Rw}=\tilde A(E(w))H(E(w))e^{Rw}=e^wA(E(w))\hat\Phi_R(w)

である。したがってΦ^R\hat\Phi_Rの各列はS^\hat{\mathcal S}に属し、Φ^R∘ℓ0=ΦR\hat\Phi_R\circ\ell_0=\Phi_Rである。τΦ^R(w)=H(E(w))eRwe2πiR=Φ^R(w)e2πiR\tau\hat\Phi_R(w)=H(E(w))e^{Rw}e^{2\pi iR}=\hat\Phi_R(w)e^{2\pi iR}であるから、補題 1.3 (5)によりTγ[ΦR,k]b=J(τΦ^R,k)=∑j(e2πiR)jk[ΦR,j]bT_\gamma[\Phi_{R,k}]_b=J(\tau\hat\Phi_{R,k})=\sum_j(e^{2\pi iR})_{jk}[\Phi_{R,j}]_bである。基底の取り替えによる行列の変化は共役であるから、後半も従う。

主張 (2)を示す。TγT_\gammaが対角化可能であることは、主張 (1)によりe2πiRe^{2\pi iR}が対角化可能であることと同値である。X∈Cn×nX\in\C^{n\times n}の相異なる固有値全体をσ(X)\sigma(X)とし、λ∈C\lambda\in\CについてGλ(X)=ker⁡(X−λI)nG_\lambda(X)=\ker(X-\lambda I)^nと書く。§E5.9 系 4.2と§E3.26 定理 2.1によりCn=⨁λ∈σ(X)Gλ(X)\C^n=\bigoplus_{\lambda\in\sigma(X)}G_\lambda(X)であり、各λ\lambdaでker⁡(X−λI)⊆Gλ(X)\ker(X-\lambda I)\subseteq G_\lambda(X)であるから、次元を比べると、XXが対角化可能であること、すなわちCn=⨁λ∈σ(X)ker⁡(X−λI)\C^n=\bigoplus_{\lambda\in\sigma(X)}\ker(X-\lambda I)であることは、すべてのλ∈σ(X)\lambda\in\sigma(X)についてGλ(X)=ker⁡(X−λI)G_\lambda(X)=\ker(X-\lambda I)であることと同値である。B=2πiRB=2\pi iRとし、ρ∈C∖{0}\rho\in\C\setminus\{0\}についてEρ={β∈σ(B):eβ=ρ}E_\rho=\{\beta\in\sigma(B):e^\beta=\rho\}とおく。§E13.12 補題 6.3 (3)によりσ(eB)={eβ:β∈σ(B)}\sigma(e^B)=\{e^\beta:\beta\in\sigma(B)\}であるから、σ(B)\sigma(B)はρ∈σ(eB)\rho\in\sigma(e^B)にわたるEρE_\rhoの和集合である。したがって§E13.12 補題 6.3 (4)により、eBe^Bが対角化可能であることは、すべてのβ∈σ(B)\beta\in\sigma(B)についてGβ(B)=ker⁡(B−βI)G_\beta(B)=\ker(B-\beta I)であること、すなわちBBが対角化可能であることと同値である。B=2πiRB=2\pi iRが対角化可能であることはRRが対角化可能であることと同値である。▨

例 2.5.a=0a=0、r>0r>0、n=2n=2とし、D∗=D(0,r)∖{0}D^*=D(0,r)\setminus\{0\}上の線形系Y′=A(z)YY'=A(z)Yを

A(z)=1z(0001)+(0010)A(z)=\frac1z\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}

で定める。00は単純極であり、留数行列はR=diag⁡(0,1)R=\operatorname{diag}(0,1)である。RRの固有値11と00の差は1∈N≥11\in\NNであるから、定理 2.3の仮定は満たされない。e2πiR=Ie^{2\pi iR}=Iである。

このとき、0<ε<r0<\varepsilon<rにおける局所モノドロミーはe2πiRe^{2\pi iR}と共役でない。

証明.a=0a=0のときE(w)=ewE(w)=e^wであり、B(w)=ewA(ew)=R+ew(0010)B(w)=e^wA(e^w)=R+e^w\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}である。Y^1(w)=(1,wew)T\hat Y_1(w)=(1,we^w)^{\mathsf T}とY^2(w)=(0,ew)T\hat Y_2(w)=(0,e^w)^{\mathsf T}について、Y^1′=(0,(1+w)ew)T=BY^1\hat Y_1'=(0,(1+w)e^w)^{\mathsf T}=B\hat Y_1、Y^2′=(0,ew)T=BY^2\hat Y_2'=(0,e^w)^{\mathsf T}=B\hat Y_2であるから、Y^1,Y^2∈S^\hat Y_1,\hat Y_2\in\hat{\mathcal S}である。Y^1(log⁡ε)=(1,εlog⁡ε)T\hat Y_1(\log\varepsilon)=(1,\varepsilon\log\varepsilon)^{\mathsf T}とY^2(log⁡ε)=(0,ε)T\hat Y_2(\log\varepsilon)=(0,\varepsilon)^{\mathsf T}は一次独立であるから、補題 1.3 (3)によりY^1,Y^2\hat Y_1,\hat Y_2はS^\hat{\mathcal S}の基底であり、補題 1.3 (5)によりJ(Y^1),J(Y^2)J(\hat Y_1),J(\hat Y_2)はSA,bε\mathcal S_{A,b_\varepsilon}の基底である。τY^1(w)=(1,(w+2πi)ew)T=Y^1(w)+2πiY^2(w)\tau\hat Y_1(w)=(1,(w+2\pi i)e^w)^{\mathsf T}=\hat Y_1(w)+2\pi i\hat Y_2(w)、τY^2=Y^2\tau\hat Y_2=\hat Y_2であるから、この基底に関する局所モノドロミー行列は

(102πi1)\begin{pmatrix}1&0\\2\pi i&1\end{pmatrix}

である。この行列は単位行列でなく、単位行列と共役な行列は単位行列だけであるから、e2πiR=Ie^{2\pi iR}=Iと共役でない。▨

3 二階方程式の確定特異点

定義 3.1.a∈Ca\in\C、r>0r>0とし、D∗=D(a,r)∖{a}D^*=D(a,r)\setminus\{a\}上の正則関数p,qp,qについて、二階線形方程式y′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0を考え、Ly=y′′+py′+qyLy=y''+py'+qyと書く。SL(U)\mathcal S_L(U)、SL,c\mathcal S_{L,c}と接続写像TγLT^L_\gammaは、p1=pp_1=p、p0=qp_0=qとした§E13.37 定義 1.1の記号による。A^L=(01−q−p)\hat A_L=\begin{pmatrix}0&1\\-q&-p\end{pmatrix}は§E13.37 命題 4.1の伴随系の係数行列であり、aaは線形系Y′=A^L(z)YY'=\hat A_L(z)Yの孤立特異点である。

p,qp,qがともにD(a,r)D(a,r)上の正則関数に延びるとき、aaを方程式の常点 (ordinary point of an equation in the complex domain) という。(z−a)p(z-a)pと(z−a)2q(z-a)^2qがD(a,r)D(a,r)上の正則関数P,QP,Qに延びるとき、P(z)=∑k≥0pk(z−a)kP(z)=\sum_{k\ge0}p_k(z-a)^k、Q(z)=∑k≥0qk(z−a)kQ(z)=\sum_{k\ge0}q_k(z-a)^kと Taylor 展開し、F(ρ)=ρ(ρ−1)+p0ρ+q0F(\rho)=\rho(\rho-1)+p_0\rho+q_0を決定多項式 (indicial polynomial)、その二根（重複を込める）を指数 (exponent) という。(z−a)p(z-a)pと(z−a)2q(z-a)^2qがD(a,r)D(a,r)上の正則関数に延び、かつaaが常点でないとき、aaを確定特異点という。

この定義は§E13.34 定義 3.1の確定特異点の拡張である。§E13.34 式 (3.1.1)の係数をP0,Q0P_0,Q_0と書く。xP0(x)xP_0(x)とx2Q0(x)x^2Q_0(x)がx=0x=0の近くで解析的であるとき、r>0r>0を、0<∣x∣<r0<\lvert x\rvert<rでP0,Q0P_0,Q_0が定義され、かつxP0(x)xP_0(x)とx2Q0(x)x^2Q_0(x)がそれぞれ収束半径rr以上のべき級数の和に0<∣x∣<r0<\lvert x\rvert<rで等しくなるように取ることができる。その二つのべき級数の和をD(0,r)D(0,r)上の正則関数P,QP,Qとみてp=P/zp=P/z、q=Q/z2q=Q/z^2とおくと、p,qp,qは0<x<r0<x<rでP0,Q0P_0,Q_0に一致する。このとき、P0P_0またはQ0Q_0がx=0x=0で解析的でないことと、ppまたはqqがD(0,r)D(0,r)に正則に延びないことは同値であるから、実軸上のx=0x=0が§E13.34 定義 3.1の意味の確定特異点であることと、00がここで定めた確定特異点であることは同値である。

補題 3.2.pk,qk∈Cp_k,q_k\in\C（k∈N≥0k\in\N）は、∑kpkzk\sum_kp_kz^kと∑kqkzk\sum_kq_kz^kの収束半径がともにrr以上であるとし、F(ρ)=ρ(ρ−1)+p0ρ+q0F(\rho)=\rho(\rho-1)+p_0\rho+q_0とする。ρ∈C\rho\in\Cとし、複素数列(hm)m≥0(h_m)_{m\ge0}は∑mhmzm\sum_mh_mz^mの収束半径がrr以上であるとする。複素数列(bm)m≥0(b_m)_{m\ge0}とm0∈N≥1m_0\in\NNが、すべてのm≥m0m\ge m_0について

F(m+ρ)bm+∑k=1m(pk(m−k+ρ)+qk)bm−k=hmF(m+\rho)b_m+\sum_{k=1}^m\bigl(p_k(m-k+\rho)+q_k\bigr)b_{m-k}=h_m

を満たすとする。このとき、∑mbmzm\sum_mb_mz^mの収束半径はrr以上である。

証明.0<s<r0<s<rとすると、§E5.7 定理 1.2 (1)により∑k∣pk∣sk\sum_k\lvert p_k\rvert s^k、∑k∣qk∣sk\sum_k\lvert q_k\rvert s^k、∑m∣hm∣sm\sum_m\lvert h_m\rvert s^mは収束するから、数列(pksk)k(p_ks^k)_k、(qksk)k(q_ks^k)_k、(hksk)k(h_ks^k)_kは有界である。§E13.34 補題 3.5により、∣z∣<r\lvert z\rvert<rを満たすすべてのz∈Cz\in\Cについて∑m∣bm∣∣z∣m\sum_m\lvert b_m\rvert\lvert z\rvert^mは収束する。§E5.7 定理 1.2 (2)により、∑mbmzm\sum_mb_mz^mの収束半径はrr以上である。▨

補題 3.3.a,r,p,q,La,r,p,q,Lを定義 3.1のとおりとし（P,QP,Qの存在は仮定しない）、Π,E,ℓθ,τ,γε\Pi,E,\ell_\theta,\tau,\gamma_\varepsilonを補題 1.3のとおりとする。S^L\hat{\mathcal S}_Lを、

y^′′(w)−y^′(w)+ewp(E(w))y^′(w)+e2wq(E(w))y^(w)=0(w∈Π)\hat y''(w)-\hat y'(w)+e^wp(E(w))\hat y'(w)+e^{2w}q(E(w))\hat y(w)=0\qquad(w\in\Pi)

を満たす正則関数y^:Π→C\hat y:\Pi\to\Cの全体とし、(τy^)(w)=y^(w+2πi)(\tau\hat y)(w)=\hat y(w+2\pi i)とおく。0<ε<r0<\varepsilon<r、b=bεb=b_\varepsilon、γ=γε\gamma=\gamma_\varepsilonとする。

このとき、次が成り立つ。

  1. y^∈S^L\hat y\in\hat{\mathcal S}_LについてY^y^=(y^, e−wy^′)T\hat Y_{\hat y}=(\hat y,\,e^{-w}\hat y')^{\mathsf T}とおく。このとき、y^↦Y^y^\hat y\mapsto\hat Y_{\hat y}はS^L\hat{\mathcal S}_Lから、A=A^LA=\hat A_Lに対する補題 1.3のS^\hat{\mathcal S}への線形同型であり、τY^y^=Y^τy^\tau\hat Y_{\hat y}=\hat Y_{\tau\hat y}である。
  2. U⊆D∗U\subseteq D^*を開集合、ℓ:U→C\ell:U\to\Cをeℓ(z)=z−ae^{\ell(z)}=z-aを満たす正則写像とする。このとき、すべてのy^∈S^L\hat y\in\hat{\mathcal S}_Lについてy^∘ℓ∈SL(U)\hat y\circ\ell\in\mathcal S_L(U)であり、τy^∈S^L\tau\hat y\in\hat{\mathcal S}_Lである。また、y∈SL(U)y\in\mathcal S_L(U)ならば、y^=y∘E\hat y=y\circ EはE−1(U)E^{-1}(U)上でy^′′−y^′+ewp(E(w))y^′+e2wq(E(w))y^=0\hat y''-\hat y'+e^wp(E(w))\hat y'+e^{2w}q(E(w))\hat y=0を満たす。
  3. y^:Π→C\hat y:\Pi\to\Cが正則でy^∘ℓ0∈SL(D∘)\hat y\circ\ell_0\in\mathcal S_L(D^\circ)ならば、y^∈S^L\hat y\in\hat{\mathcal S}_Lである。
  4. y^∈S^L\hat y\in\hat{\mathcal S}_Lならば、TγL[y^∘ℓ0]b=[(τy^)∘ℓ0]bT^L_\gamma[\hat y\circ\ell_0]_b=[(\tau\hat y)\circ\ell_0]_bである。

証明.主張 (1)を示す。B(w)=ewA^L(E(w))B(w)=e^w\hat A_L(E(w))とする。y^∈S^L\hat y\in\hat{\mathcal S}_Lについて、Y^y^\hat Y_{\hat y}の第 1 成分の導関数はy^′=ew(Y^y^)2\hat y'=e^w(\hat Y_{\hat y})_2であり、第 2 成分の導関数はe−w(y^′′−y^′)=−ew p(E(w)) e−wy^′−ewq(E(w))y^=ew(−q(E(w))(Y^y^)1−p(E(w))(Y^y^)2)e^{-w}(\hat y''-\hat y')=-e^w\,p(E(w))\,e^{-w}\hat y'-e^wq(E(w))\hat y=e^w\bigl(-q(E(w))(\hat Y_{\hat y})_1-p(E(w))(\hat Y_{\hat y})_2\bigr)である。したがってY^y^′=BY^y^\hat Y_{\hat y}'=B\hat Y_{\hat y}である。逆にY^∈S^\hat Y\in\hat{\mathcal S}とすると、第 1 成分y^=Y^1\hat y=\hat Y_1についてy^′=ewY^2\hat y'=e^w\hat Y_2であるからY^2=e−wy^′\hat Y_2=e^{-w}\hat y'であり、第 2 行からy^∈S^L\hat y\in\hat{\mathcal S}_LとY^=Y^y^\hat Y=\hat Y_{\hat y}を得る。写像y^↦Y^y^\hat y\mapsto\hat Y_{\hat y}は線形であり、第 1 成分をとる写像が逆写像である。e−(w+2πi)=e−we^{-(w+2\pi i)}=e^{-w}によりτY^y^=Y^τy^\tau\hat Y_{\hat y}=\hat Y_{\tau\hat y}である。

主張 (2)を示す。L~y^=y^′′+(ewp(E(w))−1)y^′+e2wq(E(w))y^\tilde L\hat y=\hat y''+\bigl(e^wp(E(w))-1\bigr)\hat y'+e^{2w}q(E(w))\hat yとおく。y^∈S^L\hat y\in\hat{\mathcal S}_Lとし、y=y^∘ℓy=\hat y\circ\ellとおく。補題 1.3 (2)によりℓ(U)⊆Π\ell(U)\subseteq\Piである。eℓ=z−ae^{\ell}=z-aの両辺を微分するとℓ′=1/(z−a)\ell'=1/(z-a)であるから、§E5.2 命題 1.2 (4)によりy′=y^′(ℓ)/(z−a)y'=\hat y'(\ell)/(z-a)、y′′=(y^′′(ℓ)−y^′(ℓ))/(z−a)2y''=\bigl(\hat y''(\ell)-\hat y'(\ell)\bigr)/(z-a)^2であり、E(ℓ(z))=zE(\ell(z))=z、eℓ(z)=z−ae^{\ell(z)}=z-aにより

