§E13.14Laplace 変換

最終更新

定数係数の線形初期値問題では、外力の時間変化に応じた解を求めることが基本的な課題となる。たとえば振動方程式で外力が途中の時刻から一定の値をとる場合には、外力の切替えを含む解の表示が必要になる。時間の関数を複素変数の関数へ移す Laplace 変換は、適切な収束条件の下で、初期値を含む微分方程式を代数方程式として扱うことを可能にする。Laplace 変換は、区分的な外力をもつ問題を含め、線形方程式の解法を補う重要な方法である。本記事では、半直線上の Laplace 変換の基本的な性質と、線形初期値問題への適用を扱う。

1 Laplace 変換の定義と収束半平面

定義 1.1.a∈Ra\in\Rとする。関数f:[0,∞)→Cf:[0,\infty)\to\Cが指数aaの指数型増大 (exponential orderaa) をもつとは、定数M,T≥0M,T\ge0が存在して

∣f(t)∣≤Meat(t≥T)|f(t)|\le Me^{at}\qquad(t\ge T)(1.1.1)\text{(1.1.1)}

を満たすことをいう。この条件を満たす実数aaが存在するとき、単に指数型増大 (exponential order) をもつという。

定義 1.2.ffを[0,∞)[0,\infty)上で局所的に区分連続な関数とする。広義積分が収束する複素数ssに対して

L{f}(s)=F(s)=∫0∞e−stf(t) dt\mathcal L\{f\}(s) =F(s) =\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt(1.2.1)\text{(1.2.1)}

と定め、FFをffの Laplace 変換 (Laplace transform) という。

定義 1.3.σ0∈R\sigma_0\in\Rとする。f∈Lloc1([0,∞);C)f\in L^1_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)が

∫0∞e−σ0t∣f(t)∣ dt<∞\int_0^\infty e^{-\sigma_0t}|f(t)|\,dt<\infty

を満たすとき、ffは重みσ0\sigma_0について可積分 (integrable with weighte−σ0te^{-\sigma_0t}) であるという。このとき、ℜs≥σ0\Re s\geq\sigma_0におけるffの Laplace 変換を Lebesgue 積分

L{f}(s)=∫0∞e−stf(t) dt\mathcal L\{f\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt

によって定める。∣e−stf(t)∣≤e−σ0t∣f(t)∣|e^{-st}f(t)|\leq e^{-\sigma_0t}|f(t)|であるから、この積分は境界ℜs=σ0\Re s=\sigma_0を含めて絶対収束する。ほとんど至る所で一致する関数の変換は一致する。

命題 1.4.f:[0,∞)→Cf:[0,\infty)\to\Cを局所的に区分連続な関数とし、s∈Cs\in\Cとする。このとき、広義積分∫0∞∣e−stf(t)∣ dt\int_0^\infty|e^{-st}f(t)|\,dtが収束することは、ffが重みℜs\Re sについて可積分であるための必要十分条件である。これらの条件が成り立つとき、式 (1.2.1)の広義積分は収束し、Lebesgue 積分∫0∞e−stf(t) dt\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dtに等しい。

証明.σ=ℜs\sigma=\Re sとおく。R>0R>0とすると、[0,R][0,R]上のe−stf(t)e^{-st}f(t)の実部と虚部、およびe−σt∣f(t)∣e^{-\sigma t}|f(t)|は有界な区分連続関数であり、Riemann 可積分である。§E10.17 系 5.2により、これらは[0,R][0,R]上で Lebesgue 可積分であり、Riemann 積分と Lebesgue 積分は一致する。特にffは各[0,R][0,R]上で可測かつ可積分であり、f∈Lloc1([0,∞);C)f\in L^1_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)である。R↑∞R\uparrow\inftyとすると1[0,R]e−σt∣f(t)∣↑e−σt∣f(t)∣\mathbf 1_{[0,R]}e^{-\sigma t}|f(t)|\uparrow e^{-\sigma t}|f(t)|であるから、§E10.11 定理 1.1により

∫0∞e−σt∣f(t)∣ dt=lim⁡R→∞∫0Re−σt∣f(t)∣ dt\int_0^\infty e^{-\sigma t}|f(t)|\,dt=\lim_{R\to\infty}\int_0^R e^{-\sigma t}|f(t)|\,dt

が[0,∞][0,\infty]において成り立つ。右辺の極限は広義積分∫0∞∣e−stf(t)∣ dt\int_0^\infty|e^{-st}f(t)|\,dtであるから、二つの条件は同値である。

広義積分∫0∞∣e−stf(t)∣ dt\int_0^\infty|e^{-st}f(t)|\,dtが収束し、ffが重みσ\sigmaについて可積分であるとする。広義積分∫0∞e−stf(t) dt\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dtは絶対収束するから収束する。R→∞R\to\inftyのとき1[0,R]e−stf(t)→e−stf(t)\mathbf 1_{[0,R]}e^{-st}f(t)\to e^{-st}f(t)であり、絶対値は可積分なe−σt∣f(t)∣e^{-\sigma t}|f(t)|以下であるから、§E10.11 定理 3.1により∫0Re−stf(t) dt\int_0^Re^{-st}f(t)\,dtは Lebesgue 積分∫0∞e−stf(t) dt\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dtへ収束する。▨

定理 1.5.a∈Ra\in\Rとし、f:[0,∞)→Cf:[0,\infty)\to\Cを局所的に区分連続な関数とする。定数M,T≥0M,T\ge0について、すべてのt≥Tt\ge Tで∣f(t)∣≤Meat|f(t)|\le Me^{at}が成り立つとする。このとき、式 (1.2.1)は

ℜs>a\Re s>a

で絶対収束する。さらに、任意のσ0>a\sigma_0>aに対して、ℜs≥σ0\Re s\ge\sigma_0を満たすすべてのssについて

∫T∞∣e−stf(t)∣ dt≤Me−(σ0−a)Tσ0−a\int_T^\infty|e^{-st}f(t)|\,dt \le \frac{M e^{-(\sigma_0-a)T}}{\sigma_0-a}(1.5.1)\text{(1.5.1)}

が成り立つ。特に、任意のσ0>a\sigma_0>aについてffは重みσ0\sigma_0について可積分であり、ℜs≥σ0\Re s\ge\sigma_0では式 (1.2.1)の値は定義 1.3の値に一致する。

証明.σ=ℜs>a\sigma=\Re s>aとする。t≥Tt\ge Tでは

∣e−stf(t)∣=e−σt∣f(t)∣≤Me−(σ−a)t|e^{-st}f(t)| =e^{-\sigma t}|f(t)| \le M e^{-(\sigma-a)t}

