§E13.36Bessel 関数

最終更新

二階線形微分方程式の一般解は、二つの独立な解を用いて記述される。Bessel 方程式では、非整数次数で独立な二つの級数解が、整数次数では定数倍の関係になり、独立な第二解の構成が問題となる。Bessel 関数は、原点に特異点をもつ二階線形方程式の解を具体的に理解するための基本的な特殊関数である。たとえば単位円板上で境界値を零とする負の Laplace 作用素−Δ-\Deltaの固有値問題では、非負整数次数の第一種 Bessel 関数の正の零点を二乗した値が固有値となる。本記事では、実数次数の Bessel 関数の構成と、解および零点の基本的な性質を扱う。

1 Bessel 方程式と決定方程式

定義 1.1. 実数ν\nuに対する

x2y′′+xy′+(x2−ν2)y=0,x>0x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0, \qquad x>0(1.1.1)\text{(1.1.1)}

を次数ν\nuの Bessel 方程式 (Bessel equation of orderν\nu) という。方程式はν2\nu^2だけに依存するため、次数ν\nuと−ν-\nuの方程式は同じである。

注意 1.2.式 (1.1.1)を正規化すると

y′′+1xy′+(1−ν2x2)y=0y''+\frac1x y' +\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)y=0

である。この方程式をy′′+P(x)y′+Q(x)y=0y''+P(x)y'+Q(x)y=0と書くと、xP(x)=1xP(x)=1とx2Q(x)=x2−ν2x^2Q(x)=x^2-\nu^2はx=0x=0で解析的であるから、x=0x=0は確定特異点である。§E13.34 式 (3.2.1)の係数はp0=1p_0=1、q0=−ν2q_0=-\nu^2、q2=1q_2=1で、ほかのpk,qkp_k,q_kは零である。したがって、Frobenius 級数

y=xρ∑n=0∞anxn,a0≠0y=x^\rho\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\qquad a_0\ne0

の係数の等式は、a−1=a−2=0a_{-1}=a_{-2}=0として

((n+ρ)2−ν2)an+an−2=0(n≥0)\bigl((n+\rho)^2-\nu^2\bigr)a_n+a_{n-2}=0 \qquad(n\ge0)

である。n=0n=0の等式から

ρ2−ν2=0\rho^2-\nu^2=0(1.2.1)\text{(1.2.1)}

を得る。ρ2−ν2=0\rho^2-\nu^2=0が決定方程式であり、その根はρ=ν,−ν\rho=\nu,-\nuである。

指数ρ=ν\rho=\nuを選ぶと、奇数次係数を零とする解について

((2k+ν)2−ν2)a2k+a2k−2=0(k≥1)\bigl((2k+\nu)^2-\nu^2\bigr)a_{2k}+a_{2k-2}=0 \qquad(k\ge1)

である。すなわち、k+ν≠0k+\nu\ne0のとき

a2k=−a2k−24k(k+ν).a_{2k} =-\frac{a_{2k-2}}{4k(k+\nu)}.(1.2.2)\text{(1.2.2)}

ν+1>0\nu+1>0のとき、a0=2−ν/Γ(ν+1)a_0=2^{-\nu}/\Gamma(\nu+1)とすると、式 (1.2.2)の解はa2k=(−1)k2−2k−ν/(k! Γ(k+ν+1))a_{2k}=(-1)^k2^{-2k-\nu}/\bigl(k!\,\Gamma(k+\nu+1)\bigr)と書くことができる。一方、ν+1≤0\nu+1\le0のときは、k+ν+1≤0k+\nu+1\le0となるkkについて右辺のΓ(k+ν+1)\Gamma(k+\nu+1)が定義されていない。

2 Gamma 関数の逆数の実数延長

qqを§E4.15 定義 4.1の逆 Gamma 関数の実数延長とする。§E4.15 命題 4.2により、qqは実数全体で何回でも微分可能であり、零点は非正整数だけである。

3 第一種 Bessel 関数

定義 3.1.ν∈R\nu\in\R、x>0x>0に対して

Jν(x)=∑k=0∞(−1)kq(k+ν+1)k!(x2)2k+νJ_\nu(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kq(k+\nu+1)}{k!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}(3.1.1)\text{(3.1.1)}

と定め、JνJ_\nuを次数ν\nuの第一種 Bessel 関数 (Bessel function of the first kind of orderν\nu) という。

k+ν+1>0k+\nu+1>0ならばq(k+ν+1)=1/Γ(k+ν+1)q(k+\nu+1)=1/\Gamma(k+\nu+1)である。したがって、式 (3.1.1)は、通常の Gamma 関数を用いる Frobenius 級数の係数を、k+ν+1≤0k+\nu+1\le0となる有限個のkkについてもqqによって定めた式である。特にν≥0\nu\ge0ではすべてのk≥0k\ge0でk+ν+1>0k+\nu+1>0となるので、この級数は§E13.32 定義 9.1の級数と項ごとに一致する。

補題 3.2.I⊂RI\subset\Rをコンパクト区間とし、0<ε<R0<\varepsilon<Rとする。式 (3.1.1)の第kk項をTk(ν,x)T_k(\nu,x)と書く。このとき、次が成り立つ。

  1. 各整数j≥0j\ge0について、級数∑k∂xjTk\sum_k\partial_x^jT_kと∑k∂ν∂xjTk\sum_k\partial_\nu\partial_x^jT_kはI×[ε,R]I\times[\varepsilon,R]の各点で絶対収束し、I×[ε,R]I\times[\varepsilon,R]上で一様収束する。
  2. 各ν∈R\nu\in\RについてJνJ_\nuは(0,∞)(0,\infty)上で何回でも微分可能であり、各整数j≥0j\ge0とx>0x>0について∂xjJν(x)=∑k∂xjTk(ν,x)\partial_x^jJ_\nu(x)=\sum_k\partial_x^jT_k(\nu,x)である。(ν,x)↦∂xjJν(x)(\nu,x)\mapsto\partial_x^jJ_\nu(x)はR×(0,∞)\R\times(0,\infty)上で連続である。
  3. 各整数j≥0j\ge0とx>0x>0について、ν↦∂xjJν(x)\nu\mapsto\partial_x^jJ_\nu(x)はR\R上で微分可能であり、その導関数∂ν∂xjJν(x)\partial_\nu\partial_x^jJ_\nu(x)は∑k∂ν∂xjTk(ν,x)\sum_k\partial_\nu\partial_x^jT_k(\nu,x)に等しく、(ν,x)(\nu,x)についてR×(0,∞)\R\times(0,\infty)上で連続である。

証明.I=[A,B]I=[A,B]と書き、A+L>0A+L>0となる非負整数LLを固定する。ν∈I\nu\in Iとk≥Lk\ge Lについて、§E4.15 式 (4.2.1)を有限回用いて

q(k+ν+1)=q(ν+L)∏j=Lk(ν+j)q(k+\nu+1) = \frac{q(\nu+L)} {\displaystyle\prod_{j=L}^{k}(\nu+j)}(3.2.1)\text{(3.2.1)}

と書くことができる。分母の各因子はν+j≥A+j>0\nu+j\ge A+j>0を満たし、ν+L>0\nu+L>0であるからq(ν+L)=1/Γ(ν+L)>0q(\nu+L)=1/\Gamma(\nu+L)>0である。式 (3.2.1)をν\nuで微分すると

∂νq(k+ν+1)=q(k+ν+1)(q′(ν+L)q(ν+L)−∑j=Lk1ν+j)\partial_\nu q(k+\nu+1) =q(k+\nu+1) \left( \frac{q'(\nu+L)}{q(\nu+L)} -\sum_{j=L}^{k}\frac1{\nu+j} \right)(3.2.2)\text{(3.2.2)}

を得る。q(ν+L)q(\nu+L)とq′(ν+L)/q(ν+L)q'(\nu+L)/q(\nu+L)はII上の連続関数であるから有界であり、括弧内の和は(k+1)/(A+L)(k+1)/(A+L)以下である。したがって、IIだけに依存する定数C0C_0が存在して、k≥Lk\ge L、ν∈I\nu\in Iについて

∣q(k+ν+1)∣+∣∂νq(k+ν+1)∣≤C0(k+1)∏j=Lk(A+j).|q(k+\nu+1)|+|\partial_\nu q(k+\nu+1)| \le \frac{C_0(k+1)}{\prod_{j=L}^{k}(A+j)}.