(Ly)(z)=1(z−a)2(y^′′(ℓ)−y^′(ℓ)+eℓp(E(ℓ))y^′(ℓ)+e2ℓq(E(ℓ))y^(ℓ))=(L~y^)(ℓ(z))(z−a)2=0(Ly)(z)=\frac{1}{(z-a)^2}\Bigl(\hat y''(\ell)-\hat y'(\ell)+e^{\ell}p(E(\ell))\hat y'(\ell)+e^{2\ell}q(E(\ell))\hat y(\ell)\Bigr)=\frac{(\tilde L\hat y)(\ell(z))}{(z-a)^2}=0

である。ew+2πi=ewe^{w+2\pi i}=e^w、E(w+2πi)=E(w)E(w+2\pi i)=E(w)、Π+2πi=Π\Pi+2\pi i=\Piであるから、τy^∈S^L\tau\hat y\in\hat{\mathcal S}_Lである。y∈SL(U)y\in\mathcal S_L(U)とし、y^=y∘E\hat y=y\circ Eとおくと、E−1(U)E^{-1}(U)上でy^′=ewy′(E(w))\hat y'=e^wy'(E(w))、y^′′=ewy′(E(w))+e2wy′′(E(w))\hat y''=e^wy'(E(w))+e^{2w}y''(E(w))であるから、L~y^=e2w(Ly)(E(w))=0\tilde L\hat y=e^{2w}(Ly)(E(w))=0である。

主張 (3)を示す。y=y^∘ℓ0y=\hat y\circ\ell_0とおく。主張 (2)によりy∘Ey\circ EはE−1(D∘)E^{-1}(D^\circ)上でL~(y∘E)=0\tilde L(y\circ E)=0を満たす。S0⊆E−1(D∘)S_0\subseteq E^{-1}(D^\circ)であり、補題 1.3 (1)によりS0S_0上でℓ0∘E\ell_0\circ Eは恒等写像であるから、S0S_0上でy∘E=y^y\circ E=\hat yであり、L~y^=0\tilde L\hat y=0である。L~y^\tilde L\hat yはΠ\Pi上の正則関数であり、Π\Piは領域であるから、§E5.8 定理 3.1によりΠ\Pi上で00である。

主張 (4)を示す。A=A^LA=\hat A_Lに対する補題 1.3の線形同型JJと接続写像TγT_\gamma、§E13.37 命題 4.1 (2)の線形同型φb:SL,b→SA^L,b\varphi_b:\mathcal S_{L,b}\to\mathcal S_{\hat A_L,b}をとる。v^∈S^L\hat v\in\hat{\mathcal S}_Lとし、v=v^∘ℓ0v=\hat v\circ\ell_0とおく。主張 (2)によりv∈SL(D∘)v\in\mathcal S_L(D^\circ)であり、D∘D^\circ上でv′=v^′(ℓ0)/(z−a)=e−ℓ0v^′(ℓ0)v'=\hat v'(\ell_0)/(z-a)=e^{-\ell_0}\hat v'(\ell_0)であるから、Y^v^∘ℓ0=(v,v′)T\hat Y_{\hat v}\circ\ell_0=(v,v')^{\mathsf T}であり、J(Y^v^)=φb[v^∘ℓ0]bJ(\hat Y_{\hat v})=\varphi_b[\hat v\circ\ell_0]_bである。主張 (2)によりτy^∈S^L\tau\hat y\in\hat{\mathcal S}_Lであるから、これをv^=y^\hat v=\hat yとv^=τy^\hat v=\tau\hat yに当てはめる。§E13.37 定義 5.4によりTγL=φb−1∘Tγ∘φbT^L_\gamma=\varphi_b^{-1}\circ T_\gamma\circ\varphi_bであるから、補題 1.3 (5)と主張 (1)により

TγL[y^∘ℓ0]b=φb−1TγJ(Y^y^)=φb−1J(τY^y^)=φb−1J(Y^τy^)=[(τy^)∘ℓ0]bT^L_\gamma[\hat y\circ\ell_0]_b=\varphi_b^{-1}T_\gamma J(\hat Y_{\hat y})=\varphi_b^{-1}J(\tau\hat Y_{\hat y})=\varphi_b^{-1}J(\hat Y_{\tau\hat y})=[(\tau\hat y)\circ\ell_0]_b

である。▨

4 Fuchs の定理

補題 4.1.a∈Ca\in\C、r>0r>0とし、D∘D^\circを定義 1.2のとおりとする。P,QP,QをD(a,r)D(a,r)上の正則関数、P=∑kpk(z−a)kP=\sum_kp_k(z-a)^k、Q=∑kqk(z−a)kQ=\sum_kq_k(z-a)^kをその Taylor 展開とし、F(ρ)=ρ(ρ−1)+p0ρ+q0F(\rho)=\rho(\rho-1)+p_0\rho+q_0とおく。D∘D^\circに含まれる開集合の上の正則関数yyについてLy=(z−a)2y′′+(z−a)Py′+Qy\mathcal Ly=(z-a)^2y''+(z-a)Py'+Qyとおく。ρ∈C\rho\in\C、0<r′≤r0<r'\le rとし、φ=∑mbm(z−a)m\varphi=\sum_mb_m(z-a)^mをD(a,r′)D(a,r')上の正則関数とする。このとき、D∘∩D(a,r′)D^\circ\cap D(a,r')上で

L((z−a)ρφ)=(z−a)ρ∑m≥0cm(ρ;b) (z−a)m,cm(ρ;b)=F(m+ρ)bm+∑k=1m(pk(m−k+ρ)+qk)bm−k\mathcal L\bigl((z-a)^\rho\varphi\bigr)=(z-a)^\rho\sum_{m\ge0}c_m(\rho;b)\,(z-a)^m,\qquad c_m(\rho;b)=F(m+\rho)b_m+\sum_{k=1}^m\bigl(p_k(m-k+\rho)+q_k\bigr)b_{m-k}

が成り立ち、右辺の級数の収束半径はr′r'以上である。

証明.w=z−aw=z-aと書く。D∘D^\circ上で(wρ)′=ρwρ−1(w^\rho)'=\rho w^{\rho-1}、(wρ)′′=ρ(ρ−1)wρ−2(w^\rho)''=\rho(\rho-1)w^{\rho-2}であるから

L(wρφ)=wρg,g=w2φ′′+(2ρ+P)wφ′+(ρ(ρ−1)+ρP+Q)φ\mathcal L(w^\rho\varphi)=w^\rho g,\qquad g=w^2\varphi''+(2\rho+P)w\varphi'+\bigl(\rho(\rho-1)+\rho P+Q\bigr)\varphi

である。ggはD(a,r′)D(a,r')上で正則であるから、§E5.7 定理 2.1によりその Taylor 級数の収束半径はr′r'以上であり、D(a,r′)D(a,r')上でggに等しい。§E5.7 定理 1.5と積の Taylor 係数の公式により、ggのwmw^mの係数はm(m−1)bm+2ρmbm+p0mbm+∑k≥1pk(m−k)bm−k+(ρ(ρ−1)+ρp0+q0)bm+∑k≥1(ρpk+qk)bm−km(m-1)b_m+2\rho mb_m+p_0mb_m+\sum_{k\ge1}p_k(m-k)b_{m-k}+(\rho(\rho-1)+\rho p_0+q_0)b_m+\sum_{k\ge1}(\rho p_k+q_k)b_{m-k}であり、m(m−1)+2ρm+ρ(ρ−1)=(m+ρ)(m+ρ−1)m(m-1)+2\rho m+\rho(\rho-1)=(m+\rho)(m+\rho-1)によりcm(ρ;b)c_m(\rho;b)に等しい。▨

命題 4.2.aaをy′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0の常点または確定特異点とし、P,QP,Q、pk,qkp_k,q_k、FFを定義 3.1のとおりとする。ρ∈C\rho\in\CをFFの根で、すべてのm∈N≥1m\in\NNについてF(m+ρ)≠0F(m+\rho)\ne0を満たすものとする。

このとき、次が成り立つ。

  1. b0=1b_0=1と、m∈N≥1m\in\NNについてのF(m+ρ)bm+∑k=1m(pk(m−k+ρ)+qk)bm−k=0F(m+\rho)b_m+\sum_{k=1}^m\bigl(p_k(m-k+\rho)+q_k\bigr)b_{m-k}=0により複素数列(bm)m≥0(b_m)_{m\ge0}が定まり、∑mbm(z−a)m\sum_mb_m(z-a)^mの収束半径はrr以上である。その和をφρ\varphi_\rhoとすると、φρ(a)=1\varphi_\rho(a)=1であり、(z−a)ρφρ(z-a)^\rho\varphi_\rhoはSL(D∘)\mathcal S_L(D^\circ)に属する。
  2. 0<r′≤r0<r'\le rとし、ψ\psiをD(a,r′)D(a,r')上の正則関数で、D∘∩D(a,r′)D^\circ\cap D(a,r')のある空でない開部分集合WWの上でL((z−a)ρψ)=0L\bigl((z-a)^\rho\psi\bigr)=0を満たすものとする。このとき、D(a,r′)D(a,r')上でψ=ψ(a)φρ\psi=\psi(a)\varphi_\rhoである。とくに、φ(a)=1\varphi(a)=1を満たし(z−a)ρφ∈SL(D∘)(z-a)^\rho\varphi\in\mathcal S_L(D^\circ)となるD(a,r)D(a,r)上の正則関数φ\varphiはφρ\varphi_\rhoに限る。

証明.主張 (1)を示す。m∈N≥1m\in\NNについてF(m+ρ)≠0F(m+\rho)\ne0であるから、bmb_mはb0,…,bm−1b_0,\dots,b_{m-1}から帰納的に定まる。補題 3.2をhm=0h_m=0、m0=1m_0=1として適用すると、収束半径はrr以上である。F(ρ)=0F(\rho)=0によりc0(ρ;b)=F(ρ)b0=0c_0(\rho;b)=F(\rho)b_0=0であり、m∈N≥1m\in\NNについてcm(ρ;b)=0c_m(\rho;b)=0であるから、補題 4.1をr′=rr'=rとして適用すると、D∘D^\circ上で(z−a)2L((z−a)ρφρ)=L((z−a)ρφρ)=0(z-a)^2L\bigl((z-a)^\rho\varphi_\rho\bigr)=\mathcal L\bigl((z-a)^\rho\varphi_\rho\bigr)=0である。D∘D^\circ上でz≠az\ne aであるから、(z−a)ρφρ∈SL(D∘)(z-a)^\rho\varphi_\rho\in\mathcal S_L(D^\circ)である。

主張 (2)を示す。ψ=∑mβm(z−a)m\psi=\sum_m\beta_m(z-a)^mをD(a,r′)D(a,r')上の Taylor 展開とし（§E5.7 定理 2.1）、g=∑mcm(ρ;β)(z−a)mg=\sum_mc_m(\rho;\beta)(z-a)^mとおく。補題 4.1によりggはD(a,r′)D(a,r')上で正則であり、WW上で(z−a)ρg=(z−a)2L((z−a)ρψ)=0(z-a)^\rho g=(z-a)^2L\bigl((z-a)^\rho\psi\bigr)=0である。(z−a)ρ(z-a)^\rhoは零にならないからWW上でg=0g=0であり、D(a,r′)D(a,r')は領域であるから、§E5.8 定理 3.1によりD(a,r′)D(a,r')上でg=0g=0である。§E5.7 系 2.2により、すべてのm≥0m\ge0についてcm(ρ;β)=0c_m(\rho;\beta)=0である。m∈N≥1m\in\NNについてF(m+ρ)≠0F(m+\rho)\ne0であるから、(βm)(\beta_m)と(β0bm)(\beta_0b_m)はともにm∈N≥1m\in\NNについてF(m+ρ)xm+∑k=1m(pk(m−k+ρ)+qk)xm−k=0F(m+\rho)x_m+\sum_{k=1}^m\bigl(p_k(m-k+\rho)+q_k\bigr)x_{m-k}=0を満たし、m=0m=0の項が等しいから、帰納法によりすべてのmmについてβm=β0bm\beta_m=\beta_0b_mである。β0=ψ(a)\beta_0=\psi(a)であるから、D(a,r′)D(a,r')上でψ=ψ(a)φρ\psi=\psi(a)\varphi_\rhoである。r′=rr'=r、W=D∘W=D^\circとすると、後半を得る。▨

定理 4.3 (Fuchs の定理).aaをy′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0の常点または確定特異点とし、(z−a)p(z-a)pと(z−a)2q(z-a)^2qのD(a,r)D(a,r)上の正則な延長P,QP,Qの Taylor 展開P=∑kpk(z−a)kP=\sum_kp_k(z-a)^k、Q=∑kqk(z−a)kQ=\sum_kq_k(z-a)^kと、決定多項式FFの指数ρ1,ρ2\rho_1,\rho_2（ℜρ1≥ℜρ2\Re\rho_1\ge\Re\rho_2）をとる。

このとき、次が成り立つ。

  1. D(a,r)D(a,r)上の正則関数φ1\varphi_1でφ1(a)=1\varphi_1(a)=1を満たすものが存在して、y1(z)=(z−a)ρ1φ1(z)y_1(z)=(z-a)^{\rho_1}\varphi_1(z)はSL(D∘)\mathcal S_L(D^\circ)に属する。
  2. ρ1−ρ2∉Z\rho_1-\rho_2\notin\Zならば、D(a,r)D(a,r)上の正則関数φ2\varphi_2でφ2(a)=1\varphi_2(a)=1を満たすものが存在して、y2(z)=(z−a)ρ2φ2(z)y_2(z)=(z-a)^{\rho_2}\varphi_2(z)はSL(D∘)\mathcal S_L(D^\circ)に属する。
  3. N=ρ1−ρ2∈ZN=\rho_1-\rho_2\in\ZならばN≥0N\ge0であり、c∈Cc\in\CとD(a,r)D(a,r)上の正則関数φ2\varphi_2が存在して、y2(z)=c y1(z)Log⁡(z−a)+(z−a)ρ2φ2(z)y_2(z)=c\,y_1(z)\operatorname{Log}(z-a)+(z-a)^{\rho_2}\varphi_2(z)はSL(D∘)\mathcal S_L(D^\circ)に属する。ここでN=0N=0ならばc=1c=1かつφ2(a)=0\varphi_2(a)=0であり、N≥1N\ge1ならばφ2(a)=1\varphi_2(a)=1である。N≥1N\ge1のとき、b0=1b_0=1と、1≤m≤N−11\le m\le N-1についてのF(m+ρ2)bm+∑k=1m(pk(m−k+ρ2)+qk)bm−k=0F(m+\rho_2)b_m+\sum_{k=1}^m(p_k(m-k+\rho_2)+q_k)b_{m-k}=0によりb1,…,bN−1b_1,\dots,b_{N-1}が定まり、DN=∑k=1N(pk(N−k+ρ2)+qk)bN−kD_N=\sum_{k=1}^N(p_k(N-k+\rho_2)+q_k)b_{N-k}とおくと、c=−DN/Nc=-D_N/Nである。とくに、c=0c=0であることとDN=0D_N=0であることは同値である。

証明.z∈D∘z\in D^\circについてw=z−aw=z-aと書き、L\mathcal Lを補題 4.1のとおりとする。D∘D^\circ上でLy=w2Ly\mathcal Ly=w^2Lyである。F(ρ)=(ρ−ρ1)(ρ−ρ2)F(\rho)=(\rho-\rho_1)(\rho-\rho_2)であるから、F(m+ρ1)=m(m+ρ1−ρ2)F(m+\rho_1)=m(m+\rho_1-\rho_2)、F(m+ρ2)=m(m−(ρ1−ρ2))F(m+\rho_2)=m(m-(\rho_1-\rho_2))である。