である。右辺は[T,∞)[T,\infty)上で可積分であり、その積分は

Me−(σ−a)Tσ−a\frac{M e^{-(\sigma-a)T}}{\sigma-a}

である。[0,T][0,T]上ではffが区分連続であるから絶対可積分である。したがって式 (1.2.1)は絶対収束する。σ≥σ0\sigma\ge\sigma_0ならば(σ−a)−1e−(σ−a)T≤(σ0−a)−1e−(σ0−a)T(\sigma-a)^{-1}e^{-(\sigma-a)T}\le(\sigma_0-a)^{-1}e^{-(\sigma_0-a)T}であるから、式 (1.5.1)を得る。σ0>a\sigma_0>aとすると、s=σ0s=\sigma_0で広義積分∫0∞∣e−σ0tf(t)∣ dt\int_0^\infty|e^{-\sigma_0t}f(t)|\,dtは収束するから、命題 1.4によりffは重みσ0\sigma_0について可積分である。ℜs≥σ0>a\Re s\ge\sigma_0>aでは広義積分が絶対収束するから、命題 1.4により二つの値は一致する。▨

2 微分の Laplace 変換

補題 2.1.g∈ACloc([0,∞);C)g\in AC_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)とし、g,g′∈L1([0,∞);C)g,g'\in L^1([0,\infty);\C)とする。このとき

lim⁡t→∞g(t)=0\lim_{t\to\infty}g(t)=0

である。

証明.§E13.2 系 2.6により、すべてのt≥0t\geq0で

g(t)=g(0)+∫0tg′(u) dug(t)=g(0)+\int_0^t g'(u)\,du

である。g′g'の絶対可積分性から右辺はt→∞t\to\inftyで有限な極限ℓ\ellをもち、∣g(t)−ℓ∣≤∫t∞∣g′(u)∣ du|g(t)-\ell|\leq\int_t^\infty|g'(u)|\,duである。ℓ≠0\ell\neq0と仮定すると、あるt1≥0t_1\ge0が存在して、すべてのt≥t1t\geq t_1で∣g(t)∣≥∣ℓ∣/2|g(t)|\geq|\ell|/2となり、∫t1∞∣g(t)∣ dt=∞\int_{t_1}^\infty|g(t)|\,dt=\inftyである。これはg∈L1([0,∞);C)g\in L^1([0,\infty);\C)に反する。したがってℓ=0\ell=0である。▨

定理 2.2.σ0∈R\sigma_0\in\R、f∈ACloc([0,∞);C)f\in AC_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)とし、

∫0∞e−σ0t(∣f(t)∣+∣f′(t)∣) dt<∞\int_0^\infty e^{-\sigma_0t}\bigl(|f(t)|+|f'(t)|\bigr)\,dt<\infty

とする。このとき、ℜs≥σ0\Re s\geq\sigma_0で

L{f′}(s)=sL{f}(s)−f(0)\mathcal L\{f'\}(s)=s\mathcal L\{f\}(s)-f(0)

が成り立つ。導関数の値はほとんど至る所で定まるものを用い、f(0)f(0)は局所絶対連続な関数ff自身の値とする。

証明.ℜs≥σ0\Re s\geq\sigma_0を固定し、g(t)=e−stf(t)g(t)=e^{-st}f(t)とおく。§E13.2 定理 3.1 (2)によりggは局所絶対連続であり、

g′(t)=e−st(f′(t)−sf(t))ほとんど至る所g'(t)=e^{-st}\bigl(f'(t)-sf(t)\bigr) \quad\text{ほとんど至る所}

である。仮定からg,g′∈L1g,g'\in L^1であるから、補題 2.1によりe−sRf(R)→0e^{-sR}f(R)\to0となる。有限区間における§E13.2 定理 3.4により

∫0Re−stf′(t) dt=e−sRf(R)−f(0)+s∫0Re−stf(t) dt\int_0^R e^{-st}f'(t)\,dt =e^{-sR}f(R)-f(0)+s\int_0^R e^{-st}f(t)\,dt

である。両積分は絶対収束するから、R→∞R\to\inftyとして結論を得る。▨

系 2.3.σ0∈R\sigma_0\in\Rとし、f∈ACloc([0,∞);C)f\in AC_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)の導関数が局所絶対連続な代表vvをもつとする。ほとんど至る所の等式f′=vf'=vに対応する二階導関数f′′=v′f''=v'について

∫0∞e−σ0t(∣f(t)∣+∣v(t)∣+∣v′(t)∣) dt<∞\int_0^\infty e^{-\sigma_0t}\bigl(|f(t)|+|v(t)|+|v'(t)|\bigr)\,dt<\infty

を仮定する。このときf∈C1([0,∞);C)f\in C^1([0,\infty);\C)であり、f′=vf'=vが全点で成立する。さらに、ℜs≥σ0\Re s\geq\sigma_0では

L{f′′}(s)=s2L{f}(s)−sf(0)−f′(0)\mathcal L\{f''\}(s)=s^2\mathcal L\{f\}(s)-sf(0)-f'(0)

である。端点00の微分は右微分とする。

証明.§E13.2 系 2.6の表示f(t)=f(0)+∫0tv(u) duf(t)=f(0)+\int_0^tv(u)\,duとvvの連続性から、ffはC1C^1級でf′=vf'=vが全点で成り立つ。定理 2.2をvvとffへ適用すると、

L{f′′}(s)=sL{v}(s)−v(0)=s(sL{f}(s)−f(0))−f′(0)\mathcal L\{f''\}(s)=s\mathcal L\{v\}(s)-v(0) =s\bigl(s\mathcal L\{f\}(s)-f(0)\bigr)-f'(0)

を得る。▨

定理 2.4.f∈ACloc([0,∞);C)f\in AC_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)とし、ffとそのほとんど至る所の導関数f′f'が、それぞれ指数a,b∈Ra,b\in\Rの指数型増大をもつとする。導関数の指数評価は零集合を除いて成り立てばよい。このとき

ℜs>max⁡{a,b}\Re s>\max\{a,b\}

において

L{f′}(s)=sL{f}(s)−f(0+)\mathcal L\{f'\}(s)=s\mathcal L\{f\}(s)-f(0+)

が成り立つ。ここで、ffは連続であるからf(0+)=f(0)f(0+)=f(0)である。

証明.σ=ℜs>max⁡{a,b}\sigma=\Re s>\max\{a,b\}とする。§E13.2 定理 2.5によりf,f′f,f'は各有限区間で可積分である。尾部では、それぞれの指数評価からe−σt∣f(t)∣e^{-\sigma t}|f(t)|とe−σt∣f′(t)∣e^{-\sigma t}|f'(t)|が可積分となる。したがって定理 2.2を重みσ\sigmaで適用することができる。▨

注意 2.5.定理 2.2または定理 2.4の仮定を満たすffについて、f(0)f(0)だけを別の値へ書き換えた関数f~\widetilde fは、Lebesgue 積分が零集合上の値に依存しないから、ffと同じ Laplace 変換をもつ。f~\widetilde fのほとんど至る所の導関数はf′f'に一致するから、L{f~′}(s)=sL{f~}(s)−f(0)\mathcal L\{\widetilde f'\}(s)=s\mathcal L\{\widetilde f\}(s)-f(0)である。f~\widetilde fは00で連続でないので、右辺の初期値項はf~(0)\widetilde f(0)ではなく、右極限f~(0+)=f(0)\widetilde f(0+)=f(0)である。

