§E13.15流れ

証明.$y=\varphi(\cdot,x)$とおく。$I(x)\cap J$は$\tau$を含む開区間であり、$y(\tau)=z(\tau)$であるから、§E13.6 系 5.2 (1)により$I(x)\cap J$上で$y=z$である。$I(x)\cup J$は共通の点$\tau$をもつ二つの開区間の和であるから開区間である。$I(x)$上で$y$、$J$上で$z$に等しい関数$w:I(x)\cup J\to U$は、重なりで値が一致するので矛盾なく定まる。$I(x)\cup J$の各点は$I(x)$か$J$の一方に属し、その開区間上で$w$は古典解$y$または$z$に一致するから、$w$は古典解であり、$y$の延長である。§E13.6 定義 1.2により$I(x)\cup J=I(x)$である。したがって$J\subseteq I(x)$であり、$z=w|_J=y|_J$である。▨

証明.$\varphi_0(x)=x$は最大解の初期条件である。$y=\varphi(\cdot,x)$、$s\in I(x)$、$p=y(s)$、$w=\varphi(\cdot,p)$とおく。

$u(\tau)=y(\tau+s)$（$\tau\in I(x)-s$）は$u'(\tau)=y'(\tau+s)=F(u(\tau))$を満たす$I(x)-s$上の古典解であり、$u(0)=p=w(0)$である。補題 1.2を$p$、$J=I(x)-s$、$\tau=0$に適用すると、$I(x)-s\subseteq I(p)$であり、$I(x)-s$上で$u=w$である。すなわち$t\in I(x)-s$について$\varphi_{t+s}(x)=\varphi_t(p)$である。

$v(\tau)=w(\tau-s)$（$\tau\in I(p)+s$）は$I(p)+s$上の古典解であり、$0\in I(p)$により$s\in I(p)+s$で、$v(s)=w(0)=p=y(s)$である。補題 1.2を$x$、$J=I(p)+s$、$\tau=s$に適用すると、$I(p)+s\subseteq I(x)$である。したがって$I(p)=I(x)-s$である。▨

証明.$u,v\in U$について$\lVert(-F)(u)-(-F)(v)\rVert=\lVert F(u)-F(v)\rVert$であるから、$-F$は局所 Lipschitz 連続である。$\Omega=\R\times U$上で$f(t,u)=F(u)$とおくと、§E13.6 補題 4.1の記号で$\widehat\Omega=\Omega$、$\widehat f(t,u)=-F(u)$であり、$f$と$\widehat f$はともに連続で状態について局所 Lipschitz 連続である。$y=\varphi^F(\cdot,x)$は$y'=f(t,y)$の古典的最大解であるから、§E13.6 補題 5.1により最大絶対連続解である。§E13.6 補題 4.1により、$\widehat y(t)=y(-t)$（$t\in-I_F(x)$）は$y'=\widehat f(t,y)$の最大絶対連続解であり、§E13.6 補題 5.1を$\widehat f$に適用すると、$\widehat y$は$y'=-F(y)$の古典的最大解である。$\widehat y(0)=x$であるから、§E13.6 系 5.2 (2)の一意性により$-I_F(x)=I_{-F}(x)$であり、$\widehat y=\varphi^{-F}(\cdot,x)$である。▨

証明.主張 (1)は§E13.8 系 4.4 (1)である。

主張 (2)を示す。連続写像$j_t:U\to\R\times U$、$j_t(x)=(t,x)$について$U_t=j_t^{-1}(D)$は$U$の開集合であり、$U$は$\R^n$の開集合であるから$U_t$は$\R^n$の開集合である。$\varphi_t=\varphi\circ j_t|_{U_t}$は連続である。$x\in U_t$とする。定理 1.3を$s=t$に適用すると$I(\varphi_t(x))=I(x)-t$であり、$0\in I(x)$から$-t\in I(\varphi_t(x))$であるから、$\varphi_t(x)\in U_{-t}$であり、$\varphi_{-t}(\varphi_t(x))=\varphi_0(x)=x$である。$-t$と$U_{-t}$に対して同じ議論を行うと、$y\in U_{-t}$について$\varphi_{-t}(y)\in U_t$であり$\varphi_t(\varphi_{-t}(y))=y$である。$\varphi_{-t}$も連続であるから、結論を得る。▨