主張 (1)を示す。ℜρ1≥ℜρ2\Re\rho_1\ge\Re\rho_2により、m∈N≥1m\in\NNについてℜ(m+ρ1−ρ2)≥m>0\Re(m+\rho_1-\rho_2)\ge m>0であるからF(m+ρ1)≠0F(m+\rho_1)\ne0である。命題 4.2 (1)をρ=ρ1\rho=\rho_1に適用し、φ1=φρ1\varphi_1=\varphi_{\rho_1}とすればよい。

主張 (2)を示す。ρ1−ρ2∉Z\rho_1-\rho_2\notin\Zならば、m∈N≥1m\in\NNについてF(m+ρ2)≠0F(m+\rho_2)\ne0である。命題 4.2 (1)をρ=ρ2\rho=\rho_2に適用し、φ2=φρ2\varphi_2=\varphi_{\rho_2}とすればよい。

主張 (3)を示す。ρ1−ρ2=N∈Z\rho_1-\rho_2=N\in\Zならば、N=ℜρ1−ℜρ2≥0N=\Re\rho_1-\Re\rho_2\ge0である。g(z)=(2ρ1−1+P)φ1+2wφ1′g(z)=(2\rho_1-1+P)\varphi_1+2w\varphi_1'とおくと、ggはD(a,r)D(a,r)上で正則である。φ1=∑nanwn\varphi_1=\sum_na_nw^nとすると、g=∑ngnwng=\sum_ng_nw^n、gn=F′(n+ρ1)an+∑k=1npkan−kg_n=F'(n+\rho_1)a_n+\sum_{k=1}^np_ka_{n-k}である。ここでF′(ρ)=2ρ−1+p0F'(\rho)=2\rho-1+p_0であり、F′(ρ1)=ρ1−ρ2=NF'(\rho_1)=\rho_1-\rho_2=Nである。y1Log⁡wy_1\operatorname{Log}wの導関数を計算すると(y1Log⁡w)′=y1′Log⁡w+y1/w(y_1\operatorname{Log}w)'=y_1'\operatorname{Log}w+y_1/w、(y1Log⁡w)′′=y1′′Log⁡w+2y1′/w−y1/w2(y_1\operatorname{Log}w)''=y_1''\operatorname{Log}w+2y_1'/w-y_1/w^2であるから、

L(y1Log⁡w)=Log⁡w⋅Ly1+2wy1′−y1+Py1=wρ1g\mathcal L(y_1\operatorname{Log}w)=\operatorname{Log}w\cdot\mathcal Ly_1+2wy_1'-y_1+Py_1=w^{\rho_1}g

である。wρ1=wρ2wNw^{\rho_1}=w^{\rho_2}w^Nであるから、φ2=∑mbmwm\varphi_2=\sum_mb_mw^mに対してy2=cy1Log⁡w+wρ2φ2y_2=cy_1\operatorname{Log}w+w^{\rho_2}\varphi_2とおくと、補題 4.1により

Ly2=wρ2∑m≥0(cm(ρ2;b)+c gm−N)wm\mathcal Ly_2=w^{\rho_2}\sum_{m\ge0}\bigl(c_m(\rho_2;b)+c\,g_{m-N}\bigr)w^m

である（gj=0g_j=0、j<0j<0）。したがって、すべてのm≥0m\ge0についてcm(ρ2;b)+c gm−N=0c_m(\rho_2;b)+c\,g_{m-N}=0となるようにccと(bm)(b_m)を選べばよい。

N=0N=0の場合、c=1c=1、b0=0b_0=0とする。F(ρ2)=0F(\rho_2)=0とg0=F′(ρ1)a0=0g_0=F'(\rho_1)a_0=0によりm=0m=0の等式は成り立つ。m≥1m\ge1についてF(m+ρ2)=m2≠0F(m+\rho_2)=m^2\ne0であるから、bm=−m−2(∑k=1m(pk(m−k+ρ2)+qk)bm−k+gm)b_m=-m^{-2}\bigl(\sum_{k=1}^m(p_k(m-k+\rho_2)+q_k)b_{m-k}+g_m\bigr)でbmb_mが定まる。

N≥1N\ge1の場合、b0=1b_0=1とし、1≤m≤N−11\le m\le N-1についてF(m+ρ2)=m(m−N)≠0F(m+\rho_2)=m(m-N)\ne0によりbmb_mが定まる。m<Nm<Nのときgm−N=0g_{m-N}=0であるから、これらの等式は成り立つ。m=Nm=Nのとき、F(N+ρ2)=F(ρ1)=0F(N+\rho_2)=F(\rho_1)=0であり、等式はDN+c g0=0D_N+c\,g_0=0となる。g0=F′(ρ1)a0=N≠0g_0=F'(\rho_1)a_0=N\ne0であるからc=−DN/Nc=-D_N/Nとし、bN=0b_N=0とする。m>Nm>NについてF(m+ρ2)=m(m−N)≠0F(m+\rho_2)=m(m-N)\ne0であるから、bm=−F(m+ρ2)−1(∑k=1m(pk(m−k+ρ2)+qk)bm−k+c gm−N)b_m=-F(m+\rho_2)^{-1}\bigl(\sum_{k=1}^m(p_k(m-k+\rho_2)+q_k)b_{m-k}+c\,g_{m-N}\bigr)でbmb_mが定まる。

いずれの場合も、m0m_0以降のmmについてF(m+ρ2)bm+∑k=1m(pk(m−k+ρ2)+qk)bm−k=hmF(m+\rho_2)b_m+\sum_{k=1}^m(p_k(m-k+\rho_2)+q_k)b_{m-k}=h_m、hm=−c gm−Nh_m=-c\,g_{m-N}が成り立ち、∑mhmwm=−c wNg\sum_mh_mw^m=-c\,w^Ngの収束半径はrr以上であるから、補題 3.2によりφ2\varphi_2の収束半径はrr以上である。したがってLy2=0\mathcal Ly_2=0であり、y2∈SL(D∘)y_2\in\mathcal S_L(D^\circ)である。N≥1N\ge1ではb0=1b_0=1であり、c=−DN/Nc=-D_N/Nによりc=0c=0とDN=0D_N=0は同値である。▨

系 4.4.定理 4.3の仮定と記号の下で、N=ρ1−ρ2N=\rho_1-\rho_2が正の整数であるとし、ccを定理 4.3 (3)のとおりとする。このとき、c=0c=0であることは、β0=1\beta_0=1と、すべてのm∈N≥1m\in\NNについての

F(m+ρ2)βm+∑k=1m(pk(m−k+ρ2)+qk)βm−k=0F(m+\rho_2)\beta_m+\sum_{k=1}^m\bigl(p_k(m-k+\rho_2)+q_k\bigr)\beta_{m-k}=0

を満たす複素数列(βm)m≥0(\beta_m)_{m\ge0}、すなわち指数ρ2\rho_2の形式的な Frobenius 級数の解の係数列が存在するための必要十分条件である。さらに、そのような(βm)(\beta_m)について、∑mβm(z−a)m\sum_m\beta_m(z-a)^mの収束半径はrr以上であり、その和をψ\psiとすると(z−a)ρ2ψ∈SL(D∘)(z-a)^{\rho_2}\psi\in\mathcal S_L(D^\circ)である。

証明.1≤m≤N−11\le m\le N-1についてF(m+ρ2)=m(m−N)≠0F(m+\rho_2)=m(m-N)\ne0であるから、条件を満たす(βm)(\beta_m)についてβ1,…,βN−1\beta_1,\dots,\beta_{N-1}は定理 4.3 (3)のb1,…,bN−1b_1,\dots,b_{N-1}に等しい。F(N+ρ2)=F(ρ1)=0F(N+\rho_2)=F(\rho_1)=0であるから、m=Nm=Nの等式はDN=0D_N=0である。したがって、条件を満たす(βm)(\beta_m)が存在すればDN=0D_N=0である。逆にDN=0D_N=0ならば、βm=bm\beta_m=b_m（m<Nm<N）、βN=0\beta_N=0とし、m>Nm>NについてF(m+ρ2)=m(m−N)≠0F(m+\rho_2)=m(m-N)\ne0によりβm\beta_mを帰納的に定めると、条件を満たす。定理 4.3 (3)によりc=0c=0とDN=0D_N=0は同値である。

(βm)(\beta_m)が条件を満たすとする。補題 3.2をhm=0h_m=0、m0=1m_0=1として適用すると、∑mβm(z−a)m\sum_m\beta_m(z-a)^mの収束半径はrr以上である。F(ρ2)=0F(\rho_2)=0によりc0(ρ2;β)=0c_0(\rho_2;\beta)=0であり、m∈N≥1m\in\NNについてcm(ρ2;β)=0c_m(\rho_2;\beta)=0であるから、補題 4.1をr′=rr'=rとして適用すると、D∘D^\circ上で(z−a)2L((z−a)ρ2ψ)=0(z-a)^2L\bigl((z-a)^{\rho_2}\psi\bigr)=0である。したがって(z−a)ρ2ψ∈SL(D∘)(z-a)^{\rho_2}\psi\in\mathcal S_L(D^\circ)である。▨

注意 4.5.定理 4.3のN≥1N\ge1の場合のDND_Nは、§E13.34 命題 3.3で第NN段の整合条件として現れる既知項の和に、a0=1a_0=1とすると一致する。b1,…,bN−1b_1,\dots,b_{N-1}とa1,…,aN−1a_1,\dots,a_{N-1}が同じ漸化式で定まるからである。したがって、N≥1N\ge1のとき、c=0c=0であることは§E13.34 命題 3.3 (2)の整合条件が成り立つための必要十分条件であり、系 4.4の係数列の存在はこの整合条件と同じ条件である。指数の差NNが正の整数であっても、対数項が現れるとは限らない（命題 8.4 (3)）。

例 4.6.D∗=D(0,r)∖{0}D^*=D(0,r)\setminus\{0\}（r>0r>0）上の方程式y′′+1zy′+(1−1z2)y=0y''+\dfrac1zy'+\Bigl(1-\dfrac1{z^2}\Bigr)y=0、すなわちz2y′′+zy′+(z2−1)y=0z^2y''+zy'+(z^2-1)y=0を考える。

このとき、00は確定特異点であり、指数はρ1=1\rho_1=1、ρ2=−1\rho_2=-1（N=2N=2）であって、D2=1D_2=1、c=−12c=-\tfrac12である。とくに、定理 4.3の第二の解y2y_2は対数項をもち、指数−1-1の形式的な Frobenius 級数の解は存在しない。

証明.(z−0)p=1(z-0)p=1、z2q=z2−1z^2q=z^2-1は整関数であり、ppは00に正則に延びないから、00は確定特異点である。p0=1p_0=1、pk=0p_k=0（k≥1k\ge1）、q0=−1q_0=-1、q1=0q_1=0、q2=1q_2=1、qk=0q_k=0（k≥3k\ge3）であるから、F(ρ)=ρ2−1F(\rho)=\rho^2-1であり、ρ1=1\rho_1=1、ρ2=−1\rho_2=-1、N=2N=2である。b0=1b_0=1であり、m=1m=1についてF(0)b1+(p1(0+ρ2)+q1)b0=−b1=0F(0)b_1+\bigl(p_1(0+\rho_2)+q_1\bigr)b_0=-b_1=0によりb1=0b_1=0である。したがってD2=(p1(1+ρ2)+q1)b1+(p2ρ2+q2)b0=1D_2=\bigl(p_1(1+\rho_2)+q_1\bigr)b_1+\bigl(p_2\rho_2+q_2\bigr)b_0=1であり、c=−D2/2=−12≠0c=-D_2/2=-\tfrac12\ne0である。系 4.4により、指数−1-1の形式的な Frobenius 級数の解は存在しない。x>0x>0に制限したこの方程式は次数11の Bessel 方程式であり、指数−1-1の形式解が存在しないことは§E13.36 注意 5.1のN=2N=2の場合に当たる。対数項をもつ第二の解の実例は§E13.36 命題 5.5 (3)のY1Y_1である。▨

5 局所モノドロミーと解の緩増加

命題 5.1.定理 4.3の仮定と記号の下で、y1,y2y_1,y_2を同定理の解とし、0<ε<r0<\varepsilon<r、b=bεb=b_\varepsilon、γ=γε\gamma=\gamma_\varepsilonとする。

このとき、[y1]b,[y2]b[y_1]_b,[y_2]_bはSL,b\mathcal S_{L,b}の基底であり、この基底に関するTγLT^L_\gammaの行列は次で与えられる。

  1. ρ1−ρ2∉Z\rho_1-\rho_2\notin\Zならばdiag⁡(e2πiρ1,e2πiρ2)\operatorname{diag}(e^{2\pi i\rho_1},e^{2\pi i\rho_2})である。
  2. ρ1−ρ2∈Z\rho_1-\rho_2\in\Zならばe2πiρ1(12πic01)e^{2\pi i\rho_1}\begin{pmatrix}1&2\pi ic\\0&1\end{pmatrix}である。とくに、この場合のTγLT^L_\gammaはc=0c=0のとき対角化可能であり、c≠0c\ne0のとき対角化可能でない。

証明.μj=e2πiρj\mu_j=e^{2\pi i\rho_j}とおく。y^1(w)=eρ1wφ1(E(w))\hat y_1(w)=e^{\rho_1w}\varphi_1(E(w))（w∈Πw\in\Pi）とおくと、ℓ0(z)=Log⁡(z−a)\ell_0(z)=\operatorname{Log}(z-a)とE(ℓ0(z))=zE(\ell_0(z))=zによりy^1∘ℓ0=y1∈SL(D∘)\hat y_1\circ\ell_0=y_1\in\mathcal S_L(D^\circ)であるから、補題 3.3 (3)によりy^1∈S^L\hat y_1\in\hat{\mathcal S}_Lである。E(w+2πi)=E(w)E(w+2\pi i)=E(w)によりτy^1=μ1y^1\tau\hat y_1=\mu_1\hat y_1であり、補題 3.3 (4)によりTγL[y1]b=μ1[y1]bT^L_\gamma[y_1]_b=\mu_1[y_1]_bである。

主張 (1)を示す。y^2(w)=eρ2wφ2(E(w))\hat y_2(w)=e^{\rho_2w}\varphi_2(E(w))について、同様にy^2∈S^L\hat y_2\in\hat{\mathcal S}_LかつTγL[y2]b=μ2[y2]bT^L_\gamma[y_2]_b=\mu_2[y_2]_bである。ρ1−ρ2∉Z\rho_1-\rho_2\notin\Zであるから、§E5.3 命題 1.7 (2)によりμ1≠μ2\mu_1\ne\mu_2である。yj(a+s)=sρjφj(a+s)y_j(a+s)=s^{\rho_j}\varphi_j(a+s)（s>0s>0は小さい）は零でないから、yjy_jはD∘D^\circ上で恒等的には零でなく、§E5.8 定理 3.1により[yj]b≠0[y_j]_b\ne0である。κ1[y1]b+κ2[y2]b=0\kappa_1[y_1]_b+\kappa_2[y_2]_b=0とすると、TγLT^L_\gammaを施してμ1κ1[y1]b+μ2κ2[y2]b=0\mu_1\kappa_1[y_1]_b+\mu_2\kappa_2[y_2]_b=0であり、μ2\mu_2倍した前の式を引くと(μ1−μ2)κ1[y1]b=0(\mu_1-\mu_2)\kappa_1[y_1]_b=0であるからκ1=0\kappa_1=0であり、κ2=0\kappa_2=0である。dim⁡CSL,b=2\dim_\C\mathcal S_{L,b}=2（§E13.37 命題 4.1 (2)）であるから[y1]b,[y2]b[y_1]_b,[y_2]_bは基底であり、行列は対角行列である。