πj(m)=∏i=0j−1(m−i)\pi_j(m)=\prod_{i=0}^{j-1}(m-i)と置くと、

∂xjTk(ν,x)=(−1)kq(k+ν+1)k! 2−jπj(2k+ν)(x2)2k+ν−j\partial_x^jT_k(\nu,x) =\frac{(-1)^kq(k+\nu+1)}{k!}\,2^{-j}\pi_j(2k+\nu)\left(\frac x2\right)^{2k+\nu-j}

であり、これをν\nuで微分すると、∂νq(k+ν+1)πj(2k+ν)\partial_\nu q(k+\nu+1)\pi_j(2k+\nu)、q(k+ν+1)πj′(2k+ν)q(k+\nu+1)\pi_j'(2k+\nu)、q(k+ν+1)πj(2k+ν)log⁡(x/2)q(k+\nu+1)\pi_j(2k+\nu)\log(x/2)をそれぞれ(−1)k2−j(x/2)2k+ν−j/k!(-1)^k2^{-j}(x/2)^{2k+\nu-j}/k!に掛けた三つの項の和を得る。(ν,x)∈I×[ε,R](\nu,x)\in I\times[\varepsilon,R]では、∣πj(2k+ν)∣|\pi_j(2k+\nu)|と∣πj′(2k+ν)∣|\pi_j'(2k+\nu)|は(2k+M)j(2k+M)^jの定数倍以下であり（M=max⁡{∣A∣,∣B∣}+jM=\max\{|A|,|B|\}+j）、∣log⁡(x/2)∣|\log(x/2)|と(x/2)ν−j(x/2)^{\nu-j}は連続関数としてコンパクト集合I×[ε,R]I\times[\varepsilon,R]上で有界であり、(x/2)2k≤(R/2)2k(x/2)^{2k}\le(R/2)^{2k}である。したがって、I,ε,R,jI,\varepsilon,R,jだけに依存する定数CCが存在して、k≥Lk\ge Lについて

sup⁡I×[ε,R](∣∂xjTk∣+∣∂ν∂xjTk∣)≤Mk,Mk=C(2k+M)j+1(R/2)2kk!∏i=Lk(A+i)\sup_{I\times[\varepsilon,R]}\bigl(|\partial_x^jT_k|+|\partial_\nu\partial_x^jT_k|\bigr) \le M_k, \qquad M_k=\frac{C(2k+M)^{j+1}(R/2)^{2k}}{k!\prod_{i=L}^{k}(A+i)}

が成り立つ。

Mk+1Mk=(2k+2+M2k+M)j+1R24(k+1)(A+k+1)⟶0\frac{M_{k+1}}{M_k} =\left(\frac{2k+2+M}{2k+M}\right)^{j+1}\frac{R^2}{4(k+1)(A+k+1)} \longrightarrow0

であるから、比の判定により∑kMk\sum_kM_kは収束する。比較により二つの級数は各点で絶対収束し、剰余の絶対値はI×[ε,R]I\times[\varepsilon,R]上で一様に∑k>KMk\sum_{k>K}M_k以下であるから、主張 (1)を得る。

各TkT_kと∂ν∂xjTk\partial_\nu\partial_x^jT_kはqqとq′q'の連続性によりR×(0,∞)\R\times(0,\infty)上で連続である。ν∈R\nu\in\Rを固定し、IIをその内部にν\nuを含むように選ぶ。[ε,R][\varepsilon,R]上で、主張 (1)により部分和∑k≤K∂xjTk(ν,⋅)\sum_{k\le K}\partial_x^jT_k(\nu,\cdot)の導関数の列∑k≤K∂xj+1Tk(ν,⋅)\sum_{k\le K}\partial_x^{j+1}T_k(\nu,\cdot)は一様収束するから、§D1.22 定理 4.2をj=0,1,2,…j=0,1,2,\ldotsの順に適用すると、∂xjJν\partial_x^jJ_\nuが(ε,R)(\varepsilon,R)上で存在して∑k∂xjTk(ν,⋅)\sum_k\partial_x^jT_k(\nu,\cdot)に等しい。ε,R\varepsilon,Rは任意であるから、主張 (2)の前半を得る。x∈[ε,R]x\in[\varepsilon,R]を固定して同じ定理をν\nuについてII上で適用すると、主張 (1)によりν↦∂xjJν(x)\nu\mapsto\partial_x^jJ_\nu(x)はIIの内部で微分可能であり、導関数は∑k∂ν∂xjTk(ν,x)\sum_k\partial_\nu\partial_x^jT_k(\nu,x)である。最後に、連続関数の部分和はI×[ε,R]I\times[\varepsilon,R]上で一様収束するから、§E2.16 定理 2.4により∂xjJν(x)\partial_x^jJ_\nu(x)と∂ν∂xjJν(x)\partial_\nu\partial_x^jJ_\nu(x)は(ν,x)(\nu,x)についてI×[ε,R]I\times[\varepsilon,R]上で連続である。I,ε,RI,\varepsilon,Rは任意であるから、主張 (2)の後半と主張 (3)を得る。

▨

定理 3.3.ν∈R\nu\in\Rとする。このとき、式 (3.1.1)は任意のx>0x>0で絶対収束し、JνJ_\nuは(0,∞)(0,\infty)上で何回でも微分可能であり、式 (1.1.1)で定めた次数ν\nuの Bessel 方程式を満たす。非負整数nnに対して

J−n(x)=(−1)nJn(x)J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x)(3.3.1)\text{(3.3.1)}

が成り立つ。

証明. 絶対収束と微分可能性は、補題 3.2 (1)と補題 3.2 (2)をI=[ν−1,ν+1]I=[\nu-1,\nu+1]に適用して得られる。

式 (3.1.1)を

Jν(x)=∑k=0∞ckx2k+νJ_\nu(x)=\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^{2k+\nu}

と書く。係数は

ck=(−1)k2−2k−νq(k+ν+1)k!c_k =\frac{(-1)^k2^{-2k-\nu}q(k+\nu+1)}{k!}

である。§E4.15 式 (4.2.1)によりq(k+ν)=(k+ν)q(k+ν+1)q(k+\nu)=(k+\nu)q(k+\nu+1)であるから、k≥1k\ge1に対して

4k(k+ν)ck+ck−1=04k(k+\nu)c_k+c_{k-1}=0(3.3.2)\text{(3.3.2)}

が成り立つ。

ν\nuが負の整数でないとする。ν+1\nu+1は非正整数でないから、§E4.15 命題 4.2によりc0=2−νq(ν+1)≠0c_0=2^{-\nu}q(\nu+1)\ne0である。a2k=cka_{2k}=c_k、a2k+1=0a_{2k+1}=0（k≥0k\ge0）と置く。注意 1.2により、正規化した Bessel 方程式は0<x<∞0<x<\inftyのすべてのxxでxP(x)=1xP(x)=1、x2Q(x)=x2−ν2x^2Q(x)=x^2-\nu^2を満たし、ρ=ν\rho=\nuに対する§E13.34 式 (3.2.1)は((n+ν)2−ν2)an+an−2=0\bigl((n+\nu)^2-\nu^2\bigr)a_n+a_{n-2}=0（n≥0n\ge0、a−1=a−2=0a_{-1}=a_{-2}=0）である。n=2kn=2kでは(n+ν)2−ν2=4k(k+ν)(n+\nu)^2-\nu^2=4k(k+\nu)であるから、この等式はk=0k=0で両辺が零となって成り立ち、k≥1k\ge1で式 (3.3.2)そのものである。nnが奇数のときはan=an−2=0a_n=a_{n-2}=0であるから成り立つ。したがって§E13.34 定理 3.6をr=∞r=\infty、ρ=ν\rho=\nuで適用することができ、xν∑nanxn=Jν(x)x^\nu\sum_na_nx^n=J_\nu(x)は(0,∞)(0,\infty)上で正規化した Bessel 方程式を満たす。x2x^2を掛けると、JνJ_\nuは式 (1.1.1)を満たす。

ν=−n\nu=-n（nnは非負整数）とする。0≤k<n0\le k<nではk−n+1k-n+1が非正整数であるから、§E4.15 式 (4.2.2)により式 (3.1.1)の第kk項は零である。k=n+jk=n+jと置き、q(j+1)=1/j!q(j+1)=1/j!を用いると

J−n(x)=∑j=0∞(−1)n+j(n+j)! j!(x2)n+2j=(−1)nJn(x).\begin{aligned} J_{-n}(x) &=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+j}}{(n+j)!\,j!} \left(\frac{x}{2}\right)^{n+2j}\\ &=(-1)^nJ_n(x). \end{aligned}

これは式 (3.3.1)である。n≥1n\ge1のとき、前段によりJnJ_nは次数nnの Bessel 方程式を満たし、定義 1.1により次数nnと−n-nの方程式は同じであるから、J−n=(−1)nJnJ_{-n}=(-1)^nJ_nは次数−n-nの Bessel 方程式を満たす。

▨

とくに、J0J_0は次の級数で表される。

J0(x)=∑k=0∞(−1)k(k!)2(x2)2k=1−x24+x464−⋯ .J_0(x) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k} =1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{64}-\cdots.