系 2.6.f∈ACloc([0,∞);C)f\in AC_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)の導関数が局所絶対連続な代表をもち、f,f′,f′′f,f',f''がそれぞれ指数a,b,c∈Ra,b,c\in\Rの指数型増大をもつとする。導関数の評価はほとんど至る所で成り立てばよい。このとき、ℜs>max⁡{a,b,c}\Re s>\max\{a,b,c\}では

L{f′′}(s)=s2L{f}(s)−sf(0+)−f′(0+)\mathcal L\{f''\}(s)=s^2\mathcal L\{f\}(s)-sf(0+)-f'(0+)(2.6.1)\text{(2.6.1)}

である。初期値はffとf′f'の連続代表から取る。

証明. 有限区間での可積分性と尾部の指数評価により、f,f′,f′′f,f',f''はσ=ℜs>max⁡{a,b,c}\sigma=\Re s>\max\{a,b,c\}の重みについて可積分である。系 2.3を適用し、連続代表の値を右極限で書けば式 (2.6.1)を得る。▨

例 2.7.f(t)=t e−tf(t)=\sqrt t\,e^{-t}とおく。このとき、t>0t>0では

f′(t)=e−t(12t−t)f'(t)=e^{-t}\left(\frac1{2\sqrt t}-\sqrt t\right)

であり、この導関数は原点近くで非有界であるが局所可積分である。0<ε<t0<\ep<tで微積分の基本定理を適用してからε↓0\ep\downarrow0とすると、f(t)=∫0tf′(u) duf(t)=\int_0^t f'(u)\,duとなる。したがって§E13.2 系 2.6によりffは局所絶対連続である。σ0>−1\sigma_0>-1とすると、すべてのt>0t>0で

e−σ0t(∣f(t)∣+∣f′(t)∣)≤e−(σ0+1)t(2t+1t)e^{-\sigma_0t}\bigl(|f(t)|+|f'(t)|\bigr)\le e^{-(\sigma_0+1)t}\left(2\sqrt t+\frac1{\sqrt t}\right)

であり、右辺は(0,∞)(0,\infty)上で可積分である。よって定理 2.2により、ℜs≥σ0\Re s\geq\sigma_0でL{f′}(s)=sL{f}(s)\mathcal L\{f'\}(s)=s\mathcal L\{f\}(s)が成り立つ。

3 基本的な変換対

命題 3.1.nnを非負整数、a∈Ca\in\C、ω∈R\omega\in\Rとする。このとき、表示した半平面で

f(t)L{f}(s)11s(ℜs>0)eat1s−a(ℜs>ℜa)tnn!sn+1(ℜs>0)cos⁡(ωt)ss2+ω2(ℜs>0)sin⁡(ωt)ωs2+ω2(ℜs>0)\begin{array}{c|c} f(t)&\mathcal L\{f\}(s)\\ \hline 1&\dfrac1s\quad(\Re s>0)\\[2mm] e^{at}&\dfrac1{s-a}\quad(\Re s>\Re a)\\[2mm] t^n&\dfrac{n!}{s^{n+1}}\quad(\Re s>0)\\[2mm] \cos(\omega t)&\dfrac{s}{s^2+\omega^2}\quad(\Re s>0)\\[2mm] \sin(\omega t)&\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\quad(\Re s>0) \end{array}

が成り立ち、各広義積分は絶対収束する。

証明.ℜs>ℜa\Re s>\Re aとする。R>0R>0について

∫0Re−(s−a)t dt=1−e−(s−a)Rs−a\int_0^Re^{-(s-a)t}\,dt=\frac{1-e^{-(s-a)R}}{s-a}

であり、∣e−(s−a)R∣=e−(ℜs−ℜa)R→0|e^{-(s-a)R}|=e^{-(\Re s-\Re a)R}\to0であるから、eate^{at}の変換対を得る。a=0a=0とすると11の変換対を得る。∣e−steat∣=e−(ℜs−ℜa)t|e^{-st}e^{at}|=e^{-(\Re s-\Re a)t}は[0,∞)[0,\infty)上で可積分であるから、これらの広義積分は絶対収束する。tnt^nについては

In(s)=∫0∞e−sttn dtI_n(s)=\int_0^\infty e^{-st}t^n\,dt

と置く。ℜs>0\Re s>0ではtne−ℜs tt^ne^{-\Re s\,t}は[0,∞)[0,\infty)上で可積分であり、t→∞t\to\inftyでtne−st→0t^ne^{-st}\to0であるから、n≥1n\ge1で部分積分すると

In(s)=nsIn−1(s),I0(s)=1sI_n(s)=\frac{n}{s}I_{n-1}(s),\qquad I_0(s)=\frac1s

である。帰納法によりIn=n!/sn+1I_n=n!/s^{n+1}を得る。

三角関数については

cos⁡(ωt)=eiωt+e−iωt2,sin⁡(ωt)=eiωt−e−iωt2i\cos(\omega t)=\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}2,\qquad \sin(\omega t)=\frac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i}

である。ℜs>0=ℜ(±iω)\Re s>0=\Re(\pm i\omega)では、eate^{at}の変換対をa=±iωa=\pm i\omegaに適用して

L{cos⁡(ωt)}(s)=12(1s−iω+1s+iω)=ss2+ω2,L{sin⁡(ωt)}(s)=12i(1s−iω−1s+iω)=ωs2+ω2\begin{aligned} \mathcal L\{\cos(\omega t)\}(s) &=\frac12 \left( \frac1{s-i\omega}+\frac1{s+i\omega} \right) =\frac{s}{s^2+\omega^2},\\ \mathcal L\{\sin(\omega t)\}(s) &=\frac1{2i} \left( \frac1{s-i\omega}-\frac1{s+i\omega} \right) =\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \end{aligned}

を得る。∣e−stcos⁡(ωt)∣|e^{-st}\cos(\omega t)|と∣e−stsin⁡(ωt)∣|e^{-st}\sin(\omega t)|はe−ℜs te^{-\Re s\,t}以下であるから、これらの広義積分も絶対収束する。▨

注意 3.2.d∈N≥1d\in\NN、A∈Cd×dA\in\C^{d\times d}とし、α(A)\alpha(A)をAAの固有値の実部の最大値とする。行列値関数の Laplace 変換を成分ごとに定める。このとき、ℜs>α(A)\Re s>\alpha(A)においてsI−AsI-Aは可逆であり