主張 (2)を示す。y^2(w)=c w eρ1wφ1(E(w))+eρ2wφ2(E(w))\hat y_2(w)=c\,w\,e^{\rho_1w}\varphi_1(E(w))+e^{\rho_2w}\varphi_2(E(w))とおくとy^2∘ℓ0=y2\hat y_2\circ\ell_0=y_2であり、補題 3.3 (3)によりy^2∈S^L\hat y_2\in\hat{\mathcal S}_Lである。ρ1−ρ2∈Z\rho_1-\rho_2\in\Zによりμ1=μ2=μ\mu_1=\mu_2=\muであり、

τy^2(w)=c(w+2πi)μeρ1wφ1(E(w))+μeρ2wφ2(E(w))=μ(y^2(w)+2πic y^1(w))\tau\hat y_2(w)=c(w+2\pi i)\mu e^{\rho_1w}\varphi_1(E(w))+\mu e^{\rho_2w}\varphi_2(E(w))=\mu\bigl(\hat y_2(w)+2\pi ic\,\hat y_1(w)\bigr)

であるから、補題 3.3 (4)によりTγL[y1]b=μ[y1]bT^L_\gamma[y_1]_b=\mu[y_1]_b、TγL[y2]b=μ[y2]b+2πicμ[y1]bT^L_\gamma[y_2]_b=\mu[y_2]_b+2\pi ic\mu[y_1]_bである。κ1[y1]b+κ2[y2]b=0\kappa_1[y_1]_b+\kappa_2[y_2]_b=0とする。κ1y1+κ2y2\kappa_1y_1+\kappa_2y_2がbbの近傍で零ならば、§E5.8 定理 3.1によりD∘D^\circ上で零である。z=a+sz=a+s（0<s<r0<s<r）で評価しsρ2s^{\rho_2}で割ると、sρ1−ρ2=sNs^{\rho_1-\rho_2}=s^Nにより

κ1sNφ1(a+s)+κ2(c sNφ1(a+s)ln⁡s+φ2(a+s))=0\kappa_1s^N\varphi_1(a+s)+\kappa_2\bigl(c\,s^N\varphi_1(a+s)\ln s+\varphi_2(a+s)\bigr)=0

である。N≥1N\ge1ならば、s→0+s\to0+でsN→0s^N\to0、sNln⁡s→0s^N\ln s\to0であり、φ2(a)=1\varphi_2(a)=1によりκ2=0\kappa_2=0であり、さらにκ1sNφ1(a+s)=0\kappa_1s^N\varphi_1(a+s)=0からκ1=0\kappa_1=0である。N=0N=0ならばc=1c=1、φ2(a)=0\varphi_2(a)=0であり、等式はφ1(a+s)(κ1+κ2ln⁡s)=−κ2φ2(a+s)\varphi_1(a+s)(\kappa_1+\kappa_2\ln s)=-\kappa_2\varphi_2(a+s)となる。右辺はs→0+s\to0+で00に収束し、φ1(a+s)→1\varphi_1(a+s)\to1であるから、κ1+κ2ln⁡s→0\kappa_1+\kappa_2\ln s\to0であり、∣ln⁡s∣→∞\lvert\ln s\rvert\to\inftyによりκ2=0\kappa_2=0であって、κ1=0\kappa_1=0である。したがって[y1]b,[y2]b[y_1]_b,[y_2]_bは基底であり、行列はμ(12πic01)\mu\begin{pmatrix}1&2\pi ic\\0&1\end{pmatrix}である。この行列はc=0c=0のとき対角行列であり、c≠0c\ne0のときμ\muだけを固有値にもちμI\mu Iでないから、対角化可能でない。▨

定義 5.2.aaをy′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0の孤立特異点とし、θ∈R\theta\in\Rとする。Dθ∘D^\circ_\theta上の正則関数yyがaaで緩増加 (moderate growth) であるとは、C,N≥0C,N\ge0とr1∈(0,r]r_1\in(0,r]が存在して、z∈Dθ∘z\in D^\circ_\thetaかつ∣z−a∣<r1\lvert z-a\rvert<r_1ならば∣y(z)∣≤C∣z−a∣−N\lvert y(z)\rvert\le C\lvert z-a\rvert^{-N}が成り立つことをいう。すべてのθ∈R\theta\in\Rとすべてのy∈SL(Dθ∘)y\in\mathcal S_L(D^\circ_\theta)についてyyがaaで緩増加であるとき、方程式の全解がaaで緩増加であるという。

補題 5.3.aaをy′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0の孤立特異点とし、ρ1,ρ2,c∈C\rho_1,\rho_2,c\in\CとD(a,r)D(a,r)上の正則関数φ1,φ2\varphi_1,\varphi_2をとる。z∈D∘z\in D^\circについてy1(z)=(z−a)ρ1φ1(z)y_1(z)=(z-a)^{\rho_1}\varphi_1(z)、y2(z)=c y1(z)Log⁡(z−a)+(z−a)ρ2φ2(z)y_2(z)=c\,y_1(z)\operatorname{Log}(z-a)+(z-a)^{\rho_2}\varphi_2(z)とおく。y1,y2∈SL(D∘)y_1,y_2\in\mathcal S_L(D^\circ)であり、SL(D∘)\mathcal S_L(D^\circ)のすべての元がy1,y2y_1,y_2の一次結合であるとする。

このとき、方程式の全解はaaで緩増加である。

証明.0<ε<r0<\varepsilon<rを一つ取る。各θ∈R\theta\in\Rについて、Dθ∘D^\circ_\thetaは補題 1.3 (1)により単連結な領域であるから、xθ=a+εeiθx_\theta=a+\varepsilon e^{i\theta}とおくと、§E13.37 系 6.4と§E13.37 命題 4.1 (1)によりy↦(y(xθ),y′(xθ))y\mapsto(y(x_\theta),y'(x_\theta))はSL(Dθ∘)\mathcal S_L(D^\circ_\theta)からC2\C^2への線形同型であり、dim⁡CSL(Dθ∘)=2\dim_\C\mathcal S_L(D^\circ_\theta)=2である。とくにdim⁡CSL(D∘)=2\dim_\C\mathcal S_L(D^\circ)=2であり、y1,y2y_1,y_2はSL(D∘)\mathcal S_L(D^\circ)を張るから一次独立である。y^1(w)=eρ1wφ1(E(w))\hat y_1(w)=e^{\rho_1w}\varphi_1(E(w))、y^2(w)=c w eρ1wφ1(E(w))+eρ2wφ2(E(w))\hat y_2(w)=c\,w\,e^{\rho_1w}\varphi_1(E(w))+e^{\rho_2w}\varphi_2(E(w))（w∈Πw\in\Pi）とおく。ℓ0(z)=Log⁡(z−a)\ell_0(z)=\operatorname{Log}(z-a)とE(ℓ0(z))=zE(\ell_0(z))=zによりy^j∘ℓ0=yj\hat y_j\circ\ell_0=y_jであるから、補題 3.3 (3)によりy^j∈S^L\hat y_j\in\hat{\mathcal S}_Lである。θ∈R\theta\in\Rとする。補題 3.3 (2)によりy^j∘ℓθ∈SL(Dθ∘)\hat y_j\circ\ell_\theta\in\mathcal S_L(D^\circ_\theta)である。κ1y^1∘ℓθ+κ2y^2∘ℓθ=0\kappa_1\hat y_1\circ\ell_\theta+\kappa_2\hat y_2\circ\ell_\theta=0とすると、ℓθ(Dθ∘)=Sθ\ell_\theta(D^\circ_\theta)=S_\theta（補題 1.3 (1)）であるからSθS_\theta上でκ1y^1+κ2y^2=0\kappa_1\hat y_1+\kappa_2\hat y_2=0であり、§E5.8 定理 3.1によりΠ\Pi上で零である。ℓ0\ell_0との合成によりκ1y1+κ2y2=0\kappa_1y_1+\kappa_2y_2=0であり、κ1=κ2=0\kappa_1=\kappa_2=0である。したがってy^1∘ℓθ,y^2∘ℓθ\hat y_1\circ\ell_\theta,\hat y_2\circ\ell_\thetaはSL(Dθ∘)\mathcal S_L(D^\circ_\theta)の基底である。

r1=min⁡{r/2,1}r_1=\min\{r/2,1\}とし、M0=max⁡∣z−a∣≤r/2(∣φ1(z)∣+∣φ2(z)∣)M_0=\max_{\lvert z-a\rvert\le r/2}(\lvert\varphi_1(z)\rvert+\lvert\varphi_2(z)\rvert)とおく。z∈Dθ∘z\in D^\circ_\theta、0<∣z−a∣<r10<\lvert z-a\rvert<r_1についてℓ=ℓθ(z)\ell=\ell_\theta(z)とおくと、ℜℓ=ln⁡∣z−a∣\Re\ell=\ln\lvert z-a\rvert、∣ℑℓ−θ∣<π\lvert\Im\ell-\theta\rvert<\piであり、ρ∈C\rho\in\Cについて∣eρℓ∣=∣z−a∣ℜρe−ℑρ ℑℓ≤∣z−a∣ℜρe∣ℑρ∣(∣θ∣+π)\lvert e^{\rho\ell}\rvert=\lvert z-a\rvert^{\Re\rho}e^{-\Im\rho\,\Im\ell}\le\lvert z-a\rvert^{\Re\rho}e^{\lvert\Im\rho\rvert(\lvert\theta\rvert+\pi)}である。N1≥max⁡{0,−ℜρ1,−ℜρ2}N_1\ge\max\{0,-\Re\rho_1,-\Re\rho_2\}を取ると、∣z−a∣<1\lvert z-a\rvert<1で∣z−a∣ℜρj≤∣z−a∣−N1\lvert z-a\rvert^{\Re\rho_j}\le\lvert z-a\rvert^{-N_1}であり、∣ℓ∣≤∣ln⁡∣z−a∣∣+∣θ∣+π≤(1+∣θ∣+π)∣z−a∣−1\lvert\ell\rvert\le\lvert\ln\lvert z-a\rvert\rvert+\lvert\theta\rvert+\pi\le(1+\lvert\theta\rvert+\pi)\lvert z-a\rvert^{-1}である。y^1(ℓ)=eρ1ℓφ1(z)\hat y_1(\ell)=e^{\rho_1\ell}\varphi_1(z)、y^2(ℓ)=c ℓ eρ1ℓφ1(z)+eρ2ℓφ2(z)\hat y_2(\ell)=c\,\ell\,e^{\rho_1\ell}\varphi_1(z)+e^{\rho_2\ell}\varphi_2(z)であるから、C′=M0(1+∣c∣(1+∣θ∣+π))e(∣ℑρ1∣+∣ℑρ2∣)(∣θ∣+π)C'=M_0\bigl(1+\lvert c\rvert(1+\lvert\theta\rvert+\pi)\bigr)e^{(\lvert\Im\rho_1\rvert+\lvert\Im\rho_2\rvert)(\lvert\theta\rvert+\pi)}、N′=N1+1N'=N_1+1とおくと、∣y^j(ℓθ(z))∣≤C′∣z−a∣−N′\lvert\hat y_j(\ell_\theta(z))\rvert\le C'\lvert z-a\rvert^{-N'}（j=1,2j=1,2）である。SL(Dθ∘)\mathcal S_L(D^\circ_\theta)の任意の元はこの二つの一次結合であるから、aaで緩増加である。▨

命題 5.4.aaをy′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0の常点または確定特異点とする。このとき、方程式の全解はaaで緩増加である。

証明.y1,y2y_1,y_2を定理 4.3の解とし（ρ1−ρ2∉Z\rho_1-\rho_2\notin\Zのときはc=0c=0とする）、0<ε<r0<\varepsilon<r、b=bεb=b_\varepsilonとする。命題 5.1により[y1]b,[y2]b[y_1]_b,[y_2]_bはSL,b\mathcal S_{L,b}の基底である。y∈SL(D∘)y\in\mathcal S_L(D^\circ)とすると、[y]b=κ1[y1]b+κ2[y2]b[y]_b=\kappa_1[y_1]_b+\kappa_2[y_2]_bを満たすκ1,κ2∈C\kappa_1,\kappa_2\in\Cが存在し、y−κ1y1−κ2y2y-\kappa_1y_1-\kappa_2y_2はbbのある近傍で零であるから、§E5.8 定理 3.1によりD∘D^\circ上で零である。したがってy1,y2y_1,y_2は補題 5.3の仮定を満たし、方程式の全解はaaで緩増加である。▨

補題 5.5.a∈Ca\in\C、r>0r>0とし、Π,E\Pi,Eを補題 1.3のとおりとする。g^:Π→C\hat g:\Pi\to\Cを恒等的には零でない正則関数とし、μ∈C∖{0}\mu\in\C\setminus\{0\}について、すべてのw∈Πw\in\Piでg^(w+2πi)=μg^(w)\hat g(w+2\pi i)=\mu\hat g(w)が成り立つとする。θ0∈R\theta_0\in\R、x0<log⁡rx_0<\log r、C,K≥0C,K\ge0が存在して、ℜw<x0\Re w<x_0かつθ0≤ℑw≤θ0+2π\theta_0\le\Im w\le\theta_0+2\piを満たすすべてのwwについて∣g^(w)∣≤Ce−Kℜw\lvert\hat g(w)\rvert\le Ce^{-K\Re w}であるとする。このとき、ν∈C\nu\in\Cと、g(a)≠0g(a)\ne0を満たすD(a,r)D(a,r)上の正則関数ggが存在して、すべてのw∈Πw\in\Piについてg^(w)=eνwg(E(w))\hat g(w)=e^{\nu w}g(E(w))が成り立つ。

証明.λ=Log⁡μ/(2πi)\lambda=\operatorname{Log}\mu/(2\pi i)とおくとe2πiλ=μe^{2\pi i\lambda}=\muである。f^(w)=e−λwg^(w)\hat f(w)=e^{-\lambda w}\hat g(w)とおくと、f^\hat fはΠ\Pi上で正則であり、f^(w+2πi)=e−λwμ−1μg^(w)=f^(w)\hat f(w+2\pi i)=e^{-\lambda w}\mu^{-1}\mu\hat g(w)=\hat f(w)を満たす。補題 1.3 (6)により、f^=f∘E\hat f=f\circ Eを満たす正則関数f:D∗→Cf:D^*\to\Cが存在する。x1=min⁡{x0,0}x_1=\min\{x_0,0\}とおく。ℜw<x1\Re w<x_1かつθ0≤ℑw≤θ0+2π\theta_0\le\Im w\le\theta_0+2\piならば

∣e−λw∣=e−ℜλℜw+ℑλℑw≤e∣ℑλ∣(∣θ0∣+2π)e−∣ℜλ∣ℜw\lvert e^{-\lambda w}\rvert=e^{-\Re\lambda\Re w+\Im\lambda\Im w}\le e^{\lvert\Im\lambda\rvert(\lvert\theta_0\rvert+2\pi)}e^{-\lvert\Re\lambda\rvert\Re w}

であるから、C1=Ce∣ℑλ∣(∣θ0∣+2π)C_1=Ce^{\lvert\Im\lambda\rvert(\lvert\theta_0\rvert+2\pi)}、K1=K+∣ℜλ∣K_1=K+\lvert\Re\lambda\rvertについて∣f^(w)∣≤C1e−K1ℜw\lvert\hat f(w)\rvert\le C_1e^{-K_1\Re w}である。f^\hat fは周期2πi2\pi iをもつから、この評価はℜw<x1\Re w<x_1を満たすすべてのw∈Πw\in\Piについて成り立つ。0<∣z−a∣<ex10<\lvert z-a\rvert<e^{x_1}ならばz=E(w)z=E(w)、ℜw=ln⁡∣z−a∣\Re w=\ln\lvert z-a\rvertを満たすwwが存在するから、∣f(z)∣≤C1∣z−a∣−K1\lvert f(z)\rvert\le C_1\lvert z-a\rvert^{-K_1}である。整数m≥K1+1m\ge K_1+1をとると、0<∣z−a∣<ex10<\lvert z-a\rvert<e^{x_1}で∣(z−a)mf(z)∣≤C1\lvert(z-a)^mf(z)\rvert\le C_1であるから、§E5.11 命題 3.2により(z−a)mf(z-a)^mfはD(a,r)D(a,r)上の正則関数FFに延びる。g^\hat gは恒等的には零でないからFFも恒等的には零でなく、§E5.8 命題 1.2により、整数k0≥0k_0\ge0とD(a,r)D(a,r)上の正則関数ggで、g(a)≠0g(a)\ne0かつF=(z−a)k0gF=(z-a)^{k_0}gを満たすものが存在する。ν=λ+k0−m\nu=\lambda+k_0-mとおく。w∈Πw\in\PiについてE(w)−a=ewE(w)-a=e^wであるから、g^(w)=eλwf(E(w))=eλwe(k0−m)wg(E(w))=eνwg(E(w))\hat g(w)=e^{\lambda w}f(E(w))=e^{\lambda w}e^{(k_0-m)w}g(E(w))=e^{\nu w}g(E(w))である。▨