4 非整数次数の第二種 Bessel 関数

命題 4.1.ν∉Z\nu\notin\Zとする。このとき

W(Jν,J−ν)(x)=Jν(x)J−ν′(x)−Jν′(x)J−ν(x)=−2q(ν)q(1−ν)x.W(J_\nu,J_{-\nu})(x) =J_\nu(x)J_{-\nu}'(x)-J_\nu'(x)J_{-\nu}(x) =-\frac{2q(\nu)q(1-\nu)}{x}.(4.1.1)\text{(4.1.1)}

したがってJν,J−νJ_\nu,J_{-\nu}は(0,∞)(0,\infty)上の基本解系である。

証明. 正規化した Bessel 方程式のy′y'の係数は1/x1/xである。Abel の公式§E13.9 系 5.6により、ある定数CCが存在してW(Jν,J−ν)(x)=C/xW(J_\nu,J_{-\nu})(x)=C/xがx>0x>0で成り立つ。

ν\nuは整数でないから、ν+1\nu+1と1−ν1-\nuは非正整数でなく、§E4.15 命題 4.2によりq(ν+1)q(1−ν)≠0q(\nu+1)q(1-\nu)\ne0である。式 (3.1.1)の先頭項から

Jν(x)=2−νq(ν+1)xν(1+O(x2)),J−ν(x)=2νq(1−ν)x−ν(1+O(x2))(x↓0)\begin{aligned} J_\nu(x) &=2^{-\nu}q(\nu+1)x^\nu \bigl(1+O(x^2)\bigr),\\ J_{-\nu}(x) &=2^\nu q(1-\nu)x^{-\nu} \bigl(1+O(x^2)\bigr) \end{aligned} \qquad(x\downarrow0)

を得る。補題 3.2 (2)により導関数は項別微分の級数で表されるから、これらの表示は一階微分しても成り立ち、

W(Jν,J−ν)(x)=−2νq(ν+1)q(1−ν)1x+O(x)=−2q(ν)q(1−ν)x+O(x)W(J_\nu,J_{-\nu})(x) = -2\nu q(\nu+1)q(1-\nu)\frac1x+O(x) =-\frac{2q(\nu)q(1-\nu)}x+O(x)

となる。最後の等号では§E4.15 式 (4.2.1)を用いた。xW(Jν,J−ν)(x)xW(J_\nu,J_{-\nu})(x)は定数であるため、x↓0x\downarrow0の極限から式 (4.1.1)を得る。ν\nuと1−ν1-\nuは非正整数ではないから、§E4.15 命題 4.2によりq(ν)q(1−ν)≠0q(\nu)q(1-\nu)\ne0である。したがって Wronskian は零でなく、§E13.9 命題 5.5によりJν,J−νJ_\nu,J_{-\nu}は基本解系である。

▨

定義 4.2.ν∉Z\nu\notin\Zに対して

Yν(x)=cos⁡(πν)Jν(x)−J−ν(x)sin⁡(πν)Y_\nu(x) = \frac{ \cos(\pi\nu)J_\nu(x)-J_{-\nu}(x) }{\sin(\pi\nu)}(4.2.1)\text{(4.2.1)}

と定め、YνY_\nuを次数ν\nuの第二種 Bessel 関数 (Bessel function of the second kind of non-integer order) という。

系 4.3.ν∉Z\nu\notin\Zとする。このとき、YνY_\nuは次数ν\nuの Bessel 方程式を満たし、

W(Jν,Yν)(x)=2q(ν)q(1−ν)sin⁡(πν)x≠0W(J_\nu,Y_\nu)(x) = \frac{2q(\nu)q(1-\nu)} {\sin(\pi\nu)x} \ne0(4.3.1)\text{(4.3.1)}

であり、Jν,YνJ_\nu,Y_\nuは(0,∞)(0,\infty)上の基本解系をなす。

証明.式 (4.2.1)で定めたYνY_\nuは、二つの解Jν,J−νJ_\nu,J_{-\nu}の線形結合であるから解である。Wronskian の双線形性とW(Jν,Jν)=0W(J_\nu,J_\nu)=0からW(Jν,Yν)=−W(Jν,J−ν)/sin⁡(πν)W(J_\nu,Y_\nu)=-W(J_\nu,J_{-\nu})/\sin(\pi\nu)であり、式 (4.1.1)により式 (4.3.1)を得る。右辺が零でないことと基本解系であることは命題 4.1と§E13.9 命題 5.5による。

▨

5 整数次数と対数型の第二解

整数nnではJ−n=(−1)nJnJ_{-n}=(-1)^nJ_nであるため、式 (4.2.1)の分子と分母がともに零になる。

注意 5.1.ν≥0\nu\ge0とする。注意 1.2により決定方程式の根はρ1=ν\rho_1=\nu、ρ2=−ν\rho_2=-\nuであり、その差はN=2νN=2\nuである。小さい根ρ2=−ν\rho_2=-\nuに対する係数の等式はn(n−2ν)an+an−2=0n(n-2\nu)a_n+a_{n-2}=0（n≥0n\ge0、a−1=a−2=0a_{-1}=a_{-2}=0）であり、第nn段の既知項はn≥2n\ge2でan−2a_{n-2}、n=1n=1で00である。NNが正の奇数であるとき、n<Nn<Nの奇数次係数はa1=0a_1=0から順に零であるから、第NN段の既知項は零であり、§E13.34 命題 3.3 (2)の整合条件が成立する。この場合、aN=0a_N=0と選んだ係数列に§E13.34 定理 3.6を適用して得る解はJ−νJ_{-\nu}の定数倍であり、対数項は現れない。N=2nN=2n（n≥1n\ge1は整数）であるとき、1≤j<n1\le j<nについてa2j=−a2j−2/(4j(j−n))a_{2j}=-a_{2j-2}/\bigl(4j(j-n)\bigr)であるから、第NN段の既知項a2n−2=a0∏j=1n−1(−1/(4j(j−n)))a_{2n-2}=a_0\prod_{j=1}^{n-1}\bigl(-1/(4j(j-n))\bigr)は零でなく、整合条件は成立しない。したがって、§E13.34 命題 3.3 (2)により指数−n-nの Frobenius 級数の形式解は存在しない。N=0N=0であるとき、§E13.34 命題 3.3 (3)により、Frobenius 級数の形から得られる形式解はJ0J_0の定数倍だけである。後の二つの場合の第二解は、命題 5.5のYnY_nであり、その展開は対数項を含む。

補題 5.2.nnを非負整数とする。このとき、ν\nuが整数でない値をとってnnに近づくとき

lim⁡ν→nq(ν)q(1−ν)sin⁡(πν)=1π\lim_{\nu\to n} \frac{q(\nu)q(1-\nu)}{\sin(\pi\nu)} =\frac1\pi

である。

証明は演習とする（問題 8.2）。

補題 5.3.nnを非負整数とし、0<ε<R0<\varepsilon<Rとする。このとき、j=0,1,2j=0,1,2について、ν\nuが整数でない値をとってnnに近づくとき、

∂xjYν(x)⟶1π(∂ν∂xjJν(x)∣ν=n+(−1)n ∂ν∂xjJν(x)∣ν=−n)\partial_x^jY_\nu(x) \longrightarrow \frac1\pi \Bigl( \partial_\nu\partial_x^jJ_\nu(x)\big|_{\nu=n} +(-1)^n\,\partial_\nu\partial_x^jJ_\nu(x)\big|_{\nu=-n} \Bigr)

がx∈[ε,R]x\in[\varepsilon,R]について一様に成り立つ。

証明.j∈{0,1,2}j\in\{0,1,2\}を固定し、

f(ν,x)=cos⁡(πν) ∂xjJν(x)−∂xjJ−ν(x)f(\nu,x)=\cos(\pi\nu)\,\partial_x^jJ_\nu(x)-\partial_x^jJ_{-\nu}(x)

と置く。整数でないν\nuについて∂xjYν(x)=f(ν,x)/sin⁡(πν)\partial_x^jY_\nu(x)=f(\nu,x)/\sin(\pi\nu)である。補題 3.2 (2)と補題 3.2 (3)により、ffはν\nuについて微分可能であり、

∂νf(ν,x)=−πsin⁡(πν) ∂xjJν(x)+cos⁡(πν) ∂μ∂xjJμ(x)∣μ=ν+∂μ∂xjJμ(x)∣μ=−ν\partial_\nu f(\nu,x) =-\pi\sin(\pi\nu)\,\partial_x^jJ_\nu(x)+\cos(\pi\nu)\,\partial_\mu\partial_x^jJ_\mu(x)\big|_{\mu=\nu}+\partial_\mu\partial_x^jJ_\mu(x)\big|_{\mu=-\nu}