証明.$F$は$C^1$級であるから局所 Lipschitz 連続である（§E4.3 定理 2.1）。

主張 (1)と主張 (2)の前半は§E13.8 系 4.4 (2)である。

主張 (3)を示す。$j_{t}(x)=(t,x)$とすると、$\varphi_t=\varphi\circ j_t$は$U_t$上で$C^k$級であり、$\varphi_{-t}$も$U_{-t}$上で$C^k$級である。定理 2.1 (2)により$\varphi_t:U_t\to U_{-t}$は全単射で、逆写像は$\varphi_{-t}$である。したがって$\varphi_t$は$C^k$級微分同相写像である。

$(t,x)\in D$とする。$\varphi_{-t}\circ\varphi_t$は$U_t$上で恒等写像であるから、§E4.3 定理 1.1により$D\varphi_{-t}(\varphi_t(x))\,D_x\varphi(t,x)=I_n$である。正方行列の積が単位行列であるから、$D_x\varphi(t,x)$は可逆である。これで主張 (2)の後半は示された。

主張 (4)を示す。$F(x_*)=0$であるから、定数写像$\R\ni t\mapsto x_*$は$y'=F(y)$の$\R$上の古典解であり、最大解である。したがって$I(x_*)=\R$であり、$\varphi_t(x_*)=x_*$である。$A=DF(x_*)$とおく。主張 (2)の前半により$Y(t)=D_x\varphi(t,x_*)$は$Y'=AY$、$Y(0)=I_n$の$\R$上の解である。$Y$の第$j$列は$\boldsymbol x'=A\boldsymbol x$、$\boldsymbol x(0)=\boldsymbol e_j$の$\R$上の解であるから、§E13.12 定理 2.2により$e^{tA}\boldsymbol e_j$に等しい。したがって$Y(t)=e^{tA}$である。

主張 (5)を示す。$(t,x)\in D$とすると$x\in U_t$であり、定理 2.1 (2)により$U_t$は開集合である。$c(s)=\varphi_s(x)$は$I(x)$上で連続であるから、$\varepsilon>0$が存在して$(-\varepsilon,\varepsilon)\subseteq I(x)$であり、$\lvert s\rvert<\varepsilon$ならば$c(s)\in U_t$である。このとき$t\in I(c(s))$であるから、定理 1.3により$t+s\in I(x)$であり、$\varphi_t(c(s))=\varphi_{t+s}(x)$である。$c$は$c'(s)=F(c(s))$、$c(0)=x$を満たし、$\varphi_t$は$U_t$上で$C^1$級で$D\varphi_t(x)=D_x\varphi(t,x)$であるから、$s\mapsto\varphi_t(c(s))$を$s=0$で微分すると§E4.3 定理 1.1により$D_x\varphi(t,x)F(x)$である。$s\mapsto\varphi_{t+s}(x)$は$y'=F(y)$の古典解を時間について平行移動したものであるから、その$s=0$での微分は$F(\varphi_t(x))$である。$\lvert s\rvert<\varepsilon$で二つの写像は一致するから、二つの微分を比べて$D_x\varphi(t,x)F(x)=F(\varphi_t(x))$を得る。▨

証明.$I(x)=(\alpha,\beta)$とおく。$\varphi(\cdot,x)$は$\Omega=\R\times U$上の$y'=F(y)$の古典的最大解である。

主張 (1)を示す。$\beta<\infty$と仮定する。$[0,\beta]\times K$は$\Omega$のコンパクト集合であり、すべての$t\in[0,\beta)$について$(t,\varphi_t(x))$はこの集合に属する。これは§E13.6 系 5.2 (4)の右端点の結論と両立しないから、$\beta=\infty$である。

主張 (2)を示す。$\alpha>-\infty$と仮定する。$[\alpha,0]\times K$は$\Omega$のコンパクト集合であり、すべての$t\in(\alpha,0]$について$(t,\varphi_t(x))$はこの集合に属する。これは§E13.6 系 5.2 (4)の左端点の結論と両立しないから、$\alpha=-\infty$である。