定理 5.6.aaをy′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0の孤立特異点とし、全解がaaで緩増加であるとする。

このとき、(z−a)p(z-a)pと(z−a)2q(z-a)^2qはD(a,r)D(a,r)上の正則関数に延びる。すなわち、aaは常点または確定特異点である。

証明.A=A^LA=\hat A_Lとし、aaを線形系Y′=A(z)YY'=A(z)Yの孤立特異点として定理 1.4をε∈(0,r)\varepsilon\in(0,r)について適用する。Φ^,Φ,M\hat\Phi,\Phi,Mをその記号とし、Φ^\hat\Phiの第kk列をΦ^k\hat\Phi_k、C2\C^2の標準基底をe1,e2e_1,e_2とする。定理 1.4 (1)によりMMは可逆である。補題 1.3 (2)によりτΦ^k∈S^\tau\hat\Phi_k\in\hat{\mathcal S}であり、τΦ^k\tau\hat\Phi_kとΦ^Mek\hat\Phi Me_kはともにS^\hat{\mathcal S}に属してw=log⁡εw=\log\varepsilonで同じ値MekMe_kをとるから、補題 1.3 (3)によりτΦ^=Φ^M\tau\hat\Phi=\hat\Phi Mである。

第kk列Φ^k∈S^\hat\Phi_k\in\hat{\mathcal S}とθ∈{0,π}\theta\in\{0,\pi\}について、Φ^k∘ℓθ∈SA(Dθ∘)\hat\Phi_k\circ\ell_\theta\in\mathcal S_A(D^\circ_\theta)であり（補題 1.3 (2)）、その第一成分ykθy^\theta_kはSL(Dθ∘)\mathcal S_L(D^\circ_\theta)に属し、Φ^k∘ℓθ=(ykθ,(ykθ)′)T\hat\Phi_k\circ\ell_\theta=(y^\theta_k,(y^\theta_k)')^{\mathsf T}である（§E13.37 命題 4.1 (1)）。仮定により、k∈{1,2}k\in\{1,2\}、θ∈{0,π}\theta\in\{0,\pi\}に共通のC,N≥0C,N\ge0、r1∈(0,r]r_1\in(0,r]が存在して、z∈Dθ∘z\in D^\circ_\theta、∣z−a∣<r1\lvert z-a\rvert<r_1ならば∣ykθ(z)∣≤C∣z−a∣−N\lvert y^\theta_k(z)\rvert\le C\lvert z-a\rvert^{-N}である。z∈Dθ∘z\in D^\circ_\thetaが∣z−a∣<2r1/3\lvert z-a\rvert<2r_1/3と∣ℑℓθ(z)−θ∣≤2π/3\lvert\Im\ell_\theta(z)-\theta\rvert\le2\pi/3を満たすとき、D‾(z,∣z−a∣/2)\overline D(z,\lvert z-a\rvert/2)の点ζ\zetaについて∣ζ−a∣∈[∣z−a∣/2, 3∣z−a∣/2]\lvert\zeta-a\rvert\in[\lvert z-a\rvert/2,\,3\lvert z-a\rvert/2]であり、ζ−a=(z−a)(1+h)\zeta-a=(z-a)(1+h)、∣h∣≤1/2\lvert h\rvert\le1/2の偏角のずれはπ/6\pi/6以下であるから、ζ∈Dθ∘\zeta\in D^\circ_\thetaかつ∣ζ−a∣<r1\lvert\zeta-a\rvert<r_1である。§E5.6 系 4.2により

∣(ykθ)′(z)∣≤2∣z−a∣ C(∣z−a∣2)−N=2N+1C∣z−a∣−N−1\lvert(y^\theta_k)'(z)\rvert\le\frac2{\lvert z-a\rvert}\,C\Bigl(\frac{\lvert z-a\rvert}2\Bigr)^{-N}=2^{N+1}C\lvert z-a\rvert^{-N-1}

である。w∈Sθw\in S_\thetaがℜw<ln⁡(2r1/3)\Re w<\ln(2r_1/3)と∣ℑw−θ∣≤2π/3\lvert\Im w-\theta\rvert\le2\pi/3を満たすとき、z=E(w)z=E(w)とおくとℓθ(z)=w\ell_\theta(z)=w、∣z−a∣=eℜw\lvert z-a\rvert=e^{\Re w}であり、Φ^k(w)=(ykθ(z),(ykθ)′(z))T\hat\Phi_k(w)=\bigl(y^\theta_k(z),(y^\theta_k)'(z)\bigr)^{\mathsf T}である。ℑw\Im wの範囲[−2π/3,2π/3][-2\pi/3,2\pi/3]（θ=0\theta=0）と[π/3,5π/3][\pi/3,5\pi/3]（θ=π\theta=\pi）の和は区間[−2π/3,4π/3][-2\pi/3,4\pi/3]を含む。したがって、x0=min⁡{0,ln⁡(2r1/3)}x_0=\min\{0,\ln(2r_1/3)\}、C′=2N+1CC'=2^{N+1}Cとおくと、ℜw<x0\Re w<x_0かつ−2π/3≤ℑw≤4π/3-2\pi/3\le\Im w\le4\pi/3を満たすすべてのwwについて、Φ^(w)\hat\Phi(w)の各成分の絶対値はC′e−(N+1)ℜwC'e^{-(N+1)\Re w}以下である。x0<log⁡rx_0<\log rである。

W^=det⁡Φ^\hat W=\det\hat\Phiとおく。τΦ^=Φ^M\tau\hat\Phi=\hat\Phi MによりW^(w+2πi)=(det⁡M)W^(w)\hat W(w+2\pi i)=(\det M)\hat W(w)であり、det⁡M≠0\det M\ne0、W^(log⁡ε)=det⁡I=1\hat W(\log\varepsilon)=\det I=1である。ℜw<x0\Re w<x_0かつ−2π/3≤ℑw≤4π/3-2\pi/3\le\Im w\le4\pi/3ならば∣W^(w)∣≤2C′2e−2(N+1)ℜw\lvert\hat W(w)\rvert\le2C'^2e^{-2(N+1)\Re w}である。補題 5.5により、ν1∈C\nu_1\in\Cと、g1(a)≠0g_1(a)\ne0を満たすD(a,r)D(a,r)上の正則関数g1g_1が存在して、Π\Pi上でW^(w)=eν1wg1(E(w))\hat W(w)=e^{\nu_1w}g_1(E(w))である。W=det⁡Φ=W^∘ℓ0W=\det\Phi=\hat W\circ\ell_0は、D∘D^\circ上でW(z)=(z−a)ν1g1(z)W(z)=(z-a)^{\nu_1}g_1(z)を満たす。§E13.37 命題 4.1 (3)により、WWはΦ\Phiの第一行の成分であるSL(D∘)\mathcal S_L(D^\circ)の元の Wronskian であり、§E13.37 定理 9.1 (3)によりW′=−pWW'=-pWである。0<δ1≤r0<\delta_1\le rをD(a,δ1)D(a,\delta_1)上でg1g_1が零にならないように取ると、D∘∩D(a,δ1)D^\circ\cap D(a,\delta_1)上でW≠0W\ne0であり、

(z−a)p=−(z−a)W′W=−ν1−(z−a)g1′g1(z-a)p=-(z-a)\frac{W'}W=-\nu_1-(z-a)\frac{g_1'}{g_1}

である。右辺はD(a,δ1)D(a,\delta_1)上の正則関数である。D(a,δ1)∖{a}D(a,\delta_1)\setminus\{a\}は補題 1.1により領域であり、(z−a)p(z-a)pと右辺の差はその上で正則であってD∘∩D(a,δ1)D^\circ\cap D(a,\delta_1)上で零であるから、§E5.8 定理 3.1によりD(a,δ1)∖{a}D(a,\delta_1)\setminus\{a\}上で零である。したがって(z−a)p(z-a)pはaaで正則に延び、D∗D^*上で正則であるから、D(a,r)D(a,r)上の正則関数に延びる。

§E5.9 系 4.2により、MMは固有ベクトルv∈C2v\in\C^2をもち、その固有値μ\muはMMの可逆性により零でない。Y^=Φ^v\hat Y=\hat\Phi vとおくと、Y^∈S^\hat Y\in\hat{\mathcal S}、Y^(log⁡ε)=v≠0\hat Y(\log\varepsilon)=v\ne0、τY^=Φ^Mv=μY^\tau\hat Y=\hat\Phi Mv=\mu\hat Yである。Y^\hat Yの第一成分をy^\hat yとすると、補題 3.3 (1)によりy^∈S^L\hat y\in\hat{\mathcal S}_LかつY^=Y^y^\hat Y=\hat Y_{\hat y}であり、Y^≠0\hat Y\ne0であるからy^\hat yは恒等的には零でない。Y^τy^=τY^y^=μY^y^\hat Y_{\tau\hat y}=\tau\hat Y_{\hat y}=\mu\hat Y_{\hat y}の第一成分をとるとτy^=μy^\tau\hat y=\mu\hat yである。ℜw<x0\Re w<x_0かつ−2π/3≤ℑw≤4π/3-2\pi/3\le\Im w\le4\pi/3ならば∣y^(w)∣≤C′(∣v1∣+∣v2∣)e−(N+1)ℜw\lvert\hat y(w)\rvert\le C'(\lvert v_1\rvert+\lvert v_2\rvert)e^{-(N+1)\Re w}である。補題 5.5により、ν∈C\nu\in\Cと、g(a)≠0g(a)\ne0を満たすD(a,r)D(a,r)上の正則関数ggが存在して、Π\Pi上でy^(w)=eνwg(E(w))\hat y(w)=e^{\nu w}g(E(w))である。u=y^∘ℓ0u=\hat y\circ\ell_0とおくと、uuはY^∘ℓ0∈SA(D∘)\hat Y\circ\ell_0\in\mathcal S_A(D^\circ)（補題 1.3 (2)）の第一成分であるから、§E13.37 命題 4.1 (1)によりu∈SL(D∘)u\in\mathcal S_L(D^\circ)であり、D∘D^\circ上でu(z)=(z−a)νg(z)u(z)=(z-a)^\nu g(z)である。0<δ2≤r0<\delta_2\le rをD(a,δ2)D(a,\delta_2)上でggが零にならないように取ると、D∘∩D(a,δ2)D^\circ\cap D(a,\delta_2)上でu≠0u\ne0であり、s(z)=(z−a)u′(z)/u(z)=ν+(z−a)g′(z)/g(z)s(z)=(z-a)u'(z)/u(z)=\nu+(z-a)g'(z)/g(z)はD(a,δ2)D(a,\delta_2)上の正則関数である。u′′/u=(u′/u)′+(u′/u)2u''/u=(u'/u)'+(u'/u)^2とLu=0Lu=0から

(z−a)2q=−(z−a)2(u′/u)′−s2−(z−a)p s(z-a)^2q=-(z-a)^2(u'/u)'-s^2-(z-a)p\,s

がD∘∩D(a,δ2)D^\circ\cap D(a,\delta_2)上で成り立つ。(z−a)2(u′/u)′=−ν+(z−a)2(g′/g)′(z-a)^2(u'/u)'=-\nu+(z-a)^2(g'/g)'はD(a,δ2)D(a,\delta_2)上の正則関数であり、(z−a)p(z-a)pは上で示したようにD(a,r)D(a,r)上の正則関数に延びるから、右辺はD(a,δ2)D(a,\delta_2)上の正則関数Q~\tilde Qに延びる。(z−a)2q−Q~(z-a)^2q-\tilde Qは領域D(a,δ2)∖{a}D(a,\delta_2)\setminus\{a\}上で正則であってD∘∩D(a,δ2)D^\circ\cap D(a,\delta_2)上で零であるから、§E5.8 定理 3.1によりその上で零であり、(z−a)2q(z-a)^2qはaaで正則に延びる。(z−a)2q(z-a)^2qはD∗D^*上で正則であるから、D(a,r)D(a,r)上の正則関数に延びる。▨

6 不確定特異点

定義 6.1.aaをy′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0の孤立特異点とする。aaが常点でも確定特異点でもないとき、aaを不確定特異点 (irregular singular point) という。

系 6.2.aaをy′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0の孤立特異点とする。このとき、aaが不確定特異点であることは、aaで緩増加でないy∈SL(Dθ∘)y\in\mathcal S_L(D^\circ_\theta)をもつθ∈R\theta\in\Rが存在するための必要十分条件である。

証明.命題 5.4と定理 5.6により、aaが常点または確定特異点であることは、方程式の全解がaaで緩増加であることと同値である。定義 5.2により、後者の否定は、aaで緩増加でないy∈SL(Dθ∘)y\in\mathcal S_L(D^\circ_\theta)をもつθ∈R\theta\in\Rが存在することである。▨

例 6.3.r>0r>0とし、D∗=D(0,r)∖{0}D^*=D(0,r)\setminus\{0\}上の方程式u′′+2ζu′−1ζ4u=0u''+\dfrac2\zeta u'-\dfrac1{\zeta^4}u=0を考える。

このとき、次が成り立つ。

  1. 00は不確定特異点である。
  2. u±(ζ)=e±1/ζu_\pm(\zeta)=e^{\pm1/\zeta}はD∗D^*上の解であり、u+u_+のD∘D^\circへの制限は00で緩増加でない。

証明.主張 (1)を示す。p(ζ)=2/ζp(\zeta)=2/\zeta、q(ζ)=−ζ−4q(\zeta)=-\zeta^{-4}であるから、ζp\zeta pは定数22であり正則であるが、ζ2q=−ζ−2\zeta^2q=-\zeta^{-2}は00に正則に延びない。ppが00に正則に延びないから00は常点でもない。したがって00は不確定特異点である。

主張 (2)を示す。u±′=∓ζ−2u±u_\pm'=\mp\zeta^{-2}u_\pm、u±′′=(±2ζ−3+ζ−4)u±u_\pm''=(\pm2\zeta^{-3}+\zeta^{-4})u_\pmであるから、u±′′+2ζu±′−ζ−4u±=0u_\pm''+\frac2\zeta u_\pm'-\zeta^{-4}u_\pm=0である。任意の実数N≥0N\ge0に対して整数m>Nm>Nを選ぶ。s∈(0,r)s\in(0,r)についてu+(s)sN=e1/ssN≥sN−mm!u_+(s)s^N=e^{1/s}s^N\ge\dfrac{s^{N-m}}{m!}であり、N−m<0N-m<0であるから、s→0+s\to0+のときu+(s)sN→∞u_+(s)s^N\to\inftyである。したがって、どのC,N≥0C,N\ge0とr1∈(0,r]r_1\in(0,r]についても、0<s<r10<s<r_1を満たすssで∣u+(s)∣>Cs−N\lvert u_+(s)\rvert>Cs^{-N}となるものが存在し、u+u_+のD∘D^\circへの制限は00で緩増加でない。▨

7 無限遠点と Fuchs 型方程式

補題 7.1.V⊆C∖{0}V\subseteq\C\setminus\{0\}を開集合、p,qp,qをVV上の正則関数とし、V−1={1/z:z∈V}V^{-1}=\{1/z:z\in V\}とおく。ζ∈V−1\zeta\in V^{-1}について

p~(ζ)=2ζ−1ζ2p(1ζ),q~(ζ)=1ζ4q(1ζ)\tilde p(\zeta)=\frac2\zeta-\frac1{\zeta^2}p\Bigl(\frac1\zeta\Bigr),\qquad\tilde q(\zeta)=\frac1{\zeta^4}q\Bigl(\frac1\zeta\Bigr)