はR×(0,∞)\R\times(0,\infty)上で連続である。式 (3.3.1)をxxでjj回微分するとf(n,x)=(−1)n∂xjJn(x)−∂xjJ−n(x)=0f(n,x)=(-1)^n\partial_x^jJ_n(x)-\partial_x^jJ_{-n}(x)=0である。0<∣ν−n∣≤120<|\nu-n|\le\frac12とすると、各xxについて平均値の定理によりnnとν\nuの間のηx\eta_xが存在してf(ν,x)=(ν−n) ∂νf(ηx,x)f(\nu,x)=(\nu-n)\,\partial_\nu f(\eta_x,x)である。∂νf\partial_\nu fはコンパクト集合K=[n−12,n+12]×[ε,R]K=[n-\frac12,n+\frac12]\times[\varepsilon,R]上で連続であるから、§E2.9 定理 5.1によりKK上で一様連続であり、

sup⁡x∈[ε,R]∣f(ν,x)ν−n−∂νf(n,x)∣≤sup⁡∣η−n∣≤∣ν−n∣x∈[ε,R]∣∂νf(η,x)−∂νf(n,x)∣⟶0(ν→n)\sup_{x\in[\varepsilon,R]} \left|\frac{f(\nu,x)}{\nu-n}-\partial_\nu f(n,x)\right| \le \sup_{\substack{|\eta-n|\le|\nu-n|\\x\in[\varepsilon,R]}} \bigl|\partial_\nu f(\eta,x)-\partial_\nu f(n,x)\bigr| \longrightarrow0 \qquad(\nu\to n)

である。またsin⁡(πν)/(ν−n)→πcos⁡(πn)=π(−1)n\sin(\pi\nu)/(\nu-n)\to\pi\cos(\pi n)=\pi(-1)^nであり、∂νf(n,⋅)\partial_\nu f(n,\cdot)は[ε,R][\varepsilon,R]上で有界である。したがってf(ν,x)/sin⁡(πν)f(\nu,x)/\sin(\pi\nu)は[ε,R][\varepsilon,R]上で一様に

∂νf(n,x)π(−1)n=(−1)n∂μ∂xjJμ(x)∣μ=n+∂μ∂xjJμ(x)∣μ=−nπ(−1)n\frac{\partial_\nu f(n,x)}{\pi(-1)^n} =\frac{(-1)^n\partial_\mu\partial_x^jJ_\mu(x)|_{\mu=n}+\partial_\mu\partial_x^jJ_\mu(x)|_{\mu=-n}}{\pi(-1)^n}

へ収束し、右辺は主張の極限に等しい。

▨

定義 5.4. 非負整数nnとx>0x>0に対して、補題 5.3により存在する極限

Yn(x)=lim⁡ν→ncos⁡(πν)Jν(x)−J−ν(x)sin⁡(πν)Y_n(x) =\lim_{\nu\to n} \frac{ \cos(\pi\nu)J_\nu(x)-J_{-\nu}(x) }{\sin(\pi\nu)}(5.4.1)\text{(5.4.1)}

を考え、YnY_nを整数次数の第二種 Bessel 関数 (Bessel function of the second kind of integer order) という。ここでν\nuは整数でない値をとってnnに近づく。負の整数次数は

Y−n(x)=(−1)nYn(x)Y_{-n}(x)=(-1)^nY_n(x)

と定める。

命題 5.5.nnを非負整数とし、μ∈R\mu\in\Rに対してAμ(x)=∂νJν(x)∣ν=μA_\mu(x)=\partial_\nu J_\nu(x)|_{\nu=\mu}と置く。このとき、次が成り立つ。

  1. YnY_nは(0,∞)(0,\infty)上で二回微分可能であり、ν\nuが整数でない値をとってnnに近づくとき、j=0,1,2j=0,1,2について∂xjYν→∂xjYn\partial_x^jY_\nu\to\partial_x^jY_nが(0,∞)(0,\infty)の各コンパクト部分区間上で一様に成り立つ。
  2. YnY_nは次数nnの Bessel 方程式を満たし、Jn,YnJ_n,Y_nは(0,∞)(0,\infty)上の基本解系である。
  3. ある実数列(ek)k≥0(e_k)_{k\ge0}が存在して、すべてのx>0x>0について級数∑kekx2k−n\sum_ke_kx^{2k-n}は絶対収束し、Yn(x)=2πJn(x)log⁡(x/2)+∑k=0∞ekx2k−nY_n(x)=\frac2\pi J_n(x)\log(x/2)+\sum_{k=0}^{\infty}e_kx^{2k-n}が成り立つ。

さらに

Yn=An+(−1)nA−nπY_n = \frac{A_n+(-1)^nA_{-n}}{\pi}(5.5.1)\text{(5.5.1)}

であり、

W(Jn,Yn)(x)=2πxW(J_n,Y_n)(x)=\frac{2}{\pi x}(5.5.2)\text{(5.5.2)}

である。

証明.主張 (1)を示す。0<ε<R0<\varepsilon<Rとし、整数でない数の列νm→n\nu_m\to nをとる。補題 5.3により、j=0,1,2j=0,1,2について∂xjYνm\partial_x^jY_{\nu_m}は[ε,R][\varepsilon,R]上で一様収束し、j=0j=0の極限はYnY_nである。§D1.22 定理 4.2をYνmY_{\nu_m}とYνm′Y_{\nu_m}'に順に適用すると、YnY_nは(ε,R)(\varepsilon,R)上で二回微分可能であり、Yn′Y_n'とYn′′Y_n''はそれぞれYνm′Y_{\nu_m}'とYνm′′Y_{\nu_m}''の一様極限である。ε,R\varepsilon,Rと列は任意であるから、主張 (1)を得る。補題 5.3のj=0j=0の極限は式 (5.5.1)の右辺であるから、式 (5.5.1)も成り立つ。

主張 (2)を示す。整数でないν\nuのYνY_\nuは次数ν\nuの Bessel 方程式x2Yν′′+xYν′+(x2−ν2)Yν=0x^2Y_\nu''+xY_\nu'+(x^2-\nu^2)Y_\nu=0を満たすので、各x>0x>0でν→n\nu\to nとすると、主張 (1)によりYnY_nは次数nnの Bessel 方程式を満たす。補題 3.2 (3)によりJν(x)J_\nu(x)とJν′(x)J_\nu'(x)はν\nuについて連続であるから、式 (4.3.1)の左辺はW(Jn,Yn)(x)W(J_n,Y_n)(x)へ収束する。右辺は補題 5.2により2/(πx)2/(\pi x)へ収束する。したがって式 (5.5.2)を得る。Wronskian は零でないから、§E13.9 命題 5.5によりJn,YnJ_n,Y_nは基本解系である。

主張 (3)を示す。bk(μ)=(−1)kq(k+μ+1)/k!b_k(\mu)=(-1)^kq(k+\mu+1)/k!と置くと、式 (3.1.1)の第kk項のν\nuによる微分は

∂νTk(μ,x)=bk′(μ)(x2)2k+μ+bk(μ)(x2)2k+μlog⁡(x2)\partial_\nu T_k(\mu,x) =b_k'(\mu)\left(\frac x2\right)^{2k+\mu} +b_k(\mu)\left(\frac x2\right)^{2k+\mu}\log\left(\frac x2\right)

である。補題 3.2 (1)により∑k∂νTk(μ,x)\sum_k\partial_\nu T_k(\mu,x)と∑kTk(μ,x)\sum_kT_k(\mu,x)は絶対収束するから、∑kbk′(μ)(x/2)2k+μ\sum_kb_k'(\mu)(x/2)^{2k+\mu}も絶対収束し、補題 3.2 (3)により

Aμ(x)=Jμ(x)log⁡(x2)+∑k=0∞bk′(μ)(x2)2k+μA_\mu(x) =J_\mu(x)\log\left(\frac x2\right) +\sum_{k=0}^{\infty}b_k'(\mu)\left(\frac x2\right)^{2k+\mu}

である。μ=n\mu=nとμ=−n\mu=-nに用い、式 (3.3.1)により(−1)nJ−n=Jn(-1)^nJ_{-n}=J_nであることを用いると、式 (5.5.1)から

Yn(x)=2πJn(x)log⁡(x2)+1π∑k=0∞bk′(n)(x2)2k+n+(−1)nπ∑k=0∞bk′(−n)(x2)2k−nY_n(x) =\frac2\pi J_n(x)\log\left(\frac x2\right) +\frac1\pi\sum_{k=0}^{\infty}b_k'(n)\left(\frac x2\right)^{2k+n} +\frac{(-1)^n}\pi\sum_{k=0}^{\infty}b_k'(-n)\left(\frac x2\right)^{2k-n}

を得る。右辺の二つの級数はいずれも絶対収束する。第一の級数で添字kkをk−nk-nに置き換えると（新しい添字はk≥nk\ge nを動く）、xxの冪はどちらもx2k−nx^{2k-n}の形である。したがって

ek=2n−2kπ((−1)nbk′(−n)+bk−n′(n))(k≥0)e_k=\frac{2^{n-2k}}{\pi}\Bigl((-1)^nb_k'(-n)+b_{k-n}'(n)\Bigr) \qquad(k\ge0)