L{etA}(s)=(sI−A)−1\mathcal L\{e^{tA}\}(s)=(sI-A)^{-1}

が成り立つ。(sI−A)−1(sI-A)^{-1}はAAのレゾルベントである。等式L{etA}(s)=(sI−A)−1\mathcal L\{e^{tA}\}(s)=(sI-A)^{-1}は、L{eat}(s)=1/(s−a)\mathcal L\{e^{at}\}(s)=1/(s-a)の行列版である。

実際、α(A)<σ<ℜs\alpha(A)<\sigma<\Re sを満たす実数σ\sigmaをとる。X∈Cd×dX\in\C^{d\times d}の成分の絶対値の最大値を∣X∣∞|X|_\inftyと書く。§E13.12 補題 6.4 (1)をB=AB=A、ノルム∣⋅∣∞|\cdot|_\infty、γ=σ>α(A)\gamma=\sigma>\alpha(A)に適用すると、あるC≥1C\ge1が存在して、すべてのt≥0t\ge0で∣etA∣∞≤Ceσt|e^{tA}|_\infty\le Ce^{\sigma t}である。§E13.12 定理 2.1により(etA)′=AetA(e^{tA})'=Ae^{tA}であり、すべてのt≥0t\ge0で∣AetA∣∞≤d ∣A∣∞Ceσt|Ae^{tA}|_\infty\le d\,|A|_\infty Ce^{\sigma t}である。したがって、etAe^{tA}の各成分とその導関数は指数σ\sigmaの指数型増大をもつ。§E13.12 定理 2.2 (3)によりetAe^{tA}の各成分は[0,∞)[0,\infty)上で局所絶対連続であり、e0A=Ie^{0A}=Iである。定理 2.4を各成分に適用し、積分の線形性を用いると

sL{etA}(s)−I=A L{etA}(s)s\mathcal L\{e^{tA}\}(s)-I=A\,\mathcal L\{e^{tA}\}(s)

を得る。すなわち(sI−A)L{etA}(s)=I(sI-A)\mathcal L\{e^{tA}\}(s)=Iである。sI−AsI-AとL{etA}(s)\mathcal L\{e^{tA}\}(s)はともにdd次正方行列であるから、sI−AsI-Aは可逆であり、L{etA}(s)=(sI−A)−1\mathcal L\{e^{tA}\}(s)=(sI-A)^{-1}である。σ\sigmaはα(A)<σ<ℜs\alpha(A)<\sigma<\Re sの範囲で任意にとることができるので、結論はℜs>α(A)\Re s>\alpha(A)の全体で成り立つ。

4 時間移動

定義 4.1.c≥0c\ge0に対して

Hc(t)={0,0≤t<c,1,t≥cH_c(t)= \begin{cases} 0,&0\le t<c,\\ 1,&t\ge c \end{cases}

と定める。HcH_cを単位階段関数 (unit step function) という。

命題 4.2.c≥0c\geq0とし、h:[0,∞)→Ch:[0,\infty)\to\Cを局所的に区分連続な関数とする。t<ct<cではHc(t)h(t−c)=0H_c(t)h(t-c)=0と定める。s∈Cs\in\Cについて広義積分∫0∞∣e−suh(u)∣ du\int_0^\infty|e^{-su}h(u)|\,duが収束するとする。このとき、広義積分∫0∞e−stHc(t)h(t−c) dt\int_0^\infty e^{-st}H_c(t)h(t-c)\,dtは絶対収束し、

L{Hc(t)h(t−c)}(s)=e−csL{h}(s)\mathcal L\{H_c(t)h(t-c)\}(s) =e^{-cs}\mathcal L\{h\}(s)(4.2.1)\text{(4.2.1)}

が成り立つ。特に、hhが指数a∈Ra\in\Rの指数型増大をもつならば、この等式はℜs>a\Re s>aで成り立つ。

証明.R>cR>cとする。[c,R][c,R]上の変数変換u=t−cu=t-cにより

∫0Re−stHc(t)h(t−c) dt=∫cRe−sth(t−c) dt=e−cs∫0R−ce−suh(u) du\begin{aligned} \int_0^R e^{-st}H_c(t)h(t-c)\,dt &=\int_c^R e^{-st}h(t-c)\,dt\\ &=e^{-cs}\int_0^{R-c} e^{-su}h(u)\,du \end{aligned}

である。被積分関数を絶対値に替えても、同じ変数変換により∫0R∣e−stHc(t)h(t−c)∣ dt=e−cℜs∫0R−c∣e−suh(u)∣ du\int_0^R|e^{-st}H_c(t)h(t-c)|\,dt=e^{-c\Re s}\int_0^{R-c}|e^{-su}h(u)|\,duである。仮定により右辺の広義積分は絶対収束するから、R→∞R\to\inftyとして、左辺の広義積分の絶対収束と式 (4.2.1)を得る。hhが指数aaの指数型増大をもつならば、定理 1.5によりℜs>a\Re s>aで∫0∞∣e−suh(u)∣ du\int_0^\infty|e^{-su}h(u)|\,duは収束する。▨

例 4.3.c>0c>0とし、f=Hcf=H_cとする。このとき、ffは局所的に区分連続で指数00の指数型増大をもち、t≠ct\ne cで微分可能でf′(t)=0f'(t)=0である。したがって、ほとんど至る所の導関数f′f'は零であり、任意の指数の指数型増大をもつ。式 (4.2.1)をh=1h=1に適用し、命題 3.1を用いると、ℜs>0\Re s>0でL{f}(s)=e−cs/s\mathcal L\{f\}(s)=e^{-cs}/sであるから

L{f′}(s)=0≠e−cs=sL{f}(s)−f(0)\mathcal L\{f'\}(s)=0\ne e^{-cs}=s\mathcal L\{f\}(s)-f(0)

である。ffはccで連続でないから局所絶対連続でない。したがって、定理 2.4の結論は、f∈ACloc([0,∞);C)f\in AC_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)の仮定を除くと成り立たない。

5 畳み込み公式

定義 5.1. 局所的に区分連続な関数f,g:[0,∞)→Cf,g:[0,\infty)\to\Cに対して

(f∗g)(t)=∫0tf(u)g(t−u) du(f*g)(t) =\int_0^t f(u)g(t-u)\,du(5.1.1)\text{(5.1.1)}

と定める。f∗gf*gを半直線上の畳み込み (convolution on the half-line) という。

系 5.2.f,g∈Lloc1([0,∞);C)f,g\in L^1_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)とする。このとき、ほとんどすべてのt≥0t\ge0について積分∫0tf(u)g(t−u) du\int_0^tf(u)g(t-u)\,duは絶対収束する。絶対収束しない点で値を00と定めた関数f∗gf*gは局所可積分であり、そのほとんど至る所の一致による同値類はf,gf,gの代表によらない。