とおく。開集合U⊆VU\subseteq VとUU上の正則関数yyについて、u(ζ)=y(1/ζ)u(\zeta)=y(1/\zeta)（ζ∈U−1\zeta\in U^{-1}）とおく。このとき、U−1U^{-1}上で

(y′′+py′+qy)(1ζ)=ζ4(u′′+p~u′+q~u)(ζ)\bigl(y''+py'+qy\bigr)\Bigl(\frac1\zeta\Bigr)=\zeta^4\bigl(u''+\tilde pu'+\tilde qu\bigr)(\zeta)

が成り立つ。とくに、yyがUU上でy′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0を満たすことは、uuがU−1U^{-1}上でu′′+p~u′+q~u=0u''+\tilde pu'+\tilde qu=0を満たすための必要十分条件である。

証明.z↦1/zz\mapsto1/zはC∖{0}\C\setminus\{0\}からそれ自身への同相写像であるから、U−1U^{-1}とV−1V^{-1}は開集合である。§E5.2 命題 1.2 (4)により、U−1U^{-1}上でu′(ζ)=−ζ−2y′(1/ζ)u'(\zeta)=-\zeta^{-2}y'(1/\zeta)、u′′(ζ)=2ζ−3y′(1/ζ)+ζ−4y′′(1/ζ)u''(\zeta)=2\zeta^{-3}y'(1/\zeta)+\zeta^{-4}y''(1/\zeta)であるから、y′(1/ζ)=−ζ2u′(ζ)y'(1/\zeta)=-\zeta^2u'(\zeta)、y′′(1/ζ)=ζ4u′′(ζ)+2ζ3u′(ζ)y''(1/\zeta)=\zeta^4u''(\zeta)+2\zeta^3u'(\zeta)である。これらを代入すると

(y′′+py′+qy)(1ζ)=ζ4u′′+(2ζ3−ζ2p(1ζ))u′+q(1ζ)u=ζ4(u′′+p~u′+q~u)\bigl(y''+py'+qy\bigr)\Bigl(\frac1\zeta\Bigr)=\zeta^4u''+\Bigl(2\zeta^3-\zeta^2p\Bigl(\frac1\zeta\Bigr)\Bigr)u'+q\Bigl(\frac1\zeta\Bigr)u=\zeta^4\bigl(u''+\tilde pu'+\tilde qu\bigr)

である。U−1U^{-1}上でζ4≠0\zeta^4\ne0であるから、後半が従う。▨

命題 7.2.R0>0R_0>0とし、p,qp,qを{∣z∣>R0}\{\lvert z\rvert>R_0\}上の正則関数、p~,q~\tilde p,\tilde qをV={∣z∣>R0}V=\{\lvert z\rvert>R_0\}について補題 7.1のとおり0<∣ζ∣<1/R00<\lvert\zeta\rvert<1/R_0上で定める。{∣z∣>R0}\{\lvert z\rvert>R_0\}上の関数ffについて、あるR1≥R0R_1\ge R_0が存在してffが{∣z∣>R1}\{\lvert z\rvert>R_1\}上で有界であることを、ffがz→∞z\to\inftyで有界であるという。

このとき、方程式u′′+p~(ζ)u′+q~(ζ)u=0u''+\tilde p(\zeta)u'+\tilde q(\zeta)u=0の点ζ=0\zeta=0について、次が成り立つ。

  1. ζ=0\zeta=0が常点または確定特異点であることは、zp(z)zp(z)とz2q(z)z^2q(z)がz→∞z\to\inftyで有界であるための必要十分条件である。このとき、極限p∞=lim⁡z→∞zp(z)p_\infty=\lim_{z\to\infty}zp(z)とq∞=lim⁡z→∞z2q(z)q_\infty=\lim_{z\to\infty}z^2q(z)が存在する。
  2. ζ=0\zeta=0が常点であることは、2z−z2p(z)2z-z^2p(z)とz4q(z)z^4q(z)がz→∞z\to\inftyで有界であるための必要十分条件である。
  3. ζ=0\zeta=0が常点または確定特異点であるとき、ζ=0\zeta=0における決定多項式はρ(ρ−1)+(2−p∞)ρ+q∞\rho(\rho-1)+(2-p_\infty)\rho+q_\inftyである。

証明.z=1/ζz=1/\zetaと書くと、0<∣ζ∣<1/R00<\lvert\zeta\rvert<1/R_0についてζp~(ζ)=2−zp(z)\zeta\tilde p(\zeta)=2-zp(z)、ζ2q~(ζ)=z2q(z)\zeta^2\tilde q(\zeta)=z^2q(z)、p~(ζ)=2z−z2p(z)\tilde p(\zeta)=2z-z^2p(z)、q~(ζ)=z4q(z)\tilde q(\zeta)=z^4q(z)である。0<∣ζ∣<1/R10<\lvert\zeta\rvert<1/R_1であることは∣z∣>R1\lvert z\rvert>R_1であることと同値である。

主張 (1)を示す。定義 3.1により、ζ=0\zeta=0が常点または確定特異点であることは、ζp~\zeta\tilde pとζ2q~\zeta^2\tilde qがD(0,1/R0)D(0,1/R_0)上の正則関数に延びることと同値である。§E5.11 命題 3.2により、これはζp~\zeta\tilde pとζ2q~\zeta^2\tilde qが00のある穿孔近傍で有界であること、すなわちzp(z)zp(z)とz2q(z)z^2q(z)がz→∞z\to\inftyで有界であることと同値である。このとき、延長の00での値をP0,Q0P_0,Q_0とすると、lim⁡z→∞zp(z)=2−P0\lim_{z\to\infty}zp(z)=2-P_0、lim⁡z→∞z2q(z)=Q0\lim_{z\to\infty}z^2q(z)=Q_0である。

主張 (2)を示す。ζ=0\zeta=0が常点であることはp~,q~\tilde p,\tilde qがD(0,1/R0)D(0,1/R_0)上の正則関数に延びることであり、§E5.11 命題 3.2により、p~,q~\tilde p,\tilde qが00のある穿孔近傍で有界であること、すなわち2z−z2p(z)2z-z^2p(z)とz4q(z)z^4q(z)がz→∞z\to\inftyで有界であることと同値である。

主張 (3)を示す。上のP0,Q0P_0,Q_0についてP0=2−p∞P_0=2-p_\infty、Q0=q∞Q_0=q_\inftyであるから、定義 3.1により決定多項式はρ(ρ−1)+(2−p∞)ρ+q∞\rho(\rho-1)+(2-p_\infty)\rho+q_\inftyである。▨

定義 7.3.R0>0R_0>0とし、p,qp,qを{∣z∣>R0}\{\lvert z\rvert>R_0\}上の正則関数、p~,q~\tilde p,\tilde qをV={∣z∣>R0}V=\{\lvert z\rvert>R_0\}について補題 7.1のとおり0<∣ζ∣<1/R00<\lvert\zeta\rvert<1/R_0上で定める。ζ=0\zeta=0が方程式u′′+p~(ζ)u′+q~(ζ)u=0u''+\tilde p(\zeta)u'+\tilde q(\zeta)u=0の常点、確定特異点、不確定特異点であるとき、それぞれ∞\inftyはy′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0の常点、確定特異点、不確定特異点であるという。∞\inftyが常点または確定特異点であるとき、ζ=0\zeta=0におけるこの方程式の指数を、y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0の無限遠点での指数 (exponent at infinity) または∞\inftyでの指数という。

命題 7.2により、∞\inftyが常点または確定特異点であることはzp(z)zp(z)とz2q(z)z^2q(z)がz→∞z\to\inftyで有界であることと同値であり、∞\inftyが常点であることは2z−z2p(z)2z-z^2p(z)とz4q(z)z^4q(z)がz→∞z\to\inftyで有界であることと同値であって、∞\inftyでの指数はF~(ρ)=ρ(ρ−1)+(2−lim⁡z→∞zp(z))ρ+lim⁡z→∞z2q(z)\tilde F(\rho)=\rho(\rho-1)+\bigl(2-\lim_{z\to\infty}zp(z)\bigr)\rho+\lim_{z\to\infty}z^2q(z)の根である。

例 7.4.C\C上の方程式y′′−y=0y''-y=0（p=0p=0、q=−1q=-1）を考える。

このとき、次が成り立つ。

  1. 無限遠点は不確定特異点である。

証明.主張 (1)を示す。定義 7.3のp~(ζ)=2/ζ\tilde p(\zeta)=2/\zeta、q~(ζ)=−ζ−4\tilde q(\zeta)=-\zeta^{-4}は、例 6.3の方程式の係数である。ζ=0\zeta=0はその方程式の不確定特異点であるから（例 6.3 (1)）、無限遠点は不確定特異点である。▨

定義 7.5.m∈N≥0m\in\Nとし、a1,…,am∈Ca_1,\dots,a_m\in\Cを相異なる点とする。C∖{a1,…,am}\C\setminus\{a_1,\dots,a_m\}上の正則関数p,qp,qについて、y′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0の各aja_jが確定特異点であり、∞\inftyが常点または確定特異点であるとき、この方程式をFuchs 型 (Fuchsian) であるという。a1,…,ama_1,\dots,a_mと、確定特異点であるときの∞\inftyを、この方程式の特異点という。

命題 7.6.a1,…,am∈Ca_1,\dots,a_m\in\Cを相異なる点とし、y′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0を、有限の特異点がa1,…,ama_1,\dots,a_mである Fuchs 型方程式とする。Aj=((z−aj)p)(aj)A_j=\bigl((z-a_j)p\bigr)(a_j)、Bj=((z−aj)2q)(aj)B_j=\bigl((z-a_j)^2q\bigr)(a_j)、Cj=ddz((z−aj)2q)(aj)C_j=\dfrac{d}{dz}\bigl((z-a_j)^2q\bigr)(a_j)とおく。

このとき、次が成り立つ。

  1. p=∑j=1mAjz−ajp=\sum_{j=1}^m\dfrac{A_j}{z-a_j}、q=∑j=1m(Bj(z−aj)2+Cjz−aj)q=\sum_{j=1}^m\Bigl(\dfrac{B_j}{(z-a_j)^2}+\dfrac{C_j}{z-a_j}\Bigr)であり、∑jCj=0\sum_jC_j=0である。
  2. ∞\inftyが常点であることは、∑jAj=2\sum_jA_j=2、∑j(Bj+ajCj)=0\sum_j(B_j+a_jC_j)=0、∑j(2ajBj+aj2Cj)=0\sum_j(2a_jB_j+a_j^2C_j)=0がすべて成り立つことと同値である。
  3. 逆に、Aj,Bj,Cj∈CA_j,B_j,C_j\in\Cが∑jCj=0\sum_jC_j=0を満たすとき、主張 (1)の式でp,qp,qを定めた方程式では、各aja_jは常点または確定特異点であり、∞\inftyは常点または確定特異点である。

証明.主張 (1)を示す。各jjについて、(z−aj)p=:Pj(z-a_j)p=:P_jはaja_jで正則であるから、p−Ajz−aj=Pj−Pj(aj)z−ajp-\dfrac{A_j}{z-a_j}=\dfrac{P_j-P_j(a_j)}{z-a_j}はaja_jで除去可能であり、q−Bj(z−aj)2−Cjz−ajq-\dfrac{B_j}{(z-a_j)^2}-\dfrac{C_j}{z-a_j}も、Qj=(z−aj)2qQ_j=(z-a_j)^2qの Taylor 展開Qj=Bj+Cj(z−aj)+(z−aj)2(⋯ )Q_j=B_j+C_j(z-a_j)+(z-a_j)^2(\cdots)によりaja_jで除去可能である。§E5.11 命題 3.2により、p∗=p−∑jAj/(z−aj)p_*=p-\sum_jA_j/(z-a_j)とq∗=q−∑j(Bj/(z−aj)2+Cj/(z−aj))q_*=q-\sum_j\bigl(B_j/(z-a_j)^2+C_j/(z-a_j)\bigr)はC\C全体の整関数に延びる。∞\inftyが常点または確定特異点であるから、命題 7.2 (1)によりzp(z)zp(z)とz2q(z)z^2q(z)はz→∞z\to\inftyで有界であり、∑jAj/(z−aj)\sum_jA_j/(z-a_j)と∑j(⋯ )\sum_j(\cdots)はz→∞z\to\inftyで00に収束するから、p∗,q∗p_*,q_*はz→∞z\to\inftyで00に収束する。整関数がz→∞z\to\inftyで00に収束するならば有界であり、§E5.9 定理 4.1により定数であって、その定数は00である。したがって主張 (1)の式が成り立つ。zq(z)→∑jCjzq(z)\to\sum_jC_jであり、z2qz^2qが有界であるから∑jCj=0\sum_jC_j=0である。

主張 (2)を示す。2z−z2p(z)=2z−∑jAjz2/(z−aj)=2z−∑jAj(z+aj+aj2/(z−aj))=(2−∑jAj)z−∑jAjaj−∑jAjaj2/(z−aj)2z-z^2p(z)=2z-\sum_jA_jz^2/(z-a_j)=2z-\sum_jA_j(z+a_j+a_j^2/(z-a_j))=(2-\sum_jA_j)z-\sum_jA_ja_j-\sum_jA_ja_j^2/(z-a_j)であり、これがz→∞z\to\inftyで有界であることは∑jAj=2\sum_jA_j=2と同値である。∣z∣>max⁡j∣aj∣\lvert z\rvert>\max_j\lvert a_j\rvertで1z−a=∑k≥0akz−k−1\dfrac1{z-a}=\sum_{k\ge0}a^kz^{-k-1}、1(z−a)2=∑k≥0(k+1)akz−k−2\dfrac1{(z-a)^2}=\sum_{k\ge0}(k+1)a^kz^{-k-2}を用いると、q=∑k≥1κkz−kq=\sum_{k\ge1}\kappa_kz^{-k}、κ1=∑jCj\kappa_1=\sum_jC_j、κ2=∑j(Bj+ajCj)\kappa_2=\sum_j(B_j+a_jC_j)、κ3=∑j(2ajBj+aj2Cj)\kappa_3=\sum_j(2a_jB_j+a_j^2C_j)である。z4qz^4qがz→∞z\to\inftyで有界であることはκ1=κ2=κ3=0\kappa_1=\kappa_2=\kappa_3=0と同値であり、κ1=0\kappa_1=0は主張 (1)により成り立つ。命題 7.2 (2)により、主張が従う。

主張 (3)を示す。Aj,Bj,CjA_j,B_j,C_jから主張 (1)の式で定めたp,qp,qは有理関数であり、(z−aj)p(z-a_j)pと(z−aj)2q(z-a_j)^2qはaja_jで正則である。zp(z)→∑jAjzp(z)\to\sum_jA_jであり、z2q(z)→∑jBj+∑jajCjz^2q(z)\to\sum_jB_j+\sum_ja_jC_j（κ1=0\kappa_1=0を用いる）であるから、命題 7.2 (1)により∞\inftyは常点または確定特異点である。▨

定理 7.7 (Fuchs の関係式).y′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0を、有限の特異点がa1,…,ama_1,\dots,a_mである Fuchs 型方程式とし、その特異点の個数（∞\inftyが確定特異点ならば∞\inftyを含める）をssとする。

このとき、各特異点の二つの指数の和の、すべての特異点にわたる総和はs−2s-2に等しい。

証明.Aj,BjA_j,B_jを命題 7.6のとおりとする。aja_jでの決定多項式はρ(ρ−1)+Ajρ+Bj=ρ2−(1−Aj)ρ+Bj\rho(\rho-1)+A_j\rho+B_j=\rho^2-(1-A_j)\rho+B_jであるから、二つの指数の和は1−Aj1-A_jであり、有限の特異点にわたる総和はm−∑jAjm-\sum_jA_jである。∞\inftyが確定特異点ならば、命題 7.2 (3)により∞\inftyでの指数の和は1−(2−lim⁡zp(z))=∑jAj−11-(2-\lim zp(z))=\sum_jA_j-1であり（命題 7.6 (1)によりzp(z)→∑jAjzp(z)\to\sum_jA_j）、s=m+1s=m+1で総和はm−1=s−2m-1=s-2である。∞\inftyが常点ならば、命題 7.6 (2)により∑jAj=2\sum_jA_j=2であり、s=ms=mで総和はm−2=s−2m-2=s-2である。▨