と置けば（k<nk<nではbk−n′(n)=0b_{k-n}'(n)=0と読む）、eke_kは実数であり、∑kekx2k−n\sum_ke_kx^{2k-n}はすべてのx>0x>0で絶対収束して主張の表示を得る。

▨

6 半整数次の例

例 6.1.ν=1/2\nu=1/2とする。このとき、§E4.15 命題 3.1をk+1k+1回用い、§E4.15 命題 5.1のΓ(1/2)=π\Gamma(1/2)=\sqrt\piを代入すると

Γ(k+32)=∏i=0k(i+12)Γ(12)=(2k+1)!22k+1k!π\Gamma\left(k+\frac32\right) =\prod_{i=0}^{k}\left(i+\frac12\right)\Gamma\left(\frac12\right) =\frac{(2k+1)!}{2^{2k+1}k!}\sqrt\pi

である。これを式 (3.1.1)へ代入すると

J1/2(x)=∑k=0∞(−1)kk!Γ(k+3/2)(x2)2k+1/2=2πx∑k=0∞(−1)kx2k+1(2k+1)!=2πxsin⁡x.\begin{aligned} J_{1/2}(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+3/2)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1/2}\\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x. \end{aligned}

7 第一種 Bessel 関数の零点と直交性

注意 7.1.ν\nuを非負整数、α>0\alpha>0とし、平面の極座標(r,θ)(r,\theta)でU(rcos⁡θ,rsin⁡θ)=u(r)cos⁡(νθ)U(r\cos\theta,r\sin\theta)=u(r)\cos(\nu\theta)と置く。0<r<10<r<1ではΔ=∂r2+r−1∂r+r−2∂θ2\Delta=\partial_r^2+r^{-1}\partial_r+r^{-2}\partial_\theta^2であるから、ΔU+α2U=0\Delta U+\alpha^2U=0が成り立つことは、r2u′′+ru′+(α2r2−ν2)u=0r^2u''+ru'+(\alpha^2r^2-\nu^2)u=0が成り立つための必要十分条件である。u(r)=Jν(αr)u(r)=J_\nu(\alpha r)はこの方程式を満たし、単位円周上でU=0U=0が成り立つことは、Jν(α)=0J_\nu(\alpha)=0が成り立つための必要十分条件である。α\alphaがJνJ_\nuの正の零点であるとき、UUは単位円板上の Dirichlet 条件の下での−Δ-\Deltaの固有関数であり、固有値はα2\alpha^2である。式 (7.4.1)の重みxxは、極座標の面積要素r dr dθr\,dr\,d\thetaの因子rrに当たる。

命題 7.2.ν∈R\nu\in\Rとする。このとき、次が成り立つ。

  1. c≥1+2∣ν∣c\ge1+2|\nu|を満たす任意の実数ccについて、開区間(c,c+2π)(c,c+2\pi)はJνJ_\nuの零点を含む。
  2. (0,∞)(0,\infty)の任意の有界部分集合に含まれるJνJ_\nuの零点は有限個である。したがって、JνJ_\nuの正の零点の全体は無限集合であり、α1<α2<⋯\alpha_1<\alpha_2<\cdotsと並べることができ、m→∞m\to\inftyのときαm→∞\alpha_m\to\inftyである。
  3. JνJ_\nuの各正の零点α\alphaについてJν′(α)≠0J_\nu'(\alpha)\ne0である。
  4. JνJ_\nuとYνY_\nuは共通の正の零点をもたない。主張 (2)のαm\alpha_mについて、各m≥1m\ge1で開区間(αm,αm+1)(\alpha_m,\alpha_{m+1})はYνY_\nuの零点をちょうど一つ含む。

証明.式 (1.1.1)はν2\nu^2だけに依存するから、定理 3.3と§E13.26 命題 2.2 (6)を∣ν∣|\nu|とλ=1\lambda=1に適用すると、x>0x>0でJνJ_\nuは−(xy′)′+ν2xy=xy-(xy')'+\frac{\nu^2}{x}y=xyの解であり、u(x)=x1/2Jν(x)u(x)=x^{1/2}J_\nu(x)はV(x)=(ν2−14)x−2V(x)=(\nu^2-\frac14)x^{-2}について−u′′+Vu=u-u''+Vu=uを満たす。[c,d]⊂(0,∞)[c,d]\subset(0,\infty)ならば、(c,d,x,ν2/x,x)(c,d,x,\nu^2/x,x)と(c,d,1,V,1)(c,d,1,V,1)は正則データである。

§E4.15 命題 4.2によりqqの零点は非正整数だけであるから、q(k0+ν+1)≠0q(k_0+\nu+1)\ne0を満たす最小の非負整数k0k_0が存在する。bk=(−1)kq(k+ν+1)/k!b_k=(-1)^kq(k+\nu+1)/k!と置くと、x>0x>0でJν(x)=(x/2)2k0+νg(x)J_\nu(x)=(x/2)^{2k_0+\nu}g(x)、g(x)=∑k≥k0bk(x/2)2(k−k0)g(x)=\sum_{k\ge k_0}b_k(x/2)^{2(k-k_0)}である。補題 3.2 (1)をx=2x=2に用いると∑k∣bk∣<∞\sum_k|b_k|<\inftyであるから、0<x≤20<x\le2について

∣g(x)−bk0∣≤(x2)2∑k>k0∣bk∣|g(x)-b_{k_0}|\le\left(\frac x2\right)^2\sum_{k>k_0}|b_k|

である。bk0≠0b_{k_0}\ne0であるから、あるδ∈(0,2]\delta\in(0,2]が存在して(0,δ](0,\delta]上でg≠0g\ne0であり、JνJ_\nuは(0,δ](0,\delta]に零点をもたない。[c,d]⊂(0,∞)[c,d]\subset(0,\infty)とし、c′=min⁡{c,δ}c'=\min\{c,\delta\}と置く。JνJ_\nuが[c,d][c,d]上で恒等的に零であるとすると、Jν(c)=0J_\nu(c)=0かつcJν′(c)=0cJ_\nu'(c)=0であり、§E13.28 系 1.2 (2)を正則データ(c′,d,x,ν2/x,x)(c',d,x,\nu^2/x,x)とλ=1\lambda=1に適用するとJνJ_\nuは[c′,d][c',d]上で恒等的に零である。これはJν(c′)≠0J_\nu(c')\ne0と両立しない。したがって、JνJ_\nuの[c,d][c,d]への制限は正則データ(c,d,x,ν2/x,x)(c,d,x,\nu^2/x,x)とλ=1\lambda=1に対する零でない実数値の解であり、uuの[c,d][c,d]への制限は正則データ(c,d,1,V,1)(c,d,1,V,1)とλ=1\lambda=1に対する零でない実数値の解である。

主張 (1)を示す。c≥1+2∣ν∣c\ge1+2|\nu|とし、d=c+2πd=c+2\piと置く。x∈[c,d]x\in[c,d]ではx>2∣ν∣x>2|\nu|であるからV(x)≤ν2/x2<14V(x)\le\nu^2/x^2<\frac14であり、1−V(x)>341-V(x)>\frac34である。y1(x)=sin⁡((x−c)/2)y_1(x)=\sin\bigl((x-c)/2\bigr)は正則データ(c,d,1,0,1)(c,d,1,0,1)とλ1=14\lambda_1=\frac14に対する−y′′=14y-y''=\frac14yの零でない実数値の解であり、y1(c)=y1(d)=0y_1(c)=y_1(d)=0を満たし、(c,d)(c,d)に零点をもたない。第二段落により、uuは正則データ(c,d,1,V,1)(c,d,1,V,1)とλ2=1\lambda_2=1に対する零でない実数値の解である。二つのデータの1/p1/pはともに11であり、[c,d][c,d]の各点で14<1−V\frac14<1-Vであるから、§E13.28 定理 2.2 (2)によりuuは(c,d)(c,d)に零点をもつ。x1/2>0x^{1/2}>0であるから、JνJ_\nuも(c,d)(c,d)に零点をもつ。

主張 (2)を示す。第二段落によりJνJ_\nuは(0,δ](0,\delta]に零点をもたない。R>δR>\deltaとすると、同じ段落によりJνJ_\nuは正則データ(δ,R,x,ν2/x,x)(\delta,R,x,\nu^2/x,x)とλ=1\lambda=1に対する零でない実数値の解であるから、§E13.28 補題 2.1 (2)により[δ,R][\delta,R]に含まれる零点は有限個である。したがって有界部分集合に含まれる零点は有限個である。主張 (1)により正の零点は上に有界でないから、正の零点の全体は無限集合であり、増加順に並べるとαm→∞\alpha_m\to\inftyである。