証明.R∈N≥1R\in\NNとし、fR=f1[0,R]f_R=f\mathbf 1_{[0,R]}、gR=g1[0,R]g_R=g\mathbf 1_{[0,R]}を負の半直線へ零延長する。fR,gRf_R,g_RはR\R上の複素数値 Lebesgue 可積分関数であるから、§E10.19 命題 6.5により、畳み込みgR∗fRg_R*f_Rはほとんど至る所で絶対収束し、絶対収束しない点で零とすると可積分であり、その同値類は代表によらない。0≤u≤t≤R0\le u\le t\le RならばfR(u)gR(t−u)=f(u)g(t−u)f_R(u)g_R(t-u)=f(u)g(t-u)であり、u∉[0,t]u\notin[0,t]ならばgR(t−u)fR(u)=0g_R(t-u)f_R(u)=0である。したがって、t∈[0,R]t\in[0,R]について、∫0tf(u)g(t−u) du\int_0^tf(u)g(t-u)\,duと∫RgR(t−u)fR(u) du\int_\R g_R(t-u)f_R(u)\,duは同時に絶対収束し、絶対収束するときは値が一致する。絶対収束しない点で零とすると、[0,R][0,R]上でf∗g=gR∗fRf*g=g_R*f_Rであるから、f∗gf*gは[0,R][0,R]上で可積分であり、その同値類は代表によらない。R∈N≥1R\in\NNに対する例外零集合の可算和は零集合であり、区間[0,R][0,R]は半直線全体を覆うので結論を得る。▨

定理 5.3 (Laplace 変換の畳み込み公式).σ0∈R\sigma_0\in\Rとし、f,g∈Lloc1([0,∞);C)f,g\in L^1_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)が

∫0∞e−σ0t∣f(t)∣ dt<∞,∫0∞e−σ0t∣g(t)∣ dt<∞\int_0^\infty e^{-\sigma_0t}|f(t)|\,dt<\infty, \qquad \int_0^\infty e^{-\sigma_0t}|g(t)|\,dt<\infty

を満たすとする。このとき

h(t)=∫0tf(u)g(t−u) duh(t)=\int_0^t f(u)g(t-u)\,du

はほとんど至る所で絶対収束する。絶対収束しない点でh(t)=0h(t)=0と定めると、hhは局所可積分であり、そのほとんど至る所の一致による同値類はf,gf,gの代表によらない。hhをf∗gf*gと書く。このとき

∫0∞e−σ0t∣h(t)∣ dt≤(∫0∞e−σ0u∣f(u)∣ du)(∫0∞e−σ0v∣g(v)∣ dv)\int_0^\infty e^{-\sigma_0t}|h(t)|\,dt \leq \left(\int_0^\infty e^{-\sigma_0u}|f(u)|\,du\right) \left(\int_0^\infty e^{-\sigma_0v}|g(v)|\,dv\right)

であり、ℜs≥σ0\Re s\geq\sigma_0で

L{f∗g}(s)=L{f}(s)L{g}(s)\mathcal L\{f*g\}(s)=\mathcal L\{f\}(s)\mathcal L\{g\}(s)

が成り立つ。

証明.系 5.2により、h=f∗gh=f*gは局所可積分な同値類を定め、その同値類はf,gf,gの代表によらない。f,gf,gの有限値 Lebesgue 可測代表を取り、f,g,hf,g,hを負の半直線へ零延長する。s∈Cs\in\C、ℜs≥σ0\Re s\ge\sigma_0とし、fs(t)=e−stf(t)f_s(t)=e^{-st}f(t)、gs(t)=e−stg(t)g_s(t)=e^{-st}g(t)とおく。t≥0t\ge0で∣fs(t)∣≤e−σ0t∣f(t)∣|f_s(t)|\le e^{-\sigma_0t}|f(t)|、∣gs(t)∣≤e−σ0t∣g(t)∣|g_s(t)|\le e^{-\sigma_0t}|g(t)|であり、負の半直線では両者とも零であるから、fs,gsf_s,g_sはR\R上の複素数値 Lebesgue 可積分関数である。すべてのt,u∈Rt,u\in\Rについて

gs(t−u)fs(u)=e−st1[0,t](u)f(u)g(t−u)g_s(t-u)f_s(u)=e^{-st}\mathbf 1_{[0,t]}(u)f(u)g(t-u)(5.3.1)\text{(5.3.1)}

である。ここでt<0t<0のとき1[0,t]=0\mathbf 1_{[0,t]}=0とする。したがって、絶対収束しない点で零とした畳み込みについて、gs∗fs=e−s⋅hg_s*f_s=e^{-s\cdot}hがほとんど至る所で成り立つ。

§E10.19 命題 6.5をgσ0,fσ0g_{\sigma_0},f_{\sigma_0}に適用すると

∫0∞e−σ0t∣h(t)∣ dt=∫R∣gσ0∗fσ0∣ dt≤(∫0∞e−σ0u∣f(u)∣ du)(∫0∞e−σ0v∣g(v)∣ dv)\int_0^\infty e^{-\sigma_0t}|h(t)|\,dt =\int_\R|g_{\sigma_0}*f_{\sigma_0}|\,dt \le\left(\int_0^\infty e^{-\sigma_0u}|f(u)|\,du\right) \left(\int_0^\infty e^{-\sigma_0v}|g(v)|\,dv\right)(5.3.2)\text{(5.3.2)}

を得る。各ℜs≥σ0\Re s\ge\sigma_0について同じ命題をgs,fsg_s,f_sに適用すると、e−s⋅he^{-s\cdot}hは可積分であり、積分の積公式から

L{f∗g}(s)=∫R(gs∗fs)(t) dt=(∫Rgs(t) dt)(∫Rfs(t) dt)=L{f}(s)L{g}(s)\begin{aligned} \mathcal L\{f*g\}(s) &=\int_\R(g_s*f_s)(t)\,dt\\ &=\left(\int_\R g_s(t)\,dt\right) \left(\int_\R f_s(t)\,dt\right) =\mathcal L\{f\}(s)\mathcal L\{g\}(s) \end{aligned}

となる。▨

定理 5.4 (Laplace 変換の畳み込み公式).a,b∈Ra,b\in\Rとし、f,g:[0,∞)→Cf,g:[0,\infty)\to\Cが局所的に区分連続で、それぞれ指数a,ba,bの指数型増大をもつとする。F=L{f}F=\mathcal L\{f\}、G=L{g}G=\mathcal L\{g\}とする。このとき、式 (5.1.1)の畳み込みは全点で定まり、連続である。さらに、

ℜs>max⁡{a,b}\Re s>\max\{a,b\}

においてf∗gf*gの Laplace 変換は絶対収束し、

L{f∗g}(s)=F(s)G(s)\mathcal L\{f*g\}(s)=F(s)G(s)(5.4.1)\text{(5.4.1)}

が成り立つ。

証明. 各有限区間ではf,gf,gは有界かつ区分連続であるから、式 (5.1.1)の積分はすべてのt≥0t\geq0で絶対収束する。tn→tt_n\to tとし、t,tn∈[0,R]t,t_n\in[0,R]とする。ggを負の半直線上で零に延長すると、[0,R][0,R]上の関数