注意 7.8. 確定特異点の近くでの解の構造と、点が確定特異点であるための判定条件は、Fuchs が 1866 年に与えた。級数による解の構成は、Frobenius が 1873 年に与えた。C∖{a1,a2}\C\setminus\{a_1,a_2\}上の Fuchs 型方程式で∞\inftyが確定特異点であるものは、三点a1,a2,∞a_1,a_2,\inftyでの指数の組によって一意に定まる（§E13.39 超幾何方程式）。

8 Fuchs 系と見かけの特異点

定義 8.1.m∈N≥1m\in\NN、n∈N≥1n\in\NN、a1,…,am∈Ca_1,\dots,a_m\in\Cを相異なる点、A1,…,Am∈Cn×nA_1,\dots,A_m\in\C^{n\times n}とする。C∖{a1,…,am}\C\setminus\{a_1,\dots,a_m\}上の線形系

Y′=∑j=1mAjz−ajYY'=\sum_{j=1}^m\frac{A_j}{z-a_j}Y

をFuchs 系 (Fuchsian system) という。

命題 8.2.定義 8.1の Fuchs 系Y′=∑jAj(z−aj)−1YY'=\sum_jA_j(z-a_j)^{-1}Yについて、R0=max⁡j∣aj∣R_0=\max_j\lvert a_j\rvertとおく。開集合U⊆{z∈C:∣z∣>R0}U\subseteq\{z\in\C:\lvert z\rvert>R_0\}とUU上の正則写像Y:U→CnY:U\to\C^nについて、U−1={1/z:z∈U}U^{-1}=\{1/z:z\in U\}とし、Z(ζ)=Y(1/ζ)Z(\zeta)=Y(1/\zeta)（ζ∈U−1\zeta\in U^{-1}）とおく。

このとき、YYがUU上の解であることは、ZZがU−1U^{-1}上でZ′=−1ζ∑jAj(1−ajζ)−1ZZ'=-\dfrac1\zeta\sum_jA_j(1-a_j\zeta)^{-1}Zの解であるための必要十分条件である。とくに、ρ0R0<1\rho_0R_0<1を満たすすべてのρ0>0\rho_0>0について、ζ=0\zeta=0はD(0,ρ0)∖{0}D(0,\rho_0)\setminus\{0\}上のこの系の単純極であり、その留数行列は−∑jAj-\sum_jA_jである。

証明.U−1U^{-1}は{ζ:0<∣ζ∣<1/R0}\{\zeta:0<\lvert\zeta\rvert<1/R_0\}（R0=0R_0=0のときはC∖{0}\C\setminus\{0\}）に含まれる開集合であり、その上で∣ajζ∣<1\lvert a_j\zeta\rvert<1である。ζ∈U−1\zeta\in U^{-1}についてZ′(ζ)=−ζ−2Y′(1/ζ)Z'(\zeta)=-\zeta^{-2}Y'(1/\zeta)であり、−ζ−2∑jAj(1/ζ−aj)−1=−ζ−1∑jAj(1−ajζ)−1-\zeta^{-2}\sum_jA_j(1/\zeta-a_j)^{-1}=-\zeta^{-1}\sum_jA_j(1-a_j\zeta)^{-1}であるから、Y′(z)=∑jAj(z−aj)−1Y(z)Y'(z)=\sum_jA_j(z-a_j)^{-1}Y(z)がz=1/ζz=1/\zetaで成り立つことと、Z′(ζ)=−ζ−1∑jAj(1−ajζ)−1Z(ζ)Z'(\zeta)=-\zeta^{-1}\sum_jA_j(1-a_j\zeta)^{-1}Z(\zeta)が成り立つことは同値である。ρ0R0<1\rho_0R_0<1ならば、(1−ajζ)−1(1-a_j\zeta)^{-1}はD(0,ρ0)D(0,\rho_0)上で正則でζ=0\zeta=0で値11をもつから、ζ=0\zeta=0は単純極であり、留数行列は−∑jAj-\sum_jA_jである。▨

定義 8.3.aaをy′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0の確定特異点とし、rr、Dθ∘D^\circ_\thetaを定義 3.1と定義 1.2のとおりとする。すべてのθ∈R\theta\in\Rとすべてのy∈SL(Dθ∘)y\in\mathcal S_L(D^\circ_\theta)がD(a,r)D(a,r)上の正則関数に延びるとき、aaを見かけの特異点 (apparent singular point) という。

命題 8.4.m∈N≥1m\in\NNとし、a1,…,am∈Ca_1,\dots,a_m\in\Cを相異なる点とする。

このとき、次が成り立つ。

  1. y′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0を、有限の特異点がa1,…,ama_1,\dots,a_mである Fuchs 型方程式とし、Aj,BjA_j,B_jを命題 7.6のとおりとする。j=2,…,mj=2,\dots,mについて、二次方程式rj2aj−a1+rj(1−Aj)+(aj−a1)Bj=0\dfrac{r_j^2}{a_j-a_1}+r_j(1-A_j)+(a_j-a_1)B_j=0の根rj∈Cr_j\in\Cを一つ取り、R(z)=∑j=2mrj/(z−aj)R(z)=\sum_{j=2}^mr_j/(z-a_j)、G(z)=(10R(z)z−a1)G(z)=\begin{pmatrix}1&0\\R(z)&z-a_1\end{pmatrix}とおく。このとき、A1′,…,Am′∈C2×2A_1',\dots,A_m'\in\C^{2\times2}が存在して、開集合U⊆C∖{a1,…,am}U\subseteq\C\setminus\{a_1,\dots,a_m\}上の方程式のすべての解yyについて、Y=G(y,y′)TY=G(y,y')^{\mathsf T}は Fuchs 系Y′=∑jAj′(z−aj)−1YY'=\sum_jA_j'(z-a_j)^{-1}YのUU上の解である。
  2. 2×22\times2の Fuchs 系Y′=A(z)YY'=A(z)Y（A=∑jAj/(z−aj)A=\sum_jA_j/(z-a_j)）について、α=A12\alpha=A_{12}が恒等的には零でないとする。このとき、Y=(y,v)TY=(y,v)^{\mathsf T}が開集合U⊆C∖{a1,…,am}U\subseteq\C\setminus\{a_1,\dots,a_m\}上の解ならば、yyはUUからα\alphaの零点を除いた集合の上でy′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0、p=−(A11+A22+α′/α)p=-(A_{11}+A_{22}+\alpha'/\alpha)、q=−A11′+α′αA11−αA21+A11A22q=-A_{11}'+\dfrac{\alpha'}\alpha A_{11}-\alpha A_{21}+A_{11}A_{22}を満たす。この方程式の係数p,qp,qは有理関数であり、極はaja_jまたはα\alphaの零点であって、極z1z_1では(z−z1)p(z-z_1)pと(z−z1)2q(z-z_1)^2qが正則であり、∞\inftyではzpzpとz2qz^2qが有界である。すなわち、p,qp,qの極を有限の特異点とする Fuchs 型方程式である。
  3. 主張 (2)の設定で、z0∈C∖{a1,…,am}z_0\in\C\setminus\{a_1,\dots,a_m\}をα\alphaの位数k≥1k\ge1の零点とし、r>0r>0を、D(z0,r)D(z_0,r)がa1,…,ama_1,\dots,a_mとz0z_0以外のα\alphaの零点を含まないように取る。このとき、z0z_0は同項の方程式の確定特異点であり、その指数は0,k+10,k+1である。さらに、a=z0a=z_0とすると、z0z_0は見かけの特異点であり、0<ε<r0<\varepsilon<rにおける局所モノドロミーは恒等写像であって、ρ1=k+1\rho_1=k+1、ρ2=0\rho_2=0に対する定理 4.3のccとDk+1D_{k+1}はともに00である。

証明.主張 (1)を示す。w1=z−a1w_1=z-a_1とおく。Y1=yY_1=y、Y2=Ry+w1y′Y_2=Ry+w_1y'とおくと、Y1′=y′=(Y2−RY1)/w1Y_1'=y'=(Y_2-RY_1)/w_1であり、y′′=−py′−qyy''=-py'-qyによりY2′=R′y+(R+1)y′−w1(py′+qy)=(R′−w1q)y+(R+1−w1p)y′Y_2'=R'y+(R+1)y'-w_1(py'+qy)=(R'-w_1q)y+(R+1-w_1p)y'である。y′=(Y2−RY1)/w1y'=(Y_2-RY_1)/w_1を代入するとY′=A(z)YY'=\mathcal A(z)Y、

A=(−R/w11/w1R′−w1q−R(R+1)/w1+Rp(R+1)/w1−p)\mathcal A=\begin{pmatrix}-R/w_1&1/w_1\\ R'-w_1q-R(R+1)/w_1+Rp&(R+1)/w_1-p\end{pmatrix}

を得る。a1a_1では、RRは正則、ppは単純極、qqは高々二重極であるから、各成分は高々単純極である。j≥2j\ge2についてaja_jでは、第(1,1)(1,1)成分と第(2,2)(2,2)成分は高々単純極であり、第(1,2)(1,2)成分は正則である。第(2,1)(2,1)成分は高々二重極であり、その(z−aj)−2(z-a_j)^{-2}の係数は、R′R'から−rj-r_j、−w1q-w_1qから−(aj−a1)Bj-(a_j-a_1)B_j、−R2/w1-R^2/w_1から−rj2/(aj−a1)-r_j^2/(a_j-a_1)、RpRpからrjAjr_jA_jが来るので、−(rj+(aj−a1)Bj+rj2/(aj−a1)−rjAj)=0-\bigl(r_j+(a_j-a_1)B_j+r_j^2/(a_j-a_1)-r_jA_j\bigr)=0である。したがってA\mathcal Aの各成分はaja_jで高々単純極であり、他の点で正則である。z→∞z\to\inftyでは、R=O(z−1)R=O(z^{-1})、p=O(z−1)p=O(z^{-1})、q=O(z−2)q=O(z^{-2})により、A\mathcal Aの各成分はO(z−1)O(z^{-1})である。単純極の主要部の和を引いた差は整関数でありz→∞z\to\inftyで00に収束するから、§E5.9 定理 4.1により零である。したがって、Aj′=((z−aj)A)(aj)∈C2×2A_j'=\bigl((z-a_j)\mathcal A\bigr)(a_j)\in\C^{2\times2}とするとA=∑jAj′/(z−aj)\mathcal A=\sum_jA_j'/(z-a_j)であり、Aj′A_j'はyyによらない。よってYYは Fuchs 系の解である。

主張 (2)を示す。Y1′=A11Y1+αY2Y_1'=A_{11}Y_1+\alpha Y_2から、α≠0\alpha\ne0の点でY2=(y′−A11y)/αY_2=(y'-A_{11}y)/\alphaであり、これをY2′=A21Y1+A22Y2Y_2'=A_{21}Y_1+A_{22}Y_2に代入してα\alphaを掛けると、

y′′−(A11+A22+α′α)y′+(−A11′+α′αA11−αA21+A11A22)y=0y''-\Bigl(A_{11}+A_{22}+\frac{\alpha'}\alpha\Bigr)y'+\Bigl(-A_{11}'+\frac{\alpha'}\alpha A_{11}-\alpha A_{21}+A_{11}A_{22}\Bigr)y=0

を得る。AikA_{ik}は有理関数であり、aja_jで高々単純極をもち、z→∞z\to\inftyでO(z−1)O(z^{-1})である。α≢0\alpha\not\equiv0は有理関数であるから、α′/α\alpha'/\alphaは有理関数であり、すべての点で高々単純極をもち、z→∞z\to\inftyでO(z−1)O(z^{-1})である。したがって、ppは高々単純極、qqは高々二重極（A11′A_{11}'、α′αA11\frac{\alpha'}{\alpha}A_{11}、αA21\alpha A_{21}、A11A22A_{11}A_{22}の各項による）をもち、極はaja_jまたはα\alphaの零点である。z→∞z\to\inftyではzp=O(1)zp=O(1)であり、z2q=O(1)z^2q=O(1)であるから、命題 7.2 (1)により∞\inftyは常点または確定特異点である。

主張 (3)を示す。主張 (2)の方程式をLy=y′′+py′+qy=0Ly=y''+py'+qy=0と書く。AAはD(z0,r)D(z_0,r)上で正則であり、§E5.8 命題 1.2により、β(z0)≠0\beta(z_0)\ne0とα=(z−z0)kβ\alpha=(z-z_0)^k\betaを満たすD(z0,r)D(z_0,r)上の正則関数β\betaが存在する。α\alphaはD(z0,r)∖{z0}D(z_0,r)\setminus\{z_0\}上で零にならないから、β\betaはD(z0,r)D(z_0,r)上で零にならず、D(z0,r)∖{z0}D(z_0,r)\setminus\{z_0\}上でα′/α=k/(z−z0)+β′/β\alpha'/\alpha=k/(z-z_0)+\beta'/\betaである。したがって、D(z0,r)D(z_0,r)上の正則関数

P~=−(z−z0)(A11+A22+β′β)−k,Q~=(z−z0)2(−A11′+β′βA11−αA21+A11A22)+k(z−z0)A11\tilde P=-(z-z_0)\Bigl(A_{11}+A_{22}+\frac{\beta'}\beta\Bigr)-k,\qquad\tilde Q=(z-z_0)^2\Bigl(-A_{11}'+\frac{\beta'}\beta A_{11}-\alpha A_{21}+A_{11}A_{22}\Bigr)+k(z-z_0)A_{11}

について、D(z0,r)∖{z0}D(z_0,r)\setminus\{z_0\}上で(z−z0)p=P~(z-z_0)p=\tilde P、(z−z0)2q=Q~(z-z_0)^2q=\tilde Qであり、P~(z0)=−k≠0\tilde P(z_0)=-k\ne0、Q~(z0)=0\tilde Q(z_0)=0である。ppはz0z_0に正則に延びないから、定義 3.1によりz0z_0は確定特異点であり、決定多項式はρ(ρ−1)−kρ=ρ(ρ−k−1)\rho(\rho-1)-k\rho=\rho(\rho-k-1)、指数は0,k+10,k+1である。

Y∈SA(D(z0,r))Y\in\mathcal S_A(D(z_0,r))とし、その成分をY1,Y2Y_1,Y_2とする。D∗=D(z0,r)∖{z0}D^*=D(z_0,r)\setminus\{z_0\}上でα≠0\alpha\ne0であるから、主張 (2)によりY1∣D∗∈SL(D∗)Y_1|_{D^*}\in\mathcal S_L(D^*)である。z′∈D∗z'\in D^*について、Y1Y_1がz′z'のある近傍で零ならば、その近傍でαY2=Y1′−A11Y1=0\alpha Y_2=Y_1'-A_{11}Y_1=0であるからY2Y_2も零であり、§E13.37 定理 2.1 (2)によりD(z0,r)D(z_0,r)上でY=0Y=0である。θ∈R\theta\in\Rとする。Y↦Y1∣Dθ∘Y\mapsto Y_1|_{D^\circ_\theta}はSA(D(z0,r))\mathcal S_A(D(z_0,r))からSL(Dθ∘)\mathcal S_L(D^\circ_\theta)への線形写像であり、上で示したことにより単射である。D(z0,r)D(z_0,r)は凸な領域であり、Dθ∘D^\circ_\thetaは補題 1.3 (1)により単連結な領域であるから、§E13.37 系 6.4と§E13.37 命題 4.1 (1)により両者の次元はともに22である。したがってこの写像は全単射であり、すべてのy∈SL(Dθ∘)y\in\mathcal S_L(D^\circ_\theta)はD(z0,r)D(z_0,r)上の正則関数Y1Y_1に延びる。よってz0z_0は見かけの特異点である。