主張 (3)を示す。0<c<α<d0<c<\alpha<dをとる。第二段落によりJνJ_\nuの[c,d][c,d]への制限は零でない解であるから、§E13.28 補題 2.1 (2)を正則データ(c,d,x,ν2/x,x)(c,d,x,\nu^2/x,x)とλ=1\lambda=1に適用すると、流束xJν′(x)xJ_\nu'(x)はx=αx=\alphaで零でない。したがってJν′(α)≠0J_\nu'(\alpha)\ne0である。

主張 (4)を示す。ν∉Z\nu\notin\Zならば式 (4.3.1)、ν=n≥0\nu=n\ge0が整数ならば式 (5.5.2)により、(0,∞)(0,\infty)の各点でW(Jν,Yν)≠0W(J_\nu,Y_\nu)\ne0である。ν=−n\nu=-n（n≥1n\ge1）ならばJ−n=(−1)nJnJ_{-n}=(-1)^nJ_nとY−n=(−1)nYnY_{-n}=(-1)^nY_nからW(J−n,Y−n)=W(Jn,Yn)≠0W(J_{-n},Y_{-n})=W(J_n,Y_n)\ne0である。したがって、任意の[c,d]⊂(0,∞)[c,d]\subset(0,\infty)上で、JνJ_\nuとYνY_\nuは−(xy′)′+ν2xy=xy-(xy')'+\frac{\nu^2}{x}y=xyの一次独立な実数値の解である。0<c<α<d0<c<\alpha<dとして§E13.28 定理 2.3を正則データ(c,d,x,ν2/x,x)(c,d,x,\nu^2/x,x)とλ=1\lambda=1に適用すると、α\alphaはYνY_\nuの零点でない。[c,d]=[αm,αm+1][c,d]=[\alpha_m,\alpha_{m+1}]として同じ定理を適用すると、αm,αm+1\alpha_m,\alpha_{m+1}は[αm,αm+1][\alpha_m,\alpha_{m+1}]におけるJνJ_\nuの相続く零点であるから、(αm,αm+1)(\alpha_m,\alpha_{m+1})はYνY_\nuの零点をちょうど一つ含む。

▨

注意 7.3.式 (1.1.1)をx>0x>0でxxで割ると−(xy′)′+ν2xy=xy-(xy')'+\frac{\nu^2}{x}y=xyであり、Sturm–Liouville 形の係数はp(x)=xp(x)=x、w(x)=xw(x)=xである。§E13.26 命題 2.2 (6)を∣ν∣|\nu|に適用すると、区間(0,1)(0,1)の端点00はν\nuによらず特異端点である。したがって、定理 7.4の直交性は、両端が正則端点である Sturm–Liouville 問題の固有関数の直交性からは従わず、x↓0x\downarrow0での境界項の評価を必要とする。

定理 7.4.ν>−1\nu>-1とし、α,β\alpha,\betaをJνJ_\nuの相異なる正の零点とする。このとき

∫01xJν(αx)Jν(βx) dx=0.\int_0^1 xJ_\nu(\alpha x)J_\nu(\beta x)\,dx =0.(7.4.1)\text{(7.4.1)}

証明は演習とする（問題 8.4）。

8 演習

問題 8.1 (整数次数の級数計算).式 (3.1.1)とq(j+1)=1/j!q(j+1)=1/j!を用いて、J2(x)J_2(x)の最初の三つの非零項を求めよ。また、同じ式からJ−2=J2J_{-2}=J_2が成り立つことを確認せよ。

解答.

q(3)=1/2!q(3)=1/2!、q(4)=1/3!q(4)=1/3!、q(5)=1/4!q(5)=1/4!であるから、

J2(x)=x28−x496+x63072+O(x8).J_2(x) = \frac{x^2}{8} -\frac{x^4}{96} +\frac{x^6}{3072} +O(x^8).

J−2J_{-2}の級数ではq(−1)=q(0)=0q(-1)=q(0)=0であるため、k=0,1k=0,1の項が消える。k=2+jk=2+jと置くと

J−2(x)=∑j=0∞(−1)2+jq(j+1)(2+j)!(x2)2+2j=J2(x)J_{-2}(x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2+j}q(j+1)}{(2+j)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2+2j} =J_2(x)

となる。▨

問題 8.2 (整数次数の Wronskian 係数).§E4.15 式 (4.2.2)と、n≥1n\ge1に対するq(n)=1/(n−1)!q(n)=1/(n-1)!を用いて、補題 5.2を証明せよ。

解答.

n≥1n\ge1とし、h=ν−nh=\nu-nと置く。n>0n>0であるからq(n)=1/Γ(n)=1/(n−1)!q(n)=1/\Gamma(n)=1/(n-1)!である（§E4.15 命題 3.1）。1−ν=−(n−1)−h1-\nu=-(n-1)-hであり、§E4.15 式 (4.2.2)によりq(−(n−1))=0q(-(n-1))=0、q′(−(n−1))=(−1)n−1(n−1)!q'(-(n-1))=(-1)^{n-1}(n-1)!であるから、qqの微分可能性により

q(1−ν)=−q′(−(n−1))h+o(h)=(−1)n(n−1)!h+o(h).q(1-\nu) =-q'(-(n-1))h+o(h) =(-1)^n(n-1)!h+o(h).

またsin⁡(π(n+h))=(−1)nsin⁡(πh)=π(−1)nh+o(h)\sin(\pi(n+h))=(-1)^n\sin(\pi h)=\pi(-1)^nh+o(h)であり、qqは連続であるからq(ν)→q(n)q(\nu)\to q(n)である。したがって

q(ν)q(1−ν)sin⁡(πν)⟶{1/(n−1)!}(−1)n(n−1)!π(−1)n=1π.\frac{q(\nu)q(1-\nu)}{\sin(\pi\nu)} \longrightarrow \frac{\{1/(n-1)!\}(-1)^n(n-1)!}{\pi(-1)^n} =\frac1\pi.

n=0n=0とする。§E4.15 式 (4.2.2)をm=0m=0として適用すると、q(0)=0q(0)=0、q′(0)=1q'(0)=1である。qqは微分可能であるからq(ν)=ν+o(ν)q(\nu)=\nu+o(\nu)である。qqは連続であるからq(1−ν)→q(1)=1q(1-\nu)\to q(1)=1であり、sin⁡(πν)=πν+o(ν)\sin(\pi\nu)=\pi\nu+o(\nu)である。したがって

q(ν)q(1−ν)sin⁡(πν)=(1+o(1))q(1−ν)π+o(1)⟶1π\frac{q(\nu)q(1-\nu)}{\sin(\pi\nu)}=\frac{(1+o(1))q(1-\nu)}{\pi+o(1)}\longrightarrow\frac1\pi

である。▨

問題 8.3 (次数00の第二種の原点での挙動).bk(μ)=(−1)kq(k+μ+1)/k!b_k(\mu)=(-1)^kq(k+\mu+1)/k!と置く。式 (5.5.1)をn=0n=0に用いて、x>0x>0について

Y0(x)=2πJ0(x)log⁡(x2)+2π∑k=0∞bk′(0)(x2)2k,bk′(0)=(−1)kq′(k+1)k!Y_0(x) =\frac2\pi J_0(x)\log\left(\frac x2\right) +\frac2\pi\sum_{k=0}^{\infty}b_k'(0)\left(\frac x2\right)^{2k}, \qquad b_k'(0)=\frac{(-1)^kq'(k+1)}{k!}

を示せ。さらに、ある定数CCが存在して0<x≤20<x\le2について

∣Y0(x)−2π(log⁡(x2)−Γ′(1))∣≤Cx2(1+∣log⁡(x2)∣)\left|Y_0(x)-\frac2\pi\left(\log\left(\frac x2\right)-\Gamma'(1)\right)\right| \le Cx^2\left(1+\left|\log\left(\frac x2\right)\right|\right)

が成り立つことを示し、x↓0x\downarrow0のときY0(x)→−∞Y_0(x)\to-\inftyであることを証明せよ。

解答.