1{u≤tn}f(u)g(tn−u)\mathbf1_{\{u\leq t_n\}}f(u)g(t_n-u)

は、u=tu=tおよびt−ut-uがggの不連続点となる有限個のuuを除いて、1{u≤t}f(u)g(t−u)\mathbf1_{\{u\leq t\}}f(u)g(t-u)へ収束する。被積分関数はf,gf,gの局所有界性から共通の可積分な定数関数で支配される。したがって§E10.11 定理 3.1により(f∗g)(tn)→(f∗g)(t)(f*g)(t_n)\to(f*g)(t)となる。

σ=ℜs>max⁡{a,b}\sigma=\Re s>\max\{a,b\}とすると、定理 1.5によりf,gf,gは重みσ\sigmaについて可積分であり、F(s),G(s)F(s),G(s)は重み付きの変換に一致する。f∗gf*gはすべてのt≥0t\ge0で絶対収束する積分で与えられるから、定理 5.3のf∗gf*gと全点で一致する。定理 5.3を重みσ\sigmaで適用すると、f∗gf*gは重みσ\sigmaについて可積分であり、その変換はF(s)G(s)F(s)G(s)である。f∗gf*gは連続であるから、命題 1.4によりf∗gf*gの広義積分による変換は絶対収束し、式 (5.4.1)を得る。▨

6 区分的外力をもつ初期値問題

命題 6.1.ω∈R∖{0}\omega\in\R\setminus\{0\}、f∈Lloc1([0,∞);C)f\in L^1_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)とする。このとき、すべてのt≥0t\ge0について積分

y(t)=∫0tsin⁡(ω(t−u))ωf(u) duy(t)=\int_0^t\frac{\sin(\omega(t-u))}{\omega}f(u)\,du

は絶対収束する。このyyはC1C^1級でy′∈ACloc([0,∞);C)y'\in AC_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)を満たし、初期値問題

y′′+ω2y=fほとんど至る所,y(0)=y′(0)=0y''+\omega^2y=f\quad\text{ほとんど至る所},\qquad y(0)=y'(0)=0

の解である。この初期値問題の解のうち、C1C^1級で導関数が局所絶対連続であるものはyyだけである。ffが連続ならばy∈C2y\in C^2であり、方程式は全点で成立する。さらに、∫0∞e−σ0t∣f(t)∣ dt<∞\int_0^\infty e^{-\sigma_0t}|f(t)|\,dt<\inftyを満たすσ0∈R\sigma_0\in\Rが存在するならば、任意のσ≥σ0\sigma\geq\sigma_0かつσ>0\sigma>0に対してy,y′,y′′y,y',y''は重みσ\sigmaについて可積分であり、ℜs≥σ\Re s\geq\sigmaで

Y(s)=F(s)s2+ω2,Y=L{y},F=L{f}Y(s)=\frac{F(s)}{s^2+\omega^2},\qquad Y=\mathcal L\{y\},\quad F=\mathcal L\{f\}

が成り立つ。

証明.

C=(01−ω20),b(t)=(0f(t))C=\begin{pmatrix}0&1\\-\omega^2&0\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b(t)=\begin{pmatrix}0\\ f(t)\end{pmatrix}

とおく。C2=−ω2IC^2=-\omega^2Iであるから、§E13.12 定義 1.2の級数を偶数次と奇数次の項に分けると、すべてのt∈Rt\in\Rで

etC=cos⁡(ωt) I+sin⁡(ωt)ω C=(cos⁡(ωt)sin⁡(ωt)/ω−ωsin⁡(ωt)cos⁡(ωt))e^{tC}=\cos(\omega t)\,I+\frac{\sin(\omega t)}{\omega}\,C =\begin{pmatrix}\cos(\omega t)&\sin(\omega t)/\omega\\-\omega\sin(\omega t)&\cos(\omega t)\end{pmatrix}

である。b∈Lloc1([0,∞);C2)\boldsymbol b\in L^1_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C^2)であるから、§E13.12 定理 2.4をI=[0,∞)I=[0,\infty)、t0=0t_0=0、η=0\boldsymbol\eta=\boldsymbol 0として適用すると、x′=Cx+b\boldsymbol x'=C\boldsymbol x+\boldsymbol b（ほとんど至る所）、x(0)=0\boldsymbol x(0)=\boldsymbol 0は一意な局所絶対連続解x=(x1,x2)\boldsymbol x=(x_1,x_2)をもち、すべてのt≥0t\ge0でx(t)=∫0te(t−u)Cb(u) du\boldsymbol x(t)=\int_0^te^{(t-u)C}\boldsymbol b(u)\,duである。e(t−u)Ce^{(t-u)C}の第2列から、すべてのt≥0t\ge0について

x1(t)=∫0tsin⁡(ω(t−u))ωf(u) du=y(t),x2(t)=∫0tcos⁡(ω(t−u))f(u) dux_1(t)=\int_0^t\frac{\sin(\omega(t-u))}{\omega}f(u)\,du=y(t),\qquad x_2(t)=\int_0^t\cos(\omega(t-u))f(u)\,du

であり、これらの積分は絶対収束する。x1x_1は局所絶対連続で、ほとんど至る所でx1′=x2x_1'=x_2を満たし、x2x_2は連続であるから、§E13.2 系 2.7 (1)によりy=x1y=x_1はC1C^1級で、すべてのt≥0t\ge0でy′=x2y'=x_2である。したがってy′∈ACloc([0,∞);C)y'\in AC_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)であり、ほとんど至る所でy′′=x2′=−ω2y+fy''=x_2'=-\omega^2y+f、y(0)=y′(0)=0y(0)=y'(0)=0である。

zzをC1C^1級でz′∈ACloc([0,∞);C)z'\in AC_{\mathrm{loc}}([0,\infty);\C)を満たす初期値問題の解とする。§E13.2 系 2.7 (2)によりzzは局所絶対連続であり、(z,z′)(z,z')はほとんど至る所でx′=Cx+b\boldsymbol x'=C\boldsymbol x+\boldsymbol bを満たし、t=0t=0で0\boldsymbol 0をとる局所絶対連続解である。§E13.12 定理 2.4の一意性により(z,z′)=x(z,z')=\boldsymbol xであり、z=yz=yである。ffが連続ならばb\boldsymbol bは連続であり、§E13.12 定理 2.4によりx\boldsymbol xはC1C^1級でx′=Cx+b\boldsymbol x'=C\boldsymbol x+\boldsymbol bをすべての点で満たす。したがってy′=x2y'=x_2はC1C^1級であり、y∈C2y\in C^2で方程式は全点で成立する。