0<ε<r0<\varepsilon<r、b=bεb=b_\varepsilon、γ=γε\gamma=\gamma_\varepsilonとする。Y↦[Y1]bY\mapsto[Y_1]_bはSA(D(z0,r))\mathcal S_A(D(z_0,r))からSL,b\mathcal S_{L,b}への線形写像であり、上で示したことにより単射であって、§E13.37 命題 4.1 (2)と§E13.37 定理 2.1 (4)によりdim⁡CSL,b=2\dim_\C\mathcal S_{L,b}=2であるから全単射である。σ∈SL,b\sigma\in\mathcal S_{L,b}とし、σ=[Y1]b\sigma=[Y_1]_bを満たすYYをとる。補題 1.1によりD∗D^*は領域であり、すべてのttにLLの伴随系の解(Y1,Y1′)T∣D∗(Y_1,Y_1')^{\mathsf T}|_{D^*}とD∗D^*の組を対応させる族はγ\gammaに沿う解の接続であるから、§E13.37 定義 5.4によりTγLσ=σT^L_\gamma\sigma=\sigmaである。N=k+1≥1N=k+1\ge1であり、命題 5.1 (2)によりc≠0c\ne0ならばTγLT^L_\gammaは対角化可能でないから、c=0c=0であり、定理 4.3 (3)によりDk+1=−Nc=0D_{k+1}=-Nc=0である。▨

例 8.5.m=2m=2、a1=0a_1=0、a2=1a_2=1、A1=A2=(0100)A_1=A_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}の Fuchs 系Y′=α(z)(0100)YY'=\alpha(z)\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}Y（α(z)=1z+1z−1=2z−1z(z−1)\alpha(z)=\dfrac1z+\dfrac1{z-1}=\dfrac{2z-1}{z(z-1)}）を考える。

このとき、次が成り立つ。

  1. Y=(y,v)TY=(y,v)^{\mathsf T}が解ならば、yyはy′′−α′αy′=0y''-\dfrac{\alpha'}\alpha y'=0、すなわちy′′+(1z+1z−1−1z−1/2)y′=0y''+\Bigl(\dfrac1z+\dfrac1{z-1}-\dfrac1{z-1/2}\Bigr)y'=0を満たす。この方程式は0,1,12,∞0,1,\tfrac12,\inftyを特異点とする Fuchs 型方程式である。
  2. z0=12z_0=\tfrac12は確定特異点であり、指数は0,20,2である。a=z0a=z_0、r=12r=\tfrac12とすると、任意のθ∈R\theta\in\Rとy∈SL(Dθ∘)y\in\mathcal S_L(D^\circ_\theta)はD(z0,12)D(z_0,\tfrac12)上の正則関数に延びる。すなわち、z0z_0は見かけの特異点である。z0z_0における局所モノドロミーは恒等写像である。

証明.主張 (1)を示す。A11=A22=A21=0A_{11}=A_{22}=A_{21}=0、A12=αA_{12}=\alphaであるから、命題 8.4 (2)によりyyはy′′−α′αy′=0y''-\frac{\alpha'}\alpha y'=0を満たす。α′/α=22z−1−1z−1z−1\alpha'/\alpha=\frac2{2z-1}-\frac1z-\frac1{z-1}であるから、係数はp=1z+1z−1−1z−1/2p=\frac1z+\frac1{z-1}-\frac1{z-1/2}、q=0q=0であり、極は0,1,120,1,\frac12である。各極z1z_1で(z−z1)p(z-z_1)pは正則であり、ppはz1z_1で極をもつから各極は確定特異点であり、zp(z)→1+1−1=1zp(z)\to1+1-1=1、z2q=0z^2q=0であるから、命題 7.2 (1)により∞\inftyは常点または確定特異点であり、2z−z2p(z)2z-z^2p(z)は有界でないから、命題 7.2 (2)により∞\inftyは確定特異点である。

主張 (2)を示す。α(z)=2z−1z(z−1)\alpha(z)=\dfrac{2z-1}{z(z-1)}は恒等的には零でなく、z0=12z_0=\tfrac12はα\alphaの位数11の零点であって0,10,1のいずれでもない。D(z0,12)D(z_0,\tfrac12)は0,10,1を含まず、α\alphaの零点はz0z_0だけである。したがって、命題 8.4 (3)をk=1k=1、r=12r=\tfrac12として適用すると、z0z_0は確定特異点で指数は0,20,2であり、見かけの特異点であって、0<ε<120<\varepsilon<\tfrac12における局所モノドロミーは恒等写像である。▨

9 演習

問題 9.1.ν∈C\nu\in\Cをν(ν+1)≠0\nu(\nu+1)\ne0を満たす定数とし、C∖{1,−1}\C\setminus\{1,-1\}上の方程式y′′+p(z)y′+q(z)y=0y''+p(z)y'+q(z)y=0を、p(z)=−2z1−z2p(z)=-\dfrac{2z}{1-z^2}、q(z)=ν(ν+1)1−z2q(z)=\dfrac{\nu(\nu+1)}{1-z^2}で定める。ν\nuが実数のとき、この方程式は§E13.35 式 (1.1.1)の両辺を1−z21-z^2で割ったものである。

  1. 1,−11,-1は確定特異点であり、∞\inftyは確定特異点であって常点でないことを示せ。
  2. ±1\pm1での指数がともに0,00,0であり、∞\inftyでの指数が−ν,ν+1-\nu,\nu+1であることを示し、定理 7.7の等式が成り立つことを確かめよ。
  3. r=2r=2として、a=1a=1での0<ε<20<\varepsilon<2における局所モノドロミーTγεLT^L_{\gamma_\varepsilon}について、その行列が(12πi01)\begin{pmatrix}1&2\pi i\\0&1\end{pmatrix}となる基底が存在すること、およびTγεLT^L_{\gamma_\varepsilon}が対角化可能でないことを示せ。
解答.

p(z)=2zz2−1=1z−1+1z+1p(z)=\dfrac{2z}{z^2-1}=\dfrac1{z-1}+\dfrac1{z+1}、q(z)=−ν(ν+1)z2−1q(z)=-\dfrac{\nu(\nu+1)}{z^2-1}である。

(1)を示す。(z−1)p=1+z−1z+1(z-1)p=1+\dfrac{z-1}{z+1}と(z−1)2q=−ν(ν+1)z−1z+1(z-1)^2q=-\nu(\nu+1)\dfrac{z-1}{z+1}はz=1z=1で正則であり、ppはz=1z=1で極をもつから11は確定特異点である。z=−1z=-1についても、(z+1)p=1+z+1z−1(z+1)p=1+\dfrac{z+1}{z-1}、(z+1)2q=−ν(ν+1)z+1z−1(z+1)^2q=-\nu(\nu+1)\dfrac{z+1}{z-1}により同様である。zp(z)=2z2z2−1→2zp(z)=\dfrac{2z^2}{z^2-1}\to2、z2q(z)=−ν(ν+1)z2z2−1→−ν(ν+1)z^2q(z)=-\nu(\nu+1)\dfrac{z^2}{z^2-1}\to-\nu(\nu+1)であるから、これらは有界であり、命題 7.2 (1)により∞\inftyは常点または確定特異点である。z4q(z)=−ν(ν+1)z4z2−1z^4q(z)=-\nu(\nu+1)\dfrac{z^4}{z^2-1}は、ν(ν+1)≠0\nu(\nu+1)\ne0により有界でないから、命題 7.2 (2)により∞\inftyは常点でなく、確定特異点である。

(2)を示す。z=1z=1でp0=((z−1)p)(1)=1p_0=((z-1)p)(1)=1、q0=((z−1)2q)(1)=0q_0=((z-1)^2q)(1)=0であるから、決定多項式はρ(ρ−1)+ρ=ρ2\rho(\rho-1)+\rho=\rho^2であり、指数は0,00,0である。z=−1z=-1でもp0=1p_0=1、q0=0q_0=0であり、指数は0,00,0である。命題 7.2 (3)により、∞\inftyでの決定多項式はρ(ρ−1)+(2−2)ρ−ν(ν+1)=(ρ+ν)(ρ−ν−1)\rho(\rho-1)+(2-2)\rho-\nu(\nu+1)=(\rho+\nu)(\rho-\nu-1)であり、指数は−ν,ν+1-\nu,\nu+1である。特異点は1,−1,∞1,-1,\inftyの三つでs=3s=3であり、指数の総和は0+0+(−ν+ν+1)=1=s−20+0+(-\nu+\nu+1)=1=s-2である。

(3)を示す。a=1a=1、r=2r=2とすると、p,qp,qはD(1,2)∖{1}D(1,2)\setminus\{1\}上で正則であり、11は確定特異点である。指数はρ1=ρ2=0\rho_1=\rho_2=0であるから、定理 4.3のN=0N=0の場合により、y1=φ1y_1=\varphi_1、y2=y1Log⁡(z−1)+(z−1)0φ2y_2=y_1\operatorname{Log}(z-1)+(z-1)^0\varphi_2がSL(D∘)\mathcal S_L(D^\circ)の解であり、c=1c=1である。命題 5.1により、[y1]b,[y2]b[y_1]_b,[y_2]_bは基底であり、e2πiρ1=1e^{2\pi i\rho_1}=1であるから、TγεLT^L_{\gamma_\varepsilon}の行列は(12πi01)\begin{pmatrix}1&2\pi i\\0&1\end{pmatrix}である。同命題により、c=1≠0c=1\ne0であるからTγεLT^L_{\gamma_\varepsilon}は対角化可能でない。

ν=n\nu=nが正の整数であるとき、Legendre 多項式PnP_nは§E13.35 式 (1.1.1)を満たす多項式であり、この等式は多項式の恒等式として複素数zzについても成り立つから、Pn∣D∘∈SL(D∘)P_n|_{D^\circ}\in\mathcal S_L(D^\circ)である。Pn(1)=1P_n(1)=1であるから、命題 4.2 (2)によりD(1,2)D(1,2)上でφ1=Pn\varphi_1=P_nであり、11における第二の解はy2=PnLog⁡(z−1)+φ2y_2=P_n\operatorname{Log}(z-1)+\varphi_2である。▨

問題 9.2.例 8.5の方程式y′′+p(z)y′=0y''+p(z)y'=0（p=1z+1z−1−1z−1/2p=\dfrac1z+\dfrac1{z-1}-\dfrac1{z-1/2}）のz0=12z_0=\tfrac12について、定理 4.3のρ1=2\rho_1=2、ρ2=0\rho_2=0、N=2N=2に対するD2D_2を計算し、D2=0D_2=0であることを示せ。

解答.

a=z0a=z_0とし、P=(z−z0)p=∑kpk(z−z0)kP=(z-z_0)p=\sum_kp_k(z-z_0)^kとおく。q=0q=0であるからqk=0q_k=0であり、p0=−1p_0=-1によりF(ρ)=ρ(ρ−2)F(\rho)=\rho(\rho-2)である。b0=1b_0=1であり、m=1m=1についてF(1)b1+(p1(0+ρ2)+q1)b0=−b1=0F(1)b_1+\bigl(p_1(0+\rho_2)+q_1\bigr)b_0=-b_1=0であるからb1=0b_1=0である。したがって

D2=(p1(1+ρ2)+q1)b1+(p2ρ2+q2)b0=0D_2=\bigl(p_1(1+\rho_2)+q_1\bigr)b_1+\bigl(p_2\rho_2+q_2\bigr)b_0=0

である。c=−D2/2=0c=-D_2/2=0であるから、定理 4.3の第二の解は対数項をもたず、系 4.4により指数00の形式的な Frobenius 級数の解が存在する。ここで計算したD2=0D_2=0は、命題 8.4 (3)のk=1k=1の場合の結論と一致する。▨

問題 9.3.m=3m=3、a1=1a_1=1、a2=−1a_2=-1、a3=2a_3=2とし、Fuchs 系Y′=α(z)(0100)YY'=\alpha(z)\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}Y、α(z)=−3z−1+1z+1+8z−2\alpha(z)=-\dfrac3{z-1}+\dfrac1{z+1}+\dfrac8{z-2}を考える。

  1. α(z)=6z2(z2−1)(z−2)\alpha(z)=\dfrac{6z^2}{(z^2-1)(z-2)}であることを示し、命題 8.4 (2)の方程式がy′′+p(z)y′=0y''+p(z)y'=0、p(z)=−2z+1z−1+1z+1+1z−2p(z)=-\dfrac2z+\dfrac1{z-1}+\dfrac1{z+1}+\dfrac1{z-2}であることを示せ。
  2. a=0a=0、r=1r=1とする。00はこの方程式の確定特異点で指数は0,30,3であること、および00が見かけの特異点であることを、Dθ∘D^\circ_\theta上の解を求めて命題 8.4 (3)によらずに示せ。
解答.

(1)を示す。通分すると、α\alphaの分子は

−3(z+1)(z−2)+(z−1)(z−2)+8(z2−1)=(−3+1+8)z2+(3−3)z+(6+2−8)=6z2-3(z+1)(z-2)+(z-1)(z-2)+8(z^2-1)=(-3+1+8)z^2+(3-3)z+(6+2-8)=6z^2

であり、分母は(z−1)(z+1)(z−2)=(z2−1)(z−2)(z-1)(z+1)(z-2)=(z^2-1)(z-2)である。A11=A22=A21=0A_{11}=A_{22}=A_{21}=0、A12=αA_{12}=\alphaであるから、命題 8.4 (2)の係数はp=−α′/αp=-\alpha'/\alpha、q=0q=0である。α=6z2(z−1)−1(z+1)−1(z−2)−1\alpha=6z^2(z-1)^{-1}(z+1)^{-1}(z-2)^{-1}の対数微分をとるとα′/α=2z−1z−1−1z+1−1z−2\alpha'/\alpha=\dfrac2z-\dfrac1{z-1}-\dfrac1{z+1}-\dfrac1{z-2}であるから、ppは主張の式に等しい。

(2)を示す。±1\pm1と22はD(0,1)D(0,1)に属さないから、P(z)=zp(z)=−2+z(1z−1+1z+1+1z−2)P(z)=zp(z)=-2+z\Bigl(\dfrac1{z-1}+\dfrac1{z+1}+\dfrac1{z-2}\Bigr)とQ=z2q=0Q=z^2q=0はD(0,1)D(0,1)上で正則であり、P(0)=−2P(0)=-2である。ppは00に正則に延びないから、00は確定特異点であり、決定多項式はρ(ρ−1)−2ρ=ρ(ρ−3)\rho(\rho-1)-2\rho=\rho(\rho-3)、指数は0,30,3である。

θ∈R\theta\in\Rとし、y∈SL(Dθ∘)y\in\mathcal S_L(D^\circ_\theta)とする。Dθ∘D^\circ_\theta上でα≠0\alpha\ne0であり、p=−α′/αp=-\alpha'/\alphaであるから、

(y′α)′=y′′α−y′α′α2=y′′+py′α=0\Bigl(\frac{y'}\alpha\Bigr)'=\frac{y''\alpha-y'\alpha'}{\alpha^2}=\frac{y''+py'}\alpha=0

である。Dθ∘D^\circ_\thetaは補題 1.3 (1)により領域であるから、§E5.4 命題 4.3により、Dθ∘D^\circ_\theta上でy′=καy'=\kappa\alphaを満たすκ∈C\kappa\in\Cが存在する。α\alphaはD(0,1)D(0,1)上で正則であり、D(0,1)D(0,1)は00に関して星形であるから、§E5.5 定理 4.1によりY0(z)=κ∫[0,z]α(ζ) dζY_0(z)=\kappa\int_{[0,z]}\alpha(\zeta)\,d\zetaはD(0,1)D(0,1)上で正則でY0′=καY_0'=\kappa\alphaを満たす。§E5.4 命題 4.3によりy−Y0y-Y_0はDθ∘D^\circ_\theta上で定数κ0\kappa_0であり、yyはD(0,1)D(0,1)上の正則関数κ0+Y0\kappa_0+Y_0に延びる。したがって00は見かけの特異点である。▨

参考文献

  1. Earl A. Coddington and Norman Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw Hill, 1955.確定特異点での Frobenius 級数の収束と単純極の系の標準形を参考にした。
  2. E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1956, originally published 1926.Fuchs 型方程式と指数の関係式、不確定特異点の判定を参考にした。

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