主張 (3)は、前二者により$[0,\infty)\cup(-\infty,0]\subseteq I(x)$であることから従う。▨

証明.主張 (1)を示す。$x\in\R^n$とし、$\R\times\R^n$上で$f(t,u)=F(u)$とおく。$f$は連続で状態について Lipschitz 連続であるから、§E13.6 補題 5.1により、長さが正の各有限閉区間$J$と各閉球$B$について、$f$の$J\times B$への制限は Carathéodory 条件を満たし、時間について可積分な Lipschitz 係数をもつ。すべての$t\in\R$、$u\in\R^n$について$\lVert f(t,u)\rVert\le\lVert F(0)\rVert+L\lVert u\rVert$であるから、§E13.7 定理 4.1を$I=\R$、定数関数$p=\lVert F(0)\rVert$、$q=L$、$t_*=0$、$\boldsymbol\eta=x$に適用すると、$\R$のほとんど至る所で$z'=F(z)$を満たし、$z(0)=x$を満たす$z\in AC_{\mathrm{loc}}(\R;\R^n)$が存在する。$F\circ z$は連続であるから、§E13.2 系 2.7 (1)により$z$は$\R$のすべての点で$z'=F(z)$を満たし、$\R$上の$y'=F(y)$の古典解である。補題 1.2を$x$、$J=\R$、$\tau=0$に適用すると、$\R\subseteq I(x)$である。以上により流れは完備である。

$t>0$とし、$x,x'\in\R^n$に対して$\varphi(\cdot,x)$と$\varphi(\cdot,x')$は$[0,t]$上の$y'=F(y)$の古典解である。§E13.7 系 5.3により$\lVert\varphi_t(x)-\varphi_t(x')\rVert\le e^{Lt}\lVert x-x'\rVert$である。$t<0$ならば、補題 1.4により$s\mapsto\varphi(-s,x)=\varphi^{-F}(s,x)$と$s\mapsto\varphi^{-F}(s,x')$は$[0,-t]$上の$y'=-F(y)$の古典解であり、同じ補題を$-F$に適用して$\lVert\varphi_t(x)-\varphi_t(x')\rVert\le e^{L\lvert t\rvert}\lVert x-x'\rVert$を得る。

主張 (2)を示す。$F$は$C^1$級でコンパクトな集合の外で零であるから、$DF$は連続でコンパクトな集合の外で零であり、$M=\max_{z\in\R^n}\lVert DF(z)\rVert_{\mathrm{op}}<\infty$である。$x,y\in\R^n$について線分$[x,y]\subseteq\R^n$であるから、§E4.3 定理 2.1により$\lVert F(y)-F(x)\rVert\le M\lVert y-x\rVert$である。したがって$F$は大域 Lipschitz 連続であり、主張 (1)により流れは完備である。▨

証明.$P\ne\{0\}$とする。$p\in P\setminus\{0\}$について$-p\in P$であるから$P\cap(0,\infty)\ne\varnothing$であり、$T_*=\inf(P\cap(0,\infty))\ge0$とおく。$T_*=0$ならば、$P$は任意に小さい正の元を含む。$t\in\R$と$\varepsilon>0$に対して、$0<p<\varepsilon$を満たす$p\in P$をとり、$m=\lfloor t/p\rfloor$とすると$mp\in P$で$0\le t-mp<\varepsilon$である。したがって$P$は$\R$で稠密であり、閉集合であるから$P=\R$である。$T_*>0$ならば、$P$の閉性から$T_*\in P$である。$a\in P$に対して$a-\lfloor a/T_*\rfloor T_*\in P\cap[0,T_*)$であり、$T_*$の定義により$a-\lfloor a/T_*\rfloor T_*=0$である。ゆえに$P=T_*\Z$である。$P=\{0\}$ならば$P=0\cdot\Z$である。$P=\R$は、どの$T\ge0$についても$T\Z$と一致しない。$T,T'\ge0$について$T\Z=T'\Z$ならば、$T$と$T'$はともに$T\Z\cap(0,\infty)$の最小元であるか（$T,T'>0$）、ともに$0$であるから、$T=T'$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$z=\varphi_s(x)$（$s\in I(x)$）とする。定理 1.3により$I(z)=I(x)-s$であり、$\tau\in I(z)$について$\varphi_\tau(z)=\varphi_{\tau+s}(x)$であるから、$\gamma(z)=\{\varphi_{\tau+s}(x):\tau\in I(x)-s\}=\gamma(x)$である。$z\in\gamma(x)\cap\gamma(y)$ならば$\gamma(x)=\gamma(z)=\gamma(y)$である。