σ≥σ0\sigma\geq\sigma_0かつσ>0\sigma>0とする。ffは重みσ\sigmaについて可積分であり、二つの有界な核sin⁡(ωt)/ω\sin(\omega t)/\omegaとcos⁡(ωt)\cos(\omega t)も重みσ\sigmaについて可積分である。yyとy′y'はすべてのt≥0t\ge0で絶対収束する積分∫0tf(u)k(t−u) du\int_0^tf(u)k(t-u)\,du（kkはそれぞれの核）で与えられるから、定理 5.3を重みσ\sigmaで適用すると、y,y′y,y'は重みσ\sigmaについて可積分であり、y′′=f−ω2yy''=f-\omega^2yからy′′y''も重みσ\sigmaについて可積分となる。系 2.3をyyと代表y′y'に適用すると、ℜs≥σ\Re s\ge\sigmaでL{y′′}(s)=s2Y(s)−sy(0)−y′(0)=s2Y(s)\mathcal L\{y''\}(s)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s)である。一方、y′′=f−ω2yy''=f-\omega^2yがほとんど至る所で成り立つから、積分の線形性によりL{y′′}(s)=F(s)−ω2Y(s)\mathcal L\{y''\}(s)=F(s)-\omega^2Y(s)である。したがって(s2+ω2)Y(s)=F(s)(s^2+\omega^2)Y(s)=F(s)である。s2+ω2=0s^2+\omega^2=0となるのはs=±iωs=\pm i\omegaのときだけである。一方、ℜs≥σ>0\Re s\ge\sigma>0ではs≠±iωs\ne\pm i\omegaである。したがって、Y(s)=F(s)/(s2+ω2)Y(s)=F(s)/(s^2+\omega^2)である。▨

例 6.2. 初期値問題

y′′+y=Hπ(t)ほとんど至る所,y(0)=0,y′(0)=0y''+y=H_\pi(t)\quad\text{ほとんど至る所},\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0

を考える。解はC1C^1級で、[0,π)[0,\pi)と(π,∞)(\pi,\infty)のそれぞれでC2C^2級である区分的古典解として求める。

HπH_\piは有界であるから、任意のσ0>0\sigma_0>0について重みσ0\sigma_0で可積分である。命題 6.1をω=1\omega=1、f=Hπf=H_\piに適用すると、一意解yyが存在し、ℜs>0\Re s>0でL{y}(s)=L{Hπ}(s)/(s2+1)\mathcal L\{y\}(s)=\mathcal L\{H_\pi\}(s)/(s^2+1)である。式 (4.2.1)をh=1h=1に適用し、命題 3.1を用いると、ℜs>0\Re s>0でL{Hπ}(s)=e−πs/s\mathcal L\{H_\pi\}(s)=e^{-\pi s}/sである。したがって

L{y}(s)=e−πs1s(s2+1)=e−πs(1s−ss2+1)\mathcal L\{y\}(s) =e^{-\pi s} \frac{1}{s(s^2+1)} =e^{-\pi s} \left( \frac1s-\frac{s}{s^2+1} \right)

である。命題 3.1と式 (4.2.1)により、右辺は

y~(t)=Hπ(t)(1−cos⁡(t−π))\widetilde y(t) =H_\pi(t) \bigl(1-\cos(t-\pi)\bigr)(6.2.1)\text{(6.2.1)}

の Laplace 変換に等しい。

0≤t<π0\le t<\piではy~=0\widetilde y=0であり、y~′′+y~=0=Hπ\widetilde y''+\widetilde y=0=H_\piである。t>πt>\piでは

y~′=sin⁡(t−π),y~′′=cos⁡(t−π)\widetilde y'= \sin(t-\pi),\qquad \widetilde y''=\cos(t-\pi)

であるから

y~′′+y~=cos⁡(t−π)+1−cos⁡(t−π)=1=Hπ(t)\widetilde y''+\widetilde y =\cos(t-\pi)+1-\cos(t-\pi) =1 =H_\pi(t)

である。t→πt\to\piのとき左右からy~→0\widetilde y\to0、y~′→0\widetilde y'\to0であるから、y~\widetilde yはC1C^1級である。y~′\widetilde y'は各有限区間上で区分的にC1C^1級の連続関数であるから局所絶対連続であり、方程式は[0,π)[0,\pi)と(π,∞)(\pi,\infty)の各区間上で古典的に成り立ち、したがってほとんど至る所で成り立つ。y~\widetilde yは初期条件も満たす。命題 6.1の一意性によりy=y~y=\widetilde yであり、式 (6.2.1)が求める区分的古典解である。

7 演習

問題 7.1 (適用条件と収束半平面).f(t)=te2tf(t)=te^{2t}とする。次の問いに答えよ。

  1. ffが指数22の指数型増大をもたない一方、任意のδ>0\delta>0に対して指数2+δ2+\deltaの指数型増大をもつことを示せ。
  2. 定義積分からL{f}\mathcal L\{f\}の絶対収束半平面と値を求めよ。
  3. 定理 2.4の仮定を確認し、その公式を直接計算と照合せよ。
解答.

M,T≥0M,T\ge0を任意にとる。t>max⁡{T,M}t>\max\{T,M\}ではte2t>Me2tte^{2t}>Me^{2t}であるから、指数22の評価は成立しない。一方、te−δtte^{-\delta t}は[0,∞)[0,\infty)上で有界であるから、あるMδM_\deltaが存在して

te2t≤Mδe(2+δ)tte^{2t}\le M_\delta e^{(2+\delta)t}

となる。

ℜs>2\Re s>2では、命題 3.1のtnt^nの計算をn=1n=1とs−2s-2へ適用して

L{te2t}(s)=∫0∞te−(s−2)t dt=1(s−2)2\mathcal L\{te^{2t}\}(s) = \int_0^\infty te^{-(s-2)t}\,dt =\frac1{(s-2)^2}

である。ℜs≤2\Re s\le2では絶対値の被積分関数te−(ℜs−2)tte^{-(\Re s-2)t}はt≥1t\ge1で11以上であり、その積分は発散するから、絶対収束半平面はℜs>2\Re s>2である。

§E13.2 系 2.7 (2)により、C1C^1級のffは局所絶対連続であり、

f′(t)=e2t+2te2tf'(t)=e^{2t}+2te^{2t}

も任意のδ>0\delta>0について指数2+δ2+\deltaの指数型増大をもつ。またf(0+)=0f(0+)=0である。ℜs>2\Re s>2を満たす任意のssに対して0<δ<ℜs−20<\delta<\Re s-2を選ぶことができるから、定理 2.4を適用することができる。直接計算すると

L{f′}(s)=1s−2+2(s−2)2=s(s−2)2=sL{f}(s)−f(0+)\mathcal L\{f'\}(s) =\frac1{s-2}+\frac2{(s-2)^2} =\frac{s}{(s-2)^2} =s\mathcal L\{f\}(s)-f(0+)

となり、定理 2.4の公式と一致する。▨

問題 7.2 (区分的外力の構成と直接検算).c>0c>0、ω∈R∖{0}\omega\in\R\setminus\{0\}とする。初期値問題

y′′+ω2y=Hc(t),y(0+)=y′(0+)=0y''+\omega^2y=H_c(t), \qquad y(0+)=y'(0+)=0

について、基本的な変換対と時間移動から解候補を構成せよ。公式を適用する半平面を示し、候補がC1C^1級の区分的古典解であることを元の方程式への代入によって確認せよ。

解答.