式 (5.5.1)をn=0n=0に用いるとY0(x)=2 ∂νJν(x)∣ν=0/πY_0(x)=2\,\partial_\nu J_\nu(x)|_{\nu=0}/\piである。式 (3.1.1)の第kk項はTk(μ,x)=bk(μ)(x/2)2k+μT_k(\mu,x)=b_k(\mu)(x/2)^{2k+\mu}であるから、

∂νTk(0,x)=bk′(0)(x2)2k+bk(0)(x2)2klog⁡(x2)\partial_\nu T_k(0,x) =b_k'(0)\left(\frac x2\right)^{2k} +b_k(0)\left(\frac x2\right)^{2k}\log\left(\frac x2\right)

である。補題 3.2 (1)により∑k∂νTk(0,x)\sum_k\partial_\nu T_k(0,x)と∑kTk(0,x)\sum_kT_k(0,x)は絶対収束するから、∑kbk′(0)(x/2)2k\sum_kb_k'(0)(x/2)^{2k}も絶対収束する。補題 3.2 (3)により∂νJν(x)∣ν=0=∑k∂νTk(0,x)\partial_\nu J_\nu(x)|_{\nu=0}=\sum_k\partial_\nu T_k(0,x)であるから、

∂νJν(x)∣ν=0=J0(x)log⁡(x2)+∑k=0∞bk′(0)(x2)2k\partial_\nu J_\nu(x)\big|_{\nu=0} =J_0(x)\log\left(\frac x2\right)+\sum_{k=0}^{\infty}b_k'(0)\left(\frac x2\right)^{2k}

であり、第一の表示を得る。bk(μ)b_k(\mu)をμ\muで微分するとbk′(0)=(−1)kq′(k+1)/k!b_k'(0)=(-1)^kq'(k+1)/k!である。

qqは(0,∞)(0,\infty)上で正であり（§E4.15 定義 4.1でr=0r=0と選ぶとq=1/Γq=1/\Gamma）、§E4.15 命題 4.2により微分可能であるから、Γ=1/q\Gamma=1/qは(0,∞)(0,\infty)上で微分可能であり、Γ′=−q′/q2\Gamma'=-q'/q^2である。q(1)=1q(1)=1であるからb0′(0)=q′(1)=−Γ′(1)b_0'(0)=q'(1)=-\Gamma'(1)である。

x=2x=2における絶対収束からS0=∑k≥1∣bk(0)∣S_0=\sum_{k\ge1}|b_k(0)|とS1=∑k≥1∣bk′(0)∣S_1=\sum_{k\ge1}|b_k'(0)|は有限である。b0(0)=q(1)=1b_0(0)=q(1)=1であるから、0<x≤20<x\le2について

∣J0(x)−1∣≤(x2)2S0,∣∑k=0∞bk′(0)(x2)2k+Γ′(1)∣≤(x2)2S1|J_0(x)-1|\le\left(\frac x2\right)^2S_0, \qquad \left|\sum_{k=0}^{\infty}b_k'(0)\left(\frac x2\right)^{2k}+\Gamma'(1)\right|\le\left(\frac x2\right)^2S_1

である。第一の表示から

Y0(x)−2π(log⁡(x2)−Γ′(1))=2π((J0(x)−1)log⁡(x2)+∑k=0∞bk′(0)(x2)2k+Γ′(1))Y_0(x)-\frac2\pi\left(\log\left(\frac x2\right)-\Gamma'(1)\right) =\frac2\pi\Bigl(\bigl(J_0(x)-1\bigr)\log\left(\frac x2\right)+\sum_{k=0}^{\infty}b_k'(0)\left(\frac x2\right)^{2k}+\Gamma'(1)\Bigr)

であるから、C=(S0+S1)/(2π)C=(S_0+S_1)/(2\pi)として主張の評価を得る。x↓0x\downarrow0のときx2log⁡(x/2)→0x^2\log(x/2)\to0であるから右辺の評価は零へ収束し、log⁡(x/2)→−∞\log(x/2)\to-\inftyであるからY0(x)→−∞Y_0(x)\to-\inftyである。J0(x)→1J_0(x)\to1であるから、Y0Y_0はJ0J_0と異なり原点の近くで有界でない。▨

問題 8.4 (特異端点の境界項).ν>−1\nu>-1とし、α,β\alpha,\betaをJνJ_\nuの相異なる正の零点とする。u(x)=Jν(αx)u(x)=J_\nu(\alpha x)、v(x)=Jν(βx)v(x)=J_\nu(\beta x)に対して

x(vu′−uv′)⟶0(x↓0)x(vu'-uv')\longrightarrow0 \qquad(x\downarrow0)

を証明し、この事実を用いて定理 7.4の証明を完成させよ。

解答.

u(x)=Jν(αx)u(x)=J_\nu(\alpha x)、v(x)=Jν(βx)v(x)=J_\nu(\beta x)と置く。定理 3.3と合成関数の微分により、x>0x>0でx2u′′+xu′+(α2x2−ν2)u=0x^2u''+xu'+(\alpha^2x^2-\nu^2)u=0である。また、α\alphaはJνJ_\nuの零点であるからu(1)=0u(1)=0である。前者をxxで割ると

(xu′(x))′+(α2x−ν2x)u(x)=0,u(1)=0\bigl(xu'(x)\bigr)' +\left(\alpha^2x-\frac{\nu^2}{x}\right)u(x) =0, \qquad u(1)=0(8.4.1)\text{(8.4.1)}

が成り立つ。vvもα\alphaをβ\betaに替えた同じ等式を満たす。0<ε<10<\varepsilon<1を固定し、[ε,1][\varepsilon,1]上の微分作用素を

L[w]=−(xw′)′+ν2xwL[w]=-(xw')'+\frac{\nu^2}{x}w

と定める。式 (8.4.1)により

L[u]=α2xu,L[v]=β2xvL[u]=\alpha^2xu, \qquad L[v]=\beta^2xv

である。したがってuL[v]−vL[u]=(β2−α2)xuvuL[v]-vL[u]=(\beta^2-\alpha^2)xuvである。§E13.26 定理 4.2を[ε,1][\varepsilon,1]上でp(x)=xp(x)=xとして適用すると

(α2−β2)∫ε1xuv dx=−[x(vu′−uv′)]ε1(\alpha^2-\beta^2) \int_\varepsilon^1xuv\,dx = -\left[ x(vu'-uv') \right]_\varepsilon^1(8.4.2)\text{(8.4.2)}

を得る。u(1)=v(1)=0u(1)=v(1)=0であるから、x=1x=1の境界項は零である。

ν>−1\nu>-1のとき、q(ν+1)=1/Γ(ν+1)q(\nu+1)=1/\Gamma(\nu+1)である。式 (3.1.1)とその項別微分（補題 3.2 (2)）の最初の二項から、任意のc>0c>0に対して

Jν(cx)=(c/2)νΓ(ν+1)xν(1−c2x24(ν+1)+O(x4))(x↓0)J_\nu(cx) = \frac{(c/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)} x^\nu \left( 1-\frac{c^2x^2}{4(\nu+1)}+O(x^4) \right) \qquad(x\downarrow0)

である。ここで剰余の評価は、0<x≤10<x\le1について第三項以降のx−ν−4x^{-\nu-4}倍の絶対値の和が、x=1x=1における絶対収束する級数の和以下であることによる。導関数の級数についても同様である。

Kc=(c/2)νΓ(ν+1),dc=c24(ν+1)K_c=\frac{(c/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)}, \qquad d_c=\frac{c^2}{4(\nu+1)}

と置けば、

Jν(cx)=Kcxν(1−dcx2+O(x4)),ddxJν(cx)=Kcxν−1(ν−(ν+2)dcx2+O(x4))J_\nu(cx)=K_cx^\nu\bigl(1-d_cx^2+O(x^4)\bigr), \qquad \frac{d}{dx}J_\nu(cx) =K_cx^{\nu-1}\bigl(\nu-(\nu+2)d_cx^2+O(x^4)\bigr)

である。したがって、vu′−uv′vu'-uv'のx2ν−1x^{2\nu-1}の項は相殺され、第二項まで計算すると

x(vu′−uv′)=2KαKβ(dβ−dα)x2ν+2+O(x2ν+4)=O(x2ν+2)x(vu'-uv') =2K_\alpha K_\beta(d_\beta-d_\alpha)x^{2\nu+2} +O(x^{2\nu+4}) =O(x^{2\nu+2})

を得る。ν>−1\nu>-1ならば2ν+2>02\nu+2>0であるから、この境界項はx↓0x\downarrow0で零へ収束する。またxuv=O(x2ν+1)xuv=O(x^{2\nu+1})であり、2ν+1>−12\nu+1>-1であるから、xuvxuvはx=0x=0の近傍で絶対可積分である。したがって式 (8.4.2)でε↓0\varepsilon\downarrow0とすることができる。α\alphaとβ\betaは相異なる正数なのでα2≠β2\alpha^2\ne\beta^2であり、α2−β2\alpha^2-\beta^2で割ると式 (7.4.1)を得る。▨

問題 8.5 (半整数次数の直交積分). 正整数m,nm,nに対して、例 6.1を用いて

xJ1/2(mπx)J1/2(nπx)xJ_{1/2}(m\pi x)J_{1/2}(n\pi x)

を正弦関数の積で表せ。また、この表示をx=0x=0へ連続に延長したうえで、区間[0,1][0,1]上の積分をm≠nm\ne nとm=nm=nの場合に分けて求めよ。

解答.

例 6.1でxxをmπxm\pi xに置き換えると、0<x≤10<x\le1で

J1/2(mπx)=2mπ2xsin⁡(mπx)J_{1/2}(m\pi x) =\sqrt{\frac{2}{m\pi^2x}}\sin(m\pi x)

となる。したがって

xJ1/2(mπx)J1/2(nπx)=2π2mnsin⁡(mπx)sin⁡(nπx).xJ_{1/2}(m\pi x)J_{1/2}(n\pi x) =\frac{2}{\pi^2\sqrt{mn}}\sin(m\pi x)\sin(n\pi x).