主張 (2)を示す。$F(x)=0$ならば、定数写像$\R\ni t\mapsto x$は$\R$上の古典解であり、最大解である。したがって$I(x)=\R$で$\gamma(x)=\{x\}$である。逆に$\gamma(x)=\{x\}$ならば$c(t)=\varphi_t(x)$は$I(x)$上で定数であり、$F(x)=c'(0)=0$である。

主張 (3)を示す。$x$を周期点とし、$T_0>0$を$T_0\in I(x)$、$\varphi_{T_0}(x)=x$を満たす数とする。主張 4.3.1を$t_1=0$、$t_2=T_0$に適用すると$I(x)=\R$である。$c(t)=\varphi_t(x)$、$P=\{t\in\R:c(t)=x\}$とおく。$a,b\in P$について、定理 1.3により$c(a+b)=\varphi_a(\varphi_b(x))=\varphi_a(x)=x$、$c(-a)=\varphi_{-a}(\varphi_a(x))=\varphi_0(x)=x$であるから、$P$は$\R$の部分群である。$c$は連続であるから$P=c^{-1}(\{x\})$は閉集合である。$P=\R$ならば$c$は定数で$F(x)=c'(0)=0$となって、$F(x)\ne0$に反する。$T_0\in P$であるから$P\ne\{0\}$である。したがって補題 4.2により、$P=T\Z$を満たす$T>0$がただ一つ存在する。

$s,t\in\R$について$c(s)=c(t)$ならば、$\varphi_{s-t}(x)=\varphi_{-t}(\varphi_s(x))=\varphi_{-t}(\varphi_t(x))=x$であるから$s-t\in T\Z$である。逆に$s-t\in T\Z$ならば$c(s)=\varphi_t(\varphi_{s-t}(x))=\varphi_t(x)=c(t)$である。したがって$\hat c(t+T\Z)=c(t)$は$\R/T\Z$から$\gamma(x)=c(\R)$への全単射$\hat c$を定め、商位相の普遍性§E2.12 定理 8.10により$\hat c$は連続である。商写像$q:\R\to\R/T\Z$について、$q|_{[0,T]}$は$\R/T\Z$の各類が$[0,T)$の元を含むので全射であり、連続であるから、§E2.19 定理 4.2により$\R/T\Z$はコンパクトである。$\gamma(x)$は Hausdorff 空間$\R^n$の部分空間であるから、§E2.19 定理 6.8により$\hat c$は同相写像であり、$\gamma(x)=\hat c(\R/T\Z)$はコンパクトである。$z=\varphi_s(x)\in\gamma(x)$について、定理 1.3により$I(z)=\R$であり、$a\in\R$に対して$\varphi_a(z)=\varphi_{a+s}(x)$であるから、$\varphi_a(z)=z$であることは$c(a+s)=c(s)$であること、すなわち$a\in T\Z$であることと同値である。$F(z)=0$ならば主張 (2)により$\gamma(z)=\{z\}$であるが、主張 (1)により$\gamma(z)=\gamma(x)$で、$\gamma(x)$は$\hat c$による$\R/T\Z$の像であるから無限集合であり、矛盾する。したがって$F(z)\ne0$であり、$z$は周期点で、$\{a:\varphi_a(z)=z\}=T\Z$である。

主張 (4)を示す。$x$が平衡点でも周期点でもなく、$t_1<t_2$が$I(x)$の点で$\varphi_{t_1}(x)=\varphi_{t_2}(x)$であると仮定する。主張 4.3.1により$I(x)=\R$であり、$T=t_2-t_1>0$について$\varphi_T(x)=x$である。$x$は平衡点でないから$F(x)\ne0$であり、$x$は周期点である。これは仮定に反する。▨