HcH_cは有界であるから、任意のσ0>0\sigma_0>0について重みσ0\sigma_0で可積分である。命題 6.1により一意解yyが存在し、ℜs>0\Re s>0で(s2+ω2)L{y}(s)=L{Hc}(s)(s^2+\omega^2)\mathcal L\{y\}(s)=\mathcal L\{H_c\}(s)である。式 (4.2.1)をh=1h=1に適用し、命題 3.1を用いると、ℜs>0\Re s>0でL{Hc}(s)=e−cs/s\mathcal L\{H_c\}(s)=e^{-cs}/sである。したがって、公式を適用する半平面はℜs>0\Re s>0であり、

L{y}(s)=e−css(s2+ω2)=e−csω2(1s−ss2+ω2)\mathcal L\{y\}(s) = \frac{e^{-cs}}{s(s^2+\omega^2)} = \frac{e^{-cs}}{\omega^2} \left( \frac1s-\frac{s}{s^2+\omega^2} \right)

である。基本的な変換対と時間移動により、右辺は

y~(t)=Hc(t)ω2(1−cos⁡(ω(t−c)))\widetilde y(t) = \frac{H_c(t)}{\omega^2} \bigl(1-\cos(\omega(t-c))\bigr)

の Laplace 変換に等しい。0≤t<c0\le t<cではy~=y~′=0\widetilde y=\widetilde y'=0である。t>ct>cでは

y~′(t)=sin⁡(ω(t−c))ω,y~′′(t)=cos⁡(ω(t−c))\widetilde y'(t)=\frac{\sin(\omega(t-c))}{\omega}, \qquad \widetilde y''(t)=\cos(\omega(t-c))

であるから

y~′′+ω2y~=cos⁡(ω(t−c))+1−cos⁡(ω(t−c))=1\widetilde y''+\omega^2\widetilde y = \cos(\omega(t-c))+1-\cos(\omega(t-c)) =1

である。t→ct\to cのときy~\widetilde yとy~′\widetilde y'の左右の極限はともに00である。したがってy~\widetilde yはC1C^1級で、二つの区間[0,c)[0,c)と(c,∞)(c,\infty)ではC2C^2級であり、方程式をこの二つの区間上で古典的に満たし、ほとんど至る所で満たす。y~′\widetilde y'は局所絶対連続であり、y~\widetilde yは初期条件も満たすから、命題 6.1の一意性によりy=y~y=\widetilde yである。y~\widetilde yが求める区分的古典解である。▨

問題 7.3.t>0t>0でf(t)=t−1/2f(t)=t^{-1/2}、f(0)=0f(0)=0とする。次の問いに答えよ。

  1. 任意のσ0>0\sigma_0>0についてffが重みσ0\sigma_0について可積分であることを示し、すべてのt>0t>0で(f∗f)(t)=π(f*f)(t)=\piであることを示せ。
  2. 定理 5.3を用いて、すべての実数s>0s>0についてL{f}(s)=π/s\mathcal L\{f\}(s)=\sqrt{\pi/s}であることを示せ。
解答.

(1)を示す。ffは(0,∞)(0,\infty)上で連続であるから可測である。0<ε<10<\ep<1について∫ε1t−1/2 dt=2−2ε\int_\ep^1t^{-1/2}\,dt=2-2\sqrt\epであり、§E10.11 定理 1.1により∫01t−1/2 dt=2\int_0^1t^{-1/2}\,dt=2である。σ0>0\sigma_0>0とすると、t≥1t\ge1でe−σ0tt−1/2≤e−σ0te^{-\sigma_0t}t^{-1/2}\le e^{-\sigma_0t}であるから、∫0∞e−σ0t∣f(t)∣ dt≤2+σ0−1<∞\int_0^\infty e^{-\sigma_0t}|f(t)|\,dt\le2+\sigma_0^{-1}<\inftyである。

t>0t>0とする。(0,π/2)(0,\pi/2)から(0,t)(0,t)へのC1C^1級の単調増加な全単射θ↦u=tsin⁡2θ\theta\mapsto u=t\sin^2\thetaについて

dudθ=2tsin⁡θcos⁡θ,u−1/2(t−u)−1/2=1tsin⁡θcos⁡θ\frac{du}{d\theta}=2t\sin\theta\cos\theta,\qquad u^{-1/2}(t-u)^{-1/2}=\frac1{t\sin\theta\cos\theta}

である。0<θ1<θ2<π/20<\theta_1<\theta_2<\pi/2について、[θ1,θ2][\theta_1,\theta_2]上の変数変換により

∫tsin⁡2θ1tsin⁡2θ2u−1/2(t−u)−1/2 du=∫θ1θ22 dθ=2(θ2−θ1)\int_{t\sin^2\theta_1}^{t\sin^2\theta_2}u^{-1/2}(t-u)^{-1/2}\,du=\int_{\theta_1}^{\theta_2}2\,d\theta=2(\theta_2-\theta_1)

である。被積分関数は(0,t)(0,t)上で正であるから、θ1↓0\theta_1\downarrow0、θ2↑π/2\theta_2\uparrow\pi/2として§E10.11 定理 1.1を適用すると、(f∗f)(t)=∫0tu−1/2(t−u)−1/2 du=π(f*f)(t)=\int_0^tu^{-1/2}(t-u)^{-1/2}\,du=\piを得る。この積分は絶対収束する。

(2)を示す。s>0s>0とし、σ0=s\sigma_0=sとする。(1)によりffは重みssについて可積分であるから、定理 5.3によりL{f∗f}(s)=L{f}(s)2\mathcal L\{f*f\}(s)=\mathcal L\{f\}(s)^2である。f∗ff*fは(0,∞)(0,\infty)上で定数π\piに一致するから、命題 3.1と命題 1.4によりL{f∗f}(s)=π/s\mathcal L\{f*f\}(s)=\pi/sである。一方、L{f}(s)=∫0∞e−stt−1/2 dt\mathcal L\{f\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}t^{-1/2}\,dtは正の関数の積分であるから正である。したがってL{f}(s)=π/s\mathcal L\{f\}(s)=\sqrt{\pi/s}である。▨

参考文献

  1. David V. Widder, The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series 6, Dover Publications, Mineola, New York, 2010, originally published 1941.収束半平面、微分公式、畳み込み公式の仮定と標準的な記述を参考にした。
  2. Gustav Doetsch, Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation, Springer, Berlin, 1974.時間移動、変換対、区分的外力をもつ常微分方程式への適用を参考にした。

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