右辺はx=0x=0で値00をとる連続関数へ延長される。m≠nm\ne nならば、積和公式により

∫01sin⁡(mπx)sin⁡(nπx) dx=12[sin⁡((m−n)πx)(m−n)π−sin⁡((m+n)πx)(m+n)π]01=0.\begin{aligned} \int_0^1\sin(m\pi x)\sin(n\pi x)\,dx &=\frac12\left[ \frac{\sin((m-n)\pi x)}{(m-n)\pi} -\frac{\sin((m+n)\pi x)}{(m+n)\pi} \right]_0^1\\ &=0. \end{aligned}

m=nm=nならば、sin⁡2(mπx)=(1−cos⁡(2mπx))/2\sin^2(m\pi x)=(1-\cos(2m\pi x))/2であるから

∫01sin⁡2(mπx) dx=12\int_0^1\sin^2(m\pi x)\,dx=\frac12

となる。以上より

∫01xJ1/2(mπx)J1/2(nπx) dx={0,m≠n,1mπ2,m=n\int_0^1xJ_{1/2}(m\pi x)J_{1/2}(n\pi x)\,dx = \begin{cases} 0,&m\ne n,\\ \dfrac{1}{m\pi^2},&m=n \end{cases}

を得る。▨

問題 8.6 (次数1/21/2の第二種と零点の交互配置).J−1/2(x)=2/(πx)cos⁡xJ_{-1/2}(x)=\sqrt{2/(\pi x)}\cos xとY1/2=−J−1/2Y_{1/2}=-J_{-1/2}を証明し、W(J1/2,Y1/2)W(J_{1/2},Y_{1/2})を直接計算して式 (4.3.1)と比べよ。また、J1/2J_{1/2}とY1/2Y_{1/2}の正の零点を求め、命題 7.2 (4)の結論が成り立つことを確かめよ。

解答.

§E4.15 命題 3.1をkk回用い、§E4.15 命題 5.1を代入すると

Γ(k+12)=∏i=0k−1(i+12)π=(2k)!4kk!π\Gamma\left(k+\frac12\right) =\prod_{i=0}^{k-1}\left(i+\frac12\right)\sqrt\pi =\frac{(2k)!}{4^kk!}\sqrt\pi

である。k+12>0k+\frac12>0であるからq(k+12)=1/Γ(k+12)q(k+\frac12)=1/\Gamma(k+\frac12)であり、式 (3.1.1)から

J−1/2(x)=∑k=0∞(−1)k4kk!k! (2k)!π(x2)2k−1/2=2πx∑k=0∞(−1)kx2k(2k)!=2πxcos⁡xJ_{-1/2}(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k4^kk!}{k!\,(2k)!\sqrt\pi}\left(\frac x2\right)^{2k-1/2} =\sqrt{\frac2{\pi x}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!} =\sqrt{\frac2{\pi x}}\cos x

を得る。cos⁡(π/2)=0\cos(\pi/2)=0、sin⁡(π/2)=1\sin(\pi/2)=1であるから、式 (4.2.1)によりY1/2=−J−1/2Y_{1/2}=-J_{-1/2}である。

f(x)=2/(πx)f(x)=\sqrt{2/(\pi x)}と置くと、例 6.1によりJ1/2=fsin⁡J_{1/2}=f\sin、Y1/2=−fcos⁡Y_{1/2}=-f\cosであり、

W(J1/2,Y1/2)=fsin⁡⋅(−f′cos⁡+fsin⁡)−(f′sin⁡+fcos⁡)(−fcos⁡)=f2=2πxW(J_{1/2},Y_{1/2}) =f\sin\cdot(-f'\cos+f\sin)-(f'\sin+f\cos)(-f\cos) =f^2 =\frac2{\pi x}

である。q(12)=1/Γ(12)=1/πq(\frac12)=1/\Gamma(\frac12)=1/\sqrt\piであるから、式 (4.3.1)の右辺も2q(12)2/(sin⁡(π/2)x)=2/(πx)2q(\frac12)^2/(\sin(\pi/2)x)=2/(\pi x)であり、両者は一致する。

f>0f>0であるから、J1/2J_{1/2}の正の零点はsin⁡x=0\sin x=0の正の解αm=mπ\alpha_m=m\pi（m≥1m\ge1）であり、Y1/2Y_{1/2}の正の零点はcos⁡x=0\cos x=0の正の解(m−12)π(m-\frac12)\pi（m≥1m\ge1）である。両者に共通の点はなく、各m≥1m\ge1について開区間(mπ,(m+1)π)(m\pi,(m+1)\pi)に含まれるY1/2Y_{1/2}の零点は(m+12)π(m+\frac12)\piだけである。これは命題 7.2 (4)の結論と一致する。▨

問題 8.7 (次数−3/2-3/2における原点の発散). 固定したc,d>0c,d>0に対して、式 (3.1.1)の全実数次数の級数から

xJ−3/2(cx)J−3/2(dx)=2π(cd)3/2x−2+O(1)(x↓0)xJ_{-3/2}(cx)J_{-3/2}(dx) =\frac{2}{\pi(cd)^{3/2}}x^{-2}+O(1) \qquad(x\downarrow0)

を導き、区間(0,1](0,1]上の広義積分が正の向きへ発散することを証明せよ。また、正整数ppに対するxJ−p(cx)J−p(dx)xJ_{-p}(cx)J_{-p}(dx)は原点近くで絶対可積分であることを示し、条件ν>−1\nu>-1が全実数次数における可積分性の必要十分条件ではないことを確認せよ。

解答.

§E4.15 命題 5.1と§E4.15 命題 3.1によりΓ(3/2)=π/2\Gamma(3/2)=\sqrt\pi/2であるから、§E4.15 式 (4.2.1)により

q(1/2)=12q(3/2)=1π,q(−1/2)=−12q(1/2)=−12πq(1/2)=\frac12q(3/2)=\frac1{\sqrt\pi}, \qquad q(-1/2)=-\frac12q(1/2)=-\frac1{2\sqrt\pi}

となる。式 (3.1.1)でν=−3/2\nu=-3/2とし、k=0,1k=0,1の項を取り出すと、固定したc>0c>0に対して

J−3/2(cx)=−2π c−3/2x−3/2(1+c2x22+O(x4))(x↓0)J_{-3/2}(cx) =-\sqrt{\frac2\pi}\,c^{-3/2}x^{-3/2} \left(1+\frac{c^2x^2}{2}+O(x^4)\right) \qquad(x\downarrow0)

を得る。ここで剰余は、x−3/2x^{-3/2}を括り出した後のx2x^2のべき級数に比の判定を適用して評価したものであり、このべき級数は原点を含む有界区間上で絶対一様収束する。したがって

xJ−3/2(cx)J−3/2(dx)=2π(cd)3/2x−2+O(1)xJ_{-3/2}(cx)J_{-3/2}(dx) =\frac{2}{\pi(cd)^{3/2}}x^{-2}+O(1)

となる。先頭係数2/(π(cd)3/2)2/(\pi(cd)^{3/2})は正であるから、十分小さいx>0x>0では被積分関数はx−2/(π(cd)3/2)x^{-2}/(\pi(cd)^{3/2})以上である。よって

∫ε1xJ−3/2(cx)J−3/2(dx) dx=2π(cd)3/21ε+O(1)⟶+∞(ε↓0).\int_\varepsilon^1xJ_{-3/2}(cx)J_{-3/2}(dx)\,dx =\frac{2}{\pi(cd)^{3/2}}\frac1\varepsilon+O(1) \longrightarrow+\infty \qquad(\varepsilon\downarrow0).

一方、正整数ppについては式 (3.3.1)と式 (3.1.1)の先頭の非零項から

xJ−p(cx)J−p(dx)=(cd)p22p(p!)2x2p+1(1+O(x2))xJ_{-p}(cx)J_{-p}(dx) =\frac{(cd)^p}{2^{2p}(p!)^2}x^{2p+1}\bigl(1+O(x^2)\bigr)

となる。指数2p+12p+1は−1-1より大きいので、この関数は原点近くで絶対可積分である。したがってν>−1\nu>-1は直交定理の証明で用いた十分条件であるが、全実数次数における可積分性の必要十分条件ではない。▨

参考文献

  1. G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1995, originally published 1944.第一種・第二種 Bessel 関数の標準的な規格化、次数極限、Wronskian、零点の配置と零点に基づく直交性を参考にした。
  2. National Institute of Standards and Technology, NIST Digital Library of Mathematical Functions.実数次数と整数次数の関係、整数次数の極限、半整数次の明示式を参考にした。

前提記事

10 本の記事・単元を表示